Dãy farey và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

Nhiều nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đã có những câu nói bất hủ về vai trò của số học trong toán học và khoa học xem [10, 11]: Gauss: Toán học là Vua của các khoa học, Số học là Nữ h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHÚC THỊ KIM LOAN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN, 2011

MỞ ĐẦU

Số học là khoa học về số Từ “Số học” (Arithmetic) xuất phát từtiếng Hy lạp “Aritmos” có nghĩa là số Trong số học người ta nghiên cứunhững tính chất đơn giản của số và những quy tắc tính toán

Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học vàcũng là những lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, những giả thuyếtchưa có câu trả lời Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết

đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn của toán học đã nẩy sinh (xem[4])

Nhiều nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đã có những câu nói bất hủ

về vai trò của số học trong toán học và khoa học (xem [10, 11]):

Gauss: Toán học là Vua của các khoa học, Số học là Nữ hoàng của

Toán học (Mathematics is the Queen of all Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics).

Jacobi: Thượng đế là số học (God is an arithmetician).

Kronecker: Thượng đế đã sáng tạo ra số tự nhiên và phần còn lại là

công việc của chúng ta (God created the natural number, and all the rest is the work of man)

Nếu như trước đây, số học vẫn được xem là một trong những ngành

lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của

số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin,mật mã, kỹ thuật máy tính Trong số học có những con số đặc biệt màngười ta thường gọi là những con số vàng của toán học Ngoài những tínhchất đẹp đẽ diệu kỳ của nó, những con số này còn có những ứng dụng bấtngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác

Việc tìm hiểu những con số vàng của toán học (chẳng hạn số e và số

 ) là hết sức cần thiết và có ý nghĩa Chúng ta thử hình dung rằng, nếu

trong toán học thiếu vắng các số e và  thì tình hình toán học sẽ phát triển

như thế nào?

Với lý do trên, chúng tôi trình bày các nội dung luận văn này trên cơ

sở tham khảo các tài liệu số học có liên quan đã công bố hoặc xuất bảntrong thời gian gần đây

Trước hết, chúng tôi tập trung giới thiệu về các tính chất của các số

vô tỉ và lịch sử hình thành cũng như các tính chất đặc biệt của các số e và

 Luận văn đã trình bày chi tiết các chứng minh: Số e là số vô tỉ; Số  là

số vô tỉ; chỉ ra các ứng dụng của các số e và  trong toán học và trong các

ngành kỹ thuật khác có sử dụng công cụ toán học

Ngoài ra, chương 2 còn giới thiệu định nghĩa và một số tính chất củadãy Farey và các ứng dụng của chúng trong số học Chương này còn giớithiệu một số kết quả của lý thuyết xấp xỉ vô tỉ bởi các phân số hữu tỉ, mộtnội dung có nhiều ứng dụng trong tính toán

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quangngười thầy giáo đã quan tâm đặt vấn đề nghiên cứu và tận tình chỉ dẫn, đểtác giả hoàn thành bản luận văn này

Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TSNgô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan đã độngviên, cổ vũ và có những góp ý quý báu giúp tác giả

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Bộ môn Đại số, Khoa Toán và KhoaĐào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả hoàn thànhnhiệm vụ học tập

Do nhiều nguyên nhân, luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Tác giảmong nhận được sự chỉ bảo của các quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp

TÁC GIẢ

CHƯƠNG 1

SỐ VÔ TỈ 1.1 Khái niệm và các tính chất của số vô tỉ

Số vô tỉ là các số thực không biểu thị được dưới dạng a

b với a và b là

các số nguyên và b 0 (phân số)

Chúng ta xuất phát bằng một định lý rất đơn giản về số vô tỉ, mà gầnnhư ai cũng biết, bởi định lý này có một nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắnliền với tên tuổi của nhà toán học Hy-lạp nổi tiếng: Pithagoras, người đầutiên phát hiện ra 2 là số vô tỉ Sự kiện này được đánh giá như là mộttrong những phát minh vĩ đại nhất của nhân loại, tương đương với tầm cỡnhư phát minh ra hình học phi Euclid Nhờ phát minh này mà phát hiệnđược rằng độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh đơn vị, là không thể

đo được bằng phân số [10]

Nếu b = 1 thì a n = m nào đó, mâu thuẫn với giả thiết của định lý, cho

nên b 2 Giả sử b lớn hơn 1, khi đó tồn tại một nguyên tố p nào đó là ước của b Do đó, từ (2) p là ước của a n hay p là ước của a Như vậy p là ước

của cả a và b, nhưng điều này là không thể được vì a và b nguyên tố cùng

nhau Bởi vậy, định lý trên được chứng minh ■

1.1.3 Định lý Giả sử ( ) n 1 n 1

n

f x x a x  a

   là đa thức đơn hệ với hệ

số nguyên Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình f x ( ) 0 hoặc là số

nguyên hoặc là số vô tỉ.

