Một phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian luận văn tốt nghiệp đại học

15 2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán giá trị biên không địa phương.. Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạcđược trực tiếp mà ta phảixác định chúng từ những

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ 6

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm 6

1.2 Không gian Sobolev 8

Chương 2:Một phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian 15

2.1 Giới thiệu bài toán 15

2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán giá trị biên không địa phương 17

2.3 Chỉnh hóa bài toán 29

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trongnhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lýảnh, Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạcđược trực tiếp mà ta phảixác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp.

Trong Khóa luận này,chúng tôiđề cập tớiphương trình parabolic phituyến

ngược thời gian Đó là bài toán cho phương trình parabolic phi tuyến khi điềukiện ban đầu không được biết mà ta phảixác định nó khibiết điều kiện cuối

cùng

Bài toán kể trên đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard J.S Hadamard (1865

- 1963) là người đầu tiên chia các phương trình đạo hàm riêng thành hailoại:

Bài toán đặt chỉnh và Bài toán đặt không chỉnh Một bài toán được gọi là đặt

chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c)

nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bàitoán

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn thìta nói rằng bài

toán đặt không chỉnh

Tính đặt không chỉnh của bàitoán trên làm cho việc tìm lờigiải gặp nhiều

khó khăn Để xấp xỉ một cách ổn định tới nghiệm của bài toán, ta cần đề xuấtcác phương pháp chỉnh hóa Như chúng ta đã biết, có khá nhiều phương phápchỉnh hoá bài toán trong trường hợp tuyến tính như phương pháp tựa đảo [11],phương pháp phương trình Sobolev [5,6, 10,14],phương pháp nhiễu phương

trình [13], phương pháp chỉnh hóa Tikhonov [18], phương pháp bài toán giá trịbiên không địa phương [1, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 15] Song không phải phương phápnào ứng dụng được cho bài toán tuyến tính cũng ứng dụng được cho bài toánphi tuyến.Nhìn chung,bài toán phituyến khó giảiquyết hơn bàitoán tuyến

2

tính Trên thực tế,có rất ít kết quả về việc chỉnh hóa phương trình parabolic

phi tuyến ngược thờigian.Một vàiphương pháp chỉnh hóa có thể kể ra như

phương pháp phương trình Sobolev,phương pháp phương trình tích phân,

Trong [19], các tác giả Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân đã xấp xỉ bài toán

Tương tự như vậy,trong bàibáo [20],bằng phương pháp phương trình tích

phân, các tác giả thu được kết quả

Chúng tôinhận thấy rằng,các phương pháp của Đặng Đức Trọng cho tốc độ

hội tụ rất tốt Tuy nhiên giả thiết áp đặt lên nghiệm quá mạnh

Gần đây, trong một số công trình của mình [7, 8, 9], Đinh Nho Hào và NguyễnVăn Đức đã ứng dụng thành công phương pháp bài toán giá trị biên không địaphương cho cả phương trình parabolic và eliptic tuyến tính.Câu hỏitự nhiên

được đặt ra là có thể mở rộng các kết quả này cho trường hợp phi tuyến đượchay không?

Trong Khóa luận này, chúng tôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho một trườnghợp đặc biệt khinguồn phituyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz vớihệ số Lip-

schitz không quá lớn.Cụ thể chúng tôinghiên cứu bàitoán sau đây.ChoH

là không gian Hilbert với tích vô hướngh·, ·ivà chuẩnk · k Xét phương trình

parabolic phi tuyến ngược thời gian dạng

u t + Au = f (t, u(t)), 0 < t < T,

với ràng buộc

trong đóA là toán tử dương, không bị chặn, tự liên hợp vàE > > 0 là các số

thực đã biết,ϕ là một hàm thuộcH vàf thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kf (t, w1) − f (t, w2)k 6 kkw1− w2k

với hằng số0 ≤ k < √1

3T không phụ thuộc vàot, w1, w2.

