Luật mạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao

trờng đại học vinh ---o0o---nguyễn thị quỳnh hoa luật mạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao... Điều kiện đủ của luật mạnh số lớn cho hệ thống khối độc lập

trờng đại học vinh

-o0o -nguyễn thị quỳnh hoa

luật mạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 3

Chơng 1 Luật mạnh số lớn và các bất đẳng thức

♣1 Các khái niệm 5 ♣2 Các bất đẳng thức 8 ♣3 Luật mạnh số lớn 17

Chơng 2 Luật mạnh số lớn cho hệ thống khối độc lập

và hệ thống khối trực giao

♣1 Điều kiện đủ của luật mạnh số lớn cho hệ thống

khối độc lập và hệ thống khối trực giao 30 ♣2 Điều kiện cần của luật mạnh số lớn cho hệ thống

khối độc lập và hệ thống khối trực giao 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53

Lời nói đầu

Trong lý thuyết xác suất, luật mạnh số lớn đóng vai trò quan trọng, có nhiềuứng dụng trong thực tiễn Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli đợc công bốnăm 1713 Về sau kết quả này đợc Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mởrộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới đợc E.Borel phát hiện.Kết quả này của Borel đợc Kolmogorov hoàn thiện năm 1926 Khi nghiên cứuluật mạnh số lớn, các đối tợng đợc xét không ngừng đợc mở rộng Năm 1990,V.F.Gaposhkin chỉ ra rằng một số tính chất của dãy các đại lợng ngẫu nhiên độclập (hoặc dãy các đại lợng ngẫu nhiên trực giao) vẫn còn đúng đối với hệ thốngkhối độc lập (hoặc hệ thống khối trực giao) dạng ∆k = [2k; 2k+1) (xem [4]) Về luậtmạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập dạng ∆k = [2k; 2k+1) trong L p cũng đã

đợc F.Moricz nghiên cứu trong [8]

Trên cơ sở những kết quả đã đạt đợc, trong luận văn này chúng tôi tập trungnghiên cứu luật mạnh số lớn cho hệ thống đại lợng ngẫu nhiên độc lập theo khối

và hệ thống đại lợng ngẫu nhiên trực giao theo khối

Luận văn gồm lời nói đầu, 2 chơng và tài liệu tham khảo

Chơng 1 gồm 3 tiết Trong tiết 1, chúng tôi trình bày các khái niệm liên quan

đến nội dung của chơng 2: khái niệm hệ thống đại lợng ngẫu nhiên độc lập theokhối và khái niệm hệ thống đại lợng ngẫu nhiên trực giao theo khối

Trong tiết 2, chúng tôi sẽ trình bày một số bất đẳng thức cơ bản cần thiết choviệc nghiên cứu các tiết sau Đó là bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức

Hder, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức Schwartz, bất đẳng thứcRadermacher và bất đẳng thức Doob Tiết 3 dành để nói về luật mạnh số lớn Sau

khi giới thiệu khái niệm luật mạnh số lớn, chúng tôi chỉ nêu lên một số luật mạnh

số lớn liên quan đến các định lý sau này

Chơng 2 là nội dung chính của luận văn Trong tiết 1, chúng tôi sẽ trình bày các điều kiện đủ của luật mạnh số lớn cho hệ thống khối độc lập và hệ thốngkhối trực giao Từ đó có thể rút ra một số hệ quả cho các trờng hợp đặc biệt,trong đó có luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật mạnh số lớn Radermacher.Trong tiết 2, chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng các điều kiện đủ đồng thời cũng là điềukiện cần để cho hệ thống khối độc lập và hệ thống khối trực giao tuân theo luậtmạnh số lớn

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh với sự hớng dẫn của PGS-TSNguyễn Văn Quảng Nhân dịp này tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắccủa mình tới Thầy giáo Nguyễn Văn Quảng vì đã dành nhiều thời gian, công sứchớng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất, trongkhoa Toán, khoa Đào tạo Sau đại học và các đơn vị liên quan đã thờng xuyênquan tâm và đóng góp ý kiến giúp tác giả hoàn thành luận văn

Chơng I Luật mạnh số lớn và các bất đẳng thức

♣1 Các khái niệm

1.1 Tính độc lập

Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất cố định

1.1.1 Định nghĩa Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} các σ-đại số con của F đợc gọi là độclập nếu

đối với Ai ∈ F i , i ∈ I bất kỳ.

