Phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong quá trình dạy học giải toán ở bậc trung học phổ thông

Việc tìm kiếm phép chứng minh một định lý, tìm lời giải một bài toán có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính khoa học trong suynghĩ, trong suy luận, trong học tập, trong g

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

- -Nguyễn Thị Hoa mùi

Phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với

suy diễn trong quá trình dạy học giải Toán

1.1.1 Dự đoán 6

1.1.2 Suy luận có lý 7

1.2 Suy diễn 8

1.2.1 Khái niệm suy diễn 8

1.2.2 Khái niệm về quy tắc suy diễn 9

1.3 So sánh, xem xét mối quan hệ giữa dự đoán, suy luận có lý và suy luận diễn dịch (suy diễn) 11

1.4 Vai trò của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học môn Toán 14

1.4.1 Vai trò của dự đoán và suy luận có lý 14

1.4.2 Vai trò của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học Toán 30

1.5 Những hạn chế, khó khăn cần khắc phục trong việc dạy học phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học Toán ở bậc THPT 32

1.6 Thực trạng và yêu cầu của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học Toán ở bậc THPT 37

1.7 Kết luận Chơng 1 38

Chơng 2 Rèn luyện khả năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học giải ToáN 39

2.1 Những t tởng chủ đạo trong việc phát triển cho học sinh khả năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn 39

2.1.1 Có quan điểm, thái độ đúng mực với việc tập luyện cho HS dự đoán 40

2.1.2 Cần làm cho HS ý thức đợc ý nghĩa của hoạt động dự đoán và suy luận có lý 40

2.1.3 Chú ý thích đáng đến những bài tập tìm tòi và dự đoán 40

2.1.4 Khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện cho HS khả năng suy diễn 41

2.1.5 Trong quá trình dạy học Toán cần thể hiện rõ mối quan hệ biện chứng giữa quy nạp và suy 42

2.2 Rèn luyện khả năng dự đoán và suy luận có lý 42

2.2.1 Tơng tự hoá 42

2.2.2 Đặc biệt hoá 56

2.2.3 Khái quát hoá 64

2.2.4 Một số cách dự đoán và suy luận có lý khác 71

2.3 Rèn luyện khả năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học giải Toán 77

2.4 Kết luận chơng II 104

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm 105

3.1 Mục đích thực nghiệm 105

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 105

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 110

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 112

kết luận 113

tài liệu tham khảo 114

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Chơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số

16/2006/QĐ - BGDĐT ngày 05/6/2006 của Bộ trởng Bộ Giáo dục và Đào tạo

đã nêu: “ Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trung môn học, đặc điểm đối tợng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dỡng cho học sinh phơng pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,

đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh ” ([37], tr 8)

Mục đích của việc đổi mới phơng pháp dạy học là thay đổi lối dạy học

mang tính truyền thụ một chiều sang dạy học theo “phơng pháp dạy học tích

học cực ” nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận

dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thựctiễn Làm cho “Học” là quá trình kiến tạo; Học sinh tìm tòi, khám phá, pháthiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, tự hình thành hiểu biết, năng lực

và phẩm chất Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cáchtìm ra chân lý Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợptác, ), dạy phơng pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học ([37], tr.9)

1.2 Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và

các phẩm chất trí tuệ Do tính chất trừu tợng cao độ của Toán học, môn Toán

có thể giúp rất nhiều cho việc rèn luyện cho học sinh t duy trừu tợng Do tính

chính xác cao, suy luận lôgíc chặt chẽ, là “môn thể thao của trí tuệ” nên Toán

học có khả năng phong phú dạy cho học sinh t duy chính xác, t duy hợp vớilôgic Việc tìm kiếm phép chứng minh một định lý, tìm lời giải một bài toán

có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính khoa học trong suynghĩ, trong suy luận, trong học tập, trong giải quyết các vấn đề: biết quan sát,thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng qui nạp, tơng tự, chứng minh, và qua

đó có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo

1.3 Xuất phát từ đặc điểm của t duy Toán học, đó là sự thống nhất giữa

suy đoán và suy diễn: Nếu trình bày lại những kết quả Toán học đã đạt đợc thì

đó là khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên Nhng, nếu nhìn Toán họctrong quá trình hình thành và phát triển, thì trong phơng pháp của nó vẫn cótìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm và quy nạp Vì vậy, trong dạy học môn Toán,phải chú ý tới cả hai phơng diện, suy luận chứng minh và suy luận có lý thìmới khai thác đợc đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáodục toàn diện - nh G Polia phát biểu: "Nếu việc dạy Toán phản ánh mức độnào đó việc hình thành Toán học nh thế nào, thì trong việc giảng dạy đó phảidành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý" ([20], tr 6)

1.4 Theo A A Stôliar, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học, trong đó

hoạt động chủ yếu là hoạt động giải Toán GS Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng:Dạy Toán là dạy kiến thức, kĩ năng, t duy và tính cách Nh vậy, việc dạy kĩnăng giải Toán là một trong những yêu cầu cơ bản của hoạt động dạy Toán.Bài tập Toán ở trờng phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng Có những lớpbài Toán có thuật giải, nhng phần lớn là những bài Toán cha hoặc không cóthuật giải Đứng trớc những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hớng dẫn học sinh

nh thế nào để giúp họ giải quyết đợc bài toán là một vấn đề rất quan trọng Từthực tế giải Toán cho thấy: có nhiều bài toán sẽ tìm đợc lời giải nếu đoán đợc

kết quả của nó; ngợc lại, sẽ bế tắc trong khâu định hớng nếu không dự đoán

đ-ợc kết quả của bài toán đó Chẳng hạn, trong một số bài toán liên quan đếnchứng minh BĐT, tìm GTLN, GTNN, thờng ta phải dự đoán đẳng thức xẩy

ra khi nào để làm cơ sở cho các phép biến đổi nhằm dẫn đến kết quả của bàitoán Ngợc lại, bản chất của dự đoán và suy luận có lý là “bấp bênh”, có khi

là từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể khái quát lên thành một chân lý tổng quát.Tuy nhiên, vẫn có nhiều HS lầm tởng rằng mọi điều dự đoán đều đúng, dẫn

đến những kết luận sai lầm Bên cạnh đó, nhiều bài toán HS có thể định hớng

ra cách giải nhng vẫn lúng túng trong khâu trình bày lời giải Nguyên nhân làvì các em không hiểu, không nắm vững các quy tắc suy diễn trong quá trìnhhọc Toán

1.5 Kỹ năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý và suy diễn có vai

trò quan trọng trong quá trình học tập môn Toán của HS Nhng thực tế chothấy, phần lớn các em vẫn cha làm đợc điều này; có chăng thì các em chỉ chútrọng mặt này mà không để ý đến mặt kia Qua nghiên cứu lí luận và thực tiễnchúng tôi nhận thấy, nếu ngời giáo viên biết vận dụng các phơng pháp dạy họcphù hợp để có thể đặt HS vào tình huống mò mẫm, dự đoán, thử nghiệm và tìm

kết quả, thì có thể phát huy đợc tính tích cực và khơi dậy đợc những khả năng

tiềm tàng của HS; đồng thời qua đó giáo viên nhận đợc những thông tin vềnăng lực của HS một cách chính xác để kịp thời rèn luyện, khắc phục và sữachữa những sai lầm

1.6 Một công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự đoán, suy luận có lý là

tác phẩm Toán học và những suy luận có lý của G Pôlia ở Việt Nam đã có

một số công trình nghiên cứu ít nhiều liên quan đến dự đoán, suy luận có lý,suy diễn, dạy học sáng tạo của các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn CảnhToàn, , luận án Tiến sĩ của Trần Luận (1996): "Vận dụng t tởng s phạm của

G Pôlia, xây dựng nội dung và phơng pháp dạy học trên cơ sở các hệ thốngbài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của HS chuyên toán cấpII" Tuy nhiên, cha có công trình nào nghiên cứu thật đầy đủ việc phối hợpgiữa dự đoán, suy luận có lí với suy diễn trong giải Toán

Vì các lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

"Phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong quá trình dạy học giải Toán ở bậc Trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý; sự phối hợpgiữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn của HS trong việc dạy học giải Toán

ở trờng Trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải quyết những vấn đề chính sau:

- Thế nào là dự đoán, suy luận có lý, suy diễn? So sánh sự khác nhau

giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn;

- Vai trò của dự đoán và suy luận có lý; vai trò của việc phối hợp giữa dự

đoán, suy luận có lý với suy diễn trong quá trình giải Toán;

- Làm thế nào để rèn luyện khả năng dự đoán và suy luận có lý, khả

năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong việc giải bài tậpToán;

- Thực nghiệm s phạm.

4 Giả thuyết khoa học

Nếu quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện khả năng phối hợp giữa dự

đoán, suy luận có lý với suy diễn cho HS trong dạy học giải Toán ở trờngTHPT, thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán, góp phần thực hiện tốtmục tiêu và nhiệm vụ đổi mới PPDH Toán trong giai đoạn hiện nay

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề

có liên quan đến đề tài luận văn;

5.2 Điều tra quan sát: dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc

học của HS trong quá trình khai thác các bài tập ở SGK ;

5.3 Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính

khả thi và hiệu quả của luận văn

1.4 Vai trò của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễntrong dạy học môn Toán.

1.5 Những hạn chế, khó khăn cần khắc phục trong việc dạy học phối hợpgiữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học Toán ở bậc THPT

1.6 Thực trạng và yêu cầu của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận có

lý với suy diễn trong dạy học Toán ở bậc THPT

1.7 Kết luận Chơng I

Chơng II: Rèn luyện khả năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có

lý với suy diễn trong dạy học giải Toán

2.1 Những t tởng chủ đạo trong việc phát triển cho học sinh khả năngphối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn

2.2 Rèn luyện khả năng dự đoán và suy luận có lý

2.3 Rèn luyện khả năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suydiễn trong dạy học giải Toán

2.4 Kết luận Chơng II

Chơng III: Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Chơng I cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1 Dự đoán và suy luận có lý

1.1.1 Dự đoán

Theo Đại từ điển Tiếng Việt (Nguyễn Nh ý chủ biên - Nhà xuất bản Văn hoá và Thông tin): Dự đoán là đoán tr“ ” ớc điều, sự việc sẽ xảy ra (chẳng hạn nh: Dự đoán tình hình, dự đoán khá chính xác, …) ([39]) )

Theo Đào Văn Trung: Dự đoán là một phơng pháp t tởng đợc ứng dụngrộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật

đã biết để nêu lên những hiện tợng và quy luật cha biết Hay, dự đoán là sựnhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận ([35], tr 242).

