Lượng tử hoá trường điện từ và các ứng dụng trong quang học lượng tử

Mở đầu Một trong những thành tựu khoa học vĩ đại của loài ngời ra đời vào thậpniên 60 của thế kỷ XX đó là phát minh ra máy phát lợng tử quang học - Laser.Cơ sở của máy phát Laser là dựa

Lời cảm ơn

Để hoàn thành bản luận văn này, cùng với sự nổ lực phấn đấu của bản thân, đó là sự hớng dẫn tận tình và quý báu của thầy giáo hớng dẫn: TS Vũ Ngọc Sáu cùng với các thầy cô giáo trong Khoa Vật

Lí Nhân dịp này cho phép em gửi lời chúc, lời cảm ơn chân thành nhất của em tới quý thầy cô.

Em xin chân thành cảm ơn !

Mở đầu

Một trong những thành tựu khoa học vĩ đại của loài ngời ra đời vào thậpniên 60 của thế kỷ XX đó là phát minh ra máy phát lợng tử quang học - Laser.Cơ sở của máy phát Laser là dựa trên cấu trúc bức xạ và hấp thụ năng lợng của

hệ nguyên tử tuân theo các quy luật lợng tử Trong quá trình hoàn thiện và nângcao công suất phát cho Laser cùng với những ứng dụng ngày càng phong phú

của công nghệ Laser đã thôi thúc các nhà Vật lí phát triển nhanh, hoàn chỉnh lýthuyết Vật lí trong lĩnh vực quang học hiện đại và đã hình thành một lý thuyếtkhá đẹp và mĩ mãn về các quá trình động lực học của ánh sáng trong quang họclợng tử (Quantum Optics).

Bài toán cơ bản đầu tiên của cơ học lợng tử là khảo sát sự tơng tác giữa ờng điện từ (Bức xạ) với môi trờng nguyên tử (các hạt) Và đã đa ra các kết quảphù hợp tốt với các hiệu ứng quan sát đợc thông qua các thực nghiệm Tuy nhiênviệc quan sát bức xạ và các hạt là các thành phần trong bài toán tơng tác nói trêntheo quan điểm nào sẽ đa đến lời giải với những cấp độ chính xác khác nhau Vàcho đến nay vẫn còn là một vấn đề thú vị trong các nghiên cứu Vật lí Bởi vậychúng tôi đã chọn hớng nghiên cứu là: Khảo sát sự lợng tử hóa trờng điện từ vànhững vấn đề liên quan đến quá trình lợng tử hóa Ngoài ra trong luận văn nàytôi còn đề cập đến các trạng thái lợng tử của trờng, (chủ yếu là trờng ánh sáng)

tr-Cụ thể là trình bày trạng thái có số hạt xác định và trạng thái kết hợp Đây lànhững trạng thái cơ bản nhất của trờng điện từ Phụ thuộc vào việc xét trờng ởtrạng thái nào mà chúng ta có thể xác định đợc đặc trng của tơng tác của trờngứng với các trạng thái đó của hệ lợng tử

Nội dung cụ thể của luận văn gồm các chơng sau đây:

Chơng 1: Trình bày về sự lợng tử hóa trờng điện từ, để lợng tử hóa trờng

điện từ chúng ta xuất phát từ bài toán dao động tử điều hòa cổ điển, vì trờng điện

từ đã đợc thừa nhận nh tập hợp vô hạn các dao động tử điều hòa

Chơng 2: Trình bày các trạng thái lợng tử của trờng, đó là trạng thái có số

hạt xác định (trạng thái Fock) và các trạng thái kết hợp Từ đó chỉ ra một số tínhchất của trờng điện từ thông qua các đại lợng trung bình của trờng

Chơng 3: ở chơng này tôi trình bày một số bài toán ứng dụng nhằm

chứng minh những tính chất cơ bản của các trạng thái chân không, trạng thái có

số hạt xác định, trạng thái kết hợp

Mục lục

Mở đầu

Chơng 1: Lợng tử hóa trờng điện từ

1.1 Đặt vấn đề 5

1.2 Dao động tử điều hòa 7

1.3 Sự lợng tử hóa trờng điện từ 14

1.3.1 Lợng tử hóa trờng đơn mốt 14

1.3.2 Lợng tử hóa trờng đa mốt 19

1.4 ý nghĩa 22

Chơng 2: Phơng pháp mô tả trạng thái lợng tử của trờng điện từ 2.1 Trạng thái Fock (trạng thái có số hạt xác định) 23

