Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán đại số giải tích và quan điểm khắc phục

Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải Toán còn tơng đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng

sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớngvào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyếtnhững vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của

đất nớc” (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm 2005, tr 1).

Về phơng pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BanChấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra:

“Phải đổi mới phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyệnthành nếp t duy sáng tạo của ngời học Từng bớc áp dụng những phơng pháp tiêntiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian

tự học, tự nghiên cứu …”.”

Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phơng pháp giáo dục phổ thôngphải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh, …”.;bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

1.2 ở trờng phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học Đối với học

sinh, có thêm xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Dạy học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trờng phổ thông Các

bài toán là phơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đợc trong việc giúp họcsinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo Hoạt độnggiải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán Do

đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất ợng dạy học Toán

l-Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học Toán ở trờng phổ thông có

lúc, có chỗ còn cha tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một trong những nguyên

nhân quan trọng là giáo viên cha chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốnnắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán Vì điều

này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.

1.3 Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đợc nêu ra xoay quanh vấn đề sai

lầm trong cuộc sống cũng nh trong nghiên cứu khoa học Khổng Tử đã nói: “Sai

lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trớc đó của mình” AlbertEinstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “Nếu tôi mắc sai lầm thì chỉmột lần cũng là đủ rồi” Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việcsửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn,

G Polia đã phát biểu: “Con ngời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sótcủa mình” [45, tr 204], còn A A Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không đợc tiếcthời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” [66, tr 105].Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thờng của học sinh trung học đủ

để các em nắm đợc Toán học trong nhà trờng phổ thông nếu có sự hớng dẫn tốtcủa thầy giáo” [8, tr 10] Nh vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học

sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục đợc.

1.4 Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải

Toán còn tơng đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới Luận án Tiến sĩ của

của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông

trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996) Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ

đề kiến thức, chẳng hạn chủ đề phơng trình, chủ đề bất phơng trình, chủ đề giớihạn, chủ để hàm số, Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất

có u điểm là giúp cho ngời đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễngiảng dạy, nghiên cứu Tuy nhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: số lợng chủ đềkiến thức là rất nhiều, khó kể hết, còn nếu gộp lại để thành các chủ đề lớn thìnhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể

Các nhóm tác giả Trần Phơng - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thờng gặp và

các sáng tạo khi giải Toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn

Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992); Trần Hữu Phúc

- Nguyễn Cảnh Nam trong Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) đều sắp

xếp sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức

Cách sắp xếp sai lầm dựa theo tiêu chí chủ đề kiến thức nh các tác giả nóitrên cha thể giải thích một cách tờng minh, dễ hiểu và bao quát hết tất cả các kiểusai lầm cho học sinh Hơn nữa cha thể đề cập đợc một số kiểu sai lầm thờng gặp

nh: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác t duy, sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng,

Có thể nói, cho đến nay cha có một công trình nào nghiên cứu sai lầm củahọc sinh khi giải Toán nhìn từ góc độ hoạt động toán học, nghĩa là xem xét các

sai lầm theo phơng diện chất lợng tiến hành các hoạt động toán học.

Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận

văn là:

Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải“

Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông trong giảiToán Đại số và Giải tích mà các công trình nghiên cứu trớc đây hoặc cha đề cập,hoặc cha phân tích một cách sâu sắc và đề xuất các quan điểm khắc phục

3 Giả thuyết khoa học

Nếu làm sáng tỏ đợc các dạng sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích, thì có thể đề xuất đợc các quan điểm để phòng

tránh và khắc phục các dạng sai lầm này, góp phần nâng cao chất lợng dạy họcToán ở trờng phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

4.1 Trong giải Toán Đại số và Giải tích, học sinh thờng mắc phải một số

kiểu sai lầm phổ biến nào?

4.2 Nguyên nhân nào dẫn tới các sai lầm đó?

4.3 Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm đã chỉ ra, cần thực hiện những

quan điểm nào?

4.4 Kết quả của Thực nghiệm s phạm là nh thế nào?

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phơng pháp

giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa

đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh

5.2 Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn s phạm, qua các tài liệu để

nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giảiToán Đại số và Giải tích

6 Những đóng góp của Luận văn

6.1 Luận văn đã làm sáng tỏ đợc nhiều kiểu sai lầm của học sinh Trung

học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích mà các tài liệu khác hoặc ch a códịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ Đặc biệt, khi đề cập đến các sai lầm,

Luận văn đã chú trọng đến phơng diện hoạt động toán học

6.2 Luận văn đã phân tích đợc nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó 6.3 Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đa ra một bức

tranh toàn cảnh và tơng đối đầy đủ về những kiểu sai lầm của học sinh Trung họcphổ thông khi giải Toán

6.4 Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán

Trung học phổ thông

7 Cấu trúc của luận văn

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

2.2 Những quan điểm chủ đạo trong việc phòng tránh, sửa chữa các sai

lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích

2.4 Kết luận Chơng 2

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức thực nghiệm

3.3 Nội dung thực nghiệm

3.4 Đánh giá các kết quả thực nghiệm

Kết luận

Những công trình của tác giả hoặc đồng tác giả đã đợc công bố

Tài liệu tham khảo

Chơng 1Một số vấn đề thực trạng về những sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán

Đại số và Giải tích

1.1 Một số công trình có liên quan

Những công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giảiToán còn tơng đối ít, trong các công trình đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của của

Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học

thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996) Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ đề kiến thức,

chẳng hạn, chủ đề phơng trình, bất phơng trình, giới hạn, hàm số, Cách phânchia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có u điểm là giúp cho ngời đọc có

thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu Tuy nhiên, sựhạn chế của nó lại là ở chỗ: số lợng chủ đề kiến thức là rất nhiều khó mà kể hết,nếu gộp chúng lại để thành chủ đề lớn thì nhiều khi mắc phải sự chung chung màkhông có điều kiện xem xét hết đặc trng của từng dạng Đặt vấn đề xem xét hếtcác kiểu sai lầm trên mọi chủ đề là việc làm bất khả thi Trong Luận án củamình, tác giả Lê Thống Nhất đã đa ra bốn biện pháp s phạm và tám dấu hiệu đểnhận biết sai lầm nhng cha thực sự đi sâu vào một kiểu sai lầm nào và cha phântích một cách bao quát các nguyên nhân dẫn tới những sai lầm đó, mà mộtnguyên nhân không kém phần quan trọng ảnh hởng tới chất lợng giải bài tậpToán đó là nguyên nhân do ảnh hởng về mặt tâm lí Nhóm tác giả Trần Phơng -

Lê Hồng Đức trong Sai lầm thờng gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng

đề cập đến một số sai lầm của học sinh Trong công trình này, các tác giả đã đa

ra một số kĩ thuật chọn điểm rơi để tránh sai lầm khi sử dụng các Bất đẳng thứcCôsi và Bunhiacôpski Ngoài ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình Thịnh - Trần

Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong công trình Mẹo và bẫy trong các đề thi môn

Toán (1992), trong công trình này các tác giả đã đa ra thuật ngữ "bẫy" và phân

tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi học sinh mắc sai lầm là đồng nghĩa với

việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống đợc các tác giả cài đặt mà

nếu học sinh không vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai lầm Với cách sắpxếp sai lầm theo từng chủ đề kiến thức nh các tác giả nói trên thì không thể giảithích một cách tờng minh, dễ hiểu hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh để từ

đó họ có ý thức phòng tránh các sai lầm này, mặt khác cha đề cập đợc một sốkiểu sai lầm thờng gặp nh: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tduy, sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng,

Nh vậy trên phơng diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề tàinghiên cứu của chúng tôi cũng đã đợc nghiên cứu ở một mức độ nào đó Tuynhiên cha có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ hoạt độngtoán học, xem xét các sai lầm theo phơng diện chất lợng tiến hành các hoạt độngtoán học Nói một cách khác, các công trình nghiên cứu về sai lầm của học sinhkhi giải Toán thờng xem xét theo phơng diện chủ đề kiến thức, còn cách tiếp cậncủa Luận văn này sẽ theo phơng diện khác, đó là phơng diện hoạt động

1.2 Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán

Dạy Toán là dạy hoạt động toán học (A A Stôliar, 1969, tr 12) là một

luận điểm cơ bản đã đợc mọi ngời thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu củahọc sinh là hoạt động giải bài tập Toán Trình độ học Toán của học sinh đến mức

độ nào sẽ đợc thể hiện rõ nét qua chất lợng giải Toán Vai trò của bài tập trongdạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiêncứu về phơng pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thốngbài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996),Nguyễn Đình Hùng (1997)) Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P M.Ecđơnnhiev trong [67]: "Bài tập đợc coi là một mắt xích chính của quá trình dạyhọc Toán" Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập vớidạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học sinhcòn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng có tácdụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và định lítoán học

Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giảiToán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn s phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiềukiểu sai lầm Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận vàthậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi Một nguyên nhân không nhỏ là giáoviên cha chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa cácsai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán Vì điều này nên ở học sinh

nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm

Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầmcho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G Polia cho rằng: "Conngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [45, tr 204], A A.Stôliar phát biểu: "Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầmcủa học sinh" [66, tr 105], còn theo J A Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm nàocũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay đến sailầm đó, và hớng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn theoNguyễn Anh Tuấn 2003) Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình th-ờng không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt đợc học vấn toán học phổ thông,cơ bản dù cho chơng trình toán đã hiện đại hóa" [17, tr 49] Nh vậy có thể khẳng

định rằng, các sai lầm của học sinh khi giải Toán là cần và có thể khắc phục đợc

1.3 Một số kiểu sai lầm của học sinh TRUNG HọC PHổ THÔNG khi giải toán Đại số và Giải tích

Trong mục này để ám chỉ những lời giải có mắc phải sai lầm, chúng tôidùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm của học sinh

Trong mục này, khi xem xét các sai lầm của học sinh chúng tôi không sắpxếp theo từng dạng toán, nói cách khác là, không tiến hành theo con đờng nêunhững sai lầm theo từng chủ đề kiến thức Những sai lầm của học sinh (khi giảiToán Đại số và Giải tích) sẽ đợc đề cập và làm sáng tỏ từ phơng diện Hoạt độngtoán học

1.3.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng

Học sinh thờng gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những bàitoán có liên quan đến việc phân chia trờng hợp

