Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin và ứng dụng luận văn tốt nghiệp đại học

---BÙI THỊ TIẾN MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA MẶT PHẲNG AFIN VÀ ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình cử nhân toán học, chúng ta

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

-BÙI THỊ TIẾN

MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA MẶT PHẲNG AFIN VÀ ỨNG

DỤNG

KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC

NGÀNH TOÁN HỌC

VINH - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

-BÙI THỊ TIẾN

MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA MẶT PHẲNG AFIN VÀ ỨNG

DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN HỮU QUANG

VINH - 2011

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình cử nhân toán học, chúng ta được làm quen vớimôn học Hình học xạ ảnh và bước đầu thấy được mối liên hệ mật thiếtgiữa hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh Trong hình học sơ cấp có những

tính chất xạ ảnh nhiều khi ẩn náu đằng sau những tính chất không xạ ảnh.Nếu ta có thể phân biệt rõ ràng những tính chất xạ ảnh với những tínhchất không xạ ảnh thì ta có thể áp dụng hình xạ ảnh vào hình sơ cấp mộtcách hiệu quả Ví dụ: Trong khái niệm hình tròn, hình elip, hình parabolhay hypebol mà ta đã gặp ở phổ thông hay trong giải tích thì tính chất “làtròn”, “là elip”, “là parabol”, “là hypebol” không phải là những tính chất

xạ ảnh nhưng tính chất “là đường bậc hai” là một tính chất xạ ảnh Haytrong khái niệm “đường thẳng ở vô tận” thì tính chất “ở vô tận” khôngphải là tính chất xạ ảnh nhưng khái niệm “đường thẳng” thì là một kháiniệm xạ ảnh và đường thẳng này đóng vai trò bình đẳng so với các đườngthẳng khác Hay trong khái niệm tọa độ Đêcac thì những độ dài và góctham gia vào việc xác định các tọa độ đó là những khái niệm không xạảnh nhưng khái niệm tỉ số kép mà ta có thể dùng biểu diễn theo tọa độĐêcac thì cũng là một khái niệm xạ ảnh

Hình học xạ ảnh tuy nghèo nàn về các tính chất hình học thuần túy(các tính chất liên quan đến số đo sẽ không được xét đến, tính song songgiữa các phẳng cũng không có) nhưng tổng quát hơn các hình học khác.Trong hình học xạ ảnh chủ yếu là quan hệ liên thuộc Theo một nghĩanhất định có thể coi hình học sơ cấp là hình học của thước kẻ và compasscòn hình học xạ ảnh là hình học của chỉ thước kẻ Hình học xạ ảnh cho tacái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến tính đồngquy, tính thẳng hàng Các định lý liên quan đến đường conic giúp chúng

ta nhìn lại các bài toán ở phổ thông trung học một cách hệ thống Nhờ đóchúng ta có thể giải và sáng tạo các bài toán sơ cấp

Trong bản khóa luận tốt nghiệp này, chúng tôi trình bày một cách hệthống, chi tiết về mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin và đưa một số bàitoán trong mặt phẳng xạ ảnh về những bài toán sơ cấp

Khóa luận được chia làm ba mục chính:

1.Mặt phẳng xạ ảnh Trong mục này chúng tôi trình bày nhữngkhái niệm ban đầu liên quan đến mặt phẳng xạ ảnh như: định nghĩa, mụctiêu và toạ độ xạ ảnh…

2.Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Trong mục này chúng tôitrình bày mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin

3.Ứng dụng mô hình xạ ảnh Trong mục này chúng tôi xuất phát từcác định lý, bài toán trong xạ ảnh để đưa về các bài toán trong hình sơcấp

Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi

còn nhận được sự hướng dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo PGS.TS

Nguyễn Hữu Quang, sự góp ý chân thành của bạn bè và những lời động

viên quý báu của gia đình, người thân Nhân dịp này cho phép tôi đượcbày tỏ lòng biết ơn đến thầy và toàn thể mọi người

Vinh, tháng 5 năm 2011 Tác giả

§1.Mặt phẳng xạ ảnh

Ở mục này, chúng tôi trình bày các kiến thức ban đầu liên quan đến

mặt phẳng xạ ảnh như: định nghĩa, mục tiêu và tọa độ xạ ảnh… để sử dụng trong bài khóa luận này

1.1: Định nghĩa.

Giả sử V là một không gian vectơ thực 3-chiều Ta kí hiệu [V] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của V Giả sử tập P khác rỗng và

có một song ánh p: [V]  P thì ta nói bộ ba (P, p, V) là một mặt phẳng xạảnh thực được kí hiệu là P.