Chứng minh Giả sử định lý trên không đúng Khi đó, tồn tại một phân số

hữu tỉ tối giản a

b với b > 1 là nghiệm của phương trình f x ( ) 0



 

 

  + … +a = 0 hay n a n+a1a n 1b + … +a n b n = 0 hay a n = - (a1a n 1b + a2 a n 2b++ a n b n 1 )b.

Như vậy b là ước của a n Vậy mọi ước nguyên tố p của b đều là ước của

n

a Do đó p là ước của a và b Điều này trái với giả thiết a

b là phân số tối

giản Bởi vậy định lý trên là đúng ■

1.1.4 Hệ quả Nếu m1n không phải là số nguyên thì nó là số vô tỉ.

Chứng minh Số m1n là nghiệm của phương trình x m  m0.

Như vậy, theo định lý trên m sẽ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.1n

Nhưng chúng ta đã nói rằng nó không phải là số nguyên.Vậy từ đó ta có

Hằng số toán học e là cơ số của logarit tự nhiên Nó còn được gọi là

số Euler, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số Napier để ghi công nhà toán học Scotland John Napier người đã phát minh

ra logarit Số e là một trong những số quan trọng nhất trong toán học Nó

có một số định nghĩa tương đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dướiđây

Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618trong bảng phụ lục của một công trình về logarit của John Napier Thế

nhưng, công trình này không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e Có thể là bảng này được soạn bởi William Oughtred Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e

được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức:

1lim 1

b, là trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens

giữa 1690 và 1691 Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn

Mechanica của Euler (1736) Trong những năm sau đó một số nhà nghiên

cứu sử dụng chữ cái c, e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu

a, chữ cái mà ông đã sử dụng cho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử

dụng nguyên âm thì vẫn chưa rõ (xem [8])

1.2.2 Một số định nghĩa khác tương đương của số e

1 Số e là số thực dương duy nhất mà đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính

n x

1

2

11

11

1.2.4 Số chữ số thập phân đã biết của số e

Số chữ số thập phân đã biết của số e

1949 2.010 John von Neumann (trên ENIAC)

1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench

1981 116.000 Stephen Gary Wozniak (trên Apple II)

1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell

1.2.5 Giới thiệu về Pi

Số Pi là một hằng số trong toán học có giá trị bằng chu vi đường tròn

chia cho đường kính của đường tròn đó Nó hay được viết ký hiệu bằng chữ

Hy Lạp π Tên pi do chữ peripheria (perijeria) có nghĩa là chu vi của

đường tròn Trong thực tế, để tính toán, người ta thường dùng giá trị gần

đúng là 3,14 hoặc 3,1416 Trong những lĩnh vực cần độ chính xác cao hơn,

như trong hàng không vũ trụ, pi được dùng không quá 10 chữ số thập phân

Ngoài ra, góc đo 180° bằng π rad

Giải tích Nhiều công thức giải tích chứa π bao gồm các biểu thức chuỗi

vô hạn (và tích vô hạn), tích phân, và cái gọi là các hàm đặc biệt

 François Viète, vào năm 1593 đã chứng minh:

3 ! ! 640320

k

k k

4 11

43

9

7

259

3611

Lý thuyết số Các kết quả sau đây trong lý thuyết số:

- Xác suất để hai số nguyên được chọn ngẫu nhiên nguyên tố cùng nhau là

163 6403203 743,99999999999925007

e

có thể được giải thích bởi lí thuyết phép nhân số phức

Các hệ thống động học và lý thuyết ergo Xét công thức truy hồi

Vật lý Số π xuất hiện trong các phương trình mô tả các nguyên lý nền tảng

của vũ trụ, một phần không nhỏ do mối quan hệ tự nhiên của nó với hình tròn và tương ứng là các hệ tọa độ cầu.

