Tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh thông qua dạy học khai thác ứng dụng các định lí định lí hàm số cosin, định lí hàm số sin, công thức độ dài đường trung tuyến

Có thể cho rằng trong thế giới ngày nay ngời ta coi tích cực - chủ động - sáng tạo là yếu tố đặc trng của con ngời trong thế kỷ mới và nhiều nhà giáodục hầu hết các nớc đã và đang nỗ lực

Để đáp ứng đợc quá trình dạy học trong sự “ bùng nổ thông tin” do sự

phát triển mạnh mẽ của cuộc cánh mạng khoa học kĩ thuật , có sự tăng vọtkhối lợng thông tin nói chung cũng nh khối lợng thông tin cần thiết để xã hội

hóa nhân cách của học sinh “Thanh niên phải biết cách học, cách suy nghĩ,

vừa có khả năng tiếp thu nhanh các kiến thức cơ bản, vừa biết vận dụng các tri thức đó, phải có t duy độc lập, sáng tạo, phải biết tự đào tạo tự bồi dỡng, luôn luôn làm phong phú tri thức cửa mình và tự rèn luyện khả năng của mình” Có thể cho rằng trong thế giới ngày nay ngời ta coi tích cực - chủ động

- sáng tạo là yếu tố đặc trng của con ngời trong thế kỷ mới và nhiều nhà giáodục hầu hết các nớc đã và đang nỗ lực tìm kiếm các quan niệm, hình thức, ph-

ơng pháp dạy học nhằm: “ bồi dỡng và phát huy t duy tích cực, độc lập và

sáng tạo cho học sinh thay cho cách học thụ động ít hiệu quả, bị chế định bởi các hình thức và phơng pháp dạy học truyền thống ”.

Đúng nh nhà vật lý học Xô Viết nổi tiếng P.Lkpixta đã từng khẳng định: “

Không còn nghi ngờ gì nữa, để dạy tốt thanh niên ngày nay cần phải giáo dục khả năng sáng tạo cho họ, bắt đầu từ nhà trờng phổ thông Đó là nhiệm vụ chính của nhà trờng mà nền văn minh của nớc nhà phụ thuộc vào ”.

ở nớc ta hiện nay, để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóahiện đại hóa đất nớc hệ thống giáo dục và đào tạo cần xác định lại mục tiêu,nội dung và phơng pháp giáo dục theo định hớng mà nghị quyết trung ơng 4

(khóa VII ) đã chỉ ra: “ Đào tạo những con ngời có năng lực thích ứng với

kinh tế thị trờng cạnh tranh và hợp tác, có năng lực giải quyết những vấn đề thờng gặp, tìm đợc việc làm, lập nghiệp và thẳng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc là dân giàu, nớc mạnh, xã hội công bằng, dân chủ và văn minh”.

Yêu cầu này lại đợc nhấn mạnh trong nghị quyết trung ơng 2 ( khóa VIII)

: “có t duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có

tính tổ chức kỉ luật, là những ngời xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa hồng vừa chuyên nh lời căn dặn của Bác Hồ ”.

Nh vậy theo tinh thần của nghị quyết này, cùng với những thay đổi về nộidung cần có những đổi mới căn bản về phơng pháp dạy học theo định hớng “

tổ chức cho ngời học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực

và sáng tạo” Hay nói cách khác phơng pháp giáo dục phải hớng vào sự kích

thích, rèn luyện, bồi dỡng và phát triển năng lực t duy tích cực, độc lập vàsáng tạo cho học sinh

Nhà toán học Mỹ G.Polya đã nói: “ sự kích thích tốt nhất cho việc học tập

là sự hứng thú mà tài liệu học tập gợi nên cho học sinh, còn phần thởng tốt nhất cho hoạt động trí óc căng thẳng là sự sảng khoái đạt đợc nhờ vào hoạt

động nh vậy ”

Theo V.A.Crutenxki, các khái niệm “ t duy tích cực ”, “ t duy độc lập ” và

“t duy sáng tạo” có mối liên hệ mật thiết với nhau, đó là những mức độ t duy

khác nhau, mỗi mức độ trớc là tiền đề cho mức độ sau, ngợc lại mỗi mức độsau đều thể hiện mức độ trớc

Nh vậy “ t duy tích cực ” là cấp độ đầu tiên và là tiền đề cho các cấp độ t

duy tiếp theo và đồng thời có mối liên hệ qua lại với các cấp độ khác, vì vậyphát huy đợc tính tích cực của học sinh trong hoạt động học tập là việc hết sứcquan trọng , và điều đó đợc các tác giả: Phạm Gia Đức - Phạm Văn Hoàn

trong “Rèn luyện công tác độc lập cho học sinh qua môn toán” đã đợc khẳng

định một cách đúng đắn: “ Nếu không có hoạt động t duy tích cực cho học

sinh thì không thể vũ trang cho học sinh những kiến thức và kĩ năng, kĩ xảo vững chắc ”.

Vấn đề tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh đợc rất nhiều tác giảquan tâm nh:

- Nguyễn Lan Phơng – Cải tiến phơng pháp dạy học toán với yêu cầu tíchcực hóa hoạt động học tập theo hớng giúp học sinh phát hiện và giảiquyết vấn đề – Luận án tiến sĩ giáo dục

- Thái Viết Thảo – Những kinh nghiệm giảng dạy và đào tạo – TrờngTHPT chuyên Phan Bội Châu

Tuy nhiên các tác giả cha đa ra một cách thức thực hiện cụ thể cho việcgiảng dạy các định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin và công thức đờngtrung tuyến, một hệ thống các định lý có rất nhiều ứng dụng trong chơngtrình toán học phổ thông

Chính vì những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận vănlà:

“ Tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh thông qua dạy học khai

thác ứng dụng các định lý: Định lý hàm côsin, định lý hàm số sin và công thức độ dài đờng trung tuyến ”

( Định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin và công thức độ dài đờng trungtuyến đợc chọn minh họa cho đề tài bởi vì chúng là những định lý có mức ứngdụng rộng và thuận lợi trong việc tạo hứng thú cho học sinh, phát huy tính tíchcực của học sinh )

II Mục đích nghiên cứu:

Phân tích, khai thác nắm bắt ý nghĩa của các đinh lý (định lý hàm số cosin,

định lý hàm số sin, công thức đờng trung tuyến), tìm mối liên hệ giữa các định

lý từ đó xây dựng đợc các dạng bài tập ứng dụng tơng thích với các định lý sẽtích cực hóa đợc hoạt động nhận thức toán học

cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học ở trờng phổ thông

III Giả thuyết khoa hoc:

Thông qua dạy học khai thác ứng dụng các định lý ( định lý hàm số sin, định

lý hàm số cosin, công thức đờng trung tuyến ), và xây dựng đợc các dạng bàitâp ứng dụng tơng thích với các định lý sẽ tích cực hóa đợc hoạt động nhậnthức cho học sinh góp phần nâng cao chất lợng dạy và học ở các trờng phổthông

IV Nhiêm vụ nghiên cứu.

