XD mô hình toán truyền nhiệt lạnh đông XĐ tỉ lệ nước đóng băng, nhiệt độ lạnh tối ưu

XD mô hình toán truyền nhiệt lạnh đông XĐ tỉ lệ nước đóng băng, nhiệt độ lạnh tối ưu

XÂY DỤNG MÔ HÌNH TOÁN TRUYỀN NHIỆT LẠNH ĐÔNG XÁC ĐỊNH TỈ LỆ NƯỚC ĐÓNG BĂNG VÀ NHIỆT ĐỘ LẠNH ĐÔNG TỐI ƯU CỦA VẬT LIỆU ẨM DẠNG HÌNH TRỤ HỮU HẠN Ở GIAI ĐOẠN 1 TRONG SẤY THĂNG HOA

Nguyễn Tấn Dũng (1) , Trịnh Văn Dũng (2) , Trần Đức Ba (2)

(1)Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM (2)Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM

(Bài nhận ngày 08 tháng 11 năm 2009, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 22 tháng 10 năm 2010)

TÓM TẮT: Khi lạnh ñông thực phẩm ñể bảo quản cũng như thực hiện giai ñoạn 1 trong ñiều

kiện sấy thăng hoa thì việc xác nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu là vấn ñề phức tạp Ở bài viết này, sẽ công bố xây dựng một mô hình toán truyền nhiệt lạnh ñông, xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng theo nhiệt ñộ lạnh ñông của vật liệu ẩm (VLA) dạng hình trụ hữu hạn, kết quả nhận làm cơ sở xác ñịnh nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu, xác ñịnh chế ñộ công nghệ giai ñoạn 1 trong ñiều kiện sấy thăng hoa và ứng dụng trong tính

toán thiết kế hệ thống lạnh cũng như hệ thống sấy thăng hoa

Từ khóa: mô hình toán truyền nhiệt lạnh ñông, xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng, vật liệu ẩm (VLA),

dạng hình trụ hữu hạn, hệ thống sấy thăng hoa

1 GIỚI THIỆU

Khi nghiên cứu xây dựng mô hình toán

truyền nhiệt lạnh ñông, truyền nhiệt tách ẩm ñể

xác ñịnh chế ñộ công nghệ sấy thăng hoa

(STH) thì cần giải quyết các bài toán cho từng

giai ñoạn 1, 2 và 3 trong ñiều kiện STH Ở giai

ñoạn 1 là giai ñoạn lạnh ñông VLA ñể chuyển

ẩm từ trạng thái lỏng sang trạng thái rắn Bài

toán ñặt ra ở ñây, làm thế nào ñể xác ñịnh ñược

nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu Nếu không xác ñịnh

ñược thì khi lạnh ñông ở nhiệt ñộ lớn hơn nhiệt

ñộ lạnh ñông tối ưu thì ẩm trong VLA không

ñóng băng hết, khi ñó giai ñoạn sấy thăng hoa

chỉ thăng hoa phần ẩm ñã ñóng băng, phần ẩm

chưa ñóng băng bốc hơi trong giai ñoạn sấy

chân không và sẽ tốn kém nhiều năng lượng,

nhiệt ñộ sấy cao làm giảm chất lượng sản

phẩm, còn nếu khi lạnh ñông ở nhiệt ñộ nhỏ hơn nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu thì hệ thống lạnh tiêu tốn nhiều năng lượng do thời gian lạnh

ñông kéo dài, như vậy không hiệu quả kinh tế

Theo nghiên cứu của Plank R (1913) ñã

ñưa ra mô hình xác ñịnh thời gian lạnh ñông ñối với VLA, thịt gia súc dạng tấm phẳng,

Lame, Clapeiron, Shijov G.B (1931) ñã ñưa ra

mô hình xác ñịnh tốc ñộ nước ñóng băng trong

VLA, cá và thịt fillet dạng tấm phẳng, Plank,

Veinik (1937), Raoult (1958), Sbijov G.B

(1967), Golovkin N.A (1972), Luikov, A.V (1974), [2, 3], Dennis R Hledman (1999) ñưa

ra mô hình xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng ñối với VLA dạng tấm phẳng [2, 3, 8, 9, 10] Tuy nhiên chưa có một mô hình nào thích hợp ñể có thể áp dụng xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng

trong VLA dạng trụ hữu hạn Chẳng hạn như

VLA thủy hải sản nhóm giáp xác: tôm sú, tôm

bạc và tôm thẻ

Vì vậy, việc nghiên cứu xây dụng mô hình toán truyền nhiệt lạnh ñông xác ñịnh tỉ lệ nước

ñóng băng và nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu của

VLA là cần thiết

Một số thuật ngữ

• ωM(T)∈ [0,1]: tỉ lệ ẩm ñóng băng trung bình

theo nhiệt ñộng lạnh ñông của vật liệu ẩm (VLA)

• ω = Gi/Gw∈ [0,1]: tỉ lệ ẩm ñóng băng bên trong

vật liệu ẩm

• Gi [kg]: khối lượng ẩm ñóng băng

• Gw [kg]: khối lượng ẩm có trong vật liệu

• G [kg]: khối lượng vật liệu ẩm

• W = Gw/G ∈ (0,1): ñộ ẩm của vật liệu ẩm

• W0: là ñộ ẩm ban ñầu của VLA

• D = 2R [m]: ñường kính VLA

• H = 2h [m]: chiều cao của VLA

• r, z [m]: phương bán kính và chiều cao

• T0 [0C]: nhiệt ñộ tâm của VLA

• Ts [0C]: nhiệt ñộ bề mặt của VLA

• Tkt [0C]: nhiệt ñộ kết tinh của ẩm

• Tef [0C]: nhiệt ñộ môi trường lạnh ñông

• Tf [0C]: nhiệt ñộ ban ñầu của VLA

• Te [0C]: nhiệt ñộ cuối của VLA

• Tar [0C]: nhiệt ñộ trung bình của VLA

• t1(r, z, τ); t2(r, z, τ): nhiệt ñộ vùng (I) và (II)

• ρ [kgm-3]: khối lượng riêng trung bình của VLA

• L [kJkg-1]: ẩn nhiệt ñóng băng của nước trong VLA

• c [kJkg-1K-1]: nhiệt dung riêng của chất khô của VLA

• c1, c2 [kJkg-1K-1]: nhiệt dung riêng trung bình của VLA ở vùng (I) ẩm ñã ñóng băng và ở vùng (II) ẩm chưa ñóng băng

• ρ1, ρ2 [kgm-3]: khối lương riêng trung bình của VLA ở vùng (I) ẩm ñã ñóng băng và ở vùng (II) ẩm chưa ñóng băng

• λ1, λ2 [Wm-1K-1]: hệ số dẫn nhiệt trung bình của VLA ở vùng (I) ñã ñóng băng và ở vùng (II) ẩm chưa ñóng băng

• a1, a2 [m2s-1]: hệ số dẫn nhiệt ñộ trung bình củaVLA ở vùng (I) ẩm ñã ñóng băng, VLA ở vùng (II)

ẩm chưa ñóng băng)

• Bi1R, Bi2R, Bi1h, Bi2h: chuẩn số Bio theo phương bán kính và chiều cao

• Fo1R, Fo2R, Fo1h, Fo2h: chuẩn số Fourier theo phương bán kính và chiều cao

• α [Wm-2K-1]: hệ số tỏa nhiệt môi trường lạnh

ñông

2 MÔ HÌNH TOÁN TRUYỀN NHIỆT

LẠNH ĐÔNG

2.1 Các giả thiết xây dựng mô hình toán

- Bài toán làm lạnh ñông VLA luôn trải

qua 3 giai ñoạn, xem hình 1

a) Giai ñoạn 1: Làm lạnh VLA từ nhiệt

ñộ ban ñầu Tf = TVLA = const, xuống nhiệt ñộ

kết tinh ẩm ở bề mặt VLA Ts = TKt = const

b) Giai ñoạn 2: kết tinh ẩm bên trong

VLA

c) Giai ñoạn 3: Cân bằng nhiệt, làm giảm

nhiệt ñộ VLA sau khi kết tinh hoàn toàn, xuống nhiệt ñộ cuối cùng Te Vì giai ñoạn 1 và giai

ñoạn 3 chỉ là những bài toán truyền nhiệt trong

một pha, vì vậy thời gian thực hiện quá trình tuân ñịnh luật Plank, [3, 5, 6, 9, 10]

- Vấn ñề mà quan tâm ở ñây chính là tỉ lệ

ẩm ñóng băng theo nhiệt ñộ lạnh ñông của

VLA, từ ñó xác ñịnh nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu

Đây là vấn ñề phức tạp có nhiều thông số tham

gia như: trường nhiệt ñộ, bề mặt VLA, bề dày

lớp kết tinh, bề mặt phân pha, bản chất VLA,

phương thức và môi trường thực hiện quá trình

kết tinh, … Chính vì vậy, cần phải xem xét bài

toán ở giai ñoạn 2 ñể làm rõ vấn ñề ñặt ra

- Các giả thiết ñặt ra cần nghiên cứu như

sau:

i) VLA nghiên cứu là thực phẩm thủy hải

sản nhóm giáp xác là tôm sú

ii) VLA cắt ñầu, cắt ñuôi ñược xem là vật

liệu rắn ñồng nhất gần ñúng với hình trụ có

kích thước hữu hạn: D = 2R, H = 2h, xem hình

2, ẩm phân bố ñều, có các mặt ñẳng nhiệt ñồng tâm

iii) Các thông số nhiệt vật lý:ρi, c , a ,pi i λi, lấy trung bình theo thể tích

là hằng số

iv) Hệ số tỏa nhiệt của môi trường lạnh

ñông xem như không ñổi: α = const

v) Phương trình cân bằng nhiệt tại bề mặt

phân pha tuân theo ñịnh luật Leibenzon LS

- Bài toán ñặt ra ở ñây là phải xây dựng

hàm:

V

Tf

Te

2.2 Mô hình toán

Phương trình vi phân dẫn nhiệt viết cho

vật thể rắn bất kỳ mô tả ở dạng tổng quát:

2 v p

q t

w gradt a t

c

→

Vì lạnh ñông vật liệu rắn nên α =p 0 và

w = 0

uur

và không có nguồn nhiệt bên trong nên

( )

q = α ∆ + t R −∆ H = 0, VLA là dạng hình

trụ hữu hạn, ñồng nhất có các mặt ñẳng nhiệt là các mặt trụ ñồng tâm Do ñó phương trình (2)

ñược viết như sau:

a

r r

∂τ ∂ ∂ ∂  (3)

Phương trình (3) ñược viết cho 2 vùng, vùng (I) lớp ẩm ñóng băng và vùng (II) lớp ẩm

chưa ñóng băng, xem hình 2, [4]

Vùng (I), lớp ẩm ñóng băng:

a

r r

r− r R, z− z h, 0





(4)

Vùng (II), lớp ẩm chưa ñóng băng:

a

r r

0 r r , 0+ z z ,+ 0





(5)

Các ñiều kiện ñơn trị ñể giải bài toán (4) và (5):

a) Điều kiện ñầu: τ =0 thì

t (r, z, 0)=t (0, 0, 0)=T =const (7)

ef

1

r R

t (r,z, )

t (R,z, ) T

t (r,z, )

0

∂ (9)

R

- R -r 0 r

h

-h

z

-z

t1

t2

(I) (II) dQ, αααα,

T e

dQ 1 =

dQ2

d = 2R

z

r

Hình 2 Mô hình VLA nghiên cứu dạng trụ hữu hạn

H = 2h

1 ( )

1

z h

t (r,z, )

t (r,h, ) T

t (r,z, )

0

z =

∂ (10) Với:nhiệt ñộ thừa ở vùng (I) và (II) như sau:

1(r, z, ) t (r, z, ) T1 ef r1 z1 t (r, ) Tr1 ef t (z, ) Tz1 ef

2(r, z, ) t (r, z, ) T2 ef r2 z2 t (r, ) Tr2 ef tz2(z, ) Tef

c) Tại bề mặt phân pha:

Theo phương bán kính:t (r , z, )1 − τ =t (r , z, )2 + τ =TKt (13)

Theo phương chiều cao: t (r, z , )1 − τ =t (r, z , )2 + τ =TKt (14)

Mật ñộ dòng nhiệt theo r: R 1 1 2 2 R

= −λ ∂  = −λ ∂  = α∆ (15)

Mật ñộ dòng nhiệt theo z: h 1 1 2 2 h

    (16)

d) Phương trình cân bằng nhiệt tại bề mặt tiếp xúc vùng (I) và (II):

dQ =dQ +dQ (17) Trong ñó: dQ [kJ]: tổng lượng nhiệt trao F

ñổi cần lấy ra khi làm lạnh ñông VLA;

1

dQ [kJ]: lượng nhiệt cần lấy ra khi làm kết

tinh ẩm vùng (I); dQ [kJ]: lượng nhiệt từ vùng 2 (II) truyền qua vùng (I) trao ñổi với môi trường lạnh ñông ñể làm giảm nhiệt ñộ ở vùng (II)

dQ =LdG =Ld GWω =LGW dω =LWρπR Hdω (18)

2

dQ

2

F

Từ phương trình (18), (19) và (20) thay vào (17) sẽ thu ñược:

2

2

τ ρ  ∂   ∂    ∂  ∂   (21)

Phương trình (21) là cơ sở xác ñịnh xác

ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng trong quá trình lạnh

ñông cũng như ở giai ñoạn 1 trong STH

2.3 Giải mô hình toán Giải phương trình (4): bằng phương

pháp phân ly biến số Fourier, các hằng số tích phân ñược xác ñịnh từ ñiều kiện biên, qua biến

ñổi sẽ ñược nghiệm như sau:

( ) ( ) 1

1

m 1 n 1

a

∞ ∞

  τ

η

∑ ∑ (22)

Với :

n 0 n 1 n

sin cos

J ( ) J ( )

2 2

n m

2 2 1

1

η

r−≤ ≤r R, z−≤ ≤z h ,τ ≥0

n

µ : là nghiệm của phương trình ñặc trưng: 0 n n

J ( )

J ( ) Bi

µ = µ

µ (23) m

µ : là nghiệm của phương trình ñặc trưng: m m

1h

cot g

Bi

µ

µ = (24)

1h

Bi : chuẩn số Bio vùng I theo phương z: 1h

1

h

Bi =α

λ (25) 1h

Fo : chuẩn số Fourier vùng I theo phương z: 1h 1

2

a Fo h

τ

= (26)

1R

Bi : chuẩn số Bio vùng I theo phương r: 1R

1

R

Bi =α

λ (27)

1R

Fo : chuẩn số Fourier vùng I theo phương r: 1R 1

2

a Fo R

τ

= (28)

) ( J

),

(

J0 µn 1 µn : là các hàm Bessel loại 1 bậc 0, 1 [7]

2

2 1 2 1 2 3 1 2 3 4

′

= − = − + − + (30)

Giải phương trình (5): Tương tự như

trên, tìm các hệ số tích phân bằng các ñiều kiện

ñơn trị, cuối cùng thu ñược công thức nghiệm

như sau:

2

p 1q 1

t r, z, T T T A A J cos exp

∞ ∞

  τ

τ = + − ∑ ∑ µ  µ  − η  (31)

sin cos

J ( ) J ( )

µ  µ + µ   ;

2

1

R h

η

0≤ ≤r r , 0+ ≤ ≤z z ,+ τ ≥0

p

µ , : là nghiệm của phương trình ñặc trưng: 0 p p

J ( )

=

µ (32)

q

µ : là nghiệm của phương trình ñặc trưng: q q

2h

cot g

Bi

µ

µ = (33)

2h

Bi : chuẩn số Bio vùng I theo phương z: 2h

2

h

Bi =α

λ (34) 2h

Fo : chuẩn số Fourier vùng I theo phương z: 2h 2

2

a Fo h

τ

= (35)

2R

Bi : chuẩn số Bio vùng II theo phương r: 2R

2

R

λ (36)

2R

Fo : chuẩn số Fourier vùng II theo phương r: 2R 2

2

a Fo

R

τ

= (37)

- Nhiệt ñộ trung bình của VLA (kể cả 2

vùng (I), (II)): theo Luikov A.V et al (1961)

ñược xác ñịnh theo công thức sau [10, 11]

0 0

1

2R h

(38)

2.4 Mô hình toán xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng

Thay phương trình (22), (31) vào phương trình (21) sẽ nhận ñược:

1

2

q 1

a

R HW L

a

c T T A A J cos 1 exp

∞ ∞

= =

∞

=



µ η      τ

− ρ − µ  µ − −η 

∑∑

∑

p 1

1

n 1m 1

2

q 1

2Hr

a

c T T A A J sin 1 exp

a

c T T A A J sin 1 exp

∞

=

∞ ∞

= =

∞

=







η



µ η      τ

− ρ − µ  µ  − −η 

∑

∑∑

p 1

r

∞

=











∑

(39)

Như vậy, từ phương trình (39) thay vào (1) sẽ xác ñịnh ñược tỉ lệ nước ñóng băng trung bình của

ẩm bên trong VLA theo thể tích:

( ) ( ) ( )

R 2

R

a

R

R W L

a r

R

∞ ∞

= =

∞

=

p 1

R

4 2

1

R

a

R

R h W L

a r

R

∞

=

∞ ∞

= =

∞

=





∑

2

p 1

∞

=



  τ



η

∑

(40)

Trong ñó: τ =f (T)⇔ = τT g( ): nhiệt ñộ

lạnh ñông trung bình của VLA là một hàm thời

gian làm lạnh ñông của theo phương trình (38)

2.5 Xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng bằng

thực nghiệm

Nước trong VLA ñóng băng khi nhiệt ñộ

VLA nhỏ hơn nhiệt ñộ kết tinh (T≤Tkt[0C])

Để xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng bằng thực

nghiệm thì phải sử dụng phương pháp gián tiếp, xác ñịnh nhiệt dung riêng của VLA sau ñó thay vào phương trình (41) xác ñịnh tỉ lệ nước

ñóng băng [13, 14]:

( ) n a (ck( a) )

Trong ñó:

1

c W c 1 W

W c c

φ =

2 W ca n cnd

Với: cn = 4184.7 + 2.74T, [Jkg-1K-1]: nhiệt

dung riêng của nước ở T [0C]; cnd = 2090 +

7.79T, [Jkg-1K-1]: nhiệt dung riêng của nước ñá

ở T[0C]; cck[Jkg-1K-1]: nhiệt dung riêng của

chất khô trong VLA; W [%]a : ñộ ẩm tự nhiên

của VLA; c[Jkg-1K-1]: nhiệt dung riêng của

VLA, xác ñịnh bằng thực nghiệm, [1], U [V]:

ñiện áp vôn kế, I [A]: dòng ñiện âm pe kế, τ =

τ2 - τ1 [s]: thời gian ñốt nóng ñiện trở, Td = T1 =

T2 = T3 tại thời ñiểm τ1, Tc = T1 = T2 = T3 tại thời ñiểm τ2, xem hình 3

3 DỤNG CỤ - THIẾT BỊ, VẬT LIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

3.1 Dụng cụ và thiết bị khảo sát

Dụng cụ và thiết bị xác ñịnh tỉ lệ nước

ñóng băng tôm sú gồm các thiết bị sau, xem hình 3

1.Cân khối lượng, cân ñiện tử (Satoriusbasic Type BA310S), có thang ño (0 ÷ 350)g, sai số của cân khối lượng cho phép ± 0.1g = ± 0.0001 kg

2.Dụng cụ ño nhiệt ñộ: dùng các bộ cảm

biến hiển thị ño nhiệt ñộ (Dual Digital

Thermometer), có thang ño (-50 ÷ 70)0

C, sai số nhiệt ñộ cho phép ± 0.050C

3.Hệ thống STH DS-3 có giai ñoạn lạnh

ñông ngay trong buồng thăng hoa, nhiệt ñộ

lạnh ñông (-50 ÷ -45), xem hình 4

4.Ngoài ra, còn có các dụng cụ và thiết bị

kèm theo

Súng bắn nhiệt ñộ (Smart sensor,

infrared thermometer: -55 0 C ÷ 180 0 C) và ba bộ

cảm biến hiển thị ño nhiệt ñộ VLA, sai số cho

phép ± 0.0080C và ± 0.050C

Hai ñiện trở dạng tấm lá dùng ñể ñốt nóng cung cấp nhiệt lượng cho quá trình ño

Một biến trở thay ñổi ñiện áp rơi trên hai ñiện trở ñốt nóng

Một Volt kế ño ñiện áp rơi trên hai ñiện trở cấp nhiệt, có thang ño (0 ÷ 110)V, sai số của Volt kế cho phép ± 1V Một Ampere kế ño dòng ñiện qua hai ñiện trở ñốt nóng, có thang

ño (0 ÷ 2)A, sai số của Ampere kế cho phép ± 10mA Một ñồng hồ ño thời gian, sai số cho phép ± 0.001s

3.2 Vật liệu nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là tôm sú, có

thành phần hóa học cơ bản của nguyên liệu, [1,

4, 8, 9]

3.3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu là phương

pháp tiếp cận hệ thống xây dựng mô hình toán

và thực nghiệm kiểm tra mô hình toán

Để tính toán phương trình (40) công cụ

sử dụng là phương pháp số, ñồng thời viết chương trình tính toán trên máy tính bằng ngôn ngữ Visual Basic 6.0 [8, 9]

4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀN LUẬN

4.1 K ết quả nghiên cứu Các thông số nhiệt –

vật lý của tôm sú dùng trong tính toán mô hình

Hình 3 Sơ ñồ mạch ñiện của thiết bị xác ñịnh nhiệt dung

riêng VLA

Hình 4 Hệ thống sấy thăng hoa DS-3 tự lạnh

ñông (-50 ÷ - 45)0C

truyền nhiệt – lạnh ñông, xác ñịnh tỉ lệ nước

ñóng băng tham

khảo [8, 9], xem bảng 1

Bảng 1 Các thông số nhiệt – vật lý của tôm sú dùng trong truyền nhiệt – lạnh ñông

Ký hiệu Giá trị Đơn

vị Tham khảo Ký hiệu Giá trị Đơn vị Tham khảo

W0 74.67 % Data 2007, [1] ρ1 838.48 kgm-3 Data 2007, [1]

R 4.5E-03 m Data 2007, [1] ρ2 839.34 kgm-3 Data 2007, [1]

h 37.5E-03 m Data 2007, [1] λ1 1.084 Wm-1K-1 Data 2007, [1]

Tkt -1.21 0C Data 2007, [1] λ2 0.562 Wm-1K-1 Data 2007, [1]

T0 5.12 0C Data 2007, [1] c1 2.574 kJkg-1K-1 Data 2007, [1]

Tef -45 0C Data 2007, [1] c2 3.570 kJkg-1K-1 Data 2007, [1]

L 333.6 kJkg-1 Perry et al

1992 α 7.612 Wm-2K-1 Data 2007, [2]

a1

5.0226E-07 m

2s-1 Calculation

[2] Bi1R 0.0316 Calculation [2]

a2

1.8756E-07 m

2s-1 Calculation

[2] Bi1h 0.2633 Calculation [2]

cck 1.7454 kJkg

-1

K-1 Data 2007, [1] Bi2R 0.0610 Calculation [2]

ρ 838.91 kgm-3 Data 2007, [1] Bi2h 0.5079 Calculation [2]

4.1.1 Giải phương trình ñặc trưng (23),

(24), (32) và (33) [8, 9]

- Thay giá trị các giá trị thông số nhiệt -

vật lý ở bảng 1 vào phương trình ñặc trưng

(23), (24), (32), (33) xác ñịnh ñược nghiệm của

phương trình ñặc trưng µn, µm, µp, µq, chọn các

giá trị n, m, p, q sao cho chuỗi số (21) và (31)

hội tụ nhanh, các số hạng kế tiếp khi n = n +1,

m = m +1, p = p +1, q = q +1 có giá trị vô cùng

bé, khi loại bỏ thì sai số không ñáng kể (giải các phương trình ñặc trưng này bằng chương trình ñược viết trên máy tính) Kết quả nhận

ñược như sau, xem bảng 2:

Bảng 2 Nghiệm phương trình ñặc trưng (23), (24), (32) và (33)

µnj 0.2504 3.8399 7.0201 13.3261 n = 4 j = 1 ÷ n

µmj 0.4917 3.2231 6.3248 9.4526 12.5873 m = 5 j = 1 ÷ m

µpj 0.3465 3.8476 7.0243 13.3283 p = 4 j = 1 ÷ p