 Hằng số vũ trụ:

2

83

G c

qF=

4

q r

 Hàm mật độ xác suất (pdf, viết tắt từ chữ probability density

function) trên phân phối chuẩn với giá trị trung bình μ và độ lệch

 

 2

11

12! +

13! + …+

1

!

b +

1(b 1)! +…

Vì vậy ( ) !a b

b = 1 +

11! +

12! +

13! + …+

1

!

b +

1(b 1)! +

!( 2)!

Ta có: 1

(b 1)! +

1(b1)(b2) + 1

(b1)(b2)(b3) + …

1(b1) ( b2) ( b2) ( b3) ( b3)(b1)  .

Nhưng điều này không thể được, do bởi a(b - 1)! là một số nguyên Mâuthuẫn này kết thúc chứng minh Định lý ■

Để chứng minh tính vô tỉ của e k và  chúng ta cần quan tâm tới một

(-n) ; fn 2 (0) = ( 1)

2

n n  ( 2)!

!

n n

1.3.4 Định lý Nếu k là một số nguyên dương Khi đó e k là số vô tỉ.

Chứng minh Giả sử Định lý là sai Khi đó, e k=a

b với a,b là số nguyên

n

.Lấy tích phân từng phân, chúng ta thu được:

e

k f’’(x) - …+ 2 1

kx n

n r

k k

 1 0

 0 khi n 

Do đó I < 1 với giá trị đủ lớn của n và điều này trái với I là số nguyên như

đã khẳng định ở trên Vì vậy, ta suy ra e k là số vô tỉ ■

Mọi số hạng trong biểu diễn này chứa sin x là bằng không bởi vì

 bởi vì 2

n  0 khi n  Do đó I < 1 với mọi giá trị đủ lớn của n và

điều này là mâu thuẫn với I là số nguyên với mọi n như đã khẳng định ở

1.3.7 Định lý Giả sử a > 1 và b > 1 là các số nguyên dương, nguyên tố

cùng nhau, thế thì logb a và loga b là các số vô tỉ.

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng log b a s

t

 với số nguyên dương s và t.

Từ đó suy ra: a = b hoặc s t a t =b s. Nhưng điều này không thể được, bởi vì

các số a và b không có ước nguyên tố chung Bởi vậy log b a là số vô tỉ.

Một cách tương tự chúng ta chứng minh rằng loga b là số vô tỉ ■

CHƯƠNG 2 DÃY FAREY

 > 1 với k nguyên dương.

Điều này được suy ra trực tiếp từ định lý trên nên ta thay thế 1 bởi k

k ■

d là các phân số tối giản tăng theo thứ tự.

Chứng minh (i) Từ Mệnh đề 2.1.1, trung bình a c

d đều có mẫu số > b + d Do đó (i) được chứng minh suy ra.

(ii) Từ phương trình (1) và (2) cho ta: Chuỗi a

Ta có ad - bc = 1 Do đó, nếu ước số k > 1 chia hết cả hai số a và b, thì

phải chia hết ad - bc = 1 nhưng điều đó không thể được Vậy, ta suy ra a

b

là phân số tối giản Một cách tương tự chúng ta cũng có c

d là một phân sốtối giản

Hơn nữa a(b + d) - b(a + c) = - 1 Bởi vậy (a + c) và (b + d) không có ước

số chung lớn hơn 1 Vậy a c

b d



 là phân số tối giản ■

Bây giờ chúng ta định nghĩa dãy Farey.

2.1.6 Định nghĩa Giả sử n là một số nguyên dương cho trước Khi đó,

dãy Farey cấp n được định nghĩa như sau:

(i) 0

1 là số hạng đầu tiên và 1

1 là số hạng cuối cùng của dãy

(ii) Các số hạng trung gian là tất cả phân số tối giản nằm giữa 0

1 và 1

sắp xếp theo thứ tự tăng dần, với mẫu số không vượt quá n Dãy Farey bậc

n được ký hiệu bởi f Mục đích sự tham khảo của chúng ta phát biểu ở n

dưới là dãy Farey

Nếu b + d n thì phân số a c

b d



 hoặc dạng rút gọn của nó nhất thiết phải

xuất hiện trong f giữa n a

b và c

d là hai số hạngliên tiếp của f khi đó ad - bc = - 1 Do đó, theo Định lý 2.1.5 tồn tại một k

phân số tối giản mà cụ thể là a c

d là ba số hạng liên tiếp của f k1

Ngoài ra: a(b + d) - b(a + c) = ad - bc = -1.