Nhiệm vụ đặt ra cho luận văn là:

4.1 Xây dựng cơ sở lý luận và thực tiễn cho việc phát triển và bồi dỡng t duytích cực cho học sinh

4.2 Phân tích ý nghĩa các định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin và côngthức đờng trung tuyến, thiết lập mối quan hệ giữa các định lý với nhau vàmối liên hệ giữa các định lý với hệ thống các công thức, định lý về hệthức lợng trong tam giác để đề ra các dạng bài tập ứng dụng nhằm pháthuy và bồi dỡng t duy tích cực cho học sinh

V Ph ơng pháp nghiên cứu

5.1 - Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về phơng pháp dạy học toán, sách giáo khoa, sáchgiáo viên.

- Nghiên cứu, phân tích các tài liệu về tâm lý giáo dục, lý luận dạy học và cáctài liệu liên quan đến đề tài của một số tác giả

5.2 - Điều tra tìm hiểu:

Tìm hiểu về thực trạng dạy và học theo phơng pháp tích cực ở trờng trunghọc phổ thông

5.3 – Thực nghiệm s phạm.

VI.Cấu trúc của khóa luận:

Mở đầu

Chơng I Một số cơ sở lý luận về TCHHĐ nhận thức của học sinh

Chơng II Một số ứng dụng của định lý hàm số cosin ,hàm số sin

và công thức đờng trung tuyến

Đ 1 Một số ứng dụng của định lý hàm số cosin

Đ 2 Một số ứng dụng của định lý hàm số sin

Đ 3 Một số ứng dụng của công thức độ dài đờng trung tuyến

Đ 4 Mối liên hệ giữa các định lý

Chơng III.Thực nghiệm s phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

ChơngI : Một số cơ sở lý luận về tích cực hóa

hoạt động nhận thức của học sinh

Để thúc đẩy đợc sự phát triển nhân cách của học sinh chúng ta cần phải pháthuy tính tích cực , một trạng thái tinh thần tiềm tàng ở các em, thông quachính hoạt động học tập - hoạt động chủ đạo ở trờng phổ thông Muốn vậy ,chúng ta cần phải thấy rõ mối quan hệ khăng khít, chặt chẽ của hoạt động dạycủa giáo viên và hoạt động nhận thức của học sinh trong quá trình dạy họcthống nhất biện chứng Qua đó phân tích một số khía cạnh của t tởng tích cựchóa hoạt động nhận thức của học sinh để tìm một số giải pháp có thể phát huytính tích cực của học sinh

I Hoạt động nhận thức.

1 Hoạt động.

Hoạt động là một khái niệm của tâm lý học hiện đại Một hoạt động baogiờ cũng nhằm vào một đối tợng nhất định, hai hoạt động khác nhau đợc phânbiệt bởi hai đối tợng khác nhau và đối tợng là động cơ thực sự của hoạt động

Về phía đối tợng : Động cơ đợc thể hiện thành các yêu cầu Các nhu cầu

đó đợc hình thành từ một đối tợng ban đầu còn trừu tợng, ngày càng phát triển

rõ ràng, cụ thể hơn và đợc chốt lại ở hệ thống mục đích Mỗi mục đích lại thỏamãn các điều kiện ( hay còn gọi là các phơng tiện) Mối quan hệ biện chứnggiữa mục đích và điều kiện đợc coi là nhiệm vụ

- Về phía chủ thể: Chủ thể dùng sức căng cơ bắp, thần kinh, năng lực, kinhnghiệm thực tiễn…, để thỏa mãn động cơ gọi là hoạt động Quá trình chiếm, để thỏa mãn động cơ gọi là hoạt động Quá trình chiếmlĩnh từng mục đích gọi là hành động Điều kiện để đạt từng mục đích lại quy

định cách thức hành động gọi là thao tác

Giữa hành động và thao tác có mối quan hệ biện chứng Hành động sinh rathao tác nhng thao tác không phải là phần riêng rẽ của hành động Sau khi đợcsinh thành, thao tác có khả năng tồn tại độc lập và có thể tham gia vào nhiều

hành động khác “ Thực chất của phơng thức giáo dục là tổ chức các hoạt

động liên tục cho học sinh theo một chuỗi các thao tác, trong cơ cấu có sự tham gia của động cơ và nhiệm vụ của từng ngời Vì hành động sinh ra thao tác nên trong giáo dục ta có thể huấn luyện gián tiếp thao tác thông qua hành động ”.

2 Hoạt động nhận thức.

Hoạt động nhận thức là một trong những hoạt động của con ngời, do đó nócũng tuân theo cấu trúc tổng quát của một hoạt động nói chung ở đây ta chỉbàn đến hoạt động nhận thức của học sinh Học sinh tiến hành hoạt động nàynhằm lĩnh hội những kinh nghiệm xã hội đợc thể hiện dới dạng những trithức, kĩ năng.

Xét một số khía cạnh cơ bản của hoạt động nhận thức

- Về cấu trúc hoạt động:

+ Động cơ: Nắm lấy tri thức , kĩ năng, kĩ xảo hay tự hoàn thiện bản thân.+ Mục đích: Học sinh phải vợt ra khỏi những giới hạn, những kiến thức đã cócủa mình để đạt tới những kiến thức mà các em cha có Vì thế nhiệm vụ của

hoạt động nhận thức thờng đợc đặt ra dới dạng “bài toán” có vấn đề.