1.3.1.1 Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ giải và biện luận , lẫn lộn giữa biện luận theo m và tìm m Khi“ ” “ ” “ ”

giải biện luận phơng trình (bất phơng trình) có tham số m, nhiều học sinh quy

(!): Thực ra đây không phải bài toán tìm m để phơng trình có nghiệm, mà

đây là bài toán giải và biện luận phơng trình Khi giải và biện luận phơng trình,

kể cả trờng hợp phơng trình vô nghiệm thì ta vẫn phải xem xét

Giả sử có điều kiện m 1thì ta thực hiện đợc phép chia 1 – m2 cho m - 1,nhng không có nghĩa là, ta thực hiện phép chia trớc rồi lại buộc m phải khác 1

Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình

x 1 2x m

(?): Có học sinh giải nh sau: với x1 nghiệm của phơng trình là

xm 1; với x < 1 nghiệm của phơng trình là x m 1

Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phơng trình

m(x – m + 3)  m(x - 2) + 6

(?): Bất phơng trình  mx - m2 + 3m  mx - 2m +6  m2 – 5m + 6  0

 2  m  3

Vậy nghiệm của bất phơng trình là: 2 m 3

(!): Thực ra 2m3 chỉ là điều kiện để bất phơng trình có nghiệm chứkhông phải là nghiệm của bất phơng trình Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất phơngtrình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trờng hợp này trong khâu biện luận

1.3.1.2 Không ý thức đợc sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải một cách máy móc vào những trờng hợp không thuộc hệ thống

Ví dụ 4: Giải và biện luận bất phơng trình

2 2

x  3x2a x 2ax 5 (?): Có học sinh giải nh sau: bất phơng trình tơng đơng với

ơng đơng cơ bản trên các bất phơng trình

Ví dụ 5: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: y = x

x m (?): Học sinh cho rằng đờng thẳng x = m là tiệm cận đứng và đờng thẳng y

= 1 là tiệm cận ngang

1.3.1.3 Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép biến

phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình (2) với điều kiện x > 1

Do đó đáng lẽ phải nói: phơng trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất một

nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trờng hợp:

0b12a

học sinh lại chỉ nói: phơng trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có nghiệm duy nhất

Ví dụ 7: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

x m  x  3mx2m  x  m (?): Ta nhận thấy do các biểu thức trong các dấu căn đều có chứa hạng tử

x – m, nên rút gọn hai vế đợc bất phơng trình tơng đơng

1 + x 2m  xm

1.3.1.4 Cha nắm vững một số khái niệm toán học cơ bản, chẳng hạn các khái niệm có cấu trúc hội, vì không ý thức đợc sự tác động của tham số

đối với kết quả bài toán

Ví dụ 8: Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của

a 43y

nên giá trị nhỏ nhất của E là 0

Nếu a = - 4 thì Dx 0 nên hệ phơng trình vô nghiệm Vậy với a = - 4 thì Ekhông tồn tại giá trị nhỏ nhất

(!): Với a = - 4 kết luận E không có giá trị nhỏ nhất là sai lầm, vì với

tr-ờng hợp a = - 4, E đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9

5 tại các điểm x, y bất kì thỏa mãn

điều kiện 5x – 10y – 11 = 0

1.3.1.5 Không biết chia thành những trờng hợp nào, nói cách khác không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia

Ví dụ 9: Giải và biện luận theo tham số a bất phơng trình

x a  x 2a  x 3a (1)

(?): Gặp bài toán này, học sinh hầu nh không biết nên phân chia tham số athành những trờng hợp nào Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thì dĩnhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phơng trình chỉ là x > 3a và biến đổi (1) x a  x 2a  x 3a  4a x2 x 2a x 3a

TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x  3a, khi đó bất phơng trình tơng

1.3.1.6 Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trờng hợp

Ví dụ 10: Tìm m sao cho phơng trình:

2 2

x  (2m1)xm  0 chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 3

(?): Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tơng đơng với phơngtrình có nghiệm kép lớn hơn 3

1

4S

53

m2

và 3x1 x2 thành một trờng hợp x1  3 x2 Tuy nhiên đã viết điều kiện bỏ

và tính toán

1.3.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

Học sinh thờng mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau



,

Có những hiện tợng học sinh biến đổi đúng những cha chắc họ đã nắm đợckiến thức một cách thực thụ

Ví dụ 11: Nhiều công thức phát biểu một cách rất vần“ ” nh “lim của một

tổng bằng tổng các lim; lim của tích bằng tích các lim; đạo hàm của một tích bằng tích các đạo hàm; tích của các hàm số đồng biến là hàm đồng biến”; học

sinh chỉ nắm kiến thức theo kiểu hành văn chứ không hiểu bản chất Toán học

Ví dụ 12: Dấu “=” có rất nhiều hình thái sử dụng nh chỉ sự đồng nhất, toàn

đẳng, chỉ sự thay đổi, chỉ một hành động cần tiến hành, Trong trờng hợp nàynói riêng ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm Vì mang một phong cách rất

“vần” nên học sinh dễ nhớ đợc f(x)dxg(x)dx f(x)g(x) dx , nhng íthọc sinh hiểu đợc bản chất của dấu “=” đó Trong hoàn cảnh này học sinh nắm

cú pháp một cách hình thức nhng không hiểu đợc ngữ nghĩa cho nên học sinhkhông hiểu vì sao I = 1 + I ?

