Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học ở bậc trung học cơ sở luận văn thạc sĩ toán học

- Trong dạy học, thuật toán dạy học là hệ thống những quy định nghiêmngặt được thực hiện theo trình tự chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn.Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể đ

Bộ giáo dục và đào tạo

tr ờng đại học vinh

trờng đại học vinh

-THIỀU NGỌC LƯỢM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THễNG QUA

DẠY HỌC Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyờn ngành: LL&Phơng pháp dạy học bộ môn toán

Mó số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN - 2012

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Thuận, người đã hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô đồng nghiệp trong tổ Toán – Hóa Trường THCS Thường Thới Hậu B đã hết lòng giúp đỡ và đóng góp ý kiến quý báo.

Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Thường Thới Hậu B đã tạo điều kiện cho tôi tiến hành điều tra thức tế tại trường

Tôi xin cảm ơn quý thầy cô công tác ở trường đại học Vinh, thầy cô ở trường đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tậpvà làm luận văn.

Tôi xin cảm ơn bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong lĩnh vực học tập cũng như trong cuộc sống.

NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thiết khoa học 3

7 Giới hạn phạm vi nghiên cứu 4

8 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tổng quan về tư duy 5

1.2 Tổng quan về tư duy toán học 19

1.3 Những tình huống điển hình trong dạy học toán 21

1.4 Chương trình Toán THCS……… 32

1.5 Thực trạng của việc phát triển tư duy toán học cho học sinh trong dạy học Toán ở trường THCS 44

Kết luận chương .46

Chương II CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH 47

2.1 Những cơ sở chủ yếu hình thành và phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học toán 47

2.2. Một số biện pháp hình thành và phát triển tư duy cho học sinh 51

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 100

Chương III: THỰC NGH IỆM SƯ PHẠM .101

3.1 Mục đích thực nghiệm 101

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 101

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 104

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 108

KẾT LUẬN 109

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 110

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn

Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước tahiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổimới nội dung và phương pháp dạy học Định hướng đổi mới phương pháp dạyhọc đã được chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước vàngành Giáo dục nước ta Có thể dẫn ra một vài văn bản đã được ban hànhtrong những năm qua như sau:

- Nghị quyết Trung ương 2 (khoá VIII, 1997) của Ban Chấp hành Trung

ương Đảng Cộng sản Việt Nam khẳng định, " Phải đổi mới phương phápgiáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tưduy sáng tạo cho người học…"

- Luật Giáo dục (2005) cũng quy định, "Nhà nước phát triển giáo dụcnhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài…", "Phươngpháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạocủa người học…"

- Chương trình môn Toán (2002) đã viết, "Môn Toán có vai trò quan trọngtrong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông… Cùng với việc tạođiều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán họccần thiết, môn Toán có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung…"

1.2 Tuy nhận thức rõ được tầm quan trọng và định hướng đổi mới

phương pháp đã được nêu ra ở trên nhưng thực tế dạy học hiện nay vẫn cònchịu ảnh hưởng nhiều của quan niệm và phương pháp dạy học xưa cũ Nhậnđịnh về vấn đề này đã có không ít nhà nghiên cứu đưa ra những ý kiến, đặt ranhiều vấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ Sau đây

là một số ý kiến như vậy:

- Ý kiến của GS Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trínhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy để pháttriển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán chường"

- Ý kiến của GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách conngười chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường

tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức"

Môn toán có vai trò quan trọng trong thực hiện mục tiêu chung của giáodục phổ thông nó góp phần phát triển nhân cách, đức tính, cùng với việc tạođiều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn kỹ năng toán học cần

thiết, nó góp phần quan trọng vào việc phát triển tư duy cho học sinh nóichung và tư duy toán học cho học sinh nói riêng

1.3 Mục tiêu phát triển tư duy còn được thực hiện một cách có ý thức, có

hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Muốn vậy, người thầy giáophải có ý thức đầy đủ cần phát triển tư duy cho học sinh Trong quá trìnhgiảng dạy toán giáo viên cần thường xuyên rèn luyện và phát triển tư duy toánhọc Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán học cho học sinhthông qua dạy học Toán ở bậc THCS”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về vấn đề tư duy và tư duy toán học trên cơ sở nghiên cứu

lí luận, đề ra một số biện pháp nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinhthông qua việc dạy học toán cấp THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về tư duy, tư duy toán học

- Nghiên cứu các biện pháp phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạyhọc toán cấp THCS

- Thực nghiệm sư phạm

4 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về tư duy

- Nghiên cứu các tình huống điển hình trong dạy học toán

- Nghiên cứu các biện pháp phát triển tư duy trong dạy học toán

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu, tìm hiểu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quanđến tư duy toán học

Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.

5.2 Phương pháp nghiên cứu thực tế :

Sơ bộ tìm hiểu và rút ra một số nhận xét việc “Phát triển tư duy toán họccho học sinh thông qua dạy học toán ở trường Trung học cơ sở Thường ThớiHậu B huyện Hồng Ngự, tỉnh Đồng Tháp qua dự giờ, điều tra, trao đổi vớigiáo viên và học sinh

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tiến hành một số giờ dạy thực nghiệm sư phạm ở trường Trung học cơ

sở Thường Thới Hậu B huyện Hồng Ngự, tỉnh Đồng Tháp Kiểm tra, đánh giákết quả thực nghiệm, so sánh đối chiếu giữa lớp thực nghiệm và lớp đốichứng có cùng trình độ học vấn tương đương nhằm minh họa bước đầu nhữngbiện pháp đã được đề ra trong luận văn

6 Giả thuyết khoa học

Nếu như các biện pháp đề ra được vận dụng một cách linh hoạt và sángtạo trong quá trình dạy học toán thì góp phần nâng cao khả năng tư duy toánhọc của học sinh tạo điều kiện cho học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo tronghọc tập Từ đó chất lượng dạy và học toán cũng sẽ được ngày một nâng cao

