Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lượng dưói tác dụng của trường ngoài

Cũng nh vậy khi mô tả tơng tác của trờng với hệ nguyên tử, chúng ta thờng xem trờng là các bức xạ kết hợp và đơn sắc.. Để mô tả sự tiến triển của các biến số động lực của hệ nguyên tử vớ

Mục Lục Trang

Mở đầu 1

Chơng I- Hàm tơng quan cổ điển ……… ………… 3

1- Hàm ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên ……….3

2- Hàm tơng quan cổ điển……… ……… 3

3- Hàm tơng quan cổ điển cho điện trờng … ……… 6

4- Một số tính chất của hàm tơng quan 10

Chơng II- Bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lợng … ……… 12

I- Hệ nguyên tử hai mức trong gần đúng cộng hởng…….… ……… 12

I.1- Haminton tơng tác của nguyên tử……… ………… 12

I.2- Xác suất nguyên tử bị kích thích dới tác dụng của trờng ngoài 15

II- Giá trị trung bình của tr ờng bức xạ d ới tác dụng của tr ờng ngoài ………… ……… .17

Chơng III- Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lợng dới tác dụng của trờng ngoài ……… … … 23

Kết luận……… 33

Phụ lục toán học………

Tài liệu tham khảo

[1] The Physical Review Second sẻíe, Vol 188, No 5 (1969)

[2] Cao Long Vân - Nguyễn Huy Công- Nhập môn quang học lợng tử

-Vinh 1989.[3] Nguyễn Huy Công- Giáo trình Lý thuyết lợng tử ánh sáng -Vinh 1999

[4] Phùng Hồ- Vật Lí Điện tử - NXB Khoa học kỹ thuật H 2000

[5] Nguyễn Huy Công- Bài giảng quang học lợng tử -Vinh 1997

[6] Đinh Văn Hoàng- Cấu trúc phổ nguyên tử - NXB ĐH và THCN 1974

Khi mô tả hệ nguyên tử, về mặt lý thuyết ta thờng xem hệ đợc cấu tạo

từ tập hợp các mức năng lợng xác định, trong đó các chuyển mức kèm theo các quá trình bức xạ các sóng điện từ đơn sắc Tuy nhiên, trong thực tế các mức năng lợng không hoàn toàn đơn sắc mà có sự mở rộng nào đó, vì vậy các vạch phổ phát ra có một độ rộng nhất định Cũng nh vậy khi mô tả tơng tác của trờng với hệ nguyên tử, chúng ta thờng xem trờng là các bức xạ kết hợp

và đơn sắc Nghĩa là các đại lợng đặc trng cho trờng nh cờng độ, tần số, pha

là không đổi Tuy nhiên trong thực tế trờng không hoàn toàn đơn sắc mà phổ của nó cũng có độ rộng nhất định Điều này sẽ ảnh hởng đến các quá trình quang học

Để mô tả sự tiến triển của các biến số động lực của hệ nguyên tử với ờng bức xạ, chúng ta có thể xuất phát từ các quan điểm bán cổ điển với giả thiết trờng tới có tần số gần với tần số cộng hởng của nguyên tử và nguyên tử

tr-đang xét nằm cố định, cô lập trong không gian ở trạng thái cân bằng Quan

hệ của các biến số này có thể biểu diễn qua các hàm tơng quan, từ đó bằng các phép biến đổi toán học, chúng ta nhận đợc phơng trình mô tả cờng độ vạch phổ của hệ Đây cũng chính là nội dung nghiên cứu của chúng tôi Cụ thể trong luận văn này, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu “Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lợng dới tác dụng của trờng ngoài”.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục toán học, nội dung của luận văn gồm ba chơng:

Chơng I Hàm t– ơng quan cổ điển.

Trong chơng này dựa trên mô hình cổ điển về hàm tơng quan, chúng tôi đa ra hàm tơng quan cho cờng độ điện trờng dẫn tới việc xác định cờng độ phổ

Chơng II Bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng l– ợng.

Trong chơng này, chúng tôi khảo sát tơng tác của trờng với hệ nguyên

tử hai mức năng lợng Xuất phát từ phơng trình Schrodinger mô tả tơng tác của hệ với trờng, chúng tôi đa ra biểu thức xác định xác suất tìm thấy nguyên

tử bị kích thích khi đặt trong trờng ngoài và giá trị trung bình của trờng bức xạ dới tác dụng của trờng ngoài

Chơng III Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng l– ợng

dới tác dụng của trờng ngoài.