Trong thực tế dạy học, ta đã bắt gặp hiện tợng, một bài toán tìm nguyênhàm nhng với hai cách giải đúng khác nhau đã cho ra kết quả có vẻ rất khácnhau, nên đã dẫn đến sự hoài nghi về một trong hai kết quả Khi hai ngời chọnhai kết quả F(x) + C và G(x) + C, tuy G(x) và F(x) mang hình thức khác nhau nh-

ng giữa chúng có thể chỉ sai khác một hằng số Điều này rất hay gặp ở các hàm ợng giác ngợc

Có nhiều học sinh “nắm đợc” cú pháp một cách hình thức nhng không hẳnhiểu đợc ngữ nghĩa của kí hiệu toán học

Ví dụ 13: Sau khi biết

k n

n!

Ck! n k !



 (1), học sinh có thể chứng minh

đ-ợc công thức n k k

C  C (2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1) Tuy nhiên,

ít học sinh có thể thấy đợc (2) một cách trực giác và chứng minh (2) bằng địnhnghĩa của k

n

C , học sinh không hiểu bản chất là, một tập X (gồm n phần tử) có bao

nhiêu tập con gồm k (k n) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm n k phần

không tồn tại Điều đó cho thấy học sinh không hiểu kí hiệu lim

1.3.2.2 Lẫn lộn giữa đối tợng đợc định nghĩa và đối tợng dùng để chỉ

1.3.2.4 áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái niệm khác có những từ gần giống

Ví dụ 17: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do

bắt chớc tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tínhchất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừakhông chẵn, vừa không lẻ

b Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3)

c  ngày nh  ngày (một ngày nh mọi ngày)

1.3.2.6 ảnh hởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn

Ví dụ 19: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết 2

x  ; học sinhx

còn cho rằng 36 6

ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn,nhng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa làchỉ giá trị dơng trong hai giá trị ấy thôi Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo viên

đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6 Tuy nhiên theo thóiquen giáo viên thờng chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4

1.3.2.7 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau

Ví dụ 20: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do

đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm

9

5 x

từ “miền” có thể vô hình gợi ý cho học sinh hình dung rằng một đoạn hay mộtkhoảng hữu hạn hay vô hạn điều này thờng xảy ra đối với các hàm sơ cấp Nhng

với hàm “phần nguyên của x” :  x , xác định bởi quy tắc là số nguyên lớn nhấtkhông vựơt quá x và nói rằng miền giá trị của hàm  x là tập hợp số nguyên Zgọi là tập giá trị, gọi nh vậy e có phần lủng củng

(!): Từ trực quan của hình vẽ học sinh

nghĩ rằng cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của

một đờng thẳng nghĩa là đồ thị hàm số không

cắt đờng thẳng y 2x Nhng thực ra đờng

thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân

biệt mà điểm cực đại, điểm cực tiểu vẫn nằm khác phía so với đờng thẳng y = 2x

Lẽ ra học sinh phải giải nh sau: Hàm số có cực đại và cực tiểu tơng đơng

với m < 3 Gọi Ax ; y , B1 1 x ; y2 2là các điểm cực trị của đồ thị hàm số Phơngtrình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = - 2x + m, khi đó y1 2x1 m;

xx

 Tìm hai điểm A, B thuộc về hai nhánh

khác nhau của đồ thị sao cho AB có độ dài ngắn nhất

(!): Thông qua hình vẽ trực quan học sinh dự đoán rằng hai điểm cần tìmlà: điểm cực đại và điểm cực tiểu, khi đó AB = 2 5 ; sau đó cố gắng chứng minh

A, B là hai điểm cần tìm Nhng thực tế không phải nh vậy!

(?): Ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị là x = 0 Vì hai điểm nằm về hai phíacủa tiệm cận, nên thực chất bài toán quy về tìm 0 < a < b sao cho

Kết quả cuối cùng của bài toán cho thấy A, B không phải hai điểm cực trị

nh dự đoán ban đầu!

Ví dụ 23: Giải phơng trình:

x

1 16

1log x

nên giao điểm của hai

đồ thị nằm trên đờng thẳng y = x Do đó việc giải phơng trình đã cho đợc quy về

giải phơng trình

x

1

x16

ra với cách phát biểu này chỉ đúng với các hàm số đồng biến mà thôi

Xin dẫn ra mệnh đề đúng “cho hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến; hàmngợc của nó là y = 1

f (x) Nếu đồ thị (C): y = f(x) và ,

(C ): y = 1

f (x) có điểmchung M(x ; y ) thì M nằm trên đờng phân giác y = x” 0 0

Ví dụ 24: Cho (P): y = 2

x  2x3 và đờng thẳng d: y = 2x + m Xác định

m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2

(?): Phơng trình hoành độ giao điểm của của (P) và d là 2

(P1) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 Căn cứ vào đồ thị ta thấy1

AB = 2 tơng đơng với m = 0

(!): Học sinh đã gặp phải sai lầm khi cho rằng d cắt (P) tại hai điểm phânbiệt A, B sao cho AB = 2 tơng đơng với (P1) cắt d1 tại hai điểm phân biệt A, B saocho AB = 2, do trực quan học sinh nhầm tởng hai giao điểm của d với (P) và haigiao điểm của (P1) với d1 có cùng tọa độ giao điểm, nhng thực ra chỉ có cùnghoành độ chứ không có cùng tung độ

Lẽ ra bài toán phải đợc giải nh sau: Hoành độ giao điểm của của (P) và d lànghiệm của phơng trình 2

1.3.4.1 Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học

Thực tiễn s phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc khôngnắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọnvẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm Mặt khác, nhiều khái niệm Toánhọc là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trớc đó, việc không nắm và hiểukhông đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tợng

