Phương trình bloch quang học khi có mặt trường kích thích lượng tử luận văn thạc sỹ vật lý

Khi đưa ra phương trình Bloch quang học, đểđơn giản trong tính toán, nhưng vẫn không làm giảm đi tính chất vật lý chủ yếucủa tương tác giữa trường và hệ lượng tử, chúng ta sử dụng sự gần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN DUY ANH

PHƯƠNG TRÌNH BLOCH QUANG HOC KHI CÓ MẶT TRƯỜNG KÍCH THÍCH

LƯỢNG TỬ

VINH , 2011

Lời cảm ơn !

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Huy Công, đã tận tình hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo khoa Vật

Lý, khoa Sau Đại học - Trờng Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Để hoàn thành luận văn này tác giả xin phép đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS TS Đinh Xuân Khoa, TS Võ Thanh Cơng, TS.

Đinh Phan Khôi, TS Nguyễn Huy Bằng, TS Mai Văn Lu, TS Nguyễn Việt Hng và các thầy trong hội đồng bảo vệ đã có nhiều đóng góp

và chỉ dẫn quý báu để giúp tác giả hoàn thành luận văn của mình.

Nhân dịp này Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia

đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn……… 1

Mở đầu……… 4

Chương 1: Phương trình Bloch quang học trong lý thuyết bán cổ điển 7

1.1 Phương trình Bloch trong cộng hưởng từ 7

1.2 Phương trình quang học Bloch trong lý thuyết bán cổ điển 12

1.3 Kết luận chương 1………17

Chương 2: Phương trình Bloch quang học khi có mặt trường kích thích lượng tử 18

2.1 Sự thay đổi theo thời gian của các thông số nguyên tử trong biểu diễn

Heisenberg 18

2.1.1 Hamiltonian của hệ nguyên tử và trường 18

2.1.2 Sự gần đúng sóng quay 24

2.1.3 Sự thay đổi theo thời gian của các thông số nguyên tử 26

2.1.4 Giá trị kỳ vọng của các thông số nguyên tử 33

2.2 Các phương trình Bloch quang học 34

2.2.1 Khi không có mặt trường kích thích (laser) 38

2.2.2 Khi không có sự suy giảm ngẫu nhiên 39

2.3 Giải phương trình Bloch quang học lượng tử 41

2.3.1 Khi có va chạm mạnh 41

2.3.2 Khi có cộng hưởng ∆ = 0 44

2.3.3 Khi có trường kích thích mạnh 44

2.4 Kết luận chương 2……… 45

Kết luận……… 46 Tài liệu tham khảo 47

Trong những năm đầu của thập kỷ 70 của thế kỷ XX đã xuất hiện một sốthực nghiệm, theo đó, nếu dùng phương trình quang học Bloch thông thường,chúng ta không thể giải thích một cách trọn vẹn, đầy đủ và chính xác vì chúng tacoi các đại lượng trong phương trình là không đổi, nhưng thực tế luôn có sự thayđổi Theo ngôn ngữ của quang học lượng tử, những sự thay đổi này được gọi lànhững thăng giáng.

Xuất phát từ phương trình Bloch trong cộng hưởng từ, chúng ta dẫn raphương trình Bloch quang học Khi đưa ra phương trình Bloch quang học, đểđơn giản trong tính toán, nhưng vẫn không làm giảm đi tính chất vật lý chủ yếucủa tương tác giữa trường và hệ lượng tử, chúng ta sử dụng sự gần đúng nguyên

tử hai mức năng lượng bằng lí thuyết bán cổ điển

Như chúng ta đã biết, để nghiên cứu tương tác của trường ánh sáng vớimột đối tượng vật chất khác, được mô tả theo quá trình phát triển của lịch sử vàtheo các mức độ sau đây [1] :

* Mô tả thuần tuý bằng lý thuyết cổ điển: Trường ánh sáng thay đổi theo quy luậtsóng, thoả mãn hệ phương trình Maxwell Đối tượng vật chất vận động theo quyluật cổ điển, được mô tả bởi các định luật động lực học Newton

* Mô tả bằng lý thuyết bán cổ điển: Trường ánh sáng thay đổi theo quy luật sóngthoả mãn hệ phương trình Maxwell Còn đối tượng vật chất vận động tuân theo

quy luật của cơ học lượng tử Phương trình chuyển động của đối tượng làphương trình sóng Schrodinger.