2.2 Trạng thái kết hợp 27

2.3 Kết luận chơng 33

Chơng 3: Một số bài toán ứng dụng trong quang học lợng tử 3.1 Bài toán 1 34

3.2 Bài toán 2 34

3.3 Bài toán 3 36

3.4 Bài toán 4 37

3.5 Bài toán 5 37

3.6 Bài toán 6 38

3.7 Bài toán 7 39

3.8 Bài toán 8 40

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

Chơng 1 Lợng tử hóa trờng điện từ 1.1 Đặt vấn đề Theo quan điểm cổ điển trờng điện từ có thể xem là một không gian Vật lí trong đó tồn tại các lực điện và lực từ Tại mỗi điểm của trờng đợc đặc trng bởi bốn Vectơ E; D;H ;B là các hàm của tọa độ và thời gian Tuy vậy nó không biến thiên một cách tùy ý mà tuân theo những quy luật nhất định Những quy luật là những định luật điện từ và đợc mô tả bằng các phơng trình Macxoen Phân tích các hiện tợng điện từ trên cơ sở của lý thuyết cổ điển dẫn tới việc giải các phơng trình Macxoen trong miền cho trớc, với nguồn và điều kiện biên cho trứơc Ba đại lợng: độ dẫn điện, độ điện thẫm và độ từ thẫm là các đại lợng đặc trng cho vật chất trong miền đã cho Khi phân tích, vật chất tự nhiên cấu tạo từ tập hợp các hạt vi mô lại đợc thay bằng một môi trờng liên tục có các tham số đã biết  ,  ,  Hầu hết các tr-ờng hợp đều không chú ý đến tính gián đoạn của nguồn trtr-ờng mà trong thực tế các nguồn này là tập hợp các điện tử chuyển động hay các hạt vi mô tích điện khác chuyển động Nh vậy thuyết trờng cổ điển thực chất chỉ dựa trên các đặc trng vĩ mô nghĩa là các đại lợng đều đợc lấy trung bình theo thể tích bé Nhng vẫn lớn hơn kích thớc của nguyên tử, phân tử Vì vậy, thuyết trờng cổ điển chỉ có ý nghĩa vĩ mô Từ nghiệm của các phơng trình Macxoen ta suy ra rằng trờng điện từ có đặc tính sóng, nghĩa là nó có thể lan truyền dới dạng sóng điện từ và có khả năng giao thoa, nhiễu xạ

Trong thực tế có một số quá trình điện từ, nếu chỉ dựa vào các khái niệm

cổ điển thì không thể giải thích đợc Đó là một loạt các hiện tợng quan sát thấy khi cho trờng tác dụng với vật chất

Ví dụ: Hiện tợng tán xạ, hiện tợng quang điện, hiện tợng cộng hởng củasóng điện từ trong vật chất và các quá trình bức xạ tự phát Khi phân tích tơngtác của trờng điện từ với vật chất, muốn hiểu rõ bản chất Vật lí của hiện tợng cầnphải chú ý đến cấu trúc vi mô của vật chất nghĩa là phải đặt chất ở dạng tập hợpcác hạt nhỏ bé(phân tử, nguyên tử, điện tử ) và khảo sát tơng tác của trờng vớichúng.

Và nh chúng ta đã biết, đặc tính của các hạt trong vật chất đợc xác địnhbằng các quy luật cơ bản của cơ học lợng tử Các quy luật lợng tử đó khôngnhững đặc trng tính chất của hạt mà còn đặc trng hạt đặc trng bằng các quy luậtlợng tử Hay trờng điện từ đợc lợng tử hóa trong đó phôton là

các "lợng tử" của trờng

Vào năm 1900, nhà Vật lí nổi tiếng MacPlanck(ngời Đức) đã đa ra giả

giá trị năng lợng gián đoạn.Và ông giả thuyết thêm rằng: mỗi một "lợng tử" bứcxạ mang trong mình một năng lợng

Sau đó vào năm 1905, khi nghiên cứu các hiện tợng quang điện.Trên cơ sởnhững ý tởng của Planck, Anhxtanh đã phát triển thêm luận điểm của Planck vớigiả thuyết rằng trờng điện từ cũng bao hàm các phần riêng biệt là các "lợng tử".Anhxtanh đã xác nhận rằng mỗi lợng tử ánh sáng ngoài năng lợng xác định còn

có xung lợng

p=  k trong đó k là vectơ sóng

Các hiện tợng bức xạ nhiệt của vật và hiệu ứng quang điện thuộc các hiện ợng mà Vật lí cổ điển không giải thích đợc Tuy nhiên, các hiện tợng này có thểgiải thích đợc dựa trên cơ sở của các khái niệm mới