đúng về khái niệm mới

Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu cótính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán Vì vậy có thể nói sự

“mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trớc hết coi là sự “mất gốc” về cáckhái niệm Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức kháiniệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:

+ Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nênnhận dạng và thể hiện khái niệm sai

+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt vàvận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khisuy luận chứng minh) [57]

Ví dụ 25: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái

niệm góc lợng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lợng giác dẫn tới sai lầm

kế tiếp biểu diễn góc lợng giác trên đờng tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm của

ph-ơng trình, bất phph-ơng trình lợng giác thờng thiếu, thừa nghiệm hoặc khi viếtnghiệm của hệ phơng trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu nghiệm, chẳnghạn, khi giải phơng trình tích các hàm lợng giác đều viết các họ nghiệm chung kíhiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:

Khi giải phơng trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả:

sin ( 2x - 1) = sin (x + 3) là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 - 2 0

k360

Không nắm vững khái niệm nghiệm của phơng trình và bất phơng trình

nên khi giải phơng trình x 1  x 1      học sinh không thừa2 1 x 1nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phơngtrình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn

Học sinh không hiểu khái niệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệthức giữa các nguyên hàm bằng cách chứng minh “đạo hàm hai vế bằng nhau”

Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàm của hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x)sao cho ,

F (x)f(x) nên chứng minh hai nguyên hàm bằng nhau, tức là phải theonguyên tắc chứng minh hai tập hợp bằng nhau

Do không nắm vững khái niệm đờng cong trên mặt phẳng tọa độ và đồ thịhàm số nên học sinh xem parabol trong hình học giải tích có phơng trình y2= x

là đồ thị của hàm số ngợc của hàm số y = 2

x , hoặc khi tìm tiếp tuyến của đờng

cong nh đờng tròn có phơng trình  2  2 2

x a  y b R đã không xét trờng

hợp tiếp tuyến vuông góc với Ox là x = a R mà chỉ xét tiếp tuyến có dạng y =

ax + b nh trong đồ thị hàm số nên đã thiếu trờng hợp Ta biết rằng đồ thị hàm số

là một đờng cong trên mặt phẳng tọa độ nhng không hẳn bất cứ đờng cong nàotrên mặt phẳng tọa độ cũng đều là đồ thị hàm số Căn cứ vào định nghĩa hàm số

ta có: trong mặt phẳng tọa độ một đờng cong (C) là đồ thị hàm số y = f(x) khi chỉvới mỗi x thuộc tập xác định của hàm số thì đờng thẳng x = x0 0 song song với

Oy chỉ cắt (C) tại một điểm duy nhất

Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức nênkhông ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lợng fx, xem

Do nắm khái niệm tiếp xúc một cách trực quan từ hình vẽ nên dẫn tới sailầm khi giải bài toán “tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trụchoành” Học sinh quan niệm tiếp xúc là đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duynhất, hơn nữa không hình dung đợc khái niệm tiếp xúc của hai đờng nên cho rằngtiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba không tiếp xúc với hàm bậc bahoặc học sinh không thừa nhận tiếp tuyến của hàm số y = 3

x là trục tung.

Học sinh không hiểu khái niệm cực trị nên lẫn lộn khái niệm giá trị cực đại

là giá trị lớn nhất của hàm số, thờng kí hiệu yCĐmax(y); yCT min(y) nên khitìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chuyển thành tìm cực trị của hàm

số, chẳng hạn: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =

và khái niệm của số mũ hữu tỉ nên cứ tởng a1x x a  x R và đối với phơng

trình x  x

3 3  3 đã giải đợc nghiệm là x =  2 Nhng thực ra phơng trìnhnày vô nghiệm Lẽ ra khi viết x a thì phải có điều kiện x nguyên và x2, còn

khi viết 1x

a thì chỉ cần x0 Học sinh không nắm đợc khái niệm quỹ tích nênnhiều khi mới làm xong phần thuận đã diễn đạt sai: “quỹ tích các điểm thõa mãntính chất của bài toán là đờng ” Thậm chí luôn nghĩ quỹ tích phải là một đờng,chứ không bao giờ là một miền mặt phẳng tọa độ, đặc biệt không bao giờ quỹtích chỉ gồm một điểm (!)

Nhằm lẫn giữa quy tắc này cho quy tắc kia, chẳng hạn: nhằm lẫn giữa quytắc cộng và quy tắc nhân trong Đại số tổ hợp

Ví dụ 27: Trong một lớp học có 20 nam và 23 nữ Giáo viên chủ nhiệm cần

chọn hai học sinh một nam và một nữ đi dự lễ kỉ niệm mừng ngày Quốc khánh.Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn?

(?): Học sinh giải nh sau: áp dụng quy tắc cộng cho rằng 20 + 23 = 43cách chọn Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân và ta có 20 23= 460 cách chọn

Ta thấy rằng nếu giáo viên chỉ chọn một học sinh thì mới áp dụng quy tắc cộng

Học sinh nhận dạng khái niệm tập xác định của hàm số sai nên khi tìm tậpxác định của hàm cho bởi nhiều công thức có kết luận sai lầm “ngớ ngẩn”, chẳng

Căn cứ vào định nghĩa khái niệm tập xác định “tập xác định của hàm số y

= f(x) là tập hợp tất cả các giá trị thực x sao cho giá trị của biểu thức f (x) cónghĩa”, học sinh nhầm lẫn sang tìm điều kiện để biểu thức f(x) có nghĩa nên kết

luận tập xác định là D =R \1; 1 Lẽ ra phải kết luận D =  1; 

Học sinh hay sai lầm khi nắm các khái niệm có dạng hội nên dẫn đến xétthiếu điều kiện, khi tìm các điểm tới hạn của hàm số học sinh chỉ chú ý tới tìmnghiệm của phơng trình ,

f (x) mà không quan tâm tới 0 f (x) có xác định hay,không?

