Lực quán tính và ảnh hưởng của chúng đến các hiện cơ học xảy ra trên trái đất

Phơng pháp này cho phép ta dễdàng mô tả các định luật cơ học, nhng phải mở rộng khái niệm về lực, bên cạnhlực tơng tác giữa các vật thể chúng ta phải đa thêm vào khái niệm lực quán tính

Lời nói đầu

Chúng ta đã biết, các định luật Niutơn đợc nghiệm đúng và có dạng nhnhau trong các hệ quy chiếu quán tính Vì vậy, để nghiên cứu các chuyển độngcơ học ngời ta thờng sử dụng các hệ quy chiếu quán tính Nhng trong thực tế talại thờng gặp cả những hệ quy chiếu không quán tính Hệ quy chiếu không quántính là hệ quy chiếu chuyển động cógia tốc so với hệ quy chiếu quán tính Cácdạng đơn giản nhất của hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu chuyển

động thẳng có gia tốc và hệ quy chiếu chuyển động quay so với hệ quy chiếuquán tính

Để mô tả các định luật cơ học trong hệ quy chiếu không quán tính, chúng

ta phải làm rõ các tính chất không gian và thời gian trong hệ này Không gian

và thời gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất Còn ở trong hệ quychiếu không quán tính vấn đề lại khác hẳn Do đó việc xây dựng các định luậtcơ học trong các hệ quy chiếu không quán tính là rất phức tạp, bởi vì nó liênquan đến quan niệm không gian và thời gian Để khắc phục tình trạng này ngời

ta đã giả thiết rằng: Tốc độ của hệ quy chiếu không quán tính đủ nhỏ sao cho ta

có thể bỏ qua các hiệu ứng của thuyết tơng đối Phơng pháp này cho phép ta dễdàng mô tả các định luật cơ học, nhng phải mở rộng khái niệm về lực, bên cạnhlực tơng tác giữa các vật thể chúng ta phải đa thêm vào khái niệm lực quán tính

do tính chất không quán tính (chuyển động có gia tốc) của hệ gây ra

Việc đa vào khái niệm lực quán tính cho ta khả năng mô tả chuyển độngcủa các vật trong hệ quy chiếu bất kỳ bằng các phơng trình chuyển động códạng giống nhau và khi sử dụng chúng ta có thể giải trực tiếp một số bài toán

đối với hệ quy chiếu không quán tính đơn giản hơn so với cách giải đối với hệquy chiếu quán tính

Nhng trên thực tế chúng ta đã biết những hệ quy chiếu nào có thể coi là hệquy chiếu quán tính? Bằng thực nghiệm quan trắc thiên văn và nghiên cứu cấutạo của vũ trụ, các nhà khoa học đã chứng minh đợc hệ Nhật tâm ( Gốc ở tâmMặt Trời và ba trục hớng về ba ngôi sao “cố định” nào đó) với độ chính xáckhá cao đợc coi là hệ quy chiếu quán tính Khi xét chuyển động của vật trongkhoảng thời gian không quá vài giờ thì hệ quy chiếu gắn liền với Trái Đất có thểcoi gần đúng là hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu gắn liền với Trái Đất thựcchất là hệ quy chiếu không quán tính, bởi vì Trái Đất tự quay xung quanh trụccủa nó và đồng thời quay xung quanh Mặt Trời Các lực quán tính trong hệ quychiếu gắn liền với Trái Đất rất gần gũi với đời sống của chúng ta và chúng có

ảnh hởng đáng kể đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất Chẳng hạn : chúng ta bị nghiêng ngã ngời khi đi tàu, đi xe, sự quay mặt phẳng dao độngcủa con lắc Phucô, sự thay đổi của gia tốc trọng trờng theo vĩ độ địa lý., sự lệch

nh-về hớng Đông của các vật rơi tự do hay sự lệch nh-về hớng Tây của vật ném lên

theo phơng thẳng đứng ở vùng xích đạo, hiện tợng mòn lở các bờ sông; hiện ợng mòn vẹt các đờng ray xe lửa một chiều, hiện tợng gió mùa

t-Tuy nhiên, tác dụng của các lực quán tính cha đợc nhiều ngời quan tâm.Bởi vì nếu xét trong một thời gian ngắn thì ảnh hởng của chúng là không đáng

kể, nhng nếu xét trong một thời gian dài thì phải quan tâm đến ảnh hởng củachúng một cách đầy đủ và tỉ mỉ

Xuất phát từ ảnh hởng và tầm quan trọng rộng lớn của các lực quán tính

nh đã nêu ở trên, mà tôi có ý tởng nghiên cứu một cách chi tiết các lực quántính, các ảnh hởng của nó đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất và khảosát các vật trong các hệ quy chiếu không quán tính Để thực hiện đợc ý tởng đó,tôi đã chọn đề tài "Lực quán tính và ảnh hởng của chúng đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất" Đề tài này chủ yếu nghiên cứu các vấn đề sau :

1 Trình bày tóm tắt lý thuyết về các lực quán tính và tính chất của chúngtrong các hệ quy chiếu không quán tính

2 Giải thích ảnh hởng của các loại lực quán tính đến các hiện tợng cơ họcxảy ra trên Trái Đất

3 Lựa chọn, phân loại và giải chi tiết các bài toán trong các hệ quy chiếukhông quán tính

Nội dung đề tài bao gồm Chơng I Lực quán tính trong các hệ quy chiếu không quán tính

1-1 Hệ quy chiếu không quán tính

1-2 Lực quán tính và tính chất của chúng trong hệ quy chiếu không quántính

1- 3 Sự tơng đơng giữa trờng lực hấp dẫn và trờng lực quán tính

Chơng II ảnh hởng của lực quán tính đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất

2-1 Sự quay mặt phẳng dao động của con lắc Phucô

2-2 Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý

2-3 Sự rơi tự do lệch về hớng Đông

2-4 Sự lệch về hớng Tây khi bắn viên đạn theo phơng thẳng đứng từ dớilên ở vùng xích đạo

2-5 Một số ảnh hởng khác do lực quán tính Côriolit gây ra

Chơng III Giải các bài toán trong hệ quy chiếu không quán tính

3-1 Giải các bài toán trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc

3-2 Giải các bài toán trong hệ quy chiếu chuyển động quay đều.

Mục lục

Trang Lời nói đầu 3

chơng I Lực quán tính trong các hệ quy chiếu không quán tính 1.1- Hệ quy chiếu không quán tính 7

6

1.2- Lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ quy chiếu

không quán tính 7

6

1.3- Sự tơng đơng giữa trờng lực hấp dẫn và trờng lực quán tính 16

chơng II ảnh hởng của các lực quán tính đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên quả đất 2.1- Sự quay mặt phẳng dao động của con lắc Phucô 18

17 2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý

19

2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ dịa lí 20

17 2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý

19

2.3- Sự rơi tự do lệch về hớng Đông 24

2.4- Sự lệch về hớng Tây khi bắn viên đạn theo phơng thẳng đứng từ dới lên ở vùng xích đạo 25 2.5-Một số ảnh hởng khác do lực quán tính

Côriolit gây ra 26

24hơng III: Giải các bài toán trong hệ quy chiếu 2.5- Một số ảnh hởng khác do lực Côriolit gây ra 27

17 2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý

19

Chơng III Giải các bài toán trong hệ quy chiếu không quán tính 3.1- Giải các bài toán trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc 29

3.2- Giải các bài toán trong hệ quy chiếu chuyển động quay đều 38

Kết luận 48

47

Phụ lục 49

48

Tài liệu tham khảo 52

52

Chơng I lực quán tính trong các hệ quy chiếu

1.1.2- Hệ quy chiếu quán tính Có thể hiểu hệ quy chiếu quán tính theo các cách sau:

a- Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một vật không chịu tác dụngcủa ngoại lực sẽ giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.b- Trong hệ quy chiếu quán tính không gian là đồng nhất và đẳng hớng, thờigian là đồng nhất

c- Trong hệ quy chiếu quán tính các định luật Niutơn đợc nghiệm đúng và códạng nh nhau

1.1.3- Hệ quy chiếu không quán tính

a- Định nghĩa : Hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu chuyển động có

gia tốc so với hệ quy chiếu quán tính

- Trong hệ quy chiếu không quán tính có không gian không đồng nhất, không

đẳng hớng và thời gian không đồng nhất

- Trong hệ quy chiếu không quán tính các định luật Niutơn không đợc nghiệm

đúng

b- Các loại hệ quy chiếu không quán tính

- Hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính

- Hệ quy chiếu chuyển động quay đối với hệ quy chiếu quán tính

1.2 - Lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ quy chiếu không quán tính

Theo các định luật Niutơn thì nguyên nhân duy nhất làm cho vật chuyển

động có gia tốc là do vật khác tác dụng lên nó một lực nào đó, các vật nàychuyển động trong hệ quy chiếu quán tính

Ngợc lại đối với hệ quy chiếu không quán tính, các vật có thể nhận đợc giatốc mà không chịu tác dụng của một vật nào khác Ví dụ: một ôtô đang chuyển

hớng về phía trớc ứng với một lực tác dụng lên ngời hớng về phía trớc Rõ ràng

là không có một vật cụ thể nào khác tác dụng lên ngời mà chỉ do ôtô chuyển

động chậm dần trong khoảng thời gian bắt đầu hãm phanh cho đến khi dừng lạigây nên

Trong khoảng thời gian này, ôtô chuyển động có gia tốc và do đó hệ quychiếu gắn liền với ôtô là hệ quy chiếu không quán tính Nh vậy, gia tốc mà cácvật thể nhận đợc trong hệ quy chiếu không quán tính khi chúng không bị tác

động bởi vật thể nào khác chỉ đợc xác định bởi chính tính chất không quán tínhcủa hệ quy chiếu ( tính chất chuyển động không thẳng và không đều của hệ quychiếu) Gia tốc này ứng với lực đặc biệt, gọi là lực quán tínhFqt do tính chấtkhông quán tính của hệ quy chiếu gây nên

Để xây dựng biểu thức lực quán tính Fqt, trớc hết ta xét định lý cộng vậntốc và cộng gia tốc trong các hệ quy chiếu không quán tính

1.2.1- Định lý cộng vận tốc và định lý cộng gia tốc trong các hệ quy chiếu không quán tính

Xét chất điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu không quán tính K0

(oxyz) và K0 chuyển động so với hệ quy chiếu quán tính K (OXYZ) đợc quy ớc

là đứng yên Chuyển động của chất điểm M đối với hệ quy chiếu không quántính K0 gọi là chuyển động tơng đối Chuyển động của chất điểm M đối với hệquy chiếu quán tính K gọi là chuyển động tuyệt đối, khi chất điểm M đứng yên

đối với hệ quy chiếu không quán tính K0 nhng cùng với hệ quy chiếu K0 chuyển

động đối với hệ quy chiếu K gọi là chuyển động kéo theo

Gọi rM là bán kính véctơ xác định

vị trí của chất điểm M đối với hệ quy

chiếu quán tính K, rlà bán kính

véctơ xác định vị trí của chất điểm

M đối với hệ quy chiếu không quán

tính K0, r0 là bán kính véctơ xác

định vị trí gốc o của hệ quy chiếu K0

đối với hệ quy chiếu K (hình 1)