Từ đó dẫn tới việc xây dựng một lý thuyết mới cho các hiện tợng lợng tửlàm cơ sở ban đầu cho việc hình thành cơ học lơng tử

Dao động tử điều hòa đợc dùng để mô tả hầu hết các hệ, ở đó hệ thực hiệnnhững dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng bền Trong nhiều hiệu ứng nhhiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton ta phải thừa nhận tính hạt của bức xạ

và một cách tự nhiên ta thừa nhận trờng điện từ tự do là một tập hợp vô hạn cácdao dộng tử điều hòa Về mặt toán học phải xây dựng một bức tranh về các hạttrờng và để làm điều đó ta thực hiện các bớc lợng tử hóa trờng điện từ và bắt đầu

từ bài toán dao động tử điều hòa

Xét chuyển động của hạt có khối lợng m gắn với một lò xo, dao động đànhồi quanh vị trí cân bằng

Giả sử hạt dao động dới tác dụng của một lực F = -f.q

 2 0

2



 m

fq q d

Wt =-

q

dq F

0

. =

2

1.f.q2 =

2

1m. 2 A2.Sin2(t+  )



+ ˆ 2 2

2

ˆ 2

1 2

ˆ

q f m

H

dt

p d dt

dq m q

ˆ

p d

ˆ

ˆ ˆ

p p

q d

ˆ

ˆ ˆ







 (1.4)Biểu thức Hamintonian đợc viết lại

2

2 2 2

2

2 2

2

W d

d d

d d

2

W d

d d

d d

2

2 2

2

W d

d d

d d

d

(1.12)Biểu thức trong ngoặc cuả (1.10) là các toán tử Chúng ta biểu diễn nó dới dạng

Khi đó thực hiện phép chuyển dịch năng lợng:

 

2

1 '

Đối với các toán tử bˆ ;bˆ chúng ta có

d d

d d

d b

b

2

1 2

1

2

1 2

d d

d d

d d

d d

2

2 2

2 2

2

1 2

1

1 2

2 2

d

d

d d

d d

d d

d

d

d d

d d

d d

d d

d d

d

Vậy ˆ;ˆˆˆ  ˆˆ 1

b b b b b

Chứng minh rằng nhờ các toán tử bˆ ;bˆ và hệ thức giao hoán (1.14) mà taxác định đợc các trạng thái của dao động tử điều hòa

Chúng ta hãy bắt đầu từ giả thuyết năng lợng dao động tử W luôn luôn dơng

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ1

0

' 0 0

0

' 0 0 0

0

' 0 0

b b

b W b

b b b

b W b

b b

1

W

(*) ý nghÜa cña c¸c to¸n tö sinh, hñy bˆ ;bˆ

Nh©n bªn tr¸i cña (1.13) víi bˆ ta cã:

     

b b

b b b

b W b

b b

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ 1

ˆ ˆ ˆ

' '

Mỗi lần tác dụng toán tử bˆ lên nlàm tăng số lợng tử lên một lợng tử Do đótoán tử bˆ đợc gọi là toán tử sinh.

(*) Nhân về bên trái của (1.13) với bˆ ta có:

b W b b b

b W b

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1

ˆ ˆ

bˆ

bˆ

' ' '

gọi là toán tử hủy

Các khái niệm tóan tử sinh, toán tử hủy có ý nghĩa rất cơ bản khi lợng tử hóatrờng ánh sáng Để biểu diễn hàm sóng dới dạng cụ thể chúng ta bắt đầu từ ph-

Đây là phơng trình vi phân bậc nhất có nghiệm:

 .exp  2 

2 0

.

.

2 exp

1 2 2

.

2 exp

2

2 exp

.

2

2 2

3

2 1

2 0

1.3 Sự l ợng tử hóa tr ờng điện từ.

1.3.1 L ợng tử hóa tr ờng đơn mốt

Hệ phơng trình Macxoen

thời gian dẫn đến xuất hiện điện trờng xoáy

Rot

t

B - E

1

.

