Hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm và ngôn ngữ aniximov suy rộng

Nh ta đã biết, mỗi tơng đẳng ρ trên một nhóm đợc xác định duy nhất bởi lớptơng đẳng chứa đơn vị của nhóm.. Cliphơt và Prestơn cũng đã đa ra kết quả: ảnh đồng cấucủa một nửa nhóm ngợc cũn

Mục lục

Trang

Mở đầu

Chơng 1 Hệ hạt nhân trong nửa nhóm

1.1 Hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm ngợc

1.2 Hệ hạt nhân chuẩn trong nhóm phải

Chơng 2 Ngôn ngữ nhóm Aniximov và ngôn ngữ nhóm Aniximov suy rộng

2.1 Tơng đẳng chính phải Đuybrây và tơng đẳng chính hai phía Kroadô

2.2 Ôtômát, vị nhóm cú pháp và văn phạm của ngôn ngữ

2.3 Ngôn ngữ nhóm Aniximov và ngôn ngữ nhóm Aniximov suy rộng

Kết luận cuả luận văn

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình thức trong vài chục năm gần đây đã thực sự

hấp dẫn nhiều tác giả trong và ngoài nớc Nhiều công trình liên quan đến

Ôtômát, vị nhóm cú pháp và văn phạm của các ngôn ngữ đã đợc công bố vớinhiều kết quả sâu sắc và có nhiều ứng dụng trong toán học và trong lĩnh vựcmáy tính

Có thể khảo sát các ngôn ngữ hình thức theo nhiều hớng khác nhau tùy theo

sự quan tâm và tính riêng biệt của ngời nghiên cứu ở đây chúng tôi quan tâmnhiều đến vị nhóm cú pháp của các ngôn ngữ vì đó là cấu trúc cơ sở của đại sốhiện đại

Nh ta đã biết, mỗi tơng đẳng ρ trên một nhóm đợc xác định duy nhất bởi lớptơng đẳng chứa đơn vị của nhóm Điều này không đúng cho một nửa nhóm tuỳ ý.Tuy nhiên, trong "Lý thuyết nửa nhóm", Cliphơt và Prestơn đã chứng minh đợcrằng: Mỗi tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc xác định bởi một hệ hạt nhân chuẩnứng với tơng đẳng đã cho Cliphơt và Prestơn cũng đã đa ra kết quả: ảnh đồng cấucủa một nửa nhóm ngợc cũng là nửa nhóm ngợc và đã chứng tỏ một tơng đẳngtuỳ ý trên một nửa nhóm ngợc đợc xác định một cách duy nhất bởi việc cho cáclớp tơng đơng của nó chứa các lũy đẳng

Từ các kết quả trên, chúng tôi xét bài toán tơng tự: Mô tả tơng đẳng trên cácnhóm phải, một lớp nửa nhóm khá gần với các nhóm Từ đó khảo sát một số lớpngôn ngữ hình thức liên quan

Luận văn đợc chia thành các chơng mục nh sau: Phần mở đầu, chơng 1, chơng

2 và phần kết luận

Chơng 1 Hệ hạt nhân trong nửa nhóm

Chơng này gồm hai tiết:

1.1 Hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm ngợc

Trong tiết này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tơng đẳng trên

nửa nhóm; tóm tắt các kết quả chính về tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc để làmcơ sở cho việc trình bày các phần sau.

1.2 Hệ hạt nhân chuẩn trong nhóm phải

Đây là một trong hai nội dung chính của luận văn Trong tiết này, chúng tôi

đã thu đợc những kết quả tơng tự về tơng đẳng trong nhóm phải, cụ thể đãchứng minh đợc: ảnh đồng cấu của một nhóm phải là một nhóm phải (Mệnh đề1.2.6); một tơng đẳng tuỳ ý trên một nhóm phải đợc xác định một cách duy nhấtbởi việc cho các lớp tơng đơng chứa các lũy đẳng (Định lý 1.2.16) Tuy nhiên,

kỹ thuật chứng minh của chúng tôi chủ yếu khác với kỹ thuật mà Cliphơt vàPrestơn đã dùng khi khảo sát tơng đẳng trên các nửa nhóm ngợc

Chơng 2 Ngôn ngữ Aniximov và ngôn ngữ Aniximov suy rộng

2.3 Ngôn ngữ nhóm Aniximov và ngôn ngữ Aniximov suy rộng Tiết này làmột trong những nội dung chính của luận văn Thực ra một số tác giả đã khảosát ngôn ngữ Aniximov nhng chỉ trong trờng hợp ngôn ngữ chính quy, nghĩa là

vị nhóm cú pháp của nó là một nhóm hữu hạn ở đây, chúng tôi xét các lớpngôn ngữ này trong trờng hợp vị nhóm cú pháp là một nhóm tuỳ ý và bớc đầu

đã thu đợc một số kết quả: mô tả dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp và

Ôtômát của các ngôn ngữ Aniximov và Aniximov mở rộng (Mệnh đề 2.3.1,Mệnh đề 2.3.3, Định lý 2.3.4, Định lý 2.3.6)

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo

PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến Thầy- ngời đã đặt cho tác giả một bài toán thú vị và đã giúp tác giả giảiquyết trọn vẹn bài toán này một cách tận tình chu đáo Tác giả cũng xin bày tỏlòng biết ơn tới GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS.Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Nguyễn Quý Dy, TS Mai Văn T, TS ChuTrọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại

số - Lý thuyết số đã giúp đỡ động viên, chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian họctập cũng nh việc hoàn thành luận văn này

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh,Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng ban có liên quan; xincảm ơn Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thanh Hoá, trờng THPT Yên Định 3 đã tạo

điều kiện về tinh thần cũng nh về vật chất cho tác giả trong thời gian học tập vànghiên cứu tại trờng Đại học Vinh

Một lần nữa, tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy giáo,cô giáo và các bạn học viên lớp Cao học 12 Đại Số - Lý thuyết số

Vinh, tháng 12/2006

Thiều Thanh Hải

Chơng 1 Hệ hạt nhân trong nửa nhóm

Tơng đẳng trong nửa nhóm là một trong những vấn đề trung tâm của lýthuyết nửa nhóm và có liên quan chặt chẽ với lý thuyết ngôn ngữ hình thức.Trong chơng này, chúng tôi trình bày việc xây dựng hệ hạt nhân chuẩn trongmột số lớp nửa nhóm và ứng dụng chúng để mô tả các tơng đẳng trên các lớpnửa nhóm đó Các kết quả về nửa nhóm ngợc thuộc về Vácne (1953) và Preston(1954)

1.1 hệ hạt nhân chuẩn trong nửa nhóm ngợc

Nh ta đã biết, mỗi tơng đẳng trên nửa nhóm đợc xác định duy nhất bởi lớp

t-ơng đẳng chứa đơn vị của nhóm Điều này không đúng cho một nửa nhóm tuỳ

ý Tuy nhiên, đối với nửa nhóm ngợc, lớp nửa nhóm khá gần với nhóm- mỗi

t-ơng đẳng có thể đợc xác định bởi một số lớp tt-ơng đẳng chứa lũy đẳng của nửanhóm ngợc đó Tập hợp các lớp tơng đẳng đó gọi là hệ hạt nhân chuẩn ứng với

tơng đẳng đã cho Phần chứng minh của các kết quả trong phần này xem [2].

a Tơng đẳng trên nửa nhóm

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi đó mỗi tập con

ρ của tích Đềcác XxX = {(a, b) a, b ∈ X} đợc gọi là một quan hệ trên tập X.Nếu (a, b) ∈ ρ, trong đó a, b ∈ X thì nói a nằm trong quan hệ ρ với b và viết

aρb

Giả sử X là một tập hợp và BX là tập tất cả các quan hệ trên X Ta đa vào

BX phép toán hợp thành () xác định nh sau: Giả sử ρ, σ ∈ BX Khi đó (a, b)

∈ ρσ nếu ∃x ∈ X sao cho (a, x) ∈ ρ và (x, b) ∈ σ Tập hợp BX tất cả các

quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với phép toán hợp thành () Nửanhóm BX đợc gọi là nửa nhóm các quan hệ trên tập X.

1.1.2 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp, ρ là một bộ phận của XxX Thế thì

ρ gọi là một quan hệ tơng đơng trên X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây đợcthoả mãn:

i) (Phản xạ) aρa, ∀a ∈ X

ii) (Đối xứng) Nếu aρb thì bρa, ∀a, b ∈ X

iii) (Bắc cầu) Nếu aρb và bρc thì aρc, ∀a, b, c ∈ X

1.1.3 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm và ρ là một quan hệ trên S Khi đó

ρ đợc gọi là ổn định bên phải (trái) nếu aρb, ∀a, b ∈ S thì acρbc (caρcb),

1.1.5 Định nghĩa Cho S là nửa nhóm Khi đó:

i) Phần tử a ∈ S đợc gọi là chính quy, nếu a ∈ aSa, hay axa = a, ∀x ∈ S ii) Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm chính quy, nếu mỗi phần tử của S đều

là phần tử chính quy

1.1.6 Mệnh đề Nửa nhóm S là nửa nhóm chính quy khi và chỉ khi mọi iđêan

chính phải (trái) của S sinh bởi một lũy đẳng e nào đó.

1.1.7 Định nghĩa Cho S là nửa nhóm Khi đó:

i) Hai phần tử a và b ∈ S đợc gọi là ngợc nhau, nếu aba = a và bab = b

ii) Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm ngợc, nếu mỗi phần tử của S có mộtphần tử ngợc duy nhất

1.1.8 Ví dụ Từ định nghĩa ta có nhóm là một nửa nhóm ngợc Tuy nhiên có

những nửa nhóm ngợc mà không phải là một nhóm Chẳng hạn nửa nhóm làhợp của các nhóm

Định lý sau đây mô tả cấu trúc của một nửa nhóm ngợc

1.1.9 Định lý Ba điều sau đây đối với một nửa nhóm S là tơng đơng:

i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán đợc với nhau.

ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất.

iii) S là nửa nhóm ngợc.

C Hệ hạt nhân chuẩn của nửa nhóm ngợc

1.1.10 Mệnh đề Giả sử ϕ : S → S ' là một toàn cấu từ nửa nhóm chính quy S lên nửa nhóm S ' Khi đó S ' là nửa nhóm chính quy.

1.1.11 Định lý ảnh đồng cấu của một nửa nhóm ngợc cũng là một nửa nhóm

ngợc Ngoài ra, qua một đồng cấu tuỳ ý thì phần tử ngợc với phần tử đã cho

sẽ ánh xạ thành phần tử ngợc với ảnh của phần tử đã cho

1.1.12 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm tuỳ ý và A = {Ai i ∈ I} là tập con

đôi một không giao nhau của S Ta nói A là một tập thừa nhận đợc (bên trái,bên phải) trong S nếu tồn tại một tơng đẳng (trái, phải) ρ trên S sao cho mỗi tập

Ai (i ∈ I) là một ρ - lớp Khi đó, ta gọi mỗi tơng đẳng ρ nh vậy là tơng đẳng

thừa nhận A.

Nếu A thừa nhận đợc (bên trái, bên phải) và tồn tại đúng một tơng đẳng(trái, phải) trên S thừa nhận A thì A là một tập chuẩn (bên trái, bên phải) trongS.

1.1.13 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm chính quy (đặc biệt là nửa nhóm

ngợc), ρ là một tơng đẳng trên nó và A là các ρ - lớp chứa lũy đẳng Khi đó

K3) Mỗi lũy đẳng của S đợc chứa trong một Ai nào đó

K4) ∀a ∈ S và ∀i ∈ I thì ∃j ∈ I sao cho a-1Aia ⊆ Aj (ta viết j = ia, nghĩa là a

1.2 hệ hạt nhân chuẩn trong nhóm phải

Nửa nhóm ngợc và nhóm phải là những lớp nửa nhóm đặc biệt của lớp nửanhóm chính quy và có những tính chất gần với nhóm Trong 1.1 đã nêu lên kếtquả: ảnh đồng cấu của một nửa nhóm ngợc là nửa nhóm ngợc; Một tơng đẳngtuỳ ý trên một nửa nhóm ngợc đợc xác định một cách duy nhất bởi việc cho cáclớp tơng đơng của nó chứa các lũy đẳng Vấn đề đặt ra một cách tự nhiên là đốivới các nhóm phải ta có thể đạt đợc kết quả tơng tự nh vậy không Tiết này đợcxây dựng nhằm giải đáp vấn đề đó

a Định nghĩa và các tính chất đặc trng của nhóm phải

1.2.1 Định nghĩa i) Nửa nhóm S gọi là đơn phải nếu nó không chứa iđêan

phải thực sự

ii) Nửa nhóm S gọi là nhóm phải nếu nó đơn phải và giản ớc trái, nghĩa là vớihai phần tử bất kỳ a, b ∈ S, phơng trình ax = b có nghiệm duy nhất trong S

Ví dụ +) Nửa nhóm E đợc gọi là nửa nhóm các phần tử không bên phải nếu

mỗi phần tử của nó là phần tử không bên phải, tức là xy = y, ∀x, y ∈ E

1.2.2 Bổ đề Mỗi lũy đẳng của một nửa nhóm đơn phải S là một đơn vị trái

của nó.

Chứng minh Giả sử e là lũy đẳng và a là phần tử tuỳ ý thuộc nửa nhóm S Vì S

đơn phải suy ra ∃x ∈ S sao cho ex = a Khi đó ea = e2x = ex = a

1.2.3 Định lý Cho S là nửa nhóm Các điều kiện sau là tơng đơng:

i) S là một nhóm phải.

ii) S đơn phải và chứa lũy đẳng.

iii) S là tích trực tiếp GxE của nhóm G và nửa nhóm E các phần tử không bên phải.

Chứng minh i) ⇒ ii) Vì S là nhóm phải nên S đơn phải (theo định nghĩa) Giả

sử a ∈ S, vì S đơn phải suy ra ∃e ∈ S sao cho ae = a Khi đó ae2 = ae ⇒ e2 = e(vì S là nhóm phải nên có thể giản ớc trái)

ii) ⇒ iii) Giả sử E là tập các lũy đẳng của S Theo điều kiện ii) thì E ≠ φ.Theo Bổ đề 1.2.2 mỗi phần tử thuộc E là đơn vị trái trong S, đặc biệt ef = f, ∀e,

f ∈ E Vậy E là nửa nhóm con các phần tử không bên phải của S

Ta chứng minh S là nửa nhóm với luật giản ớc trái, điều đó cũng chứng minh

đợc ii) ⇒ i) Giả sử ca = cb (a, b, c ∈ S) và f ∈ S ⇒∃x ∈ S sao cho cx = f Giả sử

e = xc Thế thì e2 = xcxc = xfc = xc = e ⇒ e = ea = xca = xcb = eb = b

Nếu e ∈ E thì Se là nửa nhóm con của S trong đó e là đơn vị phải (và cũng là

đơn vị trái) Nếu a ∈ Se thì ta có thể giải phơng trình ax = e trong S Nhng khi

đó a(xe) = e2 = e, tức là phần tử a khả ngịch bên phải trong nửa nhóm Se với đơn

ϕ[(a, e)(b, f)] = ϕ(ab, ef) = (ab)(ef)=abf

ϕ(a, e)ϕ(b, f) = (ae)(bf) = a(eb)f = abf

Vậy ϕ là một đồng cấu.

Ta chứng tỏ ϕ là ánh xạ một - một Giả thiết rằng ϕ(a, e) = ϕ(b, f) tức là

ae = bf (với a, b ∈ G; e, f ∈ E) Vì g là một đơn vị của nhóm G nên ta có a

= ag = aeg = bfg = bg = b Do đó ae = af ⇒ e = f (Vì S là nửa nhóm vớiluật giản ớc trái)

Cuối cùng ta chứng tỏ ϕ ánh xạ GxE lên S Giả sử a ∈ S tồn tại e ∈ S saocho ae = a Từ đó ae2 = ae và e2 = e (Vì có thể giản ớc trái) Do đó e ∈ E

Khi đó ag ∈ Sg = G và ϕ(ag, e) = age = ae = a

Vậy ϕ là đẳng cấu từ GxE lên S

iii) ⇒ i) Vì tích trực tiếp của hai nhóm phải là một nhóm phải và vì E, G làcác nhóm phải nên GxE cũng là nhóm phải

1.2.4 Mệnh đề S là một nhóm phải khi và chỉ khi S là nửa nhóm chính quy

với luật giản ớc trái.

Chứng minh +) Điều kiện cần Do S nhóm phải nên tồn tại lũy đẳng e là đơn vị

trái của S Mỗi a ∈ S, ∃x ∈ S sao cho ax = e ⇒ axa = ea = a Vậy S là nửa nhómchính quy và hiển nhiên trong S có luật giản ớc trái

+) Điều kiện đủ Vì S có luật giản ớc trái nên chỉ cần chứng minh S đơn phải

Ta chứng minh phơng trình ay = b có nghiệm trong S, ∀a, b ∈ S

Thật vậy, a ∈ S ⇒∃x ∈ S để axa = a (vì S chính quy) Ta có ay = b ⇔ axay = b

⇔ axb = b suy ra nghiệm của phơng trình là y = xb ∈ S

1.2.5 Mệnh đề Cho S là nửa nhóm Các điều kiện sau là tơng đơng:

i) S là nhóm phải.

ii) Tồn tại đơn vị trái e ∈ S sao cho e ∈ aS, ∀a ∈ S

iii) Đối với mỗi a ∈ S, nửa nhóm con aS chứa đơn vị trái của S.

Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử S nhóm phải suy ra S đơn phải và chứa lũy đẳng

(theo Định lý 1.2.3) Gọi e là lũy đẳng của S thì e là đơn vị trái (theo Bổ đề 1.2.2).Vì S đơn phải nên aS = S, ∀a ∈ S Đặc biệt lấy e ∈ S thì e ∈ aS, ∀a ∈ S.

ii) ⇒ i) Giả sử tồn tại đơn vị trái e ∈ S sao cho e ∈ aS với mỗi a ∈ S Tachứng minh S nhóm phải Vì e là đơn vị trái của S suy ra ex = x, ∀x ∈ S Lấy x

= e ∈ S ⇒ ee = e 2 = e Vậy S chứa lũy đẳng e

Ta cần chứng minh S đơn phải, tức là chứng minh aS = S, ∀a ∈ S

Rõ ràng aS ⊆ S (do S là nửa nhóm) (1)

Lấy bất kỳ a ∈ S, do e ∈ aS ⇒ ∃b ∈ S để e = ab Do e đơn vị trái cuả S nên ta

có a = ea = aba = a(ba) ∈ aS ⇒ S ⊆ aS, ∀a ∈ S (2)

Từ (1) và (2) ta có aS = S, ∀a ∈ S

Từ Định lý 1.2.3 suy ra S là nhóm phải

i) ⇒ iii) Giả sử S là nhóm phải suy ra S đơn phải và chứa lũy đẳng Gọi e làmột lũy đẳng của S suy ra e là đơn vị trái trong S (theo Bổ đề 1.2.2) Do S đơnphải suy ra e ∈ aS, ∀a ∈ S Vậy aS chứa đơn vị trái e của S, ∀a ∈ S

iii) ⇒ i) Giả sử ∀a ∈ S, aS chứa đơn vị trái của S Gọi e là đơn vị trái của Ssuy ra ex = x, ∀x ∈ S Với x = e thì e2 = e suy ra e là lũy đẳng của S

Với bất kỳ x ∈ S ta có x = ex, theo giả thiết iii) ta có e ∈ aS, ∀a ∈ S ⇒ e = ab,

∀b ∈ S Vậy x = ex = ab = a(bx) ∈ aS ⇒ S ⊆ aS ⇒ S = aS

Vậy S là nhóm phải

B Tơng đẳng trên các nhóm phải

Trong mục này trớc hết ta chứng minh rằng ảnh đồng cấu tuỳ ý của mộtnhóm phải là một nhóm phải Sau đó chứng tỏ một tơng đẳng tuỳ ý trên mộtnhóm phải đợc xác định một cách duy nhất bởi việc cho các lớp tơng đơng của

nó chứa các lũy đẳng

1.2.6 Mệnh đề Nếu S là nhóm phải, ρ là tơng đẳng trên S thì S/ρ là nhóm phải.

Chứng minh Giả sử aρ là phần tử bất kỳ thuộc S/ρ Vì S là nhóm phải nên S lànửa nhóm chính quy (theo Mệnh đề 1.2.4) Với a ∈ S suy ra ∃x ∈ S sao cho axa

= a ⇒ aρxρaρ = (axa)ρ = aρ⇒ S/ρ là nửa nhóm chính quy

Ta cần chứng minh S/ρ có luật giản ớc trái Giả sử aρbρ = aρcρ suy ra

abρ = acρ Do a ∈ S nên ∃a1∈ S sao cho aa1 lũy đẳng Khi đó (a1a)2 = a1(aa1)a =

a1a suy ra aa1cũng lũy đẳng Ta có abρ = acρ⇒ a1abρ = a1acρ (Vì ab = ac ⇔

a1ab = a1ac do S nhóm phải nên có luật giản ớc trái) Vậy bρ = cρ

Vậy S/ρ là nhóm phải

Từ mệnh đề trên ta suy ra ảnh đồng cấu của một nhóm phải là một nhóm phải

1.2.7 Mệnh đề Giả sử ϕ là đồng cấu từ nhóm phải S lên nhóm phải S ' , e ' là lũy đẳng thuộc S ' Khi đó ϕ-1 (e ' ) là một nửa nhóm con phải của S.

Chứng minh Giả sử a, b ∈ϕ-1(e') Ta có ϕ(a) = e' và ϕ(b) = e' ⇒ϕ(a).ϕ(b) = e'.e'

= e’ (vì e' là lũy đẳng) Mà ϕ là đồng cấu nên ϕ(a).ϕ(b) = ϕ(ab) = e'

⇒ ab ∈ϕ-1(e') Do đó ϕ-1(e') là nửa nhóm con của S

Giả sử a, b ∈ ϕ-1(e') Ta chứng minh phơng trình ax = b có nghiệm trong ϕ

-1(e') Vì S nhóm phải nên ∃d ∈ S sao cho ad = b ⇒ϕ (ad) = ϕ(b)

⇒ϕ (a).ϕ(d) = ϕ(b) ⇒ e'.ϕ(d) = e'⇒ e'ϕ(d) = e'e' (vì e' là lũy đẳng thuộc S') Suy ra ϕ(d) = e' (do S' là nhóm phải nên có luật giản ớc trái) suy ra d ∈ϕ-1(e') Vậy

ta có ϕ-1(e') đơn phải

Mặt khác ϕ-1(e') ⊂ S mà S là nhóm phải nên có luật giản ớc trái suy ra ϕ

-1(e') cũng có luật giản ớc trái

Vậy đợc ϕ-1(e') là nhóm con phải của S

1.2.8 Định nghĩa Giả sử S là một nhóm phải và A = {Ai i ∈ I} là tập các tậpcon đôi một không giao nhau của S Ta nói A là tập thừa nhận đợc nếu tồn tạimột tơng đẳng ρ trên S sao cho mỗi tập Ai (i ∈ I) là một ρ - lớp

Khi đó, ta gọi mỗi tơng đẳng ρ nh vậy là một tơng đẳng thừa nhận A

Nếu A thừa nhận đợc và tồn tại duy nhất một tơng đẳng trên S thừa nhận A thì ta nói A là tập chuẩn trong S

1.2.9 Mệnh đề Nếu S là một nhóm phải, ρ là một tơng đẳng trên nó và A là tập các ρ - lớp chứa lũy đẳng thì A là tập chuẩn trong S.

Chứng minh Giả sử δ là một tơng đẳng trên S thừa nhận A Ta cần chứng tỏ δ

= ρ Giả sử (a, b) ∈ δ, do S nhóm phải nên ∃x ∈ S để ax là lũy đẳng của S Suy

ra xa cũng là một lũy đẳng Vì δ ổn định phải nên (ax, bx) ∈δ Tơng tự ∃y ∈ S

để yb, by cũng là lũy đẳng và vì δ ổn định bên trái nên ta cũng có (ya, yb) ∈

δ Theo giả thiết δ thừa nhận A nên δ - lớp chứa lũy đẳng ax trùng với ρ - lớp chứa lũy đẳng ax Vậy (ax, bx) ∈ρ

Tơng tự (ya, yb) ∈ρ⇒ (bya, byb) ∈ρ (1)

Dùng tính ổn định trái (phải) của ρ một cách thích hợp ta có a = axa (ax, bx) ∈ρ⇒ (axa, bxa) ∈ρ⇒ (a, bxa) ∈ρ (2)

⇒ (bybxa, byaxa) ∈ρ mà    = = bya byaxa bxa bybxa ⇒ (bxa, bya) ∈ρ (3)

Từ (1) và (3) ⇒ (bxa, byb) ∈ρ⇒ (bxa, b) ∈ ρ (4)

Do ρ bắc cầu nên từ (2) và (4) suy ra (a, b) ∈ρ Vậy δ ⊆ρ (5)

Đổi vai trò của ρ và δ cho nhau, tơng tự ta cũng có ρ⊆δ (6)

Vậy từ (5) và (6) ta có δ = ρ

Theo Mệnh đề 1.2.9 và định nghĩa của tập chuẩn ta có tơng đẳng ρ trên một nhóm phải S đợc xác định một cách duy nhất bởi tập chuẩn A tất cả các ρ - lớp chứa lũy đẳng Bây giờ ta tìm các đặc trng của những tập A đó và mô tả cấu trúc của những tơng đẳng tơng ứng

1.2.10 Định nghĩa Tập A = {Ai i ∈ I} đợc gọi là một hệ hạt nhân chuẩn củanhóm phải S nếu:

K1) Mỗi Ai là một nhóm con phải của S

K2) Ai ∩ Aj = φ, với i ≠ j

K3) Mỗi lũy đẳng của S đợc chứa trong một Ai nào đó

K4) Với a, x bất kỳ thuộc S mà ax ∈ Aj thì aAix ⊆ Aj, ∀i ∈ I

1.2.11 Định nghĩa Giả sử ϕ là một đồng cấu của nhóm phải S Tập các lũy

đẳng của nửa nhóm S/ϕ-1ϕ đợc gọi là hạt nhân của đồng cấu ϕ và của tơng

K4) Ta có ϕ(α) = ϕ(ayx) = ϕ(a).ϕ(y).ϕ(x) = ϕ(a).ϕ(x), ∀i ∈ I, ∀α = ayx và y

∈ Ai (vì y ∈ Ai nên ϕ(y) là lũy đẳng của S/ρ) suy ra ϕ(α) = ϕ(a)ϕ(x) = ϕ(ax) mà

ax ∈ Aj⇒α∈ Aj hay ayx ∈ Aj Vậy aAix ⊆ Aj

1.2.13 Mệnh đề Giả sử A = {A i i ∈ I} là một hệ hạt nhân chuẩn của nhóm phải S Quan hệ hai ngôi trên S xác định bởi ρA = {(a, b) ∈ SxS ax = b và

bx = a có nghiệm thuộc A i với i ∈ I} là một tơng đẳng trên S.

Chứng minh +) Tính phản xạ Giả sử c ∈ S là một nghiệm của phơng trình

ax = a ⇒ ac = a ⇒ acc = ac ⇒ c2 = c ⇒ c là lũy đẳng Theo Định nghĩa 1.2.10

K3 thì c ∈ Ai, với i ∈ I Vậy (a, a) ∈ρA, ∀a ∈ S

+) Tính đối xứng Hiển nhiên

+) Tính bắc cầu Giả sử (a, b) ∈ ρA; (b, c) ∈ρA Từ đó suy ra phơng trình ax

= b có nghiệm x1∈ Ai và phơng trình bx = a có nghiệm x1 ∈ Ai, ∀i ∈ I Phơngtrình bx = c có nghiệm x2 ∈ Aj và phơng trình cx = b có nghiệm x2 ∈ Aj, với j ∈ I

2 ∈ Aj ⇒ Ai ∩ Aj ≠ φ ⇒ Ai = Aj (theo Định nghĩa 1.2.10 K2) Vậyphơng trình ax = c và cx = a có nghiệm thuộc Ai⇒ (a, c) ∈ρA

Vây ρA là một quan hệ tơng đơng (1)

+) ρA ổn định trái Giả sử (a, b) ∈ ρA suy ra các phơng trình ax = b và bx

= a có nghiệm thuộc Ai, ∀i ∈ I Ta có ax = b ⇔ cax = cb (do S là nhóm phải) suy

ra phơng trình cax = cb cũng có nghiệm là nghiệm của phơng trình ax = b Tơng

tự cbx = ca cũng có nghiệm là nghiệm của phơng trình bx = a

(hai nghiệm này đều thuộc Ai) Vậy (ca, cb) ∈ρA hay ρA ổn định trái (2)

+) ρAổn định phải Giả sử (a, b) ∈ ρA suy ra phơng trình ax = b có nghiệm

x1∈ Ai, phơng trình bx = a cũng có nghiệm x'

1 thuộc Ai thì acx = bc ⇔ acx =

ax1c ⇔ cx = x1c (do S giản ớc trái) Vì c ∈ S nên ∃c1 ∈ S sao cho c1c là lũy đẳng Giả sử c1c ∈ Aj, ∀j ∈ I suy ra (c1cx = c1x1c ⇔ x = c1x1c ∈ Aj (theo Định nghĩa1.2.10 K4) Phơng trình acx = bc có nghiệm thuộc Aj

Giả sử a ∈ Ai; (a, b) ∈ρA Ta chứng minh b ∈ Ai Thật vậy, do (a, b) thuộc

ρA nên phơng trình ax = b có nghiệm x1 ∈ Aj và phơng trình bx = a cũng cónghiệm x'

1∈ Aj Vì a ∈ Ai, ex1 = x1 thuộc Aj nên theo Định nghĩa 1.2.10.K4 nên

ta có ax1 = eax1 thuộc Aj ⇒ b ∈ Aj Do b ∈ Aj nên ta có bx'

1 = a thuộc Aj vì Aj

là nửa nhóm con Vậy a ∈ Aj và a ∈ Ai⇒ Ai∩ Aj ≠φ⇒ Ai = Aj ⇒ b ∈ Ai Vậymỗi Ai là một ρA- lớp

Theo Mệnh đề 1.2.9 tập các ρ - lớp chứa lũy đẳng là một tập chuẩn trong S do

Bây giờ giả sử với a ∈ Ai mà (a, b) ∈ρA Thế thì phơng trình ax = b và bx = a

có nghiệm thuộc Aj với j ∈ I Ta có a = bx ∈ Ai nên theo Định nghĩa 1.2.10.K4

thì bAjx ⊆ Ai Vì x ∈ Aj nên bxx ∈ Ai mà bx = a nên suy ra ax ∈ Ai nhng ax

= b nên b ∈ Ai Vậy mỗi Ai là một ρA- lớp

Rõ ràng mỗi Ai là một lũy đẳng của nửa nhóm S/ρA Thật vậy mỗi Ai là mộtnhóm con phải của S và vì vậy chứa lũy đẳng Đảo lại, từ Mệnh đề 1.2.7 suy ramỗi lũy đẳng thuộc S/ρA là một ρA- lớp chứa lũy đẳng Nhng theo Định nghĩa1.2.10.K3 mỗi lũy đẳng thuộc S/ρA là một phần tử của hệ A Do đó A là hạtnhân của ρA

Từ các Mệnh đề từ 1.2.12 đến 1.2.15 ta có định lý sau

1.2.16 Định lý Giả sử A = {A i i ∈ I} là một hệ hạt nhân chuẩn của nhóm phải S Khi đó quan hệ hai ngôi ρA = {(a, b) ∈ SxS ax = b và bx = a có nghiệm thuộc A i , với i ∈ I} là một tơng đẳng trên S và A là hạt nhân của tơng

đẳng đó.

Ngợc lại, nếu ρ là một tơng đẳng trên nhóm phải S thì hạt nhân

A = {A i i ∈ I} của ρ là hệ hạt nhân chuẩn của S và ρ = ρA.

Chơng 2 Ngôn ngữ nhóm Aniximov

và ngôn ngữ nhóm aniximov suy rộng

2.1 Tơng đẳng chính phải Đuybrây và tơng đẳng chính hai phía Kroadô

Trong tiết này, chúng tôi trình bày hai loại tơng đẳng trên các nửa nhóm

có nhiều ứng dụng trong việc mô tả vị nhóm cú pháp và ôtômát đoán nhận ngônngữ hình thức Đó là tơng đẳng chính phải Đuybrây và tơng đẳng hai phíaKroadô

A Tơng đẳng chính phải Đuybrây

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm và H là tập con của S, ký hiệu

a[-1]H = {x ∈ S ax ∈ H}, với mỗi a ∈ S Khi đó quan hệ hai ngôi

ℜH = {(a, b) ∈ SxS a[-1]H = b[-1]H} đợc gọi là tơng đẳng chính phải trên S xác

định bởi tập H

2.1.2 Định nghĩa Tập con H của nửa nhóm S đợc gọi là một tập con mạnh nếu

từ điều kiện a[-1]H ∩ b[-1]H ≠φ keó theo a[-1]H = b[-1]H, ∀a, b ∈ S

2.1.3 Mệnh đề Giả sử S là nửa nhóm, H là tập con của S Hai điều kiện sau

⇒ y ∈ a[-1]H ⇒ y ∈ b[-1]H ⇒ by ∈ H.

ii) ⇒ i) Giả sử a[-1]H ∩ b[-1]H ≠φ Ta chứng minh a[-1]H = b[-1]H Thật vậy,giả sử x ∈ a[-1]H ∩ b[-1]H ⇒ ax ∈ H và bx ∈ H Khi đó ∀y ∈ a[-1]H ⇒ ay ∈ Hnên từ điều kiện ii) suy ra by ∈ H ⇒ y ∈ b[-1]H ⇒ a[-1]H ⊆ b[-1]H (1)

Tơng tự ta có b[-1]H ⊆ a[-1]H (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có a[-1]H = b[-1]H

Nếu S là một nhóm ta có kết quả sau

2.1.4 Mệnh đề Giả sử G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G Khi đó các

ii) ⇒ iii) Vì H ≠φ⇒∃g ∈ H Giả sử K = {x ∈ G gx ∈ H} Do e ∈ K suy

ra K ≠ φ Nếu a, b ∈ K thì ga, gb, g ∈ H ⇒ g(ga)-1gb ∈ H, hay ga-1b ∈ H ⇒ a

-1b ∈ H suy ra K là nhóm con của G Vì G là nhóm nên theo cách xác định K ta

2.1.5 Mệnh đề Giả sử H là tập con của nửa nhóm S Ta định nghĩa quan hệ

ρ trên S nh sau ρ = {(a, b) ∈ SxS Ha = Hb} Khi đó

i) ρ là tơng đẳng phải.

ii) Nếu S là một nhóm và H là nhóm con của S thì ρ = ℜH

Chứng minh i) Chứng minh ρ là quan hệ tơng đơng trên S

Ta có Ha = Ha suy ra (a, a) ∈ρ, ∀a ∈ S Vậy ρ phản xạ

Giả sử (a, b) ∈ρ⇒ Ha = Hb ⇒ Hb = Ha ⇒ (b, a) ∈ρ Vậy ρ đối xứng

Giả sử (a, b) ∈ρ, (b, c) ∈ ρ⇒ Ha = Hb và Hb = Hc ⇒ Ha = Hc ⇒ (a, c) ∈ρ.Vậy ρ bắc cầu

Nếu (a, b) ∈ρ và x ∈ S thì Ha = Hb ⇒ Hax = Hbx ⇒ (ax, bx) ∈ ρ Vậy ρ ổn

định phải

Suy ra ρ là một tơng đẳng phải trên S

ii) Giả sử S là nhóm và H là nhóm con của S Nếu Ha = Hb thì H chứa e nên

a = xb và b = ya, ∀x, y ∈ H Giả sử s ∈ S và as ∈ H Khi đó xbs ∈ H, mà x ∈

H và H là nhóm con của S nên x-1(xbs) ∈ H ⇒ bs ∈ H

Tơng tự bs ∈ H ⇒ as ∈ H Do đó as ∈ H ⇔ bs ∈ H, ∀s ∈ S nên (a, b) ∈ ℜH.Vậy ρ⊆ℜH (1)

Đảo lại, nếu (a, b) ∈ℜH và x ∈ Ha ⇒∃h ∈ H sao cho x = ha Vì H là nhómcon của S nên h-1 ∈ H ⇒ a(ha)-1∈ H và (a, b) ∈ ℜH nên b(ha)-1∈ H

⇒ ba-1 ∈ H ⇒ ba-1 = k ∈ H ⇒ a = k-1b với k ∈ H Vì H là nhóm con của S nên

hk-1∈ H ⇒ x = ha = hk-1b ∈ Hb ⇒ Ha ⊂ Hb

Tơng tự Hb ⊂ Ha Do đó Ha = Hb Vậy (a, b) ∈ρ⇒ℜH⊂ρ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ρ = ℜH

2.1.6 Mệnh đề Giả sử G là một nhóm, H là một tập con tuỳ ý của G, tập con

K xác định bởi K = {a ∈ G (a, e) ∈ℜH } Khi đó:

i) K là nhóm con của G.

ii) H là hợp các lớp ghép phải của G theo K.

Chứng minh i) Vì (e, e) ∈ℜH suy ra e ∈ K

Nếu a, b ∈ K thì (a, e) ∈ℜH và (b, e) ∈ℜH ⇒ (ab-1, b-1) ∈ℜH và (bb-1, eb-1) ∈

ℜH ⇒ (ab-1, b-1) ∈ ℜH và (b-1, e) ∈ ℜH ⇒ (ab-1, e) ∈ℜH⇒ ab-1 ∈ K Vậy K lànhóm con của G

ii) Vì K là một nhóm con của G nên theo Mệnh đề 2.1.5 ta có (a, b) ∈ℜH ⇒

Ka = Kb ⇒∃k1, k2∈ K sao cho a = k1b, b = k2a Giả sử a ∈ H, khi đó k2∈ K nên(k2, e) ∈ ℜH suy ra (k2a, a) ∈ ℜH suy ra (b, a) ∈ ℜH, mà a = ae ∈ H nên b =

be ∈ H Do đó, H là hợp của các ℜK - lớp mà (a, b) ∈ℜK⇒ Ka = Kb Vậy H làhợp của các lớp ghép phải của G theo nhóm con K

2.1.7 Mệnh đề Giả sử H và K là các nhóm con của nhóm G sao cho HK = KH.

Khi đó ℜHℜK = ℜKℜH

Chứng minh Giả sử HK = KH và (a, b) ∈ℜHℜK⇒∃c ∈ G sao cho (a, c) ∈ℜH

và (c, b) ∈ ℜK Vì H và K là các nhóm con của G nên suy ra Ha = Hc và Kc

= Kb ⇒ ac-1 ∈ H và cb-1 ∈ K ⇒ (ac-1)(cb-1) ∈ HK hay ab-1∈ HK Do đó ∃h

∈ H, k ∈ K sao cho ab-1 = hk Vì (ab-1)-1k = h-1 ∈ H nên ab-1x ∈ H khi và chỉkhi kx ∈ H, ∀x ∈ G (vì H là nhóm con của G) Do đó (ab-1, k) ∈ℜH

Tơng tự (ab-1, h) ∈ℜK Mặt khác, vì h ∈ H và H là nhóm con của G nên h-1∈ H, do

đó (h-1, e) ∈ ℜH⇒ (ab-1, e) ∈ ℜKℜH⇒∃d ∈ G sao cho (ab-1, d) ∈ℜK, (d, e)

∈ℜH Ta có (a, db) ∈ℜK và (db, b) ∈ℜH nên (a, b) ∈ℜKℜH

⇒ℜHℜK ⊆ℜKℜH (1)

Chứng minh tơng tự ℜKℜH⊆ℜHℜK (2)

Từ (1) và (2) suy ra ℜKℜH = ℜHℜK

2.1.8 Mệnh đề i) Giả sử ρ là tơng đẳng trên nửa nhóm S sao cho S/ρ là một nhóm và H là một ρ - lớp tơng đơng Khi đó H là một tập con mạnh và ρ = ℜH

ii) Giả sử ρ1 , ρ2 là các tơng đẳng trên nửa nhóm S sao cho S/ρ1 , S/ρ2 là các nhóm và ρ1, ρ2 có chung một lớp tơng đơng Khi đó ρ1 = ρ2

Chứng minh i) Giả sử h là một đại diện của ρ - lớp H suy ra H = {x ∈ S

(x, h) ∈ρ} Ta chứng minh ρ = ℜH Thật vậy, giả sử (a, b) ∈ ρ và ax ∈ H Vì ρ

ổn định phải nên (ax, bx) ∈ ρ và vì H là một lớp nên suy ra bx ∈ H Do đó tơng

tự ta có bx ∈ H suy ra (a, b) ∈ℜH Vậy ρ⊆ℜH (1)

Đảo lại, giả sử (a, b) ∈ℜH, ta chứng minh (a, b) ∈ ρ Thật vậy, vì (a, b) ∈ ℜH

nên ax ∈ H ⇔ bx ∈ H, ∀x ∈ S Vì S/ρ là một nhóm nên ∃c ∈ ρ sao cho (aρ)(cρ) = hρ⇒ acρ = hρ⇒ (ac, h) ∈ ρ ⇒ ac ∈ H, mà (a, b) ∈ ℜH nên bc ∈ H ⇒

(bc, h) ∈ρ⇒ (ac, bc) ∈ρ Vì S/ρ là một nhóm nên ρ có luật giản ớc, suy ra (a,b) ∈ρ⇒ℜH⊆ρ (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có ρ = ℜH

Ta chứng minh H là tập con mạnh của S Giả sử ax, ay, bx ∈ H Khi đó(ax, h) ∈ρ, (bx, h) ∈ρ, vì ρ có luật giản ớc nên (a, b) ∈ρ, suy ra (ay, by) ∈ρ Mặt khác, do ρ ổn định phải và ay ∈ H với H là một ρ - lớp nên by ∈ H Do đó

H là tập con mạnh

ii) Giả sử H là một ρ1 - lớp tơng đơng, đồng thời là một ρ2 - lớp tơng đơng.Theo chứng minh trên ρ1 = ℜH và ρ2 = ℜH nên ρ1 = ρ2

B Tơng đẳng chính hai phía Kroadô và tập con rời rạc trong nhóm

Phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng tơng đẳng hai phía Kroadô làloại tơng đẳng có liên quan chặt chẽ với việc xác định vị nhóm cú pháp củangôn ngữ hình thức Phần còn lại mô tả tập con rời rạc trong các nhóm