Học sinh giải quyết các nhiệm vụ của mình nhờ vào các hoạt động nhận thức

cụ thể nh : Tách vấn đề - vạch phơng hớng giải quyết trên cơ sở phân tích cácmối quan hệ trong tài liệu học tập, mô hình hóa, cụ thể hóa các mối quan hệ

đó Kiểm tra tiến trình và kết quả học tập, các hoạt động này đợc thực hiện bởicác thao tác t duy đặc trng nh : Phân tích - tổng hợp - khái quát hóa - trừu tợnghóa - cụ thể hóa - so sánh đối chiếu - quy nạp…, để thỏa mãn động cơ gọi là hoạt động Quá trình chiếm, tuy nhiên toàn bộ quá trìnhnày không tự diễn ra mà đòi hỏi phải có điều kiện là sự kích thích nhất địnhtrong các giai đoạn

- Về hình thức: Hoạt động nhận thức có thể diễn ra trong hoạt động trên lớp

mà ở đó giáo viên thực hiện vai trò chỉ đạo, hớng dẫn hoặc trong thời gianhoạt động độc lập trên lớp, khi làm bài tập ở nhà

Hoạt động dạy và hoạt động học tập có mối quan hệ khăng khít, chặt chẽ:Trình tự các bớc trong hoạt động học hoàn toàn thống nhất với trình tự các bớctrong hoạt động dạy Nếu giáo viên vạch ra nhiệm vụ, các hành động nhậnthức sắp tới của học sinh bằng các biện pháp s phạm hợp lý và kích thíchchúng thì học sinh sẽ tiếp nhận các nhiệm vụ đó, thực hiện các hành độngnhận thức đề ra Nếu giáo viên kiểm tra hành động của học sinh và điều chỉnhhoạt động dạy của mình thì dới ảnh hởng của giáo viên học sinh cũng điềuchỉnh hành động của mình…, để thỏa mãn động cơ gọi là hoạt động Quá trình chiếm, “ sự thống nhất của các quá trình dạy và học

đợc thể hiện ở sự tơng ứng giữa các giai đoạn hoạt động của cả thầy và trò Chỉ khi nào có sự thống nhất này mới tạo nên một hiện tợng hoàn chỉnh

mà ta gọi là quá trình dạy học ”.

II Tính tích cực.

Theo từ điển tiếng Việt, tích cực là một trạng thái tinh thần có tác dụng khẳng

định và thúc đẩy sự phát triển Tính tích cực là một sản phẩm vốn có của conngời trong đời sống xã hội Khác với động vật, con ngời không chỉ tiêu thụnhững gì có sẵn trong thiên nhiên mà còn chủ động bằng cách lao động sảnxuất ra những của cải vật chất cần cho sự phát triển và tồn tại của xã hội Sángtạo ra nền văn hóa của mỗi thời đại Hình thành và phát triển tính tích cực làmột trong các nhiệm vụ chủ yếu của giáo dục nhằm đào tạo những con ngờinăng động, thích ứng và góp phần phát triển cộng đồng Có thể xem tính tíchcực là một điều kiện, đồng thời là một kết quả của sự phát triển nhân cáchtrong quá trình giáo dục

Tính tích cực của con ngời biểu hiện trong hoạt động đặc biệt là những hoạt

động chủ đạo của chủ thể Học tập là hoạt động chủ đạo của trẻ ở lứa tuổi đihọc Tính tích cực học tập về thực chất là tính tích cực nhận thức, đặc trng ởkhát vọng hiểu biết, nỗ lực trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình chiếm lĩnh trithức Nó diễn ra ở nhiều phơng diện khác nhau: Tri giác tài liệu, thông hiểu tàiliệu, ghi nhớ vận dụng, khái quát…, để thỏa mãn động cơ gọi là hoạt động Quá trình chiếm, và đợc thực hiện bởi nhiều hình thức đadạng, phong phú

+ Xúc cảm học tập: Thể hiện ở niềm vui sốt sắng thực hiện yêu cầu của giáoviên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu những ý kiến của mìnhtrớc những vấn đề nêu ra, hay nêu thắc mắc đòi hỏi giải thích những vấn đề

+ Có hành vi, cử chỉ khẩn trơng thực hiện các hành động t duy

+ Kết quả lĩnh hội: Nhanh, đúng, tái hiện đợc khi cần, vận dụng đợc khi gặptình huống ấy

Đặc biệt tính tích cực học tập có mối quan hệ nhân quả với các phẩm chấtnhân cách của ngời học nh:

+ Tính tự giác: Đó là sự tự nhận thức đợc nhu cầu học tập của mình và có giátrị thúc đẩy hoạt động có hiệu quả

+ Tính độc lập t duy: Đó là sự phân tích, tìm hiểu, giải quyết các nhiệm vụnhận thức - đây là biểu hiện cao của tính tích cực

+ Tính chủ động: Thể hiện ở việc làm chủ các hành động trong toàn bộ hoặctrong từng giai đoạn của quá trình nhận thức nh : Đặt ra nhiệm vụ, lập kếhoạch thực hiện nhiệm vụ đó…, để thỏa mãn động cơ gọi là hoạt động Quá trình chiếm, lúc này tính tích cực đóng vai trò nh một tiền

đề cần thiết

+ Tính sáng tạo: Thể hiện khi chủ thể nhận thức tìm ra cái mới, cách giảiquyết mới không bị phụ thuộc vào cái đã có Đây là mức độ biểu hiện caonhất của tính tích cực

+ Động cơ học tập: Tính tích cực trong học tập có liên quan mật thiết tới độngcơ học tập Động cơ học tập đúng tạo ra hứng thú - hứng thú là tiền đề của tựgiác Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực Khi đãhình thành thì tính tích cực lại có giá trị nh một động cơ thúc đẩy hoạt động,song giữa chúng có sự khác biệt cơ bản: Động cơ là đối tợng của hoạt động, làthuộc tính của nhân cách, còn tính tích cực lại là một trạng thái tinh thần làmnền cho hoạt động diễn ra có hiệu quả và có thuộc tính thiên về mặt cảm xúc Đối nghĩa với tính tích cực chủ động là tính thụ động, thể hiện ở trạng tháichủ thể chịu sự chi phối và tác động từ bên ngoài (giáo viên , môi trờng họctập…, để thỏa mãn động cơ gọi là hoạt động Quá trình chiếm) không hề có phản ứng trở lại (bảo tới đâu làm tới đó, không tự giác,không độc lập, không chủ động trong các hoạt động của mình) Mặc dù tínhtích cực là tiền đề cần thiết để ngời học có tính chủ động nhng nó không đốilập với tính thụ động mà trái lại chúng đều là những thuộc tính của cùng mộtchủ thể (nhân cách học sinh) và có quan hệ thứ bậc Thụ động là cấp độ thấpcủa tính tích cực theo nghĩa: Với cùng một trình độ nhất định, học sinh Achẳng cần cố gắng gì (thụ động) cũng đạt đợc Học sinh B phải cố gắng mộtchút (tích cực ít), còn học sinh C phải cố gắng thật nhiều (tích cực nhiều) thìmới đạt đợc Ngợc lại, học sinh D dù có tích cực tuột bậc nhng cũng chỉ nhậnthức đợc ở múc độ học sinh A tích cực bình thờng mà thôi

Nh vậy, nói về tính tích cực , ngời ta đánh giá nó ở cấp độ cá nhân ngờihọc trong quá trình thực hiện mục đích dạy học chung Một cách khái quát I.F

Kharlamop viết: “ Tính tích cực trong hoạt động nhận thức là trạng thái

hoạt động của học sinh đợc đặc trng bởi khát vọng học tập, sự cố gắng trí tuệ với nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức cho chính mình ”.

