Góp phần phát triển một số yếu tố tư duy hàm thông qua dạy học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Trong đó t duy hàm là “Trình bày các đối tợng toán học trong sự chuyển động và sự biến đổi của chúng, thể hiện quan điểm tác động - ảnh hởng với các sựkiện toán học trong mối liên hệ nhâ

Líp 44A2 To¸n

Vinh 2007

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo hớng dẫn Thạc sĩ Trơng Thị Dung, Thạc sĩ Nguyễn Thị Mĩ Hằng, đã hết lòng hớng dẫn tôi trong thời gian hoàn thành khoá luận.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán và càc thầy, cô trong khoa đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trờng THPT Ba Đình đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình kiểm chứng s phạm.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, ngời thân luôn ủng hộ,

động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.

Vinh, tháng 5 năm 2007

Tác giả

Nguyễn Thị Thuận

Viết tắt Viết đầy đủ

Hpt : Hệ Phơng trình

Bpt : Bất Phơng trình

TDH : T duy hàm

Trang

Mở đầu 1

Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn 4

I T duy hàm và các đặc trng cơ bản 4

II Tiềm năng của vấn đề phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình trong việc phát triển t duy hàm 23

Chơng II: Các biện pháp s phạm góp phần phát triển t duy hàm thông qua dạy học phơng trình, hệ phơng trình, bất ph-ơng trình 43

I Cơ sở khoa học để đa ra các biện pháp 43

II Các biện pháp s phạm góp phần phát triển t duy hàm thông qua dạy học phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình 47

Chơng III: Kiểm chứng s phạm 78

Kết luận 81

Tài liệu tham khảo 82

Mở Đầu

I Lý do chọn đề tài

Hàm là một khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm ở trờng

phổ thông.Trong dự thảo (năm 1989) môn toán học ở trờng phổ thông có quy định

“nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình phổ thông trunghọc”

- Mọi sự vật trong thế giới khách quan đều trong trạng thái vận động và biến

đổi và tồn tại những mối tơng quan nhất định Để nhận thức và cải tạo đợc hiệnthực con ngời phải phát hiện, nghiên cứu và lợi dụng những tơng quan ấy Bản chấtcủa khái niệm hàm là sự tơng ứng, nhìn sự vật, hiện tợng trong trạng thái biến đổisinh động, phụ thuộc lẫn nhau Theo nhà toán học Khinsin “Không có khái niệmnào khác có thể phản ánh những hiện tợng của thực tại khách quan một cách trựctiếp và cụ thể nh khái niệm tơng quan hàm, không có khái niệm nào có thể thể hiện

đợc ở trong nó những nét biện chứng của t duy toán học hiện đại nh khái niệm tơngquan hàm”[11]

- Theo P.V.Kopnin “Kiến thức chỉ thực sự là kiến thức khi nó là thành quảcủa những cố gắng của t duy chứ không phải là trí nhớ”[1] Thế nhng việc dạy họctoán ở trờng phổ thông và việc dạy học chủ đề hàm số nói riêng còn nhiều bất cập

“Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt, giải những bài toánoái ăm giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ, mà làm học sinh xa rời thực

tế mỏi mệt, chán nản”[19]

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn “Mục tiêu của giáo dục là kiến thức, t duy,tính cách con ngời nhng hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đitrong kiến thức”[19] Cách dạy thầy đa ra kiến thức rồi giải thích, chứng minh, trò

cố gắng hiểu ghi nhớ và vận dụng còn rất phổ biến

- T duy hàm là một loại hình t duy liên quan đến nhiều loại hình kiến thứckhác nhau trong môn toán Trong dạy học ngời giáo viên có nhiều cơ hội phát triểnTDH thông qua nhiều chủ đề kiến thức Trong đó chủ đề pt, hpt, bpt là một trongnhững chủ đề có những tiềm năng để phát triển TDH “Vì khái niệm phơng trình ởtrờng phổ thông đợc xây dựng từ khái niệm biểu thức Trong khi đó khái niệm biểuthức lại đợc xây dựng theo quan điểm hàm Vì thế khi hình thành khái niệm pt họcsinh đợc tập luyện những hoạt động liên quan đến khái niệm hàm Mặt khác bảnthân chủ thể kiến thức này liên quan chặt chẽ đến các hoạt động phát hiện, thiếtlập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tơng ứng”[18]

Thực tế cho thấy “học sinh còn bộc lộ nhiều yếu kém về năng lực t duy, nhìncác đối tợng toán học một cách rời rạc, cha thấy đợc những mối liên quan phụthuộc, giữa các kiến thức liên quan và các bài toán với nhau khi giải pt, hpt, bpt Vì

vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Góp phần phát triển một số yêu tố t duy

hàm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình”.

II Mục đích nghiên cứu

Làm sáng tỏ các đặc trng của TDH thông qua nghiên cứu cơ sở về TDH Từ

đó đa ra một số biện pháp nhằm”Góp phần phát triển TDH cho học sinh thông quadạy học pt, hpt, bpt”

III Giả thuyết khoa học

Trong dạy học toán nói chung và dạy học chủ đề pt, hpt, bpt nói riêng nếungời giáo viên chú ý phát triển t duy hàm cho học sinh thì sẽ nâng cao chất lợngdạy và học

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Khoá luận sẽ làm rõ thêm những vấn đề sau đây:

2 Điều tra quan sát: Trao đổi với giáo viên để sơ bộ rút ra một số nhận xét

về “Bồi dỡng TDH cho học sinh”

3 Thực nghiệm s phạm: Tiến hành một số giờ dạy kiểm chứng ở trờng phổthông, so sánh, đối chiếu với các lớp đối chứng nhằm xét tính khả thi và hiệu quảcủa biện pháp đề ra trong khoá luận

VI Đóng góp của khoá luận

1 Về lý luận: góp phần làm sáng tỏ nội dung “Bồi dỡng TDH cho học sinh”trong dạy học toán ở trờng phổ thông

chơng I Cơ sở lý luận và thực tiễn

I T duy hàm và các đặc trng cơ bản

1 Khái niệm hàm số (Theo lý thuyết tập hợp)

Một tập G mà mỗi phần tử là một cặp đợc gọi là một đồ thị, tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G đợc gọi là miền xác định của đồ thị Tập hợp các phần tử thứ hai của các cặp trong G đợc gọi là miền giá trị của đồ thị Một

bộ ba (G, A, B) với G là một đồ thị mà miền xác định bị chứa trong A, miền giá trị

bị chứa trong B gọi là sự tơng ứng giữa các tập A và B.

A là nguồn, B là đích của sự tơng ứng.

Một đồ thị đợc gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phần tử nào cùng chung phần tử thứ nhất.

Một sự tơng ứng (G, A, B) đợc gọi là một hàm nếu G là một đồ thị hàm và A chính là tập xác định của G.

Nói cách khác thì một bộ ba (G, A, B) trong đó G là một cặp sao cho tập xác

định của G nằm trong A, tập giá trị của G nằm trong B, đợc gọi là một hàm khi và chỉ khi mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp trong G.

Khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp có tính tổng quát cao đảm bảo tính đadạng, linh hoạt, chặt chẽ và rõ ràng nhất, vì nó bao hàm cả đại lợng hàm theo đại l-ợng biến thiên, không cần dùng tới các thuật ngữ “đại lợng”, “ứng” đang còn ởtrạng thái mơ hồ

2 Khái niệm hàm số trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành

Trong [5] định nghĩa:

Cho D là một tập con khác rỗng của R.

Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tơng ứng mỗi x thuộc D với một và chỉ một số thực y.

Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tơng ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x) Số f(x) đợc gọi là giá trị của hàm số f tại x.

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f.

Nh vậy đặc trng của khái niệm hàm số là:

f: D  R sao cho

- xD, y=f(x) R

- Sự y ứng mỗi x là duy nhất

Tuy nhiên mỗi y R có thể có nhiều hơn một xD

Theo Can-mo -go-rop thì vấn đề cơ bản trong dạy học hàm hiện nay là hìnhthành ở học sinh những hiểu biết đúng đắn về nội dung khái niệm đó theo tinh thầncủa lý thuyết tập hợp chứ không bắt buộc phải phát biểu định nghĩa tơng ứng mộtcách tờng minh

3 T duy hàm

3.1 T duy

- Theo Từ điển Tiếng việt “T duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức,

đi sâu vào bản chất và tính quy luật của sự vật bằng những hình thức nh: Biểu tợng,khái niệm phán đoán và suy lí ”[15]

- Theo Triết học: T duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất đợc tổ chứcmột cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quantrong các khái niệm, phán đoán, lý luận T duy xuất hiện trong các quá trình hoạt

động sản xuất xã hội của con ngời và bảo đảm phản ánh thực tại một cách giántiếp, phát hiện các mối quan hệ hợp quy luật của thực tại khách quan

Theo đó, t duy có những đặc điểm cơ bản sau:

1 T duy là sản phẩm của bộ não ngời và là một quá trình phản ánh tích cựcthế giới khách quan

2 Kết quả của t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiện qua ngôn ngữ

3 Bản chất của t duy là sự phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tợng và đợcphản ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con ng-

ời nhằm phản ánh đối tợng

4 T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

5 Khách thể trong t duy đợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau, từ thuộctính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời.[16]

- Theo tâm lý học:

T duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, nhữngmối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiệnthực khách quan mà trớc đó ta cha biết

Theo đó t duy có các đặc điểm sau:

1 Tính có vấn đề

Khi gặp một hoàn cảnh có vấn đề mà những phơng tiện, phơng pháp hoạt

động cũ không đủ sức để giải quyết dẫn đến cần phải vạch ra một cách thức giảiquyết mới Mặt khác hoàn cảnh có vấn đề phải đợc cá nhân nhận thức đầy đủ, cónhu cầu giải quyết

2.Tính gián tiếp

T duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tợng và quy luật giữa chúng nhờnhững công cụ phơng tiện, kết quả nhận thức của loài ngời và kinh nghiệm của mỗicá nhân, t duy đợc biểu hiện trong ngôn ngữ

3 Tính trừu tợng và khả năng của t duy

T duy phản ánh cái bản chất nhất và chung nhất cho những sự vật, hiện tợnghợp thành một nhóm đồng thời trục xuất khỏi những sự vật, hiện tợng đó những cái

cụ thể và cá biệt Nói cách khác, t duy đồng thời mang tính trừu tợng và khái quát.4.T duy liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

T duy có tính trừu tợng, khái quát không thể tồn tại ngoài ngôn ngữ Nó dùngngôn ngữ làm phơng tiện cho mình Ngôn ngữ giúp các sản phẩm của t duy đợc chủthể và ngời khác tiếp nhận Ngôn ngữ cố định lại kết quả của t duy và nhờ đó làmkhách quan hoá chúng cho ngời khác và cho cả bản thân chủ thể nữa

5 T duy có tính liên hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính Lấy nhận thức cảm tínhlàm cơ sở, t duy đồng thời ảnh hởng trở lại quá trình nhận thức cảm tính

3.2 T duy toán học

3.2.1 T duy toán học

Cũng nh những lĩnh vực khác, toán học luôn chứa đựng những điều mà conngời cha biết Nhng nhiệm vụ của thực tiễn và cuộc sống đòi hỏi phải hiểu thấunhững điều cha biết đó một cách sâu sắc Vì vậy toán học cũng là một đối tợng của

t duy, khi đó ta có t duy của toán học

Toán học với t cách là đối tợng của t duy, cũng nh những đối tợng và sự kiệnkhoa học khác, nó là những sao chép phản ánh mặt nào đó của thế giới hiện thực,

đó là tính hiện thực của t duy toán học, ngoài ra t duy toán học còn có tính trìu tợngnữa

Mặt hiện thực và trìu tợng thống nhất biện chứng với nhau, theo[8]: “Đểnhận thức đợc mặt nội dung của hiện thực cần có t duy biện chứng; để nhận thức đ-

ợc mặt nhận thức của hiện thực cần có t duy logic Do đó t duy toán học là sự thốngnhất giữa t duy biện chứng và t duy logic Theo đó, t duy toán học cũng có nhữngcặp phạm trù quan trọng: cụ thể- trừu tợng; nhận thức cảm tính- nhận thức lý tính;cái chung- cái riêng

“T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt

động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển có ph

-ơng hớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệthống các kiến thức và kỹ năng toán học.” (Iu.M Koliagin và V.A.Ôganhêxian)[19] Do đó nếu không có t duy toán học thì không thể đạt đợc mục tiêu của quátrình giáo dục

3.2.2 Một số quan điểm về thành phần của t duy toán học- T duy hàm

Năm 1975, nhóm tác giả Iu.M Koliagin và V.A.Ôganhêxian đã quan niệmrằng các thành phần chủ yếu của t duy toán học gồm:

- Các phong cách toán học của t duy

Cũng nhóm tác giả đó, năm 1980 đã quan niệm rằng t duy toán học bao gồmcác thành phần chủ yếu sau:

- T duy cụ thể;

- T duy trìu tợng;

- T duy trực giác;

- T duy hàm

Trong đó t duy hàm là “Trình bày các đối tợng toán học trong sự chuyển

động và sự biến đổi của chúng, thể hiện quan điểm tác động - ảnh hởng với các sựkiện toán học trong mối liên hệ nhân quả và khuynh hớng diễn đạt các sự kiện toánhọc một cách thực chất và tăng cờng ứng dụng của toán học”[19]

Theo đó, t duy hàm đợc vận dụng trong việc dạy toán ở trờng phổ thông đợcbiểu hiện nh sau:

- Trình bày các đối tợng toán học trong sự vận động và sự biến đổi của chúng

- Thể hiện quan điểm tác động - ảnh hởng đến các sự kiện toán học trongmối quan hệ nhân quả

- Tăng cờng ứng dụng các kết quả nghiên cứu về hàm vào thực tiễn học tập

- Hình thành ở học sinh những biểu tợng tiến tới những tri thức về sự tơngứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức, phơngpháp về t duy hàm.

