Nghiên cứu sự lan truyền xung laser trong sợi quang phi tuyến

Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả Trần Mạnh Cờng Lời mở đầuNghiên cứu quá trình lan truyền của các xung ánh sáng trong môi tr ờngườngvật chất l một trong những vấn đề cơ bản v quan trọng

Mục lục

Trang

Lời mở đầu 1

Chơng 1: Sự lan truyền xung trong sợi quang 5

1.1 Phơng trình lan truyền xung trong sợi quang 5

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang 5

1.1.2 Sự lan truyền các xung ngắn trong sợi quang 6

1.1.3 ảnh hởng của sự hao phí lên quá trình lan truyền xung 8

1.1.4 Sự lan truyền của các xung cực ngắn 9

1.2 Các chế độ lan truyền xung 10

1.3 Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm 13

1.4 Hiệu ứng tự biến điệu pha 19

Chơng 2: Giải phơng trình lan truyền xung bằng phơng pháp số Runge - Kutta 22

2.1 Các phơng pháp số để giải phơng trình lan truyền xung 22

2.2 Phơng pháp số Runge - Kutta 24

2.2.1 Biến đổi Fourier rời rạc và thuật toán biến đổi Fourier nhanh 24

2.2.2 Phơng pháp số Runge - Kutta để giải phơng trình lan truyền xung 25

Chơng 3: Các lời giải số của phơng trình lan truyền xung 27

3.1 Các lời giải quan trọng của NLSE 27

3.1.1 Lan truyền của các xung dạng Gauss 27

3.1.2 Lan truyền của các xung dạng Secant Tơng tác giữa các sóng Sotiton 32

3.2 Một số ứng dụng của các soliton quang học 38

3.2.1 Soliton bậc nhất với các ứng dụng trong ngành viễn thông 38

3.2.2 ứng dụng của các soliton bậc cao để tạo xung cực ngắn 39

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 42

Lời cảm ơn

Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hớng dẫn PGS TS Đinh Xuân Khoa vì những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Thầy đã định h- ớng nghiên cứu, cung cấp các tài liệu quan trọng và nhiều lần thảo luận, chỉ dẫn cho tác giả các vấn đề khó khăn gặp phải.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo PGS.

TS Hồ Quang Quý, TS Đoàn Hoài Sơn, TS Vũ Ngọc Sáu cùng nhóm các bạn học viên chuyên ngành Quang học khoá Cao học 14 trừờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập chơng trình Cao học và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài này.

Tác giả cũng xin đợc gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu và Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học – Trờng Đại học Vinh vì những quan tâm giúp đỡ, tạo những điều kiện tốt cho việc đi lại, học tập của tác giả đợc thuận tiện.

Tác giả cảm ơn những quan tâm, chăm sóc và động viên của gia

đình trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã qua.

Cuối cùng, xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và ngời thân lòng biết ơn chân thành cùng lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc sống.

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

Trần Mạnh Cờng

Lời mở đầuNghiên cứu quá trình lan truyền của các xung ánh sáng trong môi tr ờngườngvật chất l một trong những vấn đề cơ bản v quan trọng nhất của ng nhμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhQuang học.Việc nghiên cứu lan truyền của các xung ánh sáng trong môi

tr ờng tán sắc phi tuyến có vai trò đặc biệt quan trọng bởi vì Quang học phiườngtuyến đang ng y c ng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Công nghệμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhphotonics sẽ thay thế công nghệ electronics trong thế kỷ 21 n y, trong đóμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhnhững đóng góp của Quang học phi tuyến l rất đáng kể Chẳng hạn đối vớiμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

lĩnh vực Thông tin quang thì vấn đề lan truyền xung sẽ l vấn đề cơ bản vàμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhtrung tâm của mọi hệ thống thông tin quang

Thông th ờng, ng ời ta xuất phát từ lý thuyết điện từ của Maxwell Lýường ườngthuyết n y có u điểm l mô tả tốt các quá trình điện từ trong một giới hạnμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhkhá rộng v đặc biệt nó lại rất đơn giản v đẹp đẽ về mặt toán học Lý thuyếtμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhhiện đại nhất về tr ờng điện từ l Điện động lực học lượng tử Nó mô tả cáciện động lực học l ợng tử Nó mô tả cácường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngquá trình t ơng tác của ánh sáng với vật chất ở mức độ chính xác rất cao Gầnường

nh tất cả các hiệu ứng quan sát đ ợc cho tới nay đều đ ợc giải thích tốtường ường ường

đẹp Tuy nhiên công cụ toán học rất phức tạp của nó khiến cho việc áp dụng

v o các nghiên cứu thực tế gặp nhiều khó khăn Với vấn đề lan truyền xungμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhcũng nh nhiều ứng dụng quan trọng khác của Quang học phi tuyến, chúng taườngchỉ cần dùng lý thuyết của Maxwell l đã đủ chính xác T ơng tác phi tuyếnμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườnggiữa các tr ờng laser c ờng độ lớn với vật chất mô tả theo quan điểm cổường ường

điển v l ợng tử không khác nhau đáng kể Điện động lực học lượng tử Nó mô tả cáciều đó có thể hiểu đ ợc khiμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường ườngchúng ta l u ý rằng với các tr ờng mạnh thì do số hạt photon rất lớn nênường ườngtrong khi t ơng tác hiệu ứng l ợng tử ít biểu hiện rõ ường ường

Trên cơ sở lý thuyết điện từ cổ điển, vấn đề lan truyền xung trong môi

tr ờng phi tuyến đ ợc mô tả theo các ph ơng pháp gần đúng Không giốngường ường ường

nh các quá trình tuyến tính, các quá trình phi tuyến rất phức tạp nên chỉ cóườngthể mô tả đ ợc một cách gần đúng m thôi Lan truyền của các xung ánhường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhsáng đ ợc biểu diễn bằng ph ơng trình của ường ường hμm bao biến thiên chậm m bao biến thμm bao biến thiên chậmiên chμm bao biến thiên chậmậm μm bao biến thiên chậm Môi

tr ờng phi tuyến kiểu Kerr có nhiều hiệu ứng quan trọng nên chúng đ ợc tậpường ườngtrung chú ý Ph ơng trình của h m bao trong môi tr ờng Kerr ở các khaiường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngtriển bậc thấp có dạng l μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh phμm bao biến thiên chậm ơng trìnhμm bao biến thiên chậm Schμm bao biến thiên chậmrodinger phμm bao biến thiên chậmi tuyến ương trình Schrodinger phi tuyến Một kết quảquan trọng rút ra từ ph ơng trình Schrodinger phi tuyến l tồn tại các ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh nghμm bao biến thiên chậmiệm soliton của nó, nếu các xung ánh sáng thoả mãn một số điều kiện nhất định.

Hiện t ợng n y đã đ ợc thực nghiệm xác nhận v hứa hẹn những ứng dụngường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

to lớn trong lĩnh vực truyền tải thông tin

Tuy nhiên, vì giới hạn ở khai triển bậc thấp nên ph ơng trìnhườngSchrodinger phi tuyến chỉ mô tả gần đúng sự biến đổi của h m bao m thôi.μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhCác xung laser ngắn (với thời gian cỡ picô giây hoặc lớn hơn) tuân theo

ph ơng trình n y còn các xung cực ngắn (cỡ femtô giây) thì ng ời ta quanường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngsát đ ợc sự sai lệch Chẳng hạn, các kết quả thực nghiệm cho thấy với cácườngxung cực ngắn, dù đã thỏa mãn các điều kiện để hình th nh soliton củaμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

ph ơng trình Schrodinger phi tuyến, nh ng trong quá trình lan truyền khôngường ường

có soliton m các xung bị tách ra th nh nhiều phần v biến đổi phức tạp.μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

Hiện t ợng tách xung cực ngắn có thể giải thích đ ợc khi để ý đến các sốường ườnghạng bậc cao trong khai triển ph ơng trình chuyển động của h m bao, đồngường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhthời cũng cần chú ý đến các cơ chế vật lý phức tạp khác Với các bổ sung đó,lan truyền của xung cực ngắn đ ợc mô tả bởi ường phμm bao biến thiên chậm ơng trìnhμm bao biến thiên chậm Schμm bao biến thiên chậmrodinger phμm bao biến thiên chậmi ương trình Schrodinger phi tuyến tuyến suy rộng Các ph ơng trình trên đã ường mô tả quá trình lan truyền xung kháchính xác trong phạm vi áp dụng của chúng Kết quả tính toán phù hợp tốt vớiquan sát thực nghiệm Một trong những mục đích nghiên cứu của chúng tôitrong đề t i n y l tìm cách dẫn ra ph ơng lan truyền xung v tìm hiểu cácμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhcơ chế vật lý diễn ra trong quá trình đó.

Khó khăn chính trong vấn đề lan truyền xung v nói chung với mọi b iμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhtoán phi tuyến l mặt toán học của chúng Các ph ơng trình vi phân phiμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngtuyến khó giải hơn nhiều so với các ph ơng trình tuyến tính Ph ơng phápường ườnggiải tích chỉ có thể đ a ra đ ợc trong một số rất ít các b i toán phi tuyến vường ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhkhông thể có ph ơng pháp giải tích chung cho tất cả các b i toán đ ợc.ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngChẳng hạn, ph ơng trình Schrodinger phi tuyến có thể giải bằng ường phμm bao biến thiên chậm ơng ương trình Schrodinger phi tuyến phμm bao biến thiên chậmáp tán xạ ng ợc ương trình Schrodinger phi tuyến nh ng không áp dụng đ ợc cho ph ơng trìnhường ường ườngSchrodinger phi tuyến suy rộng Điện động lực học lượng tử Nó mô tả cácể giải quyết vấn đề, ng ời ta đã phải vậnườngdụng nhiều ph ơng pháp tính toán gần đúng khác nhau Ph ơng pháp hữuường ườnghiệu nhất l μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh phμm bao biến thiên chậm ơng phμm bao biến thiên chậmáp số ương trình Schrodinger phi tuyến Chúng đã đ ợc sử dụng trong rất nhiều b iường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhtoán thực tế v cũng rất hiệu quả trong vấn đề lan truyền xung Mục đíchμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhquan trọng của đề t i n y l nghiên cứu v vận dụng một ph ơng pháp tínhμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngtoán phổ biến để giải ph ơng trình lan truyền xung, đó l ph ơng pháp sường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường ốRunge-Kutta Chúng tôi sẽ sử dụng ngôn ngữ truyền thống của các tính toánbằng số l ngôn ngữ Matlap để viết ch ơng trình cho máy tính Kết quả tínhμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngtoán sẽ đ ợc so sánh với tính toán của các tác giả khác, theo các ph ơngường ườngpháp khác v với các quan sát thực nghiệm trong các công trình khoa học đãμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

đ ợc đăng tải Điện động lực học lượng tử Nó mô tả cácây l nội dung chính của đề t i Với tinh thần đó, ngo i ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh Lời

mở đầu, phần Kết luận v danh mục μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh Các t i liệu thμm bao biến thiên chậmam khμm bao biến thiên chậmảo μm bao biến thiên chậm , luận văn đ ợcườngcấu trúc gồm ba ch ơng chính Nội dung cơ bản nh sau:ường ường

sợi quang Trong chơng này sẽ dẫn ra các phơng trình lan truyền củaxung trong sợi quang Bao gồm các phơng trình Schodinger phi tuyến(NLSE), phơng trình Schodinger phi tuyến suy rộng (GNLSE) Hai hiệuứng quan trọng và cơ bản quyết định đến sự hình thành soliton quang học là

hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM)cũng sẽ đợc khảo sát chi tiết.

Ch ơng 2 ương 1 : Trình b y các đặc điểm v nguyên tắc chung của ph ơngμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngpháp số v các thuật toán cơ bản đã đ ợc áp dụng để giải b i toán lan truyềnμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhxung Chúng tôi tập trung v o các cơ sở của ph ơng pháp sμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường ố Runge-Kutta

đ ợc sử dụng trong đề t i ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

Ch ơng 3 ương 1 : Trình b y các kết quả tính toán cho các tr ờng hợp quanμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngtrọng nhất, hay đ ợc áp dụng trong thực tế nghiên cứu, đó l lan truyền củaường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhcác xung dạng Gauss v xung dạng Secant Lời giải số đ ợc biểu diễn chủμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngyếu trên các đồ thị Chúng tôi đã phân tích v so sánh kỹ l ỡng với các kếtμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngquả trong các t i liệu tham khảo μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

Chơng 1

Sự lan truyền xung trong sợi quang

1.1 Phơng trình lan truyền xung trong sợi quang

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang

Khi trờng quang học lan truyền qua một môi trờng điện môi nào đó thìtrong chất điện môi xuất hiện các véctơ phân cực Sự đáp ứng của bất kìchất điện môi nào với trờng quang học có cờng độ lớn đều trở nên phituyến Các sợi quang đều đợc chế tạo từ hỗn hợp ôxít–silic là một chất

điện môi Khi xung quang học có công suất lớn lan truyền trong sợi quangvéctơ phân cực toàn phần P sẽ trở nên phi tuyến và liên hệ với véctơ cờng độ

điện trờng E theo:

đóng góp phi tuyến lớn nhất của phần phi tuyến trong véctơ phân cực P làcủa χ (3) Nó thể hiện qua các hiệu ứng nh hiệu ứng phát hoà âm bậc ba, hiệuứng trộn bốn sóng, hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) Tính chất phi tuyến bậc

ba là kết quả của sự phụ thuộc vào cờng độ của chiết suất:

1.1.2 Sự lan truyền các xung ngắn trong sợi quang

Các xung quang học đợc gọi là xung ngắn khi độ rộng xung của nó cỡpicogiây Trong giới hạn cổ điển, sự lan truyền của các xung trong sợi quang

B E

B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j) là véctơ mật độ dòng điện dẫn và 

là mật độ điện tích tự do Ta sẽ đa vào một số giả thiết sau nhằm đa ra phơngtrình lan truyền xung một cách đơn giản

 Môi trờng không có điện tích tự do (j) = 0;  = 0), đó là phép gần

đúng tốt cho sợi quang

 Môi trờng không có từ tính (M = 0), sợi quang là một môi trờng nhvậy

 Bớc sóng của trờng quang học lan truyền trong sợi quang là xa miềncộng hởng của môi trờng (0,5 – 2m)

 Phép xấp xỉ lỡng cực là phù hợp, do đó các quá trình thông số bậchai nh trộn ba sóng và phát hoà âm bậc hai đợc bỏ qua Trong thựcnghiệm chúng vẫn xẩy ra vì các hiệu ứng tứ cực và lỡng cực từ, tuy nhiênchúng là rất nhỏ

 Môi trờng đáp ứng với trờng quang học một cách cục bộ (địaphơng), điều đó cho phép sử dụng gần đúng của phép chiếu

 Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mô tảhiệu ứng phi tuyến Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cáciều đó hợp lệ vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn(bậc chẵn) là không có do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ôxit–silic.Còn các hiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứngbậc ba và có thể bỏ qua

 Phần ảo của hệ số điện môi e ( ) (phần ảo của hệ số điện môibiểu diễn sự hấp thụ năng lợng của môi trờng) là nhỏ so với phần thực.Nghĩa là sự hao phí trên sợi quang là nhỏ, điều đó là một phép gần đúng tốtkhi bớc sóng của xung quang học là xa miền bớc sóng cộng hởng của sợiquang

 Bớc sóng của trờng quang học phải lớn hơn bớc sóng giới hạn của sợiquang sao cho điều kiện truyền đơn mode đợc thoả mãn

 Sự đáp ứng phi tuyến của môi trờng đợc coi là tức thời Phép gần đúngnày là phù hợp cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70ps

 Trờng quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theochiều dài của sợi quang Chẳng hạn véctơ cờng độ điện trờng E dao dộng

theo phơng xác định là trục x (phơng phân cực của trờng quang học) vàphơng lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang Do đó ta có thể đa bàitoán ba chiều về bài toán một chiều.

 Trờng quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trờng làtập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là 0 và độ rộng phổ

 thoả mãn  0 << 1 Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cáciều đó cho phép áp dụng phép xấp xỉ hàmbao biến đổi chậm Ta có thể biểu diễn xung dới dạng trờng có đờng baobiến đổi chậm nh sau:

E(r, t ) = e x E ( z,t ) =e x [A( z, t) exp{- i(0t - bz )} + cc](1.6)

A( z, t) là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong một chukì dao động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể) cc là liênhợp phức của

A( z, t ) exp{- i(0t - bz )} A( z, t) và A( z, t ) tơng ứng là độ lớn và ờng độ của xung – đại lợng trong thực tế ta có thể đo đợc Sự lan truyềncủa hàm bao biến thiên chậm A( z, t) của xung quang học đợc mô tảbởi phơng trình vi phân đạo hàm riêng sau:

  là hệ số phi tuyến, Aeff là tiết diện hiệu dụng của sợi quang, 0

là tần số góc trung tâm của xung

Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácể đơn giản ta xét trong hệ toạ độ chuyển động cùng với xung (chuyển

động với vận tốc bằng vận tốc nhóm vg ) bằng cách đa vào biến:

g

v z

bằng cách đổi biến này thì phơng trình ( 1.7) đợc đa về phơng trình gọi là

ph-ơng trình Schrodinger phi tuyến ( NLSE):

(1.7)2

2 2

2

T

A i

Phơng trình trên mô tả quá trình lan truyền của các xung ngắn trong sợiquang, số hạng thứ hai ở vế trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm(GVD), còn số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha Trong sựcân bằng giữa hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu phaphơng trình (1.8) sẽ cho nghiệm soliton.

1.1.3 ảnh hởng của sự hao phí lên quá trình lan truyền xung

Trong phơng trình Schrodinger phi tuyến (1.8) ta đã bỏ qua hao phí trênsợi quang khi các xung ngắn lan truyền trong sợi Trong trờng hợp có tính

đến ảnh hởng của sự hao phí thì phơng trình mô tả quá trình lan truyền củaxung ngắn trong sợi quang có dạng:

A A i T

A i

A z

2

2 2

1.1.4 Sự lan truyền của các xung cực ngắn

ở trên ta đã đa ra phơng trình lan truyền cho các xung ngắn, tuy nhiênkhi xung là các xung cực ngắn (các xung quang học đợc gọi là xungcực ngắn khi độ rộng xung của nó cỡ femto-giây) phơng trình Schrodingerphi tuyến lúc đó không còn chính xác nữa Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácể nghiên cứu sự lan truyềncủa các xung cực ngắn cần chú ý rằng:

Các xung ngắn có độ rộng phổ của xung là rộng và có thể so sánh đợcvới phổ tần số của sóng mang nên hiệu ứng tán sắc xảy ra mạnh hơn vàcần phải chú ý tới các hiệu ứng tán sắc bậc cao

Thời gian (độ rộng) của các xung cực ngắn có thể so sánh đợc với vớithời gian của các quá trình nguyên tử vì vậy khai triển bậc cao của cácquá trình phi tuyến cần phải đợc tính tới, hơn nữa giả thiết sự đáp ứng tứcthời của môi trờng đối với trờng quang học là không còn chính xác Vì vậycân thiết phải bổ sung các số hạng diễn tả sự trễ của môi trờng

Với các chú ý đó phơng trình lan truyền xung cực ngắn có thể đợc đa

ra dạng (xét trong hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc nhóm vg)

(1.8)2

2 2

2

T

A i

2

2 2

0

2 3

3 3 2

2 2

i A A i T

A T

A i

Trong đó z

0

3

3 3

Phơng trình trên gọi là phơng trình Schrodinger suy rộng (GNLSE).Nghiệm của phơng trình này không phải là các nghiệm soliton, cả hàm bao

và phổ của xung đều biến đổi Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácộ lớn của các hiệu ứng bậc cao càng lớnkhi độ rộng xung càng bé

1.2 Các chế độ lan truyền xung

Trong mục trớc ta đã biết phơng trình Schrodinger phi tuyến Phơngtrình đó mô tả sự lan truyền của xung quang học (có độ rộng lớn hơn5ps) trong sợi quang đơn mode

Hai thành phần ở vế phải tơng ứng với các hiệu ứng tán sắc và hiệu ứngphi tuyến Phụ thuộc vào độ rộng ban đầu của xung T0 và đỉnh công suất

P0 của xung tới mà mỗi hiệu ứng tán sắc hay phi tuyến có thể ảnh hởngnhiều hay ít đến quá trình lan truyền xung Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácể thuận tiện ngời ta đa vào haichiều dài là chiều dài tán sắc LD và chiều dài phi tuyến LNL Sự lan truyềncủa xung có thể rất khác nhau phụ thuộc vào độ lớn tỉ đối giữa chiều dàitán sắc LD

Ta đa vào biến thời gian không thứ nguyên

0

v

z t T

2 2

2

T

A z

) 12 1 ( ) , ( )

, (z  P0U z 

với P0 là đỉnh công suất của xung tới Thay (1.12) vào (1.11) ta đợc phơngtrình sau:

U U P

U T

z

U

2 2 0

U U L

U L

z

U i

NL D

2 2

2

2

) sgn(

Trong đó sgn (2) = ±1 phụ thuộc vào dấu của thông số tán sắc vậntốc nhóm sgn (2) = 1 khi 2 > 0 và sgn ( 2) = -1 khi 2 < 0 )

Phụ thuộc vào độ lớn tỉ đối giữa chiều dài tán sắc, chiều dài phi tuyến

và chiều dài sợi quang mà các chế độ lan truyền của xung có thể chia làmbốn loại sau:

Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << LNL và L << LD thì cả hai hiệuứng tán sắc lẫn phi tuyến đều không có vai trò quan trọng trong suốt quátrình xung lan truyền Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cáciều đó có thể thấy rõ khi để ý rằng cả hai số hạng ở

vế phải của phơng trình (1.15) có thể đợc bỏ qua trong trờng hợp này

(với giả thiết rằng dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho 2 2

3W-1 km-1 Sử dụng những giá trị đó thay vào (1.14) ta có điều kiện để cóthể bỏ qua đợc hiệu ứng tán sắc và phi tuyến thì T0 > 100 ps và P0 ~ 1mW.Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << LNL nhng L ~ LD thì số hạng

(1.12)

cuối cùng của phơng trình (1.15) có thể đợc bỏ qua so với hai số hạng cònlại Sự lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm

và hiệu ứng phi tuyến trong trờng hợp này không có vai trò quan trọng Chế

độ này xảy ra khi các thông số của xung thoả mãn điều kiện:

1

2

2 0





P T L

L

NL

D (1.16)

Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácối với xung 1ps, nếu ta sử dụng các giá trị điển hình của các thông số g

và 2 của sợi quang tại bớc sóng l = 1,55mm ta có thể đánh giá đợc P0 << 1W.Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << LD nhng L ~ LNL số hạng biểudiễn hiệu ứng tán sắc trong (1.15) có thể đợc bỏ qua khi so sánh với số hạng

phi tuyến (miễn là dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho 2 2





 U ~ 1 ).Trong trờng hợp này sự lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tự biến

điệu pha, nó đa tới sự mở rộng phổ tần số của xung Hiệu ứng phi tuyến ảnhhởng đến quá trình lan truyền xung là chủ yếu khi:

1.3 Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm

Sự tán sắc vận tốc nhóm sẽ đa tới sự mở rông xung khi xung lan truyềnqua sợi quang Chế độ lan truyền xung mà trong đó chỉ có hiệu ứng tán sắcvận tốc nhóm là ảnh hởng chủ yếu đến quá trình lan truyền xung và hiệu ứngphi tuyến có thể bỏ qua khi:

L NL D

1

Sử dụng biện độ chuẩn hóa U0 , 0 1 , khi đó phơng trình lan truyền xungtrong chế độ chỉ có hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm thỏa mãn

2

2 2

U z

U i

~ ,

Biểu thức 1 21 chỉ ra rằng biên độ của xung thay đổi phụ thuộc vào hệ

số tán sắc vận tốc nhóm cùng với tần số và khoảng cách truyền Tán sắc vậntốc nhóm làm thay đổi pha của xung bởi nó phụ thuộc vào tần số và khoảngcách Mặc dù sự thay đổi pha không ảnh hởng tới phổ nhng chúng có thể thay

2

2 exp ,

0

~ 2

Biểu thức 1 22 và 1 23 có thể dùng đợc cho các xung vào có dạng bất

kỳ Bây giờ ta sẽ xét một số dạng xung vào dựa trên cơ sở lý thuyết trình bàytrên đây

Giả sử xung vào có cờng độ phân bố theo thời gian có dạng Gauss, nghĩa

là biên độ chuẩn hóa của xung vào tại điểm z 0 có dạng

2

1 exp ,

0

T

T T

U 1 24

trong đó T0 là một nửa độ rộng tại điểm cờng độ bằng 1.

e

Trong thực tiễn, nó đợc dùng độ rộng toàn phần tại nửa nhóm lớn nhấttại T0. Với một xung Gauss, nó có hai mối liên hệ với độ rộng toàn phần tạinửa lớn nhất của xung bởi biểu thức

22

exp,

0

0 2

T i T

T z

i T T

d T i z i T

T T z U

2

2 0 2

2

2 0 0

2 2 2

2 0 0

2 exp

2

exp 2

exp 2

2 ,

T z

i T

T T

z U

2

2 0 2

2

2 0

0

2 exp ,



 1 27

Có thể viết lại Uz,T dạng

Uz,T Uz,T exp i z,T  1 28

Theo đó, bao hàm của xung là Uz ,T , còn pha xung là z ,T.

Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácộ lớn hàm bao xung là

 

1

2

exp 1

1

1 2

exp 1

1

2

exp

2 2

exp ,

2 2

2 2 2 2 0 2

4

4 0

2 2 2

2 2 2 4 0

2 0 2

2 4 0 0

2 1

2 2 0 2

2 2 0

2

4

2 2 0 2 2 0

T

L z

T

z T

T

T z

z T

T T z

T T

z i T

T z

i T

T z

i T z i T

T

UU T

z U

Vậy  

1 2

exp 1

1 ,

2 2

T

L z T

z

U 1 29

Từ 1 29 ta thấy

- Dạng của xung Gauss không đổi trong quá trình lan truyền

- Cờng độ của xung sẽ giảm đi khi khoảng cách lan truyền tăng Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácộ giảmcờng độ tuân theo quy luật

1 4

2 0

I z

Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácộ rộng của xung tăng theo khoảng cách lan truyền (xung mở rộng) Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácộ

mở rộng tăng theo quy luật

 

2 0

Z /

Hình 1.1 Sự phụ thuộc cờng độ xung vào khoảng cách lan truyền

T 1 33

Biểu thức 1 33 chỉ ra cho ta thấy rằng tán sắc vận tốc nhóm đã tác độngcho xung Gauss đợc mở rộng khi lan truyền Chiều dài đặc trng cho hiện tợngtán sắcL D ảnh hởng tới sự mở rộng xung Xung ngắn sẽ mở rộng nhiều hơn

bởi vì chiều dài tán sắc nhỏ Khi z  L D thì  

, 2

0

T

z T

nghĩa là khi xung lan

truyền đợc quảng đờng bằng L D thì độ rộng xung sẽ tăng lên 2 lần và L D

gọi là quảng đờng tán sắc

Hình 1.2 Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácộ rộng của xung tăng theo khoảng cách lan truyền

H×nh 1.3 Më réng xung do t¸n s¾c cña xung Gauss bªn trong sîi quang khi

4 0

2 2

4 0

2 2 2 2 0

2 2

4 0 2

2 0 2

2 0

2 2

1 2 2 2

4

0

0

exp 1

2

exp arctan

2 exp

2

exp arctan

exp ,

z T

zT i T

z T

T T

z i

z T

T

z T

z i T T T

z i

z T

T T

1

sgn arctan

2 exp ,

D

D D

L z L z T

iT L

z i

1 1

sgn

0

2 2

D

L

z T

T L z L

z T

z



1.4 Hiệu ứng tự biến điệu pha

Điện động lực học l−ợng tử Nó mô tả cácể đơn giản ta có thể bỏ qua hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và chỉ xét chỉ

có hiệu ứng tự biến điệu pha (hệ số 2 đạt bằng 0) Sử dụng biên độ chuẩnhóa trong 1 12 phơng trình lan truyền xung có dạng

 U U

L

z i

NL

L

z i

i z

iV i

T z T

z V

0

T U T V T z V

i T V T U

Phơng trình 1 39 chỉ ra rằng hiệu ứng tự biến điệu pha không làm thay

đổi dạng của xung trong quá trình lan truyền Tuy nhiên nó làm cho pha củaxung thay đổi Sự thay đổi pha của xung phụ thuộc vào cờng độ của xung vàtăng theo khoảng cách lan truyền

Do sự phụ thuộc vào thời gian của pha NL nên tần số tức thời của xung

sẽ biến thiên Tần số tức thời của xung khác với tần số trung tâm của xung  0

một lợng  T cho bởi

  U0 T, 2

T L

L T

T

NL

hd NL

Sự phụ thuộc vào thời gian của  T làm dịch chuyển tần số của xung, ợng dịch chuyển tần số biến thiên theo cờng độ của xung và tăng theo khoảngcách lan truyền Nói cách khác trong quá trình xung lan truyền trong sợiquang các thành phần tần số mới liên tục sinh ra Nh vậy hiệu ứng tự biến điệupha làm phát sinh các thành phần tần số mới và kết quả là làm mở rộng phổcủa xung Dạng phổ của xung S  nhận đợc bởi sử dụng biến đổi Fouriercho 1 39

Xét ví dụ cho xung vào là xung Gauss cho bởi 1 27 Hiệu ứng tự biến

điệu pha làm biến đổi pha của xung theo

T

T L

L T z

NL

hd NL

L T

T T

0

2 2

0

2

exp exp

T

T L

L i T

T S

ơng trình Schodinger phi tuyến suy rộng (1.10)

- Khảo sát chi tiết hai hiệu ứng quan trọng và cơ bản quyết định đến sựhình thành soliton quang học là hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) vàhiệu ứng tự biến điệu pha (SPM)

- Phơng pháp để giải hai phơng trình (1.8) và (1.10) sẽ nghiên cứu vàochơng 2

Ch ơng 2 ương 2 Giải ph ơng trình lan truyền xung ương 2

bằng ph ơng pháp số Runge - Kutta ương 2

2.1 Các ph ơng pháp số để giải ph ơng trình lan truyền xung ương 2 ương 2

ở ch ơng tr ớc chúng ta đã dẫn ra các ph ơng trình lan truyền (1.8)ường ường ường

v (1.10) của các xung ngắn v cực ngắn trong môi tr ờng tán sắc phi tuyến.μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngChúng đều l các ph ơng trình đạo h m riêng phi tuyến nên không thể giảiμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhtheo các ph ơng pháp thông th ờng nhường ường ường đã l m với các ph ơng trìnhμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngtuyến tính đã biết đ ợc.ường

Điện động lực học lượng tử Nó mô tả cácối với NLSE, ph ơng pháp tán xạ ng ợc áp dụng có hiệu quả vường ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhchúng ta đã thu đ ợc các nghiệm giải tích chính xác của nó trong một sốường

tr ờng hợp cụ thể Tuy nhiên đối với GNLSE thì ph ơng pháp n y lại khôngường ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh

sử dụng đ ợc v hiện nay ch a có ph ơng pháp giải tích n o để tìmường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhnghiệm chính xác của GLNSE cả Hơn nữa nhường chúng ta đã nói ở tr ớc,ườngGNLSE chỉ l một trong số rất nhiều các dạng ph ơng trình gần đúng mô tảμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườngcác xung cực ngắn Việc tìm một ph ơng pháp giải tích chung để giải cácường

ph ơng trình n y l không thể thực hiện đ ợc Do những khó khăn đó,ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ường

ng ời ta đã áp dụng rộng rãi ph ơng pháp số v o việc giải các ph ơng trìnhường ường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh ườnglan truyền xung Có thể nói rằng ph ơng pháp số l công cụ hữu hiệu giúpường μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnhgiải quyết hầu hết các b i toán Các nh nghiên cứu dễ d ng xác định tínhμ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh μ một trong những vấn đề cơ bản vμ quan trọng nhất của ngμnh