G.I Sukina đã chia tính tích cực làm ba cấp độ:

1 Tính tích cực bắt chớc tái hiện: Xuất hiện do tác động kích

thích bên ngoài (yêu cầu của giáo viên) , trong trờng hợp này ngời học thaotác trên đối tợng, bắt chớc theo mẫu hoặc mô hình của giáo viên nhằm chuyển

đối tợng từ ngoài vào theo cơ chế “hoạt động bên ngoài và hoạt động bên

trong có cùng cấu trúc” nhờ đó kinh nghiệm hoạt động đợc tích lũy thông

qua kinh nghiệm của ngời khác

2 Tính tích cực tìm tòi: Đi liền với quá trình hình thành khái

niệm, giải quyết các tình huống nhận thức, tìm tòi các phơng thức hành độngtrên cơ sở có tính tự giác, có sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ýchí của học sinh Loại này xuất hiện không chỉ do yêu cầu của giáo viên màcòn hoàn toàn tự phát trong quá trình nhận thức của học sinh Nó tồn tạikhông chỉ ở trạng thái, cảm xúc mà còn ở dạng thuộc tính bền vững của hoạt

động ở mức độ này, tính độc lập cao hơn mức trên, cho phép học sinh tiếpnhận nhiệm vụ và tự tìm cho mình phơng tiện giải quyết

3 Tính tích cực sáng tạo: Thể hiện khi chủ thể tự tìm tòi kiến thức

mới, tự tìm ra phơng thức hành động riêng và trở thành phẩm chất bền vữngcủa cá nhân Đây là mức độ biểu hiện tính tích cực cao nhất

Cách phân loại trên giúp giáo viên đánh giá đợc mức độ tích cực của họcsinh theo mặt bằng chung cả lớp Tuy nhiên cũng còn phải hết sức kháiquát, muốn cụ thể và sát thực giáo viên còn phải căn cứ vào một loạt cácchỉ số khác nh : Kết quả học tập sau một tiết, một chơng, một phần; thờigian duy trì chú ý trong một giờ học ; thời gian duy trì hứng thú và tínhtích cực trong giờ học, chất lợng câu trả lời, sự độc đáo của phơng thức giảiquyết nhiệm vụ của học sinh

III Tích cực hóa hoạt động nhận thức.

Dạy học nhằm phát huy tính tích cực của hoạt động nhận thức của ngờihọc, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của ngời học chứ không

phải của ngời dạy và dựa trên nguyên tắc “phát huy tính tích cực, tự giác

và sáng tạo của học sinh” ở đây muốn nhấn mạnh đến vai trò trung tâm

của ngời dạy học, của hoạt động nhận thức và đồng thời cũng nêu rõ vai tròcủa ngời dạy trong quá trình dạy học

Tối đa hóa sự tham gia hoạt động của ngời học với phơng thức chỉ đạo là:

tự nhận thức, tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá Quá trình

đó hình thành t duy tích cực cho học sinh và từng bớc phát triển t duy độclập, t duy sáng tạo của học sinh

Nh vậy, quá trình dạy học bao hàm cả việc dạy cách tự học thông quaviệc để học sinh tự hoạt động nhằm đáp ứng các nhu cầu của bản thân vàxã hội, qua đó ta cũng thấy đợc vai trò của ngời thầy giáo là vai trò thúc

đẩy ( kích thích tạo điều kiện cho sự phát triển) tiềm năng của mỗi học

sinh Cố vấn Phạm Văn Đồng nói: “Mỗi ngời đều có một cái sở trờng

(tiềm năng) trời cho, con ngời có cái vốn có sẵn, ngời ta cần có cơ hội để phát triển nó” Vấn đề là khai thác những tiềm năng này nh thế nào? Đây

là một công việc quan trọng và có thể vô cùng khó khăn đối với thầy giáo,vì vậy mà giáo viên trong quá tình dạy học phải dùng các biện pháp s phạmnhằm kích thích suy nghĩ tìm tòi phát huy đến mức cao nhất tiềm năng đó

để giải quyết vấn đề đặt ra, giải quyết các bài toán

Yêu cầu trên đợc cụ thể hóa ở các nhiệm vụ sau:

 Thiết kế: Xác định, hoạch định toàn bộ kế hoạch giảng dạy (mục

đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện, hình thức tổ chức giảngdạy )

 ủy thác: Giao nhiệm vụ cho học sinh, phải biến đợc ý đồ của giáoviên thành nhiệm vụ nhận thức tự nguyện, tự giác của học sinh

 Điều khiển: Hớng dẫn, tổ chức quá trình học tập sao cho học sinh tựtìm tòi, tự phát hiện và tự giải quyết nhiệm vụ đó

 Thể chế hóa kiến thức: Đánh giá hoạt động học tập của học sinh xác

định vị trí kiến thức mới trong hệ thống tri thức đã có và hớng dẫnkhả năng vận dụng kiến thức đó

Tóm lại, ta có thể nói: “ Tích cực hóa hoạt động nhận thức của học

sinh là quá trình làm cho ngời học trở thành chủ thể của hoạt động nhận thức của chính họ”.

IV.Phơng pháp dạy học có thể phát huy đợc tính tích cực.

Để phát huy đợc tính cực của học sinh, chúng ta cần phải có các giảipháp mang tính đồng bộ, từ mục đích đến nội dung, từ sách giáo khoa -sách giáo viên, trang thiết bị lên lớp , nhng đặc biệt quan trọng đó là phảicải tiến phơng pháp dạy học

Vậy một phơng pháp dạy học cần phải thỏa mãn những điều kiện nào thì

có thể tích cực hóa đợc hoạt động nhận thức của học sinh ? Đặc trơng cơbản của phơng pháp đó ?

1 Một phơng pháp dạy học cần thỏa mãn những điều kiện nào thì có

thể tích cực hóa đợc hoạt động nhận thức của học sinh ?