Dự đoán là một hình thức t duy, trong đó đoán ra một điều hoặc một dấu hiệu nào đó - là thuộc về hay không thuộc về một đối tợng xác định Trong Toán học, dự đoán là đoán trớc những kết quả trong quá trình tìm tòi kiến thức mới, hoặc đoán trớc những phơng pháp sử dụng trong quá trình giải Toán Những điều dự đoán đó có thể đúng hoặc sai

Các nhà tâm lý học P I Picatxixti, B I Côrôtiaiev khẳng định: tơng

ứng với hai loại hoạt động nhận thức tái tạo và tìm tòi, sáng tạo của HS thì có hai loại thông tin Thông tin tái hiện là những tri thức đợc HS lĩnh hội ở dạng

có sẵn, thông qua việc ghi nhận và tái hiện lại thông tin dự đoán là các tri

thức học tập đợc HS khôi phục lại bằng cách thiết kế, tìm kiếm và kiểm tratính đúng đắn của điều dự đoán Trong khi hoạt động tái hiện chỉ có duy nhấtmột phơng án và việc thực hiện nó chính xác luôn dẫn đến kết quả, thì hoạt

động tìm tòi và sáng tạo lại dựa vào những thông tin ẩn tàng, cha tờng minh

HS sẽ kiểm tra điều dự đoán trên cơ sở tìm kiếm và lựa chọn phơng án có khảnăng nhất trong hệ thống kiến thức đã có của mình và do đó nhiều phơng áncha đợc kiểm tra nên thờng có khả năng kết quả dự đoán và thu nhận khácnhau

1.1.2 Suy luận có lý

Theo Đại từ điển Tiếng Việt, “Suy luận” có thể theo hai hớng: Một là,

rút ra một hay nhiều phán đoán mới trên cơ sở một hay nhiều phán đoán có

sẵn, có suy luận lôgic Hai là, suy ra điều này, điều nọ một cách thiếu lôgic,

thiếu căn cứ thực tế ([39])

Theo Phạm Văn Hoàn: Suy luận là nhận thức hiện thực một cách giántiếp, đó là quá trình t duy, xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, ngời ta đi

đến những phán đoán mới ([13], tr 85)

Theo tác giả Hoàng Chúng trong Những vấn đề lôgic trong môn Toán ở

tr-ờng THCS thì suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có

([3], tr 58)

Theo Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh: Suy luận là một quá trình suynghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều nhiều mệnh đề đã có trớc Cácmệnh đề đã có trớc gọi là tiền đề của suy luận Mệnh đề mới rút ra đợc gọi là hệquả hay kết luận

Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc logic A B, trong đó A là tiền

đề, B là kết luận Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lậpluận ([11], tr 140)

Theo Đại từ điển Tiếng Việt “Có lý” là hợp lý, đúng với lẽ phải ([39])

Theo Đỗ Mạnh Hùng: suy luận có lý là suy luận “không chấp nhận đợc”theo quan điểm của Toán học lý thuyết Suy luận có lý có khả năng dẫn đếnkết quả “đúng đắn”, và là công cụ đắc lực để tìm tòi và dự đoán Suy luận có lýkhông cần phải đảm bảo kết hợp đợc với các suy luận diễn dịch, để đa đợc lờigiải của bài toán cần giải đến kết quả “thực tiễn chấp nhận đợc” ([15], tr 24,25)

Nh vậy, suy luận có lý là bằng cảm giác, bằng linh cảm rút ra những phán đoán, những mệnh đề (có thể đang thiếu lôgic, thiếu căn cứ thực tế, không tuân theo một qui tắc tổng quát nào) nghe có lý Kết quả của“ ”

những phán đoán, những mệnh đề này có thể đúng hoặc sai.

Suy luận có lý có vai trò to lớn trong việc tìm tòi và dự đoán TheoBlekman và Mxkit thì có thể đề xuất đợc một số dạng điển hình sau đây củasuy luận có lý:

- áp dụng những phát biểu có bao hàm các khái niệm không đợc địnhnghĩa một cách chính xác;

- áp dụng những khẳng định đúng trong đại đa số các trờng hợp củathực tiễn nhng có thể sai trong những trờng hợp riêng hiếm có;

- Những kết luận dựa vào tính tơng tự hoặc dựa vào thực nghiệm;

- Những kết luận dựa trên cơ sở xem xét một số không đầy đủ các trờnghợp riêng;

- Sử dụng các kết quả của phép giải gần đúng khi không có đánh giá cụthể, trong đó sai số đợc chứng minh một cách chặt chẽ (bằng suy diễn)

Hiểu rộng ra thì phơng pháp suy luận này có thể bao hàm toàn bộ việcmô hình hóa Toán học: Thay thế bài toán hiện thực bằng mô hình Toán họccủa nó, cũng nh tìm mọi cách giản ớc bài Toán sau khi đã phát biểu nó bằngngôn ngữ Toán học [15]

Trong Toán học, suy luận có lý thờng thể hiện dới các hình thức nh: đặcbiệt hóa, tơng tự hóa, khái quát hóa, quy lạ về quen,

1.2 Suy diễn

1.2.1 Khái niệm suy diễn

Tác giả Hoàng Chúng định nghĩa suy diễn hay còn gọi là suy luận diễn

dịch nh sau:

Suy luận diễn dịch (phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc

“

(quy tắc suy diễn), xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng là đúng” ([3], tr.59).

Theo Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh:

“Một trong những khác biệt giữa Toán học và một số khoa học khác nhVật lý, Hoá học, đó là sự xây dựng lý thuyết suy diễn Suy diễn là một suy luậnhợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng

Nét đặc trng của suy diễn là suy luận theo quy tắc logic tổng quát, xác

nhận rằng nếu tiền đề là đúng thì thì kết luận rút ra cũng đúng”([11], tr 140)

Ví dụ 1 1: Xét suy luận

Tiên đề:

1) Với mọi x , (x + 1)(x - 1)=x 2 12) 20  

Kết luận:

(20 + 1)(20 - 1)=202  1Gọi F(x) là hàm mệnh đề (với tập xách định )

F(x): (x + 1)(x - 1)=x 2 1Các tiên đề có dạng: 1)   x , F(x)

2) 20  Kết luận có dạng: F(20)

Rõ ràng nếu thừa nhận các tiên đề là đúng (F(x) đúng với mọi x ) thìkết luận cũng phải đúng: F(x) đúng với x =20

1.2.2 Khái niệm về quy tắc suy diễn

Theo Hoàng Chúng ([3], tr 60) ta có khái niệm về quy tắc suy diễn nhsau:

1) A  B là hằng đúng (luôn luôn đúng, bất kể các mệnh đề, thành

phần P, Q của A và B lấy giá trị gì), ta có một phép suy diễn (hay một phép

suy luận hợp lôgic), với quy tắc suy diễn là A

B

Ta nói: B là kết luận logic của A.

2) A B không là hằng đúng, tức là có thể chỉ ra một trờng hợp mà

A đúng nhng B sai Phép suy luận là không hợp lôgic.

Ta nói: B không phải là kết luận logic của A

Ví dụ 1 2: Suy luận sau đây là hợp logic:

Nếu là 2 góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau (A)

Nếu 2 góc không bằng nhau thì chúng không đối đỉnh (B)

Mệnh đề A có dạng P Q, mệnh đề B có dạng Q  P, là phản đảocủa A Do đó khi A đúng thì B cũng đúng, A B là hằng đúng B là kết luậnlogic của A

Ví dụ 1 3: Suy luận sau đây không hợp lôgic:

Nếu trời ma thì đờng ớt (A)

Nếu đờng ớt thì trời ma (B)

Mệnh đề B là đảo của A Có thể chỉ ra trờng hợp A đúng mà B sai, do đó

A B không phải là hằng đúng

Một số quy tắc suy diễn

Nếu A = B (A và B luôn có cùng giá trị chân lý) thì A  B cũng nh B

 A là hằng đúng và ta có hai quy tắc suy diễn: A

B và

B A

Ta thờng dùng các quy tắc sau đây ([2], tr 61 đến tr 69):

1) Các hệ thức De Morgan cho ta các quy tắc:

tắc suy luận, chẳng hạn:

P Q

P Q8) Quy tắc bắc cầu của phép kéo theo:

Khác với suy luận chứng minh, suy luận có lý không tuân theo một quytắc tổng quát nào để từ những tiền đề đã có, rút ra đợc một kết luận xác định.Nếu các tiền đề là đúng thì không thể nói rằng kết luận là đúng hay sai ([3], tr.60)

Cũng theo G Pôlia: “Sự khác nhau giữa hai kiểu suy luận này hết sứclớn và muôn màu muôn vẻ Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy,không chối cãi đợc và dứt khoát Suy luận có lý là suy luận bấp bênh, phảitranh cãi và có điều kiện ( ) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặtchẽ đợc ghi lại thành luật và đợc giải thích bằng logic (logic hình thức haylogic chứng minh), logic này là thuyết của suy luận chứng minh Những tiêuchuẩn của các suy luận có lý rất linh động và không một lý thuyết nào về cácsuy luận nh vậy lại rõ ràng bằng lôgic chứng minh và có sự nhất quán nh logicchứng minh” ([20], tr 5)

Ví dụ 1 4:

Tiền đề 1: Số 212 chia hết cho 4

Tiền đề 2: Số 812 chia hết cho 4

Kết luận 1: Mọi số tận cùng bằng 2 đều chia hết cho 4

Kết luận 2: Mọi số tận cùng bằng 12 đều chia hết cho 4

Trong Ví dụ trên, từ hai tiền đề nh nhau, ta đã rút ra hai kết luận khácnhau Kết luận 1 có đợc từ nhận xét hai số: 212 và 812 có những số tận cùng là

2 Để rút ra kết luận 2 chúng ta lại xem hai số 212 và 812 có tận cùng là 12,các suy luận trên đều nghe có lý, nhng rõ ràng các kết luận rút ra đều có tínhchất dự đoán, giả thuyết Trong Ví dụ trên, các tiền đề đều đúng nhng Kết luận