Chúng tôi xấp xỉ bài toán (3)–(4) bởi bài toán giá trị biên không địa phương

Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ

Chương 2: Một phương pháp chỉnh hóa nghiệm của phương trình parabolic

phi tuyến ngược thời gian

- Kết luận

- Tài liệu tham khảo

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức liên quan bổ trợ chonội dung phần chương 2, cụ thể là trình bày một số kiến thức về giải tích hàm

và về không gian Sobolev

Trong chương 2, chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh hóa nghiệm củaphương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian dạng (3)–(4)

Vì thời gian không nhiều và khả năng của bản thân còn hạn chế nên khóaluận chắc hẳn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được

sự góp ý của quý thầy cô và các bạn

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm củathầy giáo,TS Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ

Giải tích,khoa Toán - trường Đạihọc Vinh cùng vớigia đình và bạn bè.Tác

giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức - người

đã dành cho tác giả sự quan tâm giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Cuối cùng,tác giả xin gửilời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán,các

thầy cô trong khoa Toán - Trường Đạihọc Vinh đã trang bịnhững kiến thức

và kinh nghiệm bổ ích cho tác giả trong suốt 4 năm học,xin cảm ơn tập thể

lớp 48A - Toán đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập vàhoàn thành khóa luận của mình

Vinh, năm 2011Tác giả

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1 Không gian Banach

Cho X là không gian tuyến tính thực

Định nghĩa 1.1 Ánh xạkk : X → R được gọi là chuẩn nếu

(i) kuk > 0,∀u ∈ X;

(ii) kuk = 0 ⇔ u = 0;

(iii) kλukuk = |λ|kuk,λuk|λ|kuk,kuk,∀u ∈ X, λuk ∈ R;

(iv)ku + vk 6 kuk + kvk, ∀u, v ∈ X

Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định

chuẩn.

Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ.

1.1.2 Không gian Hilbert

Cho H là không gian tuyến tính thực

Định nghĩa 1.2.

1 Ánh xạh·, ·i : H × H → R được gọi là tích vô hướng nếu

(i) hu, vi = hv, ui , ∀u, v ∈ H ;

(ii) ánh xạu 7→ hu, vilà tuyến tính với mọiv ∈ H;

(iii) hu, ui > 0;

(iv)hu, ui = 0 ⇔ u = 0

Không gian Hilbertlà một không gian Banach vớichuẩn được sinh ra bởimột tích vô hướng.

2 (i) Hai phần tửu, v ∈ H là trực giao nếu hu, vi = 0;

(ii) Một cơ sở đếm được{w k } k>1 ⊂ H là một cơ sở trực chuẩn, nếu

a.Toán tử tuyến tính trong không gian Banach

ChoX vàY là các không gian Banach thực

Định nghĩa 1.3.

(i) Ánh xạA : X → Y gọi là toán tử tuyến tính nếu

A(λuku + µv) = λukAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λuk, µ ∈ R.

(ii) Toán tử tuyến tínhA : X → Y là bị chặn nếu

kAk := sup{kAuk Y |λ|kuk,kuk X 6 1} < ∞.

b Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướngh., i

(ii) A là tự liên hợp nếuA ∗ = A.

Định lý 1.5 Giả sửA : H → H là toán tử tự liên hợp thì

(i) Giá trị riêng củaA là số thực;

(ii) Các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao

1.1.4 Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động.

Định nghĩa 1.6 Cho một không gian metricX bất kỳ Một ánh xạP từX vào

bản thân nó gọi là ánh xạ co, nếu có một số θ < 1sao cho với mọix1, x2 ∈ X

ta có

ρ(P (x1), P (x2)) 6 θρ(x1, x2),

trong đóρlà metric của không gian metricX

Trong một phép ánh xạ từX vào chính nó có thể có những điểm mà ảnhcủa nó trùng vớichính nó:những điểm như thế,tức là những điểmx sao cho

Định lý 1.7 Mọi ánh xạ co P từ một không gian metric đủ X vào bản thân

nó đều có một điểm bất động duy nhất.

1.2 Không gian Sobolev

1.2.1 Không gian C k(Ω)

Ta có các định nghĩa và các ký hiệu sau

Định nghĩa 1.8.

(i) C k(Ω) là tập hợp tất cả các hàm xác định trênΩ sao cho đạo hàm đến

cấpk tồn tại và liên tục trênΩ

0 (Ω) = ∩ ∞

k=1 C k

0(Ω), là tập hợp tất cả các hàm khả vivô hạn vớigiácompact nằm trongΩ

(vi)C k(Ω) là tập hợp các hàm có đạo hàm đến cấpk, kể cảk trongΩ, liên

tục trênΩ

1.2.2 Không gian L p

Trong không gian định chuẩn có một lớp không gian Banach đặc biệt quantrọng, đó là không gianL p

Định nghĩa 1.9 Cho một không gianΩ và một độ đo µ trên một σ - đại số F

các tập con củaΩ Họ tất cả các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p, (1 6 p < ∞)

của modun khả tích trênΩ, có nghĩa là

Z

Ω

|λ|kuk,f |λ|kuk, p dµ < +∞

gọi là không gian L p (Ω, µ)

Khi Ω là một tập đo được Lebesgue trongRn vൠlà một độ đo Lebesgue,thì ta viếtL p (Ω).

Tập hợpL p (Ω, µ)là một không gian vectơ định chuẩn với phép toán thôngthường về cộng hàm số, nhân hàm số với số và với chuẩn

kf k p=



Z

Định lý 1.10 Giả sửΩ là một miền trongRn , 1 6 p < ∞ Khi đó ta có các

tính chất sau

(i) Không gianL p(Ω) là một không gian vectơ định chuẩn đủ (không gianBanach)

(ii) Tập hợp tất cả các hàm liên tục trongΩ với giá compact trù mật trong

không gianL p(Ω)

(iii) (Tính khả ly) Tồn tạimột tập con đếm được các phần tử của khônggianL p(Ω)sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trongL p (Ω).

1.2.3 Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.11 Giả sửΩ là một miền trongRn Một hàmu(x) ∈ L p(Ω)

được gọi là đạo hàm suy rộng cấpαv của hàmv(x) ∈ L p(Ω)nếu:

(i) Một đạo hàm suy rộng cấpαv củav nếu tồn tạithì được xác định duy

nhất (sai khác trên một tập có độ đo không)

(ii) Nếuf ∈ C |λ|kuk,αv|λ|kuk,(Ω)thìf có đạo hàm suy rộng cấpαv và

(iv) Một hàm có đạo hàm thông thường (đạo hàm theo nghĩa cổ điển) cấp

αv thì có đạo hàm suy rộng cấpαv nhưng điều ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ 1.13 Xét hàm sốf (x) = |λ|kuk,x|λ|kuk,trên khoảng(−1, 1)

* f (x)có đạo hàm thông thường tại mọix 6= 0;

* Tạix = 0không tồn tại đạo hàm

Ta sẽ chứng minhf (x) = |λ|kuk,x|λ|kuk,có đạo hàm suy rộng trên khoảng(−1, 1)

Như vậy, hàmf (x) = |λ|kuk,x|λ|kuk,không có đạo hàm thông thường trên(−1, 1)nhưng

có đạo hàm suy rộng trên khoảng đó

(v) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấpαv trong miềnΩ thì nó cũng có đạo

hàm suy rộng cấpαv trong miềnΩ0 ⊂ Ω

(vi) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộngD αv vđược xác định ngay

với cấpαv mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứng tồn tại.Các đạo hàm cấp thấp hơn có thể không tồn tại

1.2.4 Không gian Sobolev

Một không gian phiếm hàm được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trìnhđạo hàm riêng là không gian Sobolev Sobolev S.L đã xây dựng không gian nàyvào giữa thế kỷ 20 và từ đó đến nay, nhiều nhà toán học khác đã tiếp tục mởrộng và phát triển để nghiên cứu những bài toán phương trình đạo hàm riêngngày càng phức tạp

Định nghĩa 1.14.Chok là số nguyên không âm,p là số thực thỏa mãn

1 6 p 6 ∞ Ta định nghĩa:

a.W k

p(Ω) là tập hợp tất cả các hàmu ∈ L p(Ω) sao cho vớimỗiđa chỉsố

αv, |λ|kuk,αv|λ|kuk, 6 k, đạo hàm suy rộngD αv utồn tại và thuộc vàoL p (Ω).

p(Ω) là một không gian Banach

Định nghĩa 1.16 Không gianW k

2.L2(Ω) là không gian Hilbert suy raW k

2(Ω) cũng là không gian Hilbert

Trong trường hợp này, để thuận lợi người ta ký hiệu

H k (Ω) = W2k (Ω), k = 0, 1,

Hệ quả 1.20 Không gianH k

0(Ω)là không gian Hilbert với tích vô hướngh·, ·i k

1.2.5 Không gian phụ thuộc thời gian

Cho X là không gian Banach thực với chuẩnk · k

Định nghĩa 1.21.Không gian

Định nghĩa 1.22.Không gian

C([0, T ]; X)

bao gồm tất cả các hàm liên tụcu : [0, T ] → Xvới

kuk C([0,T ];X):= max

t∈[0,T ] ku(t)k < ∞.

Định nghĩa 1.23 Chou ∈ L1([0, T ]; X) Ta nói rằngv ∈ L1([0, T ]; X)là đạohàm suy rộng củauvà viếtu 0 = v, nếu:

(

kuk W1([0,T ];X)= R0T ku(t)k p + ku 0 (t)k p dt

1

p , (1 6 p < ∞) esssup t∈[0,T ] (ku(t)k + ku 0 (t)k), (p = ∞).

(ii) Ta viết

H1([0, T ]; X) = W21([0, T ]; X).

Định lý 1.25.Chou ∈ W1

p ([0, T ]; X)với1 6 p 6 ∞ Khi đó(i) u ∈ C([0, T ]; X), và

(ii) u(t) = u(s) +Rt

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN

Trong chương này,chúng tôichỉnh hoá phương trình parabolic phituyếnngược thời gian

3T không phụ thuộc vàot, w1, w2

bằng bài toán giá trị biên không địa phương

v t + Av = f (t, v(t)),0 < t < T,

αvv(0) + v(T ) = ϕ,0 < αv < 1.

Chúng tôi chứng minh rằng nếuαv =

E thì tồn tại một hằng sốC > 0sao choku(·, t) − v(·, t)k 6 C t/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ].

2.1 Giới thiệu bài toán

ChoH là không gian Hilbert với tích vô hướngh·, ·ivà chuẩnk · k,A : D(A) ⊂

15

compact{S(t)} t>0trênH Giả sử < E là haihằng số dương cho trước.Với

số thực dươngT, xét bài toán tìm hàmu : [0, T ] → Hthỏa mãn

Chúng tôi giả sử rằngA có một cơ sở vectơ riêng trực chuẩn{φ i } i>1 trong

H, tương ứng với các giá trị riêng{λuk i } i>1sao cho

0 < λuk1< λuk2< ,và lim

i→+∞ λuk i = +∞. (2.3)Ngoài ra ta giả thiết thêmf thoả mãn điều kiện Lipschitz

với hằng số0 ≤ k < √1

3T không phụ thuộc vàot, w1, w2.

Ta biến đổi bài toán (2.1) thành phương trình tích phân có dạng

2.2 Tính đặt chỉnh của bài toán (2.6)

Trong phần này,chúng tôinghiên cứu tính tồn tại,tính duy nhất và tính ổn

định của nghiệm yếu của bài toán (2.6) Cụ thể, chúng ta có

2.2.1 Định lý Nếu ϕ ∈ H và f thoả mãn (2.4) thì bài toán (2.6) có nghiệm

yếu duy nhất v ∈ C([0, T ]; H) ∩ C1(0, T ; H) thoả mãn (2.7) với 0 < αv < 1

Hơn nữa, nghiệm phụ thuộc liên tục vào ϕ thuộc H

Chứng minh.Chúng tôichia chứng minh thành 3 bước.Trong bước 1,chúng

tôi chỉ ra rằng bàitoán (2.6) tương đương vớibài toán (2.7).Trong bước 2,

chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của (2.7) Cuối cùng,trong bước 3, chúng tôi chứng minh tính ổn định của nghiệm

Bước 1 Chứng minh (2.6) tương đương với (2.7) Ta chia bước này thành hai

Phần B Nếuvthoả mãn (2.6) thìvlà nghiệm của (2.7).

Thực tế, lấy tích trong ở phương trình đầu của (2.6) đối vớiφ n, ta có

Thay (2.9) vào phương trình thứ hai của (2.6), ta thu được

Như vậy,vlà nghiệm của (2.7) Hoàn thành chứng minh bước 1.

Bước 2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của (2.7).

ở đâyC= max{T,1} và|λ|kuk,k.k|λ|kuk,là chuẩn supremum trongC([0, T ]; H) Ta sẽ chứngminh bất đẳng thức cuối cùng bằng quy nạp Thật vậy

Hoàn thành chứng minh bước 2.

Bước 3 Nghiệm của bài toán (2.6) phụ thuộc liên tục vàoϕ trongH

Để chứng minh bước này, ta cần các bổ đề sau

2.2.2 Bổ đề Nếu x, y là hai số không âm và q là một số dương, khi đó

x + qy > (q + 1)x 1/(q+1) y q/(q+1)

Chứng minh.Ta sử dụng bất đẳng thức Young: Giả sử u, vlà các số không âm

vàm, nlà các số dương sao cho1

T −t T

ϕ ở trongH.

Giả sửv1 vàv2 là hai nghiệm của (2.6) tương ứng với các giá trị cuốiϕ1 và

ϕ2

Hoàn thành chứng minh bước 3.

Định lý được chứng minh hoàn toàn

2.3 Chỉnh hóa bài toán(2.1)–(2.2)

2.3.1 Định lý Giả sử ϕ , f , v giống như Định lý 2.2.1 Nếu bài toán (2.1)–(2.2)

có một nghiệm yếu u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C1([0, T ]; H) , w là nghiệm của bài toán

w t + Aw = f (t, v(t)),0 < t < T,

αvw(0) + w(T ) = u(T ), 0 < αv < 1 thì khi đó

t T

√ M

αv t−s T |λ|kuk,f n (u)(s) − f n (w)(s)|λ|kuk,ds

⇒ |λ|kuk,u n (t) − w n (t)|λ|kuk, 6 αv T t |λ|kuk,u n (0)|λ|kuk,

√ M

√

1 − 2T2k2,

với mọit ∈ [0, T ]vàM = 2ku(0)k2

Hoàn thành chứng minh Định lý 2.3.1

2.3.2 Định lý Nếu u(t) là nghiệm của bài toán (2.1)–(2.2) và v(t) là nghiệm

của bài toán (2.6), khi đó ta có

√ M

√

1 − 2T2k2 6 CEαv T t , ∀t ∈ [0, T ].

2.3.3 Định lý Nếu u(t) là nghiệm của bài toán (2.1)–(2.2) và v(t) là nghiệm

của bài toán (2.6) với αv = E , khi đó với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá

KẾT LUẬN

Kết quả đạt được trong Khóa luận này là :

- Chứng minh được bài toán biên không địa phương

3T không phụ thuộc vàot, w1, w2

và chứng minh đánh giá sai số kiểu H¨older với tốc độ hội tụ như trong trườnghợp tuyến tính.Tốc độ hộitụ này đã được Tautenhahn [16,17]chứng minh

trong trường hợp tuyến tính là tốc độ hội tụ có bậc tối ưu

[1]K A Ames, G W Clark, J F Epperson, and S F Oppenheimer, A

com-parison of regularizations for an ill-posed problem, Mathematics of

Compu-tation, 224(1998), 1451–1471

[2]N Boussetila and F Rebbani, Optimal regularization method for ill-posed

Cauchy problems Electronic Journal of Differential Equations, 147(2006),

1–15

[3]G W Clark and S.F Oppenheimer,Quasireversiblity methods for

non-well-posed problems, Electronic Journal of Differential Equations, 8(1994),

1–9

[4]S M Denche and K Bessila, A modified quasi-boundary value method for

ill-posed problems, J Math Anal Appl 301(2005), 419–426.

[5]R E Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward

in time by Sobolev equations, SIAM J Math.Anal., 6(1975), 283–294.

[6]H Gajewski and K Zaccharias,Zur Ruguliarisierung einer nichtkorrekter

Probleme bei Evolutionsgleichungen, J Math Anal Appl., 38(1972), 784–

789

[7]Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc, and H Sahli, A non-local boundary value

problem method for parabolic equations backward in time.J Math Anal

Appl 345(2008), 805–815

37