Dùng phương pháp tán xạ ngược tìm nghiệm soliton của phưowng trình schrodinger phi tuyến

Soliton quang học được hình thành khi xung quang học có công suấtlớn lan truyền trong môi trường phi tuyến mà quá trình co xung do hiệu ứngKerr cân bằng với quá trình giãn xung do tán sắ

MỞ ĐẦU

Ngày nay thông tin quang được ứng dụng rộng rãi trên thế giới, donhững ưu điểm về băng thông rộng, độ suy hao tín hiệu bé, không bị ảnhhưởng của nhiễu sóng điện từ… Đặc biệt trong quá trình truyền dẫn thông tinquang thì tín hiệu được truyền đi có tính ổn định cao và sự méo tín hiệu đượcgiảm đến mức tối đa và hầu như không bị méo Tuy nhiên nếu xây dựng được

hệ thông tin solitons quang thì sẽ tạo ra một cuộc cách mạng trong viễn thôngquang học

Soliton quang học được hình thành khi xung quang học có công suấtlớn lan truyền trong môi trường phi tuyến mà quá trình co xung do hiệu ứngKerr cân bằng với quá trình giãn xung do tán sắc Soliton quang học là cácxung quang học có khả năng giữ nguyên dạng của nó trong quá trình lantruyền Thông tin soliton có thể truyền dẫn xung ngắn trên cự ly dài, cho phépthông tin tốc độ cực cao Do đó, nghiên cứu sự hình thành, lan truyền solitonsquang học trong sợi quang và sử dụng trong thông tin quang đang là vấn đềrất được quan tâm ở trong nước và trên thế giới

Thông thường người ta sử dụng lý thuyết trường điện từ của Maxwell

để mô tả quá trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến nói chung vàsợi quang nói riêng Trong đó sự lan truyền của các xung ánh sáng được mô

tả thông qua phương trình của hàm bao biến thiên chậm Phương trình lantruyền của các xung trong sợi quang (môi trường phi tuyến kiểu Kerr) ở cáckhai triển bậc thấp có dạng phương trình Schrodinger phi tuyến (nonlinearSchrodinger equations - NLSE) NLSE cho các nghiệm soliton nếu các xungánh sáng thoả mãn một số điều kiện nhất định

Xuất phát từ các lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài:

DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÁN XẠ NGƯỢC TÌM NGHIỆM

Nội dung của luận văn được trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, haichương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1: Lan truyền xung trong môi trường phi tuyến

Khảo sát quá trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang.Trong chương này sẽ dẫn ra các phương trình lan truyền của xung quang họctrong sợi quang Hai hiệu ứng quan trọng và cơ bản quyết định đến sự hìnhthành soliton quang học là hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (group velocitydispersion - GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha (self phase modulation -SPM) cũng sẽ được khảo sát chi tiết Ngoài ra trong chương này còn giớithiệu về soliton và một số loại soliton

Chương 2: Giải NLSE bằng phương pháp tán xạ ngược Các soliton cơbản và soliton bậc cao được tìm thấy khi xung lan truyền trong chế độ tán sắc

dị thường

CHƯƠNG I: LAN TUYỀN XUNG TRONG

MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN

trong đó E và H tương ứng là véctơ cường độ điện trường và từ trường, D

và B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j là véctơ mật độ dòng điện dẫn

 Môi trường đáp ứng với trường quang học một cách cục bộ (địaphương), điều đó là phù hợp cho phép xấp xỉ của nhiều phép chiếu.

 Véctơ phân cực phi tuyến PNL có thể xem như là một nhiễu loạn nhỏ

so với véctơ phân cực toàn phần P

 Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mô tảhiệu ứng phi tuyến Điều đó phù hợp vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn (bậcchẵn) bằng không do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ôxit - silic Còn cáchiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứng bậc ba và

 Sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi là tức thời Phép gần

đúng này là phù hợp cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70 ps.

 Trường quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theochiều dài của sợi quang Chẳng hạn véctơ cường độ điện trường E dao động

theo phương xác định là trục x (phương phân cực của trường quang học) và phương lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang Do đó ta có thể đưa bài

toán ba chiều về bài toàn một chiều

 Trường quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trường

là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm  0 và độ rộng phổ



 thoả mãn   / 0  1 Điều đó cho phép áp dụng phép gần đúng hàm baobiến đổi chậm Ta có thể biểu diễn xung dưới dạng trường có đường bao biếnđổi chậm như sau:

] } ) {-i(

exp ) , ( [ 2

1 ) , ( )

, (r t exE z t e A z t 0t z cc

trong đó A(z,t) là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong một chu

kỳ dao động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể); cc là liên hợp phức của A(z,t)exp{-i(0t - βzz)}; A(z,t) và 2

) , (z t

biên độ và cường độ xung - đại lượng trong thực tế ta có thể đo được Sự lan

truyền của hàm bao biến thiên chậm A(z,t) của xung quang học được mô tả

bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng sau [4]:

A A i t

A i

t

A z

2

2 2

A i

z

2

2 2

số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha Trong sự cân bằng giữahiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha phương trình(1.4) sẽ cho nghiệm soliton

1.2 Lan truyền của sóng liên tục

1.2.1 Các chế độ lan truyền xung

NLSE mô tả sự lan truyền của xung quang học (có độ rộng lớn hơn

5ps) trong sợi quang đơn mode [4]:

A A T

A z

A

2

2 2

Hai thành phần ở vế phải tương ứng với các hiệu ứng tán sắc và hiệu

ứng phi tuyến Phụ thuộc vào độ rộng ban đầu T 0 và công suất đỉnh P 0 của

xung tới mà mỗi hiệu ứng tán sắc hay phi tuyến có thể ảnh hưởng nhiều hay ítđến quá trình lan truyền xung Để thuận tiện người ta đưa vào hai chiều dài là

chiều dài tán sắc L D và chiều dài phi tuyến L NL Sự lan truyền của xung có thể

rất khác nhau phụ thuộc vào độ lớn tỉ đối giữa chiều dài tán sắc L D, chiều dài

phi tuyến L NL và chiều dài sợi quang L.

Ta đưa vào biến thời gian không thứ nguyên:

0 0

/

T

z t T

, (z P0U z

với P 0 là công suất đỉnh của xung tới, thay (1.6) vào (1.5) ta được phươngtrình sau:

U U P

U T z

U

2 2 0

U L

z

U i

NL D

2 2

2

2

) sgn(

trong đó sgn(βz 2 ) = ±1 phụ thuộc vào dấu của thông số tán sắc vận tốc nhóm

βz 2

sgn(βz 2 ) =1 khi βz 2 > 0 và sgn(βz 2 ) = -1 khi βz 2 < 0.

Phụ thuộc vào độ lớn tỷ đối giữa chiều dài tán sắc, chiều dài phi tuyến

và chiều dài sợi quang mà các chế độ lan truyền của xung có thể chia làm bốnloại sau [4]:

 Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << L NL và L << L D thì cả hai hiệuứng tán sắc lẫn phi tuyến đều không có vai trò quan trọng trong suốt quá trìnhxung lan truyền Điều đó có thể thấy rõ khi để ý rằng cả hai số hạng ở vế phảicủa phương trình (1.9) có thể được bỏ qua trong trường hợp này (với giả thiếtrằng dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho  2U /   2 ~ 1) Bởi vậy kết quả

là U(z, ) = U(0, ) nghĩa là xung giữ nguyên dạng ban đầu của nó qua quá

trình lan truyền Sợi quang trong chế độ này giữ vai trò thụ động và chỉ làmnhiệm vụ truyền các xung quang học (ngoại trừ ra làm biến đổi nhỏ các xung

do hao phí trên sợi quang) Chế độ này là hữu ích cho hệ thống thông tinquang Đối với các sợi quang chuẩn, tại bước sóng λ = 1,55m thì  2 

20ps 2 km -1 và   3W -1 km -1 ; với xung vào có T 0 > 100ps và P 0 ̃ 1mW thì từ

(1.8) L D và L NL cần phải lớn hơn 500 km để có thể bỏ qua được hiệu ứng tán sắc và phi tuyến Khi đó, chiều dài sợi quang L ̃ 50km, để bỏ qua sự méo tín

hiệu trong quá trình truyền [4]

 Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << L NL nhưng L ~ L D thì số hạngcuối cùng của phương trình (1.9) có thể được bỏ qua so với hai số hạng cònlại Sự lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm, cònhiệu ứng phi tuyến trong trường hợp này không có vai trò quan trọng Chế độnày xảy ra khi các thông số của xung thoả mãn điều kiện:

1

2 0

0 

 P T

L D

(1.10)

Đối với xung 1ps, nếu ta sử dụng các giá trị điển hình của các thông số  và

βz 2 của sợi quang tại bước sóng = 1,55m ta có thể đánh giá được P 0 << 1W.

 Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << L D nhưng L ~ L NL số hạng biểudiễn hiệu ứng tán sắc trong (1.9) có thể được bỏ qua khi so sánh với số hạngphi tuyến (miễn là dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho  2U/   2 ~ 1).Trong trường hợp này sự lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tự biếnđiệu pha, nó đưa tới sự mở rộng phổ tần số của xung Hiệu ứng phi tuyến ảnhhưởng đến quá trình lan truyền xung là chủ yếu khi:

1

2

2 0

0 





P T L

 Khi chiều dài sợi quang là dài hơn hoặc so sánh được với hai chiều dài

phi tuyến L NL và chiều dài tán sắc L D thì cả hai hiệu ứng trên đồng thời ảnhhưởng lên quá trình lan truyền xung Sự ảnh hưởng đồng thời của cả hai hiệuứng tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha sẽ đưa lại các dạng khác so vớidạng chỉ có một hiệu ứng tự biến điệu pha hoặc tán sắc vận tốc nhóm Trongchế độ tán sắc dị thường (2  0) sợi quang có khả năng cung cấp soliton.Trong chế độ tán sắc thường (2  0) hiệu ứng tự biến điệu pha và tán sắc vậntốc nhóm có thể sử dụng để nén xung

1.2.2 Tán sắc vận tốc nhóm

Tán sắc vận tốc nhóm sẽ đưa tới sự mở rộng khi xung lan truyền quasợi quang Chế độ lan truyền xung mà trong đó chỉ có hiệu ứng tán sắc vậntốc nhóm là ảnh hưởng chủ yếu đến quá trình lan truyền xung và hiệu ứng phituyến có thể bỏ qua khi L D/L NL T P0 02/ 2  1

Sử dụng biên độ chuẩn hoá U(0,0) = 1, khi đó phương trình lan truyền

xung trong chế độ chỉ có hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm thoả mãn:

2

2 2

2 T

U z

U i

z U z

U z

) 2 exp(

) , 0 (

~ ) , (

2 exp(

) , 0 (

~ 2

1 ) , (

Ta hãy xét một ví dụ cụ thể với xung vào là xung Gauss (Hình 1.1)

Trường quang học được đưa vào sợi quang tại z = 0 là xung Gauss có dạng:

T

T T

2 0

2

2

1 exp 2

2 exp )

, 0 (

T T z

2 )

, (

2 2 2

2 0 0

2 exp )

, (

2

2 0

2 2

2 0

0



T iz

T

T T

z

Ta có thể viết lại U(z,T) dưới dạng U(z, T)  U(z, T) exp(i ) như sau:

Hình 1.1: Xung Gauss vào sợi quang U(0,T)

2 2

2 2

0

2

2 2 2 4 0

2 2 2

0

2 4

0 2 2 2

0

2 2

2 2 2

0

0

) / ( 1

/ ( 2

1 ) sgn(

exp ] ) / ( 1 [ 2

exp )

,

(

D

D D

D

L z T

T L

z acrtg i

L z T

T L

z

z T

T z T

z acrtg i

T z

T

T z

T

T t

exp ) / ( 1

1 )

z T

z

Từ (1.21) ta thấy khi khoảng cách lan truyền xung càng tăng (z tăng) thì

đỉnh của xung sẽ giảm (cường độ của xung giảm) theo quy luật

1(z/L D)214 và độ rộng của xung T 0 (z) tăng theo khoảng cách lan truyền:

2 0

0 (z) T 1 (z/L D)

Điều này được biểu diễn trên hình 1.2:

Pha của xung có dạng:

) / ( 1

/ ( 2

1 ) sgn(

) , (

D

D

L z T

T L

z acrtg T

2 0 2 2

) / ( 1

) / ( 2 ) sgn(

T

T L z

L z

>0 thì  là âm tại phần đầu của xung (T<0) và tăng tuyến tính theo xung

(Hình 1.3a) Trong chế độ tán sắc dị thường  2<0 thì  là dương tại phần

đầu của xung (T < 0) và giảm tuyến tính theo xung (Hình 1.3b).

Trong chế độ lan truyền này xung quang học sẽ mở rộng đối xứng về hai phíasườn trước và sau của xung Đồng thời xung cũng sẽ dịch tần tuyến tính Dấucủa thông số tán sắc vận tốc nhóm  2 sẽ xác định chiều của sự dịch chuyểntần số Tuy nhiên hiệu ứng tắn sắc vận tốc nhóm sẽ không làm mở rộng phổcủa xung Sự tán sắc đưa tới sự mở rộng xung là do các thành phần tần sốkhác nhau của xung chuyển động với các vận tốc khác nhau dọc theo ống sợiquang bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm Các thành phần sóng đỏ (có tần sốthấp) sẽ chuyển động nhanh hơn các thành phần sóng xanh (có tần số caohơn) trong chế độ tán sắc thường và ngược lại trong chế độ tán sắc dị thường.Xung chỉ có thể giữ nguyên được độ rộng của nó nếu mọi thành phần phổ đềutới cuối sợi quang cùng một lúc Bất kì một sự trễ thời gian nào của các thànhphần phổ đều đưa tới sự mở rộng xung

1.2.3 Tự biến điệu pha

Để đơn giản ta có thể bỏ qua hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và chỉ xéthiệu ứng tự biến điệu pha (hệ số  2 đặt bằng 0) Sử dụng biên độ chuẩn hoátrong (1.6) phương trình lan truyền xung có dạng [4]:

U U L

z i

z

U

NL

2 ) exp(  







(1.25)Đặt U(z,T) Vexp(iNL), trong đó V(z,T), NL ( T z, ) là các hàm thựcthay vào (1.25) ta có:

) exp(

) exp(

) exp(

)

NL NL

NL

L

z i

i z

iV i

V T z

NL NL

Đặt L hd  [ 1  exp(  z)] /  và gọi là chiều dài hiệu dụng, nó nhỏ hơn

khoảng cách lan truyền Nếu sự hao phí trên sợi quang được bỏ qua thì L hd = z.

Khi đó NL U( 0 ,T)2L hd và nghiệm của (1.25) là:

) exp(

) , 0 ( ) ,

Phương trình (1.27) chỉ ra rằng hiệu ứng tự biến điệu pha không làmthay đổi dạng của xung trong quá trình lan truyền Tuy nhiên nó làm cho phacủa xung thay đổi đột ngột Sự thay đổi pha của xung phụ thuộc vào cường độcủa xung và tăng theo khoảng cách lan truyền (Hình 1.4)

Do sự phụ thuộc vào thời gian của pha NL nên tần số tức thời củaxung sẽ biến thiên Tần số tức thời của xung khác với tần số trung tâm củaxung  0 một lượng (T) cho bởi:

2 ) , 0 ( )

T L

L T

T

NL

hd NL

tự biến điệu pha làm phát sinh các thành phần tần số mới và kết quả là làm

mở rộng phổ của xung Dạng phổ của xung S(  ) nhận được bởi sử dụng biếnđổi Fourier cho (1.27)

2

}dT ) (

) , ( {i exp ) , 0 ( )

, (

T

T L

L T z

NL

hd NL

0

exp 2

) (

T

T L

L T

T T

2 0

2 2

0

2

) (

exp exp

2 exp )

L i T

T S

2

02468

246

 4

 20

Hình 1.5: Sự thay đổi phổ của xung theo khoảng cách lan truyền.

Khi xung quang học lan truyền trong môi trường tán sắc thì dạng của

nó liên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các vậntốc nhóm khác nhau Khi môi trường là phi tuyến thì quá trình tự biến điệupha sẽ làm pha cũng như tần số của xung thay đổi Quan hệ giữa hiệu ứng tánsắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha sẽ làm cho xung giãn ra hoặc

co lại phụ thuộc vào độ lớn và chiều của hai hiệu ứng trên Trong một điềukiện nhất định thì dạng ban đầu của xung sẽ giữ nguyên không đổi trong quátrình lan truyền Điều này xảy ra khi hiệu ứng tự biến điệu pha và hiệu ứngtán sắc vận tốc nhóm bù trừ cho nhau Các xung ổn định như vậy gọi làsoliton Các soliton quang học là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sónglan truyền qua nhau trong môi trường thì đường bao biên độ không đổi mà chỉ

có sự dịch pha do quá trình tương tác Do vậy nó vẫn tiếp tục lan truyền nhưthực tại độc lập

Xét xung Gauss đưa vào sợi quang với tần số của xung là  0 và tần sốcủa nó được giữ nguyên là hằng số trên toàn bộ xung (xung Gauss khôngchirp)

Nếu xung này lan truyền qua sợi quang với hệ số tán sắc vận tốc nhóm2

 < 0 nó sẽ bị ảnh hưởng bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm Do đó tần số ởphần đầu xung sẽ lớn hơn tần số ở phần đuôi xung Các thành phần tần số lớnhơn sẽ lan truyền nhanh hơn một ít so với các thành phần tần số nhỏ hơn do

đó chúng sẽ đến cuối sợi quang trước Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽrộng hơn tín hiệu ban đầu và đuôi xung bị dịch tần

Bây giờ nếu giả thiết xung lan truyền trong môi trường phi tuyến khôngtán sắc, xung sẽ bị ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha Độ dịch tần củaxung cho bởi (1.31), độ dịch tần có giá trị âm ở phần đầu xung và có giá trịdương ở phần cuối xung Do đó tần số ở phần đầu xung sẽ bé hơn ở phần cuốixung, phần đầu xung bị giãn

Môi trường tán sắc tuyến tính

Môi trường phi tuyến không tán sắc

Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng trên được mô tả bởihình 1.6:

Bây giờ trên thực tế xung lan truyền trong sợi quang chịu tác dụngđồng thời của hai hiệu ứng sẽ dẫn tới sự dịch chuyển tần số theo cả hai hướngđối diện nhau Điều đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng tự biếnđiệu pha và tán sắc vận tốc nhóm cân bằng với nhau Như vậy tổng hợp cả haihiệu ứng sẽ làm cho xung không thay đổi trong quá trình lan truyền Xung cótính chất đặc biệt như vậy gọi là soliton thời gian

1.3.2 Nghiệm soliton cơ bản của NLSE

Nghiệm soliton cơ bản của NLSE có dạng:

exp ) (

sec )

,

trong đó  ;  ; s; s là bốn thông số tuỳ ý đặc trưng cho soliton Mỗi sợiquang sẽ có một họ bốn thông số của soliton cơ bản

Bây giờ ta sẽ khảo sát ý nghĩa vật lý của bốn thông số này Bốn thông

số  ;  ; s; s biểu diễn biên độ, độ dịch tần số, toạ độ và pha của soliton

Hình 1.6: Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng GVD và SPM.

Pha s có thể được bỏ qua, bởi vì một hằng số pha là không có ý nghĩavật lý đối với một soliton đơn lẻ Nó chỉ trở nên quan trọng khi khảo sát sựtương tác phi tuyến giữa các soliton.

Thông số s xác định toạ độ đỉnh của soliton, nó cũng có thể được bỏqua Thật vậy, nếu như gốc thời gian ta chọn sao cho đỉnh của soliton tại

 Chú ý đến thành phần biểu diễn tần số của trường là exp( i0t) thì tần

số mới của trường sẽ là:

0

0 0

0 0

1 '

T d

d T

 Sự thay đổi vận tốc nhóm là hệ quả của sự tán sắc trên sợi quang Thông

số độ dịch tần  cũng có thể được bỏ qua bằng cách chọn tần số sóng mangthích hợp

Như vậy soliton cơ bản chỉ với một thông số được mô tả bởi:

Dạng chính tắc của soliton cơ bản có thể nhận bởi chọn u(0,0) = 1 và

 = 1 Với sự lựa chọn này (1.35) trở thành

1.3.3 Các dạng soliton

1.3.3.1 Dark soliton (soliton tối)

Dark soliton là nghiệm soliton của NLSE phi thứ nguyên:

U U N U U

2

1 )

tương ứng với trường hợp sgn( 2)  1, nghĩa là xung lan truyền trong chế độtán sắc thường của sợi quang Đặc điểm của dạng soliton này là cường độ của

nó là một hằng số, nhưng trong một khoảng thời gian ngắn nó giảm xuốngbằng không (tạo thành hố) sau đó lại trở lại không đổi (dạng "khe sâu") Vìvậy mà nó được gọi là dark soliton (soliton tối) Còn soliton ở các mục trướcgọi là bright soliton (soliton sáng) [4]

Với soliton tối, cường độ tại tâm hố trũng mà bằng không thì nó đượcgọi là black soliton (soliton đen), cường độ tại tâm hố trũng mà lớn hơnkhông thì nó được gọi là gray soliton (soliton xám)

Trong khi pha của bright soliton là một hằng số theo toàn bộ xung thìpha của dark soliton thay đổi Đối với black soliton thì pha của xung sẽ thayđổi đột ngột một lượng bằng  tại   0 Còn với gray soliton, pha của xungthay đổi liên tục Sự phụ thuộc vào thời gian của pha trên dark soliton có sựdịch chuyển tần số là sự khác nhau cơ bản giữa dark soliton và bright soliton

Xét một black soliton mà dạng chính tắc khi chọn các thông số phùhợp: u(  ,  )  tanh(  ) exp(i )

u

Đặc điểm của xung này giống như đặc điểm của soliton cơ bản là dạngcủa nó không thay đổi khi lan truyền trong miền tán sắc thường (hình 1.8).

1.3.3.2 Soliton tự thay đổi tần số và soliton bị phân chia

Có hai hiệu ứng phi tuyến bậc cao: soliton bị phân chia và soliton tự thay đổi tần số cảm ứng Raman

Nếu độ rộng xung soliton bé hơn 1 ps thì ảnh hưởng của quá trình cảm

ứng Raman sẽ dẫn đến sự phân bố lại năng lượng trong các xung: Bất kì thành

Hình 1.8: Dạng của black soliton không đổi trong quá trình lan truyền

động vào môi trường cảm ứng Raman (ví dụ như thuỷ tinh) Đường congkhuếch đại Raman cho chúng ta biết các thành phần tần số thấp được khuếchđại những lượng bao nhiêu Nói chung quá trình này dẫn đến sự dịch chuyểnnăng lượng từ các thành phần tần số cao sang các thành phần tần số thấptrong soliton Do đó, xung dịch tần số trung tâm của nó xuống một giá trị nào

đó thấp hơn Ở tần số tự dịch chuyển này, soliton lại tiếp tục duy trì hình dạngcủa nó

g g

v v

với 0''  0, tần số dịch chuyển theo chiều âm cùng với vận tốc nhóm

giảm Ngoài hiệu ứng Raman tự cảm, tất cả N-soliton (N>1) sẽ truyền với

cùng vận tốc Tuy nhiên, nếu ta tính đến hiệu ứng tự cảm Raman, chúng vẫntồn tại các vận tốc khác nhau và tách ra trong không gian

1.3.3.3 Soliton lưỡng ổn định

Dạng đặc biệt của phân cực phi tuyến mà kết quả của nó là chiết xuấttăng tuyến tính theo cường độ

I n n I

Môi trường có chiết suất phụ thuộc cường độ theo (1.37) gọi là môitrường phi tuyến kiểu Kerr Tại mức cường độ của trường quang học là rấtlớn thì sự đáp ứng phi tuyến của môi trường bắt đầu bão hoà Lúc đó cần thiếtthay đổi (1.37) cho phù hợp Trong trường hợp này biểu thức thay thế có thểviết dạng

) ( )

~

I f n n I

trong đó f (I) là một hàm đã biết của cường độ I NLSE bây giờ trở thành

0 ) ( 2

i

