Bài giảng nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.. + Vận dụng nguyên hàm vào cá

+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm

+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm

+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế

Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn  

hay nửa khoảng) Hàm số F x được gọi là một  

nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu  

một nguyên hàm của f x trên K  

 Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của f x trên  

K thì tồn tại một hằng số C sao cho

Sự tồn tại nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x  liên tục trên K đều có

nguyên hàm trên K

3xdx x x C

 sinudu cosu C sinax b dx 1cosax b C

a

cosxdxsinx C

 cosudusinu C cosax b dx 1sinax b C

a

tanxdx ln cosx C

 tanudu ln cosu C tanax b dx   1aln cosax b Ccotxdxln sinx C

 cotuduln sinu C cotax b dx 1ln sinax b C

a

2

1

cotsin xdx  x C

1

cotsin udu  u C

cotsin ax b dx a ax b C



2

1

tancos xdx x C

1

tancos udu u C

tancos ax b dxa ax b C



1

Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số   F x được gọi là một  

nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu   F x'  f x  với mọi x K

2 Định lí

Giả sử hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K Khi đó:

 Với mỗi hằng số C, hàm số F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K

 Hàm số F x C C,  được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f x  trên K Kí hiệu

 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên

hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu

thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức

chứa x là những dạng cơ bản có trong

Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số f x ex là: x

A ex x2 C B 1 2

2x

e  x  C

3xdx x x C

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm

số y x Chọn C

f xe



 là:

A xln e2 x  B 1 C 1ln 2 1

2x

x e   C C lne2 x  1 C D xlne2 x   1 C

d ee

Ta có:

2 3

 Nếu degP x  degQ x   thì ta thực hiện phép chia P x  cho Q x  (ở đây, kí hiệu

 

deg P x là bậc của đa thức P x )  

 Khi degP x  degQ x   thì ta quan sát mẫu số Q x ta tiến hành phân tích thành các nhân  

tử, sau đó, tách P x theo các tổ hợp của các nhân tử đó Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức  

(hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của các phân thức

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp

Chú ý đến tính liên tục của hàm số f x và cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối ' 

Ở đây, ta sử dụng hai hằng số khác nhau ứng với 1

Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác

và biến đổi lượng giác

 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số

  cos3 cos 2

f x  x x trên  ta thu được kết quả:

TOANMATH.com Trang 11

về dạng tổng, hiệu của các hàm số lượng

giác trong đó, mỗi hàm số là những dạng cơ

bản có trong bảng nguyên hàm

 Áp dụng các công thức nguyên hàm trong

bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên

Ta viết:   1cos 5 cos 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Nguyên hàm của hàm số  2 cosx3cos 5x dx là:

A 2sin x15sin 5x C B 2sin 3sin 5

Ta có: sin 5 sin 2 1 cos3 cos 7  1cos3 1 sin 7

TOANMATH.com Trang 12

A 4x2sin 2x C B 4 cos3

3

xC

 C 2xsin 2x C D 2xsin 2x C Hướng dẫn giải

Ta có: 4 cos2xdx2 1 cos 2   x dx 2xsin 2x C

xC

Ví dụ 5 Nguyên hàm của hàm số  sinxcosxsinxdx là:

Ta có: sin cos sin sin2 sin cos 

 Hướng dẫn giải

Chú ý: Công thức nhân đôi: cos2x2 cos2x 1

Ví dụ 8 Nguyên hàm của hàm số cos3xdx là:

x

x C

2tan

ln sin2

x

x C

4 2

tan

4 cos

xC

x Hướng dẫn giải

Từ tan3xtanx1 tan 2xtanx

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình

 

S S t , với S t  là quãng đường mà chất

điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời

điểm ban đầu

Gọi v t và   a t lần lượt là vận tốc tức thời và  

gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta

S t , trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S

là quãng đường tính bằng mét (m) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t05 s là:

A 50 (m) B 25 (m)

TOANMATH.com Trang 16

C 55 (m) D 10 (m)

