Phương trình vi phân ngẫu nhiên và vấn đề định giá quyền chọn theo mô hình black scholes khoá luận tốt nghiệp đại học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI THỊ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ VẤN ĐỀ ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES Chuyên ngành: Toán giải tích LUẬN VĂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI THỊ PHƯƠNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ VẤN ĐỀ ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO

MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES

Chuyên ngành: Toán giải tích

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN HUY CHIÊU

MỤC LỤC

Trang Mở đầu ……….……… 2

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị ……….……… 4

§1 Không gian xác suất và tích phân Stieltjes……….……… 4

§2 Tích phân và vi phân ngẫu nhiên Ito……… ……… 10

Chương 2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên……… ………14

§1 Các khái niệm cơ bản và định lý tồn tại duy nhất nghiệm……… 14

§2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính…….……….…20

Chương 3 Định giá quyền chọn theo mô hình Black-Scholes….………24

§1 Thị trường quyền chọn……… ………24

§2 Mô hình định giá quyền chọn Black – Scholes…….… …….… 27

Kết luận……….……… ……….35

Tài liệu tham khảo……… …… ……….36

Giải tích ngẫu nhiên bao gồm tích phân ngẫu nhiên, phương trình viphân ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên đang ngày càng chứng tỏ giá trị củamình cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng Nó hiện diện trong nhữngchủ đề thời sự của giải tích, xác suất và được sử dụng rộng rãi trong nhiềulĩnh vực khác bên ngoài Toán học Tính toán ngẫu nhiên đã trở thành mộtcông cụ quan trọng khi cần xử lý, phân tích và mô hình hóa các hiện tượng

có nhân tố ngẫu nhiên (xem [3], [4], [5], [6], [8], [9], [10], [12], [13], [14]) Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiêncứu các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính nhằm xâydựng các mô hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sảnphẩm tài chính trên thị trường Đây là lĩnh vực đang được quan tâm nghiêncứu trong những năm gần đây ở Việt nam (xem [2], [3], [7])

Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết tài chính được đánh dấu bởi bài

báo “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” [Jounal of Polictical

Economy Vol 81 (1973), pp 637 – 654] của Black và Scholes (xem [10]).

Hai ông đã tìm ra công thức để tính số tiền mà người mua cần phải trả chongười bán để có được quyền mua hoặc bán một loại cổ phiếu tại một thờiđiểm ở tương lai với giá trị đã định trước (công thức Black-Scholes ít nhiều

đã giải quyết được một trong những vấn đề cốt lõi nhất của Toán tài chính,

đó là Định giá tài sản phái sinh) Ngay lập tức, công thức này được áp dụng

rộng rãi trong các thị trường tài chính (xem [11], [12], [13], [14]) Ngày nay,

mô hình Black–Scholes cùng với các mở rộng của nó vẫn đang giữ vai tròquan trọng trong việc phân tích các thị trường tài chính

Mặc dù được hình thành và phát triển hơn 10 năm, thị trường chứngkhoán Việt Nam vẫn chưa có các sản phẩm phái sinh tài chính Sự biến độnglớn của VN-Index đang đặt ra yêu cầu cấp bách phải hình thành thị trườngphái sinh tài chính, nhằm hạn chế rủi ro cho các nhà đầu tư và đảm bảo thịtrường chứng khoán hoạt động ổn định Ngoài việc bổ sung hành lang pháp

lý, định giá các sản phẩm phái sinh (bao gồm Quyền chọn) là không thểthiếu trong việc xây dựng và vận hành các thị trường phái sinh tài chính

Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn

của mình là: “Phương trình vi phân ngẫu nhiên và vấn đề định giá quyền

chọn theo mô hình Black- Scholes”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khóa luận này là tiếp cận hướng nghiên cứu về các ứng

dụng của giải tích ngẫu nhiên vào việc phân tích thị trường tài chính Trên

cơ sở các tài liệu tham khảo, chúng tôi tổng hợp, phân tích và trình bày chitiết một số vấn đề về phương trình vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng củachúng trong việc định giá quyền chọn theo mô hình Black-Scholes: chứngminh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên;giải một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính; trình bày về môhình Black-Scholes (lịch sử và ảnh hưởng của mô hình này đối với thịtrường tài chính, cách xây dựng công thức để định giá quyền chọn mua vàbán theo mô hình Black-Scholes trong một số trường hợp đơn giản nhất)

3 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, khóaluận gồm 3 chương Chương 1 trình bày một số kiến thức về giải tích ngẫunhiên nhằm chuẩn bị cho các chương tiếp theo Chương 2 trình bày chứngminh chi tiết định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình viphân ngẫu nhiên và giải một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyếntính Chương 3 trình bày một cách khái quát về thị trường quyền chọn, môhình Black-Scholes, xây dựng công thức định giá quyền chọn Black-Scholes

Khóa luận được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình của TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến Thầy, người đã chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thựchiện đề tài này Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cácThầy Cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt thời gianhọc tập Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân

và bạn bè những người đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi chotác giả hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng xong luận văn không thể tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy Cô giáo

và các bạn để tác giả có thể hoàn thiện khóa luận tốt hơn

Vinh, tháng 5 năm 2012

Mai Thị Phương

§1 Không gian xác suất và tích phân Stieltjes

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất trong lý thuyết xácsuất và lý thuyết tích phân cần dùng ở các chương tiếp theo

1.1.1 Định nghĩa Cho  là một tập hợp khác rỗng Họ  các tập con

A





  

của  được gọi là tập đo được (hoặc biến cố).

1.1.2 Định nghĩa Cho (,) là một không gian đo được Ta nói rằng

sau:

(i) P A ( ) 0 với mọi A;

(ii) nếu A  n  (n=1,2,…) và A iA j với ij thì

1 1

( )

n n

1.1.3 Định lý (Bổ đề Borel – Cantell) Cho (E n ) là một dãy các biến cố trong không gian xác suất Khi đó, nếu

Ta gọi một hàm - đo đượcX   : n là một véctơ ngẫu nhiên (n chiều).

Để đơn giản trong việc khảo sát, từ đây trở đi, chúng ta luôn giả thiết (

bằng không thì mọi tập con của nó đều đo được)

1.1.5 Định nghĩa Cho  X n  n, 1 là một dãy các biến ngẫu nhiên xácđịnh trên (,, P)

nơi) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu h c c .

n

X     X , nếu  : lim n( ) ( ) 1

n

P  X  X 

là để chỉ kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên Y (tức là tích phân Lebesgue

Ta có các mối liên hệ giữa những loại hội tụ đề cập ở trên như sau:

1.1.6 Định nghĩa Cho một tập chỉ số thời gian I (I là một tập con của

- Nếu I liên thông thì ta nói X t( )t I là một quá trình ngẫu nhiên với

thời gian liên tục.

- Nếu I đếm được thì ta nói  X t( )t I là một quá trình ngẫu nhiên với

thời gian rời rạc.

1.1.7 Định nghĩa Một họ các   đại số con (t,t 0) của  (t ) được

gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu thỏa mãn các

điều kiện:

(i) Tăng theo thời gian: s t với mọi s < t;

(ii) Liên tục phải theo nghĩa t=

0

 

 t+ ;

(iii) Nếu A và P(A) = 0 thì A0

1.1.8 Định nghĩa Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t 0) Ký hiệu

tX là   đại số sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s t , tức là tX

=  (X s t s,  ) (nó phản ánh những thông tin về diễn biến quá khứ của quá

1.1.9 Định nghĩa Cho một bộ lọc bất kì (t, t 0) trên (, ) Quá trình

, (t), P)

1.1.10 Định nghĩa Cho (,, P) là một không gian xác suất, : n

X   

) Khi đó, véctơ ngẫu nhiên Z được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối

(i) Z là một véctơ ngẫu nhiên đo được đối với ;

ZdP XdP

Giả sử X Y   , : nlà hai véctơ ngẫu nhiên với E X( )   , ( )E Y  

2) E(X+Y|) = E(X|) + E(Y|)

3) E(cX|) = c E(X|), với c là hằng số.

4) Nếu 1 2 thì E(E(X|2)|1) =E(X|1) Nói riêng ra, E(E(X|)) = EX

giá trị trên I thì: g(E(X|))E(g(X)|)

6) Nếu X  n 0thì E(lim infn X n|)lim inf (n E X n|) (bổ đề Fatou)

tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện)

1.1.11 Định nghĩa Cho không gian xác suất được lọc (,,(t), P) vàmột quá trình ngẫu nhiên X = (Xt,t 0) thích nghi với bộ lọc (t), khả tíchvới mọi t 0(tức là E X t     , t 0) Khi đó,

(i) Nếu E X( t|t )X s với mọi s t , 0 thỏa mãn s t , thì X được gọi là

martingale trên với bộ lọc (t,t 0);

(ii) Nếu E X( t|t )X s với mọi s t , 0 thỏa mãn s t , thì X được gọi là

martingale dưới với bộ lọc (t,t 0);

(iii) Nếu E X( t|t )X s với mọi s t , 0 thỏa mãn s t , thì X được gọi là

martingale đối với bộ lọc (t,t 0)

martingale với E X n p   với n= 0,…,N và 1 p   thì

p n

1.1.13 Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên W W ,t t 0 được gọi là quátrình Wiener hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu:

tục

Nếu ở điều kiện (ii) phương sai của Wt Wslà  2 (t s ) (các đều kiện khácgiữ nguyên), thì ta nói W là một chuyển động Brown

 Một vài tính chất quan trọng của chuyển động Brown:

hữu hạn nào của t

2 ln ln

t

5 EWt  0,EWt2   t t, 0

1.1.14 Định nghĩa Cho không gian xác suất được lọc (,,(t)t 0, P)

đo được lũy tiến đối với bộ lọc (t) nếu với mỗi t T X  , s( ) trên tập

T   ,t  đo được theo s ,  đối với   đại số Bt t

gồm tất cả các tập con A T  sao cho  t T , tập con A    ,tlà

đo được đối với Bt t Khi đó, các quá trình đo được lũy tiến đều đođược đối với B.

1.1.15 Định nghĩa Ta định nghĩa   đại số khả đoán là   đại số nhỏ



đo được, kí hiệu là P

1.1.16 Định nghĩa Quá trình khả đoán đối với (t) là quá trình ngẫunhiên X X t  ,   thích nghi với (t) và P – đo được

1.1.17 Định nghĩa (Hàm có biến phân giới nội) Hàm thực f được gọi là

số C sao cho với mọi phân hoạch D a x:  0 x1  x n b thì ta có bất

1 ( ) ( )

đều là hàm có biến phân giới nội

1.1.18 Định nghĩa (Tích phân Stieltjes) Cho  là một hàm liên tục phải

và có biến phân giới nội trên [a,b] Tích phân Rieman- Stieltjes của hàm

phân giới nội Nó thường được xác định bằng cách thường đưa về tích

b

a

fd

Ito trong mục tiếp theo

1.1.19 Bổ đề Cho không gian L2 L2 (0, )T là các hàm đo được bình

0

( 1)

0 ( ) 1

( )

kh h

1 , : ( 1)

khi t h t

h khi kh t k h

§2 Tích phân và vi phân ngẫu nhiên Ito

Mục này nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải tích ngẫu nhiên.Trọng tâm là các khái niệm tích phân và vi phân ngẫu nhiên được đề xuấtbởi nhà toán học người Nhật, Kyusho Ito, vào khoảng 1940 - 1941

0

1.2.1 Định lí Giả sử W t và  t là quá trình Wiener và họ   đại số liên hệ với nhau như đã mô tả ở trên Khi đó, tồn tại duy nhất ánh xạ f  I f( ) từ không gian L 2

(B)= L2 0,T   ,B, P) vào không gian L 2 ( ,,P) sao cho:

(i) I là ánh xạ tuyến tính: I c f( 1 1 c f2 2 ) c I f1 ( ) 1 c I f2 ( ) 2 hầu chắc chắn, trong đó c c1 , 2 const, f f 1 , 2 L 2

(B).

0 ( ) ( , )

1.2.2 Định nghĩa (Tích phân Ito) Ta gọi I(f) nói trong Định lý 1.2.1 là tích

Lược đồ xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito:

thang trên 0,1

1 , 0

( , )

i i

n

i t t i

- Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ I trên các hàm bậc thang là tuyến tính.

(B)

Ta có

2 1

/ ( 1)/

0 ( , )

( , )

k h n

, êu tich phân nay phân ky

T

n n

L 2 (B) là giới hạn trong L 2 (B) của một dãy các hàm f n đo được dần Do

ở đây l.i.m là kí hiệu giới hạn theo nghĩa hội tụ bình phương trung bình

Dễ thấy I thỏa mãn các kết luận của Định lý 1.2.1 Như vậy, tích phân ngẫu

nhiên Ito đã được xây dựng

(i) E(I f |s) = 0 hầu chắc chắn, nếu hàm f L2(B) bằng 0 với t < s

(b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn

có hệ thức (1.2) hầu chắc chắn

Công thức Ito đóng một vai trò quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên

nhiên Itô và (Yt) là quá trình có được từ (Xt) qua phép đổi biến Y t g t X( , t)

thì công thức Ito cho phép tính vi phân dY qua dX và dt

1.2.4 Định lí (Công thức Ito) Cho X X t là một quá trình Ito với vi phân

dX = hdt + fdW và g t x( , ) :  2   là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x Khi đó,

1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Chương này được dành để khảo sát các phương trình vi phân ngẫu nhiên

§1 Các khái niệm cơ bản và định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Mục này trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến phương trình vi

phân ngẫu nhiên Kết quả chính là trình bày chứng minh chi tiết định lý tồntại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên

2.1.1.Định nghĩa (Phương trình vi phân ngẫu nhiên) Cho T > 0 và

[ ]

: 0, : 0,

T T

Phương trình (2.1) được gọi là phương trình vi phân ngẫu nhiên với điều

dạng vi phân sau đây:

( , ) ( , ) W

dX =r t X dt+s t X d (2.2) với điều kiện ban đầu X0 =Z (2.3)

2.1.2 Định nghĩa (Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên) Một quá

trình ngẫu nhiên X =(X t( ),w tÎ [0,T]) được gọi là một lời giải (hoặc nghiệm)

ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W =(W ,t t³ 0) sao cho E Z( )2 <¥ , nếu Xthỏa mãn các điều kiện sau:

(i) X t thích nghi với t =tw =  ( ,W s t s  ) và là đo được đối với  

trường tích B0,T t

(ii)

2 0

Giả sử X =(X t( ),w tÎ [0,T]) là một lời giải của (2.2) thỏa mãn (2.3) Khi đó,

ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu: giả sử có một phương trình

X = X w tÎ T thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.3).

2 2

   

2 2

2 2

t

t s ds

  (0 t T  ) Ta có

0 ( ) ( )

1 2

2 2

2 2

2 W 2

 

1 2 4

1 !

k

A T k





2 ( 1)

Khi đó, Xt là quá trình liên tục và là t- đo được vì ( )n

t

Y là liên tục và là t - đođược với mọi n

2

2 1

Thật vậy, với mỗi n ta có

s Y ds s X ds

    

điều kiện ban đầu (2.3) Đó là điều phải chứng minh □

§2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đã cho chúng ta biết sự tồn tại và duynhất nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên dưới một số điều kiệnnhất định Tuy nhiên, ngay cả khi biết được sự tồn tại và duy nhất nghiệm,cũng giống như các phương trình vi phân thường, việc tìm nghiệm củaphương trình vi phân ngẫu nhiên là không dễ Trong mục này, chúng ta sẽgiải một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

2.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính là phương

trình có dạng

dX t a t X( ) tb t dt( ) c t X( ) td t d( ) W , t (2.8)

là một chuyển động Brown

Nhận xét: (i) Nếu a t , b t , c t , d t        là các hàm đo được Lebesgue và

tại lời giải Xt thỏa mãn điều kiện ban đầu X t0và lời giải đó là duy nhất (ii) Nếu các hệ số a t , b t , c t , d t        đều là các hằng số, thì phương

quá trình Markov thuần nhất

(iii) Nếu b t ( ) 0 và d t ( ) 0 thì phương trình (2.8) trở thành một phương

trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính thuần nhất

( ) ( ) W

dX a t X dt c t X d (2.9)

phương trình (2.9) với điều kiện ban đầu là X t0 X0

2.2.2 Định lý Với những giả thiết đã cho trong Định nghĩa 2.2.1, nghiệm

của phương trình dX t a t X dt c t X d( ) t  ( ) t Wt thỏa mãn điều kiện ban đầu

Ta có điều phải chứng minh □

dX t a t X( ) tb t dt d t d( )  ( ) Wt, (2.10)

ở đây tiếng ồn xuất hiện dưới dạng cộng tính Bài toán đặt ra là tìm một lờigiải cơ bản t t, 0thỏa mãn điều kiện t t0 0 ,  1 Kí hiệu t  t t, 0

2.2.3 Định lý Với những giả thiết đã cho trong Định nghĩa 2.2.1, nghiệm

của phương trình dX t a t X dt c t X d( ) t  ( ) t Wt thỏa mãn điều kiện t t0 0 ,  1 có dạng

t t

t

a s ds