Tăng cường hẹ số khúc xạ phi tuyến kerr bằng kích thích kết hợp trong cấu hình bậc thang ba mức của nguyên tử 87 rb luận văn thạc sĩ

Đinh Xuân Khoa, người đã định hướng và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành bản luận văn này.. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến bạn bè và gia đình đã giúp đỡ, động viên tôi

Trang 1

HỒ THỊ AN NHUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH, 2011

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Đinh Xuân Khoa, người đã định hướng và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành bản luận văn này.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo: TS Nguyễn Huy Bằng, PGS TS Hồ Quang Quý, PGS TS Vũ Ngọc Sáu, PGS TS Nguyễn Huy Công, TS Đoàn Hoài Sơn, TS Nguyễn Văn Phú, TS Đinh Phan Khôi đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn Xin cảm ơn những góp ý của ThS Lê Văn Đoài để luận văn này được hoàn thiện hơn.

Tôi xin biết ơn trường CĐSP Nghệ An tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành khóa học này.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến bạn bè và gia đình đã giúp

đỡ, động viên tôi vượt qua nhưng khó khăn trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Trang 4

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

Chương 1 Cơ sở của độ cảm phi tuyến ……… 7

1.1 Sự phân cực tuyến tính và phân cực phi tuyến ………. 7

1.1.1 Sự phân cự tuyến tính ……… 7

1.1.2 Sự phân cực phi tuyến ……… 9

1.2Các quá trình quang phi tuyến ……… 10

1.2.1 Sự phát hòa âm bậc hai ……… 10

1.2.2 Quá trình trộn bốn sóng ……… 11

1.2.3 Sự phát hòa âm bậc ba ……… 12

1.2.4 Sự tự hội tụ ……… 13

1.3 Mô tả cổ điển của độ cảm điện phi tuyến ……… 14

1.4Mô tả lượng tử của độ cảm điện phi tuyến ……… 19

1.4.1 Hình thức luận ma trận mật độ ……… 19

1.4.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ ……… 24

1.4.3 Độ cảm điện phi tuyến bậc ba ……… 27

1.5 Mỗi liên hệ giữa hệ số khúc xạ phi tuyến Kerr và độ cảm điện bậc ba 29 Kết luận chương 1……… 32

Chương 2 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến Kerr bằng kích thích kết hợp 33

2.1 Giải phương trình ma trận mật độ bậc một ……… 33

2.2 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ 40

2.2.1 Mối liên hệ giữa độ cảm điện và các phần tử ma trận mật độ 40

2.2.2 Hệ số hấp thụ và hệ số khúc xạ 41

2.3 Giải phương trình ma trận mật độ bậc ba 43

2.4 Hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr của hệ nguyên tử ba mức 44

2.5 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr bằng kích thích kết hợp 45 2.5.1 Ảnh hưởng của cường độ trường điều khiển 45

2.5.2 Ảnh hưởng của độ lệch tần số của trường điều khiển 47

2.5.3 Trường hợp chùm dò cộng hưởng với dịch chuyển nguyên tử 48

Kết luận chương 2 50

Kết luận chung 51

Tài liệu tham khảo 52

Trang 5

MỞ ĐẦU

Hiện nay, các vật liệu phi tuyến kiểu Kerr đã được ứng dụng rất nhiềuvào công nghệ photonics như: chế tạo thiết bị lưỡng ổn định quang học, cácbộ nắn xung, bộ liên kết quang, sợi quang truyền dẫn soliton, bộ trộn 4 sóngquang học v.v Mấu chốt của vấn đề là dùng chùm sáng laser có cường độmạnh để điều khiển hệ số khúc xạ hiêu dụng của hệ thông qua hệ số khúc xạphi tuyến Kerr

Trong các vật liệu quang phi tuyến truyền thống thì hệ số khúc xạ Kerrthường rất bé (cỡ 10-12 cm2/W) nên hiệu ứng ứng Kerr chỉ đáng kể với cácnguồn sáng có cường độ lớn Để khắc phục điều này người ta đề xuất biệnpháp tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến của môi trường bằng cách sử dụng

4

Trang 6

ánh sáng có bước sóng nằm trong lân cận cộng hưởng nguyên tử Với cáchnày, hệ số khúc xạ phi tuyến có thể tăng lên được đáng kể Tuy nhiên, trở ngạilớn nhất của ý tưởng này là khi ta sử dụng ánh sáng trong lân cận cộng hưởngthì hệ số hấp thụ lại tăng vọt Vì vậy, làm giảm khả năng hấp thụ của hệ tronglân cận cộng hưởng là một ý tưởng rất tạo bạo và hấp dẫn để giải quyết khókhăn này.

