Linh hóa tử trái và vành cấu xạ luận văn thạc sỹ toán học

MỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU Theo định lý đồng cấu vành, ta luôn có R/la≅ Ra, trong đó la là linh hóa tử trái của phần tử a.. SánchezCampos đã đưa ra điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐỨC BIÊN

LINH HÓA TỬ TRÁI VÀ VÀNH CẤU XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2011

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Theo định lý đồng cấu vành, ta luôn có R/l(a)≅ Ra, trong đó l(a) là linh hóa

tử trái của phần tử a Tuy nhiên, R/Ra≅ l(a) thì không phải bao giờ cũng đúng.

Năm 1976 Erlich đã đưa ra lớp vành thỏa mãn điều kiện R/Ra≅ l(a), lớp vành

này được gọi là lớp vành cấu xạ trái Từ đây ông đã đưa ra định lý: Nếu α là một tự đồng cấu môđun M, khi đó M là môđun chính quy khả nghịch khi và chỉ khi M/im(α)≅ ker(α) (xem [5]) Nhưng việc nghiên cứu vành cấu xạ qua điều

kiện này tỏ ra không hiệu quả Năm 2004 W.K.Nicholson và E SánchezCampos đã đưa ra điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất vềlinh hóa tử (xem [4] Lemma 1) Khi đó các điều kiện được phát biểu thôngqua linh tử hóa trái (hoặc phải) Sử dụng các điều kiện mới này việc nghiên

cứu lớp vành cấu xạ tỏ ra rất hiệu quả Trên cơ sở của bài báo [4], luận văntìm hiểu các tính chất của linh hóa tử trái và vành cấu xạ, trình bày chi tiếtchứng minh một số bổ đề và định lý tương đương, qua đó tìm hiểu mối liên hệcủa lớp vành này với các lớp vành cổ điển Luận văn còn tìm hiểu thêm vềtính chất của các phần tử đặc biệt thuộc lớp vành này.

Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1: Các khái niệm mở đầu Trong chương này, chúng tôi hệ

thống lại các khái niệm cơ bản, các định lý, các mệnh đề và bổ đề nhằm phục

vụ cho luận văn Cụ thể chúng tôi trình bày tóm tắt các khái niệm, ký hiệu vàtính chất cơ bản của các phần tử đặc biệt trong vành, các lớp vành thườnggặp

Chương 2: Linh hóa tử trái và vành cấu xạ Chương này là nội dung

chủ yếu của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày về linh hóa tửtrái và vành cấu xạ Các tính chất của lớp vành cấu xạ, tìm hiểu tính cấu xạcủa các phần tử đặc biệt trong vành, tính cấu xạ của các vành cổ điển

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Ngô

Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, người

đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn

Cuối cùng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau đại học Cácthầy cô trong tổ Đại số, đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy, các cô vàcác bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các tính chất cơbản liên quan đến luận văn Các định nghĩa, các ký hiệu này chúng tôi dựavào các tài liệu Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận [1], W.K.Nicholson, and E Sánchez Campos [4] Các vành luôn giả thiết là vành kếthợp, có đơn vị, các môđun trên vành hiểu là môđun phải unita

1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành

1.1.1 Phần tử khả nghịch Cho vành R, có đơn vị là 1 Phần tử x∈R được

gọi là phần tử khả nghịch (unit invertible regular element) trong R nếu tồn tại phần tử y∈R sao cho xy=yx = 1

1.1.2 Phần tử chính quy Cho vành R Phần tử a trong vành R được gọi là

phần tử chính quy (regular element) nếu tồn tại phần tử b∈R sao cho aba=a

1.1.3 Phần tử chính quy khả nghịch Cho vành R Phần tử a trong vành R

được gọi là phần tử chính quy khả nghịch (unit regular element) nếu tồn tại phần tử khả nghịch b∈R sao cho aba=a

1.1.4 Nhận xét Phần tử chính quy khả nghịch là phần tử chính quy, nhưng

điều ngược lại không đúng

1.1.5 Phần tử lũy đẳng Cho vành R, phần tử e∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng (idempotent element) nếu e2 =e

1.1.6 Lũy đẳng trực giao Hai phần tử lũy đẳng e và f của vành R được gọi

là lũy đẳng trực giao (orthogonal idempotents) nếu ef = fe= 0.

Mối liên hệ giữa phần tử chính quy và phần tử lũy đẳng được thể hiệnqua mệnh đề sau:

1.1.7 Mệnh đề Nếu a là phần tử chính quy trong vành R và a=axa với x∈

R thì ax và xa là các phần tử lũy đẳng.