1 sai, Kết luận 2 đúng (tất nhiên tính đúng, sai của Kết luận không phải có đợc

từ hai tiền đề đã xét)

Chúng ta có thể tham khảo việc phân bậc trong việc tiếp thu hình họccủa học sinh theo Van Hiele nh sau (dẫn theo [5], tr 18):

Bậc 0: Hình dung HS hình dung một hình nh một tổng thể, không nhìn

thấy các tính chất hay bộ phận của nó

Bậc 1: Phân tích HS bắt đầu nhận ra các đặc điểm của hình qua quan

sát hoặc thí nghiệm

Bậc 2: Suy diễn không hình thức HS thiết lập đợc các quan hệ về tính

chất trong một hình và giữa các hình với nhau; để hiểu đợc việc phân loại và

định nghĩa; có thể lặp lại và đa ra các lý lẽ không hình thức

Bậc 3: Suy diễn HS có thể sử dụng lập luận lôgic và suy diễn với một hệ

tiên đề, trên một mô hình cụ thể

Bậc 4: Chặt chẽ HS có thể so sánh các hệ thức hình học khác nhau, có

thể làm việc trong một hệ hình học mà không cần các mô hình cụ thể

Nh vậy từ việc phân bậc này, bậc 0 và bậc 1 chính là 2 quá trình bổ trợcho HS dự đoán để đi tới một suy luận có lý Và khi đã đa ra đợc kết luận rồi

thì lúc đó HS dùng suy diễn để chọn lọc những suy luận có lý từ đó giải quyếtvấn đề

“Trong hoạt động Toán học ta có các kiến thức Toán học của mình bằng

các suy luận, nhng lại viện trợ các giả thuyết của mình bằng các “suy luận

nghe có lý” theo con đờng suy đoán với những quy nạp không hoàn chỉnh Với

những ai đang học Toán “tất nhiên sẽ học chứng minh, nhng phải học cả dự

đoán nữa” (G Pôlia) Hai bớc sẽ đợc tiến hành:

- Suy đoán: Trên cơ sở thực nghiệm, thấy có một số dấu hiệu giống nhaunào đó, đề ra giả thuyết theo qui nạp không hoàn chỉnh

- Suy luận: Bằng suy luận để công nhận hay bác bỏ giả thuyết ([3], tr.23)

Tóm lại trong Toán học, mọi thuộc tính của bất kỳ khái niệm nào cũng

đều chỉ đợc suy từ định nghĩa hình thức của nó Do đó mỗi khẳng định chỉ đợcbao hàm những khái niệm hoàn toàn xác định về mặt hình thức Các mối quan

hệ lôgic giữa các khái niệm này hoàn toàn xác định chính xác tính sai hay

đúng của mỗi khẳng định đó Vì vậy chúng ta phải hiểu rộng ra rằng dự đoán,suy luận có lý chỉ hỗ trợ cho suy luận chứng minh trong quá trình phát hiện rachân lý

1.4 Vai trò của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học môn Toán

1.4.1 Vai trò của dự đoán và suy luận có lý

1.4.1.1 Vai trò của dự đoán trong dạy học Toán

Quá trình thu nhận tri thức mới của học sinh có đợc theo sơ đồ sau:

Với xuất phát làm nền tảng luôn là vốn tri thức mà mỗi ngời học đã có.Ngời học nào có vốn tri thức phong phú sẽ có điều kiện học tập tốt hơn ngờikhác

Trớc mỗi kiến thức mới, một vấn đề mới đặt ra ngời học sẽ sử dụngnhững thao tác t duy cùng với vốn kiến thức đã có sẽ có những nhận định,

đánh giá ban đầu về vấn đề mà ta gọi nó là dự đoán“ ” Nó làm cơ sở cho ngờihọc hoạt động để xem xét nhận định mà mình đa ra

Qua quá trình kiểm nghiệm nếu nh dự đoán“ ” nêu ra là đúng đắn ngờihọc sẽ đi tới kết luận và rút ra tri thức cho bản thân Còn nếu nh qua quá trình

kiểm nghiệm mà dự đoán“ ” nêu ra là không sát thực, ngời học cần có sự điều

chỉnh và đa ra một dự đoán“ ” mới đúng đắn hơn và bản thân cũng có sự thích

nghi với vấn đề Dự đoán“ ” mới này lại đợc kiểm nghiệm, nếu nó sai lầm“ ” thì

ngời học lại điều chỉnh để đa ra dự đoán“ ” mới còn nếu nó đúng thì dẫn tới

hình thành tri thức mới Vì vậy, “dự đoán” nó là cầu nối giữa tri thức đã có sẵn

với kiến thức mới

Nhà tâm lý học nổi tiếng J Piaget đã từng nhận xét rằng: “Chỉ có sựhoạt động, đợc giáo viên thờng xuyên định hớng và khích lệ, nhng vẫn luôn tự

do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đa tới sự

độc lập về trí tuệ.” (dẫn theo [4], tr 50)

Ngoài ra, chúng ta cũng thấy rõ đợc vai trò của dự đoán qua lời nhận xétcủa G Pôlia: "Bạn phải dự đoán về một định lý Toán học trớc khi bạn chứngminh nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi tiến hành chứng minhchi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả đã quan sát đợc và suy ra những điều t-

ơng tự; bạn phải thử đi thử lại Kết quả công tác sáng tạo của nhà Toán học làsuy luận chứng minh, là chứng minh; nhng ngời ta tìm cách chứng minh nhờsuy luận có lý, nhờ dự đoán Nếu việc dạy Toán phản ánh ở mức độ nào đóviệc hình thành Toán học nh thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗcho dự đoán và suy luận có lý" ([20], tr 6) "Trong việc học tập Toán học, ph-

ơng pháp suy diễn, đúng là giúp chúng ta bao quát nhanh một lĩnh vực rộng.Song phơng pháp xây dựng đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những

t duy độc lập, sáng tạo một cách vững chắc hơn" (R Courant, dẫn theo [5], tr.32) “Suy luận quy nạp có vai trò rất lớn trong các khoa học thực nghiệm.Trong Toán học nó cũng rất quan trọng vì nó gợi ra kết quả tổng quát và cả đ-

Tri thức đã có Dự đoán Kiểm nghiệm Thích nghi (nếu thành công) Kiến thức mới

Thất bại Dự đoán khác

ờng lối chứng minh” (Trần Thúc Trình, [36], tr 18) Hay nh G Pôlia đã phát

biểu trong Toán học và những suy luận có lý: "Chúng ta củng cố các kiến thức

Toán học của mình bằng các suy luận chứng minh, nhng chúng ta hỗ trợ cácgiả thuyết của mình bằng các suy luận có lý " ([20])

Trong Toán học quan sát và thực nghiệm không thay thế cho chứngminh, nhng không phải vì vậy mà các nhà Toán học coi thờng quan sát thựcnghiệm vì nhờ quan sát thực nghiệm, nhiều khi ta phát hiện đợc vấn đề, địnhhớng cho sự tìm tòi.”

Các nhà tâm lý dạy học P I Picatxixti, B I Côrôtiaiev đã đề xuất cáchxác định “Mức độ tìm tòi, sáng tạo thông qua tỉ số giữa số lợng các thông tin

dự đoán với tổng số các thông tin cần lĩnh hội trong một đơn vị thời gian là giờhọc” Tỷ số này sẽ dao động từ 0 đến 1; nếu mọi thông tin đều đợc lĩnh hội ởdạng có sẵn thì tỷ số này tiến dần tới 0; tỉ số càng lớn thì mức độ sáng tạo càngtăng và đồng thời khả năng gặp sai sót cũng tăng theo (vì tổng số các phơng áncha đợc kiểm tra cũng tăng), ngợc lại khi tỷ số giảm, mức độ sáng tạo giảm vàsai sót cũng giảm

Nh chúng ta đã biết có hai cách chiếm lĩnh kiến thức:

Cách thứ nhất là tái hiện kiến thức có nghĩa là định hớng đến hoạt độngtái tạo, đợc xây dựng trên cơ sở học sinh lĩnh hội các tiêu chuẩn, hình mẫu cósẵn

Cách thứ hai là tìm kiếm kiến thức có nghĩa là định hớng đến hoạt độngcải tạo tích cực, dẫn đến việc “phát minh” kiến thức và kinh nghiệm hoạt động

Nh vậy, nếu nh cách một có thể đợc xem là ít tích cực, bởi các kiến thứccho sẵn có tính áp đặt cao đối với quá trình học, nó kiểm soát ngời học từ bênngoài nên ít có khả năng kích thích tạo hoạt động một cách thực sự (chỉ ghinhớ, tái hiện) Và trạng thái tinh thần tơng thích của tính tích cực là bắt chớc,tái hiện Thì ở cách hai, kiến thức xuất hiện trớc HS lúc đầu chỉ là những thôngtin dự đoán, những suy luận có lý - bản thân nó đã có tác dụng gợi ý và khuyếnkhích ngời học tự mình nỗ lực kiểm tra điều dự đoán Quá trình học tập diễn ratheo kiểu tìm kiếm, phát hiện, khai thác, biến đổi, và ngời học tự kiến tạokiến thức, kỹ năng tơng thích với kinh nghiệm và bản chất của mình Do đó,quá trình mang bản chất hoạt động, ngời học trở thành chủ thể tích cực hơn

Từ đó tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm họctập cho ngời học Vì lúc này ngời học đợc cuốn hút vào các hoạt động học tập

do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá ra những điềumình cha rõ, chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã đợc giáo viên

sắp đặt Từ đó tác động đến tình cảm, đem lại niềm hứng thú và trách nhiệmhọc tập cho ngời học, tạo cho họ niềm ham học, khơi dậy nội lực vốn có trongmỗi con ngời, kết quả học tập sẽ đợc nhân lên gấp bội.

Nh vậy, học tập bằng con đờng dự đoán và suy luận có lý chúng ta thấy

nó có tác dụng rất lớn về nhiều mặt: Nó rèn luyện cho HS t duy lôgic, khoahọc, t duy biện chứng, sáng tạo Nó làm cho nội dung bài học có tính thuyếtphục, biến kiến thức thành niềm tin Nó bồi dỡng cho HS những tình cảm trítuệ sâu sắc: Có cảm xúc và niềm vui trong lao động sáng tạo, tự tin ở năng lựccủa mình, hứng thú với học tập, chiếm lĩnh kiến thức khoa học; Kiến thức của

HS đợc vững chắc, vì những gì học sinh tự tìm ra thì HS nhớ tốt hơn, có hệthống hơn, và khi quên thì HS có thể xác lập lại dễ dàng

Ngoài ra, dự đoán và suy luận có lý không những giúp ta thật sự hiểu bàiToán mà trong giải bài tập còn giảm đợc những cách giải mày mò, mù quáng,trớc những bài toán khó không vội đi vào tính toán, chứng minh ngay mà biếtcăn cứ vào dữ kiện và mục tiêu cần giải quyết để có những trù liệu, phán

đoán Nó thuộc loại vấn đề gì? Đại thể nên bắt đầu từ đâu? Sau đó mới bắttay vào tính toán, chứng minh Khi đạt đợc một kết quả nào đó thì kết hợp vớimục tiêu dự đoán, cảm nhận đợc cách giải nào sẽ đạt đợc kết quả Nếu thấy

có thể đợc thì sẽ tiếp tục phơng pháp đó, nếu cảm nhận thấy không đợc thìphải quay lại điều kiện ban đầu để dự đoán, tìm cách giải khác, điều chỉnhcho tới khi giải đợc bài toán

Trong quá trình dạy học theo con đờng dự đoán và suy luận có lý đợcxem là phơng pháp tích cực, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo

điều kiện cho HS nâng cao tính độc lập trong học tập, nhng cũng vì thế mà hệ

số sai sót, mức độ khó khăn cũng lớn hơn Tính đúng, sai của các phán đoáncòn cần phải đợc kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng định đợc.Ngoài ra, con đờng này đòi hỏi tốn kém thời gian, vì vậy không phải bao giờcũng có điều kiện thực hiện đợc Nhng dù thế nào đi nữa thì dự đoán cũng cóvai trò thúc đẩy sự phát triển của Toán học Trong quá trình phát triển mấyngàn năm của Toán học, các nhà Toán học đã không ngừng đa ra những phán

đoán và minh chứng Có những phán đoán cho đến hàng trăm năm sau mớikhẳng định đợc, chẳng hạn nh Định lý Fermat lớn, nhng sự cố gắng để đi

đến chân lý của các nhà khoa học đã làm nảy sinh ra nhiều cái mới trong

ph-ơng pháp, trong lĩnh vực lý thuyết

Tóm lại, dự đoán, suy luận có lý đóng vai trò quan trọng trong khoa họcToán học Nó "không những đi đến phát hiện và sáng tạo mà còn dẫn đếnthành công" ([35], tr 243)

1.4.1.2 Vai trò của dự đoán, suy luận có lý thông qua các ví dụ

Trong thực tiễn giải Toán chúng ta thấy bài tập Toán học rất đa dạng vàphong phú Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với mọi HS Có thể

chia bài tập toán học ra làm hai loại Loại 1: Loại có sẵn thuật toán Để giải

loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện kỹ năng, kỹxảo (tái hiện kiến thức) Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạphơn Yêu cầu cho HS là: Nắm vững quy tắc giải đã học, nhận dạng đúng bài

toán, giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo Loại 2: Loại cha có sẵn thuật toán Loại bài tập này chiếm số lợng khá lớn trong SGK và gây cho HS

không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng củamình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vơn lên trong học tập của HS

Do vậy khi dạy HS giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quantrọng hơn là: Dạy cho HS biết cách suy nghĩ tìm ra con đờng hợp lý để giải bàitoán Và HS cần phải biết cách chiếm lĩnh kiến thức theo con đờng thứ hai (tìmkiếm kiến thức)

Tuy nhiên, trong việc giảng dạy và học tập môn Toán hiện nay, do chỉchú trọng đến việc truyền thụ kiến thức nên SGK và bài giảng trên lớp đềutrình bày cho HS những kiến thức Toán học ở dạng có sẵn, thờng không rõ aiphát minh vào lúc nào và bằng cách nào; nhiệm vụ của giáo viên thờng làgiảng để HS hiểu rõ nội dung các kiến thức đó, rồi dùng suy diễn lôgic đểchứng minh chúng, vừa để cho HS tin kiến thức đó là đúng, đồng thời cũngcho họ tập làm quen với chứng minh Toán học Nhiệm vụ của HS là học đểhiểu rõ nội dung các kiến thức và cách chứng minh chúng; sau đó là làm cácbài tập để ứng dụng các kiến thức, tập suy luận, chủ yếu là tập suy diễn logic

và rèn luyện các kỹ năng nhất là kĩ năng tính toán Mỗi bài tập thờng đòi hỏi

HS phải tự chứng minh lấy những kiến thức Toán học có sẵn nhng thứ yếu(chứ không phải là những kiến thức cơ bản nh trong bài học) HS bình thờngcũng chỉ mong sao học đạt yêu cầu nh trên Nhng những HS yêu thích Toánhọc không thể thoả mãn với yêu cầu đó Họ muốn biết những kiến thức nêutrên trong sách hoặc thầy giảng ở đâu mà ra Ai là ngời nghĩ ra đầu tiên vànhất là làm cách nào mà nghĩ ra đợc ([33], tr 5)

Lời nhận xét trên đây của GS Nguyễn Cảnh Toàn đã phần nào cho thấythực trạng dạy học Toán của trờng phổ thông hiện nay

Thật vậy, phải thừa nhận rằng, hiện nay có nhiều giáo viên tâm huyếtvới nghề, luôn trăn trở để có đợc những bài giảng sinh động, hiệu quả Nhng

vẫn không ít giáo viên cha cải tiến đợc phơng pháp dạy học của mình - kiểu dạy học cũ - hiệu quả không cao Theo kiểu dạy học đó, dờng nh không có những pha để HS dự đoán Đơng nhiên họ cũng có cái “lý” riêng: Nếu để HS

dự đoán thì sẽ tốn nhiều thời gian, khối lợng kiến thức truyền thụ đợc sẽ bị hạnchế (!?) Thực ra, cho HS dự đoán, tìm tòi, mò mẫm đúng là có tốn thời gianthật, nhng “sẽ đợc đền bù nhanh chóng khi t duy độc lập của HS đã đợc phát

triển” Kiểu dạy học cũ đa đến kết quả là, HS thờng gặp khó khăn, thậm chí

bó tay trớc những bài toán tìm tòi (Toán tìm quỹ tích trong Hình học; tìm GTLN, GTNN trong Đại số, ) Cần lu ý thêm một tồn tại nữa trong phơng pháp dạy học của nhiều giáo viên - sự áp đặt“ ” đối với những thao tác nh kẻ đ-ờng phụ; biến đổi, thêm, bớt biểu thức; phân chia thành những trờng hợp riêng;

- những điều mà lẽ ra giáo viên cần cho HS hiểu vì sao lại làm nh thế ([31]).

Ví dụ sau đây sẽ góp phần làm rõ thêm những điều vừa nói ở trên:

Khi dạy bất đẳng thức, có thể cho học sinh giải Bài toán:

Ví dụ 1 6: “Cho a2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 12

a ”

Thực tiễn s phạm cho thấy, quá nhiều HS không giải đợc bài này

Bên cạnh đó, cũng có nhiều HS giải nh sau:

áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dơng

2

a

, 2

Cách giải chính xác bài toán này có thể đợc trình bày gọn nh sau:

Khi xét Bài toán này ta thấy có một số điều đặt ra: Thứ nhất, tại sao lại

áp dụng BĐT Cauchy? là bởi vì chúng ta cần đánh giá S theo chiều “”, mà S

có dạng tổng của của các số dơng nên chúng ta có thể dự đoán công cụ để giải

bài toán này là dùng bất đẳng thức Cauchy Thứ hai, lý do nào đã dẫn chúng ta

đến với sự biểu diễn việc tách số hạng chứa a trong S ra thành tổng của nhiều

số hạng nh vậy? là bởi vì để tìm GTNN của S ta phải đánh giá S m, trong đó

m là hằng số Nếu ta không tách ra nh vậy và áp dụng Cauchy ta thấy S =

S phải có hai số hạng chứa a để khi áp dụng BĐT Cauchy mới khử đợc hết a

khi đó kết quả cho ta một hằng số Thứ ba, xuất hiện giả thiết a  2 để làm

gì? Là bởi vì khi áp dụng Cauchy dấu “=” xảy ra khi các số bằng nhau, do đó

125

136

149

164

181

1100

1900

Từ bảng trên ta thấy khi a càng tăng thì S càng tăng, từ đó ta đi dến dự

đoán: Khi a = 2 thì S nhỏ nhất là 1

4 Việc dự đoán đó gợi ý ta tách số hạngchứa a trong S ra tổng các số, nhằm khẳng định dự đoán để hoàn tất lời giải,hoặc là bác bỏ dự đoán và tìm kiếm hớng khác

Nếu nh áp dụng BĐT Cauchy thì khi dấu “=” xảy ra tại a = 2, ngoài ratheo nh suy luận ở trên thì S phải chứa ít nhất 2 số hạng chứa a, để có đợc điều

đó ta cần áp dụng Cauchy cho các số có dạng  a và 12

a , kết hợp dấu “=” xảy

ra của BĐT khi các số bằng nhau, ta có:

Cũng cần bình luận thêm rằng, đây cha phải là cách duy nhất để giải Bàitoán này Ngoài cách đó ra vì S là biểu thức phụ thuộc một tham biến a, đ ơngnhiên có thể dùng công cụ đạo hàm để giải, nhng nếu chỉ là HS lớp 10, các emcha có công cụ đạo hàm để giải Hơn nữa, chúng ta quan tâm nhiều hơn đếnquá trình tìm tòi lời giải của HS trong luận văn này.

Ví dụ 1 7: Cho

32

S theo chiều “” Với suy luận hoàn toàn tơng tự ở ví dụ trên chúng ta làm

xuất hiện trong S ít nhất 2 số hạng chứa 1 1 1

, ,

a b c Vậy chúng ta phải căn cứ vào

đâu để tách chúng cho phù hợp với yêu cầu bài toán?

Ta bắt đầu dự đoán: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự

đoán GTNN của S sẽ xảy ra khi ba đối tợng này bằng nhau Mặt khác kết hợp

2

a b c   Vậy Min S đạt tại a = b = c = 1

2 Khi đó ta áp dụng Cauchy cho các số có dạng: a2, , , , ,b2 c2

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Nếu HS có thói quen mò mẫm, dự đoán, thì họ sẽ biết thử một số trờng hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán - mà điều dự đoán ấy sẽ làm cơ sở

cho việc tìm ra lời giải của bài toán:

Trong bài toán này khi cho x, y thay đổi thoả mãn là 2 số dơng thì ta

thấy các S vẫn có thể nhận giá trị của một trong ba số x, y + 1 1

,

x y mà không

theo qui luật nào Vì vậy rất khó có thể xác định đợc GTNN của S Mặt kháctrong quá trình giải các bài toán tìm GTLN, GTNN thông qua BĐT chúng ta

thấy cái “nút” của vấn nhiều khi là ở chỗ các số bằng nhau Từ thói quen đó

mà có thể các em sẽ thử trờng hợp đặc biệt: cho x = y +1 1

x  Khi đó ta có: y

1

21

Nhng đó vẫn chỉ là dự đoán! Làm sao có thể khẳng định hoặc bác bỏ

đ-ợc điều dự đoán này?

Nếu S nhỏ nhất bằng 2 ta cần phải chứng tỏ rằng S  2,x y,   *

Để kiểm tra điều này ta lại tiếp tục mò mẫm:

Nếu S  2 khoảng xét của nó hơi rộng ta thử xem S < 2 ?

Trên đây mô phỏng lại quá trình tìm tòi của một em HS có “óc dự đoán”

khi đứng trớc Bài toán Sự mò mẫm, dự đoán đã giúp em đó phát hiện và giảiquyết vấn đề một cách hoàn chỉnh - điều mà nhiều em khác đã không thể làm

đợc!

Nhìn lại lời giải có thể thấy rằng, cái “nút” của vấn đề chính là ở chỗ:

biết xét trờng hợp đặc biệt là khi ba số x, y +1 1

,

x y bằng nhau Nếu ta không

xét trờng hợp đó ta sẽ khó lòng giải đợc bài toán này Và vì sao ta biết đợc

tr-ờng hợp đó là bởi vì, chính quá trình dự đoán đã gợi ý lên điều này.

Trong quá trình giải các bài toán Hình học không gian, chúng ta thấyvai trò của dự đoán là vô cùng quan trọng Chẳng hạn, để chứng minh một đ-ờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng, một trong những phơng pháp chúng

ta hay sử dụng là chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với hai đờng thẳng bất

kỳ cắt nhau nằm trong mặt phẳng Cái khó ở dạng Toán này là ta cũng cha biết

là đờng thẳng đã cho sẽ vuông góc với hai đờng thẳng nào đây trong mặtphẳng? Và không cách nào khác là chúng ta mò mẫm, dự đoán

để tìm ra những quan hệ vuông góc đó Hoặc là, để chứng minh hai mặt phẳng

là vuông góc với nhau thông thờng chúng ta sẽ chỉ ra một đờng thẳng nằmtrong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia Tuy nhiên, trong đề bài ng-

ời ta cha cho biết là cần chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng nào!

Và lúc đó chúng ta lại mò mẫm, dự đoán để tìm ra điều đó Chúng ta có thể xét

ví vị đơn giản sau:

Ví dụ 1 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D, AB = 2a, AD = DC = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a Chứng

minh rằng (SAC) vuông góc với (SCB) (Hình 1)

Để làm đợc Bài toán này HS cần phải tìm ra một đờng thẳng nằm ở mộttrong hai mặt phẳng đã cho và vuông góc với

mặt phẳng còn lại Các em sẽ mò mẫm và dự

đoán: Đầu tiên, sẽ để ý các đờng thẳng đã có

sẵn trong hình vẽ Có thể u tiên các đờng

thẳng đã có mối quan hệ vuông góc nằm ở

trong hai mặt phẳng đã cho Ta có vì SA

(ABCD) nên SA vuông góc với mọi đờng

nằm trong (ABCD) trong đó có đờng thẳng

BC (SAC) Từ đây, gợi ý cho chúng ta tiếp

tục đi tìm quan hệ vuông góc của đờng thẳng SA với một đờng thẳng nào đónằm trong (SCB) hoặc quan hệ vuông góc của đờng thẳng CB với đờng thẳngnào đó nằm trong (SAC) Ta để ý trong hình thang ABCD, ta dễ dàng chứngminh đợc ACBC Vậy ta đã tìm ra đợc BC là đờng vuông góc với mặt phẳng(SAC)

Trong bài toán tính thể tích của khối tứ diện, thông thờng chúng ta hay

A S

Hình 1

tính độ dài đờng cao của khối tứ diện (hay còn gọi là khối chóp tam giác) Tuynhiên, nếu HS biết lựa chọn việc sử dụng đờng cao nào trong bốn đờng cao củakhối chóp tam giác một cách khéo léo thì sẽ dễ dàng xác định đợc chân đờngcao và thuận lợi trong việc tính toán độ dài đờng cao Để có đợc điều này thìcác em phải sử dụng đến sự mò mẫm, dự đoán và những suy luận có lý.

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lợt là

trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Tính thể

tích của khối tứ diện CMNP (Hình 2).

Ta thấy, hình chóp này có đờng cao là

SH, với H là trung điểm của AD (vì (SAD)

(ABCD), SAD đều) Mặt khác, tứ diện CMNP

đ-bình của SHB nên MK//SH) Khi đó, ta dễ dàng tính đờng cao MK = 1

Qua Ví dụ này, chúng ta thấy nhờ những “suy luận có lý” giúp ta nhanh

chóng giải quyết Bài toán một cách khá dễ dàng Khi gặp bài toán này vì tứdiện này thoạt nhìn là không có gì đặc biệt (Một bài toán thông thờng là ngay

từ đầu đã cho đờng cao hoặc chỉ cần sử dụng một tính chất đơn giản nào đó là

Hình 2 K

M

B N C P

D

H A S

học sinh tìm ra đợc đờng cao (ví nh đờng cao SH của chóp S.ABCD) Nhng với

bài toán này đối với HS nếu không có những “suy luận có lý” nh trên thì rất

khó khăn trong việc tìm ra chân đờng cao của tứ diện

Cũng phải nói thêm rằng giải các bài toán Hình học không gian đối với

đa số HS hiện nay là khó do bản thân của dạng Toán này đòi hỏi sự sáng tạo,sức tởng tợng cao của ngời học Nếu nh giáo viên không tập dợt cho HS biếtcách suy luận, biết cách t duy để tự các em khám phá, tìm tòi hớng giải quyếtvấn đề thì các em sẽ không thể giải đợc các bài toán Hình học không gian dù

là bài toán đơn giản nhất!

Một dạng Toán nữa đòi hỏi HS phải biết dự đoán và suy luận có lý khigiải chúng đó là dạng toán tìm quĩ tích

"Chơng trình Hình học, kiến thức về quỹ tích chiếm vị thế tơng đối, điềunày cũng do tác dụng to lớn của nó trong việc rèn luyện t duy Toán học nóiriêng và đối với việc rèn luyện t duy linh hoạt nói chung, một phẩm chất cầnthiết cho các hoạt động sáng tạo của con ngời" [36]

Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là việc chứng minh liên tiếpcác mệnh đề Toán học Nhng khác với các Bài toán chứng minh hình học,trong phần lớn bài toán quỹ tích, đầu tiên chúng ta phải tìm cho ra "cái ta cần

phải chứng minh" Muốn có đợc yếu tố quyết định để chuyển từ bài toán "tìm" sang bài toán "chứng minh" thì HS phải sử dụng đến công cụ “dự đoán” và tất

nhiên không phải HS nào cũng làm tốt thao tác tìm đoán quỹ tích đó Ví dụsau đây sẽ minh chứng cho điều này:

Ví dụ 1 11: Cho đờng tròn tâm O Trên đờng kính AB kéo dài lấy một

điểm M, từ M vẽ tiếp tuyến MT, từ T vẽ dây cung TR thẳng góc với AB Cáttuyến đi qua M cắt dây cung TR ở P Trên cát tuyến đó lấy điểm Q sao cho

MP MQ MT Tìm quỹ tích Q khi P di động trên dây TR (P ở trong đoạn

TR)

Trớc hết ta hãy xét một điểm Q’ trên Mx mà MP MQ. 'MT Nếu biết2

đợc Q’ có thể suy ra đợc quỹ tích của Q vì  2

B P

R O

Hình 3

nào? (Quỹ tích) Ta có thể đoán nhận đợc quỹ tích điểm N thông qua xét một

vài vị trí đặc biệt của điểm P trên đoạn TR (Hình 3).

- Khi P  T thì MP MQ. 'MT MQ. 'MT2  Q’T  T là một điểmthuộc quỹ tích

- Khi P  R thì MP MQ. 'MR MQ. 'MT mà MT=MR nên Q’2 R 

R là một điểm thuộc quỹ tích

- Khi PI (I=ABTR) thì Q’ ở đâu? Để ý rằng, vì tam giác OTMvuông tại T nên MT2= MI MO Q’O

Vì 3 điểm T, O, R không thẳng hàng nên quỹ tích của Q’ không thể là

đờng thẳng

Nếu quỹ tích Q’ là một cung tròn thì cung tròn đó phải đi qua 3 điểm T,

R, O Ta suy nghĩ trong bài toán cụ thể này những đờng tròn nào có thể chứa

ra thì góc PIO vuông nên tứ giác PIOQ’ nội tiếp trong một vòng tròn nào đó.

Qua sự phân tích trên ta thấy để giải bài toán này ta thử xem xét với cácgiả thiết đã cho tứ giác PIOQ’ có nội tiếp trong một đờng tròn hay không?

Nh vậy, quá trình suy nghĩ tìm tòi đã dẫn ta tới lời giải của bài toán một

cách nhẹ nhàng Nếu nh không biết dự đoán thì liệu có thể chuyển từ yêu cầu

"tìm" (trong tìm quỹ tích) về giải quyết bài toán "chứng minh" quỹ tích đợc

không?

Trên đây chúng tôi đã đa ra một số ví dụ mà qua đó chúng ta thấy bằngvai trò của dự đoán và suy luận có lý có vai trò vô cùng quan trọng trong quátrình đi tìm lời giải cho những bài toán Nhiều khi chính quá trình mò mẫm, dự

đoán lại gợi ý cho cách biến đổi, cách thêm bớt, cách kẻ đờng phụ, đối với

bớc suy luận lôgic Nói cách khác, nếu không có dự đoán thì không thể biếtbiến đổi biểu thức theo kiểu gì, kẻ đờng phụ nh thế nào, cho hợp lý đối vớibài toán cần giải

Hầu hết các bài toán không có sẵn thuật giải thì không thể thiếu thao tác

dự đoán và suy luận có lý Chúng tôi đã cố tình đa ra hai dạng toán điển hình

mà nếu nh không dùng dự đoán và suy luận có lý thì có thể sẽ không thể giải

đợc đó là dạng toán tìm GTNN, GTLN bằng con đờng BĐT và bài toán quỹtích

1.4.2 Vai trò của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy

diễn trong dạy học môn Toán

Nhà Toán học và là nhà s phạm nổi tiếng ngời Mỹ - G Pôlya - đã phátbiểu: “Toán học đợc coi nh là một môn khoa học chứng minh Tuy nhiên, đómới chỉ là một khía cạnh của nó Toán học hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hìnhthức hoàn chỉnh, đợc xem nh chứng minh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứngminh Nhng Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức kháccủa nhân loại trong quá trình hình thành Bạn phải dự đoán về một định lýToán học trớc khi bạn chứng minh nó Bạn phải dự đoán về ý của chứng minhtrớc khi tiến hành chứng minh chi tiết ( ) Nếu việc dạy Toán phản ánh ở mức

độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế nào, thì trong việc giảng dạy đó,phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” ([20], tr 6)

Vai trò của việc phối hợp giữa dự đoán và suy luận có lý với suy luận

đ-ợc nhà Toán học và là nhà s phạm nổi tiếng ngời Mỹ - G Pôlya - đã phát biểu:

“Chúng ta củng cố các kiến thức Toán học bằng suy luận chứng minh, nhngchúng ta hỗ trợ các giả thiết của mình bằng các suy luận có lý” ( ) Mọi cáimới mà chúng ta hiểu biết đợc về thế giới đều có liên hệ với các suy luận có lý

là loại suy luận duy nhất mà ta quan tâm trong công việc hàng ngày ( ) Toánhọc đợc coi nh là một môn khoa học chứng minh Tuy nhiên, đó mới chỉ làmột khía cạnh của nó Toán học hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn

chỉnh, đợc xem nh chứng minh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứng minh NhngToán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loạitrong quá trình hình thành Bạn phải dự đoán về một định lý Toán học trớc khibạn chứng minh nó Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi tiến hànhchứng minh chi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát đợc và suy ranhững điều tơng tự; bạn phải thử đi thử lại Kết quả công tác sáng tạo của nhàToán học là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhng ngời ta tìm ra cáchchứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán Nếu việc dạy Toán phản ánh ởmức độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế nào, thì trong việc giảng dạy

đó, phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” ([20], tr 5, 6)

Ngoài ra vai trò của việc phối hợp giữa suy luận quy nạp (Theo G Pôlia:Suy luận qui nạp là trờng hợp riêng của suy luận có lý) với suy luận chứng

minh đợc các tác giả của Giáo dục học môn Toán đã chỉ ra: "Trong việc giảng

dạy và học tập môn Toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn làmột nguyên nhân rất cơ bản của việc kìm hãm sự phát triển t duy sáng tạo chohọc sinh" ([13], tr 89, 90) F Engels từng đã nói: "Quy nạp và suy diễn gắnchặt với nhau nh phân tích và tổng hợp" ([17])

Ta đã biết phép chứng minh một mệnh đề T là một dãy mệnh đề

1 2 n 1 n (*)

T T T T T (T là mệnh đề cuối cùng của dãy), trong đó: Mỗi mệnh dề

T i (i=1,2,3, ,n) là giả thiết, tiên đề, định lý đã biết (đã đợc chứng minh) hoặc

là mệnh đề đợc suy ra từ một mệnh đề đứng trớc nó trong (*), bằng một qui tắcsuy luận; T là mệnh đề đợc suy ra từ một số mệnh đề đứng trớc nó trong (*)bằng một quy tắc suy luận

Ta thờng gọi Ti trong dãy (*) và các quy tắc suy luận đợc sử dụng là cócăn cứ để chứng minh T, và biết lập luận có căn cứ đợc coi là một yêu cầuquan trọng trong dạy học Toán Trong các căn cứ đó thì các Ti(giả thiết, tiên

đề, định lý đã biết, mệnh đề trung gian) nói chung đợc nêu ra một cách rõ ràng(đơng nhiên là có những điều “hiển nhiên” không đề cập tới), nhng các quy tắcsuy luận thì thờng là ở dạng tiềm ẩn Khi đó ngời làm Toán phải biết xétnhững quan hệ, những tính chất, những đặc điểm, trên cơ sở quan sát, xemxét một số trờng hợp cụ thể, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quáthoá, để có những quy tắc suy luận cho phù hợp Quá trình này nằm chủ yếutrong giai đoạn dự đoán

Ngợc lại, bản chất của dự đoán và suy luận có lý là “bấp bênh”, có khi

là từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể khái quát lên thành một chân lý tổng quát.Vì vậy, tri thức thu đợc nhờ dự đoán và suy luận có lý thì không đầy đủ, khônghoàn chỉnh và có thể dẫn đến những kết luận sai Trong Toán học không chophép dùng dự đoán và suy luận có lý để chứng minh Nh vậy, cho dù đợc đặttrong một sự tĩnh tại tơng đối để xem xét các chân lý thì những suy luận có lýkhông thể dùng để chứng minh Toán học Nhng nó có thể dùng và nên dùng

để phát hiện vấn đề, để mày mò, dự đoán Cho nên ngời làm Toán cũng có khiphải làm thực nghiệm bằng việc dựng nên nhiều hình rất chính xác hoặc tínhtoán cho nhiều trờng hợp cụ thể, để từ đó dự đoán ra chân lý khái quát và cuốicùng phải chứng minh đợc chân lý đó bằng suy diễn

Hiện nay, mặc dù nền giáo dục của chúng ta đang tìm cách đổi mớiPPDH và đã bắt đầu có thực nghiệm Tuy nhiên, trên thực tế cách dạy và học

hiện nay vẫn phần nhiều là “thầy truyền thụ, trò tiếp thu” Nên trong việc dạy

Toán, học Toán hầu nh chỉ có suy diễn: Giáo viên đa ra các định lý, tính chất,bài tập rồi dùng suy diễn để chứng minh giải thích cho HS thông hiểu chứngminh định lý, tính chất, các bài tập đó và cũng để học trò tập suy diễn, còn HSthì cố gắng học một cách nhồi nhét những kiến thức mà giáo viên đã cung cấp.Bằng phơng pháp này thì suy diễn thờng đợc sử dụng tách biệt với dự đoán vàsuy luận có lý, hoặc thậm chí khâu dự đoán và suy luận có lý bị lãng quên.Làm nh thế thì có u điểm là tiết kiệm đợc thời gian và thuận lợi cho việc tập d-

ợt cho HS tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu, hoặcnghe những báo cáo khoa học trên lĩnh vực Toán học Tuy nhiên, con đờngnày bị hạn chế về mặt khuyến khích HS phát triển những năng lực trí tuệ Nếuchúng ta biết phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn một cáchthích hợp trong quá trình dạy học thì ngoài mục đích truyền thụ tri thức cho

HS thì chúng ta còn có thể rèn luyện óc thông minh, sáng tạo, khả năng pháthiện vấn đề cho HS nữa

1.5 Những hạn chế, khó khăn cần khắc phục trong việc dạy học phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học Toán ở bậc THPT

Nh đã phân tích, trong dạy học Toán vai trò của việc dạy học phối hợpgiữa dự đoán và suy luận có lý với suy diễn là rất quan trọng Tuy nhiên, nócòn gặp nhiều hạn chế, khó khăn trong quá trình giảng dạy:

Thứ nhất, để thay cho lối dạy học cũ (thầy truyền thụ, trò tiếp thu) bằng

lối dạy học phối hợp giữa dự đoán và suy luận có lý với suy diễn trong quá

trình giảng dạy thì đòi hỏi giáo viên cần có một năng lực chuyên môn khá vàphải đầu t một lợng thời gian lớn cho các bài giảng của mình

Thứ hai, nhiều vấn đề nếu giáo viên đa ra các tình huống cho HS dự

đoán thì rất phù hợp để HS phát huy năng lực, tính sáng tạo và hứng thú trong

quá trình học Toán nhng với một lợng thời gian ngắn và khối lợng tri thức đã

đợc quy định trong chơng trình thì nhiều nên việc tập luyện cho HS học tập theo kiểu này là không dễ dàng Vì có lúc phải chấp nhận sự không thành

công của dự đoán Và cũng do yếu tố thời gian nên lắm khi giáo viên có thểdạy cho HS tính sáng tạo mà không có thời gian để luyện tập cho HS suy diễnnên có không ít HS có thể đa ra hớng giải quyết cho bài toán nhng lúng túngtrong khâu trình bày lời giải, phạm sai lầm trong các bớc lập luận lôgic

Thứ ba, có những vấn đề giáo viên nếu dạy học bằng phơng pháp phối

hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn không mang lại tác dụng nào Có

thể tham khảo ý kiến của P I Pitcatxixti và B I Côrôtiaiev trong cuốn Tổ

chức hoạt động của HS trong giờ học: Không phải mọi thông tin đợc lĩnh hội

đều thích hợp với việc dự đoán Chẳng hạn, các loại thông tin nh thuật ngữ, têngọi của các đối tợng, hiện tợng là không thích hợp với dự đoán Thích hợp với

dự đoán chỉ là những thông tin khoa học nào phản ánh các mối liên hệ và quan

hệ giữa các hiện tợng và quá trình, các cách thức và các thủ pháp phát hiện rachúng và có thể đợc sắp đặt trên cơ sở tuân thủ một lôgic xác định (Dẫn theo[31], tr 67)

Thứ t, không phải khi nào cũng cho HS phải dự đoán, không phải trong

mọi vấn đề thì “hàm lợng” của dự đoán đều nh nhau Có những vấn đề thầy giáo yêu cầu HS độc lập dự đoán, nhng cũng có những vấn đề thầy giáo thuyết trình quá trình mò mẫm, dự đoán của bản thân và chỉ yêu cầu HS hiểu đợc Lại

có vấn đề HS phải độc lập dự đoán, nhng kết quả của việc dự đoán chỉ dừng lại

ở mức sơ bộ, cha thực sự triệt để ([20], tr 66, 67) Không nên ảo tởng rằng tấtcả mọi vấn đề dù khó hay dễ HS đều dự đoán đợc Ngay G Pôlia - ngời rất đềcao dự đoán, cũng phải thừa nhận rằng: "Tôi không tin rằng có một phơngpháp đảm bảo tuyệt đối việc học thông thạo các dự đoán" ([20], tr 25)

Ta hãy xét một số ví dụ:

Ví dụ 1 12: Nếu ta yêu cầu HS: “Em hãy dự đoán xem, với những giá

trị nào của số nguyên dơng n thì 2n > n + 6” thì điều đó là hoàn toàn vừa sức

đối với HS, bởi vì trong bài toán này, ta chỉ hạn chế với n nguyên dơng, HS có thể dễ dàng thử n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, và đi đến điều dự đoán: Với n 

4

Ví dụ 1 13: Nếu ta yêu cầu HS: “Em hãy dự đoán về tổng 12 + 22 + +

n2”, mà không có dẫn dắt gì thêm, thì trong một điều kiện thời gian hạn chế,

d-ờng nh đối với HS là điều quá sức.

Thật vậy, ta biết rằng tổng đó bằng

6

) 1 n 2 )(

1 n (

Nhìn vào kết quả

cũng đủ để thấy rằng, để HS độc lập dự đoán là điều không khả thi.

Ví dụ 1.14: Nếu ta yêu cầu HS: “Em hãy dự đoán về tổng 13 + 23 + +

n3”thì chắc rằng nhiều em trả lời: Đó là số chính phơng Tuy nhiên, để biết cụ thể là bình phơng của cái gì thì cần có thêm những gợi ý, dẫn dắt.[31]

Thứ năm, học sinh đã quá quen cách dạy – học toán hiện nay ở nhà

tr-ờng phổ thông (và thậm chí cả ở đại học nữa) giống nh thầy giáo dẫn học sinh

đi tham quan một lâu đài (lâu đài toán học) ta gọi cách dạy học đó là cách dạyhọc “tĩnh” ([33], tr 5) Nên nếu thay bởi một cách dạy học mà ta sẽ gọi làcách dạy học “động” trong đó thầy hớng dẫn HS tham gia thiết kế rồi thi cônglâu đài thì rất khó Nếu giáo viên làm không tốt nó còn có tác dụng ngợc trởlại Bởi vậy, tập luyện cho HS biết phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý vớisuy diễn là quá trình lâu dài, mềm dẻo và không đợc nôn nóng

Thứ sáu, bản chất của dự đoán là bấp bênh nhng HS đôi khi lấy những

dự đoán và suy luận có lý của mình là lời giải cho bài toán Thậm chí có những

HS đã quá chủ quan cho rằng những dự đoán của mình là đúng từ đó cố gắng

đi tìm cách chứng minh những dự đoán của mình trong khi những dự đó là sai,dẫn đến những kết luận sai lầm

Trên thực tế giảng dạy cho

thấy, nhiều HS đã có những suy luận

x x

Thực ra, đờng thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt mà

điểm cực đại, điểm cực tiểu vẫn nằm khác phía so với đờng thẳng y = 2x

Vì rằng với bài toán này HS có thể dùng suy diễn để chia thành 2 ý vàgiải nh sau:

1) Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

Từ (1) và (2) suy ra điều kiện của m là: 2 2 6 m    22 6.

Từ đây cho thấy kết quả bài toán không đúng với điều đã dự đoán Nhvậy từ ví dụ này ta chắc chắn một điều rằng, chúng ta cần phải kiểm tra tính

đúng sai của dự đoán trớc khi dùng nó để kết luận cho bài toán

Ngoài những ví dụ mà giáo viên đa ra để cho HS thấy đợc tính chất

“bấp bênh” của dự đoán thì giáo viên có thể cho HS biết một vài mẩu chuyện

về lịch sử Toán, chẳng hạn về chuyện Fermat đã dự đoán 22n  là số nguyên1

tố với mọi số nguyên dơng n, nhng sau đó, L Euler - nhà Toán học Thụy Sỹ,

đã chỉ ra rằng, khi n = 5 thì 22n  chia hết cho 641.1

Nh vậy, giáo viên nên cần phải làm cho HS hiểu rằng: dự đoán khôngthể thay thế đợc cho chứng minh; để có đợc một lời giải hoàn chỉnh thì sau bớc

dự đoán, chúng ta cần phải tiến hành chứng minh Nếu chúng ta không chứngminh đợc thì chúng ta có thể lấy một vài trờng hợp đặc biệt, hoặc một vài tr-ờng hợp riêng để thử xem những dự đoán của mình đa ra có đúng không để từ

đó có thể tiếp tục tìm cách chứng minh bằng suy diễn hay là chuyển hớng sangmột dự đoán khác (Chẳng hạn nh dự đoán của P Fermat đã chỉ ra đợc khi n =

6 thì dự đoán sai) Trong dạy học, nếu thầy giáo không lu ý đến việc chọnnhững bài toán điển hình với dụng ý nh trên, thì sau nhiều lần dự đoán đúng,

sẽ khiến HS có ý nghĩ sai lầm rằng, dự đoán nào cũng đúng và khi giải Toán tachỉ cần dự đoán rồi nêu kết luận (?!)

Từ những phân tích trên ta thấy khi giáo viên phối hợp giữa dự đoán vàsuy luận có lý với suy diễn bản thân nó có nhiều hạn chế và khó khăn Tuynhiên chúng ta phải thấy đợc vai trò to lớn của việc phối hợp này đối với HS

“Thực ra cho HS dự đoán, tìm tòi, mò mẫm đúng là có tốn thời gian thật, nhng

sẽ đền bù nhanh chóng khi t duy độc lập của HS đã đợc phát triển” (Dẫn theo

[31], tr 63) Mặt khác, phải nhìn thấy đợc những hạn chế, khó khăn của nó để

từ đó tìm cách khắc phục Từ đó quan tâm nhiều hơn nữa đến việc rèn luyệncho HS năng lực dự đoán, nhng sự quan tâm phải đúng mức, phải biết kết hợphữu cơ giữa dự đoán và suy diễn Tốt nhất là làm sao cho HS thấy đợc dự đoán

có tác dụng lớn lao trong việc vạch ra phơng hớng giải quyết vấn đề Nhằmgóp phần nâng cao hiệu quả dạy – học ở của thầy và trò

1.6 Thực trạng và yêu cầu của việc phối hợp giữa dự đoán, suy luận

có lý với suy diễn trong dạy học Toán ở bậc THPT

Những năm gần đây, giáo dục nớc ta đã có nhiều cố gắng trong việc thay

đổi phơng pháp truyền thụ kiến thức và đã thu đợc nhiều thành quả về triển

khai một số lí thuyết dạy học tích cực Tuy nhiên sự đổi mới đó cũng gặpkhông ít khó khăn Khó khăn chủ yếu do một bộ phận giáo viên cha tích cực h-ởng ứng, cha thể hiện sự nhiệt huyết đối với sự nghiệp giáo dục Hoạt động bồidỡng giáo viên cha đáp ứng hết yêu cầu đổi mới phơng pháp, vì thế chất lợng

và hiệu quả giáo dục cha theo kịp với yêu cầu đổi mới của đất nớc Nhìn chungchất lợng giáo dục còn ở mức thấp so với các nớc phát triển trong khu vực vàtrên thế giới

Nhận xét về dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay, tác giả Nguyễn BáKim viết: “Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, việc dạy học theokiểu thuyết trình tràn lan vẫn đang ngự trị” ([31], tr 53) Thật vậy, trong dạyhọc giáo viên còn chú trọng nhiều về thuật toán, kiến thức truyền thụ cho HScòn có tính chất áp đặt Cách dạy này không phát huy đợc tính tích cực của HS

và không đáp ứng đợc mục đích: Việc giảng dạy Toán học phải hớng tới mộtmục đích lớn hơn là thông qua việc học tập để phát triển trí tuệ chung, hìnhthành ở HS những phẩm chất t duy cần thiết, một nền tảng kiến thức, kỹ năngcơ bản và chắc chắn qua đó hoàn thiện con ngời năng động, có năng lực pháthiện và giải quyết vấn đề

Để nâng cao chất lợng giáo dục và góp phần đạt đợc mục đề ra các

ph-ơng pháp dạy học tích cực đã đợc áp dụng nh : dạy học vấn đáp, đàm thoại;dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề; dạy học khám phá; dạy học kiến tạo.Một trong những yếu tố cốt lõi để tiến hành các phơng pháp dạy học đó là dạycho HS biết phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong quá trìnhhọc tập

Hiện nay, việc rèn luyện cho HS năng lực phối hợp giữa dự đoán, suyluận có lý với suy diễn qua các giờ học ở các trờng THPT còn có khó khăn docấu trúc chơng trình, năng lực của giáo viên, trình độ của học sinh Vì vậy,theo nh tài liệu bồi dỡng giáo viên: “muốn đổi mới cách học, phải đổi mớicách dạy Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên thói quen thụ động của HScũng ảnh hởng đến cách dạy của thầy Mặt khác, cũng có trờng hợp học sinhmuốn đợc học theo phơng pháp dạy học tích cực nhng giáo viên cha đáp ứng

đợc Do vậy, giáo viên cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách dạy theo

ph-ơng pháp dạy học tích cực, tổ chức các hoạt động từ đơn giản đến phức tạp, từthấp đến cao, hình thành thói quen cho HS Trong đổi mới phơng pháp phải có

sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thìmới có kết quả” ([37], tr 10)

1.7 Kết luận Chơng I

Trong Chơng 1, Luận văn đã hệ thống hóa các quan điểm của một sốnhà khoa học và của chúng tôi về dự đoán, suy luận có lý; suy diễn; So sánh,

xét mối quan hệ giữa dự đoán, suy luận có lý và suy diễn Ngoài ra, luận văn

cũng đã phân tích vai trò của dự đoán, suy luận có lý; vai trò của việc phối hợpgiữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong quá trình học Toán

Chơng II rèn luyện khả năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn trong dạy học giải Toán 2.1 Những t tởng chủ đạo trong việc phát triển cho học sinh khả năng phối hợp giữa dự đoán, suy luận có lý với suy diễn

2.1.1 Có quan điểm, thái độ đúng mực với việc tập luyện cho HS dự

đoán

Mặc dù, vai trò của dự đoán và suy luận có lý nh phân tích ở chơng một

là vô cùng quan trọng Tuy nhiên, cũng không nên thái quá đối với vấn đề này.