Sau khi đa ra hàm tơng quan biểu diễn quan hệ của các biến số động lực của trờng bức xạ, bằng các phép biến đổi Laplace chúng tôi dẫn ra đợc phơng trình xác định cờng độ phổ bức xạ Sử dụng máy vi tính, chúng tôi vẽ

đợc đồ thị biểu diễn phổ theo phơng trình nói trên

Do sự hạn chế về thời gian và trình độ, bản luận văn này không tránh khỏi các thiếu sót Rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo, các anh, chị và các bạn sinh viên để luận văn đợc hoàn thiện hơn Cuối cùng tôi xin đ-

ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Phú, thầy đã đặt bài toán, cung cấp tài liệu và tận tình hớng dẫn tôi trong suốt quá trình làm việc Tôi cũng in chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong chuyên ngành Quang học – Quang phổ, trong Khoa Vật lý đã giúp đỡ tôi rất nhiều để hoàn thành bản luận văn này

Vinh, tháng 5 năm 2004.

Sinh viên thực hiện

Chơng I - hàm tơng quan cổ điển

1-Hàm ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên :

Hàm f(x) gọi là hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của nó không phụ

thuộc đơn giá vào biến x Nghĩa là ở giá trị x nào đó thì hàm f(x) có thể

nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau Khi đó ta có thể nói xác suất để ứng với giá trị x thì hàm f(x) nhận giá trị trong khoảng f(x) ữ f(x) + df(x).

Giả sử đại lợng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian, khi đó quá trình

đợc mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian gọi là quá trình ngẫu nhiên Đại lợng quan trọng nhất của quá trình ngẫu nhiên là hàm tơng quan

2-Hàm tơng quan cổ điển:

Hàm tơng quan là giá trị trung bình của tích các hàm ngẫu nhiên mô tả quá trình ngẫu nhiên trong hệ ở thời điểm t và thời điểm t+τ Kí hiệu là K(τ).

Với f(t) là hàm ngẫu nhiên thì ta có:

Lim K

0

) ( ).

( 1 )

( τ τ (1.1-a)

Hoặc K(τ) = <f(t).f(t+τ)> (1.1-b)trong đó khoảng thời gian τ có thể âm hoặc dơng

Cùng với việc lấy trung bình theo thời gian ta cũng có thể lấy trung bình theo trọng số của hệ vật lý trong đó xảy ra các quá trình ngẫu nhiên Nh vậy hàm tơng quan chính là số đo định lợng mối liên kết giữa các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau Giá trị của hàm tơng quan chỉ phụ thuộc vào việc lựa chọn giá trị của

τ

Nếu giá trị của hàm ngẫu nhiên f(t) thay đổi nhanh để cho giá trị

của nó ở thời điểm t +τ tức là f(t+τ) không phụ thuộc vào giá trị của f(t) thì:

K(τ) = <f(t).f(t+τ)> = <f(t)><f(t+τ)> (1.2)

* Khi τ đủ lớn thì K(τ) → ∞

* Khi τ = 0 thì K(τ) = <f 2 (t)>.

nghĩa là K(τ) bằng trung bình của bình phơng giá trị hàm ngẫu

nhiên ở thời điểm t khi τ = 0

Dạng cụ thể của hàm tơng quan phụ thuộc vào bản chất của quá trình ngẫu nhiên

Khai triển hàm ngẫu nhiên f(t) dới dạng tích phân Fourier:

f2 (t) = +−∫∫∞∞+−∞∞dωdω 'e iωt e iωt f( ω )f( ω '

= +∫∫∞

∞

− + ∞

VËy ta cã:

= +∞−∫ ∫∞−+∞∞exp[− ( + ' ' )] ( ) ( ' ) '

4

1 )

' ( )

π ω

ω(1.5)

§Æt t = t + ’ τ , víi τ tuú ý th× ta cã:

= −+∞∫ ∫∞−+∞∞exp[− ( + ' ) ] ( ) ( + ) ( + )

4

1 ) ' ( )

exp 2

1

=

) ' ( ) ( ωf ω

(1.6) ThÕ (1.6) vµo (1.4) ta cã:

=

) (

2 t f

2

1 )]

( exp[

+

= π exp[i( ω ω )] δ ( ω ω ' )dωdω ' exp( iω ' τ )k( τ )dτ

2 1

hay = +∞∫ −

0

) ( ) exp(

1 )

2

1 2 )

π

tích phân trong (1.9)’ là ảnh Laplace của hàm tơng quan K(τ) và nó đợc xác

định trong nửa mặt phẳng phức z ≡ iω Nghĩa là ảnh Laplace bằng:

I( ω ) =π1 2 ReK(z)z=iω

Nh vậy nếu biết đợc hàm tơng quan thì ta có thể xác định đợc cờng độ phổ của quá trình theo (1.9)

3 Hàm tơng quan cổ điện cho điện trờng

Một thí nghiệm cổ điển biểu diễn tính kết hợp bậc nhất của ánh sáng là thí nghiệm Young với hai khe hẹp P1 và P2 ở trên màn chắn sáng M1 Trờng

tại điểm P trên màn M2 là sự chồng chất tuyến tính của trờng do P1 và P2 gửi

<I(r,t)> = |k 1 | 2 I(r 1 ,t-t 1 ) + |k 2 | 2 I(r 2 ,t-t 2 ) +2Re{k *

1 k 2 <E * (r 1 ,t-t 1 )E(r 2 ,t-t 2 )>} (1.12)

Kí hiệu: G (1) (r 1 ,r 2 ;=t-t 1 ,t-t 2 ) = <E * (r 1 ,t-t 1 )E(r 2 ,t-t 2 )> (1.13)

Khi đó biểu thức (1.13) là biểu thức hàm tơng quan cổ điển của điện trờng.Xét hàm tơng quan bậc nhất:

Theo định nghĩa (1.1-a) ta có:

* 2

1 ) 1

Số hạng thứ nhất và thứ hai trong (1.17) là cờng độ trung bình tại P do hai

nguồn P1 và P2 gửi đến tơng ứng Số hạng thứ 3 có đợc là do kết quả giao thoa của hai sóng từ P1 và P2 tới P.

Đa vào ký hiệu cờng độ trung bình của môi trờng là:

<I (i) (r)> = |k i|2 G (1)(r i ,r i ;0); i=1,2. (1.18)Khi đó phơng trình (1.17) trở thành:

<I(r,t)> = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> +

+2Re{ [k 1 k 1 * G(1)(r 1 ,r 1 ;0)]1/2[k 2 k 2 * G (1)(r 2 ,r 2 ;0)]1/2

) 0

; , ( ).

0

; , (

)

; , (

2 2 ) 1 ( 1

1 ) 1 (

2 1 ) 1 (

r r G r r G

r r

}

Ta định nghĩa biểu thức hàm chuẩn hoá bậc nhất:

) 0

; , ( ).

0

; , (

)

; , ( )

; , (

2 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 (

2 1 ) 1 ( 2

1 ) 1 (

r r G r r G

r r G r

r

(1.19)khi đó:

<I(r,t)> = <I (1) (r)> + <I (2) (r)>

+ 2[<I (1) (r)> <I (2) (r)>] 1/2 Re[g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)] (1.20)

Từ các công thức (1.16) và (1.19) ta có:

g (1) (r 1 ,r 2 ;τ) =| g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)| exp[iα(r 1 ,r 2 ;τ)-iντ]

ở đây hiệu số pha α(r 1 ,r 2 ;τ) = arg[g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)]+ν0τ,

(arg ≡ argumen là hiệu số pha)

Khi đó: <I(r,t)> = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> +

+2[<I (1) (r)><I (2) (r)>] 1/2|g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)|cos[α(r 1 ,r 2 ;τ)- ν0τ] (1.21) (vì Re[e iu] = Re[cosu+isinu] = cosu )

Đối với sóng ánh sáng khi vị trí r thay đổi thì các đại lợng <I (1)

(r)>,<I (2) (r)>, |g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)| và α(r 1 ,r 2 ;τ) thay đổi rất chậm Còn ν0τ = ν0

c

r

r1 − 2 lại biến đổi rất nhanh Điều đó dẫn đến cos[α(r 1 ,r 2 ;τ)- ν0τ] biến

đổi nhanh Do đó mà giá trị trung bình của cờng độ sáng thay đổi theo vị trí quan sát

Để làm rõ ý nghĩa của g (1) (r 1 ,r 2 ;τ) ta khảo sát cờng độ sáng trên màn

theo vị trí Độ sáng trên màn thể hiện độ rõ nét của vân giao thoa

+ Vân sáng ứng với cos[α(r 1 ,r 2 ;τ)- ν0τ] = 1 Khi đó:

<I(r,t)> max = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> +

+ 2[<I (1) (r)> <I (2) (r)>] 1/2 |g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)| (a) + Vân tối ứng với cos[α(r 1 ,r 2 ;τ)- ν0τ] = -1 Khi đó:

<I(r,t)> min = <I (1) (r)> + <I (2) (r)>

- 2[<I (1) (r)> <I (2) (r)>] 1/2 |g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)| (b)

Độ sáng đợc định nghĩa:

min max

min max

) ( )

(

) ( )