Chứng minh Đặt e = ax thì e2 =ax.ax= (axa)x=ax=e⇒e2 =e Hay e là phần

tử lũy đẳng Đặt f =xa , chứng minh tương tự ta có f là phần tử lũy đẳng.

Mặt khác lấy x∈R R thì từ 1=a 1 +a 2 + +a n suy ra x=xa 1 +xa 2 + +xa n

với xa i∈A i (do A i∆R R, a i∈A i ) ⇒ x∈ A 1⊕A 2⊕ ⊕A n Vậy R R=A 1⊕A 2⊕ .

x∈Re j∩∑Re i với i≠j, ∀i= thì x=re j=r 1 e 1 +r 2 e 2 + +r k e k Trong tổng

trên không có thành phần thứ j.

Suy ra xe j=re j e j=r =re j =x Mà r =re j e j=r 1 e 1 e j +r 2 e 2 e j + +r k e k e j Trong đó e i e j=0 ∀i≠j, do đó x=0 Hay Re j∩∑Re i =0.



1.2.2 Hệ quả Cho vành R Các điều kiện sau đây là tương đương.

i R R không phân tích được.

ii R R không phân tích được.

iii R chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1.

Chứng minh (i)⇒(ii): Giả sử R R= Re 1⊕Re 2 ⊕ ⊕Re k Vì R R không phân

tích được nên Re 1= R R hoặc Re 1=0.

Nếu Re 1=R R ⇒Re 1 e 1=Re 1⇔R R =R R ⇒ =1.

Nếu Re 1=0 ⇒Re 1 e 1=0e 1=0⇔R R =0⇒ =0.

Vậy nếu R R không phân tích được thì chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1.

Chứng minh tương tự ta có (ii)⇒(iii).

Chứng minh (iii)⇒(i) Giả sử R R=A⊕B với A, B∆R R Suy ra theo định

lý phân tích vành tổng quát ta có A= Re, B=Rf với {e, f} là lũy hai đẳng

trực giao và e+f=1

Theo giả thiết (iii) ta có: Hoặc e=0 suy ra A=0 Hoặc e=1 suy ra A=

R R Do đó R R không phân tích được. 

1.3 Các lớp vành thường gặp

1.3.1 Vành Bun Vành R được gọi là vành Bun (Boolean ring) nếu mọi phần

tử của vành R đều là phần tử lũy đẳng.

1.3.2 Vành chính quy Vành R được gọi là vành chính quy (regular ring) nếu

mọi phần tử của vành R đều là phần tử chính quy.

1.3.3 Định lý Cho vành R Các khẳng định sau là tương đương:

i R là vành chính quy

ii Mọi Iđêan chính trái sinh bởi phần tử lũy đẳng

iii Mọi Iđêan chính trái là hạng tử trực tiếp trong R

iv Mọi Iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp trong R

1.3.4 Vành chính quy khả nghịch Vành R được gọi là vành chính quy khả

nghịch (unit regular ring) nếu mọi phần tử của vành R đều là phần tử chính

quy khả nghịch

1.3.5 Nhận xét Vành chính quy khả nghịch là vành chính quy nhưng điều

ngược lại không đúng

Ví dụ Cho trường k và V là không gian véctơ vô hạn chiều trên k Xét

vành R=End(V) là vành các tự đồng cấu của V Khi đó R là vành chính quy

nhưng không là vành chính quy khả nghịch

1.3.6 Vành hữu hạn trực tiếp Vành R được gọi là hữu hạn trực tiếp (directly

finite ring) nếu với các phần tử a, b∈R sao cho ab=1 thì ba=1.

1.3.7 Vành nửa đơn Vành R được gọi là vành nửa đơn (semisimple ring) nếu

R=⊕R i , i∈I với R i là iđêan trái tối tiểu của R.

Định lý sau đặc trưng cho vành nửa đơn

1.3.8 Định lý Cho vành R Các khẳng định sau là tương đương:

i R là vành nửa đơn

ii R là tổng hữu hạn các iđêan trái tối tiểu

iii Mọi iđêan trái là hạng tử trực tiếp của R

iv Mọi iđêan trái của R sinh bởi phần tử lũy đẳng

1.4 Vành P – nội xạ

1.4.1 Môđun nội xạ Cho A là một R - môđun Môđun N được gọi là A - nội xạ

(A - injective) nếu với mỗi đồng cấu ϕ: X→N đều có thể mở rộng tới đồng cấu

ψ: A→N trong đó X là môđun con của A

Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là A - nội xạ với mọi

môđun A.