Nhà tâm lý học I.X.Iakimankai cho rằng: Nhà trờng cần phải trang bị chohọc sinh hai hệ thống tri thức:

1) Về hiện thực đối tợng

2) Về nội dung cách thức thực hiện các hành động trí tuệ,

đảm bảo việc nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đối tợng đó Các tri thức loại một đợc phản ánh trong sách giáo khoa, còn tri thứcthứ hai đợc hình thành chủ yếu ở học sinh bằng con đờng tự phát ở đó trithức loại hai là các thủ pháp của học tập nh : tri thức lôgíc ( phân tích, sosánh, khái quát hóa, phân loại ), tri thức tổ chức hợp lý các quá trình nhậnthức khác nhau ;

I.Ia.Lerner còn thêm vào đó hai hệ thống nữa: kinh nghiệm hoạt độngsáng tạo và kinh nghiệm về thái độ, tình cảm

Các nhà lý luận dạy học P.I.Pitcaixti, B.I.Côrôtiaiev khẳng định : tơngứng với hai loại hoạt động nhận thức tái tạo và tìm tòi, sáng tạo của họcsinh thì có hai loại thông tin tái hiện và dự đoán Thông tin tái hiện lànhững tri thức đợc học sinh lĩnh hội ở dạng cho sẵn, thông qua việc ghinhận và tái hiện lại.Thông tin dự đoán là các tri thức học tập đợc học sinhkhôi phục lại bằng cách thiết kế, tìm kiếm và kiểm tra tính đúng đắn của

điều dự đoán Trong khi hoạt động tái hiện chỉ có duy nhất một phơng án

và việc thực hiện nó chính xác luôn dẫn tới một kết quả, thì hoạt động tìmtòi và sáng tạo lại dựa vào những thông tin ẩn tàng, cha tờng minh Họcsinh sẽ kiểm tra điều dự đoán trên cơ sở tìm kiếm và lựa chọn phơng án cókhả năng nhất trong hệ thống kiến thức đã có của mình Và do có nhiềuphơng án cha đợc kiểm tra nên thờng có khả năng và kết quả dự đoán vàthu nhận khác nhau

Qua các kết quả nghiên cứu có thể khẳng định rằng: Để phát huy đợctính tích cực của học sinh thì hệ thống tri thức về phơng thức hành động,biện pháp học tập và kinh nghiệm hoạt động cần phải dạy cho học sinh,chứ không nên chỉ chờ chúng hình thành một cách tự phát

2 Những dấu hiệu đặc trng của các phơng pháp dạy học tích cực

- Theo Giáo s –Tiến sĩ Trần Bá hoành trong bài: “những đặc trng của

phơng pháp tích cực”_ tạp chí giáo dục tháng 6 năm 2002 đã đa ra bốn

dấu hiệu cơ bản của phơng pháp tích cực ( để phân biệt với các phơng phápthụ động )

a Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh.

Trong phơng pháp tích cực, ngời học, đối tợng của hoạt động dạy, đồngthời là chủ thể của hoạt động học, đợc cuốn hút vào các hoạt động học tập

do giáo viên tổ chức và chỉ đạo.thông qua đó, tự lực khám phá những điềumình cha biết chứ không phải là thụ động tiếp thu những tri thức đã đợcgiáo viên sắp đặt sẵn Đợc đặt vào những tình huống của đời sống thực tế,ngời học trực tiếp quan sát thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt

ra theo cách suy nghĩ của mình Từ đó, vừa nắm đợc kiến thức, kĩ năngmới, vừa nắm đợc phơng pháp tìm ra kiến thức, kĩ năng đó Không rập theokhuôn mẫu sẵn có, đợc bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo

Dạy theo cách này thì giáo viên không chỉ đơn giản là truyền đạt tri thức

mà còn hớng dẫn hành động chơng trình dạy học phải giúp cho từng họcsinh biết hành động và tích cực tham gia các chơng trình hành động củacộng đồng

b Dạy học chú trọng rèn luyện phơng pháp tự học.

Phơng pháp tích cực xem việc rèn luyện phơng pháp học tập cho họcsinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là mộtmục tiêu dạy học

Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh với sự bùng nổ thông tin,khoa học kĩ thuật , công nghệ phát triển nh vũ bão thì không thể nhồi nhétvào đầu trẻ lợng kiến thức ngày càng nhiều Phải quan tâm dạy cho trẻ ph-

ơng pháp học ngay từ bậc tiểu học và càng lên bậc học cao hơn càng phải

c.Tăng cờng học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác.

Trong một lớp học mà trình độ kiến thức, t duy của học sinh không thể

đồng đều tuyệt đối thì khi áp dụng phơng pháp tích cực buộc phải chấpnhận sự phân hóa về cờng độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất làkhi bài học đợc thiết kế thành một chuỗi công tác độc lập áp dụng phơngpháp tích cực ở trình độ càng cao thì sự phân hóa ngày càng lớn Việc sửdụng các phơng tiện công nghệ thông tin trong nhà trờng sẽ đáp ứng yêucầu cá thể hóa hoạt động học tập theo nhu cầu và khả năng của mỗi họcsinh

Tuy nhiên, trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều đợchình thành bằng những hoạt động độc lập cá nhân Lớp học là môi trờnggiao tiếp thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhântrên con đờng chiếm lĩnh nội dung học tập Thông qua thảo luận, tranhluận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân đợc bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ.Qua đó, ngời học nâng mình lên một trình độ mới, bài học vận dụng đợcvốn hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi học sinh và của cả lớp chứ khôngphải chỉ dựa trên vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của thầy giáo Trongnhà trờng phơng pháp học tập hợp tác đợc tổ chức ở cấp độ nhóm, tổ, lớphoặc trờng Đợc sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động hợp tác trongnhóm nhỏ 4 đến 6 ngời Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất làlúc phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầuphối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong hoạt độnggiữa các nhóm nhỏ sẽ không thể có hiện tợng ỷ lại, tính cách, năng lực củamỗi thành viên đợc bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinhthần tơng trợ Mô hình hợp tác xã hội đợc đa vào đời sống học đờng sẽ làmcho các thành viên quen dần với sự phân công hợp tác trong lao động xãhội

Trong nền kinh tế thị trờng đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia,liên quốc gia; năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mànhà trờng phải chuẩn bị cho học sinh

d.Kết hợp đánh giá của thầy với sự tự đánh giá của trò.

Trong dạy học, việc đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận

định thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo

điều kiện nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy.trớc

đây ngời ta quan niệm giáo viên có độc quyền đánh giá học sinh Trong

phơng pháp tích cực, giáo viên phải hớng dẫn học sinh tự đánh giá để điềuchỉnh cách học liên quan đến điều này, giáo viên cần tạo thuận lợi để họcsinh đợc tham gia đánh giá lẫn nhau Tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt

động kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhàtrờng phải trang bị cho học sinh

Theo hớng phát triển các phơng pháp tích cực để đào tạo những con ngờinăng động, sớm thích ứng với đời sống xã hội thì việc kiểm tra đánh giá sẽkhông chỉ dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đãhọc mà phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyếtnhững tình huống thực tế Với sự trợ giúp của các thiết bị kĩ thuật, kiểm tra

đánh giá sẽ không còn là một công việc khó nhọc đối với giáo viên, mà lạicho nhiều thông tin kịp thời hơn để linh hoạt điều chỉnh hoạt động dạy, chỉ