) 1



k

Từ hình vẽ 1 ta có

k z j y i x r r r

rM =0 +=0 + + +  (1.1) trong đó x, y, z là ba hình chiếu của véctơ rtrên các trục x,y,z của hệ quychiếu không quán tính K0 và i, j , klà ba véctơ đơn vị đặt trên các trục x,y,z.Vì hệ quy chiếu K0 chuyển động bất kỳ đối với hệ quy chiếu K nên trong trờnghợp tổng quát, các véctơ đơn vị i, j ,k có phơng thay đổi theo thời gian Khi chất

điểm M chuyển động, một ngời quan sát đứng yên đối với hệ quy chiếu K sẽ

thấy các vị trí của chất điểm M luôn thay đổi theo thời gian, nghĩa là x,y,z thay

đổi theo thời gian t, nhng các véctơ đơn vị i, j ,kvẫn còn đứng yên đối vớingời quan sát

Vận tốcvt và gia tốc at của chất điểm M đối với hệ quy chiếu khôngquán tính K0 gọi là vận tốc và gia tốc tơng đối, chúng đợc tính theo các biểuthức :

dt

dz j dt

dy i dt

dx dt

r d





+ +

y d i dt

x d dt

v d

2 2

2

+ +

r d

+ + +

r

+ + +

dz dt

j d y j dt

dy dt

i d x i dt

dx v

d dt

v d

v

+ + +

Ta hãy tìm mối liên hệ giữav và vt , giữa a và at

Khi hệ quy chiếu K0 chuyển động thẳng đối với hệ quy chiếu K thì các véctơ đơn vị

i, j , kluôn song song với chính nó, nghĩa là không thay đổi theo thời gian:

dz j dt

dy i dt

dx v

v=0+ + + =0+ (1.6)

dt

z d j dt

y d i dt

x d a

a=  + + + 2 = 0 + 

2 2

2 2

j d y dt

i d x k dt

dz j dt

dy i dt

+ + + + +

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

dt

k d z dt

j d y dt

i d x k dt

z d j dt

y d i dt

x d

+ +

dz dt j d dt

dy dt i d dt

dta hãy theo dõi dịch chuyển đầu

mút N của véctơ i Khi hệ K0 quay xung

quanh một trục cố định với vận tốc góc ω

I

i d

d



ϕ

i d s

d= 

N i i+d i

s d

i d

( ) ( )

∧

=

∧+

∧

=

∧

∧+

∧

=

∧+

∧

=

∧

∧+

∧

=

∧+

∧

=

k k

dt

k d k

dt

k d

j j

dt

j d j

dt

j d

i i

dt

i d i

dt

i d

ω ε

ω ω ε

ω ε

ω ω ε ω

ε

2 2 2 2 2 2







∧ +

∧

∧ +

∧ +

=

∧ +

=

t t

t

v r

r a

a

r v

ω ε

ω

2

( )(1 13)

12 1

Công thức (1.12) và (1.13) là công thức tính vận tốc và gia tốc của vật khi hệquy chiếu K0 chuyển động quay đối với hệ quy chiếu K Chuyển động bất kỳcủa hệ quy chiếu không quán tính K0 đối với hệ quy chiếu quán tính K đợc khảosát nh chuyển động thẳng cùng với gốc o và chuyển động quay xung quanh mộttrục nào đó đi qua O với vận tốc góc ω

Vì vậy, trong trờng hợp tổng quát ta có công thức tính vận tốc và gia tốc của vật

=

+

=

c k t

k t

a a a a

v v

Trong đó:

( ) ( ) ( )

∧ +

=

∧ +

=

t c

k k

v a

r r

a a

r v

vk - gọi là vận tốc kéo theo

ak - gọi là gia tốc kéo theo

ac - gọi là gia tốc Côriolit

Rõ ràng là khi chất điểm M đứng yên đối với hệ quy chiếu K0 thì : vt = 0; at = 0

và khi đó :. v=vk ; a=ak

Chúng ta đã biết phơng trình chuyển động của chất điểm M đối với hệ quychiếu quán tính K có dạng F=m a, trong đó m là khối lợng của chất điểm, Flàlực tổng hợp do các vật thể khác tác dụng lên chất điểm Nh vậy, đối với hệ quychiếu quán tính K, nguyên nhân duy nhất để chất điểm thu đợc gia tốc a là docác vật thể khác tác dụng lên nó những lực nào đó.

Nhng đối với hệ quy chiếu không quán tính K0 lực tác dụng lên chất điểm làtổng hợp của lực quán tính Fqtvà lực F do các vật thể khác tác dụng nên nó.Phơng trình chuyển động của chất điểm M đối với hệ quy chiếu không quántính K0 có dạng : Fqt +F=m at (1.17)

Trong đó m là khối lợng của chất điểm M và atlà gia tốc tơng đối của nó.Thay

chuyển động bất kỳ đối với hệ quy chiếu quán tính K

1.2.2- Tính chất của lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính

Khi hệ quy chiếu không quán tính K0 chuyển động thẳng với gia tốc a0 thìlúc này ω= 0 và , ε= 0thay vào (1.22) ta có : Fqt = −m ao Đối với hệ quy chiếukhông quán tính chuyển động thẳng có gia tốc thì lực quán tính có giá trị bằngkhối lợng của vật với gia tốc của hệ và có chiều ngợc với chiều gia tốc của hệ

đó

Đặc điểm chung của lực quán tính là tỷ lệ với khối lợng m của chất điểm, lựcquán tính trong hệ quy chiéu chuyển động thẳng cũng vậy, tỷ lệ với khối lợng mcủa chất điểm và ngợc chiều với gia tốc a0của hệ K0