Họ vô hạn {Fi , i ∈I} các σ-đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu mỗi họcon hữu hạn của nó độc lập

Họ các đại lợng ngẫu nhiên X i , i ∈ I đợc gọi là độc lập nếu họ các σ-đại sốsinh bởi chúng {F(X i), i ∈I} là độc lập.

Họ các biến cố {A i , i ∈I} ⊂ F đợc gọi là độc lập nếu họ các đại lợng ngẫu

1.2 Hệ thống khối trực giao Ta gọi hệ thống các đại lợng ngẫu nhiên

ω(N m) > 2 m cã thªm khèi [2 m, ω(N m)) Suy ra víi mçi m cho tríc, sè c¸c khèi

c /

≤

1 2

1 2 1

1 −

+

m m

⇔

1 2

c /

≤ m m

2 1

2 + 1 −

c k 1 thoả mãn điều kiện (A)

1.5 Điều kiện (B) Ta nói độ dài của các khối ∆k: ∆k = ω(k+1) - ω(k) thoả

mãn điều kiện (B), nếu tồn tại hằng số C ≥1 sao cho với mỗi m ≥0 và cặp bất kỳ

các khối (∆k, ∆k/) nằm trong ∆m/ = [2 m, 2 m+1) (nếu tồn tại các khối này) thì hệ thức

với các khối ∆k, ∆k / nằm trong ∆m / = [2 m, 2 m+1), m ≥0.

+) Ta nói dãy các số c k > 0 thoả mãn điều kiện (A/) nếu : c k kα↓ , c k kβ↑ khi

k c c

c

k

k k

k

.

.

/ /

k c k

k

k c c

c

k

k k

k

.

.

/ /

k c k

k c c

c

k

k k

k

.

.

/ /

k c k

k = /ββ

k

k < m mββ

k c c

c

k

k k

k

.

.

/ /

k c k

k

= /ααk

k > ( α1)α

2

2 +

m

m = 2 -α

Vậy, (c k) thoả mãn điều kiện (A)

Khi đó với ε > 0 tuỳ ý ta có:

n n

n - ε2 + ε2P(A)

Tõ (1.6) vµ (1.7) suy ra

P(A) ≥ 2 2

2

) ( ) (

) (

ε ε

ε

− +

S D

2

) ( ) (

) (

ε ε

ε

− +

+

+

n

S D c

c

≥1 - ( ( ))

2

n S D

b p

a − ≥ p −p −

1 1 1

,hay

p b a q

b p

a + ≥ 1 1 Thay a = p

p p

X

q q

Từ đó suy ra f(b) ≤max f(x) = f(a) = 0 hay (a + b) p ≤2 p-1(a p + b p).

(1.14) X1+X2 p ≤ ( X1 p + X2 p)

≤2 p-1( X1 p + X2 p)

Còn nếu X1 +X2 = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử (1.9) đúng với n 1– , ta cần chứng minh nó đúng với n.

Thật vậy, theo (2.12) ta có

EX1 + … +Xnp≤ EX1 + … + Xn-1p + EXnp < ∞

nªn X1 + … +Xn ∈ Lp

MÆt kh¸c, ta cã

p n

X X

∑

=

n i i

X ≤ n∑

=

n

i i

n

i

X t X

i

X

1 2 2

1 2

X ≤ n∑

=

n

i i

Định lý Nếu (X k ) là dãy đại lợng ngẫu nhiên trực giao, S n = ∑

có độ dài 2 j , j = 0, 1, 2, …, m Vì vậy, khoảng (0; h] có thể biểu diễn dới dạng

hợp của không quá m+1 khoảng không giao nhau, trong đó mỗi khoảng thuộc về

một phép phân chia khác nhau Nói cách khác chúng ta có thể biểu diễn h dới

dạng nhị phân Ta có thể viết Sh = ∑

=

m

j jh

Y

0 , ở đây mỗi Y jh là tổng các đại lợngngẫu nhiên thuộc khoảng có độ dài 2 j, có thể có mặt hay không có mặt trong sựbiểu diễn số của h, vì vậy một số Y jh có thể bằng 0.