Mỗi phần tử A P được gọi là một điểm

Nếu điểm M P, M = p(V) và ≠  V; sao cho V = <>,khi đó ta gọi

là vectơ đại diện cho điểm M (hai vectơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau)

1.2: Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh

 Trong mặt phẳng xạ ảnh P hệ điểm {M, M, M} được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ các vectơ đại diện tương ứng của chúng {, , } độc lập tuyến tính

 Hệ điểm{A, A, A; E} được gọi là một mục tiêu ứng với cơ sở đại diện {, , } trong P nếu{A, A, A} độc lập và = + + ≠( ở đây là vectơ đại

diện của E và là vectơ đại diện cho A,

I =1, 2, 3)

 Giả sử {A, A, A ;E} là mục tiêu ứng với cơ sở {, , } và

M P có là vectơ đại diện.Ta có sự biểu diễn = x+ x+ x Khi đó ( x, x , x) được gọi là tọa độ điểm M đối với mục tiêu đã cho và được kí hiệu M(x, x , x)

với [X], [M], [M] là các ma trận toạ độ cột của các điểm X, M, M Từ đó

ta có phương trình của  là : ax + ax + ax = 0 (a, a, a không đồng thời bằng 0) Bộ số (a, a, a) được gọi là tọa độ của đường thẳng  đối với mục tiêu đã chọn

1.4: Tỉ số kép trong P

 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng : Trong P với mục tiêu cho trước cóbốn điểm phân biệt A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng Ta có: [C] = k[A] + l[B] ,

[D] = k[A] + l[B]

với l ≠ 0 thì tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D được kí hiệu là

[A, B, C, D] và được xác định bởi:

[] = [] + []

thì tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng trên được xác định bởi:

[, , , ] = :

Nếu [, , , ] = -1 ta nói , , ,  lập thành chùm đường thẳng điều

hòa (hay cặp ,  chia điều hòa cặp , )

 Ta nhận thấy rằng, nếu chùm bốn đường thẳng , , ,  bị cắt bởi một đường thẳng tương ứng tại bốn điểm A, B, C, D thì

[, , , ] = [A, B, C, D]

1.5: Hình bốn cạnh toàn phần

Khái niệm: Trong mặt phẳng xạ ảnh P hình gồm bốn đường thẳng trong

đó không có ba đường nào đồng quy gọi là hình bốn cạnh toàn phần mỗi đường thẳng là một cạnh, giao điểm của hai cạnh gọi là một đỉnh, hai đỉnh không nằm trên một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện, đường thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo

1.6: Các đường bậc hai trong P

Như ta đã biết (xem tài liệu [1]), một tập hợp S các điểm X(x, x , x) P,thỏa mãn phương trình:

ax + ax + ax + 2axx + 2axx + 2axx = 0

(trong đó các a không đồng thời bằng 0 và a = a với i,j=1, 2, 3) thì S đượcgọi là đường bậc hai trong P

Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, một đường bậc hai trong P có phương trình chuẩn tắc là một trong năm dạng sau:

1 Đường Ôvan ảo : x + x +x = 0

§2.Mô hình xạ ảnh của không gian afin.

Trong mục này chúng tôi trình bày cách xây dựng mặt phẳng xạ ảnh từ mặt phẳng afin cho trước và một số thể hiện trong mô hình mới

2.1: Mô hình xạ ảnh của không gian afin.

Ta xét không gian xạ ảnh P với nền là không gian vectơ thực V và đường thẳng P.Ta đặt A =P\ 

Trong P ta chọn mục tiêu{A, A, A; E} sao cho{A, A} Khi đó, đường thẳng  có phương trình x = 0 và X(x, x , x) A thì x ≠ 0

Ta đặt X = và X = thì bộ số (X , X) được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho và ta viết

X=(X, X) Khi đó có một song ánh từ tập A vào R bằng cách ta cho mỗi điểm thuộc A tương ứng với tọa độ không thuần nhất của nó Gọi V là

không gian vectơ 2 chiều trên trường số thực R với cơ sở {, } và ta xét ánh xạ:  : A  A  R

= (Z, Y) + (Y, X)

Ta gọi A là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin

2.2: Mục tiêu và tọa độ afin trong A

Ta vẫn xét mục tiêu xạ ảnh trong P như trên và gọi E, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng AA, AA với đường thẳng  Tọa độ không thuần nhất của E, E và A là:

Vì d là đường thẳng không trùng với  nên mỗi X d, X=(x, x ,x) thì

x ≠ 0 Ta chia hai vế (1) cho x thì tọa độ không thuần nhất của X thỏa

mãn phương trình:

aX + aX + a = 0 (2)

Từ (2) suy ra d’ là đường thẳng trong A

 Ta gọi d,d là 2 đường thẳng phân biệt trong P khác  , I = dd và trong A = P\ gọi d’,d’ là các đường thẳng tương ứng với d, d Ta có kếtquả sau: Nếu I  thì d’//d’

Nếu I  thì d’d’ = I

2.4: Tỉ số kép trong A

Trong không gian P lấy bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Với

A(a, a, 1), B( b, b, 1) thì tọa độ C và D lần lượt là:

Vì vậy [ABCD] =

Vậy trong A ta có thể xem tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D

là tỉ số đơn của [ABC] và [ABD]

Đặc biệt nếu C hoặc D nằm trên, giả sử là D thì ta có: [ABCD] = [ABC]

= [ABC]

=

Tương tự ta cũng có thể tính được tỉ số kép trên trong trường hợp C

2.5:Thể hiện afin của các đường conic trong A.