7 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu trong chương trình toán cấp THCS

- Nghiên cứu các biện pháp phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạyhọc khái niệm, định lí, quy tắc, giải bài tập

- Trường THCS Thường Thới Hậu B

8 Cấu trúc của luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dungchính của luận văn gồm ba chương:

Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương II: Các biện pháp sư phạm nhằm phát triển tư duy cho học sinh.Chương III: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổng quan về tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý của conngười, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn Tuy nhiên thực tếcuộc sống luôn luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người khôngthể nhận thức và giải quyết được Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tớimức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính ( hay còn gọi là tư duy).Theo Từ điển Giáo dục học: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhậnthức, cho phép phản ảnh được bản chất và các mối quan hệ của sự vật kháchquan mà con người không nhận biết được bằng tri giác và cảm giác trực tiếphoặc bằng biểu tượng Tư duy sinh ra trong quá trình tương tác giữa con người

và thế giới bên ngoài Thế giới khách quan tác động vào tư duy của con ngườithông qua những nhu cầu, những vấn đề phát sinh và những hành động giảiquyết các vấn đề ấy Khi suy nghĩ, con người sử dụng những kiến thức đã có

và bằng những hành động nhận thức cơ bản thường dùng như: phân tích, tổnghợp, tập hợp, so sánh, phân loại, hệ thống hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa,

… để khám phá ra điều mới trong những điều đã biết, từ đó thu nhận đượcnhững hiểu biết mới Hành động nhận thức làm phát hiện ra những đặc điểm

và các mối quan hệ ẩn chứa trong sự vật khách quan và cho ra kết quả của tưduy dưới dạng các khái niệm, phán đoán, và suy lý về những đặc tính và quan

hệ sự vật Những kết quả của tư duy được biểu đạt bằng ngôn ngữ dưới dạngcác từ và câu, và vì vậy ngôn ngữ trở thành cái vỏ của tư duy, trở thành mộtphương tiện quan trọng để nhận thức sự vật khách quan ”

Một thực tế hiện nay là chưa có một định nghĩa về tư duy mang tính kháiquát thể hiện đầy đủ tính chất, đặc điểm, vai trò của tư duy Để định nghĩa tưduy, chúng tôi nhận thấy các nhà tâm lý học trong nước cũng như nước ngoài,mỗi người có một cách hiểu riêng của mình Chẳng hạn, theo cách hiểu của X

L Rubinstêin: “Tư duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về kháchthể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện

do tác động của khách thể Tư duy là sự thâm nhập vào những tầng mới củabản thể, là giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái cho đến nay vẫn giấu kínhtrong cõi sâu bí ẩn: Đặt ra và giải quyết vấn đề của thực tại và cuộc sống, tìmtòi và giải đáp câu hỏi thực ra nó là như thế nào, câu trả lời đó là cần thiết đểbiết nên sống thế nào cho đúng và cần làm gì?” A Spiếckin lại cho rằng: “Tưduy của con người, phản ánh hiện thực, về bản chất là quá trình truyền đạtgồm hai tính chất: Một mặt, con người hướng về vật chất, phản ánh những nétđặc trưng và những mối liên hệ của vật ấy với vật khác Một mặt, con người

hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của tư duy của mình’’ hay “Tư

duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi

và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay kháiquát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạtđộng thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó’’.

Theo Phạm Minh Hạc: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những

thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiệntượng trong hiện thực khách quan”

Tư duy của con người mang bản chất xã hội – lịch sử, có tính sáng tạo, cókhả năng khái quát và sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện Tư duy con ngườiđược quy định bởi các nguyên nhân, các yêu cầu của quá trình phát triển lịch

sử - xã hội, chứ không dừng lại ở mức độ tư duy bằng các thao tác chân tayhay bằng một chương trình đã được lập sẳn Có thể nói một cách khái quát, cácnhà tâm lý học Mác-xít, trên cơ sở của chủ nghĩa duy vật biện chứng, đã khẳng

định: “Tư duy là sản phẩm cao cấp của một dạng vật chất hữu cơ có tổ chức

cao, đó là bộ não con người”

Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện ngôn ngữ, sảnphẩm có tính chất xã hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hànhcác thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóanhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lý, những quy luật – những sảnphẩm khái quát của tư duy

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Thuộc bậc thang nhận thức cao – nhận thức lý tính – tư duy có nhữngđặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy có những đặc điểm

cơ bản sau:

- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những tình huống có vấn đề: khi gặp nhữnghoàn cảnh, những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đãbiết của con người không đủ để giải quyết, lúc đó con người rơi vào “hoàncảnh có vấn đề’’ (hay gọi là “tình huống có vấn đề”) khi ấy con người phảivượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết và đi tìm cái mới, hay nói khác đi, con

người phải tư duy.

- Tư duy có tính khái quát: tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tínhchung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng

Do vậy tư duy mang tính khái quát

- Tư duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con người phảnánh trực tiếp sự vật, hiện tượng bằng giác quan của mình, và ta cũng chỉ cóđược những hình ảnh cảm tính về các sự vật, hiện tượng đó Trong tư duy, conngười phản ánh thế giới một cách gián tiếp – phản ánh bằng ngôn ngữ

- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy vàngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũngkhông đồng nhất với nhau Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ

ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy Ngôn ngữ được xem là phươngtiện của tư duy trong sự diễn biến của quá trình tư duy, nhờ sự tham gia của hệthống tín hiệu thứ hai (ngôn ngữ) mà con người tiến hành các thao tác tư duy,cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy

lý được biểu đạt bằng từ, ngữ, câu,

“Đặc điểm điển hình của tư duy của con người là mối quan hệ không thểchia cắt được giữa tư duy và ngôn ngữ Để nhận thức, tư duy của con ngườichỉ có thể thực hiện thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của

tư duy của con người khác với tính chất thuần túy sinh vật của hoạt động tâm

lý của động vật’’

+ Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thườngbắt đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâuthì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác,tri giác, hình tượng trực quan, ) X L Rubinstêin khẳng định rằng: “Nội dungcảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗdựa cho tư duy’’ Tư duy và nhận thức cảm tính thuộc hai mức độ nhận thứckhác nhau, nhưng không tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau,

chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức thống nhất và biện chứng Ngượclại, tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác

và tri giác, làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn,làm cho tri giác của con người có tính lựa chọn, tính ý nghĩa

1.1.3 Các thao tác tư duy

1.1.3.1 Phân tích, tổng hợp

Phân tích: Theo Từ điển tiếng Việt : “Phân tích là phân chia thật sự hay bằngtưởng tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố; trái với tổng hợp Theotriết học: Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể thành ra từng bộ phận,từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu được các bộ phận, mặt, yếu tố đó.Như vậy, phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc tách ratừng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó

Tổng hợp: là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự các yếu tố nào đó làmthành một chính thể; trái với phân tích Theo Triết học: “Tổng hợp là phươngpháp dựa vào phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại đểnhận thức cái toàn thể Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Tổng hợp là nhìn bao quátlên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mô tả được bức tranh toàn cảnh củachỉnh thể, các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chỉnh thể vớimôi trường Như vậy, tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thểhoặc kết hợp lại những thuộc tính hay những khía cạnh khác nhau nằm trongcái toàn thể

“Phân tích và tổng hợp là bản chất của hoạt động tư duy nói chung, củakhái quát hóa và những hoạt động trí tuệ có liên quan nói riêng Khái quát hóa

và những hoạt động trí tuệ có liên quan chỉ là những dạng xuất hiện của phântích và tổng hợp Vì vậy, khi tập luyện cho học sinh khái quát hóa và nhữnghoạt động trí tuệ có liên quan, cần có ý thức rèn luyện cho họ khả năng phântích và tổng hợp, coi đó là cơ sở để thực hiện các hoạt động trí tuệ Nếu học

sinh gặp khó khăn khi tiến hành một hoạt động nào đó thì cần quay lại cơ sởcủa hoạt động đó là phân tích và tổng hợp.” [13, tr 13 – 14].

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ chặc chẽ với nhau Nó là hai mặtcủa quá trình thống nhất Trong mỗi khâu của quá trình học tập toán thì phântích và tổng hợp là các khâu rất quan trọng Nó giúp cho học sinh nắm vững vàvận dụng một cách sáng tạo kiến thức toán

Ví dụ: HS khi giải bài tập toán phải biết nhìn tổng hợp xem bài toánthuộc dạng gì, sau đó đi phân tích cái đã cho và cái cần tìm để tìm ra mối liên

hệ giữa chúng và để tìm lời giải Có khi phải dùng phân tích như đi lên, đixuống,… để tìm tòi lời giải

1.1.3.2 So sánh

Là xác định sự giống nhau và khác nhau của các sự vật và hiện tượng.Muốn so sánh thì chúng ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính; đốichiếu các dấu hiệu, các thuộc tính với nhau Sau đó tổng hợp lại xem chúng có

gì giống nhau, khác nhau

* Tác dụng:

Giúp cho học sinh hiểu sâu và nhớ lâu kiến thức cần học

 Giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa các sự vật, hiện tượng với nhau

Giúp cho học sinh tiến hành các thao tác tương tự sau này

1.1.3.3 Khái quát hóa

“Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát một tập hợp đối tượng đếnmột tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập hợp ban đầu làm tập con”

Là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sự kiện hay hiệntượng Muốn khái quát hóa thì chúng ta phải so sánh những đối tượng, những

sự kiện, những hiện tượng với nhau Sau đó tổng hợp lại để rút ra cái chung.Tác dụng: Giúp cho con người có cái nhìn bao quát, thấy được cái chungtrong những cái riêng lẽ và rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn Đây là conđường phát minh sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết Giả thuyết rút ra từ khái

quát hóa có thể đúng hoặc sai vì thế phải chứng minh Trừu tượng hóa, kháiquát hóa được coi là năng lực tinh thần cơ bản nhất của tư duy con người.Trong việc nhận thức các mặt, hiện tượng giáo dục học toán học, các nhà khoahọc Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Tôn Nhân, Ngô HữuDũng, Trần Thúc Trinh, Vương Dương Minh, …, các sách xuất bản, các luậnán tiến sĩ đều đặc biệt coi trọng năng lực khái quát hóa toán học

1.1.3.4 Trừu tượng hóa, cụ thể hóa

* Trừu tượng hóa

Khi Trừu tượng hóa chúng ta tách cái chung trong đối tượng nghiêncứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt bỏ thuộc tính riêng của chúng, không chú

ý đến những cái riêng

Tác dụng: Tính sâu sắc của tư duy cũng chính là tính logic trừu tượngcao độ của tư duy toán học “Sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên cácbình diện khác nhau Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừutượng hóa những đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn, khái niệm số tự nhiên,hình bình hành Nhưng cũng có những khái niệm là kết quả của sự trừu tượng

đã đạt được trước đó

- Trừu tượng hóa và khái quát hóa liên hệ chặc chẽ với nhau Nhờ trừutượng hóa mà chúng ta có thể khái quát hóa rộng hơn và nhận thức sâu hơn

- Trừu tượng hóa là tiền đề của khái quát hóa

- Không có trừu tượng hóa và khái quát hóa thì không có tri thức củanhân loại

* Cụ thể hóa

Là tìm ví dụ minh họa cho cái chung, tức là tìm một cái riêng Mà cáiriêng này thỏa mãn những tính chất của cái chung

Ví dụ: Sau khi dạy học sinh khái niệm hình trụ học sinh có thể cho một số

ví dụ về hình trụ như là những vật dụng trong gia đình (thùng phi, lon sữa, …)

1.1.4 Sự cần thiết để rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh THCS

Giáo dục toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp, nhằm đạt cácmục tiêu:

- Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bảncủa Toán học;

- Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng và kỹ xảo toán học;

- Phát triển tư duy toán học của học sinh

“Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất vàvấn đề thứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết vấn

đề thứ ba Có nghĩa là cho rằng, sự phát triển tư duy toán học diễn ra một cách

tự phát trong quá trình giảng dạy Toán Trong một chừng mực nào đó, điềunày có thể đúng, nhưng chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi”

“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trìnhhoạt động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự pháttriển một cách có phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việctruyền thụ cho học sinh hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học”

1.1.5 Quá trình tư duy

Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tưduy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giaiđoạn kế tiếp nhau được minh họa bởi sơ đồ sau (do nhà Tâm lý học Liên Xô(cũ) K K Plantônôv đưa ra):

Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn rabằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thaotác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành độngtrí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…

Nhận thức vấn đềXuất hiện các liên tưởngSàng lọc liên tưởng và hình thành giải thiết

Kiểm tra giả thuyếtKhẳng địnhGiải quyết vấn đề

Phủ địnhChính xác hóa

Hoạt động tư duy mới

1.1.6 Các trạng thái tư duy

Để tư duy tốt hơn cần thiết phải phân biệt 3 cấp độ của trạng thái tư duy:nắm bắt vấn đề, tự động hóa, chuyển hóa

* Nắm bắt vấn đề: là một trạng thái tư duy diễn ra thông qua quá trình dạyhọc trực tiếp, tự sáng tạo nên hoặc tiếp thu từ môi trường bên ngoài Vai tròcủa việc dạy và rèn luyện khả năng nắm bắt vấn đề là rất quan trọng để HS tưduy tốt hơn

* Tự động thao tác: Trạng thái tư duy được rèn luyện sao cho có thể ápdụng vào trường hợp cụ thể một cách tự giác, thuần thục và chính xác sẽ tạonên hiệu quả tư duy

* Chuyển hóa (chuyển giao): Là trạng thái tư duy từ nắm vấn đề sang vậndụng để xử lí vấn đề trong tình huống cụ thể Kỹ năng toán học phải được vậndụng để giải quyết các vấn đề của Vật Lý hay Hóa Học Như vậy chuyển giao

có tầm quan trọng trong việc rèn luyện các kỹ năng tư duy Dạy kỹ năng tưduy phải là một phần trong chương trình của từng môn học, nó góp phần đắclực giúp học sinh đạt kết quả tốt trong việc nắm vững môn học đó Có thể nói,việc nâng cao khả năng chuyển hóa đã trở thành một trạng thái tư duy quantrọng cần được rèn luyện khi dạy các kỹ năng tư duy

1.1.7 Các loại hình tư duy

Các Có nhiều cách phân loại tư duy Sau đây là một số cách phân loại tư duy:

1.1.7.1 Cách phân loại thứ nhất: phân loại dựa trên lịch sử hình thành và

phát triển tư duy thì có thể chia thành 3 loại tư duy:

* Tư duy trực quan-hành động: là loại tư duy bằng các thao tác cụ thể, taychân, hướng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan

* Tư duy trực quan-hình ảnh: là loại tư duy mà việc giải quyết các vấn đềdựa vào các hình ảnh của sự vật, hiện tượng

* Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ - lôgic) là loại tư duy phát triển ởmức cao nhất, chỉ có người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựatrên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấyngôn ngữ làm phương tiện

Ba loại tư duy nói trên có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung và chi phốilẫn nhau, trong đó tư duy trực quan-hành động, tư duy trực quan-hình ảnh làhai loại tư duy có trước làm cơ sở cho tư duy trừu tượng

1.1.7.2 Cách phân loại thứ hai: phân loại dựa vào lôgic hình thức và

lôgic biện chứng thì có 2 loại tư duy:

* Tư duy hình thức: là loại tư duy dựa vào lôgic hình thức

Lôgic hình thức là khoa học nghiên cứu những hình thức của tư duy(khái niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh) từ khía cạnh kết cấu lôgic hayhình thức, tức là bỏ qua nội dung cụ thể của các đối tượng, chỉ tách ra nhữngphương thức liên hệ giữa các bộ phận của nội dung mà thôi Lôgic hình thứcchỉ quan tâm đến các đối tượng dưới dạng tĩnh, cô lập Nhiệm vụ chính là xâydựng các quy tắc, quy luật mà sự tuân thủ là điều kiện cần thiết để đạt đếnnhững kết quả chân thực trong quá trình thu nhận tri thức

Sau đây là một số quy luật cơ bản của lôgic hình thức:

- Quy luật đồng nhất: nói rằng tính xác định của tư tưởng là điều kiện tồntại của nó: A = A

- Quy luật không mâu thuẫn: A và A không thể đồng thời cùng đúng

) (A  A

- Quy luật bài trung: hai phán đoán A và A không thể đồng thời cùng sai

A

A 

- Quy luật có lý do đầy đủ: mỗi luận điểm muốn được coi là hoàn toànđáng tin cậy, thích hợp cho việc chứng minh, phải là luận điểm đã được chứngminh tức là phải biết các lý do đầy đủ nhờ đó nó được coi lại chân thực

B

A B

A ,

- Quy luật phản đảo: A  B  B  A

Cuối thế kỉ XIX, bước ngoặt chủ yếu của sự phát triển lôgic hình thức là lôgictoán (hay lôgic ký hiệu) nhờ áp dụng những phương pháp hình thức của toán học,dựa trên việc sử dụng ngôn ngữ đặc thù của các ký hiệu và các công thức

Trong lôgic toán, tư duy có nội dung lôgic (những quá trình lập luận vàchứng minh)

* Tư duy biện chứng: là loại tư duy dựa vào lôgic biện chứng

Lôgic biện chứng nghiên cứu những quy luật chung nhất của sự phát sinhphát triển của tư duy, giúp chúng ta nắm vững sự vật

Là một bộ phận của nhận thức, lôgic biện chứng vận động theo quy luậtcủa phép biện chứng, của nhận thức và quy luật đặc thù của bản thân nó.Những quy luật của phép biện chứng là những quy luật của lôgic biện chứng

Có thể nêu lên một số quy luật sau đây:

- Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập vạch ra nguồn gốccủa sự phát triển Ăngghen viết: “… trong bản thân các sự vật và các quá trình,

có một mâu thuẫn khách quan … sự sống trước hết chính là ở chỗ một sinh vậttrong mỗi lúc vừa là nó vừa là một cái khác Như vậy sự sống cũng là một mâuthuẫn tồn tại trong bản thân các sự vật và các quá trình, tự đề ra và tự giảiquyết không ngừng, và khi mâu thuẫn đã hết thì sự sống cũng không còn nữa

và cái chết xảy ra Cũng như chúng ta đã thấy rằng trong lĩnh vực tư duy cũngvậy, chúng ta không thể thoát khỏi mâu thuẫn? Chẳng hạn như mâu thuẫn giữanăng khiếu nhận thức vô tận bên trong của con người với sự tồn tại thực tế của

năng khiếu ấy trong những con người bị hạn chế bởi hoàn cảnh bên ngoài…Mâu thuẫn này được giải quyết trong sự tiếp nối của các thế hệ”.

- Quy luật từ lượng đổi dẫn đến chất đổi vạch ra hình thái của sự pháttriển Khi xem xét mọi sự vật hiện tượng như những “độ”, trong đó tính quyđịnh về chất bao giờ cũng phụ thuộc vào “một số lượng”, mặc dù có thể xêxích trong những giới hạn nhất định Đặc biệt yếu tố nhảy vọt, tức là sự đứtđoạn của cái liên tục trong sự phát triển Lênin viết: “Sự chuyển biến biệnchứng khác sự chuyển biến không biện chứng ở chỗ nào? Ở bước nhảy vọt, ởtính mâu thuẫn, ở sự đứt đoạn của tính liên tục, ở sự thống nhất giữa tồn tại vàkhông tồn tại”

- Quy luật phủ định của phủ định vạch ra chiều hướng của sự phát triển.Những hình thức phủ định cũng có muôn hình muôn vẻ theo các hình thứckhác nhau của tư duy cũng như các hoạt động lôgic cụ thể, cái trực tiếp bị cáigián tiếp phủ định, cái cụ thể bị cái trừu tượng phủ định, cái cảm tính và cái lýtính, cái đơn nhất và cái phổ biến, cái quy nạp và cái diễn dịch, cái phân tích

và tổng hợp… mỗi một phủ định đều bao hàm cả việc duy trì cái tích cực vàxóa bỏ cái tiêu cực và phát triển một cách biện chứng từ cái tích cực ấy

- Quy luật nhận thức: Lôgic biện chứng không những tuân theo quy luật củaphép biện chứng, mà còn tuân theo và thể hiện quy luật của nhận thức trong toàn

bộ quá trình hình thành và phát triển của tư duy lôgic Lý luận nhận thức khôngnhững vạch ra nguồn gốc và bản chất của nhận thức, mà còn vạch ra quy luật pháttriển của nhận thức và Lênin đã thể hiện trong luận đề có tính quy luật sau: “Từtrực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn”

Đó là con đường nhận thức chân lý của sự nhận thức hiện thực khách quan

1.1.7.3 Cách phân loại thứ ba: phân loại dựa vào tính chất, kết quả của

quá trình tư duy thì có thể chia thành 3 loại tư duy

* Tư duy tích cực: là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức của họcsinh trong quá trình học tập “Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động

của học sinh, đặc trưng bởi khác vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nổ lực caotrong quá trình nắm vững kiến thức”

* Tư duy độc lập: là loại tư duy dựa vào tính độc lập nhận thức của họcsinh trong quá trình học tập Theo Aristôva, B P Êxipov “ Tính độc lập lànăng lực cá nhân học sinh tham gia hoạt động mà không có sự can thiệp từ bênngoài” Theo nghĩa rộng, bản chất của tính độc lập nhận thức là sự chuẩn bị vềmặt tâm lý cho sự tự học… Theo nghĩa hẹp: Tính độc lập nhận thức là nănglực, nhu cầu học tập và tính tổ chức học tập, cho phép học sinh tự học

* Tư duy sáng tạo: là tư duy tạo ra được cái gì mới Tuy nhiên, học sinhtrong quá trình sáng tạo, tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xã hội mà

là đối với chủ quan mình, nhưng cái mới ấy đồng thời cũng có ý nghĩa xã hội,bởi vì khi đó cá nhân được hình thành và biểu lộ

1.1.7.4 Cách phân loại thứ tư: phân loại dựa vào dấu hiệu cấu trúc khác

nhau của hiện thực

* Tư duy hình tượng: là tư duy biến đổi cấu trúc của tri giác Những dấuhiệu cấu trúc của hiện thực trong trường hợp này là những quan hệ của các đốitượng và những thuộc tính cảm tính của chúng trong tri giác (trong đó có cảdấu hiệu như “gần hơn-xa hơn” “nhỏ hơn-lớn hơn”, “giống nhau-không giốngnhau” Tư duy đi theo con đường xây dựng lại cấu trúc thị giác, trong đó lờigiải bài toán tìm được nhờ biến đổi hình dạng của hình không phải sử dụng cáckhái niệm toán học trừu tượng)

* Tư duy thực hành: là tư duy dựa vào những mối liện hệ và những thuộctính chức năng và những hoạt động của các sự vật mà con người đã biết quakinh nghiệm

* Tư duy khoa học: là tư duy dựa vào những quy luật và những thuộc tínhkhách quan, bản chất do khoa học xác định Những tri thức về các mối quan hệcủa các sự vật được củng cố trong cấu trúc của các khái niệm và luận điểm khoa

học, còn tư duy được thực hiện bằng con đường liên kết những khái niệm vànhững phán đoán này với nhau và những biến đổi tương ứng của chúng.

* Tư duy lôgic: là tư duy thay thế các hoạt động với các sự vật có thựcbằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của lôgic học Những dấu hiệucấu trúc của hiện thực mà tư duy dựa vào là các quan hệ của các khái niệmnhư: quan hệ giữa giống và loài, chủ ngữ và vị ngữ, phủ định và khẳng định,liên kết và phân ly, cái riêng và cái chung, cái trừu tượng và cái cụ thể,…những tri thức về các quan hệ của các sự vật được củng cố trong cấu trúc lôgiccủa tư duy còn bản thân tư duy được thể hiện trong việc sử dụng các cấu trúcnày để xây dựng và biến đổi các khái niệm

* Tư duy khái quát: là tư duy dựa vào hoạt động khái quát hóa Khái quáthóa là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại diênhẹp sang khái niệm hay tính chất có ngoại diên rộng hơn bao gồm các đốitượng ban đầu

1.1.7.5 Cách phân loại thứ năm: dựa vào các dấu hiệu đặc thù của đối

tượng tư duy, ví dụ như trong tư duy toán học ta chú ý tới tư duy hàm, tư duythuật toán,… Khi xuất phát từ ngôn ngữ toán học ta có tư duy ngữ nghĩa và tưduy cú pháp,…

Tư duy thuật toán: liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán

- Thuật toán: là hệ thống chặc chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác địnhmột dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn cácbước thực hiện các thao tác ta đạt được mục tiêu định trước

- Các thuật toán phải thỏa mãn ba yêu cầu cơ bản:

Tính xác định: Ai cũng phải hiểu theo cùng một cách, mỗi giai đoạn củaquá trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất

Tính số đông: Phải dùng được để giải một loạt (kiểu) xác định các bài toán

Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch rathì nhất thiết giải được bài toán theo loại đã chọn

- Trong dạy học, thuật toán dạy học là hệ thống những quy định nghiêmngặt được thực hiện theo trình tự chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn.Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể được tách thành:

Tư duy phân tích;

Tư duy lôgic;

Tư duy lược đồ không gian

1.2 Tổng quan về tư duy toán học

1.2.1 Khái niệm tư duy Toán học

“Tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biệnchứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quátrình áp dụng toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc dân,

… Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bảnchất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhậnthức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phươngthức chung của tư duy mà nó sử dụng”

“Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạngkhông gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực Hình thức của

tư duy toán học là khái niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh” (Nguyễn VănLộc - Tr16,27)

1.2.2 Các thành phần của tư duy toán học

Các thành phần chủ yếu của tư duy toán học gồm:

1.2.1.1. Tư duy cụ thể: là tư duy trong mối liên hệ qua lại với mô hình cụ

thể của đối tượng

1.2.1.2. Tư duy trừu tượng: là tư duy đặc trưng bởi khả năng trừu xuất

khỏi nội dung cụ thể của đối tượng nghiên cứu, nhằm làm nỗi bậc các tính chấtchung của nó, mà các tính chất này là chủ thể của sự nghiên cứu Trong quátrình tư duy trừu tượng, những biểu tượng không gian đã có được biến đổi,giúp học sinh hình thành các biểu tượng không gian mới

1.2.1.3. Tư duy trực giác: liên hệ chặt chẽ với khái niệm trực giác.

- Trực giác là năng lực đặc biệt của sự hiểu biết, được đặc trưng bởi sựnhận thức trực tiếp các chân lý

- Trong nghiên cứu hình học, trực giác hình học được hiểu là năng lựctưởng tượng như nhìn thấy các hình và những biến đổi của chúng

1.2.1.4. Tư duy hàm: liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm số.

1.2.1.5. Tư duy biện chứng: liên hệ chặt chẽ với logic biện chứng, nghiên

cứu những qui luật chung nhất của sự phát sinh và phát triển của tư duy, giúp

ta nắm vững sự vật

1.2.1.6. Tư duy sáng tạo: là tư duy tích cực và tư duy độc lập, nhưng

không phải mọi tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải mọi tưduy độc lập đều là tư duy sáng tạo Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh

tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từtình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tìnhhuống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả

vẽ đẹp của giải pháp

1.2.1.7 Các phong cách toán học của tư duy.

Theo nhà toán học nổi tiếng A Ia Khinshin thì những nét độc đáo của

tư duy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích;

- Phân chia rành mạch các bước suy luận;

- Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa xácđịnh chặt chẽ);

- Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận

1.3 Những tình huống điển hình trong dạy học toán

1.3.1 Dạy học khái niệm.[13, tr 344-352]

1.3.1.1 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy xây dựng khái niệm

“Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bắt cứ một khoa họcnào ở trường phổ thông, điều quan trọng bật nhất là hình thành một cách vữngchắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức Toánhọc của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụngkiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việcphát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh(qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các kháiniệm toán học)” [3, tr 116]

Việc dạy học toán ở trường phổ thông phải làm cho học sinh dần dần đạtđược các yêu cầu sau:

“ - Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng chotrước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thểhiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một kháiniệm cho trước

- Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm

- Biết vận dụng khái niệm trong một số tình huống cụ thể trong hoạt độnggiải toán và ứng dụng vào thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệmvới những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do sưphạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ nhưnhau đối với từng khái niệm” [13, tr 345]

Đối với khái niệm số hữu tỉ, căn thức, học sinh có thể phát biểu được địnhnghĩa một cách chính xác và vận dụng được định nghĩa đó trong khi giải bài tập.Đối với khái niệm hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ,chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu được định nghĩa tường minh màchỉ cần dùng được khái niệm này một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống

1.3.1.2 Những con đường tiếp cận khái niệm

* Con đường suy diễn

Có một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngayvào định nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệmnào đó mà học sinh đã được học

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ranhư sau:

- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm

đó một số đặc điểm mà ta quan tâm;

- Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và địnhnghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạnchế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

- Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa

Ưu điểm: tiết kiệm được thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt chohọc sinh tự học khái niệm toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghenhững báo cáo khoa học trên lĩnh vực Toán học Con đường này thường được

sử dụng khi có thể gợi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuấtphát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để địnhnghĩa một khái niệm khác hẹp hơn

Khuyết điểm: hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển nhữngnăng lực trí tuệ chung như phân tích chung như phân tích, tổng hợp, so sánh,trừu tượng hóa và khái quát hóa

* Con đường quy nạp

Theo con đường quy nạp, xuất phát từ một số những đối tượng riêng lẻnhư vật thật, mô hình, hình vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh,trừu tượng hóa, khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệmthể hiện ở những trường hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường

minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tùy theo yêu cầu củachương trình.

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn ranhư sau:

- Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tácdụng của một loạt đối tượng nào đó;

- Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặcđiểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếu mộtvài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;

- Giáo viên gợi mỡ cho học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêutên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm

Ưu điểm: thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh,góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng caotính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa

Khuyết điểm: Tốn kém nhiều thời gian, vì vậy không phải bao giờ cũng

có điều kiện thực hiện

Điều kiện để sử dụng con đường quy nạp:

Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát chocon đường suy diễn;

Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cầnhình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp

Ví dụ: Để tiếp cận khái niệm hàm số ở lớp 9, có thể tiến hành như sau:

- Giáo viên nêu lại một số tri thức mà học sinh đã học ở những lớp dưới

Nhiệt lượng tỏa ra từ một dây dẫn tỉ lệ với bình phương cường độ củadòng điện.

- Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh các trường hợp trên để:

Thấy được rằng ở mỗi trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trịtrong một tập hợp số và một đại lượng nữa có giá trị tương ứng thuộc một tậphợp số thứ hai;

Nêu bậc được đặc điểm chung sau đây của cả ba trường hợp: với mỗiphần tử x thuộc tập hợp số A đều tương ứng một phần tử xác định y thuộc tậphợp số B

- Trên cơ sở nhận xét đạt được ở trên, giáo viên gợi ý để học sinh phátbiểu được khái niệm hàm số có nội dung như ở sách giáo khoa lớp 9

* Con đường kiến thiết

Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn

ra như sau:

- Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần đượchình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộToán học hay từ thực tiễn;

- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặcđiểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;

- Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước trên

Con đường kiến thiết mang cả yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn

Suy diễn ở chỗ xuất phát từ yêu cầu để xây dựng nhiều đối tượng đạidiện cho khái niệm cần hình thành

Quy nạp ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đạidiện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

Ưu điểm: thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của họcsinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cậnkhái niệm

Khuyết điểm: Con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian.

Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong điều kiện sau:

Học sinh chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên kháiniệm, do đó con đường quy nạp không thích hợp;

Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với kháiniệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

1.3.2 Dạy học định lí [13, tr 361-362]

1.3.2.1 Vị trí của định lí và yêu cầu dạy học định lí

Các định lí cùng với khái niệm Toán tạo thành nội dung cơ bản của mônToán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khà năngsuy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng,phẩm chất đạo đức

Việc dạy học các định lí Toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau đây:

- Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ

đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyếtcác vấn đề trong tực tiễn;

- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy đượcchứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trênlĩnh vực toán học;

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗhiểu chứng minh, trình bày được chứng minh, nâng lên mức độ biết cách suynghĩ để tìm ra chứng minh, yêu cầu của chương trình phổ thông

1.3.2.2 Những con đường dạy học định lí

Mục này được trình bày dựa theo Pietzsch 1980(tr.22-23).

Trong việc dạy học những định lí Toán học,người ta phân biệt hai conđường: con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Hai con đườngnày được minh họa bằng sơ đồ sau:

con đường có khâu suy đoán con đường suy diễn

Sự khác biệt căn bản giữa hai con đường đó là ở chỗ: theo con đường cókhâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ởcon đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước.

* Ưu điểm:

- Ưu điểm của con đường có khâu suy đoán:

Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyếtvấn đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học trong quá trình nó đang nảy sinh

và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Toán học có sẵn

Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suyđoán và chứng minh

Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổnghợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,

- Ưu điểm của con dường suy diễn: ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinhtập dượt tự học theo những sách báo Toán học

* Nhược điểm:

- Nhược điểm của con đường có khâu suy đoán là tốn nhiều thời gian

- Nhược điểm của con đường suy diễn là sự đối lập của những ưu điểmcủa chính bản thân nó

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Cũng cố định lí

Điều kiện sử dụng:

- Con đường có khâu suy đoán: khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiệnđịnh lí mà học sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mộtmức độ nhất định

- Con đường suy đoán: khi chưa biết thiết kế được một cách dễ hiểu đểhọc sinh có thể tìm tòi, phát hiện định lí, hoặc khi quá trình suy diễn dẫn tớiđịnh lí là đơn giản và ngắn gọn

1.3.3 Dạy học qui tắc, phương pháp [13,]

1.3.3.1 Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải Cần lưu ý:

- Cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiệncho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các bước của quytắc đó

- Trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhấtquán trong một thời gian thích đáng

- Tập luyện cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật giảihoặc quy tắc tựa thuật giải

- Làm cho học sinh ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển

cơ bản để quyết định trình tự các bước

- Thông qua dạy học những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải, cần có ýthức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

 Phương thức tư duy thuật giải thể hiện ở các hoạt động:

- Thực hiện thuật giải đã biết: Thực hiện những hoạt động theo một trình

tự xác định phù hợp với một thuật giải cho trước

- Phân tách hoạt động: Phân tích một hoạt động thành những hoạt độngthành phần được thực hiện theo một trình xác định

- Tường minh hóa thuật giải: Mô tả chính xác quá trình tiến hành mộthoạt động

- Khái quát hóa hoạt động: Khái quát hóa một hoạt động trên những đốitượng riêng lẽ thành một hoạt trên một lớp đối tượng.

- Chọn con đường tối ưu: So sánh những con đường khác nhau cùng thựchiện một công việc và phát hiện con đường tối ưu

1.3.3.2 Những quy tắc, phương pháp tìm đoán: như quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa, phương pháp tìm lời giải của bài toán,

Quy tắc, phương pháp tìm đoán thực hiện theo hai con đường:

- Thông báo tri thức trong quá trình hoạt động;

- Tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc,phương pháp mà ta muốn họ biết thực hiện

Quy tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề

1.3.4 Dạy học giải bài tập [13,]

1.3.4.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

- Về mục tiêu dạy học: Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc thựchiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu và thể hiện những chứcnăng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục tiêu dạy học môn Toán:

- Về nội dung: Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dungnhất định, một phương diện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung chonhững tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

- Về phương pháp: Bài tập là giá mang hoạt động để người học kiến tạonhững tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác

1.3.4.2 Các yêu cầu đối với lời giải

- Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian

- Lập luận chặt chẽ

- Lời giải đầy đủ

- Ngôn ngữ chính xác

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

- Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

1.3.4.3 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

* Phương pháp chung để giải bài toán

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;

Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải.

Tìm tòi, phái hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đãcho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải vớimột bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơnhay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù vớitừng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựnghình, toán quỹ tích v.v,

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệthóa kết quả tìm được hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kếtquả với một số tri thức có liên quan,

Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải: Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các

việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thíchhợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

* Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung giải toán (theo Pôlia)

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thõa mãn các điều kiệncho trước không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

Hãy vẽ hình Hãy sữ dụng kí hiệu thích hợp

Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện

đó thành công thức hay không?

Bước 2: Tìm cách giải.

Bạn đã gặp dạng toán này chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạngnơi khác?

Hãy xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùngcái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?

Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng mộtđịnh lí nào đó không?

Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sửdụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phươngpháp giải bài toán đó Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụngđược bài toán đó hay không?

Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khácnữa? Quay về những định nghĩa

Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán

có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trườnghợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán haykhông? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìmđược xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn cóthể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái cần tìmhay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cầnthiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?

Bạn đã sử dụng mọi cách đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điềukiện đã cho hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước? Thấy mỗi bướcđều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?

Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếpngay kết quả không?

Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ralời giải ngắn gọn và hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải.

Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước2

Trình bày lại lời giải sau khi đã lượt bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chổ cần thiết

Bước 4: Nghiên cứu sau lời giải.

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán tương

tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay không?

* Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán

Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinhnắm được phương pháp chung 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này trongquá trình giải bài toán

Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinhnhững câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng nhữngcâu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, pháthiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏinày lúc đầu là do giáo viên đưa ra để hổ trợ cho học sinh nhưng dần dần biếnthành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúngchỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán

1.4 Chương trình Toán Trung học cơ sở

1.4.1 Chương trình toán THCS

* Lớp 6:

§7 Lũy thừa với số mũ tự nhiên Nhân hai lũy thừa cùng cơ số.

§8 Chia hai lũy thừa cùng cơ số

§9 Thứ tự thực hiện phép tính

§10 Tính chất chia hết của một tổng

§11 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

§12 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

§13 Ước và bội

§14 Số nguyên tố, hợp số Bảng số nguyên tố

§15 Phân tích một số ra tích các thừa số nguyên tố

§16 Ước chung và bội chung

§4 Cộng hai số nguyên cùng dấu

§5 Cộng hai số nguyên khác dấu

§6 Tính chất của phép cộng các số nguyên

§7 Phép trừ hai số nguyên

§8 Qui tắc dấu ngoặc.

§9 Qui tắc chuyển vế

§10 Nhân hai số nguyên khác dấu

§11 Nhân hai số nguyên cùng dấu

§14 Tìm giá trị phân số của một số cho trước

§15 Tìm một số biết giá trị một phân số của nó

§3 Đường thẳng đi qua hai điểm.

§4 Thực hành trồng cây thẳng hàng

§5 Tia

§6 Đoạn thẳng

§7 Độ dài đoạn thẳng

§8 Khi nào thì AM + MB = AB

§9 Vẽ đoạn thẳng khi biết độ dài

§10 Trung điểm đoạn thẳng

Chương 2: Góc

§1 Nữa mặt phẳng

§2 Góc

§3 Số đo góc

§4 Khi nào thì xOy yOz xOz   

§5 Vẽ góc cho biết số đo

§6 Vẽ tia phân giác của góc

§3 Nhân, chia số hữu tỉ

§4 Giá trị tuyệt đối

§5,6 Lũy thừa của một số hữu tỉ

§7 Tỉ lệ thức

§8 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

§9 Số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn.

§10 Làm tròn số

§11 Số vô tỉ Khái niệm căn bậc hai

§12 Số thực

Chương 2: Hàm số và đồ thị

§1 Đại lượng tỉ lệ thuận

§2 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

§1 Thu thập số liệu thống kê, tần số

§2 Bảng “tần số” các giá trị dấu hiệu

§3 Biểu đồ

§4 Số trung bình cộng

Chương 4: Biểu thức đại số

§1 Khái niệm về biểu thức đại số

§2 Giá trị của một biểu thức đại số