Lực quán tính này là lực có tác dụng thực sự trong hệ quy chiếu không quántính Chúng truyền gia tốc cho vật mà chúng tác dụng, sinh công và đo đợcbằng lực kế Chúng tác dụng lên đời sống hàng ngày khi chúng ta đi tầu, xe Chúng chỉ khác lực thờng ở chỗ là chúng không có phản lực, nghĩa là ta khôngchỉ ra đợc cụ thể chúng từ vật thứ hai nào tác dụng đến Do vậy, định luật III

- Trờng hợp khi a= 0 thì a t = −a0 nghĩa là trong hệ quy chiếu quán tính K chất

điểm đứng yên hay chuyển động thẳng đều thì trong hệ quy chiếu không quán tính

K0 chất điểm thu đợc gia tốc bằng : (−a0) Vậy định luật II Niutơn áp dụng đợccho hệ quy chiếu không quán tính K0 nhng khi đó lực tác dụng lên vật phải baogồm lực F do các vật thể khác tác dụng lên vật và lực quán tính Fqt do tínhchất không quán tính của hệ quy chiếu K0 gây ra

- Trờng hợp khi Fqt +F= 0; thì m at =Fqt+F= 0 ⇒at = 0

Nh vậy đối với hệ quy chiếu không quán tính, vật tiếp tục đứng yên hoặcchuyển động thẳng đều khi tổng các lực ( bao gồm cả lực quán tính) tác dụnglên vật bằng không Ta lại thu đợc định luật I Niutơn với dạng tơng tự nh trong

hệ quy chiếu quán tính, chỉ khác ở chỗ trong các lực phải tính thêm lực quán tính

1.2.3- Tính chất của lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động quay đối với hệ quy chiếu quán tính

Khi hệ quy chiếu K0 quay xung quanh một trục ∆ nào đó đi qua gốc o với vậntốc góc ωthì a0 = 0, khi đó biểu thức lực quán tính có dạng:

dt

dω ε

m m

r m

(1.24)

M

ω

F lt =mω 2 ρ =mω 2r.co sϕ (1.25) Trong đó rlà bán kính véctơ xác định vị trí của chất điểm M đối với hệ quychiếu K0 Từ biểu thức (1.24) ta thấy, lực quán tính ly tâm tỷ lệ với bình phơngvận tốc góc ω 

, với khoảng cách ρ từ chất điểm đến trục quay và hớng từphía trục quay ra ngoài

Nh vậy, lực quán tính li tâm Flt có tác dụng rất nhỏ đến các vật trên Trái Đấtnên trong nhiều trờng hợp có thể bỏ qua lực quán tính li tâm này Nhng trongmột số trờng hợp cần độ chính xác cao khi

khảo sát các vật trên Trái Đất thì cần phải chú

Lực quán tính Côriolit xuất hiện trong hệ

quy chiếu quay khi vật chuyển động đối với hệ

quy chiếu đó, nghĩa là nó phụ thuộc vào vận

tốc tơng đốivt của chất điểm Bởi vì lực Fc

vuông góc với vận tốc vt nên nó không sinh

công Nói cách khác nó chỉ làm lệch quỹ đạo

chuyển động của vật mà thôi, chứ nó không

làm thay đổi độ lớn vận tốc của chuyển động Khi vt đổi chiều thì Fccũng đổichiều Nếu chất điểm đứng yên đối với hệ quy chiếu K0 hay chuyển động cùngphơng với ω thì lực quán tính Côriolit không xuất hiện

-Ta xét tác dụng của lực Côriolit lên chất điểm chuyển động trên mặt đất.(Trái

đất là hệ quy chiếu không quán tính có vận tốc góc ω hớng từ cực Nam đếncực Bắc) Để nghiên cứu lực Côriolit, chúng ta phân tích vận tốc gócω của hệquy chiếu không quán tính gắn với Trái Đất và vận tốc vt của vật chuyển độngtrên mặt đất thành các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển

Xét tính chất của các lực quán tính Côriolit trong biểu thức (1.27):

* Thành phần thứ nhất của lực Côriolit là: Fc1 = − 2m(ωn ∧vt)

Lực quán tính F c1 có phơng tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động của vật Nếunhìn theo phơng của vận tốc vt thì ở Bắc bán cầu lực này luôn hớng về phía bênphải của chuyển động, còn ở Nam bán cầu lực này luôn hớng về phía bên tráicủa chuyển động.

* Thành phần thứ hai của lực Côriolit là: Fc2 = − 2m(ωt ∧vn)

Lực quán tính Fc2hớng theo phơng nằm ngang Nếu vật chuyển động lên caothì lực này hớng về phía Tây của chuyển động, còn nếu vật này rơi tự do thì lựcnày hớng về phía Đông của chuyển động

* Thành phần thứ ba của lực Côriolit là:Fc3 = − 2m(ωt ∧vt) Lực quán tính Fc3ớng theo phơng thẳng đứng, có chiều từ trên xuống hoặc từ dới lên tuỳ thuộcvào chiều của ωtvà vt Lực này cần chú ý đến khi nghiên cứu các vật thểchuyển động với khoảng cách xa

Các thành phần lực quán tính Côriolit tuy bé nhng những hiện tợng diễn ralâu ngày thì những ảnh hởng của chúng là đáng kể