j

a

0 2 2

0

) 1 ( suy ra với mọi h ≤ n

S Y m m Y m T

j jh m

j jh

0 2 2

0

2

+

≤ +

⇒ (m+1)2 < ( 2

2 log logn + )2 =

2

2 log

4 log

N F A

X | ) ( ) ( (do tính chất martingale dới)

= ∑Ε[Ε Ι ]

n

n n

N A F

X ( ) | ) (

= , 1 +1 = 1

q

Chứng minh.

Bất đẳng thức phía trái là tầm thờng Để chứng minh bất đẳng thức phía phải

ta sử dụng bất đẳng thức (1.15) và bất đẳng thức Hlder,

N n p

p x [X ( X n x) ]dx

N n N p

n N

n X p N

0 max

0 2

X q

[ ( p) ] q

n N n p p

≤

≤

ΕΕ

≤

Từ đó rút ra bất đẳng thức ở phía phải

n

n

A thì

3.4 Luật mạnh số lớn Kolmogorov: trờng hợp tổng quát Giả sử (X n ) là dãy

hằng số sao cho 0 < b n ↑∞ Khi đó, nếu

(1.18) −Ε → 0

n

n n

b

S S

b

X X

∑n=

k

k k n

x b

1

1

∑−

=

1 1

n

k

(b k+1 – b k)A k Giả sử ε > 0 đã cho, tồn tại n 0 sao choA n < ε , n ≥n 0 Khi đó, với n > n 0

∑−

=

1 1

0

n

n

k (b k+1 – b k) = A(b no + 1 b– 1) + ε(b n - b no)

Do đó

(1.21) limn 

n b

1

∑−

=

1 1

− = ∑n= −Ε →

n n k n n

n n

b

X X b b b

ES S

→

n

S n

0 h.c.c.

3.5 Luật mạnh số lớn Kolmogorov: trờng hợp cùng phân phối.

Định lý Giả sử (X n ) là dãy các đại lợng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Khi đó

n

n X

m < E X1< ∞

Theo bổ đề Borel-Cantelli, ta có

P(limsupn A n) = 0 (trong đó A n = (X//≠0))

⇒ P( lim supA n) = 1

=nlim→∞ ∫

−

n n

x xdF( ) = EX1 = a.