(

r I r

I

r I r

I V

+

−

(1.22)

Ta có: <I(r)> max - <I(r)> min = 4[<I (1) (r)> <I (2) (r)>] 1/2 |g (1) (r 1 ,r 2 ;τ)|

<I(r)> max + <I(r)> min = 2[<I (1) (r)> + <I (2) (r)>]

Thay vào (1.22) ta thu đợc:

) ( )

(

) ( )

( 2

2 1 ) 1 ( )

2 ( )

1 (

2 / 1 ) 2 ( )

1 (

τ

r r g r I r I

r I r I V

Xét trờng hợp khi g(1) (r 1 ,r 2 ;τ) = 0, từ (1.23a) ta có V = 0 vì vậy tại P không

có vân giao thoa Khi đó hai nguồn P1 và P2 là hai nguồn không kết hợp

- Khi g (1) (r 1 ,r 2 ;τ) = 1 ⇒ V= 1 thì vân giao thoa tại P là rõ nét nhất

hay độ sáng cực đại, đó là kết quả giao thoa của 2 nguồn kết hợp toàn phần tới P

- Khi 0 < g (1) (r 1 ,r 2 ;τ) < 1 thì 2 nguồn là kế hợp một phần.

Nh vậy nhờ hàm tơng quan cổ điển của điện trờng mà ta biết đợc sự phân bố và tính chất của vân giao thoa trên màn Hay nói rõ hơn là biết đợc phổ giao thoa của hai sóng điện từ tại một vị trí Từ đó mà xác định đợc tính chất của sóng điện từ

Nh vậy chúng ta nghiên cứu hàm tơng quan bậc nhất và các tính chất của nó đối những trờng mà tính chất phổ là đồng nhất Nó không thích hợp cho nguồn sáng là ánh sáng tự nhiên Để sử dụng ta phải xác định hàm tơng quan bậc cao hơn theo định nghĩa về hàm tơng quan bậc n:

G (n) (r 1 , ,r n ,r n+1 , ,r 2n ; t 1 , ,t n , ,t n+1 , ,t 2n )

= <E * (r 1 ,t 1 ) E * (r n ,t n ).E(r n+1 ,t n+1 ) E(r 2n ,t 2n )> (1.24)

4 - Một số tính chất của hàm tơng quan:

* Theo bất đẳng thức Schwartz ta có: |<a * b>| 2≤ <|a|2 ><|b|2 >.

Trong trờng hợp đang xét thì a chính là cờng độ điện trờng tại thời điểm t

còn b chính là cờng độ điện trờng tại thời điểm t +τ Nghĩa là a = E(r, t), b

= E(r, t+τ).

Ta có: | <E * (r,t).E(r,t+τ)> |2≤ <E * (r,t).E(r,t)> <E * (r,t+τ).E(r,t+τ)>

⇒ 0 ≤ | <E * (r,t).E(r,t+τ)> | ≤ 1 ⇒ 0 ≤ | g (1) (r,τ) | ≤ 1

* Từ <[I(r,t) - <I(r,t)>]> ≥ 0 khi τ = 0 thì g (2) (r,0) ≥ 1

* áp dụng bất đẳng thức Schwartz cho cờng độ: a = I(r, t); b = I(r, t+τ)

Trong trờng hợp này ta có hàm tơng quan

g (2)(r,τ)≤ g (2)(r, 0)

Nh đã nói ở trên việc chúng ta xác định đợc hàm tơng quan dẫn tới việc có thể xác định đợc cờng độ phổ của quá trình theo (1.9) hay là độ rọi của ảnh giao thoa

Chơng II - Bức xạ của hệ nguyên tử

HAI mức năng lợng

I- Hệ nguyên tử hai mức trong gần đúng cộng hởng:

I.1- Hamintơn tơng tác của nguyên tử

Xét hệ nguyên tử 2 mức theo lý thuyết bán cổ điển, ở hai trạng thái

Ĥ 0: Hamintơn của nguyên tử khi cha có tơng tác của trờng ngoài

Ĥ t: Hamintơn tơng tác giữa nguyên tử với trờng ngoài

Trong phép gần đúng lỡng cực biểu thức của Ĥt có dạng:

E(r,t): Cờng độ điện trờng ở toạ độ r (vị trí đặt lỡng cực) ở thời điểm t d(t): Toán tử mômen lỡng cực biểu diễn phép chuyển giữa 2 mức của

(2.4-b) đặc trng cho phép chuyển từ mức | 0> lên mức |1> (2.4-c) đặc trng cho hiệu mật độ c trú giữa 2 mức |1> và |0>

[a * , a +] = 2a+ (2.6-c)Khi đó phần tử ma trận mômen lỡng cực của nguyên tử sẽ là :

à = <1| d |0> (2.7)

Toán tử mômen lỡng cực đợc biểu diễn qua phần tử ma trận mômen lỡng cực:

Trong trờng hợp trờng là cổ điển thì thành phần tơng ứng với tần số

d-ơng và âm của trờng biểu diễn dới dạng:

[ ( , ) ( , )]

2

1 ) ,

Ký hiệu ωk,e , k b k lần lợt là tần số, véc tơ phân cực và toán tử huỷ Khi

đó thành phần dơng của điện trờng tơng ứng với mode thứ k có dạng:

∑ +

k e b t e V

i e t r t

r

E ( , ) ( , ) ˆ ( ) 2ˆ ( )

1 2 1

Thay (2.12) vào (2.10) ta có Hamintơn tơng tác.

−

k

k k k

V i

e t a

t

2

1 ) (

2 / 1 0

ω à

V i

e t

2 / 1 0

V e

i t a

2 ˆ )

, 0 ( 2

t a

* 0

*

2 ˆ )

, 0 ( 2

; 2

ˆ

V e g

k k





ω à

à

λ = = (2.13)

k k k

−  −∑ 

k k

g i t

a λ * ε ( 0 , ) * ( )

(2.14)

Nh vậy Hamintơn toàn phần của hệ có thể xác định theo (2.14)

I.2 - Xác suất nguyên tử bị kích thích dới tác dụng của trờng ngoài.

Ta đa vào toán tử phụ thuộc thời gian a(t) khi đó ở (2.12) ta phân tích

thành 2 thành phần Thành phần phụ thuộc toạ độ và thành phần phụ thuộc thời gian:

) , ( ) ( ) ( ) ,

c

r t a r t

r

trong đó

r r r

Lấy trung bình 2 vế của (2.15) ta có:

) ( ) ( ) , (

c

r t a r t

' , ' ( )

,

; ' , ' (

) 1

r t a r

Rõ ràng hàm tơng quan trung bình chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian t-t’

Tại vị trí r = r’ ta có:

= ϕj(r) ϕk(r) ⋅g(t−t' ) (2.20)Khi đó cờng độ phổ của trờng bức xạ đợc xác định theo biểu thức:

; ,

) 1

E - (r, t) E + (r, t) = ∫ ( ; )

2

1

r v I dv

n lim <a + (t).a(t)>

Nh vậy, qua các cách biểu diễn trờng đồng thời sử dụng hàm tơng quan

ta đã đa ra biểu thức xác định cờng độ của trờng bức xạ của hệ nguyên tử 2 mức trong gần đúng cộng hởng

II - Giá trị trung bình của trờng bức xạ dới tác dụng của trờng ngoài

U(t , t ) = ’ ’ 1 (2.24-b)CònH s(t) =H0 +H I(t) là toán tử năng lợng trong biểu diễn Schrodinger

ở thời điểm t toán tử mật độ trờng của hệ sẽ là:

) ' , ( ) ' ( ) ' , ( )

ở đây ρa(t’) là toán tử mật độ suy giảm theo thời gian

TrF bằng tổng tất cả các số hạng trên đờng chéo chính của ma trận mật độ

Thay (2.26) vào (2.25) ta đợc

) , ( ) (

| 0 0

| ) , ( ) (t =U t t' ⋅ >< ⋅ ρa t' ⋅U− 1 t t'

Thế phơng trình (2.28) vào phơng trình (2.27) ta nhận đợc:

ρa(t) =Tr Fρ (t) =Tr F{U(t,t' ) | 0 >< 0 | ⋅ ρa(t' ) ⋅U− 1 (t,t' )} (2.29)Phơng trình (2.29) biểu diễn mối quan hệ giữa giá trị của toán tử mật độ suy giảm theo thời gian ở 2 thời điểm t và t ’

Phơng trình vi phân biểu diễn sự biến đổi của ρa (t)có dạng:

t =Ka⋅ t a+ − K[a+a⋅ t + t a+a]+

dt

d

a a

a

2

1 ) ( )

Toán tử mật độ suy giảm ρa(t) có thể đợc biểu diễn qua các toán tử dới dạng:

+ +

=n t a a t a t a m t aa t

α*(t)= <0|ρa(t)|1> = Tr{ρa(t)a+} (2.33-d)Thay thế (2.32) vào (2.30) và sử dụng định nghĩa (2.4) chúng ta nhận đợc hệ phơng trình vi phân cho các số hạng tơng ứng của (2.33)