2 0

div

t E c

B

r ot t

E B

rot

t B E

Để việc lợng tử hóa đợc tiến hành một cách đơn giản thì ta xét trờng hợp sau:

vectơ điện E hớng theo trục z:

z y x x

x x

x

E E

E x y z

k j i E

B t t

B E

Nếu chọn E z N.P t sinkx

E z E zt,x B x  0

x

E z E

B t E

N

kx k

t P N

cos

cos

t E

0

sin

sin 1

sin

q kx k

c

N P kx N

c

q kx k

c

N B

x B B

B x y z

k j i

z y x z

q kx c

N kx k

N P

.

cos cos

.

dt

dq p

dq dt

q d

Phơng trình (1.27) mô tả quá trình tuần hoàn và là phơng trình của dao động

tử điều hòa Vì vậy biến số q đợc hiểu là tọa độ chính tắc của dao động tử điềuhòa

Phơng trình (1.27) là phơng trình mô tả chuyển động của hạt Nh vậychúng ta đã chuyển đổi từ lan truyền sóng điện từ sang sự chuyển động của hạt

Và điều đó gợi ý cho chúng ta khẳng định rằng sóng tơng đơng với hạt Quátrình đó gọi là quá trình lợng tử hóa trờng điện từ

Khi đó (1.25) và (1.26) có thể víêt lại một cách thuận tiện nếu ta đa vàohàm Hamintonian

 2 2

2

1

q p

1 2

1

B E

H B D

dx kx Sin p N

U

2 2

2 2 0

.2

1



Vì:

2

kx Sin

1 ˆ

1 ˆ

H   (1.34)

Kết luận: Quá trình tính toán trên đã thực hiện phép chuyển đổi từ năng ợng của trờng điện từ sang năng lợng của một dao động tử điều hòa Nh vậy vềphơng diện năng lợng một sóng ánh sáng đơn sắc tơng đơng với một dao động

2

.

y y

A A A

z y x

k j i A

b dx B

2 ˆ ˆ

k L b

b

2 ˆ ˆ

lí thuyết trên có thể ứng dụng cho trờng đơn mốt hoặc đa mốt

1.3.2.Lợng tử hóa trờng đa mốt

Hệ phơng trình Macxoen cho trờng đa mốt:

0 

 (b) (1.36)

DivDDiv E0 (c)

chất các mốt khác nhau của trờng

Ex t p  t NU x

 

,  





(1.37)Khi đó đối với trờng từ ta cũng có:

    v  x

C

N t q t

RotU N

   v (1.40)Thay (1.40) vào (1.39) ta có:

c

N t

t q x

V c N t

.

 

 t p t

t q

U N t p

U N t p

2 2 2

.

1

2

1

Mà

0 0

( 2

b b

b b b

b b b b b b b b b b b b H

b b b

b H

ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

1 2

1 ˆ

ˆ ˆ 2

1 ˆ ˆ 2

1 2

1 ˆ

2 2 2

2

2 2

t x

2 ,



(1.46)Thay (1.44) vào (1.38) ta có:

x

2 ,



(1.47)Lợng tử hóa các đại lợng trong (1.45);(1.46);(1.47) ta có:

2 ˆ

2

1 ˆ

Mặt khác ta có

t

A E

t x

U N

1 1

Nh chúng ta đã biết khi giải thích một số hiện tợng điện từ , nếu chúng ta

dùng lý thuyết trờng cổ điển (bức xạ đợc coi là liên tục) thì không thể giải thích

đợc Ví dụ nh: bức xạ của vật đen tuyệt đối, hiệu ứng quang điện, hiệu ứngCompton

Các hiện tợng trên chỉ có thể giải thích đợc khi xem trờng là các hạt photon,tức là trờng đợc lợng tử hóa

Để lợng tử hóa trờng điện từ chúng ta xuất phát từ bài tóan dao động tử điềuhòa cổ điển vì trờng điện từ đợc thừa nhận nh tập hợp vô hạn các dao động tử

điều hòa Và kết hợp với hệ phơng trình Macxoen chúng ta đã biểu diễn đợc các

đại lợng mô tả trờng bằng các toán tử Lý thuyết lợng tử hóa trờng này là cơ sở

để chúng ta khảo sát cụ thể một số trạng thái lợng tử của trờng ở chơng tiếptheo

Để đơn giản chúng ta khảo sát cho trờng đơn mốt.

2.1 Trạng thái Fock (trạng thái có số hạt xác định).

Trong phần này chúng ta chỉ giới hạn nghiên cứu trờng đơn mốt.

n

n n n n

n n n n

n n n n

b E

b b b

b E b

b b b b

b E b b

b b

b E b b

b b

b E b

b b H

2

1 ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

1 ˆ ˆ ˆ 1

ˆ ˆ

2

1 ˆ ˆ

ˆ 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ

   0  0 2

Với định nghĩa này ta có: số hạt trung bình ở một trạng thái có số hạt xác định là

n n N

n  

 | ˆ|Phơng sai số hạt trong trạng thái đó là:

0

2 2

2 2

n N n n N n N

2 1

* 1

n n n n

n

n n n n

n n n n

n n n n

b E b

b b

b b

b E b

b b b

b E b

b b b

b E b

b b H

ˆ 2

1 ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

1 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

1 ˆ ˆ ˆ

ˆ 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ

        



n n

n

' 2

' 1

* 1

b

q q

2

1 ˆ

b q

n n

n n

0 2

0

.