Như đã đề xuất bởi Kocharovskaya vào năm 1988 và Harris vàonăm1989 là ta có thể điều khiển để triệt tiêu hệ số hấp thụ và thay đổi hệ sốkhúc xạ trong miền cộng hưởng bằng hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ.Đây là hiệu ứng giao thoa lượng tử mà dẫn đến rất nhiều hiệu ứng thú vị như:phát laser không cần đảo lộn độ cư trú, làm chậm hoặc tăng tốc vận tốc nhómánh sáng Trong nhưng năm gần đây, nghiên cứu khả năng tăng cường hệ sốkhúc xạ phi tuyến kiểu Kerr bằng hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ cũng

đã được nhiều nhóm trên thế giới quan tâm nghiên cứu Gần đây, nhóm của

H Wang đã đo được bằng thực nghiệm hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerrtăng lên vài bậc qua sự kích thích kết hợp của hệ nguyên tử 87Rb ba mức cấuhình lambda Những nghiên cứu này đã mở ra các lĩnh vực ứng dụng mớinhư: sự tạo tần số họa ba, trộn bốn sóng không suy biến, trong các thiết bịlưỡng ổn định quang học có ngưỡng phi tuyến thấp, quang tử học và các thiếtbị photonic

Với tầm quan trọng của lĩnh vực này, chúng tôi chọn đề tài “Tăng

cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr bằng kích thích kết hợp trong cấu hình bậc thang ba mức của nguyên tử 87 Rb” làm đề tài luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ của mình

Cấu trúc luận văn này ngoài phần mở đầu và kết luận chung có haichương như sau:

Chương 1 Cơ sở của độ cảm phi tuyến

Trang 7

Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở của độcảm điện phi tuyến bao gồm độ phân cực tuyến tính và phi tuyến, mô tả cổđiển và lượng tử của độ cảm điện phi tuyến; đưa ra một số quá trình quangphi tuyến có liên quan và mối liên hệ giữa hệ số khúc xạ phi tuyến Kerr và độcảm điện bậc ba.

Chương 2 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr bằng kích thích kết hợp trong cấu hình bậc thang ba mức của nguyên tử 87 Rb

Thiết lập hệ phương trình ma trận mật độ cho nguyên tử ba mức cấuhình bậc thang trong gần đúng lưỡng cực và gần đúng sóng quay Giải hệphương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một, từ đó suy ra các hệ sốhấp thụ và hệ số khúc xạ của môi Giải hệ phương trình trong gần đúng cấp

ba, và liên hệ với hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr Nghiên cứu khả năngtăng cường hệ số khúc xạ kiểu Kerr theo các thông số của trường điều khiểnvà của hệ nguyên tử

Chương 1

CƠ SỞ CỦA ĐỘ CẢM PHI TUYẾN

1.1 Sự phân cực tuyến tính và phân cực phi tuyến

1.1.1 Sự phân cực tuyến tính

Trước khi laser ra đời, các hiện tượng quang học như khúc xạ, phản xạ,tán sắc, lưỡng chiết và tán xạ ánh sáng qua môi trường có thể được giải thíchthông qua sự phân cực của môi trường Khi môi trường được đặt trong trườngđiện từ, dưới tác dụng của điện trường ngoài thì đám mây điện tử (các orbital)bị biến dạng và vì vậy mỗi hệ vi mô (nguyên tử, phân tử, iôn) tạo thành mộtmômen lưỡng cực điện p Chính các mô men lưỡng cực vi mô này dao độngvà phát sóng thứ cấp Theo điện động lực học cổ điển, tổng tất cả các mô men

6

Trang 8

lưỡng cực thành phần sẽ tạo nên sự phân cực vĩ mô P của môi trường và cácsóng thứ cấp này sẽ tạo thành sóng lan truyền trong môi trường và có tần sốbằng tần số của trường ngoài

Nếu các momen lưỡng cực điện của phân tử (nguyên tử) pi đều bằng

nhau, tức là các phân tử hoặc nguyên tử đều bị phân cực như nhau dưới tácđộng của trường ngoài thì:

P Np  (1.1.1)

Trong đó N là mật độ nguyên tử hay phân tử trên một đơn vị thể tích.

Mối liên hệ giữa độ phân cực vĩ mô với cường độ điện trường E trong môitrường được mô tả theo hệ thức tuyến tính:

P o E (1.1.2)trong đó o là hằng số điện của chân không, còn χ là độ cảm của môi trường.

Bây giờ chúng ta xét các cơ chế gây ra sự phân cực của môi trường Vìmôi trường trong trường hợp chung là tập hợp các hệ (phân tử, nguyên tử,ion) nên sẽ có một số cơ chế phân cực dưới tác dụng của trường ngoài nhưsau:

 Phân cực điện tử: Đây là sự phân cực do điện trường ngoài tác độnglên làm biến dạng của đám mây điện tử (các orbital) trong hệ so với khi khôngcó trường ngoài Đặc điểm của cơ chế này là thời gian đáp ứng cho sự phân cựclà rất nhanh (vào cỡ 10-15 - 10-16 giây)

 Phân cực do dao động phân tử: Đây là trường hợp điện trường ngoàitác động làm các nguyên tử trong phân tử thực hiện dao động xung quanhkhối tâm dọc theo các đường thẳng nối hai nguyên tử Cơ chế này có thời gianđáp ứng vào cỡ 10-12-10-14 giây

Trang 9

 Phân cực do định hướng phân tử: Phân cực này thường xảy ra đối vớicác phân tử có mômen lưỡng cực vĩnh cửu Điện trường ngoài sẽ làm quaymômen lưỡng cực này theo hướng của véctơ cường độ điện trường Thời gianđáp ứng của hệ theo cơ chế này vào cỡ 10-10 - 10-13 giây.

Vì vậy, trong nghiên cứu tương tác giữa trường ánh sáng với môitrường thì việc xác định cơ chế phân cực là một khâu quan trọng để xác địnhnguồn gốc đóng góp của độ cảm Nguồn góc này phụ thuộc vào bản chất môitrường (cấu trúc phân tử, nguyên tử, iôn) và cường độ điện trường tác dụng.Ví dụ, trong bài toán tương tác thì cơ chế phân cực điện tử luôn xảy ra, còn cơchế thứ hai (dao động phân tử) chỉ xảy ra đối với môi trường có phân tử (chứkhông xảy ra đối với nguyên tử)

Thực nghiệm cho thấy rằng dù khi cường độ sáng rất nhỏ (như các thínghiệm với nguồn sáng thông thường) thì hệ thức phân cực tuyến tính (1.1.2)cho sự phù hợp rất tốt giữa lý thuyết và thực nghiệm Tuy nhiên, khi cườngđộ sáng lớn (ví dụ như laser) thì người ta thấy rằng hệ thức (1.1.2) không cònthỏa mãn Hiện tượng đầu tiên được Franken và các cộng sự thực hiện vàonăm 1961 khi cho chùm laser có tần số  chiếu qua hơi các nguyên tử kimloại kiềm Na và đã quan sát được chùm sáng mới có tần số 2 Rõ ràng, điềunày không thể giải thích được với quan niệm phân cực tuyến tính Ngoài ra,

trong quang học tuyến tính ta đã biết nguyên lý độc lập giữa các chùm sáng.

Tuy nhiên, khi dùng các chùm laser có thông số phù hợp thì người ta thấy cósự ảnh hưởng lẫn nhau Cùng với nhiều sự kiện thực nghiệm khác cho thấyrằng cần phải mở rộng mô hình lý thuyết trước đây nghĩa là trong trường hợpchung thì sự phân cực phải là phi tuyến

1.1.2 Sự phân cực phi tuyến

8

Trang 10

Khi cường độ sáng E lớn thì phân cực là phi tuyến nghĩa là:

(1) (2) (3)

o

P  E  EE   EEE  (1.1.3)với χ(1), χ(2), χ(3), v.v tương ứng là độ cảm bậc 1, bậc 2, bậc 3.v.v của môitrường Độ cảm bậc một là tuyến tính và trùng với khái niệm độ cảm màchúng ta đã biết trong quang học thông thường, trong khi các độ cảm từ bậchai trở đi là phi tuyến mà trong trường hợp chung là các tenxơ Lúc này, mốiquan hệ giữa véctơ phân cực với cường độ điện trường không còn là tuyếntính như trước đây Chính các độ cảm phi tuyến này là nguyên nhân cho cáchiệu ứng phi tuyến mà ta sẽ nói sau này

Phương trình (1.1.3) mô tả có tính cơ bản về môi trường quang phituyến Các tính chất như dị hướng, tán sắc và không đồng nhất của môitrường được bỏ qua với hai lý do: đơn giản hóa và tập trung vào hiệu ứng phituyến

Trong môi trường quang phi tuyến, mối quan hệ phi tuyến giữa P r t( , ) và

( , )

E r t được mô tả định tính như trong hình 1.1:

Hình 1.1 Quan hệ giữa P - E đối với môi trường quang tuyến tính (a)

và môi trường quang phi tuyến (b).

0

P

EP

0

Trang 11

1.2 Các quá trình quang phi tuyến

1.2.1 Sự phát hòa âm bậc hai (SHG- Second Harmonic Generation)

Sóng hòa âm là một sóng mà tần số của nó bằng một số nguyên lần tầnsố cơ bản nào đó Sóng có tần số cơ bản chính là sóng đầu vào (hay tín hiệu)

Ví dụ: nếu một tín hiệu có tần số cơ bản là f thì sóng hòa âm bậc hai có tần số là 2f, sóng hòa âm bậc ba có tần số là 3f, v.v…

Hầu như tất cả các sóng đều chứa năng lượng tại các tần số hòa âm,cùng với năng lượng tại tần số cơ bản Nếu tất cả năng lượng của sóng chỉ tậptrung ở tần số cơ bản thì sóng đó được gọi là sóng điều hòa hoàn hảo (chẳnghạn như sóng hình sin) Sự phát sóng hòa âm bậc hai trong quang phi tuyến làhiện tượng mà trong đó khi ta chiếu một sóng đầu vào có tần số  vào một

môi trường phi tuyến thích hợp thì cùng với sóng có tần số , trong môitrường phi tuyến ấy còn xuất hiện sóng hòa âm có tần số 2.

Trong những điều kiện thích hợp, sóng này mới có thể tái bức xạ vàxuất hiện ở đầu ra Sự phát sóng hòa âm bậc hai là một trường hợp riêng củamột trường hợp tổng quát hơn sự tạo dao động tần số tổng bằng cách cho cáctần số đầu vào bằng nhau  1   2 Đó là hiện tượng phát sinh tần số bằng tổngcủa hai tần số đầu vào trong môi trường phi tuyến

10

Trang 12

Môi trường phi tuyến

Hình 1.2 Sự phát hòa âm bậc hai: a) Mô hình sóng hòa âm bậc hai

b) Sơ đồ năng lượng trong phát hòa âm bậc hai.

Với điều kiện thực nghiệm thích hợp quá trình SHG có thể đạt hiệusuất cao, toàn bộ công suất của bức xạ bơm vào tần số  sẽ biến thành 2.SHG được sử dụng trong quá trình tương tác giữa hai photon giữa các thànhphần của trường Trong hình 1.2b, hai photon của thành phần tần số  sẽ bịhủy (do chúng bị hấp thụ) và một phôton tần số 2 sẽ được tái sinh cưỡngbức Vạch liền trong 1.2b ký hiệu trạng thái cơ bản của nguyên tử, vạch đứtđoạn ký hiệu các mức ảo thể hiện năng lượng liên kết của một trong nhiềutrạng thái riêng của nguyên tử với một hay nhiều photon của trường bức xạ

1.2.2 Quá trình trộn bốn sóng

Sơ đồ hình học của quá trình này được thể hiện trên hình 1.3

Hình 1.3 Mô hình sự trộn bốn sóng.

Môi trường không hấp thụ có độ cảm phi tuyến bậc ba được chiếu bởihai sóng bơm E1 và E2 từ hai phía ngược chiều nhau và một sóng tín hiệu E3.Hai sóng bơm có mặt sóng phẳng và có thể có dạng mặt sóng bất kỳ Sóng tínhiệu có mặt sóng bất kỳ Trong quá trình tương tác với sóng thứ tư E4 sẽ được

Trang 13

sinh ra là liên hợp của sóng tín hiệu Sóng liên hợp có cường độ lớn hơn nhiều

so với sóng tín hiệu và phụ thuộc vào cường độ của hai sóng bơm

1.2.3 Phát hòa âm bậc ba (THG- Third-harmonic generation)

Sự phát sóng hòa âm bậc ba là một trường hợp riêng của sự trộn bốnsóng, trong đó 1  2  3   nên 4  3 

Hình 1.4 a) Mô hình tương tác hòa âm bậc ba, b) Mô tả theo mức năng lượng.

  ( 3 ) 1 2 3

0 3

2

1

E E E

P         (1.2.1)Suy ra:   ( , )

khi có trường bơm tần số  Thành phần này sẽ dẫn đến quá trình phát hòa

âm bậc ba Hình 1.4 cho biết ba photon tần số  bị phá vỡ và một photon tầnsố 3 được phát xạ Quá trình THG thường xảy ra trong môi trường đẳng

hướng có độ cảm phi tuyến bậc ba khác không

1.2.4 Sự tự hội tụ

12

Trang 14

Sự tự hội tụ xuất hiện khi chùm tia laser công suất lớn có phân bốkhông đều, thường là phân bố Gauss trên tiết diện ngang truyền lan trong môi

trường Kerr có chiết suất hiệu dụng n được mô tả bởi

n = n 0 + n 2 I, (1.2.3)

với no là chiết suất tuyến tính thông thường, n2 là hệ số Kerr, I là cường

trường laser tác dụng Từ đó, ta thấy rằng chiết suất hiệu dụng của môi trường

sẽ lớn nhất tại tâm của chùm laser và giảm dần về phía biên của chùm tia Sựthay đổi của chiết suất sẽ biến môi trường đồng nhất về chiết suất n0 thànhthấu kính hội tụ Chùm tia laser sẽ hội tụ bởi thấu kính này Khi độ dày môitrường ngắn thì điểm hội tụ sẽ nằm ngoài môi trường và ngược lại nếu độ dàymôi trường quá dày thì điểm hội tụ nằm trong môi trường Khi đó năng lượnglớn tại điểm hội tụ làm phá vỡ môi trường

Hình 1.5 Sự tự hội tụ của chùm sáng đi vào môi trường phi tuyến Kerr.

1.3 Mô tả cổ điển của độ cảm phi tuyến

Để mô tả độ cảm phi tuyến theo quan niệm cổ điển người ta thường sửdụng mẫu Lorentz, trong đó xem nguyên tử như một dao động tử điều hòa Các nghiên cứu cho thấy, trong trường hợp môi trường là không đốixứng tâm thì nó gây nên phi tuyến quang bậc hai và trường hợp môi trường cómột tâm đối xứng, tính phi tuyến mức yếu mà có thể xuất hiện trong trườnghợp này là phi tuyến bậc ba

2 0

n 

Trang 15

x0

Mẫu phi tuyến quang cổ điển khác với quang lượng tử ở chỗ: mẫuquang cổ điển chỉ cho một tần số cộng hưởng đơn (  0) từ mỗi nguyên tử.Ngược lại, lý thuyết cơ lượng tử về độ cảm quang phi tuyến cho phép mỗinguyên tử có nhiều giá trị riêng năng lượng và do đó có hơn một tần số cộnghưởng

Trong phần này chúng ta xét môi trường không đối xứng xuyên tâm

Phương trình chuyển động của vị trí electron x là:

x2x02x ax 2 eE t m( ) / (1.3.1)Trong phương trình đó ta giả sử điện trường đặt vào là Ẽ(t), điện tích electronlà e, có một lực tắt dần dạng 2m x  và lực hồi phục:

Fphuchoi m x02 max2 (1.3.2)Trong đó a là thông số đặc trưng cho cường độ của phi tuyến Để có biểu thứcđó ta đã giả sử rằng lực hồi phục là một hàm phi tuyến của dịch chuyểnelectron từ vị trí cân bằng và giữ lại các số hạng tuyến tính và bậc 2 trongkhai triển chuỗi Taylor của thế năng dịch chuyển x Hàm thế năng tương ứngcó dạng:

14

Trang 16

Hình 1.6 Hàm thế năng của môi trường không đối xứng tâm.

Giả sử rằng trường quang học đặt vào có dạng:

0x

  cho mọi dịch chuyển x mà trường có thểgây ra Trong trường hợp đó phương trình (1.3.1 ) có thể được giải bằngphương pháp nhiễu loạn như sau :

Ta thay E t ( )trong phương trình (1.3.1) bằng  E t( ) Vớilà một thôngsố thay đổi liên tục giữa 0 và 1 Theo đó thông số khai triển mô tả cường độcuả nhiễu loạn Phương trình (1.3.1) trở thành

(1.3.7a) (1.3.7b) (1.3.7c) Theo phương trình của mẫu Lorentz qui ước (tuyến tính), nghiệm trạng tháidừng của x (1) ( )t là:

Ở đây các biên độ x (1) ( )j có dạng:

(1.3.8)

Trang 17

(1) ( )

( )

j j

j

E e x

2 , 2 , (     ), (   )

      và 0 Chẳng hạn, khi định độ nhạy ở tần số 2 1

chúng ta phải giải phương trình:

(1.3.11)Nghiệm trạng thái dừng có dạng:

16

1

2 2

a e m E x

(0) ( ) ( ) (0) ( ) ( )

a e m E x

a e m E E x

Trang 18

Ở đây N là mật độ số của các nguyên tử Sử dụng biểu thức (1.3.14), (1.3.15)

và (1.3.9) chúng ta dẫn ra được biểu thức độ cảm tuyến tính:

2 (1)

0

( / ) ( )

( )

j

N e m D

 

 

 (1.3.16)Tương tự độ cảm phi tuyến mô tả sự phát điều hòa bậc 2 và được định nghĩa

bằng hệ thức:

(1.3.17)

Với P(2)

( 21) là biên độ thành phần của độ phân cực phi tuyến dao động ở tần

số 2 1 và được định nghĩa:

Độ cảm phi tuyến cho sự phát điều hòa bậc 2 của trường  2 nhận được từ

(1.3.19) và (1.3.20) bằng sự thay thế  1   2

Độ cảm phi tuyến mô tả sự phát tần số tổng nhận được từ các hệ thức:

Trang 19

(1.3.25)Và cho sự chỉnh lưu quang ta nhận được:

(1.3.26)Như vậy ta thấy rằng các đóng góp phi tuyến mức yếu từ sự phân cực của vậtchất không đối xứng tâm là mức hai theo cường độ trường đặt vào Sự phântích đó có thể mở rộng một cách dễ dàng bao gồm các hiệu ứng bậc cao Vídụ nghiệm từ (*) dẫn đến độ cảm  (3) và nói chung nhiều các số hạng tỉ lệvới n

 hơn trong khai triển được mô tả bởi (1.3.6) dẫn tới một độ cảm ( )n



1.4 Mô tả lượng tử cho độ cảm phi tuyến

Các kết quả đã dẫn ra ở mục trước được xét trong khuôn khổ lý thuyết

cổ điển Cách mô tả này chỉ phù hợp cho những tương tác mà tần số trườngkích thích xa với tần số cộng hưởng của nguyên tử Trong trường hợp cộnghưởng, để mô tả sự phân cực chúng ta phải chú ý đến sự thay đổi độ cư trúcủa các trạng thái điện tử trong nguyên tử Khi đó, ta phải sử dụng lý thuyết

cơ học lượng tử để mô tả trạng thái của hệ

Trang 20

1.4.1 Hình thức luận ma trận mật độ

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ được đặc trưng bởi hàm sóng

Hˆ H0V tˆ( ) (1.4.2)

0

ˆ

H là Hamiltonian cho một nguyên tử tự do và Vˆ biểu diễn năng lượng tương

tác Để xác định hàm sóng phụ thuộc thời gian ta đưa vào trạng thái riêng

năng lượng của Hamiltonian nguyên tử tự do H0

Hàm sóng của hệ ở trạng thái s (sóng cầu) được biểu diễn là:

s( , ) n s( ) ( )n

n

    (1.4.3)

Ở đây hàm u r n( ) là các nghiệm riêng năng lượng từ phương trình Schrodinger

không phụ thuộc thời gian:

H u rˆo n( ) E u r n n( ) (1.4.4) Các hàm riêng này trực giao với nhau theo hệ thức:

u r u r d r m* ( ) ( ) n  3  mn (1.4.5)

Hệ số khai triển S

n

C cho biên độ xác suất của nguyên tử trong trạng thái s là

trạng thái năng lượng riêng n ở thời điểm t

Sự tiến triển theo thời gian của  ( , )r t có thể được xác định theo sự tiến

triển thời gian của mỗi hệ số khai triển S

Trang 21

Nhân mỗi vế với u r*m( )và lấy tích phân trên toàn bộ không gian Áp dụng

các yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonnian Hˆ được xác định:

Phương trình này hoàn toàn tương đương với phương trình Schrodinger

(1.4.1) nhưng viết theo các biên độ xác suất s

m s* n s mn

mn

A C C A (1.4.10)

Khi trạng thái ban đầu và toán tử Hamiltonian Hˆ cho hệ là được xác

định, hình thức luận được mô tả từ (1.4.1) đến (1.4.10) cho ta khả năng mô tả

hoàn chỉnh sự phụ thuộc thời gian của hệ và của toàn bộ tính chất quan sát

được

Tuy vậy có những trường hợp trạng thái của hệ là không được biết một

cách chính xác, ví dụ một tập thể các nguyên tử trong một hơi nguyên tử, ở đó

do sự tương tác va chạm hàm sóng của mỗi nguyên tử thay đổi liên tục, trạng

thái của mỗi nguyên tử là không được biết

Khi đó hình thức luận ma trận mật độ có thể dùng để mô tả hệ với ý

nghĩa thống kê Gọi p(s) là xác suất mà hệ ở trạng thái s Ta định nghĩa các

phần tử của ma trận mật độ của hệ là:

20

Trang 22

Các phần tử ma trận mật độ có ý nghĩa vật lý sau: các phần tử đườngchéo nn cho xác suất mà hệ ở trạng thái riêng n Các phần tử ngoài đường

chéonm cho “sự kết hợp” giữa mức n và m với ý nghĩa nm sẽ chỉ khác 0 nếuhệ là 1 chồng chất kết hợp của trạng thái riêng năng lượng n và m Các phầntử ngoài đường chéo của ma trận mật độ tỷ lệ với mô men lưỡng cực điện củanguyên tử trong một số tình huống nhất định

Ma trận mật độ có thể dùng để tính toán giá trị kỳ vọng của các đạilượng quan sát: vì giá trị kỳ vọng của các đại lượng đo A cho một hệ đượcbiết trong trạng thái lượng tử s và theo phương trình (1.4.10) bằng

*

s s

m n mn s

A C C A nên giá trị kỳ vọng cho trường hợp khi trạng thái chính xáccủa hệ không được biết là nhận được từ trung bình biểu thức (1.4.11) trêntoàn bộ các trạng thái có thể của hệ:

( ) m s* n s mn

A p s C C A (1.4.13)

Sử dụng (1.4.12) đại lượng này có thể viết:

nm mn

nm

A  A

(1.4.14) Tổng kép trong phương trình có thể được đơn giản hóa

Trang 23

do đó

A tr(  ˆAˆ) (1.4.16)với ˆ là toán tử mật độ mà phần tử ma trận là mn; ˆ Aˆ là tích của ˆ với ˆA;

ˆ

( A)nm chỉ phần tử ma trận biểu diễn tích này

Như vậy giá trị kỳ vọng của đại lượng quan sát A có thể được xác địnhtheo ma trận mật độ Để xác định giá trị kỳ vọng tiến triển thời gian như thếnào thì chỉ cần xác định sự tiến triển theo thời gian của ma trận mật độ

Để tìm phương trình ma trận mật độ của chuyển động, ta đạo hàm theo thờigian biểu thức (1.4.11):

Giả sử p(s) không biến thiên theo thời gian, số hạng thứ nhất trong biểuthức này sẽ triệt tiêu Số hạng thứ hai tính trực tiếp nhờ phương trìnhSchrodinger (1.4.6) Ta thu được:

Trang 24

Tuy nhiên như đã nói ở trên, có những tương tác nhất định (ví dụ do sự

va chạm giữa các phân tử) mà xác suất của hệ ở trạng thái s là không đượcxác định Những tương tác như vậy có thể dẫn đến tỉ số dp(s)/dt không bị triệttiêu Khi đó trong hình thức luận này ta thêm vào số hạng tắt dần cho phươngtrình chuyển động (1.4.21)

Có một số cách để tạo ra các quá trình phân rã như vậy, chúng tathường tạo ra những quá trình để cho phương trình ma trận mật độ có dạng:

Ở đây mn là tốc độ mỗi phân tử mà ở đó mật độ cư trú phân rã từ mức m tới

n, mn là tốc độ tắt dần của kết hợp nm được biểu thị mn :

mn

 là tốc độ phân rã do va chạm, số hạng này chỉ xuất hiện trongcác phương trình ma trận mật độ của các phần tử nằm ngoài đường chéochính (bởi vì ảnh hưởng của sự va chạm giữa các nguyên tử chỉ làm thay đổi

Trang 25

pha trong biên độ xác suất của các phần tử nằm ngoài đường chéo chình của

ma trận mật độ, còn các phần tử nằm trên đường chéo chính thì không đổi).Còn m và n là các tốc độ phân rã toàn phần của mật độ cư trú từ các mức m

và n Ta có mối liên hệ, ( )

k n

k E E

    ( với k, n = 1, 2, 3)

1.4.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ

Trong phần trên ta thấy rằng phương trình ma trận mật độ của chuyểnđộng bao hàm sự tắt dần là:

ˆ ˆ , ( ( )eq )

i H

         



Trong thực tế, phương trình này không thể giải một cách chính xác nên người

ta đưa ra một kỹ thuật nhiễu loạn để giải nó Theo cách này thì Hamiltoniancó thể tách ra hai phần:

Hˆ HˆoV tˆ( ).

(1.4.27)Ở đây Hˆ0 biểu diễn Hamiltonian của nguyên tử tự do và V tˆ( )là năng lượngtương tác của nguyên tử với trường bức xạ ngoài Tương tác này được giảthiết là yếu với ý nghĩa giá trị kỳ vọng và các phần tử ma trận của Vˆ là rấtnhỏ so với giá trị kỳ vọng của Hˆ 0 Ta giả sử năng lượng tương tác này đượccho ở gần đúng lưỡng cực điện

Vˆˆ ( ),E t (1.4.28)Ở đây  erˆ chỉ toán tử mômen lưỡng cực điện của nguyên tử

Khi (1.4.27) được đưa vào trong (1.4.26), giao hoán tử H ˆ ˆ , 

  táchthành hai số hạng Xét giao hoán tử của H ˆ 0, ˆ

  Ta giả thiết trạng thái n biểudiễn các hàm riêng năng lượng un của Hamiltonian không bị nhiễu loạn Hˆo và

24

Trang 26

như vậy thoả mãn phương trình H uˆo n E u n n Như một hệ quả, biểu diễn ma

trận của Hˆ 0 là đường chéo:

Khai triển giao hoán tử của Vˆ với ˆ có thể nhận được phương trình ma trận

mật độ dưới dạng:

Ta tìm nghiệm của (1.4.33) trong dạng khai triển nhiễu loạn, thay Vij trong

(1.4.33) bằng V ijvới  là thông số thay đổi từ 0 đến 1 đặc trưng cho cường

độ của nhiễu loạn Giá trị =1 lấy cho tình trạng vật lý thực

Ta tìm 1 nghiệm từ (1.4.33) ở dạng của một chuỗi năng lượng theo

Tiêu đề	Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến Kerr bằng kích thích kết hợp trong cấu hình bậc thang ba mức của nguyên tử 87Rb
Tác giả	Hồ Thị An Nhung
Người hướng dẫn	PGS.TS. Đinh Xuân Khoa
Trường học	Trường Đại học Vinh
Chuyên ngành	Quang học
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2011
Thành phố	Vinh

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	1,58 MB