mở đầuKhi nghiên cứu thế giới vi mô, một lĩnh vực mới của vật lý hiện đại ra đời đó là cơ học lợng tử phơng trình cơ bản của cơ học sóng – cơ học lợng tử nghiên cứu theo quan điểm của Sc
Trang 1trờng đại học vinh
KHoa Vật lý
-nghiên cứu phơng trình dirac
và phổ nguyên tử
KHoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết
Ngời hớng dẫn : TS Vũ Ngọc Sáu Sinh viên thực hiện :Nguyễn Thị Hà
Lớp : 41E1 - Vật lý
Vinh, 5/2005
Trang 2Lời cảm Ơn
Để hoàn thành khoá luận này, ngoài sự nổ lực, cố gắng của bản thân em còn đợc sự giúp đỡ của ban chủ nhiệm khoa Vật Lý Tr-ờng Đại Học Vinh Sự động viên giúp đỡ của thầy cô trong tổ bộ môn Vật Lý lý thuyết.
Đặc biệt là thầy giáo – TS Vũ Ngọc Sáu, đã trực tiếp giao đề tài và hớng dẫn chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian thực hiên khoá luận, cũng nh sự giúp đỡ từ phía gia đình và bạn bè gần xa.
Em xin chân thành cảm ơn những sự động viên, sự giúp đỡ và chỉ bảo quý báu ấy.
Sinh viên
Nguyễn Thị Hà
Trang 3Phần I mở đầu
Khi nghiên cứu thế giới vi mô, một lĩnh vực mới của vật lý hiện đại ra đời
đó là cơ học lợng tử phơng trình cơ bản của cơ học sóng – cơ học lợng tử nghiên cứu theo quan điểm của Schrodinger là phơng trình Schrodinger, phơng trình Schrodinger hay rộng hơn cơ học sóng đã mang đến những kết quả nghiên cứu có tính khoa học, chính xác cao phù hợp với thực nghiệm về các hiện tợng lợng tử, giải thích các cấu trúc phổ nguyên tử và hạt nhân và trở thành cơ sở của mọi hớng nghiên cứu cấu trúc vi mô của vật chất nh lý thuyết hạt cơ bản, chất rắn bán dẫn, các quá trình phát xạ của hệ nguyên tử…
Ngoài ra cơ học lợng tử phi tơng đối tính chỉ giải thích các hiện tợng gắn với vận tốc của hạt chuyển động nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng Đó là một hạn chế cơ bản khi nghiên cứu chuyển động của các hạt vi mô Trong các máy gia tốc hiện đại vận tốc của các hạt nặng rất gần với vận tốc ánh sáng hoặc các quá trình bức xạ khác thì cơ học lợng tử phi tơng đối tính không còn ứng dụng đợc để nghiên cứu chuyển động của các hạt Mặt khác hạn chế nữa của phơng trình Schrodinger phi tơng đối tính là không bao hàm đợc các tính chất spin của hạt vi mô một đại lợng liên quan đến hầu hết cấu trúc của phổ nguyên
tử Để khác phục đợc khó khăn trên ngời ta xây dụng các phơng tình của cơ học lợng tử tơng đối tính Những dấu hiệu thành công mang đến là: các thành phần của hàm sóng biến đổi thành lẫn nhau, ngời ta đã phát minh ra đợc phản hạt của electron, các hiệu ứng có sự tách các vạch quang phổ trong từ trờng và trong