Tóm lại, từ những tính chất nêu trên của các loại lực quán tính, chúng tathấy rằng không thể xếp lực quán tính vào cùng loại với lực hấp dẫn, lực đànhồi, lực ma sát, nghĩa là các lực xuất hiện do sự tơng tác với các vật khác Lựcquán tính chỉ xuất hiện bởi chính tính chất không quán tính của hệ quy chiếu Việc đa vào lực quán tính cho ta khả năng giải thích các hiện tợng cơ học xảy

ra trên Trái Đất một cách khoa học và cho ta khả năng giải trực tiếp một số bàitoán đối với hệ quy chiếu không quán tính đơn giản hơn so với cách giải đối với

hệ quy chiếu quán tính

1.3 - Sự tơng đơng giữa trờng lực hấp dẫn và trờng lực quán tính

Ta đã biết trong một trờng hấp dẫn đều thì mọi vật có khối lợng khác nhau đềuchuyển động tự do với gia tốc gnh nhau

Hiện tợng cũng nh vậy nếu ta xét các vật có khối lợng m khác nhau trong một

hệ quy chiếu không quán tính chuyển động với gia tốc g trong khoảng khônggian không có một ngoại lực nào tác dụng

- Để giải thích rõ điều này ta xét thí nghiệm gồm một buồng kín trong đó cótreo một con lắc

+> Khi buồng đứng yên so với mặt đất con lắc thực hiện dao động riêng xungquanh vị trí cân bằng.(hình.5a)

+> Khi buồng rơi tự do với gia tốcgthì trạng thái chuyển

động của con lắc ở trong buồng phụ thuộc vào pha dao

động của con lắc tại thời điểm buồng bắt đầu rơi

- Nếu buồng bắt đầu rơi vào thời điểm con lắc ở độ lệch cực

đại, thì vị trí lệch đó sẽ không thay đổi trong suốt quá

trình buồng rơi.(hình.5b)

- Nếu buồng bắt đầu rơi vào thời điểm con lắc không ở vị trí lệch cực đại thì conlắc sẽ tiếp tục chuyển động tròn đều xung quanh điểm treo trong suốt quá trìnhbuồng rơi ( hình.5c).

Thí nghiệm trên có thể giải thích nh sau : Khi buồng rơi tự do với gia tốc g, lựcquán tính Fqt tác dụng lên con lắc cân bằng với lực hấp dẫn Fhd của trái đất,kết quả hai lực này cân bằng với nhau Fqt +Fhd = 0 Bây giờ chỉ còn lực căng T

của sợi dây đóng vai trò lực hớng tâm Giữ con lắc chuyển động tròn đều quanhtâm là điểm treo con lắc, lực này có độ lớn

R

mv T

2

R là độ dài của dây treo và v là vận tốc của con lắc

khi buồng bắt đầu rơi

Khi buồng rơi con lắc đang ở vị trí cực đại thì v = 0,

nên con lắc đứng yên so với buồng, tức là luôn ở vị trí

lệch cực đại trong suốt quá trình buồng rơi

Khi buồng rơi con lắc không ở vị trí lệch cực đại thì v≠ 0 nên con lắc sẽ tiếp

tục chuyển động tròn đều quanh tâm là điểm treo con lắc với vận tốc v trong

suốt quá trình buồng rơi

Trong thí nghiệm trên lực quán tính và lực hấp dẫn trái đất cân bằng nhau, kếtquả là con lắc ở trạng thái không trọng lợng Hiện tợng cũng xảy ra tơng tựtrong các con tàu vệ tinh của Trái Đất Trong các con tàu này, mỗi vật chịu tácdụng của hai lực là lực hấp dẫn của Trái Đất và lực quán tính ly tâm Hai lựcnày cân bằng nhau và các vật thể trong con tàu ở trạng thái không trọng lợng.Các nhà du hành vũ trụ nếu không bám chắc lấy con tàu sẽ bị lơ lửng trong contàu

Nh vậy xét về cơ học thì chuyển động tự do của các vật trong trờng hấp dẫn đềuhoàn toàn giống nh chuyển động của chúng trong hệ quy chiếu không quántính Ta nói có sự tơng đơng giữa trờng hấp dẫn và trờng quán tính Sự tổng quátkhẳng định trên về mặt cơ học cho mọi hiện tợng vật lý đợc gọi là nguyên lý t-

ơng đơng Nguyên lý này đợc Anhxtanh xây dựng và phát biểu nh sau : " Không

có một thí nghiệm vật lý nào cho phép phân biệt là chúng ta đang ở trong mộttrờng hấp dẫn đều hay ở trong một con tàu chuyển động với gia tốc không đổi (

hệ quy chiếu không quán tính) "

Nói cách khác không thể phân biệt đợc trờng hấp dẫn đều hay trờng quán tínhbằng thực nghiệm Trong thực tế trờng hấp dẫn không phải là một trờng đều Vìvậy, nói chung ta không thể chọn đợc một hệ quy chiếu có trờng quán tính tơng

đơng Tuy nhiên điều đó có thể thực hiện đợc đối với một vùng nhỏ bé củakhông gian, trong đó trờng hấp dẫn đợc xem là đồng nhất Vì lý do đó nguyên

lý tơng đơng giữa trờng hấp dẫn và trờng quán tính chỉ có tính chất địa phơng

và ngời ta thờng gọi nó là nguyên lý tơng đơng định xứ

v

Sự tơng đơng giữa trờng hấp dẫn và trờng quán tính mang nội dung vật lý sâusắc Nó đợc phản ánh qua quan niệm tơng tác, qua tính chất của không gian -thời gian.

Theo cơ học của Niutơn thì tơng tác hấp dẫn xảy ra tức thời Còn Anhxtanh đãnêu thuyết tơng tác gần, truyền với vận tốc giới nội, không vợt quá vận tốc của

ánh sáng trong chân không

Theo cơ học Niutơn thì không gian và thời gian là tuyệt đối, là "sân khấu" để

"biểu diễn" các định luật vật lý, không liên quan gì đến vật chất chuyển động.Còn theo Anhxtanh thì tính chất của không gian và thời gian gắn với vật chấtchuyển động (không gian - thời gian là một hình thức tồn tại của vật chất ) Từquan điểm ấy, ông đã xây dựng nguyên lý tơng đơng Qua quá trình tìm kiếmcác hệ quả toán học của nguyên lý này ông đã cho ra đời một thuyết mới :Thuyết tơng đối rộng ( năm 1916 ) chủ yếu để giải thích các hiện tợng hấp dẫn

vũ trụ mà chúng không thể lý giải bằng thuyết cổ điển, chẳng hạn nh hiện tợngdịch chuyển của điểm cận nhật của Sao Thuỷ ( hành tinh gần Mặt Trời nhất)trong trờng hấp dẫn của Mặt Trời, hiện tợng lệch đờng truyền của các tia sángtrong trờng hấp dẫn của Mặt Trời, hiện tợng lệch về đỏ của các ánh sáng phát ra

từ các ngôi sao nặng

Chơng II

ảnh hởng của các lực quán tính đến các

hiện tợng cơ học xảy ra trên trái đất

2.1- Sự quay mặt phẳng quỹ đạo của con lắc Phucô

Thí nghiệm " con lắc Phucô " do Phucô thực hiện lần đầu tiên 1851 tạiPari để chứng minh sự tự quay của Trái Đất Thiết bị của ông gồm một vật nặng28kg, treo ở đầu một sợi dây dài 70m

Đầu trên của sợi dây đợc buộc sao cho

con lắc có thể dao động tự do theo một

phơng bất kỳ Chu kỳ dao động của con

lắc kéo dài đến gần 17 giây Theo dõi sự

dao động của con lắc trong một thời gian

dài, ngời ta nhận thấy phơng dao

độngcủa con lắc quay theo chiều kim

đồng hồ so với một hớng cố định trên bề

mặt Trái Đất Trong thí nghiệm Phucô

thực hiện ở Pari, mỗi giờ phơng dao động

của con lắc quay quanh trục Trái Đất đợc

một góc hơn 110 Phơng dao động quay đợc một vòng sau 32 giờ Sự quay phơngdao động của con lắc đợc giải thích nh sau:

Giả sử thí nghiệm Phucô đợc tiến hành ở Bắc Cực Điểm treo của con lắc nằmtrên trục quay của con lắc ( hình.6a )

Lấy hệ trục toạ độ ox,y,z, có trục oz, trùng với trục quay của Trái Đất trục oy, vàtrục ox, hớng tới hai ngôi sao cố định Nếu không chú ý đến chuyển động quayquanh Mặt Trời của Trái Đất, có thể xem hệ toạ độ ox,y,z, là một hệ toạ độ quántính Trong hệ toạ độ này, con lắc Phucô luôn dao động trong mặt phẳng y,ox,.Chọn hệ toạ độ xyz, gắn vào quả đất quay quanh trục oz, với vận tốc góc

ω so với hệ toạ độ quán tính ox,y,z, Nh vậy mặt phẳng dao động y,ox, quay vớivận tốc góc(− ω) đối với hệ toạ độ oxyz, tức là theo chiều từ Đông sang Tây.Sau một ngày đêm (24giờ ) thì mặt phẳng dao động của con lắc trở về vị trí ban

đầu Vậy ở Bắc Cực mặt phẳng dao động của con lắc quay đợc một vòng sau 24giờ

Trong hệ toạ độ oxyz, , vật nặng trong quá trình dao động có vận tốc vQ Dâytreo vật quá dài so với biên độ dao động, nên có thể xem vận tốc vQ có phơngluôn luôn vuông góc với trục oz, Nếu bỏ qua tất cả các lực không đáng kể ( lựcquán tính do quả đất quay quanh Mặt Trời, lực hút của các thiên thể khác )Thì lực tác dụng lên vật nặng là tổng hợp lực của lực hấp dẫn Fhd, lực quántính ly tâm Flt và lực quán tính Côriolit Fc

Do ta xét thí nghiệm ở Bắc Cực nên lực quán tính ly tâm Flt = 0, lúc này vậtnặng chỉ chịu tác dụng của lực thực là lực hấp dẫn buộc vật thực hiện chuyển

động dao động ( lực này hớng về tâm của trái đất nên không tạo ra mô menquay mặt phẳng dao động của con lắc ) Còn lực Côriolit Fc = − 2m[ω∧vQ] luônluôn nằm trong mặt phẳng xoy vuông góc với vQ và có độ lớn : F c = 2mωv Q.Quỹ đạo của vật nặng nằm trong mặt phẳng xoy

Tuỳ theo những điều kiện ban đầu khác nhau mà

quỹ đạo của con lắc có hình dạng khác nhau Nếu

tại vị trí thế năng cực đại, con lắc đợc buông ra với

vận tốc ban đầu bằng 0 ( Vận tốc của vật nặng đối

với hệ toạ độ oxyz, bằng 0 ), thì nó bắt đầu chuyển

động về vị trí cân bằng Do tác dụng của lực

Côriolit Fc làm nó lệch về bên phải (bên phải đối

với véctơ vận tốc vQ) nên nó không đi qua vị trí

cân bằng, vì vậy quỹ đạo của vật nặng luôn luôn

Hình 6b

Kết quả là nếu nhìn từ trên xuống ta thấy mặt

phẳng dao động quay theo chiều kim đồng hồ

Nếu tại vị trí cân bằng, ta truyền cho vật nặng

một vận tốc ban đầu thì khi nó đi ra khỏi vị trí

cân bằng, lực Côriolit Fcluôn làm nó lệch về bên

phải nên quỹ đạo chuyển động của vật nặng luôn

luôn lệch về bên phải, hớng chuyển động nó có

y

x

)1(

)2(

)3(

)4(

)5(

)6(

Hình 6c

Nếu thực hiện thí nghiêm con lắc Phucô ở một địa phơng có vĩ độ ϕ thì dao

động của của nó diễn ra trong mặt phẳng đứng tại nơi đó Do trái đất quay màngời quan sát ở mặt đất thấy mặt phẳng dao động của con lắc quay xung quanh

đờng thẳng với vận tốc góc ωϕ..Giá trị của ωϕ là hình chiếu của véctơ vận tốcgóc ω của trái đất lên đờng thẳng đứng tại nơi khảo sát : ω ϕ = ω sin ϕ trong tr-ờng hợp này thì lực quán tính coriôlis có độ lớn , 2 ω sin ϕ

Xét một vật có khối lợng m nằm yên trên bề mặt Trái Đất Nếu bỏ quanhững lực không đáng kể nh: Lực quán tính do trái đất quay quanh Mặt Trời,lực hút của các thiên thể Thì vật sẽ chịu tác dụng của một lực thực đó là lực hấpdẫn Fhd có độ lớn :

R

m M G

với R2

GM

g = - là gia tốc trọng trờng thực do lực hấp dẫn gây ra

Ngoài lực hấp dẫn, vật ở trong hệ quy chiếu quả đất quay ( hệ quy chiếu khôngquán tính) còn chịu tác dụng của lực quán tính li tâmFlt có độ lớn:

ϕ

ω R co s m

F lt = 2 (2.2)

4 10 64 , 8

ω - là vận tốc góc trong chuyển động quay ngày

đêm của Trái Đất

ϕ- là vĩ độ của vị trí đặt vật trên Trái Đất.

Dới tác dụng đồng thời của Fhd và Flt , trọng lợng biểu kiến đo đợc trên bềmặt trái đất của vật sẽ là :

lt

hd F F

Pϕ= + (2.3)

Từ biểu thức (2.2) ta thấy , lực quán tính li tâm cực đại ở xích đạo (co sϕ = 1)vàgiảm dần đến không ở hai địa cực (co sϕ = 0) Gọi A là tỷ số của lực quán tính litâm cực đại và lực hấp dẫn:

R R

Mm G

R F

F A

68 , 6

s kg

m G

( )1

4 10 64 , 8

10 6378 10

64 , 8

2

24 11

3 3 2

max

MG−

ϕ

cos

max

( nh h i

ϕ 221 sco2ϕ

GM R R GM

g − (2.10)Xét biểu thức trong căn số của (2.10) ta thấy

ω2 3 ≈ 0 , 0034 << 1 ⇒ 1 − 2 ω 2 3 co s2 ϕ ≈ 1

GM

R GM

R

Vậy: 1 2 ω 2 3 2 ϕ 1 ω 2 3 co s2 ϕ

GM

R s

co GM

3 2

R

GM GM

R R

độ, nên gia tốc trọng trờng tăng theo vĩ độ nhanh hơn so với kết quả tính toántheo công thức (2.11) Gia tốc trọng trờng ở địa cực là: ( )2

Đất, nên gia tốc trọng trờng chịu những thăng giáng có tính chất địa phơng Sự thăng giáng này là một số liệu quan trọng, để đoán nhận về cấu tạo của các lớp

đất và thăm dò khoáng sản ở địa phơng đó

Tóm lại, do Trái Đất tự quay sinh ra lực quán tính li tâm tác dụng lên vậtlàm cho gia tốc trọng trờng của vật phụ thuộc vào vĩ độ địa lý

Ngoài chuyển động quay ngày đêm, Trái Đất còn tham gia chuyển động quayquanh Mặt Trời Vận tốc góc trong chuyển động quay quanh Mặt Trời nhỏ hơnvận tốc quay ngày đêm 360 lần Tuy vậy, bán kính quay quanh Mặt Trời

3

6

10 23 10

4 , 6

10

150 = lần lớn hơn bán kính Trái Đất, nên lực quán tính litâm do chuyển động quay quanh Mặt Trời tạo ra vào khoảng 0,2 lần lực quántính li tâm do chuyển động quay ngày đêm tạo ra Tại mỗi địa phơng, lực quántính li tâm này lại còn thay đổi hớng so với lực hấp dẫn tuỳ theo giờ trong ngày

Vì vậy, trong những phép đo gϕ với độ chính xác cao hơn còn cần phải chú ý

đến sự thay đổi này của gia tốc trọng trờng

2.3- Sự rơi tự do lệch về hớng Đông

Xét chuyển động của một vật rơi tự do từ độ cao h, tại vĩ độ địa lý ϕ tachọn hệ quy chiếu không quán tính K0 gắn liền với Trái Đất nh sau : Trục oy h-ớng theo phơng thẳng đứng từ dới lên trên ( Ngợc chiều với g ), trục ox hớng

từ Tây sang Đông, trục oz hớng dọc theo tiếp tuyến với kinh tuyến trái đất

Trong hệ quy chiếu không quán tính K0, tổng hợp lực tác dụng lên vật gồm: Lực hấp dẫn Fhd , lực quán tính li tâmFlt và lực quán tính Côriolit Fc Hợplực tác dụng lên vật là: F=Fhd +Flt +Fc.Vì ta xét vật rơi tự do nên có thể bỏ qualực quán tính li tâm :

a m F F

y m

s co v m F

x m

0 0

0 0 0

y

v

h y x

t

(3.4)

Lấy tích phân hai vế của phơng trình (3.3) với điều

kiện ban đầu (3.4) ta có :

2 0

2

1

;y y gt gt

y= −

Dới tác dụng của lực hấp dẫn, một cách gần đúng có

thể xem nh vật rơi tự do theo trục oy, do đó v x <<v y

Nên giá trị vận tốc của vật là : v=v y = −gt Thay vào (3.2) ta đợc

0 3 1

t g h y

t s co g

1

t s co g

x= ω ϕ

g

h g

Bằng thực nghiệm ta có quan sát thấy sự dịch chuyển trên

Giả sử vật rơi ở độ cao h = 200m, tại vĩ độ ϕ = 450 thì khoảng dịch chuyển về ớng Đông là ∆x = 4 (cm)

h-2.4- Sự lệch về phơng Tây khi bắn viên đạn theo phơng thẳng đứng từ dới lên ở vùng xích đạo

Ta xét viên đạn có khối lợng m đợc bắn theo phơng thẳng đứng với vận tốcban đầu bằng v0, vị trí bắn có vĩ độ đại lý ϕ.

Ta chọn hệ quy chiếu không quán tính K0 gắn liền với Trái Đất nh sau:

Trục oy hớng theo phơng thẳng đứng từ dới lên (ngợc chiều với g)

Trục ox hớng từ Đông sang Tây, trục oz hớng dọc theo tiếp tuyến với kinhtuyến Trái Đất Trong hệ quy chiếu không quán tính K0, tổng hợp lực tác dụnglên vật gồm : Lực hấp dẫn Fhd, lực quán tính li tâm Flt và lực quán tínhCôriolitFc : F=Fhd +Flt +Fc Vì ta xét viên đạn bắn theo phơng thẳng đứng từdới lên trên nên có thể bỏ qua lực quán tính li tâm

⇒F=Fhd +Fc =m a (4.1)trong đóF c = 2m ω v.co sϕ ;F hd =mg

Để bài toán đơn giản ta xét chuyển động của viên đạn theo hai trục ox và oy.Theo phơng ox vật chịu tác dụng của lực chịu quán tính Côriolit, theo phơng oyvật chịu tác dụng của lực hấp dẫn (hình.9)

Chiếu phơng trình (4.1) lên hai trục toạ độ ox và oy:

)2 4 (

.

2

mg F

y m

s co v m F x m

0 0

0 0 0

y

v

y x

0

2

1

gt t v y gt v

y

Với vận tốc ban đầu v0 theo phơng thẳng đứng, một cách gần đúng có thể xem

nh viên đạn chỉ bay theo phơng oy, do đó v x <<v ynên v=v y =v0 −gt thay vào

ph-ơng trình (4.2) ta đợc: x = 2 ω (v0 −gt).co sϕ (4.6)

Giải phơng trình vi phân ( 4.6 ) với điều kiện ban đầu ( 4.4 ) ta có :

) 3

1 (

)

2 (

0

2

0t gt x co s v t gt v

s co

3 2

0

2 1

) 3

1 (

.

gt t v y

gt t

v s co

(4.8)Khi viên đạn đạt đến độ cao h1 cực đại thì vận tốc

của nó đợc tính theo biểu thức: v0 =2gh1 Lúc này ta có :

2

2

1

1 1

2 − gh t+h =

gt Giải phơng trình bậc hai theo

biến t, ta tìm đợc thời gian chuyển động của viên đạn

từ lúc bắn đến khi đạt độ cao cực đại là : t g

x

∆

) 9

( nh h i

Thay t và v0 vào phơng trình đầu của (4.8) ta có khoảng lệch về phơng Tây của viên đạn là :

3

1 2

2 2

3

1 2 2

g

h s co g

h g g

h gh s

co

g

h s co x

3 1 2 3

4

ϕ ω

=

∆

⇒Vậy khi viên đạn đợc bắn lên trên ở vùng xích đạo thì nó sẽ chuyển động theo

3 2

0

2 1

) 3

1 (

gt t v y

gt t

3 1 2 3

=

∆

⇒ Bằng thực nghiệm ta sẽ quan sát thấy sự dịch chuyển trên

Giả sử ở vùng xích đạo, ta bắn viên đạn với vận tốc v0 = 50(m s) thì h1 = 127 (m)

Khoảng dịch chuyển về phía Tây sẽ là : ∆x = 6 (cm)

2.5- Một số ảnh hởng khác do lực quán tinh Côriolit gây ra

a- Giải thích hiện tợng mòn vẹt đờng ray xe lửa ở Bắc và Nam bán cầu

Xe lửa chuyển động trên đờng ray một chiều trong hệ quy chiếu Trái Đất quay (hệ quychiếu không quán tính ) sẽ luôn chịu tác dụng của lực quán tính Côriolit Mà theotính chất của lực Côriolit thì ở Bắc bán cầu lực này luôn hớng hớng về phía bênphải của phơng chuyển động, còn ở Nam bán cầu thì lực này luôn hớng về phíabên trái của phơng chuyển động Do đó đối với các xe lửa chuyển động trên đ-ờng ray một chiều ở Bắc bán cầu sẽ luôn chịu tác dụng của lực Côriolit hớng vềphía bên phải của hớng chuyển động và ở Nam bán cầu thì sẽ chịu tác dụng củalực Côriolit hớng về phía bên trái của hớng chuyển động Lực quán tính Côriolitnày gây ra áp lực phụ lên đờng ray, nếu xét trong khoảng thời gian ngắn thì ảnhhởng của nó là rất nhỏ, nhng xét trong một thời gian lâu dài thì ảnh hởng của nó

là đáng kể Vì vậy các đờng ray xe lửa một chiều ở Bắc bán cầu thì ray bên phảimòn nhanh hơn ray bên trái, còn ở Nam bán cầu thì ray bên trái mòn nhanh hơnbên phải

b- Giải thích sự sói mòn của các bờ sông ở Bắc và Nam bán cầu

Các dòng sông chảy trên bề mặt của hệ quy chiếu Trái Đất quay (hệ quy