Lý thuyết về kỳ vọng, kỳ vọng điều kiện và martingale

lời nói đầuKỳ vọng và kỳ vọng điều kiện là những công cụ rất quan trọng trong lý thuyếtxác suất, đặc biệt trong lý thuyết các quá trình Markov, martingale.. tr-Luận văn này nghiên cứu mộ

lời nói đầu

Kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện là những công cụ rất quan trọng trong lý thuyếtxác suất, đặc biệt trong lý thuyết các quá trình Markov, martingale Còn khái niệmmartingale bắt nguồn từ trò chơi mà ngày nay đã trở thành công cụ toán quan trong cáclĩnh vực của xác suất và giải tích, có nhiều ứng dụng trong thống kê, giải tích hàm, ph-

ơng trình vi phân, toán kinh tế và đặc biệt gần đây có nhiều ứng dụng thú vị trong thị ờng chứng khoán Về phơng diện xác suất, lý thuyết martingale mở rộng lý thuyết vềtổng các biến ngẫu nhiên độc lập

tr-Luận văn này nghiên cứu một số tính chất về kỳ vọng, kỳ vọng điều kiện vàmartingale

Luận văn gồm 3 phần

Phần 1: Kỳ vọng.

Phần này nêu các tính chất và các mệnh đề về kỳ vọng Tuy nhiên phần này sẽkhông có chứng minh cho các tính chất đã trình bày trong các tài liệu tham khảo mà sẽchứng minh cho một số mệnh đề liên quan đến kỳ vọng và mở rộng của nó

th-Phần 3: Martingale.

Trong phần này trình bày định nghĩa các tính chất và các tính chất củamartingale Tuy nhiên chơng này sẽ không có chứng minh cho các tính chất đã trình bàytrong các tài liệu tham khảo mà chỉ chứng minh các tính chất khác nhằm nhấn mạnhthêm khái niệm về martingale và mối liên hệ giữa martingale, martingale trên,martingale dới và hiệu matingale

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS-TS Nguyễn Văn Quảng.Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - ngời đã dành cho em sự h-ớng dẫn nhiệt tình, chu đáo trong quá trình học và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích củathầy cô trong khoa Toán

Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đã tạo mọi

điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoànthành luận văn này

Cuối cùng vì sự hạn chế thời gian cũng nh tài liệu nên luận văn này sẽ khôngtránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận đợc sự đóng góp giúp đỡ của quý thầycô và các bạn

Vinh, tháng 4 năm 2005

Tác giả

e Nếu b.n.n Y = f(X) là hàm của b.n.n X thì: EY = Ef(X) = ∑ ( )

=

n 1

p x

f nếu X rờirạc và P(X = xi) = pi

và EY = Ef(X) = +∞∫ ( ) ( )

∞

−

dx x p x

f nếu X liên tục và có hàm mật độ là p(x) Việc chứng minh các tính chất này có thể suy ra từ định nghĩa Vì vậy ta không trìnhbày ở đây

Đ2 Các tính chất khác của kỳ vọng

2.1 Mệnh đề 1:

Giả sử X là b.n.n Khi đó

a) EX tồn tại khi và chỉ khi tồn tại E[X] (ở đây [a] là phần nguyên của số a)

b) EX = E[X] khi và chỉ khi X là b.n.n nhận giá trị nguyên

i X P

k → 0 khi n→∞

Ta có: P(X ≥ 1) = P1 + P2 + … + Pn + …

P(X ≥ 2) = P2 + … + Pn + …

P(X ≥ 3) = P3 + … + Pn + …

n 1 k

n 1

P n P k )

k X

=

∞ +

1 n

1 n

1 n

P k P

n P

ë (*) khi cho n →∞ ta cã:

(X k) k P EX P

1

1 n k

=

VËy: EX = ∑∞ ( )

1 i

i X P n

+

=

=

t X

P t

X

P P

P

dp X dp

X dp

X X

E ⇔ E X P ≥ X∫≤Xt Pdp +X∫>Xt Pdp

0

x F 1 xd x

F xd x

F xd EX

= ( ( ))+ ∞ +∞∫( ( ))

− +

= +∞∫( − ( ))0

dx x F

1 (v× F(∞) = 1 , F(o) = 0)

VËy =+∞∫( − ( ))

0

dx x F 1 EX

0

1 1 F x dx x

~

x F x

X P x X P x F

F 1 EX

§Æt x t dx .t 1 dt

1

− α

0 t 0

x

Th× α =+∞∫( − ( ))α α −

0

1 dt t

t F 1 EX

0

1 dt t t F 1 EX

§æi vai trß cña x vµ t ta cã:

α = α −

0

1 dx x

x F 1 EX

α = α

0

1 F x dx x

α

dx x F x

F x x dF x EX

= − α+∞∫ α − = α+∞∫ α − ( )

1

1 F ( x ) dx x F x dx x

Vậy: α = α+∞∫ α − ( )

0

1 F x dx x

X E

2.7 Mệnh đề 7:

Giả sử X và Y là hai b.n.n độc lập với phơng sai hữu hạn Khi đó

DX.Y ≥ DX.DY Khi nào có dấu bằng?

Chứng minh:

Thật vậy, ta có: DX.Y = E(X.Y)2 - (EXY)2

= E(X.Y)2 - (EX.EY)2

và DX.DY = [EX2 - (EX)2][ EY2 - (EY)2]

= EX2 EY2 - EX2 (EY)2 - (EX)2 EY2 + (EX EY)2

Do đó: DX.Y - DX DY = E(X Y)2 - (EX EY)2 - EX2 EY2

+ EX2 (EY)2 + (EX)2 EY2 - (EX EY)2

= E(XY)2 - (EXY)2 - EX2 Y2 + EX2 (EY)2 + (EX)2 EY2 - (EXY)2

= E(X Y)2 - E(XY)2 - 2(EXY)2 + EX2(EY)2 + (EX)2 EY2

= EX2 (EY)2 - (EX)2 (EY)2 + (EX)2 EY2 - (EX)2 (EY)2

= (EY)2 [EXX2- (EX)2] + (EX)2 [EY2 - (EY)2]

0 DY EX

0 EY

a) Y là g đo đợc.

b) ∫ =∫

A A

Xdp Ydp , với A∈g

Y đợc ký hiệu là: E(X/ g )

2 Chú ý:

1-Nếu X,Y là các b.n.n đã cho trên (Ω,f) và g là σ-đại số sinh bởi Y thì E(X/ g)

đ-ợc ký hiệu là E(X/Y) và đđ-ợc gọi là kỳ vọng điều kiện của b.n.n X đối với b.n.n Y

2- Nếu X1, X2, là các b.n.n đựơc xác định trên (Ω,f ) và g là σ-đại số sinh bởichúng thì E(X/ g) đợc ký hiện là E(X/ X1, X2, )

3- Nếu X=IA, A∈ g thì E(X/ g) đợc ký hiệu là P (A/ g) và đợc gọi là xác suất điềukiện của biến cố A đối với σ-đại số g E(IA/X1, X2 ) đợc ký hiệu là P(A/X1, X2 , )

và đợc gọi là xác suất điều kiện của biến cố A đối với các b.n.n X1, X2,

A∈g

=> ∫ =∫

dp ) / Y ( E dp ) / X

3.4 Với mọi a, b là hằng số và aX+bY xác định ta có:

E(aX+bY/ g) = aE(X/ g)+bE(Y/ g) (h.c.c)

Chứng minh:

Thật vậy: ∫ + = ∫ +

dp ) bY aX ( dp ) / bY aX (

Ydp b Xdp a dp ) / bY aX (

= ∫ + ∫

dp ) / Y ( E b dp ) / X ( E

a g g , A∈ g

=∫ +

A

dp ) / Y ( bE ) / X ( aE ( g g , A∈ g Suy ra E(aX+bY/ g )=aE(X/ g)+bE(Y/ g) (h.c.c)

3.5 Đặt g * ={Φ , Ω} là σ-đại số Khi đó E(X/ g * ) = EX (h.c.c)

Chứng minh:

Thật vậy Xdp E(X/ )dp

A A

∗

∫

X (

E g , víi A ∈ G1

2 ) dp Xdp /

X (

E g ,víi A ∈ G2 Víi A ∈G1 ⊆ G2 th×:

1 A

2 1

2 ) / ] dp E ( X / ) dp Xdp E ( X / ) dp /

X ( E [

1 ) / ] dp E ( X / ) dp /

X ( E [

Suy ra: E(E(X/G1)/G2) = E(X/G1) (h.c.c) (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra E(E(X/G1)/ G2) = E[E(X/G2)/G1) = E(X/G1) (h.c.c)

A A

'.

A

A E ( X / ) dp E ( X / ) dp Xdp I Xdp I

dp ) / X (

' A

) / X ( YE ) / Y X ( E dp ) / XY (

h i( ) Do đó (*) đúng với mọi hàm Y-G đo đợc vì Y = limhn

3.10 Nếu X độc lập với G (nghĩa là σ (X) và G độc lập) thì:

A ) EX EI Xdp EXdp I

X (

Ta có: ∫ =∫

A A

dp ) / X ( E Xdp g , A∈ G

∫

⇒

A A

dp ) / X ( E EXdp g , A∈ G

⇒ EX = E(X/G) (h.c.c)

Nhóm các tính chất chuyển qua giới hạn:

3.11 Định lý hội tụ đơn điệu B-Levy

n

X(h.c.c) X

n - n

n

)c c.

h(

X X

n n

Thì E(Xn/G) ↓ E(X/G) (h.c.c)

Chứng minh:

Ta chứng minh cho tính chất thứ nhất

Giả sử tồn tại n0 để EX−n< ∞ Khi đó 0 ≤ Xn + Xn−0↑ X + Xn−0

Theo định lý Lơbe về hội tụ đơn điệu ta có:

∫ + − = ∫ + −

A

n n n

n n n A

dp ) X X ( E lim dp ) / X X ( E

= ∫ + − = ∫ + − =∫ + −

A

n n

n

A nn

n A

Giả sử tồn tại Y khả tích Khi đó:

+Nếu Xn≤ Y (h.c.c), n ≥ 1 thì E (lim Xn / g)≤ lim E ( Xn / g )( h c c )

+Nếu Xn≥ Y (h.c.c), n ≥ 1 thì lim E(Xn/G)≤E (limX n /G)(h.c.c)

3.13.Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue:

Giải sử Y khả tính và |Xn| <Y(h.c.c) Khi đó:

Nếu Xn→ X (h.c.c) thì E(limXn / ) limn E(Xn / )(h.c.c)

B-Đ2 Các tính chất khác của kỳ vọng điều kiện.

2.1 Mệnh đề 1:

Giả sử X và Y là hai b.n.n cùng phân phối, có kỳ vọng hữu hạn

Khi đó:

) c c h ( 2

Y X ) Y X / Y ( E ) Y X / X (

HayE ( X / X + Y ) = E ( Y / X + Y ) = E ( X − Y ) = 0(Vì X,Ycó cùng phân phối) (1)Mặt khác ta lại có:

Y X ) Y X / Y X ( E ) Y X / Y ( E ) Y X / X (

2

Y X ) Y X / Y ( E ) Y X / X (

S ) S / X ( E )

S / X ( E ) S / X (

n n n

2 n

1 = =  = =

=

= + + +

1

i in

2 1

MÆt kh¸c:

n n n n

n 1

n n n

2 n

S / X ( E ) S / X (

n n n

21 n

là σ-đại số con nào đó EX2 ≤∞, EY2≤∞

Ta định nghĩa

D(X/g):=E[(X-E(X/ g)2)]

Cov g (X Y):=E[(X-E(X/ g)(Y-E(Y/ g))]

D(X/ g) còn đợc gọi là variance và ký hiện Var (X/ g)

Mối liên hệ giữa phơng sai và covarian của kỳ vọng thông thờng với kỳ vọng điềukiện đợc thể hiện qua hai mệnh đề sau:

=E[(X-E(X/ g))2 / g]+E[E(X/ g)]2-[E(E(X/ g))]2

=E[(X2 –2XE(X/g)+E(X/g))2/g]+E[E(Xg)]2 –E[E(X/g)]2-[E(E(X/g))]2

=EX2+2E{E(X/ g)[E(X/ g)-X]}-(EX)2

=DX+2E{E(X/ g)[E(E(X/ g)-X]} (1)

E(X/ g) là g đo đợc nên kết hợp với tính chất 3.8 ta đợc

E[E(X/ g)(E(X/ g)-X)]=E{E[E(X/ g)(E(X/ g)-X)]/ g }

=E{(X/ g).E[(E(X) g)-X/ g]}

=E{E(X/ g)[E((E(X/ g)/ g)-E(X/ g)]}

=E{E(X g)[E(X/ g)-E(X/ g)]}=0Thay vào (1) ta đợc: ED(X/ g)+DE(X/ g)=DX

2.5 Mệnh đề 4:

Với các điều kiện nêu trong định nghĩa 2.5 ta có:

cov (X.Y) = Ecov g (X,Y)+cov[E(X g), E(Y/ g)]

