Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn và cấu trúc vùng năng lượng của chất bán dẫn

Nguyên lý hình thành vùng năng lợng trong vật rắnLý thuyết điện tử tự do xuất phát từ giả thiết là: Kim loại bao gồm các điện tử tự do, chúng có thể di chuyển trong toàn bộ tinh thể cho

Mục lục

Trang Mở đầu 1

Chơng I: Khái quát cấu trúc vùng năng lợng 3

1 Nguyên lý hình thành vùng năng lợng 3

1.1 Vùng năng lợng nh là hệ quả của tính tuần hoàn tịnh tiến 3

1.2 Vùng năng lợng nh là hệ quả của sự tơng tác giữa các nguyên tử với nhau 5

2 Hàm Block và ý nghĩa 7

2.1 Xây dựng hàm Block 7

2.2 ý nghĩa 7

3 Khảo sát chuyển động của điện tử trong trờng tuần hoàn – mô hình điện tử liên kết yếu 8

3.1 Tính tuần hoàn của vùng năng lợng 15

3.2 Các cách biểu diễn vùng năng lợng 16

3.3 Sự phụ thuộcvào hớng của bức tranh vùng năng lợng 17

3.4 Mỗi liên hệ giữa độ rộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc 18

4.Mô hình liên kết yếu 19

4.1 Một số nhận xét 22

4.2 Ví dụ minh hoạ 23

Chơng II: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn .25

1 Tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng năng lợng 25

1.1 Khối lợng hiệu dụng 25

1.2 Phơng trình chuyển động của điện tử 27

1.3 Phơng trình chuyển động của lỗ trống 28

1.4 Mạt đẳng năng 30

1.5 Mặt Fecmi 31

1.5.1 Định nghĩa 31

1.5.2 Thí dụ về các mặt Fecmi 32

2 Chuyển động của điện tử 34

Chơng III: Cấu trúc năng lợng của chất bán dẫn Si, Ge và A III B V .37 1 Cấu trúc vùng năng lợng của Silic (Si) 39

2 Cấu trúc vùng năng lợng của Gecmani (Ge) 44

3 Cấu trúc vùng năng lợng của các bán dẫn AIIIBV 46

Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50

Phần I: mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong cuộc cách mạng khoa học hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng vaitrò đặc biệt quan trọng Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu mới cho cácngành kỹ thuật mũi nhọn nh: Vô tuyến điện tử, du hành vũ trụ, năng lợngnguyên tử Ngày nay vật lý chất rắn là một lĩnh vực khoa học hết sức rộnglớn gồm nhiều bộ môn nh: Vật lý bán dẫn điện, vật lý kim loại và hợp kim,vật lý các chất sắt điện, sắt từ Tuy nhiên dù bao gồm nhiều bộ môn khácnhau song vật lý chất rắn vẫn là một khoa học thống nhất Đó là sự thốngnhất trên xu thế chung của vật lý học hiện đại (xu thế đi sâu vào cấu trúc vàcơ chế vi mô trong mạng tinh thể, phân tử, nguyên tử, hạt nhân ), thốngnhất trên những quan điểm cũng nh phơng pháp lý thuyết và thực nghiệmchung Khi đi sâu vào tìm hiểu những tính chất và cơ chế vật lý xảy ra trongchất rắn thì lý thuyết chính là nền tảng cho các thực nghiệm ra đời mà quantrọng nhất đó chính là lý thuyết vùng năng lợng vì nó giúp ta giải thích đợccác tính chất của vật rắn có liên quan tới cấu trúc bên trong của tinh thể ở

đây ta sẽ đa ra các khái niệm mới quan trọng, các phép gần đúng liên kếtchặt hoặc liên kết yếu trong lý thuyết vùng năng lợng của vật rắn để từ đóvận dụng nghiên cứu cấu trúc vùng năng lợng của các chất bán dẫn Vì vậytôi chọn đề tài : "Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lợng của vật rắn

và cấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn".

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết vùng năng lợng vận dụng lý thuyết này để nghiên cứucấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn Từ đó tìm hiểu bản chất và biết đ-

ợc khả năng ứng dụng của chất bán dẫn vào khoa học kỹ thuật cũng nh trongcuộc sống.

3 Giả thuyết khoa học

Nếu nắm vững đợc lý thuyết vùng năng lợng của vật rắn sẽ giúp ta hiểu

đ-ợc cấu trúc tinh thể bên trong của nó từ đó phân biệt đđ-ợc đâu là kim loại,

điện môi hay bán dẫn Quan trọng hơn chúng ta sẽ nắm đợc các tính chất,hiểu đợc u và nhợc điểm của chất bán dẫn để từ đó ngời ta biết đợc khả năngứng dụng của chất bán dẫn trong cuộc sống cũng nh trong các lĩnh vực khác

có liên quan

4.Phơng pháp nghiên cứu

+ Phơng pháp lý thuyết: Dùng các kiến thức về toán học, vật lý đại cơng,cơ học lợng tử, vật lý chất rắn để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lợng củachất bán dẫn

5 Đối tợng nghiên cứu

Bài toán nghiên cứu lý thuyết vùng năng lợng bao gồm:

Phần II: Nội dung: Gồm 3 chơng

Chơng I: Khái quát cấu trúc vùng năng lợngChơng II: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn

Chơng III: Cấu trúc vùng năng lợng của các chất bán dẫn:

Ge, Si, AIII BV

Phần III: Kết luận và tài liệu tham khảo.

Chơng I Khái quát cấu trúc vùng năng lợng

1 Nguyên lý hình thành vùng năng lợng trong vật rắn

Lý thuyết điện tử tự do xuất phát từ giả thiết là: Kim loại bao gồm các điện

tử tự do, chúng có thể di chuyển trong toàn bộ tinh thể cho phép giải thíchmột loạt các hiện tợng dẫn nhiệt, dẫn điện, hiện tợng phát xạ nhiệt của điện

tử, các hiệu ứng nhiệt điện, điện từ Nhng lý thuyết này không thể giảithích đợc các tính chất của vật rắn có liên quan tới cấu trúc bên trong củatinh thể: Tại sao một số tinh thể của các chất lại là kim loại, bán dẫn hay

điện môi; tại sao tính chất của bán dẫn lại phụ thuộc nhiều vào nhiều độ Vì lý do đó mà bớc phát triển tiếp theo của vật lý học là tìm ra lý thuyết mớicho phép ta giải thích các hiện tợng trên Lý thuyết này gọi là lý thuyết vùngnăng lợng

Để tiếp cận vấn đề này thờng thì ngời ta có hai cách tiếp cận để xétcác trạng thái năng lợng của điện tử trong chất rắn đó là:

- Phép gần đúng điện tử gần tự do: Xem điều gì xảy ra khi điện tửchuyển từ trạng thái hoàn toàn tự do sang trạng thái nằm trong trờng thếnăng tuần hoàn do các ion của mạng tinh thể sinh ra

- Phép gần đúng điện tử liên kết chặt: Coi các điện tử liên kết chặtvới các nguyên tử và nghiên cứu sự thay đổi các trạng thái của các

điện tử này khi một số lợng lớn các nguyên tử kết hợp lại với nhau

để tạo thành vật rắn

1.1 Vùng năng lợng nh là hệ quả của tính tuần hoàn tịnh tiến

Nhờ sự sắp xếp một cách có trật tự có tính tuần hoàn của nguyên tử trongtinh thể không bị va chạm và tán xạ, sóng điện tử lúc này là sóng chạy, xácsuất tìm thấy điện tử trong mọi chỗ của mạng tinh thể là nh nhau Ta có ph-

ơng trình Schrodinger cho điện tử tự do dọc theo trục ox:

Trong đó: P =  k và klà vectơ sóng có hớng trùng với hớng lan truyềncủa sóng điện tử

Từ (1.2) ta có sự phụ thuộc của E vào K có dạng parabol (hình 1)

Ta thấy nghiệm của (1.1) có dạng sóng phẳng chạy dọc theo trục ox:

(x) = Aexp (i kxx) (1.3) Vì xác suất tìm thấy điện tử ở toạ độ x đều bằng nhau là

 = |(x)|2 = A2 (Hình 2)

Hình.1 Sự phụ thuộc của E( k)

Hình 2 Xác suất tìm thấy điện tử ở toạ độ x

Các kết quả trên sẽ khác khi chuyển động của điện tử thoả mãn điều kiệnphản xạ braag thì nó không đi qua mạng tinh thể đợc mà phản xạ ngợc trởlại Sóng điện từ lúc này là sóng dừng, điện tử khi đó không dịch chuyểntrong mạng tinh thể đợc và vị trí lúc đó là cố định Nh ta đã biết năng lợngcủa điện tử nằm trong tinh thể bằng tổng động năng và thế năng: E=W+U

Trong đó: W: Động năng (năng lợng chuyển động của điện tử)

U: Thế năng (do điện tử chuyển động trong điện trờng cótính tuần hoàn của các ion dơng tạo nên mạng tinh thể)

Với thế năng U của nó ta có nhận xét sau:

+ Mỗi ion dơng của mạng tinh thể tạo ra xung quanh mình một hố thếnăng (thế năng của điện tử trong điện trờng của các ion dơng là âm)

+ Do sự sắp xếp có trật tự của các điện tử trong mạng tinh thể nên các

hố thế năng này sắp xếp một cách tuần hoàn

Vì vậy: Khi điện tử bị phản xạ braag thì không chuyển động trong tinhthể đợc nên có hai vị trí tơng đơng nhau mà nó có thể nằm ở đó ở vị trí nút

mạng thế năng U1 của nó là âm nhất và năng lợng tổng cộng của điện tử là:

E1 = U1 + W1

ở vị trí giữa các nút mạng thế năng U2 của nó ít âm hơn và năng lợngtổng cộng của nó là E2 = U2 + W2

Kết qủa là trong phân bố các trạng thái của điện tử có tồn tại nhữngkhe năng lợng hay nói cách khác có thể xuất hiện những khoảng năng lợngxác định mà ở đó phơng trình (1.1) không có nghiệm Các khe năng lợng có

ý nghĩa quyết định tại sao chất rắn lại là kim loại, điện môi hay bán dẫn Nóitóm lại tính tuần hoàn tịnh tiến của cấu trúc tinh thể làm cho năng lợng của

điện tử chuyển động trong tinh thể có cấu trúc theo vùng (các vùng đợc phépxen kẽ với các vùng cấm) và lý do xuất hiện vùng năng lợng bị cấm là dophản xạ braag

1.2 Vùng năng lợng nh là hệ quả của sự tơng tác giữa các

nguyên tử với nhau

Theo lý thuyết lợng tử về cấu tạo nguyên tử, trong một nguyên tử riêngbiệt các điện tử chỉ có thể nằm trên các mức năng lợng gián đoạn nhất địnhnào đó và mỗi điện tử phải nằm trên một mức năng lợng khác nhau (nguyên

lý loại trừ Pauli), trong đó vị trí của chúng trên mỗi mức đợc xác định bằng 4

số lợng tử: n,l,m,s

Trên thực tế vị trí của mỗi mức chủ yếu do số lợng tử chính quyết định vàcác mức năng lợng ứng cùng một số lợng tử chính thì tạo thành một lớp, tấtcả các lớp có cùng một số giá trị l thì đợc sắp xếp gần nhau Khi các nguyên

tử tiến lại gần nhau đến khoảng cách cỡ 10-10m (A0) lúc này điện tử chuyển

động trong điện trờng mạnh do các nguyên tử lân cận gây ra (hiệu ứngStark ) Nên các mức năng lợng nguyên tử tách ra thành các vùng năng lợng( mỗi mức tách ra tạo thành một vùng ) Sự tách từ một mức năng lợngnguyên tử ra thành một vùng năng rộng hay hẹp (tính theo năng lợng) phụthuộc vào sự tơng tác giữa các điện tử thuộc các nguyên tử khác nhau vớinhau

- Các điện tử thuộc lớp ngoài cùng của nguyên tử nhất là các điện tử hoátrị tơng tác rất mạnh với nhau do đó vùng năng lợng này rộng

- Các điện tử thuộc các lớp càng sâu bên trong bao nhiêu thì càng t ơng tácyếu hơn với nhau bấy nhiêu và vùng năng lợng lúc này hẹp xen kẽ giữa các

vùng năng lợng đợc phép ở trên là vùng năng lợng cấm, nói chung không cócác điện tử có giá trị năng lợng nằm trong vùng cấm này Sự lấp đầy cácvùng năng lợng bởi các điện tử xảy ra nh sau:

- Các vùng năng lợng tơng ứng với các mức bên trong của nguyên tử (cónăng lợng thấp hơn) bao giờ cũng đợc lấp đầy trớc chỉ còn vùng ngoài cùng(vùng hoá trị) là cha đợc lấp đầy hoàn toàn Dựa trên cơ sở lấp đầy này ngời

ta phân loại các chất rắn thành kim loại, bán dẫn và điện môi

- Vùng hoá trị đã đợc các điện tử lấp đầy hoàn toàn và cách vùng dẫn bởivùng cấm có độ rộng Eg tơng đối nhỏ để sao cho về nguyên tắc các kíchthích nhiệt này có thể kích điện tử nhảy từ vùng hoá trị vợt qua vùng cấm lênvùng dẫn thì chất này gọi là chất bán dẫn

- Vùng hoá trị đã đợc các điện tử lấp đầy hoàn toàn và cách vùng dẫn bởivùng cấm lớn thì chất rắn là điện môi

- Vùng hoá trị đã đợc các điện tử lấp đầy hoàn toàn và không có vùngcấm thì chất rắn là kim loại

).

( )

Định lý hàm block: các hàm riêng của phơng trình sóng với thế năngtuần hoàn là hàm block có dạng là tích của hàm sóng phẳng exp(i k r) vớihàm U k (r) là một hàm tuần hoàn trong mạng tinh thể.

2.2 ý nghĩa.

Từ định nghĩa hàm block ta có nhận xét sau:

Nhận xét 1: Hàm sóng block là dạng chung của hàm sóng của điện tử

trong tinh thể ở gần đúng một điện tử nó là hệ quả trực tiếp của tính tuầnhoàn của tinh thể Do đó dùng phơng pháp gần đúng để giải bài toán một

điện tử (gần đúng điện tử tự do hay gần đúng liên kết mạnh hay gần đúngnào khác nữa) thì bao giờ lời giải của bài toán này cũng phải đều có dạnghàm block

Nhận xét 2: Ngời ta đã biết từ cơ học lợng tử, xác xuất có mặt của điện tử

ở một nơi nào đó trong tinh thể đợc xác định bởi một tích số r, r* Nhngmặt khác từ hàm block đã tìm ra (r) Có thể dễ dàng tính toán rằng:

) ( )

( ).

( r k r U k r U k r

ơng nhau trong tinh thể điều này có ý nghĩa là điện tử không định xứ tại mộtnút mạng cụ thể mà thuộc về toàn bộ tinh thể Nói một cách khác là điện tửkhông phải là tự do mà cũng không phải là liên kết nó nửa tự do - nửa liênkết

3 Khảo sát chuyển động của điện tử trong trờng tuần hoàn - mô hình điện tử liên kết yếu

Việc nghiên cứu tính chất của điện tử trong tinh thể là một trong nhữngnhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý chất rắn đó là vì điện tử là hạt có khối l -ợng bé, có mang điện tích, là hạt rất linh động tham gia vào nhiều hiện tợng,quy định nhiều tính chất của vật chất Đây là một vấn đề khó vì để mô tảchính xác các điện tử trong tinh thể cần phải xét về một hệ gồm nhiêù hạt t-

ơng tác với nhau: Điện tử, hạt nhân nguyên tử, số lợng các hạt này rất lớncùng bậc với số Avôgađrô Vì thế chúng ta cần đơn giản hoá các phép tínhtoán bằng cách sử dụng các phép gần đúng

Trong tinh thể vật rắn các nguyên tử cấu tạo nên tinh thể tơng tác vớinhau, điện tử trong từng nguyên tử của tinh thể chịu tác dụng của tơng tác

giữa các nguyên tử trong tinh thể Trong đó những điện tử ở lớp ngoài cùnglại chịu ảnh hởng ít hơn các điện tử ở lớp bên trong vì chúng liên kết yếu hơncả nên trong tinh thể các tính chất của chúng (nh sự phân bố trong khônggian) bị biến đổi rõ rệt so với nguyên tử cô lập Vì vậy khi nghiên cứu vật rắn

ta thờng giới hạn ở việc khảo sát tính chất của những điện tử hoá trị Theocách đó coi nh mạng tinh thể đợc cấu tạo từ các lõi nguyên tử (gồm hạt nhânnguyên tử và những lớp hạt nhân bên trong) mang điện dơng đặt ở nút mạng

và các điện tử hoá trị Đầu tiên ta giả thiết rằng các lõi nguyên tử đứng yên

đối với các nút mạng Với giả thiết này ta xét chuyển động của điện tử trongtrờng lực của các lõi nguyên tử đứng yên sắp xếp tuần hoàn trong tinh thể.Sau đó mới tiếp tục xét đến ảnh hởng của dao động mạng lên tính

chất của điện tử, vì thế bớc đơn giản hoá tiếp theo là sử dụng phép gần đúngmột điện tử Theo cách này ta giải thiết rằng có thể xét đến chuyển động củatừng điện tử hoá trị riêng rẽ trong một trờng thế V(r)tuần hoàn nào đókhông phụ thuộc vào bản thân điện tử mà ta đang xét Trờng này đợc gây bởitất cả các điện tử còn lại cùng tất cả các lõi nguyên tử trong tinh thể Đặc

điểm quan trọng nhất của trờng lực này là tính tuần hoàn của nó trong khônggian điều này đợc suy ra từ tính chất đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể.Hàm thế năng V(r) tuần hoàn với chu kỳ mạng:

V ( r + R ) = V( r) (1.8)

Trong đó: r: Vectơ vị trí , R : Vectơ mạng

Theo cơ học lợng tử mỗi thông tin về tính chất của hệ vật lý đợc baogồm trong phơng trình Schrodinger Đối với điện tử trong tinh thể, hàm sóngcủa nó là nghiệm của phơng trình Schrodinger có dạng:

) ( )

( ) ( 2

2 2

r E r r V m

(r): Là hàm sóng của điện tử , E: Năng lợng

- Để giải bài toán này ta cho rằng V(r) là tơng đối yếu nhờ thế mà cóthể dùng phơng pháp nhiễu loại để giải bài toán

* Giải (1.9) trong trờng hợp điện tử không bị phản xạ braag

+ Gần đúng bậc 0: V(r)= 0 => V (G) = 0

Trong trờng hợp này phơng trình (1.9) ở gần đúng bậc 0 có năng lợng

và hàm sóng của điện tử tự do có biểu thức:

E0 (k) =

2 22

k m

o (r) = exp (ikr) (1.11)

k m m k

G V G

( 2 2

) ( )

0

2 2

2 2



(1.12)

Dùng hàm sóng này ta có thể tính đợc năng lợng ở gần đúng bậc 2 và cứthế tiếp tục mãi, nghĩa là:

Năng lợng bậc 0 => hàm sóng bậc 1

Năng lợng bậc 1 => hàm sóng bậc 2

* Giải (1.9) trong trờng hợp điện tử bị phản xạ braag

Nghĩa là coi V(r) là một nhiễu loạn Hàm V(r) chỉ phụ thuộc vào r vìvậy toán tử p= iˆ sẽ không giao hoán với toán tử Haminton, nghĩa là

pˆ ,Hˆ 0 Nh vậy xung lợng của điện tử không đợc bảo toàn, trạng thái của

điện tử không đợc biểu diễn dới dạng hàm sóng phẳng

k (r) = A.exp(i kr) Mà hàm sóng của điện tử trong tinh thể là

chồng chất của nhiều sóng phẳng ứng với vecto sóng k khác nhau Do k

biến thiên liên tục nên ta có thể biểu diễn:

k (r) và tích phân đợc thực hiện trong khoảng không gian k

Điều kiện tuần hoàn (1.8) của thế năng V(r) quyết định các tính chấtcủa hàm sóng và phổ năng lợng của điện tử Thế năng V(r) tuần hoàn trongkhông gian mạng thuận nên ta có thể phân tích nó thành chuỗi fourie.





G G

r G i V

r V





) exp(

) ( ( 1.14)

G i V

G G

k d r k i k

C E k d r k i k

C r G i V

d r k i k

) ( 2

) exp(

) ( 2

2 2 2

C r G i V

k d r k i k

) ( ) exp(

) exp(

) (

exp ) ( )

( exp ) (

Với  (k k1) là hàm đenta đi rắc ứng với đối số vectơ k 1

( )

d k d r k k i k

C k

) ( 8

2 )

( exp ) (

2 3 2 1

2 2

2

k C k m







 ) (

8 3

(1.24)

) ( 8 )

( exp )

k k i k

) ( ) 2

C E m

2 2

C E m

độc lập) có dạng giống hệt nhau, mỗi phơng trình liên kết một hệ số khai

triển fourie c( k) với một số vô tận các hệ số Fourie C( k - G ) khác

(1.27) cho ta xác định hệ số C( k), hàm sóng  r đợc biểu diễn

trong hệ toạ độ Đêcác thông thờng Nếu biết đợc tất cả các hệ số C( k) ta cóthể xác định đợc hàm sóng  r Nghĩa là biết đợc trạng thái của điện tửtrong tinh thể

(1.27) Là phơng trình đại số mà việc sử dụng nó đơn giản hơn nhiều.

Nhng để tìm ra C( k) trong trờng hợp chung của bài toán là việc khó khăn,

do đó ta tìm lời giải ở gần đúng bậc 0 cho  r

Ta viết lại (1.27) dới dạng:

m

k E

G k C V k

2

) (

- Điện tử chuyển động với một véctơ sóng k 1

nào đó đảm bảo cho năng ợng của nó gần bằng năng lợng của điện tử chuyển động tự do cũng vớivectơ sóng k 1

l-

m

k k

E

2 ) (

2 1 2 1

G k G k m

G k

2 2

) 2

( 2

)

1 2 2 1

2 1 2 2 1

Nh vậy ta có thể nói rằng trong gần đúng một điện tử, nếu tìm lời giải

về hàm sóng  r của điện tử chuyển động trong mạng tinh thể dới dạng

khai triển fourie theo tất cả các giá trị có thể có của k thì ở gần đúng bậc 0

- Trong gần đúng tất cả các giá trị có thể của k chỉ cần xét một k1,

mà ở đó điện tử chuyển động gần tự do nếu k1 không bị phản xạ braag bởimạng tinh thể Tức là chỉ cần chọn:   r = C(k1)exp (i k r)(1.29)

Trong điều kiện để xác định k1 là: E (k1) =

2 2 12

k m

 (1.30)

Chỉ cần xét vectơ sóng k1 mà ở đó điện tử chuyển động gần tự do vàvecto sóng phản xạ k1 k1 G nếu k1 bị mạng tinh thể phản xạ braag thôngqua vectơ mạng đảo G 1

k m

( (

[ )

1C k  E k  E k C k 

(1.35)

Hệ phơng trình (1.34) và (1.35) chỉ có lời giải khác 0 nếu định thức của nó =

0 nghĩa là

0 ) ( ) (

) ( ) (

1 1

*

* 1

V k

E k

( (

)].[

( ) (

( ).

( ) ( )].

( ) (

[

)

1 1

1 1

2 1 1 1

1 1 1

2

1 ) (

) ( 2

1 )

tơng ứng với một giá trị của k 1

, hai giá trị này cách nhau một khoảng là :

Từ đây ta suy ra rằng giá trị của k 1

đáp ứng điều kiện phản xạ braagthì lúc đó xuất hiện vùng năng lợng cấm với độ rộng: E(k1)  2V(G) Bâygiờ ta thay giá trị (1.39) vào (1.35) ta sẽ tìm đợc: C(k1)  C(k1 )

Và theo (1.31) tìm đợc hàm sóng trong trờng hợp điện tử bị phản xạ braag códạng sau:  (r) C(k1)exp(i k1r)  expi(k1  G1)r (1.40)

Từ kết quả thu đợc nh trên ta có nhận xét sơ đồ vùng năng lợng

3.1 Tính tuần hoàn của vùng năng lợng

Ta xét năng lợng E là một hàm của k, E = E( k) Khi đó nếu xét k

theo các hớng khác nhau thì k tăng từ 0 ->  Ta thấy mỗi lần k đạt đếnbiên vùng brilluon thì hàm E(k) lại một lần bị gián đoạn Nh vậy ta thấy

vùng năng lợng có cấu trúc tuần hoàn trong không gian k

- Các giá trị k nằm trong một vùng brilluon ứng với giá trị của hàm E nằmtrong vùng đợc phép

- Các giá trị k nằm ở biên vùng brilluon tơng ứng với các giá trị của hàm Enằm trong vùng năng lợng cấm

Nh ta đã biết tập hợp tất cả các vectơ sóng k nằm trong vùng brilluon

thứ I (Với các điểm đầu k nằm ở tâm vùng brilluon) là đủ đại diện cho toàn

thể k có giá trị độc lập Do đó xét bức tranh E=E( k) với k nằm trongvùng brilluon thứ nhất ta đợc sơ đồ vùng rút gọn

* Sơ đồ dùng năng lợng tuần hoàn:

Một vùng năng lợng nào đó lặp đi lặp lại tuần hoàn trong tất cả cácvùng brilluon thứ I, thứ II , nghĩa là trong toàn bộ không gian đảo, đợc biểdiễn ở hình 3

Hình 3 Sơ đồ cấu trúc vùng năng lợng

3.3 Sự phụ thuộc vào hớng của bức tranh vùng năng lợng

Nếu xét điện tử chuyển động theo các hớng khác nhau trong tinh thể thì tathấy bức tranh vùng năng lợng là một bức tranh phụ thuộc mạnh vào hớng

Nếu xét một hớng k nhất định nào đó, khi k đạt giá trị đủ lớn để sao cho

sự chồng lẫn lên nhau (sự phủ) của các vùng năng lợng Chẳng hạn: Xéttrong sơ đồ vùng năng lợng khai triển thì ở mỗi điểm trên biên vùng brilluonnăng lợng ở vùng ngoài luôn luôn lớn hơn năng lợng ở vùng trong Tuy nhiênnếu xét trong trờng hợp hai chiều, ba chiều có thể xảy ra trên

(hình 4) Năng lợng thấp nhất ở vùng ngoài theo hớng k 1

thấp hơn mứcnăng lợng cao nhất ở vùng trong theo hớng k 2

Nh vậy xét chung cho tinhthể thì giữa vùng đợc phép ở dới và vùng đợc phép ở trên thì không có vùng

0 KE

cấm ngăn cách Bởi vì các vùng đợc phép theo các hớng khác nhau của klàphủ lên nhau

Hình 4 Sơ đồ vùng năng lợng xét trong trờng hợp 2 chiều, 3 chiều.

3.4 Mỗi liên hệ giữa độ rộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc.

Khi điện tử chuyển động theo một hớng [hkl] nào đó trong tinh thể thì nếu

họ mặt phẳng (hkl) vuông góc với bhkl phản xạ braag các tia X mạnh baonhiêu thì vùng cấm rộng bấy nhiêu Từ đây ta thấy rõ mỗi liên hệ giữa độrộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc Fhkl trong tinh thể có nền lớn hơn 1:Nếu theo hớng [hkl] nào đó thì Fhkl = 0 thì tại đó độ rộng vùng cấm bằngkhông Nghĩa là ta không quan sát đợc hình ảnh nhiễu xạ Hay nói cách khác

họ mặt phẳng này cũng không làm nhiễu loạn chuyển động gần nh tự do của

điện tử trong tinh thể

Ví dụ: Trong tinh thể Si hoặc Ge (có cấu trúc thuộc loại kim cơng) ta có:

Đây là cấu trúc gồm 2 mạng FCC (đợc cấu tạo từ các nguyên tử giống hệtnhau) lồng vào nhau, lệch đi 1/4 đờng chéo không gian của ô nguyên tử lậpphơng

- Nền của cấu trúc này gồm có 8 nguyên tử cùng loại nằm ở toạ độ:

Vậy trong tinh thể Si và Ge tại các hớng [100]; [110]; [200]; [211];[221] Nghĩa là cấu trúc nền tinh thể làm mất phản xạ braag do đó độ rộngvùng cấm = 0.

4 Mô hình điện tử liên kết yếu

Trong phép gần đúng điện tử gần tự do, hàm sóng đợc chọn là hàm sóngcủa điện tử tự do, sau đó bổ chính cho nó bằng cách coi trờng tinh thể tuầnhoàn V(r) mà điện tử là nhiễu loạn nhỏ tác động lên chuyển động tự docủa điện tử Ngoài ra dùng thủ thuật để giải toán tại biên vùng brilluon khi

mà nhiễu loạn trên đây không thể coi là nhỏ đợc nữa

Nh vậy gần đúng điện tử gần tự do chỉ áp dụng đợc khi động năng của

điện tử lớn hơn nhiều so với sự biến thiên trong không gian của thế năng V

)

(r Nhng bình thờng thì điện tử trong tinh thể chỉ có động năng cùng bậc

sự biến thiên trong không gian của thế năng V(r), do đó ta không thể ápdụng gần đúng điện tử liên kết yếu

Vì vậy bây giờ ta phải tiếp cận vấn đề từ một hớng khác: Chọn hàm sóngban đầu là hàm sóng riêng của điện tử nằm trong các nguyên tử riêng biệtnếu ta đa các nguyên tử này tiến lại gần nhau để tạo thành tinh thể thì cácnguyên tử cũng chỉ tơng tác yếu với nhau và do đó các điện tử cũng liên kếtchặt với các nguyên tử mẹ của chúng làm cho hàm sóng nguyên tử bị thay

đổi chút ít (tức là bị nhiễu loạn nhỏ) Sự xích lại gần nhau giữa các nguyên

tử để tạo thành tinh thể sẽ xảy ra hiện tợng chồng lấn của các hàm sóng Tức

là làm cho chúng không còn trực giao nữa do đó đièu kiện tơng tác yếu giữa các nguyên tử có ý nghĩa là các hàm sóng của các đIện tử trong phép gần

đúng liên kết mạnh gần nh trực giao Với cách đặt vấn đề nh trên hiển nhiên

ta thấy là gần đúng liên kết chặt sẽ càng đúng nếu nh điện tử nằm sâu trong

nguyên tử Bây giờ ta sử dụng phép gần đúng liên kết chặt để minh hoạ cáctrạng thái năng lợng của các điện tử trong tinh thể.

Giả sử một trạng thái nào đó của điện tử trong nguyên tử riêng biệt

đ-ợc mô tả bởi hàm sóng 0(r) hàm sóng này thoả mãn phơng trình

Schrodinger:

2 2

n

R

là toạ độ nguyên tử mẹ của điện tử này

Trong tinh thể lý tởng tất cả N nút mạng của tinh thể là hoàn toàn tơng

đơng nhau thì các hàm sóng của điện tử với năng lợng E0 là suy biến N lần(nếu không tính đến Spin) Nếu ta xét đến sự tơng tác giữa các nguyên

tử với nhau thì các hàm sóng của điện tử phủ lên nhau khi này mức năng ợng E0 sẽ tách thành vùng năng lợng và sự suy biến sẽ biến mất

l-Hàm sóng của điện tử lúc này là tổ hợp tuyến tính của các sóng

nguyên tử:  (r) = n 0( n)

   

(1.42)

Trong đó tổng n là lấy theo toàn bộ N nguyên tử của tinh thể Nếu đòihỏi (r) nh là hàm của sóng điện tử chuyển động trong tinh thể tuần hoàn,phải có dạng của hàm Bloch thì sẽ tính đợc Cn có dạng

) (

exp ) (

) exp(

) (

) exp(

)

n j

) exp(

) exp(

) (

) (

exp )

m

m j

n j n

j n

rồi lấy tích phân theo toàn thể

) là thế năng của nguyên tử

V' ( r-R n

) là phần hiệu đínhKhi đó:

Do công thức (1.46) mẫu số =1 Chính điều này làm cho bài toán đơn giản

đi nhiều Để dễ dàng cho việc tính toán ta có thể tách tích phân ở tử số thành

2 thành phần tơng ứng với Rn =0 và Rn 0

+ Với Rn = 0, ta có: 0(r)V (r) 0(r)d  C  0 (1.47)+ Với Rn 0, ta có:  0(r  R m)V(r  R n) 0(r  R n)d   n

n ) - Từ (1.49) ta thấy độ rộng vùng năng lợng đợc phép tỷ lệ thuận với giá trị i lợng n Tức là chủ yếu đợc quyết định bởi sự chồng lẫn hàm sónggiữa các nguyên tử nằm cạnh nhau, do đó:

+ Đối với các điện tử hoá trị, sự chồng lẫn của các hàm sóng quá lớn làmcho độ rộng của vùng năng lợng lên đến vài eV, nghĩa là cùng bậc và có thểlớn hơn cả khoảng cách giữa hai mức năng lợng nguyên tử, vì thế không thể

áp dụng gần đúng liên kết chặt

+ Đối với các điện tử nằm trên các lớp điện tử bên trong thì độ rộng củavùng năng lợng quá nhỏ khi đó phép gần đúng này có thể áp dụng đợc Giữacác vùng năng lợng đợc phép là vùng cấm Năng lợng càng cao thì vùng đợcphép càng hẹp Về độ rộng vùng cấm thì ta có bức tranh ngợc lại, nghĩa lànăng lợng càng cao thì vùng cấm càng hẹp, năng lợng càng thấp thì vùngcấm càng rộng

b Tính tuần hoàn trong không gian mạng đảo

Với công thức (1.49) ta có: E ( k+ G

) = E ( ) k Trong đó G là một vectơ bất kỳ của màng đảo Nh vậy năng lợng mỗimột vùng đợc phép là một hàm tuần hoàn trong không gian bằng đảo Nếuquy định gốc toạ độ để tính năng lợng E sao cho E0 - C=0 thì ta có:

V ( )r trong không gian mạng thuận đã làm cho năng lợng E có tính tuầnhoàn trong không gian mạng đảo Ta có sơ đồ là:

4.2 Ví dụ minh hoạ

Nếu n  0 đối với các nút mạng lân cận gần nhất n0=n, quy định gốc tínhnăng lợng E sao cho E0-C=0, khi đó:

E ( )k = no xp( no)

   nếu 0(r) là hàm sóng của điện tử , khi

đó no chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ nút mạng đang xét đến nút mạnglân cận gần nhất Có nghĩa là: no =  cho tất cả các nút mạng này:

E (k)= xp( no)

no e ik R



   + Mạng lập phơng đơn (PC) :

- Mỗi một nút mạng có 6 nút lân cận gần nhất Nếu lấy một nút mạngnào đó làm gốc toạ độ thì các nút mạnglân cận gần nhất có toạ độ :

  2  (cosak x  cosak y  cosak z)

+ Khi kx = ky = kz = 0 (t¹i t©m vïng brilluon): E(0) = -6  =Emin

+ Khi kx = ky = kz =  /2 (t¹i biªn vïng brilluon):E (/2) = +6  =Emax