* Mô tả bằng lý thuyết bán lượng tử: Trường ánh sáng thay đổi theo quy luậtlượng tử, tức là trường ở đó các vectơ cường độ điện trường E và các vectơ cảmứng từ B đã được biểu diễn qua các toán tử sinh, huỷ photon, còn đối tượng vậtchất tuân theo quy luật cổ điển Newton

* Mô tả bằng lý thuyết thuần tuý lượng tử: các vectơ trường đều được biểu diễnqua toán tử còn đối tượng vật chất cũng được lượng tử hoá và vận động theo quyluật Schrodinger

Thông thường, trong 4 loại lý thuyết về tương tác này, người ta hay sửdụng lý thuyết bán cổ điển (ở đó trường điện từ vẫn được xem là trường cổ điểncòn môi trường được xem là hệ hạt lượng tử ) Theo đó, chúng ta xem trongnguyên tử chỉ có hai mức năng lượng tham gia vào quá trình tương tác, hai mức

đó đóng vai trò như hạt có spin 1

Phương trình quang học khi trường kích thích còn thuần tuý là một trường

cổ điển đã được nhiều tác giả nghiên cứu Tuy nhiên, nếu chỉ xét ở lý thuyết bán

cổ điển, tức là lý thuyết trong đó môi trường vật chất được lượng tử hoá (hệ haihoặc nhiều mức năng lượng) còn trường thì vẫn là trường cổ điển thì chưa thể

rọn vẹn Bản thân trường cũng là vật chất Vậy thì vì sao, chúng ta lại vẫn cứxem trường là cổ điển? Vấn đề đặt ra là khi nghiên cứu lý thuyết thuần tuý lượng

tử, tức là cả trường kích thích và môi trường được kích thích đều được lượng tửhoá thì hệ phương trình Bloch quang học sẽ như thế nào?

Sự thay đổi (tiến hoá theo thời gian) của các thông số của hệ lượng tử sẽthay đổi ra sao? Đây chính là vấn đề mà chúng tôi sẽ khảo sát trong luận vănnày

Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là :“Phương trình Bloch quang học khi có mặt trường kích thích lượng tử ”

CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH BLOCH QUANG HỌC TRONG LÝ THUYẾT

BÁN CỔ ĐIỂN 1.1 Phương trình Bloch trong cộng hưởng từ

Giả sử mẫu thuận từ được đặt trong từ trường ngoài không đổi, có vectơcảm ứng từ Bur

song song với trục Oz Khi đó các momen từ của nguyên tử có sựsắp xếp lại, tức là trong mẫu thuận từ sự cân bằng mới được thiết lập Trườngngoài càng mạnh thì số các momen từ của nguyên tử sắp xếp lại theo phươngtrường ngoài càng nhiều Thời gian cần thiết để thiết lập lại sự cân bằng đó gọi làthời gian hồi phục Có hai loại thời gian hồi phục :

+) Thời gian hồi phục của các thành phần mômen từ nguyên tử nằm song songvới phương trường ngoài, gọi là thời gian hồi phục dọc, được ký hiệu là T1 Đó làthành phần thời gian hồi phục liên quan đến tương tác Spin - mạng

+) Thời gian hồi phục của các thành phần momen từ vuông góc với phương củatrường ngoài Gọi là thời gian hồi phục ngang, ký hiệu là T2 Đó là thành phầnthời gian hồi phục liên quan đến tương tác Spin - Spin Thực nghiệm cho thấyrằng T1 ≠T2.

(1.1)trong đó M0 là giá trị cân bằng của Muur

sau khi đã định xứ lại trong trường

Nghiệm của phương trình (1.1) có dạng :

) exp(

) exp(

1

1

0 1

0

T

t M

T

t M

M =M ( t = 0 ) là giá trị của thành phần Mz tại thời điểm ban đầu.