Chứng minh

Ta có: Ecov g (X, Y)+cov[E(X/ g), E(Y/ g)]

=E[(X-E(X/ g))(Y-E(Y/ g))]+E[(E(X/ g)-EX)(E(Y/ g -EY))]

=E{XY-Y.E(Y/g)-Y.E(X/g)+EX/ g).E(Y/g).E(Y/g)+E(X/g).E(Y/ g)}-E(X/ g).EY-EX.E(Y/ g)+ EX.EY}

=E{(X-EX)(Y-EY)+[E(X/g)-X][E(X/g)-EY]+[E(Y/g)-Y][E(X/g)-EX]}

=cov(X,Y)+E[E(X/ g)-X][E(X/ g)-EY]+E[E(X/ g)-Y][E(X/ g)-EX]

Ta có E[E(X/ g)-X][E(Y/ g)-EY]

=E{E[E(X/ g)-X][E(Y/ g)-EY]/ g

=E{[E(Y/ g)-EY].E[E(X g)-X)/ g]}

(do [E(Y/ g)-EY] là g đo đựơc)

=E{[E(Y/ g)-EY][E((E(X/ g) / g -E(X/ g)]}

=E{[E(Y/ g)-EY][(E(X/ g)-E(X/ g)]}=0Tợng tự ta cũng chứng minh đợc

E[E(X/ g)-Y][E(X/ g)-EX]=0

Từ đó suy ra:

Ecov g (X,Y)+cov[E(X/ g), E(Y/ g)]=cov(X,Y)

Phần 3: Martingale

Đ1 Định nghĩa về martingale

1 Định nghĩa:

Giả sử (Ω,f, P) là không gian xác suất, (Xn) là dãy b.n.n {f n, n∈N} là dãy các

σ-trờng không gian khi đó dãy:

X={Xn, f n, n∈N} đợc gọi là

• Martingale trên (đối với { f n, n∈N}) nếu:

(i) {Xn, f n n∈N} là dãy tơng thích, nghĩa là Xn∈ f n với mỗi n∈N

1 Nếu N={0, 1, ,.N}, (Ω,f, P) là không gian xác suất f 0 ⊂ f 1⊂ ⊂ f khi

đó các điều kiện (iii), (iii)’, (iii)’’ có thể đợc thay thế bởi các điều kiện sau:

(iii) với n=1, 2

E(Xn/ f n-1) ≤ Xn-1, P - hầu chắc chắn

(iii)’ víi n=1, 2, …

E(Xn/ f n-1) ≥ Xn-1,P - hÇu ch¾c ch¾n

(iii)’’ víi n=1,2,…

E(Xn/ f n-1)= Xn-1,P - hÇu ch¾c ch¾n

2 §iÒu kiÖn (ii) (tøc lµ ®iÒu kiÖn cã kú väng h÷u h¹n) cã thÓ thay thÓ b»ng

®iÒu kiÖn cã kú väng ®iÒu kiÖn

3 Khi kh«ng chØ râ hä σ-trêng ta ngÇm hiÓu xÐt hä σ trêng tù nhiªn

Đ2 Các tính chất của martingale

Thật vậy, do xP, 1 ≤ p < ∞thì hàm lồi nên theo bất đẳng thức Jensen ta có:

) / / X (/

E ) / X ( E

n

P m n

P

m = f ≤ f suy ra {Xn P, fn, n ∈ N} là martingale dới Vì vậy kết hợp với tính chất (2) ta có điều phải chứng minh

Xτ∧σ=E(Xτ/fσ) (P - hÇu ch¾c ch¾n)

§Æt biÖt, nÕu P {σ≤τ≤ N} =1 th×: EX0 = EXσ = EXτ = EXN

1.8 Tính chất 8:

Giả sử X={Xn, fn , n=0,1, ,N} là martingale (martingale dới) và τ: Thời điểmMarkov (đối với {fn , n =0,1 N}) thì đó dãy “ngắt” tại thời điểm τ tức là: Xτ={Xτ∧σ,

fn , n∈N}cũng là martingale (martingale dới)

Chứng minh các tính chất này đợc trình bày chi tiết tại chơng 9 tài liệu tham khảo(1) Ta không trình bày chứng minh cụ thể đây vì nó quá dài

Đ3 Các tính chất khác của martingale

Xk và (Sn, f n) lập thành martingale

=Sn+EXn+1+ +EXm (do Xn+1, ,Xm độc lập với fn,i = 1,2, n)

=Sn(vì EXm = 0)

=SnVậy (Sn, fn) lập thành martingale

) a (

E ) X ( E ) / X (

E n+1 fn = n/fn + ξn+1 − fn =Xn + E ( ξn+1 / fn) − a =Xn + E ξn+1 − a =Xn + a − a = X n

n / ) X X

n / ) X X

(

n / ) E X E ( / ) / X

ki k k n

n X Y ,

Z f lËp thµnh martingale víi:

f = σ(X,Y , X , Y )

Chứng minh:

Ta thấy (Zn) thoả mãn điều kiện (i) và (ii)

Ta chứng minh điều kiện (iii)

n X Y X Y Z

= Zn + Xn+1 Yn+1

Do Zn đo đợc fn nên ta có:

) / Y X Z ( E ) / Z (

E n+1 fn = n + n+1 n+1 fn = E ( Zn / fn) + E ( Xn+1 Yn+1 / fn) = Zn + E ( Xn+1 Yn+1 / fn) (1)Mặt khác ta có:

)) Y , , Y , X , X ( / Y X ( E ) / Y X (

E n+1 n+1 fn = n+1 n+1 σ 1 n 1  n = E { E [ ( Xn+1 Yn+1 / σ ( X1 , Xn, Y1,  , Yn, Yn+1) ] / σ ( X1 , Xn, Y1,  , Yn) }

= E { Yn+1E [ ( Xn+1 / σ ( X1 , Xn, Y1,  , Yn, Yn+1) ] / σ ( X1 , Xn, Y1,  , Yn) }

(Do Xn đo đợc σ ( X1,  , Xn, Y1,  , Yn, Yn+1))

= E{EX n+1 Y n+1 / f n}

= EXn+1 E ( Yn+1 / fn) = 0 (vì EXn+1 = 0)Suy ra E(Xn+1 Yn+1/fn) = 0 thay vào (1) ta có E(Zn+1 / fn) = ZnVậy (Zn fn) lập thành martingale

Kết luận

Khóa luận đã nêu đợc những vấn đề sau:

Phần 1: Nêu đợc các tính chất cơ bản của kỳ vọng trên cơ sở về kỳ vọng đãxây dựng và chứng minh cụ thể đợc một số mệnh đề và mở rộng của nó

Phần 2: Ngoài việc nêu định nghĩa, chứng minh các tính chất của kỳ vọng

điều kiện, trong phần này còn nghiên cứu và chứng minh một số tính chất khác của

kỳ vọng điều kiện nhằm thể hiện sự khác biệt và mối liên hệ giữa kỳ vọng điềukiện và kỳ vọng thông thờng

Phần 3: Phần này trình bày đợc định nghĩa martingale, martingale trên,martingale dới, hiệu martingale, nêu các tính chất và chứng minh các tính chấtkhác của chúng

Do thời gian còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của ngời đọc

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn Duy TiÕn - Vò ViÕt Yªn

Lý thuyÕt x¸c suÊt Nxb Gi¸o dôc 2001

Probability with martingales - Cambridge university press 1991

[5] Paolo Baldi - Lausent Mazlialc - Pierre Priouret

Martingale and Markov Chains ACRC press Company 2002.

Môc lôc

Trang

Më ®Çu 1

PhÇn 1: Kú väng 3

§1 §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt 3

§2 C¸c tÝnh chÊt kh¸c cña kú väng 5

PhÇn 2: Kú väng ®iÒu kiÖn 11

§1 §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt 11

§2 C¸c tÝnh chÊt kh¸c cña kú väng ®iÒu kiÖn 17

PhÇn 3: Martingale 21

§1 §Þnh nghÜa vÒ martingale 21

§2 C¸c tÝnh chÊt cña martingale 23

§3 C¸c tÝnh chÊt kh¸c cña martingale 26

KÕt luËn 30

Tµi liÖu tham kh¶o 31

TRờng đại học Vinh

TRờng đại học Vinh