- Phân bậc hoạt động về t duy hàm theo số lợng biến, theo mức độ trực quancủa đối tợng, theo mức độ độc lập thành thạo của con ngời.[11]

Theo tác giả Trần Thúc Trình “T duy hàm là những hoạt động trí tuệ liênquan đến những tơng ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp phản ánhmối liên quan phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận

sự vật hiện tợng cũng chỉ bộc lộ thông qua sự tác động qua lại giữa các mặt của bảnthân chúng, hay sự tác động với các sự vật, hiện tợng khác.Vì vậy để nhận thức đợcthế giới trớc hết phải nhận ra những mối liên hệ liên quan đến sự vật, hiện tợng

đang quan tâm Nói đến t duy hàm là phải nhấn mạnh dạng t duy có liên hệ mậtthiết với những hoạt động gắn với sự tơng ứng đơn trị.Tất nhiên sự tơng ứng đơn trị

ở đây không phải chỉ là ở giữa tập số với số mà giữa nhiều tập hợp với đối tợngkhác nhau

Hàm là chân dung toán học của những quy luật bền vững mà con ngời nhậnthức đợc, để minh hoạ các tính chất đặc trng của hàm ta thấy một cách tự nhiên làphải để ý đến các câu châm ngôn, những câu châm ngôn cũng là sự phản ánh cácquy luật bền vững rút ra từ kinh nghiệm lâu đời của nhân dân Thật vậy ta xét ví dụsau “Trăng quầng trời hạn, trăng tán trời ma” Rõ ràng ông cha ta từ kinh nghiệmlâu đời rút ra một quy luật của tự nhiên về đặc điểm của mặt trăng (Quầng, tán) với

thời tiết (hạn, ma) trong trạng thái biến đổi phụ thuộc lẫn nhau Đó là sự tơng ứng1-1 giữa hai tập hợp {Trăng quầng, trăng tán} và{trời hạn, trời ma}, toán học gọi

đó là song ánh Ví dụ này có thể đa ra giúp học sinh có những biểu tợng ban đầu về

sự tơng ứng hàm

Phát hiện ra các mối liên hệ là tiền đề để cải tạo thực tiễn cũng nh phát hiện

sự tơng ứng là hoạt động đầu tiên của t duy hàm

Ví dụ ở học sinh tiểu học khi yêu cầu các em hoàn thành bảng sau:

thì trớc hết các em phải phát hiện ra có sự tơng ứng giữa số hạng và tổng của nó Mỗi sự vật, hiện tợng tồn tại nhiều mối liên hệ, mỗi loại mối liên hệ là mộthình thức, một bộ phận, một mắt xích của mối liên hệ phổ biến Có thể khi xem xét

sự vật, hiện tợng ở khía cạnh này thì cần phát hiện một sự tơng ứng, ở khía cạnhkhác lại cần phát hiện sự tơng ứng khác Có khi phải xem xét một cách toàn diệncác mối liên hệ tơng ứng mới hiểu đợc bản chất sự việc Vì vậy việc phát hiện sự t-

ơng ứng cũng phụ thuộc vào nhiều yếu tố

Ví dụ1: Cho ABCcó toạ độ các đỉnh A(1,1) ; B(2,1); C(3,2)

a) Tính góc giữa đờng thẳng AB và AC.

Trong nội dung môn toán ở trờng phổ thông có chứa đựng nhiều sự tơng ứng

mà học sinh cần phải phát hiện mới đạt đợc những yêu cầu và mục đích của việchọc Theo [11] các lĩnh vực chủ yếu là:

- Sự tơng ứng giữa những cặp số tự nhiên và ớc chung lớn nhất (hay bội chungnhỏ nhất) của chúng.

Lĩnh vực phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình chứa đựng nhiều sự

t-ơng ứng sẽ đợc phân tích kỹ ở phần tiếp theo của khoá luận

Lĩnh vực ánh xạ và hàm số là lĩnh vực trong đó các sự tơng ứng đợc phátbiểu một cách tờng minh

Các lĩnh vực hình học khác cũng tồn tại nhiều sự tơng ứng nh diện tích hìnhtròn với bán kính, giữa một góc với các giá trị lợng giác, sự tơng ứng giữa các điểmthuộc mặt phẳng hay không gian lên chính nó thể hiện trong các phép biến hình…

Thiết lập sự tơng ứng: là tự tạo ra những sự tơng ứng quy định chủ quan của

mình để thuận lợi cho một mục đích nào đó

Những sự tơng ứng tạo ra theo quy định chủ quan nhng phải phù hợp với

điều kiện khách quan, không đợc trái quy luật, không đợc chứa đựng những mâuthuẫn và xuất phát từ mục đích hoạt động của chủ thể

Chẳng hạn để xác định trạng thái chuyển động của một vật tại thời điểm nào

đó, thì phải thiết lập đợc một hàm biểu diễn toạ độ, vận tốc theo thời gian Để làm

đợc điều đó cần thiết lập đợc hệ quy chiếu, phân tích tổng hợp lực, giải các phơngtrình vi phân…

Toán học có tính trừu tợng cao độ Các trìu tợng tách ra khỏi mọi vật liệu của

đối tợng, chỉ giữ lại những quan hệ số lợng dới dạng cấu trúc mà thôi.Vì vậy mọi

đối tợng toán học sẽ tơng ứng với một đối tợng nào đó của thực tiễn Thiết lập sự

t-ơng ứng trong toán học cũng phải lu ý đến đặc điểm trên

Ví dụ 3: Giải bài toán cổ

Nh vậy để thiết lập sự tơng ứng đúng đắn và khéo léo cũng đòi hỏi nhữngtiền đề nhất định Bản thân hoạt động phát hiện và thiết lập sự tơng ứng lại làm tiền

đề cho hoạt động tiếp theo của t duy hàm Đó là hoạt động nghiên cứa sự tơng ứng Nếu t duy hàm chỉ dừng lại ở hoạt động phát hiện và thiết lập sự tơng ứng thìquá trình t duy cha có kết quả “kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ýnghĩ và đợc thể hiện qua ngôn ngữ” [20] T duy bao giờ cũng vận động từ chỗ chabiết, biết không đầy đủ đến chỗ biết và biết đầy đủ Sau khi đã thiết lập và pháthiện sự tơng ứng, học sinh đặt ra câu hỏi: Liệu sự tơng ứng đó là bản chất hay cha?

có phục vụ gì cho việc giải quyết vấn đề đang quan tâm hay không? sự thiết lập đó

đã đúng đắn hay cha? có lợi gì không? Để trả lời câu hỏi đó tất yếu phải dẫn đếnhoạt động nghiên cứu sự tơng ứng

4.2 Nghiên cứu sự tơng ứng

Nghiên cứu sự tơng ứng nhằm phát hiện ra những tính chất của những mốiliên hệ nào đó Theo [11] hoạt động này đợc đặc trng bởi nhiều phơng diện mà cóthể cụ thể hoá thành những tình huống sau đây:

1 Xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào;

Xác định giá trị vào khi cho biết giá trị ra;

Nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong trờng hợp có thể) khicho biết những cặp phần tử tơng ứng trong mối liên hệ này

2 Đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biết giá trị vào;

Thực hiện sự biến thiên mong muốn đối với giá trị ra khi cho biết giá trị vào; Đoán nhận sự phụ thuộc

3 Phát hiện và nghiên cứu những bất biến, những trờng hợp đặc biệt và nhữngtrờng hợp suy biến

Hoạt động xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào và xác định giá trị vàokhi cho biết giá trị ra là những hoạt động cơ bản để tiến tới biểu tợng của sự tơngứng đơn trị cho học sinh từ đó hình thành khái niệm hàm số.

- Tính giá trị biểu thức x 3 y 2 + xy tại x=1; y=1/2.

Những hoạt động đó có thể gợi động cơ, đặc biệt là động cơ kết thúc Chẳnghạn nh bài toán sau:

Ví dụ 2 Giải thởng toán học Việt Nam (dành cho giáo viên và học sinh phổ

thông) mang tên nhà toán học nổi tiếng nào?

Hãy tính giá trị các biểu thức sau tại x =3; y = 4 và z = 5 rồi viết các chữ tơng ứng vào các số tính đợc vào ô trống dới đây em sẽ tìm đợc câu trả lời.

đồng thời là những hoạt động toán học mà học sinh nhất thiết phải thực hiện mớihoàn thành đợc nhiệm vụ học tập

Ví dụ 3: Giải và biện luận phơng trình: x 2 - m =0

Giải bài toán này ắt sẽ dẫn đến xét các trờng hợp m = 0; m > 0; m < 0 Từ đóhọc sinh có thể phát hiện ra có sự tơng ứng giữa hệ số của phơng trình x2- m = 0nhng cha biết cụ thể là nh thế nào, từ bài toán đó có thể dẫn đến đợc bài toán(x+a)2- m = 0 và ax2+ bx + c = 0 hay không? Nghiên cứu sự tơng ứng này có thểdẫn học sinh đến công thức tính nghiệm của phơng trình bậc 2

Để thúc đẩy sự nghiên cứu đó có thể bắt đầu cho học sinh giải các phơng trìnhnh

x2 - 5 = 0 (1)

x2+ 5x +5 = 0 (2)

Bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp:

- Có thể đa (2) về (1) đợc không? đa nh thế nào?

- Từ (2) hãy nêu lên cách giải phơng trình 2x2 + 5x+ 5 = 0

- Trong trờng hợp tổng quát các phơng trình x2 + bx +c = 0 và ax2 + bx + c =

0 đợc xét tơng tự nh thế nào?

Nhận biết quy tắc tổng quát khi cho biết cặp giá trị ra và giá trị vào có thể đ

-ợc thực hiện khi cha biết chỉ một số cặp giá trị tơng ứng của một quy tắc nào đó;công việc này cũng có thể chỉ là sự suy đoán dựa trên một cơ sở nào đó và chứngminh điều vừa dự đoán

Ví dụ 4: Cho bảng sau:

a 1 (2) -1/2 1/2 -1 -1/2 -(2) 1/2

Sự biến thiên

của y= ax

Đồng biến

Đồng biến

Đồng biến

Nghịch biến

Nghịch biến

Nghịch biến Hãy xác định sự biến thiên của hàm số y = 5x.

Từ bảng trên học sinh tìm ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có liênquan đến hệ số a Cụ thể

Câu a) đặc trng cho hoạt động đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biếtgiá trị vào, cụ thể đánh giá xem phơng trình có mấy nghiệm và nghiệm nh thế nào? Với m =2, phơng trình X2 - 2X + 1 = 0 có nghiệm duy nhất X = 1 Do đóphơng trình đã cho có 2 nghiệm x = 1

Câu b) đặc trng cho hoạt động thực hiện sự biến thiên mong muốn đối với giá trị

ra Sự biến thiên ở đây là số nghiệm của phơng trình Giá trị vào và giá trị ra khôngnên chỉ hiểu là giá trị của đối số và giá trị của hàm số

Từ sự nghiên cứu trên ta suy ra:

(1) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm X1 < 0, X2 < 0

(1) có 1 nghiệm khi (2) có hai nghiệm X1= 0, X2< 0

(1) có 2 nghiệm khi (2) có một nghiệm kép X > 0; hoặc có hai nghiệm X1> 0,

X2 < 0

(1) có 3 nghiệm khi (2) có hai nghiệm X1 = 0, X2 > 0

(1) có 4 nghiệm khi (2) có hai nghiệm X1 > 0, X2 > 0, X1≠ X2

Nếu không có câu a) thì khi giải quyết trờng hợp phơng trình (1) có 2 nghiệm, họcsinh rất dễ nhầm lẫn chỉ có trờng hợp phơng trình (2) có 2 nghiệm X1 > 0, X2 < 0 mà

bỏ sót trờng hợp (2) có nghiệm kép X > 0

Đến đây bài toán hoàn toàn giải đợc nhờ xét nghiệm của tam thức bậc 2

Ví dụ 6: Sự biến thiên của hàm số Logarit.

Ta có thể suy ra sự biến thiên của hàm số logarit từ sự biến thiên của hàm số

mũ Cụ thể xét hàm số y = logax

Ta có y = logax  x = ay (*)

Xét hàm số mũ y = ax ; a > 1 hàm số đồng biến, nghĩa là nếu x1 > x2 thìy(x1) > y(x2) (Hoạt động đánh giá biến thiên)

Ngợc lại nếu y1 > y2 thì x1 > x2? (tạo ra sự biến thiên)

Câu hỏi này đợc trả lời bằng phơng pháp phản chứng

Nh vậy, với hàm số mũ với a > 1 thì:

- Khi đối số tăng giá trị hàm tơng ứng tăng

- Khi giá trị hàm tăng thì đối số tăng

Từ (*) suy ra x là hàm số mũ đối số y nên x1 > x2  y1> y2, tức là hàm y =logax đồng biến khi a > 1

Trờng hợp 0 < a < 1 xét tơng tự

Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (năm 2000), bảng biến thiêncủa hàm số y = logax nhận đợc trực tiếp từ bảng biến thiên của hàm số mũ Từ đósuy ra sự biến thiên của hàm số logarit, việc này có vẻ hơi áp đặt, thiếu tự nhiên ở

đây chúng tôi xin đề xuất sự tiếp cận ngợc lại là xét sự biến thiên rồi mới suy rabảng biến thiên Cách làm này hoàn toàn không quá sức đối với học sinh lớp 11

Làm việc với hằng đẳng thức cũng tạo cơ hội để tập luyện cho học sinhnghiên cứu sự tơng ứng, biểu thị ở mỗi vế của đẳng thức.

Ví dụ 7: Chứng minh: sin 6 x + cos 6 x =

- Em có nhận xét gì về bậc của vế phải và vế trái đối với sinx và cosx?

Đó là sự nghiên cứu về bậc của 2 vế, một đẳng thức thì bậc của các biến ở 2

vế phải bằng nhau

Câu hỏi này giúp học sinh biến đổi 1/4 sin22x = cos2x.sin2x là biểu thức bậc

4 đối với sinx và cosx

- Bậc của 2 vế đối với sinx và cosx không bằng nhau Cần làm thế nào để bậccủa vế trái giảm đi 2 để bằng vế phải?

Nếu học sinh cha biết biến đổi:

cos6x+sin6x=(sin2x+cos2x)(cos4x - cos2x.sin2x+ sin4x) (*)

ta có thể gợi ý:

- Em có liên hệ đến biểu thức bậc 2 nào của sinx và cosx mà kết quả là mộthằng số không?

Khi học sinh biến đổi đợc về dạng (*) Hớng dẫn học sinh đa vế trái về vế phải

T duy hàm liên quan chặt chẽ đến khái niệm hàm số, vì vậy mặc dù đã học kháiniệm này nhng khi có cơ hội, giáo viên nên cho học sinh nhắc lại khái niệm này nhằmcủng cố kiến thức, đồng thời phục vụ cho mục đích góp phần phát triển TDH

Chẳng hạn khi học giá trị lợng giác tan của một góc, ta có thể hỏi:

- Liệu mọi x  R tanx có phải là hàm số không?

- Với giá trị nào của x thì tanx biểu thị một hàm số?

Hay đối với hàm số y= x2, có thể đặt câu hỏi:

- Với mỗi giá trị của y cho ta mấy giá trị của x?

- Tìm điều kiện của tập xác định để y= x2 có hàm số ngợc?

Ví dụ này tất nhiên là rèn luyện kỹ năng tìm tập xác định, tập giá trị cho hàm

số Nhng điều đáng nói là ở chỗ nó hình thành cho học sinh những biểu tợng tiếntới sự đơn trị Đối với khái niệm hàm số nội hàm của nó là: Mỗi giá trị của đối sốcho duy nhất một giá trị của hàm số Nhng ứng với mỗi giá trị của hàm số có thểcho một hay nhiều thậm chí vô số giá trị của đối số Trờng hợp một giá trị hàm chotơng ứng một giá trị của đối số thì ta xác định đợc một hàm số ngợc, vì nó thoảmãn nội hàm của khái niệm hàm số Ví dụ trên cho học sinh hiểu rõ hơn về kháiniệm hàm số, góp phần phân biệt đặc điểm bản chất với đặc điểm không bản chấtcủa khái niệm, đó là năng lực trìu tợng hoá Tuy nhiên để phát triển mạnh mẽ hơnnữa năng lực trên ta cần cho học sinh làm việc với nhiều hàm số có đặc điểm khác

nhau, để thấy đợc tính đa dạng của khái niệm này Những hoạt động trên có thểxem là hoạt động nghiên cứu những bất biến, những trờng hợp đặc biệt và những tr-ờng hợp suy biến Hoạt động đó còn thể hiện rất rõ trong dạng toán phép biến hình,

đặc biệt những bài toán về dựng hình

Ví dụ 8: Cho 2 điểm A.B nằm về 2 phía của đờng thẳng d Tìm trên d điểm M sao

cho phân giác góc AMB thuộc d

Vì A’ là ảnh của A qua d nên AA’  d tại trung điểm H của AA’

Do đó  AA’M cân, suy ra d chứa phân giác MH của góc AMA'

Bớc 4: Biện luận

- Nếu d(A,d) =d(B, d); B’≠ A bài toán vô nghiệm

- Nếu d(A,d) =d(B, d); B’≡ A Bài toán có vô số nghiệm

d

Những trờng hợp đặc biệt là những trờng hợp suy biến thể hiện ở bớc biệnluận Còn nghiên cứu các bất biến giúp học sinh lựa chọn phép biến hình nào đểgiải.

Phát hiện, thiết lập, nghiên cứu sự tơng ứng không có mục đích tự thân, chúngphải phục vụ cho việc giải quyết một nhiệm vụ nào đấy Theo [3] “ Một t duy đợcgọi là có hiệu quả nếu t duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó ”, vì vậy

t duy hàm không dừng lại ở hoạt động nghiên cứu sự tơng ứng mà đợc tiếp tục bởihoạt động lợi dụng sự tơng ứng

Từ việc nghiên cứu điều kiện của t ta lợi dụng vào việc giải phơng trình ban

đầu t2 - 4t + 3 = 0

Với điều kiện t  2, phơng trình chỉ nhận t = 3 làm nghiệm

2 2

sự tơng ứng để giải bài toán này lại dựa trên sự phát hiện, thiết lập, nghiên cứu các

sự tơng ứng từ những bài toán hay những chủ đề kiến thức khác Chẳng hạn nh cáctrờng hợp về các dấu của tam thức bậc hai trên một miền, vị trí tơng đối của số  sovới các nghiệm của tam thức có thể lợi dụng để giải một số phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình

Ví dụ2:

1 Từ bài toán Tìm m để bất phơng trình x 2 + 2mx + m + 2  0, x  [-1;1],

có thể lợi dụng để giải bài toán Tìm m để bất phơng trình cos 2 x + 2mcosx + m +2  0, x.

2 Từ bài toán Giải bất phơng trình x 2 - mx + 2  0, chuyển về bài toán

Giải bất phơng trình x 4 - mx 2 + 2  0

3 Lợi dụng điều kiện của một tam thức bậc hai trên khoảng, đoạn để tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Chẳng hạn bài toán Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của hàm số

2 2

Ví dụ 3: Giải phơng trình

6x x 2  2 | x 1| | x 2 | | 2x 3| |13 4x |        (*)

Học sinh có thể giải bằng cách lập bảng xét dấu vế phải (*) để phá giá trịtuyệt đối bằng cách xét các khoảng Tuy nhiên lời giải này khá phức tạp "Khi gặpmột cách giải dài và phức tạp thì ta có thể nghĩ ngay rằng có một cách giải khácsáng sủa hơn và đạt kết quả nhanh chóng hơn" [3]

Bằng sự phân tích nhìn nhận lại bài toán, giáo viên có thể cho học sinh nhậnxét vế phải của (*) có gì đặc biệt không Đó chính là tổng các hệ số của x bằng 0

Do đó ta có thể áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối để khử x Tìm giá trị nhỏ nhất của vếphải

Trờng hợp học sinh cha học cách giải phơng trình bậc hai thì việc tách,thêm, bớt để đặt nhân tử chung rất phức tạp và khó thực hiện đợc Ta có thể nhậnthấy rằng nếu f(x) phân tích đợc thành nhân tử thì sẽ có dạng f(x) = (x-a)(x-b), khi

đó a, b là nghiệm của phơng trình f(x) = 0 Ngợc lại nếu f(x) = 0 có 2 nghiệm x1; x2

thì f(x) = (x-x1) (x-x2), vì vậy để giải đợc bài toán trên cần giải phơng trình f(x) =

0 Nh vậy việc giải phơng trình bậc hai đợc gợi động cơ kết thúc là nhờ đó ta có thểphân tích các đa bậc 2 thành nhân tử, hoặc xem xét đa thức đó có phân tích đợcthành nhân tử hay không

Nh vậy việc lợi dụng sự tơng ứng cần đợc nhấn mạnh để phát huy tác dụnggợi động cơ, đặc biệt là động cơ kết thúc cho hoạt động TDH (Bởi vì, có những tr-ờng hợp yêu cầu lĩnh hội tri thức và rèn luyện kỹ năng không thể hiện rõ ràng, hoặchọc sinh cha quen hoạt động TDH, hoặc nhu cầu gợi động cơ ban đầu và trung giankhông thật cần thiết)

Việc dạy học các nội dung phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình cónhiều tiềm năng để phát triển TDH Sau chúng tôi xin phân tích các tiềm năng

đó

II Tiềm năng của chủ đề phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình trong việc phát triển TDH.

1 Khái niệm phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình có liên quan đến sự tơng

ứng về mặt giá trị của biến với giá trị của biểu thức ở mỗi vế "Đây chính là sự tơngứng hàm sự tơng ứng giữa giá trị vào (của biến) và giá trị ra của hàm số cho bởibiểu thức ở mỗi vế" [18]

Tuy nhiên việc phát hiện ra sự tơng ứng này "có thể và cần thiết thực hiệnngay từ khi dạy toán tiểu học và cả các lớp trên" [10] chứ không phải chờ tới khihọc tờng minh khái niệm phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình mới đề cập

Cách làm lập bảng tơng ứng giữa x và x +5 sau đó chọn giá trị thích hợp là x

= 3 tơng ứng với giá trị 8 của x + 5, giúp học sinh phát hiện sự tơng ứng, hìnhthành biểu tợng về sự tơng ứng giữa các đại lợng biểu thị bởi các chữ

Ngay ở các lớp trên khi đã học tờng minh thuật ngữ phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình thì những bài tập kiểu nh trên vẫn nên cần thiết đợc nêu ra d-

ới dạng yêu cầu tính giá trị ra (hoặc những giá trị vào) khi cho biết giá trị ra hoặc

điều kiện đối với giá trị ra

Ví dụ 2: a Với những giá trị nào của x thì x2 - 25x +150 nhận giá trị bằng 0

b Với những giá trị nào của x thì 2x2 +5x - 3 nhận giá trị lớn hơn 0

Nhờ những bài tập dạng này mà một mặt học sinh đợc hiểu rõ thêm nhữngthuật ngữ phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình, giải phơng trình; một mặt đ-

ợc rèn luyện về t duy hàm Tuy nhiên, ta cần lu ý rằng rèn luyện t duy hàm khôngphải là mục đích chính mà chỉ là mục đích kép, đợc phát triển trong quá trìnhtruyền thụ tri thức và phát triển kỹ năng toán học

2 Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình có sự tơng ứng giữa giá trị vào của

biến với sự đúng sai của hàm mệnh đề

Đó chính là sự tơng ứng giữa các giá trị của biến với sự đúng hay sai (giá trịchân lý) của khẳng định về sự bằng nhau (lớn hơn, bé hơn) của giá trị biểu thức ở 2vế

Thực chất của hàm mệnh đề là một hàm (ánh xạ) từ tập nguồn là các mệnh

đề vào tập đích là tập có hai phần tử {đúng, sai}

Mặc dù ở bậc trung học cơ sở cha đợc học khái niệm về mệnh đề nhng tavẫn có thể tập luyện cho học sinh phát hiện ra sự tơng ứng này thông qua một số ví

dụ dới dạng câu hỏi nhiều lựa chọn:

Ví dụ 3: Với giá trị nào của x thì ta có đẳng thức 2x + 1 = 3x - 5

A: x = 1 B: x = 2 C: x = 5 D: x = 6

Với ví dụ này học sinh vừa phát hiện sự tơng ứng giữa giá trị của x với giá trịcủa các hàm số cho bởi biểu thức 2x + 1 và 3x - 5 vừa phát hiện sự t ơng ứng giữagiá trị của x với sự đúng sai của khẳng định trong đẳng thức trên Chính sự tơngứng thứ hai này mới là kiến thức về khái niệm phơng trình theo quan điểm hàmmệnh đề

Lên lớp 10, khái niệm phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đợc xâydựng theo quan điểm hàm mệnh đề với tên gọi mệnh đề chứa biến "Phơng trình ẩn

x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x) (1)

Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là

vế phải của phơng trình (1)

Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 đợc gọi làmột nghiệm của phơng trình (1).

Giải phơng trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó

Nếu phơng trình không có nghiệm nào cả thì ta nói "phơng trình vô nghiệm"[7]

b Từ câu a gợi ý cách giải câu b bằng cách nhận ra x = 1 thì f(x) = 0

Sau đó chia f(x) cho x - 1 đa về phơng trình dạng tích có một thừa số là

3 Giải phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ

xuất hiện sự tơng ứng giữa các biểu thức trung gian với điều kiện mới xuất hiện

Phơng pháp đặt ẩn phụ có vai trò to lớn trong việc giải phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình và thờng xuyên đụng chạm đến TDH Chọn ẩn phụ tức là đãthiết lập một một sự tơng ứng giữa ẩn cũ và ẩn mới; việc chuyển bài toán giải ph-

ơng trình với ẩn cũ về bài toán giải phơng trình với ẩn mới cũng là một sự tơng ứng.Tuy nhiên có một điều rất quan trọng trong đó là điều kiện của ẩn mới nh thế nào,tức là ta đã nói đến "nghiên cứu sự tơng ứng" [4]

Vậy ẩn phụ đợc hiểu nh thế nào là đầy đủ? Trớc hết, ẩn phụ phải xem không

là ẩn ban đầu, khi chuyển bài toán với ẩn phụ mới thì dễ giải hơn bài toán đã cho.Việc dùng ẩn phụ trong giải toán có thể xem nh đáng lẽ ra ta phải đi theo con đờngthẳng thì ta phải đi theo con đờng vòng nhng lại dễ đi hơn để đi tới đích ẩn phụ cóthể hiểu là ẩn khác, mà với ẩn này hình thức (dạng) của bài toán đợc thay đổi Bằngcách này, ẩn phụ có tác dụng chuyển hoá hình thức của bài toán nhng vẫn giữ nộidung của bài toán đó ẩn phụ là ẩn mới khác với ẩn ban đầu có tác dụng cải tiến

hoặc chuyển hoá các bài toán

Ta có thể mô tả lại quy trình của bài toán giải phơng trình, hệ phơng trình,bất phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ nh sau:

- Bớc 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn ẩn phụ thích hợp;

- Bớc 2: Tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ;

- Bớc 3: Chuyển bài toán đã cho về bài toán ẩn mới;

- Bớc 4: Giải bài toán đã chuyển đổi và kết luận

Việc chọn ẩn phụ thờng xuất phát từ đặc điểm của phơng trình, bất phơngtrình: Thờng là những biểu thức đồng dạng, hoặc do đặc điểm của miền xác địnhcủa ẩn Do đó ta có thể đặt x =  ( ) hoặc  (x)

Việc tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tìm miền giá trị của  với mỗi xthuộc tập xác định, tức là tập luyện cho học sinh thiết lập sự tơng ứng giữa x và.Việc có cần đặt điều kiện đúng cho ẩn phụ hay không lại còn phụ thuộc vào đặc tr-

ng của từng bài toán

- Với các bài toán mà ẩn phụ đợc xem là ẩn trung gian, tìm ẩn phụ rồi trở về

ẩn ban đầu thì ta có thể không đặt điều kiện đúng, những nghiệm không thoả mãn

điều kiện đúng sẽ bị loại ra khi ta thử lại

- Với những bài toán mà ẩn phụ với t cách là ẩn thứ hai (bài toán không trở

về ẩn ban đầu) thì tuyệt đối phải đặt đúng điều kiện cho ẩn phụ, nếu không bài toánmới sẽ không tơng đơng với bài toán ban đầu

Việc chuyển bài toán đã cho về bài toán mới với ẩn là ẩn phụ mới thiết lậpthì có thể đợc xem là việc lợi dụng sự tơng ứng

Để làm rõ các đặc trng đó ta có thể xét một số ví dụ sau:

Đối với bài toán này đa số học sinh đều giải đợc bằng cách đa phơng trình

đã cho về phơng trình bậc hai, phơng pháp này đợc dạy tờng minh trong SGK

Ví dụ 6: Giải phơng trình:

2  3x  2  3x  4 (1)

H ớng dẫn giải:

Bớc 1: Đặt  x

3 2

t   (*)Bớc 2: Điều kiện: t >0

Bớc 3:  

t

1 3

ợc ẩn phụ thì ẩn đợc chọn là biểu thức nào, phép biến đổi đại số đó tờng minh hay

ẩn tàng ? Khó khăn đó nảy sinh do hệ thống các bài toán trong SGK cha đa dạng vàphong phú để học sinh có thế khắc sâu phơng pháp đặt ẩn phụ trong giải các bàitoán phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình

Vì vậy, việc định hớng đúng, xác định đúng đờng lối để giải, cũng nh lựachọn đúng phơng pháp là công cụ để giải bài toán cho học sinh là rất cần thiết

Có rất nhiều bài toán việc chọn ẩn phụ rất khó khăn, do ban đầu các biểu thức

đồng dạng cha xuất hiện mà phải qua một số bớc mới sử dụng đợc phơng pháp này

Ví dụ 7: Giải phơng trình: 2(x 2 - 3x + 2) = 3 x38

Giải Điều kiện: x  2

   9 16 25

Với điều kiện >0 tonhân đợc = 2

Vấn đề tìm điều kiện cho ẩn phụ, sự tơng ứng về số lợng ẩn cũ và mới cũng

có nhiều điều cần phải bàn tới Nhìn từ góc độ t duy hàm thì đó chính là hoạt độngnghiên cứu sự tơng ứng Việc di chuyển bài toán ban đầu sang bài toán mới có tơng

đơng hay không phụ thuộc vào sự nghiên cứu trên có đúng đắn hay không

Ví dụ 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

x 1  3 x  (x 1)(3 x) m  

Bài toán có nhiều hớng giải Tuy nhiên, nếu chọn ẩn phụ t x 1  3 x

; x [1,3] thì bài toán trở thành tìm m để phơng trình t2 - 2t + 2m - 2 = 0 cónghiệm Bài toán không trở về ẩn ban đầu, do đó việc đặt điều kiện đúng cho t làrất cần thiết Học sinh có thể đặt điều kiện nh sau:

Với mỗi điều kiện của t ta chuyển về một bài toán mới tơng ứng chẳng hạn

với điều kiện t  0 thì bài toán mới là " Tìm m để t 2 -2t +2m - 2 có nghiệm t  0"

Thực ra chỉ có điều kiện 2  t  2 là đúng Qua đây ta thấy việc tìm

đúng điều kiện cho ẩn phụ là rất cần thiết

Nhng sự tơng ứng giữa t và x không phải là 1 - 1 Không thể chuyển bàitoán thành "Tìm a để phơng trình t2 + t + a = 0 có hai nghiệm thuộc [0,1] mà phảixét xem mỗi t  [0,1] cho mấy x  [0, ].

Cụ thể là mỗi t  [0,1] thì cho 2 giá trị x  [0, ]; t = 1 cho x =

2

 Từ đó bài

toán đợc chuyển về bài toán tơng đơng là: Tìm a để phơng trình t 2 + t + a = 0 có

đúng một nghiệm thuộc [0;1]

Với ví dụ này việc phát hiện ra điều kiện của t còn dễ dàng, ví dụ sau đâyhọc sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu không có phơng pháp chuyển đổi thích hợp

Ví dụ 10: Tìm m để phơng trình:

cos3x - cos2x + mcos - 1 = 0 (*)

Có 7 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(-2



; 2) Giải

Ta có (*)  4cos3x - 2cos2x - (3 - m) cosx = 0

 cosx (4cos2x - 2cosx - 3 + m) = 0

Bài toán chuyển về Tìm m để (1) có 4 nghiệm thuộc A=

2 4 6 8

x y

/ 2

  0  / 2 3 / 2  2

+) t = 1 cho 1 giá trị x  A

Lợi dụng sự nghiên cứu trên thì bài toán ban đầu đợc chuyển về bài toán mới

là: Tìm m để (2) có hai nghiệm t 1 và t 2 thoả mãn -1 < t 1 < 0 < t 2 <1.

Đến đây bài toán giải đợc bằng những kiến thức về tam thức bặc hai mà họcsinh đã khá quen thuộc

Những ví dụ vừa phân tích ở trên đều có dạng f(g(x)) = 0 Ta có thể đặt g(x) = t chuyển về bài toán f(t) = 0

Có những bài toán do tính chất tập xác định ta không đặt ẩn phụ kiểu

t = (x) mà đặt x = (t) Thờng gặp là chuyển bài toán đại số về bài toán lợng

3512

cos +

1sin  =

35

12  12(cos + sin) = 35sincos

Đây là dạng cơ bản của phơng trình lợng giác, học sinh có thể giải đợc dễdàng Lu ý, khi tìm ra giá trị lợng giác của  nên khéo léo đa về cos mà khôngcần tính xem  cụ thể là bao nhiêu

Ví dụ 12: Giải hệ phơng trình

(I)

2 2 2

(I)   y ( 1 z ) 2 z ( 2 )

) 1 ( y

2 )

y 1 (

1 z2x

tgt = tg8t  8t = t + k  k

t7



Vậy (I) có 7 nghiệm

2k

x tg

7k

y tg

74k

4 Giải và biện luận phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình bằng phơng pháp

đồ thị liên quan đến sự tơng ứng giữa các dạng ngôn ngữ biểu hiện nội dung Toánhọc

Hàm thực chất là sự tơng ứng của các phần tử thuộc hai tập hợp thoả mãnmột số điều kiện nào đó Tuy nhiên, do tuyệt đại đa số các hàm số ở trờng PT đềucho dới dạng công thức nên nhiều học sinh cho rằng hàm chính là công thức Họcsinh đã có sự nhầm lẫn giữa khái niệm hàm và phơng tiện biểu diễn nó; hàm sốkhông chỉ đợc biểu diễn bởi công thức mà còn nhiều sự biểu diễn khác nữa, chẳnghạn nh đồ thị Mỗi hàm số đều tơng ứng với một đồ thị nhất định, một hàm số đợcbiểu diễn bởi công thức đều có thể chuyển sang biểu diễn bằng đồ thị Lý do là mỗi

điểm thuộc mặt phẳng tọa độ đều tơng ứng với một cặp (x,y)

Mỗi vế phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, là những biểu thứcbiểu thị một hàm số Theo sự phân tích ở trên thì sẽ đợc biểu thị bởi một đồ thị

Còn số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của hai đồ thị của hai vế Sốnghiệm của hệ bất phơng trình bằng giao của các miền nghiệm của từng bất phơngtrình.

Nh vậy công thức và đồ thị là những dạng biểu thị khác nhau của cùng mộtnội dung đó là hàm số Số nghiệm và số giao điểm của đồ thị là những dạng biểuthị khác nhau của cùng một sự kiện

Đứng trớc một bài toán giải và biện luận phơng trình (bất phơng trình)cũng nh những loại toán khác cần lựa chọn phơng tiện và phơng pháp thích hợp.Một số bài toán mà có thể đa đợc về dạng f(x) = y và y = m

Ví dụ 13: Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Ví dụ 14: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: m(x+1) = x 2 + 1 (2)

Hệ phơng trình cũng đợc giải bằng phơng pháp toạ độ rất hiệu quả:

Ví dụ 16: Tìm a để hệ có 4 nghiệm: (I) 

) 1 ( a

x y

2 2 2

) 3 ( a

x y

2 2 4 2

Số nghiệm của hệ (1) (2) cũng chính là số nghiệm của hệ (3) (4) cũng chính

là số nghiệm của (4) [ở (3) mỗi x chỉ cho một y]

x x a

2 2

Xét hệ trục toạ độ xOa: (5),(6) là hai parabol

Từ đồ thị suy ra hệ có 4 nghiệm khi a<

4

3



.Qua một số ví dụ trên, ta thấy rằng phơng pháp đồ thị để giải và biện luận pt,hpt, bpt mang tính trực quan cao nhng vẫn đảm bảo tính lô gíc của kiến thức Toánhọc Đó là một yêu cầu cần thiết trong dạy học Toán

Phơng pháp dùng bảng biến thiên về bản chất cũng giống nh phơng pháp đồthị Một số bài toán không quá phức tạp ta có thể sử dụng ngay bảng biến thiên đểbiện luận mà không cần vẽ đồ thị

4 2- 4

Từ bảng biến thiên suy ra

16

65 m

a

x

1/4 -1/2

1/2

-3/4 -1

a = -x 2 + x

a = -x 2 - x - 1

5 Giải, biện luận pt, hpt, bpt bằng phơng pháp toạ độ liên quan đến sự tơng ứng

giữa một cặp số thực (x, y) với một điểm trên mặt phẳng toạ độ; giữa cặp số thực(x, y) với một véctơ, giữa một số thực a với tích vô hớng giữa hai véctơ; giữa sốkhông âm với độ dài của một véctơ

Theo [9]“ Phơng pháp toạ độ có những ứng dụng vào mọi bài toán mà trong nó đãtiềm ẩn cái “ hồn hình học” mà thoạt tiên ngời ta cha nhìn ra nó Với các bài toánnày phơng pháp toạ độ sẽ cho những lời giải gọn gàng và trong sáng”

Trong dạy học toán nếu giáo viên khai thác tốt sự tơng ứng trên, thì một sốbài toán có thể có những lời giải độc đáo, giúp học sinh có cái nhìn rộng mở hơn,

đa dạng hơn về các phơng pháp giải pt, hpt, bpt và các bài toán khác

1 x x





 0  

1 x ( 3 x 0

Việc chọn u, v  có toạ độ bao nhiêu, tức là nói đến hoạt động thiết lập sự

t-ơng ứng; còn việc nhờ đó đánh giá hai vế của từng pt, bpt đa về các pt, bpt đơn giảnhơn là hoạt động lợi dụng sự tơng ứng

Đứng trớc bài toán giải pt, bpt bằng phơng pháp toạ độ giáo viên cần hớngdẫn học sinh phân tích đặc điểm của từng bài toán, sau đó tổng hợp lại để học sinhnhìn thấy trớc hoặc dự đoán kết quả Nảy sinh nhu cầu dùng toạ độ để giải toán làxuất phát từ yêu cầu nội tại của bài toán đăt ra Đó cũng là yêu cầu chung của hoạt

Ta cũng có nhiều cách lựa chọn hai vectơ u, v để u v là vế trái của (1) nhng

vế trái của (2) là biểu thức tổng các bình phơng làm ta liên hệ đến độ dài của mộtvectơ (x,y,z); (y,z,x)…vế phải (1) = vế phải (2) gợi cho ta đặt u= (x,y,z); v=(y,z,x)

 z k x

kz y

Với k > 0 (vì nếu k = 0 thì x =y = z = 0 mâu thuẫn với (1))

Từ z = kx  kz2 = k2x  y= k2x  ky = k3x  x = k3x

 k = 1  x = y = z = 1

Thay vào (3) thấy thoả mãn Vậy nghiệm của hệ là x = y = z = 1

6 Ngoài sự tơng ứng trên còn có những sự tơng ứng khó thấy hơn chẳng hạn nh:

a) Sự tơng ứng xuất hiện khi xét pt về mặt cú pháp và ngữ nghĩa

Theo [11] “Trong toán học ngời ta phân biệt cái kí hiệu và cá đợc kí hiệu, cáibiểu diễn và cái đợc biểu diễn, nếu xem xét phơng diện những cái kí hiệu, nhữngcái biểu diễn đi vào cấu trúc hình thức và những qui tắc hình thức để xác định vàbiến đổi chúng thì đó là phơng diện cú pháp Nếu xem xét phơng diện những cái đ-

ợc kí hiệu, những cái đợc biểu diễn, tức là đi vào nội dung vào nghĩa của những cái

kí hiệu, những cái biểu diễn thì đó là phơng diện ngữ nghĩa ”

Theo [18] “Các quy tắc, thuật giải các dạng pt, hpt mang ý nghĩa cú pháp; cáctham số xuất hiện trong các quy tắc mang tính chất tổng quát thờng gọi là tham sốhình thức, khi vận dụng quy tắc thuật toán đối với những pt hay hpt cụ thể trớc hếtcần thiết lập sự tơng ứng giữa tham số hình thức với tham số thực sự của bài toán”

Ví dụ 21: Từ qui tắc giải pt bậc hai ax 2 + bx + c=0 (a  0)

Nếu học sinh xác định sai sự tơng ứng trên thì sẽ dẫn đến lời giải sai

Trong chơng trình phổ thông có rất nhiều dạng pt có cách giải tổng quát nh:

- Pt bậc nhất ax+b=0 (a0)