Ví dụ 28: Khi tìm các điểm tới hạn của hàm số y = 3x + 3 5

Học sinh nhầm lẫn khái niệm với định lí, chẳng hạn, vì không nắm đợc

khái niệm số mũ nguyên âm nên đã đi chứng minh “ n

n

1a

a



 ” với a0 Khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó hiểu đối với học sinh(thậm chí đối với cả giáo viên), khi dạy khái niệm giới hạn giáo viên không quantâm tới giải thích tập xác định của hàm số có vai trò trong tính giới hạn nh thế

nào? nên khi tính  2 

x 1

    có học sinh lập luận: Ta có

1 x  x 1 chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập

xác định của f(x) là K= 1 Do đó không thể định nghĩa lim f(x)x1 đợc, vì khôngthể lấy bất kì dãy  xn nào với xnK, xn  mà 1  xn dần tới 1 đợc

Hiểu sai khái niệm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, nên có khi xem giá trịnhỏ nhất, giá trị lớn nhất là biểu thức chứa biến và cho dấu bằng xẩy ra để suy ragiá trị cần tìm Một sai lầm khác khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là họcsinh không tìm điều kiện xẩy ra dấu bằng của biến số, giả sử không tồn tại dấubằng học sinh vẫn cứ kết luận tồn tại giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

Ví dụ 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

2

12xx

 với x > 0

(?): áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có M =

2

12xx

Vậy giá

trị nhỏ nhất của M là 2 4 3

Nhiều khái niệm có điều kiện dới dạng hội, học sinh hay áp dụng thiếu

điều kiện và chỉ căn cứ vào hình thức của bài toán mà kết luận, nh khái niệmnguyên hàm chẳng hạn, họ hay lãng quên điều kiện F,(a+) = f(a); F,(a-) = f(b)nên kết luận bài toán thiếu sót

đ-ợc điều phải chứng minh.

(!): Học sinh hiểu khái niệm một cách hình thức nên không xét trờng hợp

đạo hàm tại x = 0 Chính sai lầm đó dẫn tới sai lầm nối tiếp sai lầm khi tìm các

tham số để hàm số F(x) là nguyên hàm của một hàm số f(x)

Đặc trng nổi trội nhất của khái niệm hàm số hiện diện trong quan niệm củahọc sinh là đặc trng tơng ứng, nhng thực sự học sinh cha nắm vững thuộc tínhbản chất của khái niệm này Sự phụ thuộc của hàm số và biến số theo quan niệmcủa học sinh là một biểu thức thể hiện sự tơng quan của chúng Cách biểu diễnhàm số bằng biểu thức giải tích có tính “độc quyền” này trong Sách giáo khoa đã

ảnh hởng mạnh mẽ đến học sinh, nên đa số học sinh quan niệm hàm số gắn liềnvới một công thức Theo đó một bảng số hay một đờng cong cho trớc thờng chỉ

đợc học sinh chấp nhận là hàm số trong trờng hợp nó là một công thức tơng ứng.Rất ít học sinh xét đến bảng số hoặc đờng cong đó thỏa mãn quy tắc tơng ứngtrong định nghĩa hàm số, nên học sinh hay mắc sai lầm khi đối diện với nhữnghàm số cho bằng bảng hoặc đồ thị mà không có công thức tơng ứng

1.3.4.2 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí

Cấu trúc thông thờng của định lí có dạng A B trong đó A là giả thiết của

định lí, B là kết luận của định lí Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem thờngngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai lầm: không

có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí tơng tự cha

đúng Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ A; có B suy ra

có A; có A nhng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới phơng pháp giải Toán

Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh hay áp dụng thiếu điềukiện hoặc sử dụng đúng nhng không chính xác; sử dụng định lí nh định nghĩa

Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặc không hiểu bản chất nên khi

sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng của định lí

Ví dụ 31: Tính tích phân I =

2

2 2

dx

x 1

 

(?): I =

2

2 2

x 1



 gián đoạn tại x = -1   2; 2 nên 

không sử dụng đợc công thức Niutơn – Lapnít để tính tích phân trên Giả thiếtcủa công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nên cáchgiải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí Thực ra tích phân trênkhông tồn tại

(a; b) Nói cách khác ta có định lí nêu lên mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và sự

đơn điệu của hàm số trên một khoảng (a; b) Không có định lí đề cập đến vấn đề

đó trên một tập D bất kì, nói riêng khi D là hợp của hai khoảng rời nhau Hơnnữa, trong Sách giáo khoa hiện hành cũng không có khái niệm hàm số đồng biến,nghịch biến trên một tập bất kỳ, mà chỉ có trên một khoảng, đoạn hay nửakhoảng thôi!

