Phổ siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử hóa trị và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser luận văn thạc sỹ vật lý

Minh chứng cho điều này làkhám phá ra dịch chuyển Lamb trong nguyên tử Hydro năm 1947 đã dẫn đếnviệc xem xét lại mô tả lý thuyết cơ học lượng tử tương đối tính và sự ra đờicủa điện động

Ngày nay việc khảo sát về phổ nguyên tử và phân tử được ứng dụngnhiều trong thực tế cũng như trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật hiện đại.Một trong những ngành áp dụng rộng rãi quang phổ học đó là thiên văn hiệnđại Vật lý thiên văn hiện đại đang sử dụng các phương pháp quang và quangphổ để nghiên cứu thành phần nguyên tố, đoán nhận quá trình diễn biến củathiên thể hay của bầu khí quyển bao quanh nó Ngành khảo cổ học cũng sửdụng việc phân tích phổ của các nguyên tử, phân tử trong các nghiên cứu củamình Các nhà khoa học đã dựa vào sự phân tích phổ của các chất phát ra đểtìm tuổi thọ của những mẫu vật thời tiền sử, xác định cấu tạo của vật chất.

Với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật laser, các nhà khoa học hiện đãlàm lạnh nguyên tử xuống gần độ không tuyệt đối Ở nhiệt độ này, cácnguyên tử thể hiện tính chất sóng nhiều hơn tính chất hạt, và có trạng tháilượng tử như nhau, ngưng tụ lại thành hệ vật lý đậm đặc Bose – Einstein(BEC) trạng thái thứ năm của vật chất, từ đó cho phép chúng ta nghiên cứuphổ nguyên tử của các phép đo siêu chính xác, nghiên cứu các hiệu ứng quantrọng như trong suốt cảm ứng điện từ (EIT), các hiệu ứng phi tuyến, máy tínhlượng tử, đồng hồ nguyên tử, laser nguyên tử

Các nguyên tử một điện tử hóa trị (một điện tử) có cấu trúc phổ đơngiản nhất nên chúng là đối tượng rất được quan tâm nghiên cứu trên cả haiphương diện - lý thuyết và thực nghiệm Do có cấu trúc đơn giản nên có thể

giải chính xác được bài toán cấu trúc phổ một điện tử theo cơ học lượng tửtương đối tính Vì vậy, việc kiểm chứng bằng thực nghiệm sẽ đóng vai trò rấtlớn trong việc xác định độ tin cậy của lý thuyết Minh chứng cho điều này làkhám phá ra dịch chuyển Lamb trong nguyên tử Hydro năm 1947 đã dẫn đếnviệc xem xét lại mô tả lý thuyết cơ học lượng tử tương đối tính và sự ra đờicủa điện động lực học lượng tử (QED – Quantum Electro Dynamics).

Như vậy, việc khảo sát cấu trúc phổ của các nguyên tử và tìm hiểu cácứng dụng của nó trong các lĩnh vực liên quan là rất cần thiết Để tìm hiểu vềlĩnh vực này một cách cụ thể hơn, đồng thời mở rộng vốn hiểu biết về thế giới

vi mô, chúng tôi chọn “Phổ siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử hóa trị

và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser” làm đề tài luận văn tốt

nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu cách mô tả nguyên tử một điện tử theo lý thuyết lượng tử, nguyên

tử khi xét đến các hiệu ứng phi tương đối tính để giải thích được sự tạo thànhcác dịch chuyển phổ

- Tìm hiểu nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng laser

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày các vấn đề liên quan đến cấu trúc thô, cấu trúc tinh tế và siêu tinh

tế của phổ các nguyên tử một điện tử hóa trị

- Trình bày nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng laser, nguyên lý hoạt động củabẫy quang từ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: các nguyên tử một điện tử hóa trị

- Phạm vi: nghiên cứu cấu trúc phổ của các nguyên tử một điện tử hóa trị đếncấp độ siêu tinh tế và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp lý thuyết: sử dụng lý thuyết cơ học lượng tử cho nguyên

tử một điện tử để mô tả cấu trúc phổ của nguyên tử theo các cấp độ khácnhau: bỏ qua spin điện tử và spin hạt nhân, tính đến spin điện tử, tính đến spinhạt nhân