Hướng dẫn giải Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Ta có: t0;s 0

2 2

10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần đều trong 5 giây cuối

Quãng đường ô tô di chuyển là:

23.10 10.5 5 55

Chọn B

Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là   3  2

/1

Ví dụ 3 Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s Giả

sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

Câu 12: Cho biết 24 11 ln 2 ln 3



1.2020

Câu 14: Nguyên hàm của hàm số   3 1

A x3  x C B x3 C C 6x C D

33

x

x C

  Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số   2 x 2

xey

9

3Câu 30: Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số f x 4e2 x 2x thỏa mãn F 0 1 Hàm số F x 

là:

f x dx C

Câu 33: Họ nguyên hàm của hàm số f x   3x là: 1

TOANMATH.com Trang 22

A F x 3e3 x1 B C F x 3e3 x1.ln 3 C C   1 3 1

.ln 33

A x3 C B

33

x

x C

  C 6x C D x3  x CCâu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f x ex x là:

dxI

số y f x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 Hàm số f x  là:

 là:

số thực Giá trị của biểu thức P a b  là:

 

1ln2

x x

e

Ce

 

 C lnex2ex  D 1 C 1ln 1

x x

e

Ce

 

Câu 56: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x' 3x2ex   Biết m 1 f 0 2,f 1 2e Giá trị của

m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

A 2;0 B  2;3 C 5;  D  1;2

Câu 57: Gọi F x ax2bx c e  x, với a b c , ,  là một nguyên hàm của hàm số    2

1 x

f x  x e Giá trị của biểu thức S a 2b c là:

TOANMATH.com Trang 24

Câu 58: Nguyên hàm của hàm số f x 3sin2xcosx là:

A sin3x C B sin3x C C cos3x C D cos3x C

Câu 59: Nguyên hàm của hàm số   2 

1sin 3 2

12sin

16

2 2cot

16

x x 

C cotx x 2 1 D

2 2cot

TOANMATH.com Trang 25

C

4 3

A x3cosx C B 6xcosx C C x3cosx C D 6xcosx C

Câu 69: Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa, đẳng thức nào sau đây sai?

xe   x C D exsinx C Câu 71: Chọn đáp án đúng sinxdx  f x C khi và chỉ khi:

11

A  ex2sinx dx e  xcos2x C B  ex 2sinx dx e  x sin2x C

C  ex2sinx dx e  x2 cosx C D  ex2sinx dx e  x 2 cosx C

Câu 75: Nếu hàm số ysinx là một nguyên hàm của hàm số y f x  thì

A f x  cosx B f x sinx C f x cosx D f x  sinx

Câu 76: Họ nguyên hàm của hàm số cos 3

A sin 2 cos 2 ,

2

xxdx C C

C sin 2 xdx 2 cos 2x C C ,  D sin 2 cos 2 ,

2

xxdx C C

A tan 2xdx2 1 tan 2  2 xC B tan 2 xdx ln cos 2x C

Câu 82: Biết  2

sin 2x cos 2x dx x acos 4x C

b

b là phân số tối giản và C  Giá trị của a b bằng:

xx

f x  e  x Câu 84: Nguyên hàm của hàm số f x cos6x là:

TOANMATH.com Trang 27

A cos6 xdx6sin 6x C B cos6 1sin 6

6xdx x C



C cos6 1sin 6

6xdx  x C

Câu 85: Nguyên hàm của hàm số   2 2

cos 2sin cos

x

f x

A F x  cosxsinx C B F x cosxsinx C

C F x cotxtanx C D F x  cotxtanx C

Câu 86: Nguyên hàm F x của hàm số     2 12

F x  x  x x  

Câu 93: Biết  2 2 5 cos

cos sin sin 4

Câu 94: Số lượng của một loại vi khuẩn được tính theo công thức N x , trong đó x là số ngày kể từ thời  

điểm ban đầu Biết rằng '  2000

Câu 97: Một vật chuyển động không vận tốc đầu xuất phát từ đỉnh mặt

phẳng nằm nghiêng Biết gia tốc của chuyển động là 5m s/ 2 và sau 1,2 s thì

vật đến chân của mặt ván Độ dài của mặt ván là:

TOANMATH.com Trang 29

đầu là 500 con trên một ml nước Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước Hỏi sau bao nhiêu ngày thì nước trong hồ không còn an toàn nữa?

Câu 100: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục Ox, với vận tốc cho bởi công thức

v t  t  t m s , trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động Biết rằng tại thời điểm bắt đầu chuyển động, chất điểm đang ở vị trí có tọa độ x  Tọa độ chất điểm sau 1 giây chuyển 2động là:

Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = u x 

xC

 B 1 ln2 x C

x

C ln2

xC

 D ln2x C Hướng dẫn giải

x

Chọn A

u

I   u CHướng dẫn giải

Ta có: u x2 1 x2u2 và xdx udu1  Bước 3: Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm

cần tìm là I F u x     C

Hệ quả: nếu F x là một nguyên hàm của hàm số  

TOANMATH.com Trang 31

Đặt u 1 3cosx, ta có du 3sinxdx hay 2sin 2

3xdx  du

4

P x  x   CHướng dẫn giải

Chú ý: Với 0  và x, y là các số thực dương, ta có: loga 1 ax logay loga x

y

Ví dụ 5 Nguyên hàm Sx3 x29dx là:

21

2ln

Cu

Ví dụ 12 Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   4 3 2

20192020

Hướng dẫn giải

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số g x 3x36x26x27 trên đoạn 2;1

Ta có g x' 9x212x    6 0, x  2;1 nên đồng biến trên đoạn 2;1

3 3

sin tcos t , với mọi t 1 

Các kĩ thuật đổi biến dạng 2 thường gặp và cách xử lí

bằng nguyên hàm cơ bản cũng như đổi biến số ở dạng 1,

đòi hỏi người học phải trang bị tư duy đổi biến theo kiểu

“lượng giác hóa” dựa vào các hằng đẳng thức lượng

giác cơ bản và một số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem

xét các nguyên hàm sau đây:

Bài toán 1: Tính 1

2 2

dxA

Đặt x a b a sin2t với 0;

2

t  

  Bài toán 5: Tính 2 2

5

5

A  x a dxĐặt

sin

axt

2 2

4 sin 2 cos 4sin

xC

1

11

x

xx

TOANMATH.com Trang 40

Câu 8: Biết  

2017 2019

11

b

a xx

f xe



 thỏa mãn F 0  ln 2 Tập nghiệm S của phương trình F x lnex   là: 1 3

m n

2 13

I x  x  CDạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp giải

Cơ sở của phương pháp: Ví dụ 1: Kết quả nguyên hàm xe dxx là:

A xex  ex C B

22xx

e  C

C xexex C D xex  x CHướng dẫn giải

Với u u x   và v v x   là các hàm số có đạo

hàm trên khoảng K thì ta có:  u v 'u v v u' '

Viết dưới dạng vi phân d uv vdu udv

Khi đó lấy nguyên hàm hai vế ta được:

 

d uv  vdu udv

Từ đó suy ra udv uv vdu  1

Công thức (1) là công thức nguyên hàm từng

phần

Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp Ví dụ 2: Kết quả nguyên hàm lnx2019dx là:

C  để việc tính toán đơn giản hơn) Khi đó

Với ex.cosxdx ta thực hiện tương tự như sau: + Đặt u cosxx du x sinxdx

+ Khi đó ex.cosxdx e x.cosxex.sinxdx

Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được:

udv uv  vdu

Lưu ý: Đặt u u x   (ưu tiên) theo thứ tự:

“Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là,

nếu có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không

có logarit thì ưu tiên u là đa thức,… thứ tự ưu

tiên sắp xếp như thế

TOANMATH.com Trang 44

Còn đối với nguyên hàm vv x dx  ta chỉ cần

chọn một hằng số thích hợp Điều này sẽ được

làm rõ qua các ví dụ minh họa ở cột bên phải

Vậy

Ở đây, lần từng phần thứ hai, ta nên nhớ tuân thủ nguyên tắc ở lần từng phần thứ nhất Tức là lần thứ nhất đã ưu tiên u là lượng giác usinx thì lần thứ hai ta cũng sẽ ưu tiên u là lượng giác ucosx