2

1

! 1

.

! ˆ

Đó là hàm riêng đã biết của dao động tử điều hòa

ở trạng thái Fock, giá trị kỳ vọng của điện trờng là:

ˆ ˆ ˆ

!

1 ˆ

0 0

2

|

|

2 ˆ

2 ˆ

2 ˆ ˆ

1 1

n n n

n

n n n

n

n n

E

Sinkx N

i

Sinkx N

i b Sinkx

N i

b

Sinkx N

i b b

n z

n n

n n

kx Sin

N . .  ˆ ˆ   ˆ ˆ   ˆ ˆ   ˆ ˆ 

.

2

2 2

n n

n n

kx Sin

N . .  ˆ ˆ   ˆ ˆ   1 ˆ ˆ   ˆ ˆ 

.

2

2 2

1

.

1 2

2

2 2

2 2

n kx Sin N

trong thực tế thì điện trờng không thể bằng không Do vậy trạng thái của trờngkhông phải là trạng thái có số hạt xác định mà nó là tổ hợp tuyến tính của cáctrạng thái có số hạt xác định Nhà Vật lý Glauber đã đa ra một trạng thái lợng tửmới đó là trạng thái kết hợp

Trạng thái kết hợp là một trong những trạng thái quan trọng nhất của cơ họclợng tử cũng nh trong quang học Đó là trạng thái lợng tử bản chất nhất của trờng

!

2 0

n

n

n Exp

Chóng ta kh¶o s¸t tÝnh chÊt cña tr¹ng th¸i kÕt hîp

.

!

.

2 0

n n

n

1

.

!

2 2

2 0

.

!

ˆ ˆ

2 2

n n

n

n e

n

e n b

.

! 1

2

n e

!

ˆ

ˆ

2

n n

n

e n b

1

*

* 1 0

! 1

1

.

!

2 2

n n

n

n

e n

n e

|

2 2

n m

n m

 *  

2 N Sinkx

tử xˆ c và xˆ s đợc biểu diễn bằng phần thực và phần ảo của biên độ phức Thì xˆ c

và xˆ s đợc định nghĩa nh sau:

x c b b  .qˆ

2 ˆ

ˆ 2

1 ˆ

ˆ 2

1 ˆ

1

2

1

 2

2 ˆ

;

x c s 

 (2.34)Giá trị kỳ vọng xˆ cvà xˆ s với sự liên hệ với trạng thái

Thật vậy, giả sử : x c là một giá trị riêng của xˆ ctơng ứng với giá trị

x i x

x i x

s c c

x x

x x i x

c

x x

c

e x

thái kết hợp, xác suất thu đợc x c nh là kết quả của phép đo x c.

phần ảo của biên độ phức

1

b b b b b

b b

b b

  (2.46)

Do đó, phơng sai của phần thực  xˆc2đợc cho bởi:

2 2



 x c  x c   x c

4

1 4

1 2

   (2.47)Tơng tự ta có:

1

b b b b b b

2 2

2 2

Vì vậy, trong trạng thái kết hợp thì phần thực( phần ảo) của biên độ phức

tuân theo sự phân bố chuẩn với phơng sai của nó là

4

1

và có giá trị trungbình 1( 2) Điều này có thể đợc minh họa ở hình vẽ

2.3 Kết luận chơng.

Chúng ta đã đề cập đến các trạng thái lý tởng của ánh sáng, đó là cáctrạng thái Fock và các trạng thái kết hợp Từ các trạng thái này một số tínhchất của trờng điện từ cũng đợc chỉ ra thông qua các đại lợng trung bình củatrờng đợc tính ở các trạng thái nói trên Các phân bố Poission và nguyên lýbất định cũng đợc nghiệm lại ở trạng thái kết hợp Điều đó càng chứng tỏtính chất đúng đắn của việc mô tả trạng thái lợng tử của trờng thông qua cáctrạng thái lợng tử đã dẫn ra ở trên

Chơng 3:

một số bài toán ứng dụng trong quang học lợng tử.

Bài toán 1: chứng minh hệ thức sau đây