Ta dễ thấy rằng f(t) xác định trên  ; 0  0;  rõ ràng f(t) đồng biến

 ; 0 và f(t) đồng biến  0; , thế nhng nếu f(x) = f(y) ta không kết luận

đ-ợc x = y Ta chỉ kết luận đđ-ợc nh vậy khi x và y cùng dấu Ta cũng có thể thấy

ngay rằng, khi x, y trái dấu, chẳng hạn y 1

   mọi x0, suy ra hàm số đồng biến Mà f(3) = 0

nên x = 3 là nghiệm duy nhất

(!): Sai lầm ở chỗ: Hàm f(x) đồng biến trên  ;0 và đồng biến trên

Học sinh thờng nhầm lẫn điều kiện cần và điều kiện đủ: Chẳng hạn, dạy

về cực trị có một định lí là: “Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấphai tại x0 và ,

0

f (x ) , 0 f (x ),, 0  thì x0 0 một điểm cực trị của hàm số”

Hơn nữa:

+ Nếu ,,

0

f (x ) thì x0 0 là một điểm cực tiểu + Nếu ,,

0

f (x ) thì x0 0 là một điểm cực đại Xung quanh định lí này không những học sinh áp dụng không đúng mà rấtnhiều tài liệu tham khảo cũng áp dụng cha chuẩn Xin đa một ví dụ minh chứngcho điều đó

Ví dụ 34: Tìm k sao cho hàm số y = 2x + k. 2

ky

Vì y đạt cực tiểu tại x0 suy ra ,,

0

y (x )0 k 2

(!): Lời giải trên đã nhầm lẫn giữa điều kiện cần và điều kiện đủ Đáng lẽ

sau khi suy ra k  , phải lần lợt xét hai trờng hợp2

Nếu k < - 2 thì ,,

0

y (x ) khi đó y đạt cực đại tại 0 x (trái giả thiết)0 Nếu k > 2 thì y,,(x0) > 0 khi đó y đạt cực tiểu tại x , nên k > 2 là giá trị0cần tìm

Có học sinh còn mắc phải sai lầm nặng hơn: Tìm đợc

Cần phải lu ý rằng, nếu y đạt cực tiểu tại x0 thì cha đủ để suy ra ,, 

Ví dụ 35: Tìm

n

n

2 ( 1)lim

(!): Ta thấy rằng định lí Weierstrass về sự hội tụ của dãy đơn điệu và bịchặn có giới hạn chỉ là điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần Bài toán đợc giải

chứ không phải là 0 nh lời giải sai trên đây của học sinh

Chẳng hạn, khi học quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = xn, học sinhkhông chú ý rằng số mũ phải là hằng số nên áp dụng quy tắc trên để tính đạohàm của hàm số y = xx, có những sai lầm nghiêm trọng hơn khi học sinh cho

Trong hệ điều kiện này, điều kiện  0 đã bị thừa Sự “thừa” này

tuy không sai nhng nhiều khi gặp phải những  cồng kềnh thì có thể chấp nhậnthất bại ngay chỗ đó Nói cách khác, lẽ ra không cần xử lí điều kiện  0 thì

đằng này lại hớng vào việc giải điều kiện  0, mà nhiều khi điều này lại khôngvợt qua nổi, cho nên ta chấp nhận bỏ cuộc

1.3.5 Sai lầm liên quan đến thao tác t duy

Ví dụ 37: Chứng minh bất đẳng thức

a b c d e a b c de (1) với a, b, c, d, eR

Xin nêu hai cách giải cho bài toán này trớc hết không phải vì mục đích tìmcho ra nhiều lời giải, mà với mỗi cách giải sẽ gợi lên một phơng hớng tổng quáthóa bài toán:

 2  2 2 2

a a  a  n a a  a 0 (1) luôn đợc thỏa mãn a i Nhng với n > 4, nếu chọn a1 a2   an  thì 1 2

a Nhng nếu số hạng ở vế trái nhiều

hơn hay ít hơn thì sự phân tích trên không đúng nữa, nếu tăng số hạng lên n số thì

cần phải có n lần

2

an

a b c Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn Tổng quát hóa bài toán

Học sinh dễ dàng chứng minh đợc tam giác có ba góc nhọn nh sau:

a b c với n > 2 thì tam giác ABC nhọn” Với

cách tổng quát hóa này và cách chứng minh trên bài toán luôn đúng

Nhng học sinh cũng gặp một bài toán là: độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức

a b c thì tam giác có một góc tù Vì thấy

42

3  , nên học sinh dễ có khảnăng tổng quát hóa bài toán thành “Nếu độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn

a b c với n  2 thì tam giác có một góc tù” Nhng nếu lấy n =1 thì không

tồn tại tam giác nữa

Ví dụ 39: Cho a, b, c là các số thực bất kì thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng

a + b + c = 3 bởi a + b + c 3thì không ảnh hớng tới chứng minh trên Thử mở rộng bài toán bất đẳng thức từ ba số a, b, c sang n số a , 1 a , , 2 ancũng nh thay số 4, số 3 bởi các số nguyên dơng bất kì ta đợc: “Nếu a , 1 a , , 2 an

là các số thực thỏa mãn

n i

  ” Bằng tính cảnh giác ta ngờ rằng điều này không nhất thiết đúng,

thử với bốn số a1  ; 3 a2 a3  ; 2 a4  thì giả thiết 3

4 i

Vậy bài toán cần thêm điều kiện gì để tổng quát đợc? Với thử nghiệm các

số trên cần thiết đa thêm điều kiện phụ lên các số a ta có bài toán tổng quáti

“NÕu ai  , i = 1, 2, ., n vµ 0

n i

2x

f(x) = x +

2

9

cosx4x

Nếu  1thì I =

2

1a.x b ln a.x b C

a       không cho kết quả nh bàitoán tổng quát, do học sinh không ý thức đợc sự suy biến của nguyên hàm khi 

thay đổi nên tổng quát hóa sai

Trong hình học lớp 10 để tính diện tích tam giác có công thức Hêrông nh

sau: S = p p  a p   b p   c với p là nửa chu vi; a, b, c là độ dài ba cạnh của

tam giác, học sinh áp dụng công thức tơng tự cho trờng hợp tứ giác lồi có độ dàicác cạnh là a, b, c, d và p là nửa chu vi là:

S = p p  a p   b p   c p   d Đặc biệt hóa cho tứ giác là hình bình hành

thì công thức không còn đúng, mà chỉ đúng với trờng hợp tứ giác là tứ giác nộitiếp

Học sinh hay sai lầm khi nghiễm nhiên áp dụng một công thức, một kháiniệm cho trờng hợp suy biến, vì có trờng hợp suy biến không thuộc ngoại diêncủa khái niệm, chẳng hạn đoạn thẳng không thuộc ngoại diên của tam giác

Một Ví dụ lịch sử điển hình về sai lầm khi vận dụng phép tơng tự:

(!): Dễ thấy rằng, đồ thị hàm bậc ba y = f(x) tiếp xúc với 0x không hẳn

ph-ơng trình y = 0 đã có nghiệm duy nhất, bởi vì ngoài điểm tiếp xúc còn có thể cắttại điểm khác nữa Sai lầm của học sinh xuất phát từ chỗ: họ rất quen với hàmbậc hai, đồ thị của nó là parabol, mà parabol tiếp xúc với 0x thì phơng trình bậchai có nghiệm duy nhất tức là nghiệm kép Thế nhng sang hàm bậc 3, bậc 4 thì

Đề cập đến việc phát triển t duy hàm, Nguyễn Bá Kim đã đa ra bốn T Tởngchủ đạo, trong đó có T Tởng thứ Nhất là “Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiếtlập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tơng ứng trong khi nhằm vào truyền thụkiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học ” Khi làm những bài toán có liên quan

đến t duy hàm, học sinh hay sai lầm trong việc phát hiện, thiết lập sự tơng ứnggiữa các đối tợng tham gia trong bài toán, đặc biệt nổi bật trong các bài toán vềhàm số, phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình có chứa tham số, hoặc cần

t = x 1  3 x với x   1; 3 , thì bài toán trở thành: tìm m để phơng trình

2

t  2t 2m  2 0 có nghiệm Vì thế cần phải đặt điều kiện cho ẩn phụ Học

sinh có thể lí giải nh sau:

(!): Tuy nhiên, kiểm tra trờng hợp m = 1 thì ta thấy rằng phơng trình (1)không có nghiệm duy nhất Học sinh đã phạm phải sai lầm trong lập luận khi chorằng: “phơng trình (1) có nghiệm duy nhất” và “phơng trình (3) có nghiệm duy

nhất” là hai cụm từ đồng nghĩa với nhau Thực ra, với mỗi giá trị t 3

Ví dụ 46: Cho phơng trình sin3x – mcos2x – (m + 1)sinx + m = 0 (1)

Tìm m để phơng trình có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0; 3 

Tiếp theo học sinh buộc phơng trình f(t) = 2

4t  2mt m 20 phải có

hai nghiệm phân biệt  1 t1 t2  1

(!): Học sinh đã đa ra điều kiện không đầy đủ vì không nhận thức đợc với

mỗi giá trị t cho bao nhiêu giá trị của x thuộc vào khoảng 0; 3 Thực chất, đểthỏa mãn yêu cầu bài toán thì phơng trình 2

4t  2mt m  20 phải có hai

nghiệm t1 < t2 thỏa mãn  1 t1  0 t2  1

Ví dụ 47: Tìm tất cả các điểm trên đờng thẳng y = -1 sao cho từ đó có thể

kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị y = x4 - 2x2

(?): Gọi điểm cần tìm là A (m; -1) thì đờng thẳng qua A có hệ số góc k là y

= k(x – m) – 1 Đờng thẳng này là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ

3x  4xm 1 0 có duy nhất một nghiệm khác 1, điều đó

(!): Học sinh đã mắc phải sai lầm khi nghĩ rằng có ba tiếp tuyến nghĩa là

có 3 giá trị của x Đúng ra có 3 tiếp tuyến tức là có 3 giá trị của k, tuy nhiênkhông phải mỗi giá trị của k tơng ứng với một và chỉ một giá trị x Mỗi giá trị xthì tạo ra một giá trị của k, nhng có những giá trị k tạo ra nhiều giá trị x, chẳnghạn, với k = 0 thì tồn tại 3 giá trị x = 0; x =1

Cách giải đúng của bài này phải là nh sau: Để có ba tiếp tuyến thì trớc hếtphơng trình (1) có không ít hơn 3 nghiệm theo ẩn x (vì mỗi x chỉ tạo ra một k).Tuy nhiên các nghiệm x =1chỉ tạo ra đợc k = 0, do đó phơng trình

1.3.7 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức“ ”

Theo nhà toán học A Ia Khinsin, chủ nghĩa hình thức trong nhận thức củahọc sinh thờng bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức học sinh có sự phá vỡ nào đó mốiquan hệ tơng hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiện toán học và cáchdiễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy” (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004)