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Kết quả nguyên hàm Ixln 2 x dx2 là:

22

Chú ý: Thông thường thì với

22

x

dv xdx  v

Tuy nhiên trong trường hợp này, ta để ý

2 22

A tanx2 ln sin  x2 cosx x 2 ln cosx C

B tanx2 ln sin  x2 cosx x 2 ln cosx C

C tanx2 ln sin  x2 cosx x 2 ln cos xC

D cotx2 ln sin  x2 cosx x 2 ln cosx C

costan 2 ln sin 2 cos 2 ln cos

Chú ý: Ở ví dụ này, chọn vtanx có thể rút gọn được ngay tử và mẫu trong nguyên hàm vdu2 

Ví dụ 3 Kết quả nguyên hàm Ix2sin 5xdx là:

A 1 2cos 5 2 sin 5 2 cos 5

Bước 1: Chia thành 3 cột:

+ Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0

+ Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo

+ Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1

Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-),… rồi cộng các tích lại với nhau

TOANMATH.com Trang 46

Chú ý:

Kĩ thuật này rất đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian

Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm

và nguyên hàm ở hai cột 1 và 3 Nếu nhầm lẫn thì rất đáng tiếc

Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn Ở đây, để tìm được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong ví dụ 3 Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao? Khi nào sẽ dừng lại?

TOANMATH.com Trang 47

Khi đó, ta sẽ có thể kết luận I e xsinx e xcosxexsinxdx

Hay 2I e xsinx e x.cosx Vậy 1 sin cos 

2

x

I e x x  CChọn C

Chú ý: Chỉ dừng lại khi đạo hàm của nó có dạng giống dòng đầu tiên Dòng cuối thu được sinxe dxx I

ax b



 từ cột 1 sang nhân với v x  ở cột 3 để rút gọn bớt; tiếp tục quá trình như thế cho đến khi đạo hàm cột 1 về 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường

1 còn lại 1, đạo hàm của nó bằng 0; bên cột 3 có nguyên hàm của

2

x là 24

Câu 1: Họ các nguyên hàm của hàm số f x xsinx là:

A cosx xsinx C B cosx xsinx C C xcosxsinx C D xcosxsinx C Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f x 4 1 lnx  x là:

A 2x2lnx3x2 B 2x2lnx x 2 C 2x2lnx3x2 C D 2x2lnx x 2 CCâu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x21 ln x là:

A xcotxln sin xC B xcotxln sinx C

C cotx xln sinx C D xcotxln sin x C

Câu 5: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x ex 2x34x Hàm số F x 2x có bao nhiêu điểm cực trị?

TOANMATH.com Trang 50

Câu 6: Gọi F x ax2bx c e  x, với , ,a b c  là một nguyên hàm của hàm số    2

1 x

f x  x e Giá trị của biểu thức S a 2b c là:

 Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f x sinx x lnx là:

A x22xex 2ex B C x22xex   ex C C x22xex 2ex C D x2xex   ex CCâu 18: Nguyên hàm I 1 2 xcosx1dx có kết quả là:

A 1 2 sin x x2 cosx C B x x 2 1 2 sinx x2 cosx C

C x x 2 1 2 sinx x2 cosx C D x x 2 1 2 sinx x2 cosx C

Câu 19: Công thức nào sau đây sai?

3ln 29

f x dx x x C

3ln 23

f x dx x x C



C   2 23 

3ln 19

f x dx x x C

3ln 29

f x dx x x C

Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số f x   2x1 ln x là:

A xe dx ex  xxexC B

22

xe dx e C

Câu 23: Gọi F x  là nguyên hàm trên  của hàm số f x x e2 axa0, sao cho F 1 F 0 1

TOANMATH.com Trang 53

ĐÁP ÁN BÀI 1 NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM