Giới hạn thuận và giới hạn nghịch của một họ môđun luận văn tốt nghiệp đại học

Có thể thấy rằng cấu trúc môđun xuất hiện hầu hết trong các lý thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất với các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben, không gian v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VINH - 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VINH - 2011

MỞ ĐẦU 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 3

MỞ ĐẦU

Môđun và vành là một trong những đề tài đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Có thể thấy rằng cấu trúc môđun xuất hiện hầu hết trong các lý thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất với các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben, không gian vectơ

Trong khóa luận này, trên cơ sở các kiến thức về lý thuyết môđun đã được học

và tìm hiểu ở các tài liệu, chúng tôi trình bày một số vấn đề về giới hạn thuận và giới hạn nghịch của một họ môđun Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận được chia làm hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở của lý thuyết môđun có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương 2

Chương 2: Giới hạn thuận và giới hạn nghịch của một họ môđun Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của giới hạn thuận, giới hạn nghịch của một họ môđun

Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành Khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm

ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Xin cảm ơn tập thể 48B Toán đã động viên tôi trong thời gian làm khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo góp

ý của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả được dùng trong Chương 2 Trong toàn bộ Khóa luận, vành A luôn được giả thiết là vành giao hoán, có đơn vị

1.2 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của một họ môđun

1.2.1 Tích trực tiếp Cho I là một tập khác rỗng Giả sử { }M i i ∈ I là một họ các A

– môđun chỉ số hóa bởi I Kí hiệu M = i

( )x i i I∈ +( )y i i I∈ =(x i + y i)i I∈ .

( )i i I ( )i i I

a x ∈ = ax ∈ ,với mọi a ∈ A và mọi ( ) ( )i i I i i I i

∏ trở thành một A – môđun và gọi là tích trực tiếp của họ

các A – môđun { }M i i ∈ I Nếu Mi = N với ∀i ∈ I thì ta kí hiệu i

Khi đó S là một môđun con của i

( )ii Dãy ( )ζ 0 được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại ∀i, tức là Imdi+1 = Ker di,

∀i

1.3.2 Dãy khớp ngắn Một dãy khớp các A – môđun dạng:

0   → M’   →f M   →g M”   →0,trong đó M, M’, M” là các A – môđun; f và g là các A – đồng cấu được gọi là một

dãy khớp ngắn.

1.4 Dãy Cauchy

1.4.1 Định nghĩa Cho A là một vành giao hoán, M là một A – môđun và I là một

iđêan của A Giả sử { }M n n 0≥ là một họ các môđun con của M sao cho Mn+1 ⊆ Mn

với mọi n ≥0 Một dãy vô hạn (xn) các phần tử của M được gọi là một dãy Cauchy

theo (Mn)n ≥ 0, nếu với mỗi n đều tồn tại N để xd ∈ Mn với ∀d ≥N

Hai dãy Cauchy (xn) ~ (yn) nếu với mỗi n đều tồn tại n0 để xm – ym ∈Mn với mọi m≥ n0

1.4.2 Mệnh đề Quan hệ ~ giữa các dãy Cauchy theo (M n ) n≥0 của M là một quan

hệ tương đương.

mỗi n, ta c ó xm – xm = 0 ∈ Mn với mọi m ≥0, do đó (xn) ~ (xn) Giả sử (xn) ~ (yn), tức là với mỗi n tồn tại n0 sao cho xm – ym ∈Mn với∀n ≥ n0 Khi đó ym – xm = -( xm

– ym) ∈ Mn với mọi n ≥ n0, suy ra (yn) ~ (xn) Cuối cùng, giả sử (xn) ~ (yn) và (yn)

~ (zn) Lúc đó, với mỗi n tồn tại n0 sao cho xm – ym ∈ Mn và ym – zm ∈ Mn với mọi n ≥ n0,suy ra xm – zm = ( xm – ym) + (ym – zm) ∈ Mn với mọi n ≥ n0,do đó

(xn) ~ (zn).Vậy ~ là một quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy trong M

1.4.3 Mệnh đề Cho A là một vành giao hoán, M là một A-môđun Giả sử (M n n) ≥0

dãy và nhân một phần tử của A với dãy trong M sẽ cảm sinh ra hai phép toán làm

đương của ( )x n trong M * Trước hết ta chỉ ra rằng quy tắc cộng hai phần tử của M*.

với mọi m n≥ 0 Suy ra (x n+y n) ( = x n, +y,n) và (ax n) ( = ax,n) Vậy quy tắc cộng và nhân

ngoai xác định như trên là những ánh xạ Ta chứng minh M * cùng với chúng làm

thành một A-môđun Trước hết dễ thấy rằng (M *, +) là một nhóm Abel: phần tử không là lớp tương đương (0) của dãy Cauchy (0) gồm toàn phần tử 0, phần tử đối của ( )x n là ( −x n) Bây giờ với mọi ( ),( )x n y n ∈M* và mọi a, b ∈ A, ta dễ dàng kiểm

Vậy M * với các phép toán như đã xác định là một A-môđun 

(i) θ ii là ánh xạ đồng nhất trên Mi với mọi i ∈ I;

(ii) θ ki =θ ji θ kj, tức là biểu đồ sau giao hoán

với mọi i≤ j≤ k

Để cho tiện, ta kí hiệu hệ nghịch này là (Mi, θ ji)

2.1.2 Định nghĩa Giới hạn nghịch (hay giới hạn nội xạ) của một hệ nghịch các A

– môđun (Mi, θ ji) là một A – môđun M cùng với họ các A - đồng cấu (fi)i∈I, trong

đó fi: M   →Mi sao cho các điều kiện sau được thoả mãn:

(i) θ jifj = fi, tức là biểu đồ sau giao hoán

với mọi i ≤ j, thì tồn tại duy nhất một A - đồng cấu λ: M'   → M sao cho fi λ = gi

với mọi i∈ I

2.1.3 Định lý Giới hạn nghịch của một hệ nghịch các A- môđun (M i , θji ) luôn tồn tại

và duy nhất sai khác một đẳng cấu

Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại: gọi M là môđun con của tích trực tiếp của

đồng cấu ( )g i i I∈ , trong đó g M i: ' →M i thỏa mãn θji g j=gi với mọi i≤ j Do tính chất

của các g i nên ( ( ))g x i ∈M với mọi x M∈ ' Vì vậy ta xác định được ánh xạ :M' M

λ → cho bởi λ ( ) ( ( ))x = g x i với mọi x M∈ ' Rõ ràng λ là một A-đồng cấu môđun có f iλ =g i với mọi i I∈ Ta còn phải chứng minh tính duy nhất của λ Thật vậy giả sử β :M' →M sao cho f iβ =g i với mọi i I∈ ta sẽ chỉ ra λ β = Chú ý rằng ( ( ))f y i = y với mọi y M∈ Do đó ta có

Như vậy giới hạn nghịch của hệ nghịch các A-mơđun (M j, θji) luơn tồn tại

và duy nhất (sai khác một đẳng cấu) Người ta kí hiệu giới hạn nghịch này là: limuuuM i.

s

2.1.4 Nhận xét Trong trường hợp tập định hướng là tập các số tự nhiên thì họ

0

(M n n) ≥ cùng họ đồng cấu ( : θn M n →M n−1 )n≥1 là một hệ nghịch, và viết gọn là (M n, ) θn Ở đây θji:M j →M i với j i> được hiểu là θji = θi+1 θ θj−1 j Như vậy thực

chất ( ) θn chỉ là một hệ sinh của họ các đồng cấu ( ) θji Khi đĩ

limuuu = ( ) + ( +) = ≥ 0

s M n x i θi x i x i với mọi i .

2.1.5 Mệnh đề Cho A là một vành giao hốn, M là một A-mơđun Giả sử (M n n) ≥0

lim( / ).

M M M

dãy Cauchy, ta tìm được một hàm đơn điệu tăng σ : ¥ → ¥ sao cho xσ( )n − ∈x m M n

với mọi m≥ σ ( ).n Xét tương ứng f M: ∗ → limsuuuM n cho bởi f ( )( )x n = (xσ( )n +M n). Ta sẽ

chứng minh f là một đẳng cấu A-mơđun Trước hết ta chỉ ra f là một ánh xạ Giả sử

( ) ( )x n = y n và f ( )( )y n = (yτ( )n +M n), trong đĩ τ : ¥ → ¥ là một hàm đơn điệu tăng sao cho yτ( )n −y m∈M n với mọi m≥ τ ( ).n Vì ( ) ( )x n = y n nên tồn tại một hàm đơn điệu tăng

với mọi n Từ đĩ suy ra (xσ( )n +M n) ( = yτ( )n +M n). Vậy f là một ánh xạ Dễ kiểm tra

được f là một đồng cấu A-mơđun Bây giờ nếu f ( )( )x n = (xσ( )n +M n) 0 = thì xσ( )n ∈M n

với mọi n, do đĩ ( ) (0).x n = Mặt khác, với (x n+M n) lim ∈ s uuuM ntùy ý, ta cĩ x n−x n+1 ∈M n

với mọi n, do đĩ

Tóm lại, f là một đẳng cấu và ta có M∗ ≅ lim( s uuu M M/ n). 

2.1.6 Ví dụ Giả sử R = A[X 1 , X 2 ,…, X d ] là một vành đa thức d biến trên vành giao hoán A và J = (X 1 , X 2 ,…, X d ) là iđêan của R sinh bởi tất cả các biến Khi đó hệ

(R/J n)n≥0 cùng họ toàn cấu tự nhiên (θn : R/J n→ R/J n-1)n≥1 lập thành một hệ nghịch

Có thể kiểm tra được rằng

[ 1 2 ]lim( / n) , , ,

d

R J ≅ A X X X   uuu

s

là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên A của các biến X 1 , X 2 ,…,X d

n d

n n

Rõ ràng ϕ là một đồng cấu A-môđun Ta sẽ chứng minh ϕ là một đẳng cấu

bằng cách xây dựng ánh xạ nghịch của nó Với mỗi đa thức h ∈ R và mỗi số tự nhiên n, kí hiệu h [n] là tổng các hạng tử bậc n của h Xét tương ứng

a

f a X J

a X a X a X f

α α α

n n n

n n

n n n n

d

R J ≅ A X X X   uuu

s

Bây giờ ta khảo sát tính bảo toàn khớp trái của giới hạn nghịch Giả sử

(M i′ ′ , θji), (M i, θji), (M i′′ ′′ , θji)

là các hệ nghịch của các A-môđun cùng chỉ số hóa bởi một tập định hướng I Giả

sử tồn tại các họ A-đồng cấu (f i ) và (g i) sao cho

giao hoán với mọi i ≤ j Khi đó nếu gọi M M M′ ; ; ′′ lần lượt là tích trực tiếp của các

họ môđun (M i′ ); (M i); (M i′ ), còn các đồng cấu f; g tương ứng là tích trực tiếp của các

 →suuu →suuu →suuu

2.1.7 Mệnh đề Giả sử (N n ) n≥0 và (N’ n ) n≥0 là hai dãy giảm những môđun con của

lim( s uuu M N/ n) lim( ≅ s uuu M N/ ' )n

Cauchy theo (N n)n≥0 nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy theo (N’ n)n≥0, và hai dãy

Cauchy (x n ) và (y n ) tương đương với nhau theo (N n)n≥0 nếu và chỉ nếu chúng tương

đương với nhau theo (N’ n)n≥0 Trước hết giả sử (x n ) là một dãy Cauchy theo (N n)n≥0

và k là một số tự nhiên cho trước Theo giả thiết, tồn tại m sao cho N m⊆ N’ k Vì (x n)

là dãy Cauchy theo (N n)n≥0 nên x p - x q ∈ N m với p, q đủ lớn, suy ra x p – x q ∈ N’ k với

chứng minh được nếu (x n ) là dãy Cauchy theo (N’ n)n≥0 thì nó cũng là dãy Cauchy

theo (N n)n≥0 Bằng lập luận giống như vừa trình bày, ta dễ dàng chỉ ra hai dãy

Cauchy (x n ) và (y n ) tương đương với nhau theo (N n)n≥0 nếu và chỉ nếu chúng tương

đương với nhau theo (N’ n)n≥0 Mệnh đề được chứng minh 

ji

ji

θ θ ′′ji

Từ Mệnh đề 2.1.7 ta cĩ hệ quả sau.

2.1.8 Hệ quả Cho hai dãy iđêan (J n ) n≥0 và (J 3n+1 ) n≥0 trong A ta cĩ:

3 1 lim( / n) lim( / n )

A J ≅ A J +

2.1.9 Mệnh đề Cho A là một vành giao hốn, M là một A-mơđun Giả sử (M n ) n≥0 là một

1 0

Như vậy lim suuuM n chỉ gồm các dãy hằng ( , , , , )x x x với x∈In≥0M n. Dễ thấy rằng tương ứng chuyển mỗi dãy ( , , , , )x x x như thế thành x xác định một đẳng cấu từ

2.1.10 Định lí Cho (M i′ ′ , θji), (M i, θji), (M i′′ ′′ , θji) là các hệ nghịch của các A-mơđun

ji

ji

θ θ ′′ji

M′ ∗ M ∗ M′′

 →suuu →suuu →suuu

(M i′ ); (M i); (M i′′ ), còn các đồng cấu f; g tương ứng là tích trực tiếp của các họ đồng

N M M

≥

=∏ =

tiếp đó N =∏i I∈ N i Như vậy ứng với M, ta có N Vì rằng mỗi hạng tử trực tiếp của

M đều được sao ra thành nhiều hạng tử trực tiếp của N, nên M có thể xem như là

một môđun con của N Tương tự như vậy đối với M′và M′′, tương ứng ta có các

môđun N′và N′′ Ta thấy ngay tồn tại khớp sau đây là mở rộng của khớp (*)

Lại vì f * và g * tương ứng là thu hẹp của f và g trên Ker d( M N′ ′, ) và Ker d( M N, ), nên từ (*) chúng ta có phức

0  →Ker d( M N′ ′) →f∗ Ker d( M N) →g∗ Ker d( M N′′ ′′).

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra phức này là khớp Tất nhiên f * là đơn cấu và Im

Kerg∗ ⊇ f∗ Ta chỉ còn phải chứng minh rằng Kerg∗ ⊆ Im f∗ Thật vậy lấy

hay Kerg∗⊆ Im f∗. Từ đó ta có dãy khớp

M′ ∗ M ∗ M′′

 → s uuu → s uuu → s uuu 

2.1.11 Hệ quả Cho (M n, ), ( θn′ M n, ), ( θn M n′′ ′′ , ) θn là các hệ nghịch của các A-môđun

M′ ∗ M ∗ M′′

 → s uuu → s uuu → s uuu  →

Chứng minh Kí hiệu M M M′ , , ′′ lần lượt là tích trực tiếp của các họ môđun (M n′ ), (M n), (M n′′ ) Giả sử f, g tương ứng là tích trực tiếp của các họ đồng cấu (f n),

(g n ), còn f * là thu hẹp của f trên limsuuuM n′ và g* là thu hẹp của g trên lim suuuM n Khi đó ta

Kerd = s uuuM Tương tự,

ta xác định được các tự đồng cấu d M’ và d M” của M’ và M” tương ứng Sau đây ta sẽ

Như vậy M M.

d f = fd ′ Tương tự, ta chứng minh được d M′′ =g gd M. Do đó biểu

đồ (1) giao hoán Ta có dãy khớp sau

0  → Kerd M′→f∗ Kerd M →g∗ Kerd M′′ → Co kerd M′. (2)

(f * là một đơn cấu do nó là thu hẹp của đơn cấu f.) Ta còn phải chứng minh

Co ker M

d ′= 0, tức là chỉ ra d M’ là một toàn cấu Lấy ( )x n n′ ≥0 ∈M′ tùy ý Khi đó phần

tử ( )y n n′ ≥0 ∈M′ là một tạo ảnh của ( )x n n′ ≥0 qua d M’ nếu x n′ = y n′ − θn′+1 (y n′+1 ) với mọi n≥ 0.Một phần tử ( )y n n′ ≥0 như thế có thể xác định như sau: đầu tiên lấy y0′ ∈M0′ tùy ý Giả

sử đã chọn được y n′ ∈M n′ Do θn′+1 là một toàn cấu, theo giả thiết tồn tại y n′+1∈M n′+1

sao cho θn′+1 (y n′+1 ) = y n′ −x n′ , hay x n′ =y n′ −θn′+1(y n′+1). Như vậy ta tìm được ( )y n n′ ≥0 ∈M′

2.2.1 Định nghĩa Cho I là tập định hướng Giả sử ( )M i I i ∈ là một họ các

A-môđun và với mỗi cặp i ≤ j có đồng cấu A-môđun θij:M i →M j. Khi đó họ (M i i I)∈cùng với họ ( ) θij j i≤ được gọi là một hệ thuận nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) θii là ánh xạ đồng nhất trên M i với mọi i ∈ I;

(ii) θik = θ θjk ij, tức là biểu đồ sau giao hoán

với mọi i≤ ≤j k.

Để cho tiện, ta cũng kí hiệu hệ thuận này là (M i, ) θij

2.2.2 Định nghĩa Giới hạn thuận (hay giới hạn xạ ảnh) của một hệ thuận các

A-môđun (M i, ) θij là một A-môđun M cùng với một họ các A-đồng cấu ( )f i i I∈ , trong đó :

i i

f M →M sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) f j ijθ = f i, tức là biểu đồ sau giao hoán

(ii) Nếu M’ là một A-mơđun cùng với một họ các A-đồng cấu ( )g i i I∈ , trong đĩ :

i i

g M →M′ thỏa mãn g j ijθ =g i, tức là biểu đồ sau đây giao hốn

với mọi i≤ j , thì tồn tại duy nhất một A-đồng cấu λ: M →M′ sao cho λ =f i g i với

mọi i I∈

2.2.3 Định lí Giới hạn thuận của một hệ thuận các A-mơđun (M i , θij ) luơn tồn tại

và duy nhất sai khác một đẳng cấu.

N cùng với họ các đồng cấu ( )f i i I′ ∈ đều là giới hạn của (M i, ) θij Khi đĩ tồn tại

1: M N

λ → và λ2: N →M sao cho λ1 i f = f i′ và λ ′=2 i f f i với mọi i I∈ Do đĩ

2 1 i f f i

λ λ = với mọi i I∈ Mặt khác id f M i = f i với mọi i I∈ Bởi tính duy nhất của λ

trong định nghĩa, ta suy ra λ λ = 2 1 id M. Tương tự λ λ = 1 2 id N, nên λ1 và λ2 là các đẳng

cấu Vậy M và N đẳng cấu.

Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại Gọi C là tổng trực tiếp của họ ( )M i i I∈ . Bằng

cách đồng nhất các M i với hạng tử trực tiếp tương ứng của C, ta cĩ thể coi các M i

như là các mơđun con của C Gọi D là mơđun con của C sinh bởi Ui I∈ D i với

i i ij i i i

D = x − θ x x ∈M với mọij i≥

và lấy M =C D/ Gọi µ: C→M là tồn cấu chiếu chính tắc, cịn γi:M i →C là phép

tiêm vào thành phần thứ i của C Kí hiệu µ ( )y = y với mọi y C∈ Khi đĩ ta nhận được họ đồng cấu

Vì θij( )x i − ∈x i D, nên θij( )x i − =x i 0, do đó θij( )x i =x i. Lại vì f x i( )i =x i, nên ( ) ( ).

j ij i i i

fθ x = f x Do đó f j ijθ = f i. Tiếp theo giả sử M’ là một A-môđun cùng với một

họ các A-đồng cấu ( ) ,g i i I∈ trong đó g M i: i →M′ thỏa mãn g j ijθ =g i với mọi i≤ j.Bây giờ ta xác định quy tắc λ: M →M′ cho bởi

(x x i) g x i( )i

λ =∑ =∑

với mọi x=∑x i∈M, ở đó x i∈M i còn x i∈M là ảnh tương ứng của x i. Rõ ràng λ là

một A-đồng cấu môđun và λ =f i g i với mọi i I∈ Ta còn phải chứng minh tính duy nhất của λ Thật vậy giả sử β: M →M′ sao cho β =f i g i với mọi i I∈ Khi đó ta có

Như vậy giới hạn thuận của một hệ thuận các A-môđun (M i, ) θij cũng luôn tồn

tại và duy nhất (sai khác một đẳng cấu) Người ta thường kí hiệu giới hạn thuận

của hệ thuận này là: limuuurM i.

2.2.4 Nhận xét Trong trường hợp tập định hướng là tập các số tự nhiên, thì họ

0

(M n n) ≥ cùng họ đồng cấu ( : θn M n−1 →M n n) ≥1 là một hệ thuận, và viết gọn là (M n, ) θn

Cũng cần nhấn mạnh rằng θij:M i →M j với j i> được hiểu là:θij = θ θ θj i+2 i+1.Thực chất ( ) θn chỉ là một hệ sinh của họ các đồng cấu ( ) θij Khi đó

với D là môđun con của ⊕n≥0M n sinh bởi tập { 1 }

0

i i i i i i

x θ+ x x M

≥

U

2.2.5 Ví dụ Cho (M n n) ≥0 là một họ lồng nhau các môđun con của một môđun M

cùng họ các đơn cấu nhúng ( : θn M n−1 →M n n) ≥1 Khi đó (M n, ) θn là một hệ thuận và

Cho một đồng cấu A-môđun ∂: X →Y , X’ và Y’ lần lượt là các A-môđun con của X và Y Khi đó ta ký hiệu ∂ là quy tắc