Không phải khi nào cũng cho HS phải dự đoán, không phải trong mọi vấn đề

thì “hàm lợng” của dự đoán đều nh nhau Có những vấn đề thầy giáo yêu cầu

HS độc lập dự đoán, nhng cũng có những vấn đề thầy giáo thuyết trình quá trình mò mẫm, dự đoán của bản thân và chỉ yêu cầu HS hiểu đợc Lại có vấn

đề HS phải độc lập dự đoán, nhng kết quả của việc dự đoán chỉ dừng lại ở mứcsơ bộ, cha thực sự triệt để

2.1.2 Cần làm cho HS ý thức đợc ý nghĩa của hoạt động dự đoán và suy

luận có lý

Nh chúng ta đã biết nhờ dự đoán và suy luận có lý giúp cho ta có thể tìm

ra hớng giải quyết cho bài toán Tuy nhiên, cha hẳn HS đã ý thức đợc điều này,

và do đó họ cũng không biết tiến hành hoạt động dự đoán trong những tình

huống thích hợp.

Để HS ý thức đợc ý nghĩa của hoạt động dự đoán suy luận có lý thì saukhi HS giải quyết xong một vấn đề nào đó ít nhiều có liên quan đến dự đoán,

suy luận có lý giáo viên nên nhấn mạnh hiệu quả của hoạt động dự đoán đối

với việc giải quyết vấn đề đặt ra

2.1.3 Chú ý thích đáng đến những bài tập tìm tòi và dự đoán

“Bên cạnh những bài tập chỉ đòi hỏi chứng minh những chân lý mà đề

bài đã nói rõ, do đó HS chỉ cần đến suy diễn, cần coi trọng những bài tập trong

đó điều gì phải chứng minh cũng cha rõ lắm, HS phải tự xác lập điều ấy thông

qua mò mẫm, dự đoán, nghĩa là phải vận dụng quy nạp trớc khi vận dụng đến

suy diễn (toán tìm quỹ tích, toán tìm hệ thức giữa một số biến nào đó, ) Sáng

tạo trong Toán học là một loạt suy diễn và quy nạp kế tiếp nhau” ([31], tr 90)

Chẳng hạn, có thể thay thế các bài toán:

1) Chứng minh rằng 1 + 3 + 5 + + (2n - 1) = n2

2) Chứng minh rằng 13 + 23 + + n3 =

4

) 1 n (

n 2 2



3) Chứng minh rằng 3n > 10n + 40 với mọi n nguyên  4

4) Chứng minh rằng nếu x  3, y  1, x + y = 5 thì giá trị lớn nhất của

x2 + y2 là 17

Bởi lần lợt các bài toán sau:

1) Tìm tổng 1 + 3 + 5 + + (2n - 1)

2) Tìm tổng 13 + 23 + + n3.

3) Tìm điều kiện của n nguyên dơng để 3n > 10n + 40

4) Tìm giá trị lớn nhất của x2 + y2 biết x và y là các số thay đổi sao cho

x  3, y  1, x + y = 5 ([31])

2.1.4 Khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện cho HS khả

năng suy diễn

a) Tạo ra nhiều cơ hội, nhiều tình huống để HS đợc tập dợt, đợc tiến

hành các hoạt động suy diễn

Cần khai thác trên mọi nội dung, trong dạy khái niệm; dạy định lý; dạy

giải bài tập Không bỏ lỡ những tình huống cho dù với thầy giáo là rất dễ,

“không gán ép sơ đồ lôgic của một trí óc đã hiểu đợc môn học cho một trí óc

đang đấu tranh để hiểu đợc nó” (câu nói của nhà giáo dục học nổi tiếng J.Dewey - dẫn theo [31])

b) Với một số tính chất; hệ quả có thể suy ra một cách trực tiếp từ định

lý trớc đó, mà không phải trải qua nhiều bớc suy diễn, thì nên để HS độc lập

chiếm lĩnh

Viện sĩ A Đ Alêcxanđrôv đã phát biểu rằng: “Nếu chúng ta muốn dạy

t duy lôgic thì phải dạy chính nó chứ không phải dạy lập luận có sẵn Vì vậy,các cách diễn đạt và các cách chứng minh phải đợc xem nh là các bài tập về tduy lôgic Tự mình lĩnh hội đợc một vài kết luận nho nhỏ cũng có ích hơnnhiều, lí thú hơn nhiều so với học thuộc những lập luận xa lạ” ([31])

c) Chú trọng khai thác những tình huống, mà ở đó, hoạt động suy diễn

sẽ dẫn tới những áp dụng để giải quyết một số vấn đề có liên quan Đồng thời

lu ý vấn đề gợi động cơ và truyền thụ tri thức phơng pháp trong những trờng

hợp này

2.1.5 Trong quá trình dạy học Toán cần thể hiện rõ mối quan hệ biện

chứng giữa quy nạp và suy diễn

Nhiều khi thầy giáo yêu cầu HS phải dự đoán về một vấn đề nào đó, rất

có thể họ đa ra một câu trả lời mà thầy giáo biết là không đúng Khi đó, không nên bác bỏ một cách độc đoán, không nên nói những câu nh “Em đã đoán

sai!” Thay vào đó, thầy giáo nên chỉ ra một phản ví dụ để giúp HS điều chỉnh

lại hớng dự đoán của bản thân “Chỉ có sự hoạt động đợc giáo viên thờng xuyên khích lệ, nhng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong

những sai lầm, mới có thể đa tới sự độc lập về trí tuệ” ([31])

Nhng mặt khác, nếu thầy giáo biết rằng HS đã dự đoán đúng, thì cũng

không nên nói ngay rằng: “Em đã dự đoán đúng!” Thay vào đó, thầy có thể nói: “Em có thể kiểm tra lại dự đoán của mình thêm một lần nữa không? bằng

việc tiếp tục thử thêm một trờng hợp nữa chẳng hạn?”.

2.2 Rèn luyện khả năng dự đoán và suy luận có lý

Ngay G Pôlia cũng đã phát biểu: "Tôi không tin rằng có một phơngpháp đảm bảo tuyệt đối việc học thông thạo cách dự đoán" ([20], tr 7) Nhữngquy tắc, phơng pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ khôngphải là những thuật giải đảm bảo chắc chắn dẫn tới thành công Vì vậy, khicho HS sử dụng chúng cần rèn luyện cho họ tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điềuchỉnh phơng hớng khi cần thiết Sẽ không có gì đáng ngại nếu HS không thànhcông khi áp dụng một quy tắc, phơng pháp tìm đoán nào đó, họ phải phát hiện

ra sự lầm đờng, biết thay đổi phơng hớng và cuối cùng đi tới thành công ([16],

tr 386, tr 387) Sau đây là một số con đờng thông dụng để dự đoán:

2.2.1 Tơng tự hoá

Theo G Pôlia: “Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tơng

tự là giống nhau nhng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đợc phản ánhbằng khái niệm Tuy vậy, chúng ta có thể diễn tả chính xác hơn một chút.Theo tôi, sự khác nhau căn bản giữa tơng tự và những loại giống nhau khác là

ở ý định của ngời đang suy nghĩ Những đối tợng giống nhau phù hợp với nhautheo một quan hệ nào đó Nếu bạn có ý định qui mối quan hệ trong đó các đốitợng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối t-ợng giống nhau ấy nh là những đối tợng tơng tự Và nếu bạn đạt tới nhữngkhái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng tỏ sự tơng tự ([20], tr 22, 23)

Trong Đề cơng môn học: Rèn luyện t duy trong dạy học Toán, PGS TS.

Trần Thúc Trình viết: “Tơng tự là một thao tác t duy dựa trên sự giống nhau vềtính chất và quan hệ của những đối tợng toán học khác nhau Kết luận của sự t-

ơng tự có thể mô tả nh sau:

Đối tợng A có các tính chất a, b, c

Đối tợng B có các tính chất a, b Thế thì B có thể có tính chất c” ([63],

tr 24)

Trong Lôgic học, D P Gorki viết: “Tơng tự là phép suy luận trong đó từ

chỗ hai đối tợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đốitợng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tợng A có dấu hiệu là a, b,

c, d và đối tợng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng

đối tợng B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận

t-ơng tự nh sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b, c -Kết luận B cũng có tính chất d” ([36])

Các khái niệm khái quát hoá và đặc biệt hóa đã rõ ràng và không có gìnghi ngờ cả Nhng khi bớc vào nghiên cứu sự tơng tự thì chúng ta có một cơ sởkém vững chắc hơn ([20], tr 22)

Trong Toán học, ngời ta thờng xét vấn đề tơng tự trên các khía cạnhsau:

- Hai phép chứng minh là tơng tự, nếu đờng lối, phơng pháp chứng minh

nếu chúng ta thay từ “đờng thẳng” bởi từ mặt phẳng“ ”, Ví dụ định lý Nếu hai“

đờng thẳng cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì chúng song song”

(có thể thay đ “ ờng thẳng” bởi mặt phẳng“ ”)

Nói về vai trò của phép tơng tự, nhà S phạm đồng thời là nhà Toán họcnổi tiếng ngời Mỹ G Pôlya có nhận xét: “Phép tơng tự có lẽ có mặt trong mọiphát minh và trong một số phát minh, phép tơng tự đóng vai trò quan trọnghơn cả” ([20], tr 28); còn đối với nhà Thiên văn học tài ba Kepler (ngời Đức),ngời đã phát minh ra ba định luật nổi tiếng trong Thiên văn học thì: “Tôi vôcùng biết ơn các phép tơng tự, những ngời thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các

phép tơng tự đã giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vợt

qua mọi trở ngại” ([31])

Khi giải Toán chúng ta sử dụng tơng tự hoá để tìm cách liên hệ với mộtbài toán tơng tự (thờng là khá đơn giản) rồi tìm cách vận dụng kết quả hoặcphơng pháp giải bài toán tơng tự này Nh G Pôlia đã từng phát biểu: “Chú ý

đến một bài toán tơng tự dễ hơn giải bài toán đó và tu chỉnh cách giải sao cho