Sử dụng các phép gần đúng để giải phương trình Schrodinger tìm trịriêng của hệ theo các trường hợp nói trên Sử dụng lý thuyết bán cổ điển để

mô tả bài toán tương tác giữa nguyên tử với trường laser trên phương diệnđộng học để minh họa cho vấn đề làm lạnh nguyên tử bằng laser

6 Giả thuyết khoa học

Từ cấu trúc của ngyên tử hiđro, ta có thể đưa ra cấu trúc tương tự cho các nguyên tử có một điện tử ở lớp vỏ như Na, Rb

Từ các quy tắc dịch chuyển phổ trong cấu trúc thô, cấu trúc tinh tế ta cóthể khảo sát được cấu trúc siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử và đưa

ra ứng dụng của cấu trúc này trong làm lạnh nguyên tử bằng laser

7 Bố cục luận văn

Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1: Trình bày, mô tả các nguyên tử một điện tử hóa trị theo lý thuyết

lượng tử phi tương đối tính Các khái niệm về mức năng lượng, hàm sóng,phân bố điện tử trong nguyên tử được trình bày trên cơ sở giải phương trìnhSchrodinger Đồng thời rút ra quy tắc dịch chuyển phổ

Chương 2 Xét đến spin điện tử, spin hạt nhân, tương tác giữa mômen từ spin

hạt nhân và mômen từ quỹ đạo Những vấn đề này dẫn đến sự tách các mứcnăng lượng trong cấu trúc tinh tế, siêu tinh tế và các quy tắc lọc lựa

Chương 3 Trình bày cơ sở làm lạnh của nguyên tử bằng laser dựa theo lý

thuyết bán cổ điển,nguyên lý làm lạnh Doppler và nguyên lý hoạt động củabẫy quang từ

CHƯƠNG I CẤU TRÚC THÔ CỦA CÁC NGUYÊN TỬ MỘT ĐIỆN TỬ

1.1 Phương trình Schrodinger phi tương đối tính

Xét nguyên tử có một điện tử (có điện tích –e và khối lượng m e) chuyểnđộng xung quanh hạt nhân có điện tích Ze Thế năng tương tác Coulomb giữađiện tích với hạt nhân:

Theo nguyên lý tương ứng, Hamiltonian được xác định bởi:

H p m Ze r

2

ˆ ˆ

0

2 2

2 2 2

sin

1 sin

sin

1 1 1

r r

2 2 sin

1 sin

   

2 2

2

ˆ ,1

  ,  ,    m , 

l nl nlm r R r  (1.6)trong đó R nl r là một hàm của bán kính r, còn m , 

Giải phương trình (1.8) ta tìm được R nl r , từ đó tìm được hàm sóng

r,  , 

nlm

 của trạng thái có năng lượng E n Ba số lượng tử n ,,l mgọi là ba

số lượng tử đặc trưng cho trạng thái mà ta xét

1.2 Giải phương trình Schrodinger bán kính

Để giải phương trình (1.8), ta thực hiện phép biến đổi:

r

r u r

nl

) ( ) (   u nl r rR nl r (1.9)Thay (1.9) vào (1.8) và biến đổi ta được:

u d

 (1.10)trong đó

2 2 0

2

2

) 1 ( ) 4 ( ) (

r m

l l r

Ze r

V

e eff

được gọi là thế năng hiệu dụng, bao gồm thế Coulomb cộng với thế li tâm

Ta giả thiết rằng khi r 0 thì V r   chậm hơn 2

r khi r 0 Khi đó hàm sóng R nl r hữu hạntrong toàn bộ không gian kể cả điểm r 0 Do đó hàm sóng u nl rR nl r phảibằng 0 khi r 0

u nl 0  0 (1.12)Như vậy bài toán giải phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trongtrường thế đã được đơn giản về bài toán chuyển động một chiều trên nửađường thẳng với thế năng hiệu dụng V eff và điều kiện biên ( 1.12)

d

nl nl

Có hai giá trị của s thoả mãn phương trình trên đó là (s = l và s = - l -1), tuy

nhiên giá trị thứ hai không thoả mãn điều kiện biên vì nó dẫn tới nghiệm

hoá trong nguyên tử hiđrô (và trong các iôn tương tự), tức là xét trạng thái

liên kết có năng lượng âm E n < 0

Ta đưa vào biến số mới  và hằng số mới n:

1/ 2 2

0

e n

2 2

Thay (1.20) vào (1.18) và biến đổi ta được :

d

v

d

(1.21)

Nghiệm của phương trình (1.21) được tìm dưới dạng chuỗi :

v   , c0  0 (1.22)Thay (1.22) vào (1.21) ta được :

k k k

c k

c k l k

l k c

2 2 1

p  , trong đó p là một số nguyên dương hoặc bằng không

Như vậy n phải là một số dương, ta kí hiệu là n :

 (1.25)đối với một giá trị l đã cho

Từ đó ta có năng lượng của điện tử trong nguyên tử hiđrô:

0

4 2

) 4 (

e Z m

trong đó n là số nguyên dương : n  1 , 2 , 3

Theo công thức (1.26) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bìnhphương các số nguyên Tính gián đoạn của năng lượng chính là hệ quả củayêu cầu về hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực

1.3 Các mức năng lượng

Năng lượng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân :

3,4

2 2

2 2 0

4 2

) 4 (

Z R n

e Z m

2  

e m

 (1.27)

Chúng ta biết rằng các trạng thái có cùng một giá trị của n nhưng có l và m

khác nhau thì có chung giá trị năng lượng (sự suy biến)

Xét cho nguyên tử hiđrô ( có Z = 1)

Hình 1.1 Sơ đồ các mức năng lượng của nguyên tử hiđrô.

Khi n càng tăng thì các mức năng lượng liên tiếp càng gần nhau hơn.

Khi n  thì E n  0, ta nói hệ ở trạng thái bị iôn hoá (điện tử bị bứt ra khỏihạt nhân)

Giá trị tuyệt đối của mức năng lượng thấp nhất cho ta biết năng lượngiôn hoá của nguyên tử hiđrô Năng lượng này bằng công cần thiết để đưa điện

tử từ trạng thái liên kết có năng lượng thấpE1 ra ngoài nguyên tử (hình 1.1)

Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng E n về trạng thái có năng

lượng E n' thấp hơn thì nó phát ra bức xạ có tần số góc  thoả mãn hệ thức:

R v

2

h

R R R



* Dãy Lyman ứng với sự chuyển từ các mức có n 2 về mức có n'  1

* Dãy Balmer ứng với sự chuyển từ các mức có n 3 về mức có n'  2

* Dãy Paschen ứng với sự chuyển từ các mức có n 4 về mức có n'  3 Tiếp theo là dãy Bracket(n 5 , 6 , ;n  4 )…

Với các nguyên tử một điện tử hoặc iôn tương tự hyđrô, các mức nănglượng cũng sắp xếp như đối với Hyđrô nhưng các vạch phổ dịch chuyển sẽ bịdịch về miền có bước sóng ngắn hơn (vì có năng lượng gấp Z2 lần so với H)

1.4 Hàm sóng

Hàm sóng của hệ:   ,  ,    m , 

l nl nlm r R r  (1.30)trong đó thành phần xuyên tâm R nl r được xác định bởi công thức (1.20):

2 1

0

1 2

k k l k n

l n L

k r

k n k

l l n

Sử dụng bảng tra cứu các hàm Laguerre liên kết ta tìm được R nl (r) Một số hàm R nl (r) đầu tiên được thống kê trong bảng 1.1:

Bảng 1.1 Một số hàm R nl (r) đầu tiên.

10 2

2

31

10 3

4

x e

m

d

dK d

2 2

2 2

m

x

m l

l dx

dK x dx

K d

m

l m

m m

1

!

! 4

m l

dx

d l

! 2

1 cos    2  (1.41)

4 3



i e

sin 8

sin cos 8

Với các hàm theo bán kính và hàm cầu đã được xác định ta có thể thu đượchàm sóng toàn phần của hệ

Bảng 1.3 Một số giá trị của hàm sóng nlmr,  , 

n l m Giá trị hàm sóng nlmr,  , 

2 / 3

0

1 e Zr a a

2 / 3

0

2 2

4

a

Zr a

0

2 / 3

0

a Zr e a

Zr a

e a

Zr a

0

2 / 3

a    là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất

Dựa vào hàm sóng nlmr,  ,  ta sẽ biết được mật độ phân bố điện tử (bằngcách lấy bình phương hàm sóng ) xung quanh hạt nhân

Hình 1.3 Mật độ phân bố điện tử ở các trạng thái s và p trong nguyên tử Hyđrô

Trong hàm sóng nlmr,  , , n là số lượng tử chính: n =1,2,3 ; l là số lượng

tử quỹ đạo (l = 0,1,2, …, n - 1) và m là số lượng tử từ, nó có thể nhận 2 l 1

giá trị khả dĩ ( m  ,0  ,1  ,2  3 , ,  l)

Những trạng thái có cùng số lượng tử n nhưng khác l và m vẫn có năng

lượng bằng nhau, người ta gọi đây là các trạng thái suy biến

Độ suy biến:

1 0

Trong phổ học, các trạng thái điện tử được phân loại tùy theo giá trị số

lượng tử quỹ đạo l như sau:

Số lượng tử l : 0 1 2 3 4 5 6 7

Ký hiệu trạng thái: s p d f g h i j .

Ví dụ: Trạng thái có n= 2, l= 0 được viết là 2s, còn n=2, l=1 viết là 2p

1.5 Quy tắc lọc lựa

Trong cấu trúc thô, phổ điện tử là kết quả của các dịch chuyển giữa các

mức ứng với các giá trị khác nhau của n Tuy nhiên không phải tất cả các

chuyển dời đều được phép mà chỉ những dời chuyển nào thoả mãn quy tắc lọclựa mới có thể xảy ra được, cụ thể là [1]:

n  1 ,  2 ,  3 , (1.43)

m  0  , 1 (144)

trong nguyên tử Hyđrô do số lượng tử chính n quy định Các vạch phổ thuđược trong quang phổ do sự dịch chuyển giữa các mức năng lượng nói trên vàtuân theo quy tắc lọc lựa

Khi tính đến spin điện tử thì mỗi vạch phổ không còn là vạch đơn nữa mà được phân tách thành nhiều vạch nhỏ, sự phân tách đó gọi là cấu trúc tinh tế.

Khi tính đến cả spin của hạt nhân thì mỗi mức tinh tế lại được tách thành các mức con nữa, tạo nên cấu trúc siêu tinh tế Nghiên cứu ở cấp độ chính xác càng cao thì hình ảnh phổ càng phức tạp và càng đúng với thực nghiệm Chúng ta sẽ nghiên cứu cấu trúc tinh tế

và siêu tinh tế của phổ các nguyên tử một điện tử ở chương II

CHƯƠNG II

CẤU TRÚC TINH TẾ VÀ SIÊU TINH TẾ CỦA

CÁC NGUYÊN TỬ MỘT ĐIỆN TỬ 2.1 Cấu trúc tinh tế của các mức năng lượng của nguyên tử một điện tử 2.1.1 Spin điện tử

Khi điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân nó sẽ tạo ra một mômen

từ quỹ đạo l Mối liên hệ giữa mômen từ quỹ đạo l và mômen quỹ đạo l

được xác định theo hệ thức [2]:

2

l e

e

m c l







 (2.1)Khi các nguyên tử có mômen từ quỹ đạo được đặt trong từ trường thì nó sẽchịu tác dụng của lực từ:

)

Mặt khác, ta biết rằng với mỗi giá trị của l thì hình chiếu m l sẽ nhận

2l + 1 giá trị khả dĩ Tuy nhiên trong thí nghiệm quan sát chuyển động của

chùm nguyên tử bạc Ag trong từ trường (Hình 2.1) của Stern và Gerlach vào

năm 1921 cho thấy: dù mômen quỹ đạo của điện tử là l = 0 (tức là nguyên tử

Ag sẽ không bị lệch trong từ trường ) nhưng vẫn có 2 giá trị khả dĩ hình chiếu

ml tương ứng với hai hướng lệch của chùm nguyên tử Vì vậy theo quy tắclượng tử hoá thì phải tồn tại 1 mômen nội tại nào đó và bị lượng tử hoá tươngứng với số lượng tử bằng 12 Để giải thích cho điều này, năm 1925Uhlenbeck và Goudsmit đã giả thiết rằng điện tử phải có một mômen nội tạiđặc trưng cho trạng thái nội tại của điện tử và được gọi là spin, ký hiệu bởi s .Spin đây là một thuộc tính của điện tử cũng như của các hạt cơ bản khác

Hình 2.1 Sơ đồ thí nghiệm Stern và Gerlach (a) và góc nhìn trong mặt phẳng yz.

Một cách tương tự như l, spin cũng bị lượng tử hoá theo biểu thức:

Hình 2.2 Minh họa cho sự lượng tử hoá trong không gian của spin điện tử.

Hình chiếu của mômen này lên trục z có giá trị là:

1

s

m (2.4)Mômen từ spin của điện tử khi đó sẽ có dạng:

s

e

e s

chùm nguyên

tử Ag

chùm ngyên tử

z

Vì vậy, khi chú ý đến spin của điện tử thì trạng thái của hệ sẽ được xác định

qua bộ 4 số lượng tử (n, l, m l, ms ) Khi đó g n trong (1.42) phải được tăng gấp 2

lần tương ứng với 2 giá trị khả dĩ của m s ứng với bộ (n, l, ml ) cho trước:

1 0

2 1 2

Ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để tách hàm Hamiltonian thành hai phần, ˆ 0 là phần không nhiễu loạn và ˆ' là phần nhiễu loạn mô tả các hiệuứng tương đối tính [1]:

ˆ  ˆ0  ˆ' (2.14)trong đó p m  Ze r

0

2 2

0

4 2

ˆ ˆ

ˆ '

c m

dV r c m



 1 2

1 ˆ

2 2

2 '

Sự dịch chuyển năng lượng toàn phần nj   1   2   3 do những bổ chính

tương đối gây ra Với mọi giá trị của l [1] :

*

j

n n

Z E dv H

E nj   n  (2.20)Năng lượng toàn phần của hệ khi xét đến các số hạng bổ chính [1]:

2

j

n n

không những phụ thuộc vào n mà còn phụ thuộc vào j của điện tử Nghĩa là

độ suy biến của cấu trúc thô được khử đi một phần Ta gọi cấu trúc nănglượng trong trường hợp này là cấu trúc tinh tế

Do số lượng tử spin của điện tử có giá trị bằng ½ do đó số lượng tử j sẽ

nhận các giá trị bán nguyên :

2

1 , , 2

3 , 2

1



j Mỗi giá trị của j tương ứng với

hai giá trị có thể có của l, lj21, ngoại trừ trường hợp jn 21 thì l chỉ có

Một mức năng lượng En chỉ phụ thuộc số lượng tử chính n tách ra thành

n mức khác nhau trong lý thuyết Dirac, ứng với mỗi giá trị

2

1 , , 2

3 , 2

0,018 cm -1 0,108 cm -1

3p3/23p

1/2

2p1/22p3/2

3d5/23d3/2

0 cm

1

036,

0 cm

1

54,8065

0 cm

Hình 2.4 Cấu trúc tinh tế một số mức năng lượng đầu tiên của nguyên tử Hiđrô.

Đường chấm chấm biểu thị mức năng lượng được tính theo phương trình Schrodinger, còn đường liền nét biểu thị mức năng lượng sau khi được bổ chính.

Hai trạng thái điện tử có cùng giá trị n nhưng khác j thì trạng thái có giá

j lớn sẽ nằm cao hơn trạng thái có j bé Còn đối với trạng thái có cùng n và j nhưng khác nhau l bởi giá trị l = j + 1/2 và l = j - 1/2 thì có cùng năng lượng

Hình 2.5 minh họa về đóng góp của  1,  2 và  3 của nguyên tử hiđrôởcáctrạng tháis1/2, p1/2 và p3/2

Hình 2.5 Các thành phần  1 ,  2 và  3 trong sự tách năng lượng ở mức n

=2 của nguyên tử hiđrô.

2.1.2.3 Các quy tắc lọc lựa trong cấu trúc tinh tế

Trong gần đúng lưỡng cực điện, dịch chuyển giữa hai trạng thái nlj  n'l' j'

chỉ xảy ra khi:

n  1 ,  2 ,  3 (2.22) l  1 (2.23) j 0  , 1(trong đó j = 0 tới j =0 bị cấm) (2.24)

Sử dụng (2.22) và (2.24), ta có thể nhận biết cấu trúc của quang phổ nguyên

tử hiđrô Ví dụ, trong hình 2.5 ta thấy vạch bội np - n's có hai thành phần ( bội hai )

p n

nd