(a + c)d - (b + d)c = ad – bc = - 1.

Điều này suy ra rằng định lý đúng với n = k + 1 Vậy cả hai trường hợp (i)

và (ii) ở trên của định lý đã chứng minh đúng với n = k + 1 Do đó, theo phương pháp quy nạp định lý đúng với tất cả các giá trị n ■

Ví dụ: Tìm số hạng liên tiếp của 28

Lúc này chúng ta xác định giá trị nào của t, h

k là số hạng liên tiếp của28

Mặt khác k 3451 nên 3412 < k < 3451 Nhưng k = -7 + 39t Bởi vậy 3419

< 39t  3458 Khi t = 88 thay vào (1) ở trên chúng ta có: h

k = 3459

3425.

2.2 Xấp xỉ vô tỉ

Trong suốt mục chúng ta giả sử rằng

(i) Số được biểu diển theo chữ cái a, b, c, …z là số nguyên dương

(ii)  là số vô tỉ với 0 <  < 1, cho  là số vô tỉ và cho x

Trong trường hợp thứ hai chứng minh một cách tương tự c

Bởi vậy định lý được thiết lập ■

Ví dụ 1: Cho n = 78, khi đó  = 7 2  = 0,6457513…nằm giữa hai số

Ta chú ý đến n + 1 số 0,  - []; 2 - [2 ];…; (n + 1)- [(n + 1) ] (2)

Tất cả những số này hiển nhiên thuộc [0,1], chúng ta chia thành n + 1

khoảng con, độ dài mỗi khoảng là 1

1

n 

1

0,1

Lúc này (2) có một vị trí riêng trong (3) chúng ta biết số không nằm bên

trái tận cùng khoảng con (0; 1

(ii) Khoảng con thứ nhất chứa một hoặc nhiều số hơn

Trong trường hợp một khoảng con (3) chứa hai hoặc nhiều hơn (2)

Cho khoảng con này chứa q1 - [q1] số và q2 - [q2 ] của q và1 q như2

Hơn nữa lúc này rút gọn vào (1) chúng ta đặt q -1 q2= y và [q2] -[q1] = x.

Vậy định lý được chứng minh ■

Chú ý rằng như định lý ở trên không cần tối giản

2.2.3 Định lý Giả sử tồn tại một cách vô hạn phân số tối giản x

liên tiếp a

b và c

d của f k Theo Định lý 2.2.1 ta có hoặc a

b hoặc c

d thoả mãn bất đẳng thức

y ;…;

k k

  > 1

m; với i = 1, 2,3…k.

Vậy có sự mâu thuẫn Bởi vậy các phân số thoả mãn (1) là vô hạn ■

2.2.4 Định lý Cho  nằm giữa hai số hạng liên tiếp a

Trong trường hợp thứ nhất ở đây không cần phải chứng minh

Trong trường hợp thứ hai chúng ta có: a

Ví dụ Cho  = 2 - 1 = 0,414213… nếu rõ ràng  nằm giữa hai số hạng

KẾT LUẬN

Luận văn đã hoàn thành được các nội dung sau:

- Giới thiệu về các tính chất của các số vô tỉ; lịch sử hình thành cũngnhư các tính chất đặc biệt của các con số vàng của toán học (các số e và )

- Trình bày chi tiết các chứng minh: Số e là số vô tỉ; Số  là số vô tỉ

- Chỉ ra các ứng dụng của các số e và  trong toán học và trong cácngành kỹ thuật khác có ứng dụng công cụ toán học

- Giới thiệu định nghĩa và một số tính chất của dãy Farey và các ứngdụng của dãy Farey trong số học

- Giới thiệu một số kết quả của lý thuyết xấp xỉ vô tỉ bởi các phân sốhữu tỉ, một nội dung có nhiều ứng dụng trong tính toán thực tiễn

Tìm tòi các ứng dụng khác của số vô tỉ và dãy Farey là những vấn đề

có thể tiếp tục tìm hiểu sâu hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, Lập trình và Giảng dạy Toán học trên

Maple, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.

[2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán

trung học, Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học

Quốc gia Hà Nội

[5] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hiện đại, Trường Đại học Vinh.

[6] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường và ứng dụng, Nhà xuất bản

Đại học Quốc Gia Hà Nội

[9] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill

Company Limited, New Delhi

[10] M B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer [11] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited,

New Delhi