Như vậy, theo Bloch thì sự thay đổi thành phần dọc của vectơ từ hoá xảy

ra theo quy luật hàm số mũ Cơ chế của sự hồi phục này là do tương tác của cácspin nguyên tử với các dao đông nhiệt của mạng ( tương tác spin - mạng ) Trên

cơ sở đó người ta nhận thấy thời gian hồi phục phụ thuộc nhiệt độ, và ngoài racòn phụ thuộc cường độ trường ngoài Trong từ trường không đổi, sự từ hoáđược thiết lập theo phương của từ trường Vì vậy ở trạng thái cân bằng, cácthành phần M0 theo phương ngang ( theo phương x,y ) bị triệt tiêu Tương tự như(1.1) chúng ta có các phương trình cho các thành phần nằm ngang Mx , My là [7]:

2

exp( ) exp( )

dt dM

dt

γ γ γ

không đổi thì Muur

sẽ chuyển động tiến động xung quanh hướngcủa từ trường ngoài với tần số Larmor Nếu ngoài từ trường không đổi còn có từtrường cao tần thì momen từ còn tham gia thêm một chuyển động tiến động nữaxung quanh hướng của từ trường cao tần

Nếu để ý đến các quá trình hồi phục gây ra bởi tương tác spin – spin và tương tácspin - mạng, hệ (1.7) có dạng :

phân cực tròn nằm trong mặt phẳng (x,y), nghĩa là chúng ta có

cos sin

0 1

sin os

u dt

ω ω

0 2

0 1

c z

z z

Phương trình (1.10) hay (1.14) gọi là phương trình quang học Bloch trong cộnghưởng thuận từ Việc giải phương trình (1.14) nói chung là phức tạp, thôngthường người ta giải nó bằng phương pháp gần đúng.

Nếu từ trường biến thiên đủ chậm sao cho tại mỗi thời điểm, các giá trị dừng

được thiết lập, nghĩa là các đạo hàm của u, v, Mz theo thời gian bằng không Khi đó (1.14) trở thành :

0 2

0 2

0 1

u

T v

2 2 2 2

1

1 1 1

c

c c c

z

c

H M T u

H M T v

T M

γ γ γ γ γ

2 2 2 2

1

1 1 1

c c c c

z

c

H T u

H T v

T M

µ ω γ

µ ω γ γ

1.2 Phương trình quang học Bloch trong lý thuyết bán cổ điển

Ta xét mô hình hệ nguyên tử hai mức 1 và 2 với các năng lượng là E1 và E2

Chúng ta khảo sát tương tác giữa hệ nguyên tử hai mức này với trường điện từbằng lý thuyết bán cổ điển

Khi đặt hệ trong trường ngoài, Hamiltonian toàn phần của hệ là [2]:

0 t

trong đó: H0 là Hamiltonian của nguyên tử tự do ( không có tương tác )

H tlà Hamiltonian tương tác giữa nguyên tử với trường

( ).

t

H = −d E turur

ở đây E là vectơ cường độ điện trường tại điểm đặt lưỡng cực

d là momen lưỡng cực biểu diễn phép chuyển giữa hai mức của nguyên tử.Hai trạng thái riêng của toán tử H0 được ký hiệu là : 1 và 2

1 2

=

+

1 1 2

=

z

σ đặc trưng cho hiệu mật độ cư trú giữa hai mức

Khi đó ta có các giao hoán tử:

1 2

2 1

1

W W

H =  ω σz + +

Vì trong thực tế chúng ta chỉ quan tâm đến hiệu năng lượng giữa hai mức nên ta

có quyền chọn gốc để tính năng lượng mà không làm thay đổi bản chất của cáchiện tượng được nghiên cứu Nghĩa là năng lượng có thể chọn sai khác một hằng

số Bởi vậy ta có quyền chọn gốc năng lượng sao cho có thể bỏ đi đại lượng thứhai của biểu thức trên Với cách lập luận đó thì biểu thức toán tử năng lượng củanguyên tử chỉ còn lại số hạng thứ nhất mà thôi, nghĩa là:

Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của một toán tử tuỳ ý códạng:

Ω gọi là tần số Rabi Vì ở trên ta giả thiết rằng d là thực nên Ω

là đại lượng thực do vậy Ω = Ω *

Ta đưa các phương trình (1.22), (1.23), (1.24) về hệ:

0

2 2

i t i t z

i t i t z

i t i t z

1 ( ) 2

Hệ phương trình (1.28 ) có dạng giống với hệ (1.14) trong cộng hưởng từ.