điện trờng và giải quyết mâu thuẫn về mật độ năng lợng âm Với vị trí quan trọng đó của cơ học lợng tử tơng đối tính Luận văn này đặt mục đích xem xét một cách đầy đủ các ứng dụng của phơng trình Dirac trên cơ sở giải thích một
số hiệu ứng lợng tử quan trọng Tìm ra một vài phơng trình cơ bản và tìm nghiệm của nó trong trờng ngoài ứng dụng cơ học lợng tử tơng đối tính để tìm
các mức năng lợng của một hạt không có spin trong trờng culông, tìm các mức
Trang 4năng lợng của electron khi tính đến cả số hiệu chính tơng đối tính của spin lên
sự biến đổi của khối lợng theo vận tốc Ngoài ra còn tìm ra sự tách vạch của các nguyên tử trong điện trờng, trong từ trờng Trên cơ sở đó nội dung của luận văn này đợc trình bày trong ba chơng chính ngoài phần mở đầu và kết luận còn
có tài liệu tham khảo, lời cảm ơn và mục lục
Trang 5Phần II Nội dung
Chơng 1
Phơng trình Dirac trong cơ học lợng tử tơng
đối tính
1.1 Xây dựng phơng trình Dirac
Nh chúng ta đã biết phơng trình Klay-Gordon khi mô tả hạt tơng đối tính
đã dẫn đến mật độ xác suất âm và không mô tả đợc các hạt có spin 1/2 Điều đó
đã buộc phải tìm một phần tử khác thích hợp cho việc mô tả electron
Để khắc phục khái niệm mật độ xác suất âm và thoã mãn phơng trình phải nghiệm đúng trong mọi hệ toạ độ tơng đối tính (bất biến Loresns) nên Dirac đã xây dựng phơng trình sau:
ψ β α
0c m p c t
∂
∂
(1.1)
Với: α ˆ = α ˆx + α ˆy+ α ˆz; pˆ =pˆx +pˆy +pˆz; βˆ =cα ˆ;
=
4 3 2 1
ψ ψ ψ
ψ ψ
Hoặc ta có dạng tờng minh của 4 phơng trình thành phần sau đây:
− +
− +
=
∂
∂
+
−
− +
=
∂
∂
− +
+ +
=
∂
∂
− +
+ +
=
∂
∂
4
2 0 3 2 1
4
4 3
2 0 2 1
3
4 3
2
2 0 1 2
4 3
2 1
2 0 1
0 ˆ
) ˆ ˆ (
0 )
ˆ ˆ ( ˆ
ˆ )
ˆ ˆ ( 0
) ˆ ˆ ( ˆ
0
ψ ψ
ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ
c m p
c p
i p c t
i
c m p
i p c p c t i
p c p
i p c c
m t
i
p i p c p c c
m t
i
z y
x
y x z
z y
x
y x z
(1.2)
Trang 6Phơng trình Dirac có thể mở rộng trong trờng hợp hạt vi mô bất kỳ nghĩa
là hạt vi mô chuyển động trong trờng điện từ ngoài
c
e p
pˆ ˆ , bổ sung vào toán tử Η ˆ số hạng eϕ Trong đó pˆ là xung lợng của hạt,ϕ là thế vô hớng, e là điện tích, c là vận tốc ánh sáng, Α là thế véctơ
Phơng trình Dirac cho hạt điện trong trờng điện từ:
ψ ϕ β α
ψ
=
∂
∂
e c m c
e p c t
0
1.2 Nghiệm của phơng trình Dirac cho hạt tự do
Để giải phơng trình Dirac một cách đơn giản nhất ta xét chuyển động của
1 hạt tự do Phơng trình Dirac có dạng:
ψ β α
0c m p c t
∂
∂
iEt
e
−
= ta đợc phơng trình cho hàm sóng ψ 0không phụ thuộc thời
gian:
0
0
ψ
iEt iEt
iEt
e
iE e
t e
iE t
−
∂
∂ +
−
=
∂
∂
0
)
iEt iEt
e c m p c e
iE i
−
−
+
=
−
(
0 =
αp m c
Giả sử trạng thái hạt tự do có xung lợng xác định Vậy ta tìm nghiệm của phơng trình (1.4) dới dạng sóng phẳng