đạo hoạt động học

từ dạy học thụ động sang dạy học tích cực, giáo viên không còn đóngvai trò đơn thuần là ngời truyền đạt kiến thức Giáo viên trở thành ngờithiết kế, tổ chức, điều khiển, hớng dẫn các hoạt động độc lập hoặc theonhóm nhỏ để học sinh tự chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt mụctiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêu cầu của chơng trình Trên lớp, họcsinh hoạt động là chính, giáo viên có vẻ nhàn nhã hơn, nhng trớc đó khisoạn giáo án, giáo viên phải đầu t công sức, thời gian rất nhiều so với kiểudạy học thụ động mới có thể thực hiện đợc bài lên lớp với vai trò là ngờigợi mở, xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài trong các hoạt động tìm tòihào hứng, tranh luận sôi nổi của học sinh Giáo viên phải có trình độchuyên môn sâu, rộng, có trình độ s phạm lành nghề mới có thể tổ chức, h-ớng dẫn các hoạt động của học sinh mà nhiều khi diễn biến ngoài tầm dựkiến của giáo viên

-Theo kết quả nghiên cứu của P.I.Pitcatxixti và B.I.Crôtiatiev, ta thấy cóhai cách chiếm lĩnh kiến thức:

1)Tái hiện kiến thức : định hớng đến hoạt động tái tạo, đợc xây dựngtrên cơ sở học sinh lĩnh hội các tiêu chuẩn, hình mẫu có sẵn

2) Tìm kiếm kiến thức: định hớng đến hoạt động cải tạo tích cực, dẫn

đến việc “phát minh” kiến thức và kinh nghiệm hoạt động

Nếu cách một chiếm u thế trong một phơng pháp dạy học cụ thể nào đóthì phơng pháp dạy học đó có thể đợc xem là ít tích cực, bởi các kiến thức

cho sẵn có tính áp đặt cao đối với quá trình học, nó kiểm soát ngời học từbên ngoài nên ít có khả năng kích thích họ hoạt động một cách thực sự (chỉghi nhớ, tái hiện) , và trạng thái tinh thần tơng thích của tính tích cực là bắtchớc, tái hiện.

ở cách hai, kiến thức xuất hiện trớc học sinh lúc đầu chỉ là những thôngtin dự đoán - bản thân nó đã có tác dụng gợi ý và khuyến khích ngời học

nỗ lực kiểm tra điều dự đoán Quá trình học tập diễn ra theo kiểu tìm kiếm,phát hiện, khai thác, biến đổi, và ngời học tự tạo kiến thức, kĩ năng tơngthích với kinh nghiệm và bản chất ngời của mình Do đó quá trình mangbản chất hoạt động, ngời học trở thành chủ thể tích cực hơn (tích cực tìmtòi, tích cực sáng tạo) và nếu nó chiếm u thế trong một phơng pháp dạy họcnào thì phơng pháp đó đợc xem là tích cực hơn Nhng cũng vì thế mà hệ sốsai sót, mức độ khó nhăn cũng lớn hơn

Tuy nhiên, để đảm bảo giúp học sinh lĩnh hội đợc đầy đủ kiến thức quy

định trong một đơn vị thời gian (giờ học) thì không chỉ vận dụng máy mócmột cách dạy học nào đó mà phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng với nhau,trong đó cách thứ hai phải chiếm u thế

Song việc sử dụng trội hơn một cách dạy nào chỉ cho phép ta giả định vềhiệu quả, còn muốn đánh giá nó có thực sự tích cực hay không, thì phảixem xét cả tính sẵn sàng học tập của học sinh nữa Tính sẵn sàng có quan

hệ hữu cơ với hai thành tố:

+ Khả năng học tập so với nhiệm vụ nhận thức nào đó

+ Thiện ý đối với nhiệm vụ đó

Nếu có khả năng, thiếu thiện ý thì học sinh không sẵn sàng học tập; cóthiện ý mà khả năng lại cha ngang tầm nhiệm vụ thì họ cũng không biếthoạt động ở đây khả năng và thiện ý lần lợt tơng thích với các khía cạnhhoạt động và nhân văn của t tởng tích cực hóa hoạt động nhận thức của họcsinh Do đó muốn học sinh trở thành chủ thể đích thực trong hoạt động của

họ thì vai trò của giáo viên là phải dựa vào sự nhận biết, hiểu biết đợc haimặt của tính sẵn sàng để sử dụng phơng pháp dạy học thích hợp

Tóm lại, phơng pháp dạy học nào đảm bảo phối hợp nhuần nhuyễn hai

cách dạy tái hiện và tìm kiếm kiến thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách thứ hai chiếm u thế, đồng thời kết hợp hài hòa với tính sẵn sàng học tập của học sinh thì về cơ bản, phơng pháp dạy học đó có khả

năng tích cực hóa đợc quá trình học tập của học sinh, nhờ đó hình thành

đợc các phơng thức hành động và kinh nghiệm hoạt động cho các em.

V.Dạy học định lý.

1.Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý.

Các định lý cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung

cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ

môn, đặc biệt khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng

lực trí tuệ chung, rèn luyện t tởng, phẩm chất và đạo đức

Việc dạy các định lý Toán học nhằm đạt đợc các yêu cầu sau

đây:

- Học sinh nắm đợc hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa

chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng nhgiải quyết các vấn đề trong thực tiễn

- Học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy

đợc chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phơng pháp làmviệc trên lĩnh vực Toán học

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán

học từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại đợc chứng minh, nâng lên mức

độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh theo yêu cầu của chơng trìnhphổ thông

- Thông qua việc học tập những định lí Toán học, học sinh biết

nhìn nhận nội dung môn Toán dới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề,

đồng thời rèn luyện đợc khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề ở mức độyêu cầu của chơng trình phổ thông

2.Hai con đờng dạy học định lí

Trong việc dạy học những định lí Toán học, ngời ta phân biệt hai con ờng: Con đờng có khâu suy đoán và con đờng suy diễn

đ-Hai con đờng này đợc minh họa bằng sơ đồ:

Con đờng có khâu suy đoán Con đờng suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lí

Nh vậy trong cả hai con đờng dạy học định lí thì việc vận dụng định lí đểgiải quyết vấn đề đặt ra và hoạt động củng cố định lí là phần không thể thiếu.Thông qua quá trình dạy học định lí ta sẽ tích cực hóa đợc hoạt động nhậnthức của học sinh, đặc biệt là ở giai đoạn khai thác ứng dụng định lí giải quyếtvấn đề và hoạt động củng cố định lí.