 Trong P cho đường bậc hai S và đường thẳng  sao cho S =  Khi đó trong mô hình afin A = P\ ta sẽ thu được một elip (E)

Thật vậy, giả sử conic S có phương trình: x + x - x = 0 (1)

và đường thẳng  có phương trình : x = 0

thì ta có S = 

Với điểm X(x, x, x) S và X  thì x ≠ 0 nên ta chia hai vế (1) cho x

sẽ thu được phương trình :

thì ta có S = {I(1, 1, 0), J} Khi đó trong mô hình afin A = P\(1, -1, 0)}.

Chia hai vế (3) cho x ta thu được phương trình:

( ) - () = 0

hay X - X = 0 (3’) Thì (3’) chính là phương trình của Hypebol (H) trong mô hình A =P\

Mặt khác, các đường tiệm cận của (H) là các tiếp tuyến với conic S tại I

và J} Khi đó trong mô hình afin A = P\ nên ta tìm được phương trình các đường tiệm cận lần lượt là :

§3 Ứng dụng mô hình xạ ảnh để xây dựng bài toán sơ cấp.

 Từ mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin, ta có thể đưa một số bài toántrong mặt phẳng xạ ảnh về những bài toán sơ cấp bằng cách chọn mộtđường thẳng thích hợp trong mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận

Do đó từ một bài toán xạ ảnh ban đầu ta có thể có nhiều bài toán sơ cấpkhác nhau

 Các bước thực hiện chuyển đổi như sau:

1.Chọn đường thẳng vô tận thích hợp (thường là đường đi qua nhiềugiao điểm nhất)

2.Biểu diễn lại các khái niệm, tính chất trong bài toán cũ sang hình sơcấp

3.Phát biểu bài toán sơ cấp vừa chuyển

3.1:Chuyển từ một số định lý trong mặt phẳng xạ ảnh.

Giả sử ta có một định lý trong mặt phẳng xạ ảnh, bằng cách bỏ đi mộtđường thẳng nào đó ta sẽ thu được một mô hình xạ ảnh của mặt phẳngafin và định lý nói trên sẽ trở thành định lý trong mặt phẳng afin Ví dụ:

3.1.1: Định lý Papuýt: Cho ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên đường

thẳng a và ba điểm phân biệt A’, B’, C’ nằm trên đường thẳng b Nếu ta gọi M = AB’ BA’, N= AC’ CA’, P = BC’ CB’ thì ba điểm M, N, P thẳng hàng

A

C

B P

N

I B’ C’ A’

Cách chuyển 1:

 Ta chọn  là đường MN và xét A = P\ MN

 Khi ta xét trong A thì BC’// B’C, CA’// C’A và định lý Papuýt trong

P trở thành định lý sau:

 Định lý 1: Cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A’, B’, C’, trong đó A, B,

C  d và A’, B’, C’ d’ Nếu BC’//B’C và CA’//C’A thì AB’//A’B

Chứng minh: A

C +> Trường hợp 1: d  d’ = I B

I A’ C’ B’ Ta có: BC’// B’C  = =  Hay =  (1)

=  (2)

CA’//C’A  = = 

Hay =  (3)

=  (4)

Từ (1), (3) ta có: = 

Từ (2), (4) ta có: =  

Do đó - =  ( - ) hay = 

Mà lại có A ≠ B nên AB’//A’B.

B C A

+>Trường hợp 2: d//d’.

A’ C’ B’ Từ giả thiết BC’//B’C và d//d’  BC = C’B’

 =

Tương tự ta có: =

Nên + = + hay = mà A ≠ B nên AB’//A’B Vậy AB’// A’B 

Cách chuyển 2:  Ta chọn  là CC’, gọi I là giao điểm của d với d’ và xét A = P\CC’  Trong A thì ta có IB//B’N, AP//IB’, BN//IB’, IA//A’P nên IBNB’, IAPA’ là các hình bình hành Định lý trên trở thành định lý sau:  Định lý 2: Cho hai hình bình hành IBNB’, IAPA’ với A, A’ tương ứng thuộc IB, IB’ Gọi M = AB’BA’ Khi đó M, N, P thẳng hàng Chứng minh: A Để chứng minh M, N, P thẳng hàng B P ta dùng phương pháp vectơ, N

nghĩa là chứng minh = a M

I B’ A’ Vì I, A, B thẳng hàng và I, A, B’ thẳng hàng và M = AB’BA’ nên M, B’, A và M, B, A’ cũng là các bộ ba điểm thẳng hàng Do vậy ta đặt: = t (1)

= k (2)

=  (3)

=  (4)

Từ (3): =   - =  (- )

Trừ vế với vế của (9) cho (10) ta được: = (t -1) + (k -1) (11).

Trừ vế với vế của (8) cho (10) ta được:

 Ta chọn AC’ là đường thẳng  và xét A = P\ AC’

 Trong A ta có BC//MB’, BN//A’B’ Khi đó ta có định lý

sau trong hình học sơ cấp:

 Định lý 3: B’

Tứ giác BCB’A’(BC không song song với A’B’)

Từ B’ kẻ song song với BC giao BA’ tại M,

từ B kẻ song song với A’B’ giao CB’ tại N thì MN//A’C

C

A’ N

M B

Cách chuyển 4:

 Ta chọn đường thẳng  là đường thẳng không chứa bất kỳ điểm nào của bài toán và xét trong A = P\

 Trong A các quan hệ giữa các cặp cạnh trong định lý trên được giữ nguyên và ta có định lý Papuýt trong hình sơ cấp phát biểu như sau:

 Định lý Papuýt: Ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên đường thẳng a

và ba điểm phân biệt A’, B’, C’ nằm trên đường thẳng b M = AB’BA’,

I B’ C’ A’

NHẬN XÉT: Từ định lý ban đầu trong hình học xạ ảnh, chúng ta có thểchọn các đường thẳng  khác nhau nên ta có thể chuyển định lý đóthành nhiều định lý khác nhau trong hình sơ cấp mà các định lý này nói

về quan hệ song song hoặc tính thẳng hàng của hệ điểm Ví dụ như định

lý 3, 4 trên được nhắc đến trong sách Nâng cao và phát triển toán

7-tập1, 2, NXB GD, 2004 Mặt khác, định lý 1, 2 được chứng minh bằng

phương pháp vectơ được học trong chương trình hình học 10 tức là từmột bài toán xạ ảnh ta có thể chuyển thành các bài toán sơ cấp phù hợpvới các cấp học khác nhau

3.1.2: Định lý Mênêlauýt và định lý Xêva

 Định lý Mênêlauýt: Trong P cho ba điểm không thẳng hàng A, A, A và

một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường thẳng AA,

AA, AA tương ứng tại K, K, K Gọi L, L, L lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường thẳng AA, AA, AA (khác A, A, A) Điều kiện cần và đủ để

Định lý Mênêlauýt trong hình học sơ cấp được phát biểu lại như sau:

 Định lý: Cho tam giác ABC, ba điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh

BC, CA, AB Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi = 1

A Q Chứng minh:

 Ta xét Định lý Xêva: Trong P cho ba điểm không thẳng hàng A, A, A

và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường thẳng AA,

AA, AA tương ứng tại K, K, K Gọi L, L, L lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường thẳng AA, AA, AA (khác A, A, A) Điều kiện cần và đủ

AL, AL, AL đồng quy tại một điểm là:

Định lý Xêva trong hình học sơ cấp phát biểu như sau:

 Định lý: Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G lần lượt thuộc các

cạnh BC, CA, AB Khi đó ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy khi và chỉ khi

+> Điều kiện cần: ABC; O

Chứng minh: AE, BF, CG đồng quy

Gọi M = BFCG thì ta có AMBC vì giả sử AM//BC, áp dụng định lý Talet ta có:

Mâu thuẫn với B ≠ C nên AMBC = EBC

Vậy ta có AE, BF, CG đồng quy tại điểm M

Định lý được chứng minh.

NHẬN XÉT: Các định lý trên được đưa vào nhiều tài liệu tham khảo toán

8 dưới dạng thừa nhận đúng không chứng minh, ví dụ như Nâng cao và

phát triển toán 8, NXB GD, 2008 hay Kiến thức cơ bản và nâng cao toán

8, NXB Hà Nội, 2004 Đôi lúc hai định lý này tỏ ra rất thuận lợi nếu áp

dụng để chứng minh tính thẳng hàng hoặc đồng quy khi cho biết trước tỉ

lệ Ngoài ra chúng ta cũng có thể xây dựng các định lý khác từ hai định lýban đầu này nếu chọn  là các đường khác nằm trong bài toán như AA,

LL …

3.1.3: Định lý Desargues thứ nhất: Trong mặt phẳng xạ ảnh Pcho sáu

điểm phân biệt A, B, C, A’, B’, C’,trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Nếu các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy thì các giao điểm của các cặp đường thẳng AB và A’B’, BC và B’C’, CA và C’A’ thẳng hàng

S