Để chứng minh môđun N là A – nội xạ ta có định lý sau:

1.4.2 Định lý Môđun N là A - nội xạ khi và chỉ khi N là Ra - nội xạ ∀a∈A.

1.4.3 Môđun P- nội xạ Cho vành R và M là một R – môđun phải Môđun M

được gọi là P –nội xạ (nội xạ chính phải) (principally injective) nếu mọi R

-đồng cấu ϕ: aR→ M với bất kỳ a∈R đều có thể mở rộng tới đồng cấu ψ :R →

M.

1.4.4 Vành P – nội xạ Vành R được gọi là P- nội xạ (nội xạ chính phải)

(right principally injective ring) nếu R R là môđun P – nội xạ, nghĩa là mọi iđêan chính phải aR đều mở rộng được.

Chương 2

LINH HÓA TỬ TRÁI VÀ VÀNH CẤU XẠ

Năm 1976 Erlich đã đưa ra lớp vành thỏa mãn điều kiện R/Ra≅ l(a),

lớp vành này được gọi là lớp vành cấu xạ trái [5] Năm 2004 W.K Nicholson,and E Sánchez Campos đã đưa ra điều kiện tương đương của lớp vành cấu xạ

dựa vào linh hóa tử trái như sau: R là vành cấu xạ tương đương với tồn tại

phần tử b∈R sao cho Ra=l(b) và l(a) =Rb Khi sử dụng điều kiện tương

đương này khảo sát vành cấu xạ rất hiệu quả Trong chương này chúng tôitrình bày về linh hóa tử trái, các kết quả thu được từ linh hóa tử trái với cácvành thông thường Sử dụng khái niệm linh hóa tử trái để tìm hiểu về vànhcấu xạ

2.1 Linh hóa tử

2.1.1 Định nghĩa Cho vành R và ∅≠ A⊆R Khi đó:

a l(A)={r∈Rra=0,∀a∈A} được gọi là linh hóa tử trái (left annihilator) của A trong vành R.

b r(A)={r∈Rar=0, ∀a∈A} được gọi là linh hóa tử phải (right annihilator) của A trong vành R.

c Nếu A={a} thì chúng ta viết l(a) hoặc r(a) tương ứng là linh hóa tử

trái và linh hóa tử phải

2.1.2 Tính chất Cho vành R và ∅ ≠ A, B⊆R Khi đó:

i l(A)∆R R; r(A)∆R R

ii a Nếu A∆R R thì l(A)∆R.

b Nếu A∆R R thì r(A)∆R.

iii A⊆l(l(A)) và A⊆r(r(A)).

iv Nếu A⊆B thì l(B)⊆l(A) và r(B)⊆r(A).

Chứng minh (i): Giả sử a 1 , a 2 ∈l(A), khi đó từ định nghĩa l(A) chúng ta có a 1 b

=a 2 b=0, ∀b∈A Do đó a 1 b-a 2 b=0 = (a 1 - a 2 )b=0, suy ra a 1 - a 2∈l(A).

Vì thế l(A) là vành con của R Mặt khác ∀a∈l(A) và b∈A thì ab=0, do đó

với x∈R chúng ta có xab=0, hay xa∈l(A) Vậy l(A)∆R R.

Chứng minh tương tự chúng ta có r(A)∆R R

(ii) a): Giả sử A∆R R ∀b∈A, x∈R thì xb∈A Do đó với a∈l(A) thì a(xb) =0

mà a(xb) = (ax)b=0 nên ax∈l(A) Vậy l(A)∆R.

Chứng minh tương tự ta có b

(iii): Với mọi x∈A và a∈r(A) thì ax=0 Do đó x∈r(r(A)) Vậy A⊆r(r(A)).

Chứng minh tương tự ta có A⊆l(l(A)).

(iv): Với mọi x∈r(B), chúng ta có bx=0, ∀b∈B Vì A⊆B nên ax=0, ∀a∈A.

Do đó x∈r(A) Suy ra r(B)⊆r(A).

Chứng minh tương tự ta có l(B)⊆l(A) 

Định lý sau nêu lên mối liên hệ giữa linh hóa tử với vành P – nội xạ

2.1.3 Định lý Cho vành R Các điều kiện sau là tương đương

i R là vành P – nội xạ phải.

ii l(r(A) =Ra, ∀a∈R.

iii Nếu r(a)⊆l(b) với a, b∈R thì Rb⊆Ra.

iv l(bR∩r(a)) =l(b)+Ra, ∀a, b∈R.

v Nếu ϕ: aR→R trong đó a∈R là R- tuyến tính thì ϕ(a)∈Ra.

Chứng minh (i)⇒(ii): Giả sử R là vành P-nội xạ chúng ta sẽ chứng minh l(r(A) =Ra, ∀a∈R Thật vậy, ∀y∈r(a) thì ay=0 ∀x∈Ra chúng ta có x=

ra, do đó xy=ray=0 suy ra x∈l(r(a)), hay Ra⊆l(r(a)) (1)

Giả sử b∈l(r(a)) khi đó chúng ta có ∀x∈r(a) thì bx=0, suy ra x∈r(b) Xét

ánh xạ ϕ: aR→ R được xác định bởi ϕ(ar) =br là một đồng cấu Theo giả

thiết (i) chúng ta có ϕ=c Với c∈R nào đó và b=ϕ(a) =c.a∈Ra, hay l(r(a))∈Ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra l(r(A) =Ra, ∀a∈R

(ii)⇒(iii): Nếu r(a)⊆l(b) với a, b∈R thì b∈l(r(a)) =Ra (theo giả thiết

ii) Do đó Rb⊆Ra.

(iii)⇒(iv): Xét x∈ l(bR∩r(a)) Chúng ta có với r∈r(ab) thì abr=0, suy

ra br∈r(a), do đó br∈r(a)∩bR, tức là xbr=0, suy ra r∈r(xb), vì vậy r(ab)⊆r(xb) Theo giả thiết (iii) chúng ta có Rxb⊆Rab Từ đó xb=tab với

t∈R nào đó Suy ra (x-ta)b=0=yb với y=x-ta, suy ra y∈l(b) Chúng ta có

x=ta+y∈Ra+l(b), tức là l(bR∩r(a))⊆Ra+l(b).

Với x∈Ra+l(b) thì x=x 1 +x 2 a trong đó x 1 b=0 Với mọi c∈bR∩r(a) thì

c=bc 1 và ac=0 Chúng ta có xc=(x 1 +x 2 a)c=x 1 bc 1 +x 2 ac=0, do đó

x∈l(bR∩r(a)), tức là Ra+l(b)⊆l(bR∩r(a)).

Vậy l(bR∩r(a)) =l(b)+Ra, chúng ta có iv.

(iv)⇒(v): Giả sử ϕ: aR→R là R-tuyến tính Đặt ϕ(a) =d Chúng ta có

với x∈r(a) thì ax=0 và do đó ϕ(ax) =xϕ(a) =xd=0 suy ra x∈r(d), tức là r(a)⊆r(d), nên l(r(d))⊆l(r(a)) Mặt khác với b=1 từ giả thiết iv chúng ta có

Ra=l(r(a)) nên d∈Ra Vậy chúng ta có v.

(v)⇒(i): Giả sử ϕ: aR→ R là R-tuyến tính, từ v chúng ta có ϕ(a) =ca

với c∈R nào đó Vậy ϕ=c. 

2.2 Vành cấu xạ

Cho vành R và phần tử a∈R Chúng ta xét toàn cấu f: R→ Ra xác định

bởi f(x) = xa, ∀x ∈ R Khi đó theo định lý đồng cấu chúng ta có Ra ≅

R/Kerf, với Kerf={x ∈ Rxa=0}=l(a) cho nên Ra ≅ R/l(a) Tuy nhiên R/Ra ≅ l(a) không phải bao giờ cũng đúng.

Thật vậy: Xét vành các số nguyên Z và iđêan chính Z.2 của nó Khi đó

ta có Z/Z.2=Z 2 và l(2)={x∈Z:x.2=0}=0 Và Z/0≅Z.2 nhưng Z/Z.2=Z 2≅

0=l(2) Lớp vành có tính chất R/Ra ≅ l(a) và lớp vành mở rộng của lớp vành

có tính chất R/Ra ≅ l(a) gọi là vành cấu xạ (morphic ring).

2.2.1 Định nghĩa Cho vành R và a là một phần tử của R.

a Phần tử a được gọi là phần tử cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic

element) trong R nếu R/Ra ≅ l(a) (tương ứng R/aR ≅ r(a)).

b Vành R được gọi là cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic ring) nếu

mọi phần tử của nó đều là phần tử cấu xạ trái (phải)

c Vành R được gọi là vành cấu xạ (morphic ring) nếu nó là vành cấu xạ

trái và phải

2.2.2 Bổ đề [4, Lemma 1] Cho vành R Với mỗi phần tử a ∈ R, các khẳng định sau là tương đương.

a a là phần tử cấu xạ trái.

b Tồn tại phần tử b ∈ R sao cho Ra=l(b) và l(a) =Rb.

c Tồn tại phần tử b ∈ R sao cho Ra=l(b) và l(a) ≅ Rb.

Chứng minh (a)⇒(b): Giả sử a là phần tử cấu xạ trái Khi đó tồn tại đẳng cấu

ϕ: R/Ra → l(a) Đặt b=ϕ(1+Ra) Chúng ta sẽ chứng minh Rb=l(a) =

Imϕ và Ra=l(b).

Thật vậy, với x∈Rb thì x=x 1 b=x 1ϕ(1+Ra) = ϕ(x 1 +Ra) ∈Imϕ,

ngược lại nếu x∈Imϕ thì tồn tại x 1∈R sao cho x=ϕ(x 1 +Ra) =x 1ϕ(1+Ra) =

x 1 b∈Rb Do đó R(b) =l(a) Với x∈Ra thì xb = xϕ(1+Ra) = ϕ(x+Ra) =

ϕ(0) =0 nên x∈l(b), ngược lại nếu x ∈ l(b) thì 0= xb=xϕ(1+Ra) =

ϕ(x+Ra) suy ra x ∈ Ra Do đó Ra=l(b) Suy ra chúng ta có b.

(b)⇒(c): Hiển nhiên khi ta xét đẳng cấu f: R → Rb xác định bởi f(x) =x, với x∈R.

(c) ⇒ (a): Xét đồng cấu ƒ: R → Rb xác định bởi ƒ(x) =xb Khi đó ƒ

là toàn cấu và Kerƒ={x ∈Rxb=0}=l(b) =Ra (theo giả thiết c) Theođịnh lý đồng cấu R/Kerƒ ≅ R(b) ≅ l(a) Do đó R/Ra ≅ l(a) Chúng ta có a

2.2.3 Bổ đề: [4, Lemma 3] Nếu a là phần tử cấu xạ trái trong vành R và u là

phần tử khả nghịch trong R thì au và ua cũng là phần tử cấu xạ trái trong vành R.

Chứng minh Giả sử a ∈ R là phần tử cấu xạ trái Khi đó tồn tại b∈ R sao cho

Ra=l(b) và Rb=l(a) Do đó ab=ba=0

Chúng ta sẽ chứng minh: R(au) =l(u -1 b); l(au) =R(u -1 b) và R(ua) =l(bu -1 ) Thật vậy, nếu x∈R(au) thì x=x 1 au Vì thế x(u -1 b) =x 1 au(u -1 b) =x 1 ab=

0, cho nên x∈l(u -1 b) Do đó R(au)⊆l(u -1 b).

Ngược lại, nếu x∈l(u -1 b) thì x(u -1 b) =0 ⇔ (xu -1 )b=0 ⇒ xu -1 ∈ l(b) =

Ra Bởi vì xu -1 = x 1 auu -1=x 1 a, suy ra x=x 1 au ∈ R(au) Vì vậy, l(u

-1 b)⊆R(au) Do đó chúng ta được R(au) =l(u -1 b).

Xét x∈R(u -1 b), chúng ta có: x=x 1 (u -1 b) Do đó x(au) =x 1 (u -1 b)(au)

= x 1 u -1 (ba)u= 0 (Vì ba=0) suy ra x∈l(au), hay R(u -1 b)⊆ l(au) Ngược lại,

nếu x∈l(au) thì xau=0 Từ xa= (xau)u -1=0 hay xa=0⇒ x∈l(a) =Rb.

Do đó x=x 1 b= (x 1 u)(u -1 b)∈R(u -1 b) Vì vậy, l(au) ⊆ R(u -1 b) Chúng ta được l(au) =R(u -1 b) Từ đó suy ra au là phần tử cấu xạ trái Chứng minh hoàn toàn

tương tự ta có R(ua) =l(bu -1 ); l(ua) =R(bu -1 ), tức là ua là phần tử cấu xạ

trái 

2.2.4 Mệnh đề [4, Proposition 5] Cho vành R Nếu a ∈ R là phần tử chính quy và cấu xạ trái thì a là phần tử chính quy khả nghịch.

Chứng minh Vì a là phần tử cấu xạ trái nên tồn tại phần tử b ∈ R sao cho Ra

=l(b) và l(a) =Rb, hay ab=ba=0 Vì a là phần tử chính quy nên tồn tại

x ∈ R sao cho a=axa Đặt u=xax+b khi đó chúng ta chúng tỏ u là phần tử

khả nghịch và có aua=a Thật vậy aua=a(xax+b)a=axaxa+aba=axa =

a