3.Những hoạt động củng cố định lí

Việc dạy học một định lí cha kết thúc ngay khi phát biểu và chứng

minh xong định lí đó Một khâu quan trọng là củng cố định lí; khâu

này thờng đợc thực hiện bằng các hoạt động sau:

- Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phátbiểu, diễn đạt định lí dới những dạng ngôn ngữ khác nhau

- Phân tích , nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định límột cách tờng minh hay ẩn tàng

c.Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa.

- Khái quát hóa, chẳng hạn mở rộng công thức độ dài đờng trung tuyếnthành định lý Sterwart

- Đặc biệt hóa, ví dụ nh trong công thức định lý hàm số cosin:

a2 = b2 +c2 – 2bc.cosA , ta có thể đặc biệt thay A = 900 để đợc định

lý Pitago trong tam giác vuông

- Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp định lí mới vào hệ thống định lí đãhọc, nhận biết mối quan hệ giữa những định lí khác nhau trong một

hệ thống định lí

*)Kết luận chơng I Qua chơng I cho ta thấy rằng tích cực hóa hoạt độngnhận thức là một công việc cấp thiết, chúng ta cung đã đa ra một số đặctrng về phơng pháp tích cực cũng nh khẳng định : Nếu chúng ta thực hiệntốt công tác dạy học định lý thì chúng ta có thể tích cực hóa đợc hoạt

động nhận thức của học sinh Đặc biệt là ở các khâu củng cố và ứng dụngcủa định lý vào giải quyết các vấn đề đặt ra Cụ thể chúng ta có thể giúphọc sinh nghiên cứu khai thác ứng dụng các định lý hàm số cosin, định lýhàm số sin và công thức đờng trung tuyến nh thế nào ta sang chơng IIcủa khóa luận

Chơng II: Một số ứng dụng của các định lý hàm

số cosin, hàm số sin và công thức

đờng trung tuyến

Đ1 Một số ứng dụng của định lý hàm số cosin.

I.Từ định lý hàm số cosin tiến hành phân tích ý nghĩa , tác dụng của định lý

a Viết lại định lý dới dạng:

CosA =

bc 2

a c

b c

c b





Từ cách viết này cho phép ta thấy ngay đợc ý nghĩa khác của

định lý: - Cho phép ta tính đợc góc của tam giác ABC thông qua

cosin của nó khi biết cạnh a, b và c

- Cho phép ta xét một góc của tam giác ABC là nhọn, vuông

2

2 2

2

2 2

2

b a

c

c b

a

a c

b

 a , b² = b ², c là ba cạnh của một tam giác.² = b

2 2 2

2 2 2

c b a

b c a

a c b

2 2 2

2 2 2

c b a

b c a

a c b

b Lại biến đổi định lý dới dạng:

Ta có: a = b² = b ² + c - 2bc cosA² = b

 a = b² = b ² + c - 2bc sinA.² = b cossinAA

 a = b² = b ² + c - 4S.cotgA (S là diện tích ² = b ABC)

 cotgA =

S 4

a c

a c

b c

c b

- Trong tất cả các cách viết trên định lý đều cho ta những công thức về mốiquan hệ giữa góc, cạnh và cá yếu tố khác trong tam giác.

II Một số dạng bài toán áp dụng tơng thích.

AC BC

49 64

9  

=

2 1

Trong tam giác ABD ta B 5 D 3 C có:

AD2 = BD2 + AB2 -2AB.AD.cosB

= 9 +25 –15 = 19

Vậy AD = 19

(Ví dụ trang 40-sgk hình học 10)

Đây là một bài toán bằng số, ta có thể tổng quát nó nh sau:

Bài toán 2: ( Định lý Stewart )

Cho tam giác ABC , D là một điểm trên cạnh BC Đặt AD = d,

BD = m, DC = n Khi đó ta có công thức sau (gọi là hệ thức Stewart ):

b c

b c a cm 2 m c

d

2 2 2 2

Nh vậy ta đã chứng minh xong định lý Stewart Ta sẽ xét một số trờng hợp

đặc biệt của định lý Stewart:

1) Khi D là trung điểm của BC thì ta có: AD là đờng trung tuyến

a a c 2

a b 2

a m

2 2 2 2 a









Đây chính là công thức đờng trung tuyến trong tam giác

2) Khi AD là đờng phân giác của tam giác ABC Theo tính chất của đờngphân giác trong ta có:

c b

ab n

; c b

ac m c b

a b

2 2

a ( b c )

bc a a c c b

ab b c b

ac al

a

) c b (

a ) c b ( bc l

Vậy ta có công thức tính đờng phân giác trong của một tam giác

Một số bài tập về dạng toán tính độ dài:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC biết cosA=

2 Dạng toán nhận dạng tam giác.

Bài toán1: Cho ABC có các cạnh là a, b, c thỏa mãn a , b , c cũng là độ dài² = b ² = b ² = b

3 cạnh của 1 tam giác Hãy nhận dạng tam giác ABC

c²

a² c²

a² -

b ² c²

0 2bc

a² - c² b²

0 2ac

c² -

b ²

² a

 





 0 B

cos

0 A

cos

0 C

cos

 ABC nhọn

Bài toán 2: Cho ABC có các cạnh là a, b, c thỏa mãn a4 = b4 + c4

Nhận dạng tam giác ABC

c

c b

b

 =b + c ² = b ² = b  b + c - a > 0 ² = b ² = b ² = b  cosA > 0

Vậy  ABC nhọn

Ta có thể tổng quát bài toán :

Bài toán3: Cho  ABC có các cạnh là a, b, c

b



  < b + c ² = b ² = b  b +c - a > 0 ² = b ² = b ² = b  cosA > 0   ABC nhọn

Bài toán 4: Cho góc tam diện vuông oxyz.Trên các tia Ox, Oy, Oz lấy lần lợtcác điểm A,B,C Chứng minh rằng  ABC nhọn

3.Dạng các bài toán sử dụng định lý cosin suy rộng.