đặt: ψ 0 =u i p r
e
Trong đó u là spinơ bốn thành phần
đối với hàm spinơ u ta thu đợc phơng trình :
u
e
0
αp m c
c + ) u i p r
e
u
Ε
⇒ = (cαpˆ +m c2 β ˆ 2) u (1.6)
Trang 7Với:
=
4 3 2 1
u u u
u
,
ω
ω (1.7)
Trong đó các thành phần spinơ u1 ,u2 ,u3 ,u4là các hằng số
Thay (1.7) vào (1.6) ta đợc:
Ε
,
ω
ω = α +α +α + 2 β ˆ
0 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆx p x y p y z p z m c c
,
ω
ω
Ta có :
=
Ε
4
3
2
1
u
u
u
u
+
−
− +
−
− +
ο ο ο
ο ο ο
ο ο ο
ο ο
ο
ο ο ο
ο ο ο
ο ο
ο
ο ο ο
ο ο ο
ο ο ο
ο ο
ο
ο ο ο
z z
z z
y y y
y
x x x x
p p
p
p c
p i
p i
p i
p i c
p
p p p
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
−
− +
2 0
2 0
2 0
2 0
c m
c m
c m
c m
ο ο
ο
ο ο
ο
ο ο
ο
ο ο
ο
4 3 2 1
u u u u
Trang 8⇔
( ) ( ) ( )
2 0
2 0
2 0
2
0
4
3
2
1
ˆˆˆ ˆˆˆ
ˆˆ ˆ ˆˆˆ
cm pcpi pc
cmpi pcpc
pcpi pccm
cpip pc cm
u
u
u
u
z yx
yx z
z yx
yx z
4 3 2 1
u u u u
( ) ( )
= Ε +
− +
− +
= + Ε +
−
− +
=
− +
+ Ε
− +
=
− + +
+ Ε
−
ο ο
ο ο
ο ο
ο ο
4
2 0 3 2 1
4 3
2 0 2 1
4 3
2
2 0 1
4 3
2 1
2 0
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
u c
m u u p c u p i p
c
u u c
m u pi p c u p
c
u p c u pi p c u c m u
u pi p c u p c u u c m
z y
x
y x z
z y
x
y x z
(1.8)
Để hệ (1.8) có nghiệm khác 0 thì định thức của hệ phải bằng 0
Ε +
−
−
− +
Ε
−
− Ε
−
2 0
2 0
2 0
2
0
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
c m p
c p
i
p
c
c m p
i p c p
c
p c p
i p c c
m
p i p c p
c c
m
z y
x
y x z
z y
x
y x z
ο
ο ο
ο
=ο
) ˆ ˆ ( ˆ
ˆ ˆ )
ˆ
ˆ
(
) (
ˆ ˆ
ˆ
(
) ˆ ˆ ( ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
2 0
2 0
2 0 )
2 0
2 0
2 0
2 0
2 0
2 0 2
0
=
− +
Ε +
−
−
+ Ε
−
−
−
− +
−
− +
−
−
−
+ Ε +
− +
Ε +
−
− +
−
− Ε +
−
−
Ε +
−
− +
Ε
− Ε
−
⇒
ο ο
ο ο
ο
ο ο
ο
ο
z y
x
y x z
y x y
x
z y
x
y x z
z z
y x
z
z y
x z
y x
z y
x
p c p
i p c
c m p
i p c p
c
p i p c c
m p
i
p
c
E c m p
c p
i
p
c
p i p c p
c
p c E
c m p
c
c m p
i
p
c
c m p
c
p c p
i p c
c m p
c
c m p
i p c
p c p
i p c c
m c
m
Trang 9⇒( − Ε)( 2 + Ε)
0
2
m − Ε + + + +
0 2 2 2 2 2 2
2
2pˆ c pˆ +c pˆ +c pˆ +m c − Ε
0 2 2 2 2
2 pˆx pˆy c pˆz m c c pˆx c pˆy
⇒( 2 4 2 2 2 2 2 2 2)
0c c pˆz c pˆx c pˆy
0c c pˆz c pˆx c pˆy
0c c pˆz pˆx pˆy
m
⇒ 2 4 2 2 2
m − Ε + = ο
⇒ 2 4 2 2 2
0c +c pˆ = Ε
m
2 2 4 2
0c c ˆp
±
= Ε
⇒
Nh vậy năng lợng của hạt tơng đối tính có thể dơng hoặc âm Trong cơ học
Niutơn hạt hoặc chỉ có thể có năng lợng dơng hoặc năng lợng âm do biến số
động lực có giá trị liên tục vùng năng lợng 2mc2 là bị cấm.Trong cơ học lợng tử
do đại lợng vật lý có thể có giá trị gián đoạn vì vậy năng lợng có thể có giá trị dơng và có giá trị âm vợt qua vùng cấm 2mc2
Để giải đợc hệ (1.8) ta có thể chọn hai đại lợng tuỳ ý và giải hai đại lợng còn lại
Chọn p song song với trục oz thì: pˆx =pˆy = ο , pˆz ≠ ο
0c pˆz
m
Nếu u1, u2 tuỳ ý chọn u1=1, u2= 0
+
Ε +
= Ε
0
2 0
ˆ ˆ
c m
p c c
m
p
+
Ε +
+
= Ε +
+
2 0
2 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ
c m
p i p c c
m
p i p
⇒ u(1)=
Ε +
++Ε
+
+
2 0
2 0
ˆ ˆ ˆ 1
c m
p i p c
c m
p c
y x z
ο
Chọn u1 = 0, u2=1
Trang 10⇒ u3= ( ) ( )
+
Ε +
−
= Ε +
−
2 0
2 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ
c m
p i p c c
m
p i p
u4 =
+
Ε +
−
= Ε +
0
2 0
ˆ ˆ
c m
p c c
m
p
⇒ u (2) = ( )
Ε +
−
Ε +
−
+
+
2 0
2 0
ˆ
ˆ
ˆ 1
c m
p c
c m
p i p c
z
y x
ο
0c pˆz
m
NÕu u3,u4 tuú ý Chän u3=1,u4=0
0
2 0
ˆ ˆ
c m
p c c
m
p
− Ε
−
=
−
−
Ε
−
−
+
−
= Ε
−
+
−
2 0
2 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ
c m
p i p c c
m
p i p
⇒ u(3)= ( )
Ε
−
−
+
−
− Ε
−
−
−
ο
1
ˆ ˆ ˆ
2 0
2 0
c m
p i p c
c m
p c
y x z
Chän u3= 0,u4=1 ⇒ u1= ( ) ( )
2 0
2 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ
c m
p i p c c m E
p i p
− Ε
−
−
=
−
−
−
u 2= 2
0
2 0
ˆ ˆ
c m
p c c
m
p
− Ε
−
−
=
−
⇒ u(4)=
Ε
−
−
− −Ε
−
−
−
−
1
ˆ
ˆ ˆ
2 0
2 0
ο
c m
p c
c m
p i p c
z y x
Trang 11Trong đó u(1), u(2), u(3),và u(4) là hệ 4 spinnơ trực chuẩn
E →E+= m0c2
E→E-= -m0c2
1.3 Các trạng thái với năng lợng âm
Khi giải bài toán về chuyển động của một hạt tự do chúng ta nhận thấy rằng phơng trình Dirac chấp nhận các nghiệm tơng ứng với các giá trị năng lợng dơng và năng lợng âm còn trong cơ học lợng tử tơng đối tính năng lợng E của một hạt tự do đợc xác định bằng hệ thức: E2 = p2c2 + 2
0
m c4
0 2 2
± ρ Hai miền giá trị năng lợng và âm ngăn cách nhau bằng một khoảng
2
0
2m c Phần năng lợng âm là một giá trị hoàn toàn mới mà vật lý cổ điển không chấp nhận tuy nhiên theo quan điểm lợng tử thì hạt hoàn toàn có năng l-ợng âm Không có một trạng thái bình thờng nào có thể ổn định vì có thể sự chuyển dời tự phát sang một trạng thái năng lợng âm thấp hơn và đợc thực hiện liên tục vì trạng thái sau dài tới vô cực Nếu tồn tại electron với năng lợng âm thì nó sẽ đợc gia tốc theo hớng ngợc với hớng lực tác dụng
Sơ đồ mức năng lợng của electron tự do theo phơng trình Dirac
2
0c m
−
2
0cm
2 0
2 c m
Trang 12Nhìn vào sơ đồ thì năng lợng của electron trong miền năng lợng dơng có
0c
m còn năng lợng âm có giá trị lớn nhất là 2
0c m
−
0
2m c Nghĩa là có mức nhảy năng lợng từ miền năng lợng dơng sang miền âm và ngợc lại Mỗi một bớc
0
2m c điều này là phù hợp với quan điểm lợng tử vì năng l-ợng có thể gián đoạn Đối với vật lý ll-ợng tử thì năng ll-ợng của một hạt chỉ có thể gián đoạn đối với vật lý cổ điển thì năng lợng của một hạt chỉ có thể nhận giá trị liên tục trong một miền nào đó Do đó không chấp nhận đồng thời sự tồn tại các mức năng lợng (+) và (-) nói trên Năm 1930 khó khăn về năng lợng âm đã đợc Dirac khắc phục dựa vào một lý thuyết gọi là “ lý thuyết lỗ trống” các electron với năng lợng (+) thì quan sát bình thờng, phần các electron mang năng lợng (-) thì Dirac cho rằng các hạt này không thể quan sát trực tiếp đợc Dirac đã giả thiết rằng tất cả các mức năng lợng âm đều đã đợc chiếm đầy bởi các electron,
đồng thời theo nguyên lý Pauli ở mỗi mức có một electron giữa các electron với
0
2m c Mật độ electron ở các trạng thái năng lợng âm là vô cùng lớn Các dời chuyển của các electron từ một trạng thái
có năng lợng âm này sang một trạng thái có năng lợng âm khác đều bị cấm bởi nguyên lý pauli Ngời ta giả thiết rằng các electron với năng lợng âm này không liên quan tới những hiệu ứng điện từ hay hiệu ứng hấp dẫn Giữa các electron mang năng lợng âm và các electron mang năng lợng dơng có một khoảng bằng
2
0
2m c Nếu một electron mang năng lợng âm từ biển Dirac truyền cho một
0
2m c thì nó sẽ chuyển sang trạng thái có năng lợng dơng
và trở thành electron thông thờng Trong biển Dirac tại nơi mà electron mang năng lợng âm vừa chuyển đi xuất hiện một “ lỗ trống” có năng lợng dơng, điện tích dơng ngợc dấu với điện tích của electron theo nguyên lý Dirac hạt đó có khối lợng bằng electron Hạt đó gọi là pôzitrôn nh vậy sự chuyển dời của electron từ trạng thái năng lợng âm sang trạng thái năng lợng dơng làm xuất hiện 2 hạt đó là electron và pôzitrôn Năm 1933 ngời ta phát minh đợc quá
Trang 132
0c m
−
2
0c m
−
2
0c m
−
trình sản sinh ra những cặp hạt và giả thuyết về sự tồn tại của pôzitrôn là có thực
Hình vẽ : sự sinh cặp : electron với năng lợng âm hấp thụ bức xạ chuyển sang năng lợng dơng
Mức năng lợng âm không thể bỏ trống lâu đợc electron ở trạng thái năng lợng dơng có thể chuyển xuống mức này chuyển dịch đó làm biến mất cả electron và lỗ trống nghĩa là biến mất cả electron và pôzitrôn hiệu năng lợng
đ-ợc toả ra dới dạng năng lợng của 2 lợng tử nh vậy là đã xảy ra hiện tợng huỷ cặp electron - pôzitrôn kèm theo sự bức xạ 2 lợng tử Quá trình huỷ cũng đã quan sát trong thực nghiệm (hình vẽ) sự huỷ cặp : electron với năng lợng(+) chuyển sang trạng thái năng lợng (-) và phát bức xạ
2
0c m
lỗ trống
bức xạ
e
lỗ trống
bức xạ
trạng thái đã
lấp đầy
2
0c m
e
0
Trang 14Qua đây ta thấy electron và pôzitron là 1 trờng hợp riêng của một quy mô quy luật tổng quát.Mỗi hạt đều tơng ứng với 1 phản hạt.Phản hạt đợc sinh ra thành từng cặp với hạt của mình và huỷ cùng với nó
1.4 Spin của các hạt mô tả bởi phơng trình Dirac.
Cho đến nay chúng ta đã sử dụng rộng rãi khái niệm spin.Vậy spin là 1
đại lợng cơ học lợng tử tơng đối tính đặc trng cho chuyển động nội tại của các hạt vi mô và đại lợng này không liên quan đến chuyển động quỹ đạo của hạt Khái niệm spin đợc xây dựng từ rất sớm từ sau thí nghiệm của Stein và Gerlock
đã chứng minh sự tồn tại của đại lợng vật lý có tính chất nh mômen động lợng nhng lại không liên quan đến quỹ đạo của hạt
Muốn chứng tỏ rằng sự tồn tại của spin đợc suy trực tiếp từ phơng trình Dirac thì ta xét các định luật bảo toàn đợc rút ra từ phơng trình Dirac.Vì trong
lý thuyết Dirac vẫn giữ nguyên tất cả các quan điểm tổng quát của cơ học lợng
tử nên để tìm các định luật bảo toàn cần phải thiết lập giao hoán tử với toán tử Hamintơn
Đối với hạt chuyển động trong 1 không gian trống rỗng thì mômen của hạt đợc bảo toàn.Do đó toán tử mômen toàn phần của hạt giao hoán với Hamintơn
Ta xét giao hoán tử giữa Lˆvà Η ˆ Để đơn giản xét hạt chuyển động tự do Chọn trục oz có hớng tuỳ ý
Ta có: [ Ηˆ,Lˆz] = [cα +pˆ m02βˆ,Lˆz]
Lˆz =−i y∂∂x−x∂∂ynên giao hoán với β ˆ và α ˆz pˆ z
⇒ [ Ηˆ,Lˆz]=[c( α ˆx pˆx+ α ˆy pˆy),Lˆz ]=cα ˆx[pˆx,Lˆz] +cα ˆy[pˆy,Lˆz] (1.9)
Mà: [Lˆz,pˆy] = −ipˆx
y x
z p i p
( ] ˆ ,
ˆ
[H L z =cα
⇒ -i ˆp y)+cα ˆy(ipˆx) =ic( α ˆy pˆx − α ˆx pˆy) (1.10)
Chọn trục ox có hớng tuỳ ý ta có :
Trang 15[ ˆ, ˆ ] [ ˆ 2 ˆ , ˆ ]
x c p m c p L L
H = α +
z
y y z i
L x
∂
∂
−
∂
∂
−
= giao hoán với β ˆ và α ˆx pˆ x
Nên : [ Ηˆ,Lˆx]=[c( α ˆz pˆz + α ˆy pˆy),Lˆx] =cα ˆy[pˆy,Lˆx] +cα ˆz[pˆy,Lˆx]
⇒ [Hˆ,Lˆx] =cα ˆy( −ipˆz) +cα ˆz(ipˆy) =ic( α ˆz pˆy − α ˆy pˆz)
Chọn trục oy có hớng tuỳ ý ta có :
[ ˆ, ˆ ] [ ˆ 2 ˆ, ˆ ]
L
x
z z x i
L y
∂
∂
−
∂
∂
−
= giao hoán với β ˆ và α ˆy pˆy
Nên:
] ˆ
,
ˆ
) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ] ˆ , ˆ
Nh vậy mômen xung lợng của hạt tự do trong trờng hợp này không phải
là một tích phân chuyển động và không bảo toàn Để tìm một đại lợng bảo toàn với mômen xung lợng của hạt trong trờng hợp này ngời ta đa vào khái niệm mômen Phần biểu diễn bởi toán tử jˆ đợc xác định bởi hệ thức Jˆ = Lˆ + Sˆ
Trong đó Sˆ là một toán tử cha biết và toán tử Jˆ giao hoán với toán tử Hˆ
Ta có [Hˆ,ˆj i] = 0 ⇒ [Hˆ,Lˆi] + [Hˆ,sˆi]=0
Đặt i = z và dùng giá trị của toán tử : [Hˆ,Lˆz] =ic( α ˆy pˆx − α ˆx pˆy)
Ta đợc : [Hˆ,Lˆz] + [Hˆ,sˆz]=0
=
⇒ [Hˆ,sˆz] − [Hˆ,Lˆz] =ic(αˆy pˆx − αˆx pˆy) (1.11)
Để thoả mãn đẳng thức trên ta đặt : Sˆz =Aα ˆxα ˆy
Trong đó A là một hằng số cha biết :
Thay vào (1.11) ta đợc :
[Hˆ,Aα ˆxα ˆy] =ic( α ˆx pˆy − α ˆy pˆx)
Vế trái = [Hˆ,Aα ˆxα ˆy] = [c( α ˆx pˆx+ α ˆy pˆy + α ˆz pˆz +m0cβˆ),Aα ˆxα ˆy]
= cA{[ α ˆx pˆx, α ˆxα ˆy] + [ α ˆy pˆy, α ˆxα ˆy] + [ α ˆz pˆz, α ˆxα ˆy]}
Tính I1 = [αˆ x p ˆ x ,αˆ xαˆ y ]) =α ˆx2 ( α ˆy pˆx + α ˆy pˆx) = 2 α ˆy pˆx( α ˆx2 = 1 )
I2 = [αˆ y p ˆ y ,αˆ xαˆ y ]= -ˆ 2 (
y
α α ˆx pˆy + α ˆy pˆx) = -2 α ˆx pˆy( α ˆ 2y = 1 )
I3 = [ α ˆz pˆz, α ˆxα ˆy] = ( α ˆz pˆzα ˆxα ˆy − α ˆxα ˆy α ˆz pˆz) = 0