Nếu xét đến sự có mặt các dao động nhiệt, khi đó trong phương trình (1.28) cóxuất hiện thêm các hằng số tắt dần đặc trưng cho quá trình này Lúc đó (1.28)được viết lại dưới dạng :

2

2 1

2

2

1 0 0

1 0 0

0

1 0

0 0 1

0 0

0

0 0

T w

v u

T T

T w

v

u dt d

Để tiện cho việc xem xét sau này, ta biểu diễn các thành phần T = A

0 2

0 0 2

1

w v u

A A A A

w v u dt d

(1.30)

0 2

0 0 2

A A A

A

Phương trình (1.31) với vectơ Vr và ma trận M được xác định từ (1.32)được gọi là phương trình Bloch quang học Sở dĩ có tên gọi này là vì chúng códạng giống phương trình Bloch trong cộng hưởng từ, chỉ có điều các thông sốtrong phương trình là các thông số quang học lượng tử (∆ , Ω) chứ không phải làcác thành phần của momen từ như trong phương trình Bloch của cộng hưởng từ

1.3 Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã trình bày việc thiết lập phương trình Blochquang học Đây chính là phương trình diễn tả sự thay đổi của các thông số của hệlượng tử khi có mặt trường kích thích Nó là xuất phát điểm cho mọi nghiên cứu

về tương tác của trường với hệ lượng tử Trong đó, đối với hệ lượng tử, để đơngiản trong tính toán, nhưng vẫn không làm giảm đi bản chất vật lý chủ yếu củatương tác giữa trường và hệ lượng tử, luận văn sử dụng phép gần đúng nguyên tửhai mức năng lượng, đồng thời xây dựng các phương trình quang học Blochtrong khuôn khổ của lý thuyết bán cổ điển, ở đó trường kích thích vẫn được biểudiễn qua các vectơ trường và mối quan hệ giữa các véc tơ đó vẫn được biểu diễnqua các phương trình sóng Maxwell

CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH BLOCH QUANG HỌC KHI CÓ MẶT TRƯỜNG KÍCH THÍCH LƯỢNG TỬ

Trong chương 1, chúng ta đã khảo sát tương tác của trường điện từ với đốitượng vật chất theo quan điểm của lý thuyết bán cổ điển Tức là lý thuyết trong

đó trường ánh sáng tuân theo các phương trình Maxwell, còn đối tượng vật chấtvận động tuân theo quy luật của cơ học lượng tử Phương trình chuyển động củađối tượng vật chất đó chính là phương trình sóng Schrodinger

Vấn đề đặt ra là chính vì trường điện từ cũng là một dạng của vật chất dovậy sẽ là đầy đủ và toàn diện hơn khi chúng ta khảo sát tương tác của trường vớiđối tượng vật chất theo quan điểm thuần tuý lượng tử

Xuất phát từ lí do trên, trong chương này, luận văn sẽ khảo sát tương táccủa trường điện từ với đối tượng vật chất theo quan điểm của lý thuyết thuần tuýlượng tử Trong lý thuyết này, trường điện từ đã được lượng tử hoá, nghĩa là cácvectơ trường được biểu diễn qua các toán tử còn đối tượng vật chất cũng đượclượng tử hoá và vận động theo quy luật phương trình sóng Schrodinger

2.1 Sự thay đổi theo thời gian của các thông số nguyên tử trong biểu diễn Heisenberg

2.1.1 Hamiltonian của hệ nguyên tử và trường

Như trên chúng ta đã đề cập, trong chương này chúng ta sẽ khảo sát tương táccủa trường với hệ lượng tử khi trường đã được lượng tử hoá, tức là khi các vectơtrường biểu diễn thông qua các toán tử Trong chương 1, chúng ta đã sử dụngHamiltonian tương tác của nguyên tử với trường trong sự gần đúng lưỡng cực

theo dạng H T = − µ ˆEˆ nhưng với Eˆ vẫn còn là cổ điển, biểu diễn qua hàm cosinhoặc sin

Biểu thức tổng quát của Hamiltonian của nguyên tử và trường được biểu diễndưới dạng sau [3]:

Hˆ =HˆA+HˆF +HˆT (2.1)

Từ (2.1) ta thấy biểu thức của Hamiltonian giữa trường và hệ lượng tử trongtrường hợp này khác với biểu thức của Hamiltonian toàn phần trong lý thuyếtbán cổ điển Sự khác nhau đó thể hiện ở chỗ, trong (2.1) có xuất hiện thêm sốhạng HˆF (toán tử năng lượng của riêng trường)

Để tìm biểu thức tường minh của các Hamiltonian thành phần trong (2.1),chúng ta sẽ khảo sát tương tác này xuất phát từ biểu thức Hamiltonian tương táccực tiểu:

A ( )r H F

c

e p m

ở đây Aˆ là thế vectơ của trường, Φ( )r là thế năng tương tác Coulomb, còn HˆF

là Hamiltonian của trường tự do Khi trường đã được lượng tử hoá thì biểu thứccủa Hamiltonian này có dạng:

∇ Aˆ = 0 (2.6)Điều kiện này được thoả mãn nếu:

pˆ Aˆ−Aˆ.pˆ = 0 (2.7)Khi đó, Hamiltonian tương tác giữa nguyên tử và trường sẽ là:

2

2

2 2

2

ˆ ˆ ˆ

ˆ

mc

e A p mc

e H

H

H T = + = − + (2.8)Trong những ứng dụng vật lý, thông thường số hạng cuối của (2.8) được bỏ đi do

sự đóng góp của nó không đáng kể so với số hạng thứ nhất Trong những trường

hợp như vậy ( H ˆ1 > > H ˆ2), Hamiltonian tương tác được biểu diễn như sau:

p A

mc

e H

ở đây tổng theo k được lấy theo tất cả các mode của trường Kết quả là:

e [a ( )i k r a ( i k r) ]

V

p m

e A p m

e

k

k T







− +

ˆ ˆ

ε(2.11)

Các trạng thái riêng của Hamiltonian nguyên tử thoả mãn điều kiện:

1 ˆ

21 2

=(2.14)

ở đây Iˆ là toán tử đơn vị trong không gian Hilbert 2 chiều của các trạng tháinguyên tử, và σ ˆz là ma trận Pauli Chúng ta chọn gốc tính năng lượng nguyên

tử, nên để tiện lợi chúng ta chọn gốc sao cho ( ) 0

21



=(2.15)

Để biểu diễn Hamiltonian tương tác, chúng ta viết các yếu tố ma trận p ij củatoán tử pˆ bằng cách sử dụng định nghĩa: pˆ =m rˆ với phương trình chuyển độngtrong biểu diễn Heisenberg là:

ˆ ˆ ˆ.1ˆA

p r

Đối với nguyên tử hai mức, chỉ có 2 yếu tố ma trận ngoài đường chéo chính củatoán tử động lượng trong biểu diễn năng lượng Vì er ij = µij với µij = µji = µ khi đó

ta có:

*

21 12 21

e

m i

; 0

0 ˆ

; 0 1

1 0

i

i

σ σ

+ =0 0 

1 0 ˆ

σ và =1 0 

0 0 ˆ

σ (2.24)Trở lại với Hamiltonian tương tác, ta có thể viết lại biểu thức của nó qua tích củacác toán tử như sau:

HˆT = −e rˆ.Eˆ = − µˆ.Eˆ

(2.25)

ở đây µ ˆ là toán tử momen lưỡng cực của nguyên tử Trong trường hợp nguyên

tử hai mức, toán tử này có dạng:

µ ˆ = 12 1 2 + 21 2 1 = µ(1 2 + 2 1)= µσ = µ(σ ˆ + + σ ˆ)

x μ