Bài toán 1: gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp  ABC Chứng minh rằng

: cotgA + cotgB + cotgC =

abc

) c b a (

cotgA =

S 4

a c

b c

c b

c b

MBC

2 2 2

MAB

2 2 2

S 4

x z b S

4

z y a S

4

y x

c b





(1) y M z

áp dụng định lý cosin suy rộng cho  ABC B C

ta suy ra cotgA + cotgB + cotgC =

S 4

c b

Bài toán3: Cho  ABC, M là 1 điểm bất kỳ trong tam giác.Gọi A1, B1, C1

là hình chiếu của M lên BC, CA, AB

CMR: cotgAA1B + cotgBB1C + cotgCC1A = 0

Giải: A

áp dụng định lý cosin suy rộng trong

tam giác ABA1 , ta có: C1 B1

M

cotgAA1B =

B AA

2 2 1 2 1

1

S 4

AB BA

2 2 1 2 1

1

S 4

AC CA

2 2 1 2 1

1

S 4

AB BA

= -

C AA

S

AC CA AA

1

4

2 2 1

AB AC CA

1 2

S 4

MC MB

MA MC

MB MA

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:

a) a = c.cosB + b.cosC (định lý hình chiếu);

b) bc.cosA +ac.cosB + ab.cosC =

2

² c

² b

²

c) 2abc( cosA + cosB) + (a + b)( c + b - a)( c + a - b)

d) abc(cosA + cosB + cosC ) = a (p - a) + b (p - b) + c (p - c).² = b ² = b ² = b

e) bc(b - c )cosA +ca (c - a )cosB + ab(a - b )cosC = 0 ² = b ² = b ² = b ² = b ² = b ² = b

Giải:

áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta có :

CosA =

bc 2

a c

b c

c b

b c

c b

² a 2

= a

b) Từ (*)  bc.cosA + ac.cosB + ab.cosC =

= bc

bc 2

a c

b c

c b

d) Ta có: abc(cosA + cosB + cosC ) =

=a.(bc.cosA) + b(ac.cosB) + c(ab.cosC)

² c 2

b c a

² b 2

a c b

 Đpcm

c B sin

b A sin

Gọi (O, R) là đờng tròn ngoại tiếp  ABC A

Ta vẽ qua B đờng kính BA’ của

đờng tròn A’ Tam giác BCA’ vuông ở C nên:

BC = BA’.sinA’

 a = 2RsinA’ B C Nhng A và A’ là hai góc bằng nhau

hoặc bù nhau nên sinA’ = sinA, do đó a = 2RsinA

O

Vậy 2 R

A sin

c B sin

b A sin

a





 (1) ta thấy đợc một ý nghĩa của

định lý: - Cho phép ta tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC khibiết một cạnh và góc đối diện cạnh đó

Ta có thể cho học sinh viết lại định lý nh sau:

- Đặc biệt ta có thể viết định lý ở dạng:

a = b

B sin

A sin

; b = c

C sin

B sin

; c = a

A sin

C sin

; (3)

ở cách viết này định lý sẽ cho phép ta tính độ dài một cạnh của tamgiác khi biết độ dài một cạnh khi biết góc đối diện cạnh đó và góc đối diệnvới cạnh đã biết độ dài Công thức này có ứng dụng rất lớn trong thực tế

Ví dụ: Để tính khoảng cách từ điểm A đến điểm C mà việc đo trực tiếpgặp rất nhiều khó khăn ( chẳng hạn giữa A và C bị ngăn cách bởi một vựcthẳm ) Ta có thể chọn một điểm B

sao cho từ A và B có thể nhìn thấy C C

Các kết quả đo đạc cho biết:

AB = c, A= , B = 

Lúc đó ta có thể tính đợc khoảng A Bcách từ A đến C nh sau:

Ta có : C = 1800 - (+) nên

sinC = sin( + )

Theo định lý hàm số sin thì AC = c

) sin(

II.Một số ứng dụng của định lý sin.

1 Cho phép tính độ dài ( bán kính đờng tròn ,các cạnh )

Ví dụ:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O các đờng chéo AC

và BD cắt nhau tạiM Giả sử R1, R2 , R3 ,R4 là bán kính các đờng tròn ngoạitiếp các tam giác MBA, MBC, MCD, MDA Chứng minh rằng bán kính đờngtròn ngoại tiếp tứ giác ABCD đợc tính theo công thức sau:

4 2 3 1

4 3 2 1 3 2 4

1

R R R R

) R R R R )(

R R R

Theo định lý hàm số sin trong các tam A

giác MAB, MBC, MCD, MDA, ta có: D

b ) 180 sin(

2

b BMC

sin 2

b

0

Tơng tự: R3 =

 sin 2

c

R4 =

 sin 2 c

Theo định lý hàm số sin trong  MAB ta có: MA=2R1sin

Lại áp dụng định lý hàm số sin trong  ABD ta có:

sin =

R 2

d ; (ở đây R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD và

cũng chính là bán kính đờng tròn ngoại tiếp  ABD )

Theo định lý hàm số sin trong  MAD thì : d = 2R4sin

Thay lai vào (1) ta có: MA =

R

sin R R

(2)

b

a M

d c

c

Lập luận hoàn toàn tơng tự ta có: MC =

R

sin R R

) R R R R )(

R R R R (

4 3 2 1 3 2 4 1

R R R R

) R R R R )(

R R R R ( R

2.Chứng minh một số hệ thức liên quan tới các yếu tố trong tam giác

Ví dụ1 : Cho 00    900 Chứng minh rằng :

OBC = OCB = 900- ;(vì tam giác BOC cân tại O );

áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OBC, ta có;

sin

a )

90 sin(

 đpcm.

Chú ý : Sử dụng công thức trên ta sẽ tìm đợc nhiều tính chất quan trọng

khác về mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Chẳng hạn: công thức tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác:

BI BIC

a sin R 2

BC 

Ta lại có:

2

A cos 2

C B sin ) 2

C B 180 sin(

A sin R 4

IB  (3)

Thay (3) vào (1), có:

2

C sin 2

B sin 2

A sin R 4

R 2

a R

2  (1)

sin =

R 2

a

 1- 2sin2 = 1-

2 2

R 2

a (2)

Từ (1) và (2) ta có : cos2 = 1- 2sin2

 (đpcm)

Ví dụ2 : Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi R1, R2, R3

t-ơng ứng là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác OBC, OCA, OAB.Gọi R, r tơng ứng là bán kính đờng tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC.Chứng minh rằng:

a BOC

A

=

2

A cos 2

a 2

C B sin

C B

c R

; 2

B cos 2

B cos 2

A cos 8

abc R

R

R1 2 3 

(1)

áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC, ta có:

a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, nên từ (1) có;

2

C cos 2

B cos 2

A cos 8

C sin B sin A sin R R

Ví dụ:Trên hai cạnh BC và AC của  ABC lấy D và E sao cho

BAD = 500 , ABE = 300 Biết rằng ABC =ACB =500 Tính BED

20 sin OB

OD



0 0

0

30 sin

70 sin OE

OA , 30 sin

50 sin OA

0 0

0 0

0 0

0

80 sin

20 cos 40 cos 20 sin 4 30 sin 30 sin 80 sin

70 sin 50 sin 20 sin OE

OA OA

OB OB

OD OE

80 sin 80

sin

40 cos 40 sin 2 OE

OD

0 0 0

0 0

Gọi R1, R2, R3 tơng ứng là bán kính

các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác A

HBC, HAC, HAB và R là bán kính đờng

áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác