Hàm véctơ tuần hoàn theo nghĩa stepanop và sự tồn tại nghiệp hầu tuần hoàn theo nghĩa stepanop của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Lời giới thiệuXuất phát từ khái niệm và các tính chất về hàm hầu tuần hoàn theo nghĩaBore đã đợc trình bày trong các giáo trình về hàm hầu tuần hoàn, chẳng hạn nh quyển: Левинтан – В.М 1

 -Lª thÞ lan

Hµm vÐct¬ hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa stepanop

vµ sù tån t¹i nghiÖm hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa stepanop cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh

kh«ng thuÇn nhÊt

Chuyªn ngµnh: gi¶I tÝch M· sè : 60.46.01

tãm t¾t LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Vinh-2007

Môc lôc

§1 §Þnh nghÜa hµm hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Bore 4

§2 C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña hµm hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Bore 5

§3 Chuçi Fourier cña hµm hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Bore 9

Ch¬ng II Hµm vÐct¬ hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Stepanop vµ

sù tån t¹i nghiÖm hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Stepanop cña

ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt

11

§1 Hµm vÐct¬ hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Stepanop 11

§2 Chuçi Fourier cña hµm hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Stepanop 25

§3 C¸c nghiÖm hÇu tuÇn hoµn theo nghÜa Stepanop cña ph¬ng

tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt

31

Lời giới thiệu

Xuất phát từ khái niệm và các tính chất về hàm hầu tuần hoàn theo nghĩaBore đã đợc trình bày trong các giáo trình về hàm hầu tuần hoàn, chẳng hạn nh

quyển: Левинтан – В.М (1952), Почти периодический фунций mà trong

luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Hoài Quyên đã từng đề cập đến, vớinội dung chủ yếu là xét tính hầu tuần hoàn của các lớp hàm liên tục trên R.Luận văn này nhằm nghiên cứu tính hầu tuần hoàn trên lớp hàm đo đợc khảtổng địa phơng bậc p và sau đó bớc đầu tìm hiểu vấn đề về sự tồn tại nghiệm

hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính khôngthuần nhất trong không gian Banach

Trên cơ sở tham khảo các tài liệu về hàm hầu tuần hoàn của các tác giảNguyễn Thị Hoài Quyên [1], Konmogorôp Phomin [2], Далецкий – Ю.Л иКрейн – М.Г [4], Левинтан – В.М [5], dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS

TS Tạ Quang Hải đề tài đã nghiên cứu về Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo“ Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo

nghĩa Stepanop và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ”

Nội dung của luận văn đợc trình bày thành 2 chơng

Chơng I Hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore

Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về hàm hầu tuần hoàntheo nghĩa Bore

Chơng II Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

ở Đ1 Trình bày khái niệm về không gian Stepanop, toán tử Xteklop, xây

dựng khái niệm về hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop và xét một số tínhchất tơng tự hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore

ở Đ2 Nghiên cứu sự tồn tại giá trị trung bình, xây dựng chuỗi Fourier của

hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop

ở Đ3 Nghiên cứu sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa

Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS.Tạ Quang Hải Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận đợc sự quan tâmgiúp đỡ của các thầy giáo, các bạn bè Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hớng dẫn, tới các thầy cô giáo trong tổ Giảitích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại Học trờng Đại Học Vinhcùng tất cả các bạn và gia đình đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn này

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những saisót Rất mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của thầy cô giáo và các bạn để luậnvăn hoàn thiện tốt hơn

Vinh, tháng 12/2007

Tác giả

Chơng I Hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa bore

Trong chơng này, dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơbản cần dùng trong luận văn

Đ1 Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore

Giả sử R - trục số, E là không gian Banach phức, f là hàm xác định trên

R với giá trị lấy trong E

1.1.1.Định nghĩa Tập số D{} đợc gọi là trù mật tơng đối trong R nếu tồn

tại số   0 sao cho [a, a  ]  D  , aR 1.1.2 Định nghĩa Cho số   0 Số   f ( ) đợc gọi là hầu chu kỳ của hàm f

với độ chính xác  (hay còn gọi là  - hầu chu kỳ) nếu có bất đẳng thức

) ( )



t f t

f Sup

t R

Tập - hầu chu kỳ của hàm f kí hiệu là  (  )   (  , f)

1.1.3 Định nghĩa Hàm véctơ liên tục f : R  E đợc gọi là hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore nếu với mỗi   0, tập  (  , f) trù mật tơng đối nghĩa là tồntại    ( ) sao cho mỗi đoạn [a,a  ] chứa ít nhất một điểm  sao cho

f Sup

Đ2 các tính chất cơ bản của hàm hầu tuần hoàn

theo nghĩa Bore

1.2.1 Định lý ([2]) Hàm hầu tuần hoàn bị chặn trên R.

1.2.2 Định lý ([2]) Hàm hầu tuần hoàn liên tục đều trên R.

1.2.3 Hệ quả ([2]) Với mỗi   0, tập  - hầu chu kỳ của hàm f (t) chứa tập trù mật tơng đối các đoạn thẳng với độ dài    ( ) nghĩa là tồn tại L  L( )

sao cho trên mỗi đoạn [a,aL] có đoạn con [  ,    ] mà mỗi điểm

k

n k n

n k

n

e C t

1

) (

1.2.9 Định nghĩa Gọi f h là tịnh tiến (với h) của hàm f : R  E sao cho

) ( ) (t f t h

f h def  , với t, hR.

1.2.10 Định nghĩa Họ hàm  f I F (với I là tập chỉ số nào đó) gọi là liên tục đều nếu với   0, tồn tại   0 để f h f   với h  và với mọi f  F

Gọi là hầu tuần hoàn đều nếu với   0 tồn tại tập trù mật tơng đối  trong R

để f  f  với    và với mọi f  F Và là compact tơng đối ở t R

nếu tập F(t)  f(t), f F compact tơng đối trong E

1.2.11 Định lý ([5]) (Định lý Bocnerơ) f B hầu tuần hoàn khi và chỉ khi

họ tịnh tiến {fh}I compact tơng đối trong B.

1.2.12 Định lý ([5]) Họ F  f I các hàm hầu tuần hoàn f : R  E

compact tơng đối ở K khi và chỉ khi nó liên tục đều, hầu tuần hoàn đều và compact tơng đối ở mỗi điểm t R.

1.2.13 Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân

Định lý Kadexơ.([6]) Giả sử f : R  E là hàm hầu tuần hoàn, khả vi ở mỗi điểm t R Khi đó đạo hàm  f : R  E hầu tuần hoàn khi và chỉ khi nó liên tục đều.

Trong trờng hợp hữu hạn chiều, Định lý Bol- Bore khẳng định: Tích phân của hàm hầu tuần hoàn là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi tích phân đó giới nội.

ở trong trờng hợp vô hạn chiều định lý này không đúng Ví dụ sau đây sẽchứng tỏ điều đó

Ví dụ Giả sử f lấy giá trị trong không gian Banach C gồm tất cả cácdãy số hội tụ x (x1,x2, x n, ) có dạng sau đây

, ) , ,

, (

)

2

1e i t i e i t i n e i n t i

ds s f

= sup   1  sup i t  1

n

t i n

 là giới nội

Bây giờ ta chứng minh (t) không phải là hàm hầu tuần hoàn Để chứngminh (t) không phải là hàm hầu tuần hoàn ta cần chứng minh: Tồn tại 0  0

sao cho tập  ( 0,  ) không trù mật tơng đối trong R, nghĩa là với mọi   0,tồn tại đoạn [a,a  ] mà với mọi   [a,a  ] đều thỏa mãn

0 ) ( ) (      





t t

n, 2 2

n, 2

2 đều thỏa mãn

2 cos

2 2 sin

) 1 (cos

1 1

sup )

( sup ) ( )

n

i i

n

t t t t

i

e e

ds s f t

t

R R

Tức là tập  ( 0,  ) không trù mật tơng đối trong R Do đó  không là hàm hầutuần hoàn

Từ đó trong công trình của Kadet đã đa ra khái niệm không gian Banach

có tính chất K: Không gian Banach E đợc gọi là không gian có tính chất K nếukhông gian đó không chứa các không gian con đẳng cấu với không gian C cácdãy số hội tụ Sau đó chứng tỏ rằng mọi không gian có tính chất K, Định lýBol - Bore là đúng đắn

§3 chuçi fourier cña hµm hÇu tuÇn hoµn

theo nghÜa Bore 1.3.1 Gi¸ trÞ trung b×nh cña hµm hÇu tuÇn hoµn

Víi mäi hµm hÇu tuÇn hoµn, tån t¹i duy nhÊt vÐct¬ J{f}J{f(t)}E,

8) J{f}  0 nÕu f( t) 0, víi t R vµ J{f}0 nÕu f  0

1.3.2 Chuçi Fourier cña hµm hÇu tuÇn hoµn

1.3.2.1 §Þnh nghÜa Chuçi lîng gi¸c

T dt

t f T t

f

2

1 lim )

( 1 lim )}

( {

0

.

1.3.2.4 Định lý duy nhất và Định lý xấp xỉ ([2])

ở đây chúng ta xét hàm hầu tuần hoàn ở trong không gian Banach tuỳ ý

Định lý duy nhất Nếu hàm hầu tuần hoàn f có hàm phổ đồng nhất bằng không thì hàm f đồng nhất bằng không.

Định lý xấp xỉ Giả sử f : R  E là hàm hầu tuần hoàn, khi đó tồn tại

đa thức lợng giác p: R  E để f  p   và (p) (f).

Chơng ii Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa stepanop và

sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa

stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính

không thuần nhất

Đ1 Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop 2.1.1 Không gian Stepanop

Cho p là số tự nhiên, p 1 Kí hiệu p  p(R, E) là tập tất cả các hàm

véctơ đo đợc f : R  E sao cho

t

p t

ds s f Sup

1 1

) (

R

(2.1.1)

Khi đó p là không gian định chuẩn với các phép bất biến và thuần nhất của

mêtric trong nó, và với chuẩn t p

t

p t

f

1 1

) ( sup

không gian Stepanop Mỗi f  p đợc gọi là hàm khả tổng địa phơng bậc p.

2.1.1.1 Nhận xét Không gian  là đầy đủ Thật vậy, giả sử p  f là một dãy n

cơ bản trong  Đặtp

n m p

k m n



 ,

t

p k

k t

1 1

1

) ( )

( )

( )

j j

p t

t

p k

k t

f f ds s f s

) ( )

( sup

1

) ( )

( )

( )

(

1 1

j

j j

j

j j

k

t

t

p k

k t

t k

p k

Điều đó chứng tỏ chuỗi hàm ( ) ( ) ( )

1 2

f k k k , hội tụ hầu khắp nơi,nghĩa là chuỗi

f k1(t)  (f k2(t)  f k1(t))  (2.1.2)hội tụ tuyệt đối hầu khắp nơi Do đó chuỗi (2.1.2) cũng hội tụ Gọi f là tổngcủa chuỗi (2.1.2) Khi đó hàm f : R  E là đo đợc Theo Bổ đề Fatu ta có

t t

p k p

t

t

p

ds s f ds

s f ds

1 1

1 1

1 1

) ( lim

) (

t

p t

ds s f Sup

1 1

) (

R

tức là f p

Mặt khác, theo Bổ đề Fatu ta cũng có

p t

t

p k n

p t

t

p n

p

1 1

1 1

) ( ) ( lim )

( ) (

t

t

p k

( ) (

lim

1 1

tức là f n f (theo mêtric trong p).Vậy không gian p là không gian đầy đủ

2.1.1.2 Chú ý Với 1 rp  từ bất đẳng thức Holder ta có

p p

r p

 1 1

]) 1 , ([ , với f  p

Và p  r Do đó, không gian p đợc nhúng liên tục trong  r

2.1.2 Hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop

Số  R gọi là p   hầu chu kỳ của hàm đo đợc f : R  E nếu

   

p

f

f , với f(t)f(t), tR.

Tập tất cả các  p  hầu chu kỳ của f kí hiệu là p(  , f)

Hàm đo đợc khả tổng địa phơng bậc p, f : R  E gọi là p - hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop nếu với   0, tập p(,f) trù mật tơng đối trong R.

Hàm p- hầu tuần hoàn f là p - giới nội nếu f giới nội và là p - liên tục đều

nếu với   0, tồn tại   0 để   

p

f , với h 

2.1.2.1 Nhận xét 1 Hàm p hầu tuần hoàn là p- giới nội và p - liên tục đều

2 Với p 1, hàm hầu tuần hoàn theo Bore f : R  E là p- hầu tuầnhoàn (theo Stepanop) Đặc biệt có f p  f và  (  ,f)  p(  , f).

3 Gọi Np = Np (R, E)- tập tất cả các hàm p - hầu tuần hoàn f : R  E.Khi đó Np với chuẩn (2.1.1) là không gian Banach

Chứng minh 1 Trớc hết ta có, với f  p, lập hàm ~f : R p với

t f h

t

~

, (do f  Np ) (2.1.3)Mặt khác, ta có

t

p h

t p

f

1 1

) (

~ ) (

~ sup

2 Giả sử f là hầu tuần hoàn theo Bore khi đó với   0, tồn tại tập)

,

(  f

 trù mật tơng đối, tức là

) ( )



t f t

f Sup

t R

Mặt khác, ta có

p t

t

p t

f f

1 1

) ( ) ( sup

t

p t

ds s f s f

1 1

) ( ) ( sup

R

Vậy f là p- hầu tuần hoàn

Bây giờ ta chứng minh f p  f áp dụng bất đẳng thức Holder với

1 ,

1 p   q  , ta có

1 1

) 1 ,

Từ đó ta có =~f  ~, nên theo chứng minh 1, suy ra f    Np

Tơng tự ta cũng có tích của hàm p- hầu tuần hoàn với một đại lợng vô hớng

cũng là hàm p - hầu tuần hoàn Do đó Np là không gian véctơ định chuẩn.Bây giờ ta chứng minh Np là không gian đầy đủ Giả sử  f n là một dãy cơ bản

trong Np Vì không gian p là không gian đầy đủ nên với   0, tồn tại f p

p n p n n p n

f

f

suy ra

Để nghiên cứu tiếp chúng ta cần nghiên cứu bổ đề sau.

2.1.2.2 Bổ đề Giả sử f là p - hầu tuần hoàn Khi đó với mọi   0, tìm đợc

h t

t t

) (

t

h t

t

h t

t

ds s

f s f ds

s f ds

ds s f

h t

h t

t t

) (

R , với 0 h  (  )

Bổ đề đợc chứng minh

2.1.3.Toán tử Xteklop

2.1.3.1 Định nghĩa Giả sử f : R  E là hàm đo đợc khả tổng địa phơng Với0

t

h def

h ds s f h t

f

0

) ( 1 )

( 1 )

0

) ( )

(

 thì ( ) 1[ (t h) (t)]

h t f

h



 Từ đó suy ra h f liên tục

tuyệt đối, do đó h f là liên tục Theo Định lý Lơbe: h f(t)  f(t) hầu khắp nơivới 0 h 0 và (h f)kh(f k) tức là phép tịnh tiến và toán tử Xteklop là giaohoán nhau

2.1.3.2 Đinh lý 1 Toán tử Xteklop h S từ không gian Stepanop p vào không

gian B p là tuyến tính và

h s

b  b  1; (2.1.4)

h s

p

h h h sign

h] ( [ ]) 1[

Gọi vế phải của (2.1.5) là ổ p (h), ổ 1(h) ổ(h).

2 Nếu f B là B - liên tục thì

f

0

) (

1 )

h ds s t f h

1 1

0

) (

p h

k k

) (

) 1 ( 





p p

f h

h

n f

1 1

h tác dụng từ p vào B Vì h S cộng tính và thuần nhất, cho nên h S là toán

tử tuyến tính từ p vào B và từ (2.1.9) suy ra

h s

p

h h h sign

h] ( [ ]) 1[

f S f

S

t h

h h

p

p

h t

) (

q

p h

  

h

p

ds s t f

1

Từ đó aR suy ra

f t s ds dt

h dt t f

a a

h

p a

a

p h

1

) (

1 )

 

h p

p ds f

0 0

t

p h

t p

h p

h p

p

h t

f t

0

) ( )

( 1 )

( ) (

 

p h

ds t f s t f



0

) ( ) ( 1

p h

q

p h

   

h

p

ds t f s t f

1

) ( ) (

1 )

( ) (

a a

h

p a

a

p

h dt t f t f

h0

1

) ( ) ( 1

Bất đẳng thức này đúng cả với p 1.

Giả sử f là  - liên tục Khi đó với p   0, tồn tại    (  )  0để



 ta có

)

(h f

2.1.4 Các tính chất của hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop

2.1.4.1 Định lý Nếu f  Np liên tục đều thì f  K

Chứng minh Từ f  Np , theo 3) Định lý 1, ta có h f  K Từ tínhliên tục đều, theo 2) Định lý 1, ta có h f  f  0

với 0 h 0 Vì K đóng nên



2.1.4.2 Định lý Giả sử không gian Banach E có tính chất K và tích phân không xác định của hàm  - hầu tuần hoàn là hàm giới nội liên tục đều Khi

đó tích phân là hàm hầu tuần hoàn.

(

t h

0

) ( )

(

ds s f t

t h

0

) ( )

0 0

) (

0

) ( ) ( ) ( 1 ) ( )



      d

h d t t

h

h h





0 0

) ( 1 )

( ) ( 1

d h

2 2

f f

đối khi và chỉ khi

1) Với h 0 bất kỳ họ h S (M ) compact tơng đối trong B;

2) Với   0, chỉ ra đợc   0 sao cho h f  f   với 0 h  và f  M

Chứng minh +) Điều kiện cần Nếu M compact tơng đối trong p thìtheo 1) Định lý 1, tập hợp h S (M) compact tơng đối trong B với h 0 bất kỳ.Giả sử với   0 đã cho, xây dựng

3



- lới f1, f2, f n của tập M trong p Vì

mỗi tập f j là p- liên tục, do đó theo Định lý 1, có thể chỉ ra    (  )  0 saocho

 j p 3

h

j f

f , với 0 h  (  ), j  1 , 2 , ,n Mặt khác, với f M thì f là p- hầu tuần hoàn nên với   0 ta có

j p

h j p

+) Điều kiện đủ Theo điều kiện 1) của Định lý, h S (M) compact tơng

đối trong B và cũng là ở trong p Hơn nữa khi 0h () tập h S(M) là  lới của tập hợp M (theo điều kiện 2) Theo Định lý Phresê M compact tơng

-đối

2.1.4.4 Định lý Hàm f p là hàm p - hầu tuần hoàn khi và chỉ khi họ các tịnh tiến của nó là p compact tơng đối.

Chứng minh +) Điều kiện cần Nếu f là p- hầu tuần hoàn thì ~f :R  p

xác định bởi f~(t) f t, với t R là hầu tuần hoàn ( theo chứng minh 1 của

Nhận xét 2.1.2.1) và do đó tập ~f (R)  {ft} I  p là compact tơng đối

(theo Định lí Bocnerơ)

+) Điều kiện đủ Giả sử f k1 ,f k2 , ,f k n là  - lới của tập các tịnh tiến, tức

là với k R và với j nào đó có

Từ đó suy ra k k j  p(  , f) Giả sử  là khoảng chứa k1,k2, ,k n và  

Vì rằng 01 (  )





j n j