Dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng môn toán ở trường phổ thông (thể hiện qua dạy học khái niệm hình học không gian 11 hiện hành) luận văn tốt nghiệp đại học

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiếnthức để giải quyết các bài tập, nguyên nhân là do: - Bài tập đưa ra không vừa sức với học sinh; - Học sinh chưa nắm v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-HOµNG THÞ THóY

KĨ NĂNG MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

(THỂ HIỆN QUA DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 HIỆN HÀNH)

KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC

VINH - 2011

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, ThS

Nguyễn Chiến Thắng đã hướng dẫn khoa học để tác giả hoàn thành khoá luận.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô, KhoaToán, Đại Học Vinh; Ban Giám Hiệu cùng các thầy cô giáo trường THPT Ba Đình

- Nga Sơn – Thanh Hoá đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 5 năm 2011 Tác giả Hoàng Thị Thúy MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài 1

II Đối tượng nghiên cứu 2

III Mục đích nghiên cứu 2

IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2

V Giả thuyết khoa học 2

VI Phương pháp nghiên cứu 3

VII Cấu trúc của khóa luận 3

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG 4

1.1 Kĩ năng 4

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 4

1.1.2 Sự hình thành kĩ năng 5

1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng 7

1.2 Chuẩn 9

1.2.1 Một số vấn đề về chuẩn 9

1.2.2 Chuẩn kiến thức, kĩ năng trong chương trình hình học 11 13

1.2.3 Một số loại toán giải được dựa vào Chuẩn kiến thức, kĩ năng ở trên 18

1.3 Dạy học khái niệm Toán học 26

1.3.1 Đại cương về khái niệm và định nghĩa khái niệm 26

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm 29

1.3.3 Các con đường tiếp cận khái niệm 31

1.3.4 Những hoạt động củng cố khái niệm 37

1.3.5 Dạy học phân chia khái niệm 42

CHƯƠNG 2 QUY TRÌNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG MÔN TOÁN 46

2.1 Đổi mới phương pháp dạy học 46

2.1.1 Định hướng 46

2.1.2 Các giải pháp để đổi mới phương pháp dạy học 47

2.2 Một số khó khăn của học sinh khi học hình học không gian 51

2.3.Vai trò của phần mềm trong dạy học hình học không gian 55

2.3.1 Phần mềm dạy học hỗ trợ học sinh tìm hiểu sâu, nội dung, kiến thức 56

2.3.2 Rèn luyện kĩ năng, củng cố, ôn tập 56

2.3.3 Rèn luyện, phát triển tư duy thuật toán 57

2.3.4 Hiệu quả PPDH tăng lên rõ rệt 57

2.4 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học hình học không gian nhằm góp phần khắc phục khó khăn 58

2.5 Quy trình dạy học khái niệm nhằm rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề 60

2.5.1 Kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khái niệm 60

2.5.2 Quy trình dạy học khái niệm nhằm rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng 63

2.5.3 Các bài mô phỏng quá trình dạy học khái niệm nhằm rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin 77

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 85

3.1.Mục đích thực nghiệm 85

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 85

3.2.1 Tổ chức và thực nghiệm 85

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 86

3.2.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 87

3.2.4 Một số kết quả định lượng 88

3.2.5 Kết luận chung về thực nghiệm 89

KẾT LUẬN 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài.

Trong nghị quyết hội nghị lần thứ 2, Ban chấp hành TƯ Đảng cộng sản Việt Nam (khoá VIII 1997) đã khẳng định “…Phải đổi mới phương pháp Giáo dục

- Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học…” Muốn như vậy, giáo dục phải chuyển vai trò “Giáo viên làm trung tâm” sang “học sinh làm trung tâm” Như vậy mọi quá trình, hoạt động cần

lấy học sinh làm trung tâm, học sinh cần phải biết con đường khám phá tri thức vàbên cạnh đó HS cần hình thành khả năng tự đánh giá năng lực của chính bản thânmình Có như vậy, HS mới biết mình đang ở mức độ nào, và thiếu những kiếnthức, kĩ năng nào mới đạt được yêu cầu mà xã hội đặt ra

Để có thể một phần nào định hướng cho GV và HS có thể đánh giá tốt nănglực học tập của người học Ngày 05 tháng 05 năm 2006, Bộ trưởng Bộ giáo dục vàĐào tạo đã kí quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT về việc ban hành Chương trìnhGiáo dục phổ thông Đó là một kế hoạch sư phạm trong đó có “Chuẩn kiến thức, kĩnăng và yêu cầu thái độ của từng môn học, cấp học” Chuẩn kiến thức, kĩ năngkhông chỉ giúp GV có thể đánh giá chính xác mức độ năng lực của người học, thiết

kế bài dạy sao cho HS phải đạt được những kĩ năng tối thiểu hay nói cách khácđịnh hướng nội dung, kĩ năng trung tâm của bài dạy, mà còn giúp HS tự đánh giáđược khả năng đạt yêu cầu về một môn học nào đó của bản thân và còn cách mụctiêu bao xa nữa Đây là một trong những nội dung còn chưa được phát triển sâurộng trong dạy học ở các trường THPT, đặc biệt là trong chủ đề HHKG của mônToán HHKG là một trong những chủ đề khó đối với cả quá trình dạy và học của

GV và HS, nhiều đối tượng học sinh ngay từ đầu đã không thể nắm được nhữngkhái niệm khá mơ hồ, học sinh khó có thể nắm được bản chất của khái niệm haynói cách khác HS không phát hiện được nội dung ẩn tàng trong các vấn đề trừutượng của HHKG dẫn đến không thể giải quyết những vấn đề đưa ra Như vậytrong quá trình dạy học giáo viên cần khắc sâu, làm rõ cho học sinh hiểu nhữngkhái niệm về HHKG Tuy nhiên, những khái niệm HHKG là những khái niệmmang tính tư duy, tưởng tượng cao, điều này gây khó khăn trong giảng dạy, cũngnhư việc xác định những kĩ năng cần thiết cho học sinh từ những khái niệm đó

Vậy làm thế nào để nâng cao khả năng tư duy, giúp học sinh biến nhữngđối tượng trừu tượng của HHKG thành kiến thức của bản thân nhằm đạt đượcnhững kĩ năng tối thiểu, cơ bản nhất, có thể trang bị đầy đủ những khái niệm cơbản về các đối tượng trong HHKG Đây là một vấn đề trăn trở của rất nhiều GV

dạy Toán Từ những vấn đề trên chúng tôi đã lựa chọn đề tài: “Dạy học theo

chuẩn kiên thức, kĩ năng thông qua một số nội dung trong chương trình hình học 11” (Thể hiện qua dạy học khái niệm hình học không gian).

II Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các yêu cầu về chuẩn kiến thức, kĩ năngđối với các khái niệm hình học 11 và cách dạy các khái niệm này dựa trên cácchuẩn kiến thức, kĩ năng

III Mục đích nghiên cứu.

Nhằm xây dựng được một quy trình dạy học khái niệm bám sát các chuẩnkiến thức, kĩ năng đã đưa ra, đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng phát hiện vàgiải quyết vấn đề từ việc hình thành các khái niệm

IV Nhiệm vụ nghiên cứu.

1 Làm rõ các yêu cầu về chuẩn kiến thức, kĩ năng của các khái niệm hìnhhọc 11

2 Xây dựng được quy trình dạy học khái niệm hình học 11 bám sát chuẩnkiến thức, kĩ năng nhằm rèn luyện cho HS kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

V Giả thuyết khoa học.

Nếu xây dựng được quy trình dạy học khái niệm bám sát chuẩn kiến thức,

kĩ năng nhằm rèn luyện cho HS kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề sẽ giúp cho

HS nắm tốt hơn các khái niệm trừu tượng của HHKG, khả năng phát hiện các dấuhiệu bản chất của các đối tượng Đồng thời giúp giáo viên sáng tạo các hình thứckhác nhau trong việc hình thành các khái niệm

VI Phương pháp nghiên cứu.

1 Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoá học nhằm làm sáng tỏ các nộidung về chuẩn kiến thức, kĩ năng và dạy học khái niệm

2 Nghiên cứu những yêu cầu về chuẩn kiến thức, kĩ năng đối với các kháiniệm hình học 11

3 Thiết lập mối quan hệ giữa chuẩn kiến thức kĩ năng với các khái niệm từ

đó hình thành quy trình dạy học khái niệm bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng nhằmrèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

VII Cấu trúc của khóa luận.

2.1 Đổi mới phương pháp dạy học

2.2 Một số khó khăn của học sinh khi học hình học không gian

2.3 Vai trò của phần mềm trong dạy học hình học hình không gian

2.4.Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học hình học không gian

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

1.1 Kĩ năng.

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Trong cuộc sống, con người phải thực hiện rất nhiều hoạt động nhằm đápứng những yêu cầu của xã hội nói chung và nhu cầu cuộc sống nói riêng Tất cảcác hoạt động đó diễn ra đều có sự tác động của tri thức, tức là sự huy động cáckiến thức đã có, những kinh nghiệm đã có của bản thân về vấn đề đó để giải quyết

nó Sau những quá trình lặp lại các hoạt động đó con người hình thành cho mìnhmột con đường, khả năng xử lí vấn đề và người ta gọi đó là kĩ năng Trong đờisống hàng ngày chúng ta nghe rất nhiều về kĩ năng như: kĩ năng giao tiếp, kĩ năngsống, kĩ năng vi tính,…Nhưng chắc hẳn rằng để hiểu rõ kĩ năng là gì thì không cónhiều người biết Xung quanh các vấn đề về kĩ năng còn tồn tại rất nhiều các quanđiểm khác nhau

Theo [12] Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận đượctrong một lĩnh vực nào đó vào thực tế

Theo quan điểm của V.A Cruchetxki ông cho rằng “Kĩ năng là các phươngthức thực hiện hoạt động, những cái mà con người đã nắm vững” Như vậy ôngcho rằng chỉ cần nắm vững phương thức của hành động là con người có kĩ năng,không cần đến kết quả của hoạt động cá nhân Cũng có quan niệm giốngV.A.Cruchetxki, tác giả Trần Trọng Thủy cho rằng: “Kĩ năng là mặt kĩ thuật củahành động Con người nắm được cách thức của hành động tức là kĩ thuật của hànhđộng là có kĩ năng” Nếu theo quan điểm trên, kĩ năng chỉ là mặt kĩ thuật của mộtthao tác, hành động hay một hoạt động nào đó, một người thực hiện chỉ cần nắm rõcác cách thức hành động nhằm mục đích giải quyết vấn đề đó thì có thể nói rằngngười đó đã có kĩ năng về một vấn đề nào đó

Khác với quan điểm trên, N.D.Lêvitôp lại cho rằng: “Kĩ năng là sự thựchiện có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cáchlựa chọn và áp dụng những phương thức đúng đắn có tính đến những điều kiệnnhất định” Tức là kĩ năng không đơn thuần chỉ là mặt kĩ thuật của hành động mà

là sự kết hợp giữa những kĩ thuật đã có với tính linh hoạt mềm dẻo sao cho đạtđược mục đích Cùng quan điểm với ông Pêtrôpxki cũng cho rằng: “Kĩ năng là sựvận dụng những tri thức, kĩ xảo đã có để lựa chọn và thực hiện những phương thứchành động tương ứng với mục tiêu đặt ra” Ngoài ra còn có một số tác giả nhưPlatônôp, Vũ Dũng cũng cho rằng kĩ năng không chỉ dừng lại ở mức độ sự thànhthục về kĩ năng mà quan tâm nhiều hơn nữa tới tính sáng tạo vận dụng và kết quảcủa hành động

Theo giáo trình Tâm lí học sư phạm “Kĩ năng là khả năng vận dụng kiếnthức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới”

Để trả lời một câu hỏi nào đó ta cần có tri thức và kĩ năng tương ứng khivận dụng vào tình huống cụ thể, tức là kĩ năng cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết(kiến thức) Cơ sở lý thuyết – đó là kiến thức Sở dĩ như vậy là vì, xuất phát từ cấutrúc kĩ năng (phải hiểu được mục đích, biết cách thức) đi đến kết quả và hiểunhững điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó

1.1.2 Sự hình thành kĩ năng.

Để hiểu rõ được sự hình thành kĩ năng cần làm rõ mối quan hệ giữa kiếnthức và đối tượng

Kiến thức và đối tượng là hai phạm trù khác nhau

Kiến thức là kết quả của sự phản ánh

Đối tượng (sự vật, hiện tượng…) tồn tại khách quan

Như vậy khám phá một đối tượng cần có những dụng cụ trang bị nhất định

mà đó chính là kiến thức Sự vận dụng kiến thức để khám phá, biến đổi (tất nhiênqua đó cũng thu được thông tin mới) chính là kĩ năng

Ví dụ 1 Một người muốn đi khai thác vàng cần biết họ cần có những dụng

cụ nào? Và khai thác như thế nào

Cũng giống như học sinh muốn vẽ hình biểu biểu diễn của một hình lậpphương (đây là kiến thức mới từ hình học phẳng sang hình học không gian) họ cầnđược trang bị kiến thức thế nào là hình biểu diễn, biết được cách vẽ nét nhìn thấy,những cạnh song song thì như thế nào? cắt nhau thì ra sao?

Như vậy, sự vận dụng các kiến thức đã có để khám phá, tìm hiểu khám phánhững vấn đề mới giúp họ phần nào thu được thông tin mới và hình thành kĩ năng

Ví dụ 2 Kĩ năng vẽ hình biểu diễn, kĩ năng giải quyết bài toán….

Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiếnthức để giải quyết các bài tập, nguyên nhân là do:

- Bài tập đưa ra không vừa sức với học sinh;

- Học sinh chưa nắm vững kiến thức về nội dung do đó làm cho họcsinh không biết vận dụng các khái niệm đã biết hay các khái niệm đã biết khôngtrở thành cơ sở của kĩ năng

Ví dụ 3 Trong mp (P) cho hình bình hành ABCD Lấy S (P) Hãy chỉ ra

giao điểm chung của hai mp (SAC) và (SBC) khác S

Trong bài toán này học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định giaođiểm O = AC  BD Nguyên nhân chủ yếu là do học sinh chưa nắm rõ việc tìmgiao điểm của hai mặt phẳng thực chất là quy về việc tìm giao điểm của hai đườngthẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng dẫn đến việc vận dụng vào việc giải quyếtbài toán còn chậm và gặp khó khăn

1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng.

Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khảnăng nhận dạng kiểu nhiệm vụ, bài tập tức là tìm kiếm, phát hiện những thuộc tính

và quan hệ vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một nhiệm vụ nhấtđịnh

1.1.3.1 Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hoá, bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy hoặc không định hướng được hướng giải quyết.

Ví dụ 4 Cho 3 đường thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng

và cắt nhau từng đôi một Chứng minh 3 đường thẳng trên đồng quy

Ở các lớp dưới, học sinh đã biết cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quynhư sau:

- Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau, và chứng minh đườngthẳng thứ 3 đi qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau đó

- Quy về các đường thẳng đặc biệt trong tam giác

Tuy nhiên trong bài toán này, hai định hướng trên đều khó có thể thực hiệnđược hay nói cách khác bài toán bị các yếu tố phụ che phủ đó là: cho 3 đườngthẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng; chứng minh 3 đường thẳng đồng quy.Điều này làm học sinh không nghĩ được định hướng của bài toán là giải quyết dựavào khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng Bản chất của bài toán trên là ta dựavào việc 3 đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng, do vậy có thể tìmgiao điểm của hai đường thẳng và chứng minh giao điểm đó nằm trên đường thẳngcòn lại, trong đó đường thẳng này là giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứahai đường thẳng trên

1.1.3.2 Tâm thế và thói quen.

Tâm thế và thói quen có ảnh hưởng nhất định tới sự hình thành kĩ năng ởhọc sinh Khi một thói quen được lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ hình thành những phản

xạ có điều kiện đối với đối tượng đó tức là sẽ ngay lập tức tư duy về đối tượng đótheo một lối mòn nào đó, tức là đã hình thành những kĩ năng giải quyết đối tượngđó

1.1.3.3 Khả năng khái quát đối tượng một cách toàn thể.

Thực chất của việc hình thành kĩ năng là hình thành cho học sinh nắm vững

hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứađựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hoạt động cụthể

Điều này được thể hiện rất rõ trong quá trình dạy học hình học không gian.Khi dạy học về quan hệ song song cần hình thành cho học sinh kĩ năng xác địnhgiao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng; giao tuyến giữa mặt phẳng và mặtphẳng ….và cần làm cho học sinh thấy rõ thực chất của việc xác định giao điểm;giao tuyến đều quy về việc đi xác định giao điểm của hai đường thẳng

Như vậy thực chất của việc hình thành kĩ năng là hình thành cho học sinhnắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ thôngtin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chứng với những hành động cụthể

Muốn vậy, khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần quan tâm tới các yếu tốảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng cho học sinh, đồng thời:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra các yếu tố đã cho, yếu tốphải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, cácđối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thứctương xứng

1.2 Chuẩn

1.2.1 Một số vấn đề về chuẩn.

1.2.1.1 Khái niệm chuẩn

Trước hết ta cần hiểu “chuẩn” ám chỉ đến chất lượng mà người ta mongmuốn

Trong kiểm định, có nhiều quan niệm về “chuẩn”

Ở Mỹ: Chuẩn (Normal) là mức độ yêu cầu nhất định mà các trường Đại

học hoặc chương trình đào tạo cần phải đáp ứng để được công nhận

Ở Châu Âu: Chuẩn (Normal) được xem như kết quả mong muốn của một

chương trình đào tạo trong giáo dục bao gồm: kiến thức, kĩ năng, thái độ cần có

Ở Việt Nam khái niệm “Chuẩn” không được quan tâm nhiều Ngày 05tháng 05 năm 2006, Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo đã kí quyết định số16/2006/QĐ-BGDĐT về việc ban hành Chương trình Giáo dục phổ thông Trongchương trình Giáo dục phổ thông là một kế hoạch sư phạm gồm :

- Mục tiêu giáo dục;

- Phạm vi và cấu trúc nội dung giáo dục;

- Chuẩn kiến thức, kĩ năng và yêu cầu thái độ của từng môn học, cấp học;

- Phương pháp và hình thức tổ chức giáo dục;

- Đánh giá kết quả giáo dục từng môn hcọ ở mỗi lớp, cấp học

Đây chính là mốc thời gian đánh dấu sự xuất hiện của khái niệm “Chuẩn”một cách khá phổ biến ở nước ta

Theo Chuẩn kiến thức, kĩ năng của BGDĐT :

“Chuẩn là những yêu cầu, tiêu chí ( gọi chung là yêu cầu) tuân thủ nhữngnguyên tắc nhất định, được dùng làm thước đo đánh giá hoạt động, công việc, sảnphẩm của lĩnh vực nào đó Đạt được những yêu cầu của chuẩn là đạt được mục tiêumong muốn của chủ thể quản lí hoạt động, công việc, sản phẩm đó

Chuẩn được dùng làm thước đo đánh giá hoạt động, công việc, sản phẩmcủa lĩnh vực nào đó Điều này được thể hiện khá rõ trong hoạt động giáo dục, ởmỗi kì học chúng ta đều có hoạt động kiểm tra cuối kì, trong hoạt động này luôn có

một khối lượng kiến thức mà bắt buộc người học phải nắm được, làm được khốilượng kiến thức đó mới đạt yêu cầu tức là đủ điểm trong kì học đó và từ đó đánhgiá xếp loại năng lực học tập của mỗi cá nhân trong quá trình học tập.

Trong các cơ quan, tổ chức mỗi năm đều có bình bầu, xét duyệt những cánhân xuất sắc, việc bình xét đều dựa trên một số tiêu chuẩn nhất định như: hoànthành công việc, có thành tích nổi bật

Yêu cầu là sự cụ thể hoá, chi tiết, tường minh chuẩn, chỉ ra những căn cứ

để đánh giá chất lượng

Điều này được thể hiện khá rõ ràng trong quá trình dạy học, khi học bài

“Đại cương về đường thẳng, mặt phẳng” yêu cầu đặt ra đối với học sinh là:

Dựa vào những yêu cầu trên có thể đánh giá được giáo viên đã thiết kế mộtbài dạy có tình huống có vấn đề, tạo được điểm nhấn vào những nội dụng cơ bảnhay chưa? Đồng thời cũng là căn cứ đánh giá khả năng tiếp nhận tri thức của họcsinh

Yêu cầu có thể được thông qua chỉ số thực hiện

Yêu cầu được xem như những “chốt kiểm soát” để đánh giá chất lượng đầuvào, đầu ra cũng như quá trình thực hiện

Cụm từ “chốt kiểm soát” ta có thể liên tưởng tới các trạm kiểm soát giaothông khi vận hành từ tỉnh này sang tỉnh khác cần có đầy đủ bằng, đăng kí xe… Ởđây yêu cầu cũng đóng vai trò gần giống như vậy Dựa vào những yêu cầu đặt ratương thích với từng hoàn cảnh, nghề nghiệp mà có thể đánh giá chất lượng

Trong quá trình tuyển sinh Đại học chúng ta rất quen thuộc với cụm từ

“điểm sàn” Điểm sàn ở đây chính là yêu cầu tối thiểu mà học sinh cần đạt được để

có thể xét vào các trường đại học Hay điểm tuyển sinh của một trường đại họcchính là sự cụ thể hoá những yêu cầu về khối lượng kiến thức của người thi, làchốt kiểm soát đánh giá chất lượng đầu vào của một trường Đồng thời điểm thi đạihọc là một trong những yếu tố đánh giá chất lượng học tập của học sinh trong suốtquá trình học tập

Như vậy những yêu cầu được xem là những chốt kiểm soát này thườngxuyên tồn tại trong suốt quá trình dạy và học

1.2.1.2 Những yêu cầu cơ bản của chuẩn.

Theo [14] “Chuẩn” cần đảm bảo những yêu cầu sau:

- Chuẩn phải có tính khách quan, nhìn chung không lệ thuộc vào quan điểm

hay thái độ chủ quan của người sử dụng Chuẩn

- Chuẩn phải có hiệu lực ổn định cả về phạm vi lẫn thời gian áp dụng.

- Đảm bảo tính khả thi, có nghĩa là Chuẩn đó có thể đạt được (là trình độ

hay mức độ dung hoà hợp lí giữa yêu cầu phát triển ở mức cao hơn với những thựctiến đang diễn ra)

- Đảm bảo tính cụ thể, tường minh và có chức năng định lượng.

- Đảm bảo không mâu thuẫn với các chuẩn khác trong cùng lĩnh vực có

liên quan

1.2.1.3 Chuẩn kiến thức, kĩ năng

Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáo dục phổ thông được đề cậpkhá rõ trong “Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng” của các lớp 10, 11,

12 năm 2006 Trong đó đã làm rõ Chuẩn kiến thức, kĩ năng và yêu cầu về thái độcủa Chương trình Giáo dục phổ thông (CTGDPT) được thể hiện cụ thể trong các

chương trình môn học, hoạt động giáo dục (gọi chung là môn học) và chương trình

cấp học

Đối với mỗi môn học, mỗi cấp học, mục tiêu của môn học, cấp học được cụthể hoá thành chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình môn học, chương trìnhcấp học.

1.2.1.3.1 Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình môn học.

Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chươg trình môn học là các yêu cầu cơ

bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của môn học mà học sinh cần phải và có thể đạtđược sau mỗi đơn vị kiến thức (mỗi bài, chủ điểm, môđun)

Để hiểu rõ về khái niệm này ta cần hiểu rõ: thế nào là chuẩn kiến thức, kĩnăng của một đơn vị kiến thức và yêu cầu về kiến thức, kĩ năng ?

Chuẩn kiến thức, kĩ năng của một đơn vị kiến thức là các yêu cầu cơ bản,

tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của đơn vị kiến thức mà học sinh cần phải và có thểđạt được

Như vậy nghĩa là sau một bài, một chương nào đó học sinh cần đạt đượcnhững yêu cầu nhất định về kiến thức trong chương

Ví dụ 5 Sau khi dạy bài “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng ” học

sinh cần đạt được những kiến thức:

- Biết các tính chất thừa nhận

- Biết cách xác định mặt phẳng : qua 3 điểm không thẳng hàng, qua mộtđường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng; qua hai đường thẳng cắt nhau

- Biết được khái niệm hình chóp, hình tứ diện

Tức là tất cả học sinh đều phải đạt được những chuẩn trên sau khi học bài

1 Tuy nhiên có phải chỉ cần dừng lại ở mức độ này là đã đạt yêu cầu hay không,

để trả lời câu hỏi này ta cần làm rõ “yêu cầu về kiến thức, kĩ năng”

Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng thể hiện mức độ cần đạt được về kiến thức,

kĩ năng

Cụm từ “mức độ” chính là nhằm làm rõ, chuẩn đưa ra trong từng bài chỉ làyêu cầu tối thiểu, chúng ta có thể hiểu đó là cái mốc bé nhất mà tất cả mọi ngườiđều phải qua được Có thể so sánh chuẩn này chính là mức xà thấp nhất trong mônnhảy cao, và tuỳ theo từng đối tượng mà giáo viên có thể điều chỉnh nâng mức xà

hay chính là nâng cao yêu cầu cho các đối tượng đó nhằm mục đích phát huy hếtkhả năng của học sinh.

Ví dụ 6 Trong cùng bài “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng ” giáo

viên có thể điều chỉnh yêu cầu đối với các đối tượng học sinh khác nhau Khi đóyêu cầu đưa ra đối với các học sinh khá, giỏi không chỉ dừng lại ở việc biết cáctính chất thừa nhận mà có thể nâng cao hơn đó là vận dụng các khái niệm đó vàocác bài toán mang tính chất lý thuyết, hoặc thực tế như “Giải thích vì sao khi tadựng xe máy bao giờ cũng tồn tại một mặt phẳng đi qua bánh xe và chân chống?”

Mỗi yêu cầu về kiến thức, kĩ năng có thể được chi tiết hơn bằng những yêucầu về kiến thức, kĩ năng cụ thể, tường minh hơn; minh chứng bằng những ví dụthể hiện được cả nội dung, kiến thức, kĩ năng và mức độ cần đạt về kiến thức, kĩnăng

1.2.1.3.2 Những đặc điểm của Chuẩn kiến thức, kĩ năng.

- Chuẩn kiến thức, kĩ năng được chi tiết, tường minh bằng các yêu cầu cụ

thể, rõ ràng về kiến thức, kĩ năng

- Chuẩn kiến thức, kĩ năng có tính tối thiểu, nhằm đảm bảo mọi học sinh

cần phải và có thể đạt được những yêu cầu cụ thể này

- Chuẩn kiến thức, kĩ năng là thành phần của Chương trình giáo dục phổ

thông

1.2.2 Chuẩn kiến thức, kĩ năng trong chương trình hình học 11.

Trong chương trình hình học 11, học sinh bắt đầu làm việc nhiều với hìnhhọc không gian, chuyển từ không gian 2 chiều sang không gian 3 chiều và tiếp cậnvới nhiều khái niệm mới và khó Do đó giáo viên cần phải hiểu được đúng nộidung cũng như dụng ý, yêu cầu của sách giáo khoa Do đó việc bám sát chuẩn kiếnthức, kĩ năng là vô cùng cần thiết Trong cuốn “Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiếnthức, kĩ năng môn Toán lớp 11” đã làm rõ chuẩn kiến thức đối với các khái niệm.Đồng thời phân rõ các mức độ cần đạt được đối với từng khái niệm như sau:

Khái niệm Chuẩn kiến thức, kĩ năng

1

Hh Hình Hình chóp; hình tứ diện Biết được khái niệm hình chóp, hình tứ

diện: vẽ được hình biểu diễn của hìnhchóp và hình tứ diện; gọi tên và chỉ racác đặc điểm của 2 loại hình trên

2 Hai đường thẳng đồng

phẳng

Phát biểu được định nghĩa và nhận dạngcũng như thể hiện được khái niệm nàytrong các hình biểu diễn cũng như trongthực tế

3 Hai đường thẳng: trùng

nhau, song song, cắt

nhau, chéo nhau

- Biết được khái niệm: điều kiện cần đểhai đường thẳng chéo nhau, xác định vịtrí tương đối giữa hai đường thẳng

4 Đường thẳng song song

với mặt phẳng

Phát biểu được khái niệm và nhận dạng,thể hiện được từ những hình ảnh trựcquan

5 Hai mặt phẳng song song Phát biểu được khái niệm, nhận dạng và

thể hiện được khái niệm

6 Hình lăng trụ, hình hộp - Nắm được những nội dung cơ bản của

khái niệm

- Vẽ được hình biểu diễn của hình lăngtrụ, hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác,chỉ ra và đọc tên các yếu tố trên hình vẽ

khái niệm

- Vẽ được hình biểu diễn của hình chópcụt có đáy là tam giác, tứ giác, đọc tên vàchỉ ra các yếu tố trong hình biểu diễn

8 Phép chiếu song song - Biết đuợc phép chiếu song song chính

là “phép đặt tương ứng mỗi điểm Mtrong không gian với điểm M’ trên mpchiếu”

- Nắm và xác định đuợc các yếu tố cơ

bản của phép chiếu như: phương chiếu,mặt phẳng chiếu song song, ảnh củađiểm, đoạn thẳng, đường thẳng…

9 Hình biểu diễn của một

hình trong không gian

- Hiểu được nó là hình chiếu song songcủa hình đã cho hoặc hình đồng dạng vớihình chiếu đó Từ đó áp dụng các tínhchất của phép chiếu song song để vẽ hìnhbiểu diễn

10 Ba vectơ đồng phẳng

trong không gian

- Nhớ khái niệm, nhận dạng và thể hiệnđược khái niệm trong một số bài toán

- Biết đuợc mối quan hệ giữa 3 vectơđồng phẳng với 4 điểm O,A,B,C nằmtrên 3 vectơ (O là điểm chung của 3vectơ)

11 Góc giữa hai véc tơ trong

không gian

- Phát biểu được nội dung chính của địnhnghĩa

- Biết cách xác định góc giữa hai véctơ

12 Tích vô hướng của 2

véctơ trong không gian

- Biết được tích vô hướng của 2 véctơ làmột số

- Áp dụng công thức vào việc xác địnhgóc

13 Vectơ chỉ phương của

đường thẳng

- Biết được khái niệm và chỉ ra đượcvectơ chỉ phương của đường thẳng trongnhững trường hợp cụ thể

14 Góc giữa hai đường

thẳng

- Biết được góc giữa 2 đường thẳng a,b làgóc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua mộtđiểm và song song với 2 a,b Tức là việcxác định góc giữa 2 đường thẳng trongkhông gian quy về xác định góc giữa 2đường thẳng trong cùng một mặt phẳng

và không phụ thuộc vào điểm chọn

15 Hai đường thẳng vuông - Biết khái niệm, nhận dạng và thể hiện

góc được khái niệm trong bài toán cụ thể.

16 Đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng

- Biết khái niệm: Phát biểu lại được nộidung của khái niệm theo ngôn ngữ cánhân

17 Phép chiếu vuông góc - Biết khái niệm, biết được phép chiếu

vuông góc là một trường hợp đặc biệt củaphép chiếu song song Xác định đượchình chiếu của đoạn thẳng, đường thẳng,tam giác

18 Mặt phẳng trung trực - Phát biểu lại đựơc khái niệm, nắm được

các yếu tố cần để một mặt phẳng đượcgọi là mặt phẳng trung trực

19 Góc giữa đường thẳng và

mặt phẳng

- Biết được góc giữa đường thẳng và mặtphẳng trong các trường hợp và việc xácđịnh góc giữa đường thẳng và mặt phẳngquy về xác định góc giữa đưòng thẳng đóvới hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó

- Giới hạn góc giữa đường thẳng và mặtphẳng 0 ≤  ≤ 900

20 Góc giữa hai mặt phẳng - Biết được khái niệm, giới hạn góc giữa

hai mặt phẳng, xác định được góc giữahai mặt phẳng trong trường hợp đặc biệt

21 Hai mặt phẳng vuông góc - Biết được khái niệm

- Vẽ được hình biểu diễn của các hìnhtrên và giải quyết một số câu hỏi mangtính lý thuyết, biết cách vận dụng đặcđiểm của từng hình vào giải bài toán

23 Hình chóp đều và hình

chóp cụt đều

- Nắm được các đặc điểm đặc trưng củakhái niệm, mối quan hệ giữa hai hìnhtrên

- vẽ được hình biểu diễn và vận dụng vàogiải quyết các bài toán lý thuyết và một

số trường hợp cụ thể

24 Khoảng cách từ một điểm

đến một mặt phẳng,đường thẳng

- Biết khái niệm, nhận dạng và thể hiệnđược khái niệm trong bài toán

25 Khoảng cách giữa đường

thẳng và mặt phẳng songsong, khoảng cách giữahai mặt phẳng song song

- Biết khái niệm, hiểu được khoảng cáchgiữa đường thẳng và mặt phẳng songsong , khoảng cách giữa hai mặt phẳngsong song đều quy về khoảng cách từmột điểm trên đưòng thẳng hoặc mặtphẳng đến mặt phẳng kia

26 Đường vuông góc chung - Biết khái niệm và xác định được đường

vuông góc chung

27 Khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau

- Biết khái niệm và vận dụng vào tìmkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau

1.2.3 Một số loại toán giải được dựa vào Chuẩn kiến thức, kĩ năng ở trên

Trong quá trình dạy học khái niệm GV cần hình thành cho học sinh một sốloại toán mà phương pháp và cách thức giải chỉ cần dựa vào khái niệm Hoạt độngnày không những giúp học sinh hiểu rõ bản chất của khái niệm mà còn hình thànhcho học sinh tri thức phương pháp, cách giải quyết các bài toán dựa vào khái niệm

Từ hệ thống khái niệm trong chương trình hình học không gian lớp 11, GV

có thể hình thành cho học sinh các loại bài tập sau:

Loại 1 Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, đường thẳng và

mặt phẳng.

Bài toán xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, đường thẳng vàmặt phẳng giải quyết dựa trên các khái niệm đồng phẳng, song song, trùng nhau,

cắt nhau, chéo nhau hoặc các khái niệm song song, cắt nhau tại một điểm, haiđiểm Đối với dạng bài toán này chỉ nhằm mục đích giúp học sinh nhận dạng mộtcách thuần thục các khái niệm này trên hình vẽ, bước đầu làm quen với mô hìnhtrừu tượng của hình học không gian.

Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là hai điểm phân biệt thuộc cùng

một đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt thuộc cùng một đường thẳng CD.Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và MP, NQ

Để giải quyết bài toán này học sinh không có công cụ nào khác ngoài cáckhái niệm Ở đây khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng này GV cần hướngcho học sinh trước hết cần xem xét hai đường thẳng đó đồng phẳng hay khôngđồng phẳng

Cắt nhauĐồng phẳng Trùng nhau

Song song

Không đồng phẳng Chéo nhau

Trong trường hợp đồng phẳng, học sinh đưa về bài toán trong phẳng, khi

đó việc xét vị trí tương đối của chúng là dễ dàng Trong trường hợp không đồngphẳng kết luận ngay là hai đường thẳng chéo nhau Như vậy khó khăn nhất là làmsao chứng minh được hai đường thẳng trên là không đồng phẳng Thông thường ta

có dùng phương pháp phản chứng Đối với bài toán trên ta có thể dùng phản chứng

để chứng minh như sau:

Trường hợp còn lại chứng minh tương tự

Đối với dạng toán này, GV có thể lấy nhiều hình quen thuộc như hình lậpphương, hình chóp và thêm một số yếu tố nhằm giúp học sinh nhận dạng tốt vị trítương đối của các đối tượng

Loại 2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, xác định

giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng.

Bài toán xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng và giao tuyếncủa hai mặt phẳng quy về bài toán xác định giao điểm của đường thẳng với đườngthẳng tức là vận dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Muốn HS có thể thựchiện giải quyết tốt loại toán này, HS cần thành thạo, nắm vững các vị trí tương đốicủa 2 đường thẳng trong không gian (Nắm vững loại toán 1)

Ví dụ 8 Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2 PD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng(MNP)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)

S M

a) Tìm giao điểm S của CD và (MNP) 

Như vậy bài toán quy về việc tìm a trong (MNP) và a cắt CD Rõ ràng rằng

a và CD cùng thuộc một mặt phẳng Khi đó học sinh sẽ quan sát những mặt phẳngchứa CD và nhận ra đường thẳng a đó chính là NP

 S = NP  CD

Lưu ý ở đây trong quá trình hướng dẫn học sinh làm bài GV cần đưa ra một

số dấu hiệu nhận biết về mối quan hệ giữa hai đoạn thẳng như: đó là các đường đặcbiệt trong tam giác như đường cao, đường trung tuyến, ….Ngoài ra cần lưu ý đếncác tỉ lệ trong tam giác đề từ đó đưa ra kết luận về vị trí tương đối của các đoạnthẳng trong tam giác

Bài toán xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng thực chất là bài toán xácđịnh 2 giao điểm Tuy nhiên ở bài toán này học sinh sẽ gặp khó khăn trong việcxác định 2 cặp đường thẳng cắt nhau mà không có sự định hướng trước một tronghai đường thẳng Ở bài toán này, HS đã tìm được giao điểm S, mà giao điểm nàylại thuộc 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng, do vậy học sinh chỉ cần đi tìmgiao điểm còn lại

Dễ dàng nhận thấy giao điểm thứ 2 là M

 (MNP)  (ACD) = MS

Loại 3 Chứng minh 3 véctơ đồng phẳng, đường thẳng cùng nằm trong

một mặt phẳng, 4 điểm cùng thuộc một mặt phẳng.

Khái niệm 3 véctơ đồng phẳng: Trong không gian 3 véctơ được gọi là đồng

phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

Đối với khái niệm nằm cần làm rõ cho HS hiểu giá của các đường thẳng đócùng song song với một mặt phẳng để tránh trường hợp nhầm lẫn rằng 3 đườngthẳng hoặc 3 véctơ đó cùng nằm trong một mặt phẳng

GV cần hình thành cho HS tri thức phương pháp về cách chứng minh 3véctơ đồng phẳng : Chứng minh 3 véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.Hướng dẫn để HS phát hiện ra được việc chứng minh 3 véctơ đồng phẳng tươngđương chứng minh 3 đường thẳng thuộc cùng một mặt phẳng hay 4 điểm thuộccùng một mặt phẳng.

Dạng toán này vận dụng khái niệm “3 véctơ đồng phẳng” tuy nhiên cũngđòi hỏi HS phải nắm vững các kiến thức về quan hệ song song, cũng như các tínhchất trong mặt phẳng

Ví dụ 9 Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên

đoạn SA lấy điểm M sao cho MS  2MA

và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho

AB MN SC

Loại 4 Xác định góc giữa hai véctơ, xác định góc giữa hai đường thẳng.

Định nghĩa góc giữa hai véctơ:

Trong không gian, cho uvà vlà hai véctơ khác véctơ không Lấy một điểm

A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB u AC v               ,  

Khi đó ta gọi góc

 (0o  180 )o

BAC BAC  là góc giữa hai véctơ u và vtrong không gian, kí hiệu là(u v , )

Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ trong không gian.

Trong không gian cho hai véctơ uvà vđều khác véctơ – không Tích vôhướng của hai véctơ uvà vlà một số, kí hiệu là u.v, được xác định bởi công thức:

.cos( , )

u v u v  u v 

Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng :

Góc giữa ha đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đườngthẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng: 0o   90o

Đối với loại toán này, HS cần nắm được mối quan hệ giữa hai khái niệm

góc giữa hai véctơ; góc giữa hai đường thẳng đồng thời nhằm mục đích giúp HS

thành thạo cách xác định góc giữa hai véctơ và công thức, phân biệt sự khác nhaugiữa góc giữa hai véctơ và góc giữa hai đường thẳng chứ không nặng về độ khókhăn của bài tập Hoạt động này làm tiền đề để HS dùng công cụ véctơ chứngminh hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 10 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

và OA = OB = OC = 1 Gọi M là trng điểm của cạnh AB Tính góc giữa hai đườngthẳng OM và BC

M B

A

C

O

Đối với dạng toán này, ta luôn viết biểu thức tính góc để xem xét các yếu tốnào đã biết, yếu tố nào chưa biết.

Ở đây GV cần giúp HS phân biệt rõ góc giữa hai véctơ và góc giữa haiđường thẳng, nếu không HS sẽ rất dễ nhầm lẫn và kết luận góc giữa 2 đường thẳng

là 120o

Loại 5 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc là trường hợp trong bàitoán tính góc giữa hai đường thẳng Tuy nhiên về bản chất HS đã có đích là chứngminh góc giữa hai véctơ bằng 900

Ví dụ 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có

ASB BSC CSA  Chứng minh rằng SA  BC; SB  AC; SC  AB

Loại 6 Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt

phẳng.

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ()

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì ta nói rằng gócgiữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng 90o.

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng () thì gócgiữa d và hình chiếu d’ của nó trên () gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng()

Nếu gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () thì:

0o   90o

Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông gócvới hai mặt phẳng đó

Trong loại toán này chủ yếu quan tâm tới bài toán đường thẳng đã chokhông vuông góc với mặt phẳng (), do đó HS cần nắm rõ xác định góc giữađường thẳng và mặt phẳng là xác định góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của

nó trên mặt phẳng đó Góc giữa hai mặt phẳng cũng quy về xác định góc giữa haimặt phẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng

Ví dụ 12 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng

2a

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

b) Tính góc giữa mặt bên và đáy

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai đường thẳng

O N

Đây là bài toán yêu cầu HS phải nắm vững các đặc điểm của hình chóp đều: các cạnh bên tạo với đáy những góc bằng nhau, các mặt bên tạo với mặt đáy cácgóc bằng nhau, hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy.

Từ đặc điểm của hình chóp đều dễ dàng tính được góc tạo bởi các cạnh bên

c) Góc giữa mặt bên và đáy

Gọi M là trung điểm của AC, theo tính chất cảu hình chóp đều khi đó ta có:

Loại 7 Xác định khoảng cách giữa điểm đến mặt phẳng, điểm đến

đường thẳng, khoảng cách giữa đường thẳng đến mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Trong loại toán này, việc xác định khoảng cách điểm đến đường thẳng,khoảng cách giữa đường thẳng đến mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song songđều quy về xác định góc giữa điểm đến mặt phẳng và quan tâm tới bài toán quantrọng là khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau Đối với bài toán xác địnhkhoảng cách HS cần có vốn kiến thức về quan hệ vuông góc vững.

1.3 Dạy học khái niệm Toán học.

1.3.1 Đại cương về khái niệm và định nghĩa khái niệm.

1.3.1.1 Khái niệm.

Trong quá trình dạy học môn Toán hệ thống khái niệm đóng vai trò quantrọng, là nền tảng cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề đểhọc sinh vận dụng vững chắc và sáng tạo các kiến thức đã học, có tác dụng lớn đến

sự phát triển của học sinh

Có rất nhiều quan điểm khác nhau về khái niệm Theo Hoàng Chúng thìkhái niệm là một hình thức tư duy lý luận khái quát, trong quá trình lĩnh hội kháiniệm học sinh cần vận dụng và phát triển các thao tác tư duy như phân tích, tổnghợp so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá

Theo [14] Khái niệm là một dạng của tư duy, trong đó nó phản ánh nhữngtính chất cơ bản (đặc trưng) của các đối tượng nghiên cứu Khái niệm được coi làđúng nếu nó phản ánh đúng những sự vật, hiện tượng tồn tại trong thực tế Kháiniệm được diễn tả bằng lời trong một sự thoả thuận có ý nghĩa nào đó và cuối cùng(đặc biệt là trong Toán học) được thể hiện bằng một từ ngữ và ký hiệu được thểhiện bằng một từ ngữ và ký hiệu được xác định một cách nghiêm ngặt

Theo [1]: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng

và do đó một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện : bản thân lớp

đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này gọi là nội hàm của khái niệm đó

Ví dụ 13: Cho mặt phẳng () và đường thẳng  cắt () Với mỗi điểm M

trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng  sẽ cắt () tại

điểm M’ xác định Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt

phẳng () theo phương của đường thẳng 

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của

nó trên mặt phẳng () được gọi là phép chiếu song song lên () theo phương 

Như vậy ngoại diên của khái niệm : Tất cả các kiểu phép chiếu song song.Nội hàm của khái niệm: - Phương chiếu và mặt phẳng chiếu;

- Xác định hình chiếu song song M’ của M;

Ngoại diên của khái niệm: Tất cả các kiểu phép chiếu vuông góc

Nội hàm của khái niệm: - Phép chiếu song song;

- Phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.Như vậy ta có thể hiểu ngoại diên là tập hợp tất cả các đối tượng thoả mãnđịnh nghĩa khái niệm, còn nội hàm là tập hợp những thuộc tính bản chất của kháiniệm

Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ có tính quy luật: nội hàm càngđược mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp, và ngược lại Đây là định nghĩa vềkhái niệm rõ ràng nhất, giúp ta có thể hiểu rõ được bản chất của một khái niệm vàđược sử dụng khá phổ biến

Thật vậy, từ ví dụ trên ta thấy khi nội hàm của khái niệm phép chiếu songsong được mở rộng (mở rộng điều kiện phương của đường thẳng  vuông góc vớimặt phẳng ()) khi đó phép chiếu này được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặtphẳng () Trường hợp này phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt củaphép chiếu song song hay ngoại diên đã bị thu hẹp

Việc định nghĩa khái niệm thông qua ngoại diên và nội hàm giúp học sinhcũng như giáo viên có sự xâu chuỗi và liên hệ giữa các khái niệm về các đối tượngđồng thời hình thành khả năng so sánh, đối chiếu, khắc sâu các khái niệm nhờ việcxâu chuỗi các khái niệm Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của

ngoại diên của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là khái niệm chủng của B, còn khái niệm B gọi là một khái niệm loại của A.

Ví dụ 14 Minh hoạ về khái niệm chủng và loại

Hình lăng trụ đứng

Ngoại diên của khái niệm : Tập hợp tất cả các hình lăng trụ đứng

Nội hàm của khái niệm : Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Hình hộp đứng

Ngoại diên của khái niệm : Tập hợp tất cả các hình hộp đứng

Nội hàm của các khái niệm: - Lăng trụ đứng

1.3.1.2 Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt lớp đốitượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác thường bằng cách vạch ra nộihàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc:

Từ mới (biểu thị

khái niệm mới )

(Những ) từ chỉ miền đối

tượng đã biết (loại)

Tân từ (diễn tả khác biệt

về chủng)

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm.

Trong việc dạy học toán, cũng như ở việc dạy học bất cứ một khoa học nào

ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắccho học sinh một hệ thống khái niệm Khái niệm có một vai trò nền tảng Việchình thành các khái niệm là tiền đề để tạo nên khả năng vận dụng hiệu quả các kiếnthức đã học, đồng thời góp phần phát triển trí tuệ và thế giới khách quan duy vậtbiện chứng cho học sinh

Việc dạy học khái niệm ở các trường phổ thông phải đạt được những yêucầu sau (theo [1])

1 Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

2 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng chotrước có thuộc phạm vi một khái niệm đó hay không, đồng thời biết thể hiện kháiniệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

3 Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

4 Biết vận dụng các khái niệm trong những trường hợp cụ thể trong hoạtđộng giải toán và ứng dụng thực tiễn

5 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệmvới những khái niệm khác trong cùng một hệ thống khái niệm

Đây là những yêu cầu bắt buộc phải đạt được trong quá trình dạy học kháiniệm Việc yêu cầu học sinh phát biểu chính xác toàn bộ khái niệm là không khảthi đối với học sinh Một học sinh có thể không phát biểu được định nghĩa tuynhiên lại có thể giải quyết một vấn đề liên quan đến khái niệm, như vậy khi dạyhọc khái niệm chỉ cần yêu cầu học sinh nắm được những tính chất cơ bản nhất, đặctrưng nhất của khái niệm đó và phân biệt được với các đối tượng khác Đối với một

số khái niệm chương trình không yêu cầu học sinh nêu định nghĩa một cách tườngminh mà chỉ cần hiểu khái niệm dựa vào hình ảnh trực quan và kinh nghiệm sốngnhư khái niệm về “phương”; “chiều” của véctơ

Ví dụ 15 : Học sinh có thể hoàn toàn không thể phát biểu một cách chính

xác khái niệm thế nào là hình chóp, tuy nhiên lại có thể rất thành thạo trong việc

biểu diễn hình chóp, giải quyết các bài toán về hình chóp Nguyên nhân là do họcsinh đã nắm được những nét cơ bản nhất : hình dáng, cách gọi tên, các đặc điểmnhư mặt bên, mặt đáy….

Việc phân loại khái niệm trong một hệ thống khái niệm có tác dụng rất lớn,

nó không chỉ giúp học sinh khắc sâu về khái niệm mà nó còn giúp học sinh hìnhthành khả năng phân tích, so sánh, phát hiện một vấn đề Do đó, trong quá trìnhdạy học trong những khái niệm cần thiết có thể tập cho học sinh so sánh các kháiniệm, lập sơ đồ các khái niệm nhằm biểu thị mối quan hệ giữa các khái niệm đó

Ví dụ 16 So sánh hai khái niệm : hình chóp có đáy là đa giác đều và hình

chóp đều

1.3.3 Các con đường tiếp cận khái niệm.

Theo [1] con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và

tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ

mô tả, giải thích hay chỉ thông qua trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượnghoặc một tình huống có thể thuộc về khái niệm đó hay không Có nhiều người

Hình chóp đều

Chân đường cao trùng với tâm đáy

chưa phân biệt một cách rõ ràng sự khác nhau giữa “tiếp cận khái niệm” và “hìnhthành khái niệm” Hoạt động tiếp cận khái niệm là một khâu trong quá trình hìnhthành khái niệm và nó là khâu đầu tiên trong quá trình hình thành một khái niệmnào đó, hình thành khái niệm còn bao gồm cả việc vận dụng khái niệm để giảiquyết những vấn đề khác nhau trong khoa học đời sống, do vậy một khái niệm cóthể hình thành theo nhiều cách khác nhau nhưng phải đảm bảo về mặt nội dung củakhái niệm và đảm bảo các yêu cầu.

Trong quá trình dạy học, có thể tiếp cận khái niệm theo nhiều cách khácnhau, tuy nhiên người ta phân biệt chủ yếu ba con đường tiếp cận khái niệm:

- Con đường suy diễn

- Con đường quy nạp

- Con đường kiến thiết

1.3.3.1 Con đường suy diễn.

Hình thành khái niệm theo con đường suy diễn tức là ta đi ngay vào kháiniệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm nào đó mà học sinh đãđược học

Ví dụ 17 Hình thành khái niệm phép chiếu vuông góc từ khái niệm phép

chiếu song song, bằng cách đặc biệt hoá phương của đường thẳng  (phương củađường thẳng  vuông góc với mặt phẳng ()

Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn:

i) Xuất phát từ khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một

số đặc điểm mà ta quan tâm

ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và địnhnghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chếmột bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

iii) Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh hoạ cho khái niệm đó

Như vậy ta có thể viết quá trình này theo sơ đồ sau đây :

Khái niệm đã

biết

Bổ sung các đặc điểm mới vào nội hàm của khái niệm đã biết

Khái niệm mới

Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Từ sơ đồ này ta có thể hình thành khái niệm phép chiếu vuông góc nhưsau:

Nhận dạng và thể hiện khái niệm phép chiếu vuông góc:

Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’

1 Hãy chọn đáp án đúng trong các mệnh đề sau:

a) Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng chiếu (A’B’C’D’) làA’;

Phép chiếu song song

Phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu

Phép chiếu vuông góc

Bài tập nhận dạng và thể hiện

(ví dụ minh hoạ)

b) Hình chiếu song song của AD’ trên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phươngBC’ là A’D’;

c) Hình chiếu vuông góc của AB’ trên (A’BCD’) là điểm O trong đó O làtrung điểm của A’B;

d) AD là hình chiếu vuông góc của BC trên mặt phẳng chiếu (ADD’A’);A’D’ là hình chiếu song song của BC trên mặt phẳng chiếu (ADD’A’)

2 Tìm hình chiếu vuông góc của BC trên mặt phẳng (A’BCD’)

Việc hình thành khái niệm theo con đường này không phải khái niệm nàocũng thực hiện được và mỗi một con đường đều có ưu, nhược điểm khác nhau Đốivới việc tiếp cận khái niệm theo con đường này có:

- Ưu điểm: Tiết kiệm thời gian; thuận lợi cho học sinh tập dượt khả năng

1.3.3.2 Con đường quy nạp.

Hình thành khái niệm theo con đường quy nạp tức là : xuất phát từ nhữngđối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình, hình vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phântích, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của mộtkhái niệm thể hiện trong những ví dụ cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tườngminh hay sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu

Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp:

i) Lấy những ví dụ cụ thể để học sinh thấy được sự tồn tại hoặc tác dụngđặc điểm đặc trưng của một loạt đối tượng

ii) Dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, nêu bật những đặc điểm chung vàcác đối tượng đang được xem xét Điều khiển, hướng dẫn học sinh so sánh đặcđiểm này với các đối tượng không có những đặc điểm trên

iii) Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêutên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm.

Ví dụ 18 Hình thành khái niệm hai đường thẳng vuông góc

Bước 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Các cặp đường thẳng này

có gì đặc biệt

HS: Vuông góc với nhau

Bước 2 Bằng phần mềm Sketchpad hãy xác định góc giữa các đường

thẳng AB và AA’; AD và CC’; AB’ và D’C

HS: Góc tạo bởi các cặp đường thẳng này đều bằng 90o

Bước 3 Khái niệm

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

90o

Ưu điểm: Thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho học nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa

Nhược điểm:Con đường này đòi hỏi tốn kém thời gian trong khi thời giantrên lớp bị hạn chế, vì vậy không phải bao giờ cũng có thể thực hiện được

Con đường quy nạp thường sử dụng trong những điều kiện sau:

- Chưa phát hiện đựoc khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho conđừờng suy diễn

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệmcần hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phương pháp quy nạp

1.3.3.3 Con đường kiến thiết.

Các đối

tượng cụ thê

Các nét đặc trưng từ đối tượng

Khái niệm

Con đưòng kiến thiết trong dạy học khái niệm được đề cập đến đầu tiêntrong những bài giảng của Pietzsch, con đường này mang cả những yếu tố của quynạp lẫn suy diễn.

Quy trình dạy học khái niệm theo con đường kiến thiết:

i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hìnhthành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán họchay từ thực tiễn

ii) Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặcđiểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

iv) Phát biểu định nghĩa được gợi ý ở bước ii)

Ví dụ 19 Hình thành khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Bước 1: Các đối tượng cụ thể

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

Hãy so sánh khoảng cách d(A; (A’B’C’D’)) và d(D; (A’B’C’D’)); d(D; (ABB’A’)) và d(C’; (ABB’A’)) Trong đó M là điểm bất kì thuộc AD

Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa AD và (A’B’C’D’); DC’ và(ABB’A’)

A' D

M

Lấy điểm M bất kì trên AD, so sánh d(M; (A’B’C’D’)) và d(A;((A’B’C’D’)) ?

Khoảng cách này bằng nhau

Bước 2 Khái quát hoá xây dựng đối tượng đại diện.

Cho đường thẳng a bất kì song song với mặt phẳng (P) Trên đường thẳng alấy 2 điểm A, B Hãy so sánh d(A; (P)) và d(B; (P))

Bước 3 Đưa ra khái niệm

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a làkhoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)

Ở quy trình dạy học trên ta có thể nhận ra yếu tố suy diễn: xuất phát từnhững yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cầnhình thành

Yếu tố quy nạp : Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đạidiện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổn quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

Đối với con đưòng dạy học khái niệm này, nó có tác dụng khá tốt trongviệc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và rèn luyện cho học sinhkhả năng giải quyết các vấn đề Giúp học sinh thấy được nguồn gốc, bản chất củacác vấn đề đó Tuy nhiên con đưòng này có nhược điểm giống con đường quy nạp

đó là tốn nhiều thời gian Do vậy con đường này chỉ sử dụng trong những kháiniệm quan trọng, đòi hỏi học sinh phải hiểu được bản chất các vấn đề

Con đường này thường được sử dụng trong những khái niệm:

- Học sinh chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên kháiniệm, do đó con đường quy nạp không thích hợp

- Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với kháiniệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đưòng suy diễn

1.3.4 Những hoạt động củng cố khái niệm.

Rất nhiều quan niệm cho rằng quá trình dạy học khái niệm kết thúc ngaykhi học sinh phát biểu được khái niệm mới Đó là một quan nịêm hết sức sai lầm,quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được khái niệm đó mà