n n

S n

nc S

1 =

p

n n

nc S

1 1

) 1 ( −

1 1

1 1

−

d X

A n

n

k

p q

A

k n k

p q

k

1 1

≤ ∑∞ + − − ∫ Ρ

=

−

d X k

p q

p

A

p q p k

p q

k

1 / ) ( 1

(

≤ ∑∞ + − ∫ Ρ

=

d X p q

p k

p A

1 1

) 1

(

(1.29) ≤ X p

q p

q

1

Ε

− < ∞ Trong (1.29) , lÊy q = 2, ta cã

∑∞

= héi tô h.c.c MÆt kh¸c,

n Y n

X

= ∑∞

= 1Ρ > 

1 1

chuçi ∑∞

= 1 1

n n

p

n X n

p

] [

1 1

1

=

∞ +

=

−

d X n

k

n

p

1 2

1 1

p

k

A k

p p

1 1

/ ) 1 (

) 1 ( 1

≤ Ρ

− ∑∞ ∫

=

d X p

Điều đó cùng với (1.31) ta lại có

∑∞

= 1 1

n n

n

X X

X n S

1 1Ε

nc S

1

−

→0 h.c.c khi 0 < p < 1, c ∈ R

Trờng hợp p = 1 đã đợc chứng minh trong định lý Kolmogorov

3.7 Sự hội tụ của dãy và chuỗi trực giao trong L2

3.7.1 Định lý Giả sử dãy đại lợng ngẫu nhiên (X n ) trực giao Nếu ∑∞=1 2 < ∞

k

k n

X

X b b

X

b (do b n ↑ ∞) ⇒ E 1 0

2 1

→

∑

=

n k k n

⇒ ∑∞ Ε < ∞

= 1

2 1

X

⇒ ∑∞ Ε < ∞

= 1

2

n n

= 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 +1 lim +1

∞

→

+ +

− + +

− +

− +

r k

=

2 1

log

n

n

X n

log

n

X b

X

Chøng minh.

S L S

n  → 2 , áp dụng định lý 3.7.2 với bn = log n/log2 ta có

= 1

2 2

2 log 2

log / 3

log

n

X b

∑∞=1log | | 2

n b

X b

X

b h.c.c

Chơng II Luật mạnh số lớn đối với hệ thống khối độc lập

và hệ thống khối trực giao

♣1 Điều kiện đủ của luật mạnh số lớn cho hệ thống

khối độc lập và hệ thống khối trực giao

m k

m l

l

1

) (

1

m

m

i i

m k

/

) (

δ

m k

/

) (

m k

/

2 ) (

k i

i X

k i

i X

r r

k i

i X

2

)

2 2

k i

i X

m m

σ ≤ ∑∞

= 0

2 //

m m

σ ≤ ( )

1 2

2

i i

X n→ 0 h.c.c.

Chứng minh.

Theo bất đẳng thức Markov, ∀ε> 0 tuỳ ý ta có :

p n p

p n n

X E X

X

ε ε

ε < ∞; Vậy X n→ 0 h.c.c

Bây giờ ta trở lại chứng minh định lý

−

+

1 0

1 2 2

1 1

1

2 2

i k

k m

2

k

k k

( 2 2 2 )

2

1 /

1 2 /

1 2 /

1 0 0

−

m k

2 2

1

/ 1 2 /

0

−

+ + + σ k σk

1 0 0

−

m k

2

1 2

1

Vậy,

k

k k

m k

m

1

) (

− m

l

r

r k

m k k

/ 2

2

Suy ra X, Y trực giao Vậy, (X i) là hệ thống khối trực giao

Cho khối bất kỳ ∅≠∆k (m) = ∆k∩∆m / , đặt :

1 ,

sup

l

l i

i l

l

X

m k

γm = 2-m-1 ( )

k r k

≤ m

m

X X

m k

m

);

( 0

) ( 0 /

∆ .

Do đó:

m

n X

1 ,

) ( sup 2

k

r k

l

l i

i l

l

m k m

m

m k X

δ

≤ ( ) 1 ( )

/ /

sup 2

2

k r k r m r

r k

m k m

m m m

/

→ +

∑ ∑

= =

−

m m

l

r

r k

m k

X1+ 2+ + n → 0 h.c.c, nghĩa là (X n) tuân theo luật mạnh số lớn

1.3 Định lý 1 Cho (X i ) là hệ thống khối độc lập, EX i = 0, EX i 2 = c i 2 Khi đó, nếu :

(2.1) ∑ 2 ( ) < ∞

2

i i

c i

thì (X i ) tuân theo luật mạnh số lớn

Chứng minh

Do (X i) là hệ thống khối độc lập, EXi = 0 nên nó là hệ thống khối trực giao áp

dụng bất đẳng thức Doob với p = 2, ta có

i l

l

X

m k

≤ ( ( ) )2

2 m k

∑

∆

∈m i

i

X

i i

k r k r m

m m

m k

/

2 ) ( γ

i l

l

X

m k

2

2 )

(

2 log

4 log

m k

i l

l

X

m k

i i

2 )

( 2

2 ( 1 )

log

m k

i i

2 2

2 ( ( 1 ) ( ) 1 ) log

m k

i i

c k

2 2

2 ( ( 1 ) ( ) 1 ), ) log

m k

i i

s k

2

) (

m k

i i

c

2 i c m k

m k

/

2 ) (

) (

2 i c C m k

2 i c C

m k m

m i

i r

r k

2 i c C m k

2

1

i i

c m

Từ đó theo bổ đề 1 và bổ đề 3 ta có (X i) tuân theo luật mạnh số lớn

*)Ta xét một số trờng hợp đặc biệt

Hệ quả 1 Khi ω(k) = 2k (hoặc ω(k) = [qk], q > 1), nếu (X i) là hệ thống ∆k-độc lập, EXi

= 0, luật mạnh số lớn Kolmogorov là đúng và nếu (X i) là hệ thống ∆k – trực giao luậtmạnh số lớn Rademacher là đúng

log

i

i

X E i

i

= ∑∞

2 2

2 2

2 2 log log

i

i

c i

i

= log 2 2 ∑∞

= 1  

2 2

2 2

log 1

i

i i

i

c i

i a a

= c.log 2 2 ∑∞

= 1  

2 2

* ( )

i

i c i i

m

2

2 log log

X E

1 2

2

i i

Tơng tự trờng hợp trên ta có, nếu (Xi) thoả mãn các điều kiện của luật mạnh số lớn Radermacher thì thoả mãn giả thiết của định lý 3 nên (Xi) tuân theo luật mạnh số lớn

Hệ quả 2 Cho ω(k) = [ ]kα , α > 1, (Xi) là hệ thống ∆k- độc lập, EXi = 0 hoặc hệ thống

∆k- trực giao với EXi2 = ci2, khi đó nếu ∑∞

Thật vậy, Nm = min{N: ω(N) ≥2m} = min{N: [ ]Nα ≥2m}

s ~ 2 , ϕ * (i) = Ο (log 2i), Φ (i) = ϕ (i) Kết hợp với định lý 1 suy ra

điều phải chứng minh

Chú ý Khi α = 1, ∆k = [k,k+1), giả sử (Xi) là hệ thống các đại lợng ngẫu nhiên trong

i

i Φ Ε

i

i

X

i < ∞

Ε = d i và hàm ϕ(i) đợc định nghĩa trong (1.1).

m k

m l

l

1

) (

m

m

i i

r r k

m k

/

) (

m k

/

) (

r k

m k

= 2-(m+1)p E

p r

r k

m k

m m

∑

= /

) (

p m k

/

) (

r r k

p

i i X

r r k

p

i i X

r r k

p

i i X

m p p

i

) 1 (

r r k

p

i i X

1 2 2

1

m

m p

p i

1 2 2

i

X

) (

1 i

p−

ϕ (Do ϕ(i) = sm víi i∈[2m ;2m+1))

= ∑−

=

+ 1 2 2

1

m

m

i p

i

dν

) (

∑∞

=

Ε

0 /

m

p m

σ ≤ ∑∞

=

Ε

0 //

m

p m

i i i

d ϕ ≤∞ (Theo (2.9)),nên theo bổ đề 2 ta có σm/ → 0 (h.c.c), σm// → 0 (h.c.c)

−

+

1 0

1 2 2

1 1

1

2 2

i k

k m

2

k

k k

2

k

k k

( 2 2 2 )

2

1 /

1 2 /

1 2 /

0

−

+ +

1 0 0

−

m k

2 2

1

/ 1 2 /

0

−

+ + + σ k σk

1 0 0

−

m k

2

1 2

mãn

Cũng theo cách này, ta có :

m k

m

1

) (

− m

l

r

r k

m k k

/ 2

2

tức là (2.3) là thoả mãn

Bây giờ ta trở lại chứng minh định lý

Do (Xi) là hệ thống khối độc lập, EXi = 0, khi đó theo bất đẳng thức Doob, ta có

(2.10) E m p

k( )

γ = E

p l

l i

i l

i

p i

m m

) ( 1

/

sup

p m k

/

) ( γ

2

1

) (

> 1)

= qp ∑−

=

+ 1 2 2

1

m

m

i p

Mặt khác, theo bổ đề 4 ta có (2.3) Vậy, theo bổ đề 3 thì (Xi) tuân theo luật mạnh

số lớn

khối độc lập và và hệ thống khối trực giao.

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu các chuỗi (2.1) và (2.6) phân kỳ thì nói chung luậtmạnh số lớn không đúng Để làm điều đó, chúng ta cần bổ đề sau (xem [3])

2.1 Bổ đề 5 Nếu X 1 , X 2 , … , X n là dãy đại lợng ngẫu nhiên độc lập có phân phối

đối xứng thì tổng S n = X 1 + X 2 + … + X n có phân phối đối xứng và

s

s s

C

=

2

2

*

* 1

là một hằng số dơng

Nếu các khối này không tồn tại, tức là Nm+1 = Nm hay Nm+1 = Nm + 1, khi đó ta

đặt sm* = 1, Mm = 2m Khi đó, điều kiện (2.11) đợc viết lại dới dạng

2 2

1

k m

m

m k c

Từ sự xác định trên ta sẽ xây dựng hệ thống ∆k-độc lập (Xi) trên không gian (Ω, Α, P), ở đây Ω = [0, 1] và P là độ đo Lơbe Chọn một hệ thống các biến cố

m ε s trên Emi+ , = - 2 ( * ) − 1

m m

m ε s trên E mi- , = 0 trên Ω\ E mi ,

1 ε

Cho Υ2m i−1 = Ζi = ± 2m/ εm trên Ε ±mi, Εmi = γm, i = 1, , 2m

Trong cách xây dựng đó , EYk = 0, EYk2≤ (cm*)2≤ c k 2 với k ∈∆/

P[ ] [ ] min( 1 , )

4

1 1

2

1 ) (

m m

M m

2 2

1

m m m

k k

m

γ = ( * * ) 2 2 − 2 , thì m

m m m m

2 sup lim

m

m

k k m m

k N

Y

N 1

1 sup

k thoả mãn tất cả các giả thiết của

định lý Để xây dựng ví dụ tơng tự ví dụ trên cho hệ thống khối trực giao, ta cần bổ

đề sau (xem [2, trang 95])

2.2 Bổ đề 6 Cho C > 1; M ≥ 2 là số nguyên dơng và cho E là một tập hợp trên

p p

≥

∑

=

2.3 Định lý 5 Cho ω(k) là một dãy đơn điệu tăng các số nguyên dơng, các số c i

và ∆k = ω(k+1) - ω(k) thoả mãn các điều kiện (A) và (B).

Gọi φ(i) xác định bởi (1.1) Khi đó, nếu

(2.15) ( )

1 2

2

i i

m

i

c s

m

i

c t

Theo định lý 4 trong trờng hợp đầu tiên, tồn tại hệ thống ∆k- độc lập,

EXi = 0 Giả sử bây giờ điều kiện (2.16/ ) thoả mãn Sử dụng tính chất của (ci) cho cm*

(2.17) ∑∞ = ∞

m m m

c

2

) ( * 2 0

Nh trong chứng minh của định lý 4, nếu sm > 2, khi đó sm* ≥sm – 2, các khối ∆

/

m

l , , ∆l m hoàn toàn nằm trong ∆m/ và Mm≥c02m/sm*

Trong trờng hợp khác, ta giả sử rằng sm* = 1, Mm = 2m nh trớc đây Đó đã đủ đểxây dựng một hệ thống (Xi) là ∆k – trực giao, thoả mãn (2.12) và

m m

m m m

m =M t 2 − 2 (c* ) 2 ε

Giả sử Am là một σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các khoảng không đổi từng phầncủa các hàm {X1, , X2m− 1}

Ta xét tập hợp Em độc lập với Am sao cho Em = min(Bmsm*, 1) Tách tập hợp đó

ra sm* phần rời nhau, mỗi phần có độ đo là ( ) 1

* = 5 −

Ε

m m

m C

Z =1trên [0, 1] gồm các hàm hằng từngphần, nh thế (2.14) thoả mãn Giả sử k thuộc một trong các khối /