Giáo dục tư duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học định lý hình học (thể hiện ở dạy học hình học lớp 10)

Để khắc phục điều này chúng ta phải dạy cho học sinh biết cách phát hiện và tìm tòi cách chứng minh định lí, hơn thế nữa là chúng ta phải thông qua đó để giáo dục t duy biện chứng cho họ

I - Lí do chọn đề tài.

1.1 Đổi mới phơng pháp dạy học nói chung đổi mới phơng pháp dạy học

môn Toán nói riêng là một trong những yếu tố quan trọng trong sự nghiệp đổi mới của ngành Giáo dục và Đào tạo nớc ta hiện nay

Luật Giáo dục nêu rõ: "Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Dự thảo chơng trình (năm 1989) quy định những nhiệm vụ của môn toán ở trờng phổ thông trung học là: " Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy logíc và ngôn ngữ chính xác, t duy biện chứng, , đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo "

Nghị quyết hội nghị lần thứ hai BCHTƯĐCSVN (khoá VIII, 1997) khẳng

định: "Phải đổi mới phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp t duy sáng tạo cho ngời học Từng bớc áp dụng những ph-

ơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học"

1.2 Chúng ta biết rằng học sinh chỉ có thể thực sự lĩnh hội tri thức khi t

duy tích cực của bản thân học sinh đợc phát triển và nhờ sự hớng dẫn của giáo viên các em biết phân tích khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những kết luận cần thiết T duy càng phát triển bao nhiêu thì càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu Tri thức và t duy gắn bó với nhau nh sản phẩm đi đôi với quá trình "T duy có tác dụng to lớn

trong đời sống xã hội Ngời ta dựa vào t duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình" Vì vậy, việc rèn luyện t duy cho học sinh là một phần rất quan trọng trong quá trình dạy học nói chung và quá trình dạy học toán nói riêng, bởi dạy học toán là dạy cho học sinh cách học, hớng học sinh vào việc tích cực hoá hoạt động học tập, vào khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề để tự kiến tạo tri thức mới.

1.3 Theo Nguyễn Bá Kim: Các định lí cùng với các khái niệm Toán học

tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nên tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện t tởng, phẩm chất, đạo đức Chúng ta thông qua dạy học định lí hoàn toàn có thể rèn luyện cho học sinh có cái nhìn biện chứng đối với các đối tợng của Toán học và từ đó phát triển t duy biện chứng cho học sinh

1.4 Thực tế dạy học hiện nay đã có nhiều giáo viên quan tâm giáo dục t

duy biện chứng cho học sinh tuy nhiên việc làm này cũng cha sâu sắc; bởi rất nhiều ngời cho rằng t duy biện chứng còn xa lạ đối với học sinh phổ thông, hoặc họ cho rằng phát triển t duy biện chứng đối với học sinh phổ thông là cha cần thiết Hai nữa là việc dạy học các định lí ở trờng phổ thông còn gặp nhiều khó khăn; nhiều giáo viên quan điểm rằng việc tìm ra định lí và chứng minh

định lí là của các nhà khoa học, còn đối với học sinh phổ thông thì điều quan trọng là hiểu và vận dụng định lí mà thôi Vì vậy, có rất nhiều giáo viên đã xem nhẹ việc tìm tòi và chứng minh định lí, chỉ quan tâm đến việc ứng dụng của các

định lí vào giải bài tập Kết quả của quá trình dạy học nh vậy là học sinh cha biết nhìn vấn đề Toán học một cách tổng thể với tất cả các mối quan hệ của nó Cha biết nhìn vấn đề Toán học trong trạng thái vận động, biến đổi lẫn nhau, không thấy đợc sự phụ thuộc, sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các vấn đề với

nhau Để khắc phục điều này chúng ta phải dạy cho học sinh biết cách phát hiện

và tìm tòi cách chứng minh định lí, hơn thế nữa là chúng ta phải thông qua đó

để giáo dục t duy biện chứng cho học sinh, giúp cho học sinh hiểu biết về thế giới quan duy vật biện chứng từ đó nhận thức về hiện thực khách quan và hiểu sâu sắc hơn về bản chất và nguồn gốc của một vấn đề Toán học Nguyên nhân dẫn đến những suy nghĩ nh vậy có thể là do nhiều giáo viên cha hiểu về t duy biện chứng một cách đầy đủ; cha đợc tiếp xúc nhiều với các tài liệu về vấn đề giáo dục t duy biện chứng cho học sinh trong dạy học toán

1.5 Cho đến nay đã có các tài liệu nghiên cứu về vấn đề này nh: Giáo s -

Tiến sĩ khoa học Nguyễn Cảnh Toàn, "Phơng pháp luận duy vật biện chứng

với việc học, dạy, nghiên cứu toán học", Giáo s - Tiến sĩ Đào Tam, "Một số cơ

sở phơng pháp luận của toán học và việc vận dụng chúng trong dạy học toán

ở trờng phổ thông", Tuy nhiên để giúp cụ thể hoá vấn đề giáo dục t duy biện

chứng cho học sinh thông qua dạy học định lí Hình học thì cha đợc nhiều tài liệu nhắc tới

Từ các lí do nêu trên chúng tôi quyết định thực hiện đề tài: "Giáo dục t

duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học định lí Hình học "

(hể hiện ở dạy học hình học lớp 10).

II - Câu hỏi nghiên cứu

Để giáo dục t duy biện chứng cho học sinh trong quá trình dạy học toán đặc biệt là trong dạy học định lí hình học cần phải giải quyết những câu hỏi sau:

+ Cần phải hiểu t duy biện chứng nh thế nào?

+ Giáo dục t duy biện chứng cho học sinh là phải rèn luyện cho học sinh những gì?

+ Việc dạy học nh hiện nay đã góp phần giáo dục t duy biện chứng cho học sinh đến đâu?

+ Để việc giáo dục t duy biện chứng cho học sinh đạt hiệu quả cao ta phải

áp dụng những biện pháp nào?

+ Làm thế nào để rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng các kiến thức sẵn có để tự mình phát hiện và chứng minh định lí?

+ Việc dạy định lí hình học nh thế nào để có thể giáo dục t duy biện chứng cho học sinh?

III - Giả thuyết khoa học

Nếu trong quá trình dạy học các định lí Toán học, giáo viên quan tâm, giúp học sinh nhìn nhận các vấn đề Toán học theo quan điểm Triết học duy vật biện chứng, vận dụng các quy luật của nó vào việc phát hiện và tìm tòi cách chứng minh định lí; đồng thời chú ý đến các biện pháp giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả và chất lợng dạy học

IV - Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đợc mục đích đặt ra của đề tài, luận văn có nhiệm vụ nghiên cứu những vấn đề sau đây:

1 Các nguyên lí và quy luật của phép biện chứng duy vật

2 Làm sáng tỏ khái niệm T duy biện chứng và các quy luật của nó

3 Nghiên cứu việc giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Toán

4 Nghiên cứu dạy học định lí theo quan điểm triết học duy vật biện chứng

5 Thực trạng việc giáo dục t duy biện chứng cho học sinh trong dạy học Toán ở nớc ta hiện nay

6 Các định hớng xây dựng các biện pháp giáo dục t duy biện chứng cho học sinh trong quá trình dạy học toán

7 Đa ra một số biện pháp "Giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông

qua dạy học định lí hình học".

V - Phơng pháp nhiên cứu

Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu một số tài liệu sách báo tham khảo có liên quan đến t duy biện chứng và việc rèn luyện và phát triển t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Toán, nghiên cứu luật Giáo dục về định hớng giáo dục và

đào tạo

Nghiên cứu thực tế

Tìm hiểu tình hình dạy học của một số trờng phổ thông về việc giáo dục

t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học toán và cụ thể hơn nữa là giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học định lí hình học

Thực nghiệm s phạm

Tiến hành một số giờ dạy ở trờng phổ thông Kiểm tra đánh giá kết quả và

so sánh với lớp đối chứng có trình độ tơng đơng nhng không sử dụng phơng pháp dạy học này và rút ra kết luận

VI - Đóng góp của luận văn

1 Luận văn đã góp phần làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc giáo

dục t duy biện chứng cho học sinh qua việc dạy học Hình học

2 Luận văn đã đa ra đợc một số biện pháp nhằm giáo dục t duy biện chứng

cho học sinh thông qua dạy học định lí hình học và đợc cụ thể hoá ở hình học 10

3 Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT.

VII- Cấu trúc luận văn

Phần mở đầu Nêu lí do chọn đề tài và nhiệm vụ của luận văn

Phần nội dung

Chơng 1 : Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Các nguyên lí của phép biện chứng duy vật.

1.2 Các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật.

1.3 Các cặp phạm trù cơ bản của phép biện chứng duy vật.

1.4 Khái niệm về t duy.

1.5 Đặc điểm của t duy.

1.6 Khái niệm t duy toán học.

1.7 Sự cần thiết và khả năng có thể giáo dục t duy biện chứng cho học sinh

trong dạy học toán

1.8 Thực trạng việc giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy

học Toán ở trờng phổ thông hiện nay

1.9 Kết luận chơng 1.

Chơng 2: Một số biện pháp giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học định lí hình học lớp 10.

2.1 Đặc điểm xây dựng chơng trình sách giáo khoa hình học lớp 10 hiện nay.

2.2 Định hớng xây dựng các biện pháp giáo dục t duy biện chứng cho học

sinh thông qua dạy học định lí hình học

2.3 Các biện pháp thực hiện.

2.4 Kết luận chơng 2.

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm.

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm.

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm.

3.4 Kết luận.

Phần kết luận của luận văn.

Chơng 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Nhà s phạm Xô-viết nổi tiếng A X Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy học và giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta

sẽ đề ra cho con ngời trong một tơng lai không xa Để giáo dục đợc con ngời lao động sáng tạo có năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phơng pháp dạy học tích cực nhằm phát triển các năng lực t duy một cách biện chứng, năng lực xem xét các đối tợng và hiện tợng trong mối liên hệ qua lại, trong quá trình vận động, biến đổi, mâu thuẫn và phát triển của chúng Vì vậy trong quá trình dạy học chúng ta phải quan tâm đến việc phát triển t duy biện chứng cho học sinh Để hiểu về t duy biện chứng trớc hết chúng ta hãy xem xét một số luận

điểm sau của phép biện chứng duy vật

1.1 Các nguyên lí của phép biện chứng duy vật.

1.1.1 Nguyên lí về tính phổ biến.

Anghen đã viết: "Phép biện chứng là lí luận về mối liên hệ phổ biến, là môn khoa học về những quy luật phổ biến của sự vận động và phát triển của tự nhiên, xã hội, loài ngời và của t duy"

Những ngời theo quan điểm duy vật biện chứng khẳng định tính thống nhất vật chất của thế giới là cơ sở của mối liên hệ giữa các sự vật hiện tợng Các

sự vật, hiện tợng tạo thành thế giới, dù có đa dạng, phong phú, có khác nhau bao nhiêu, song chúng đều là những dạng khác nhau của một thế giới duy nhất, thống nhất - thế giới vật chất Nhờ có tính thống nhất đó, chúng không thể tồn tại biệt lập, tách rời nhau, mà tồn tại trong sự tác động qua lại, chuyển hóa lẫn nhau theo những quan hệ xác định

Từ việc nghiên cứu nguyên lí về mối liên hệ phổ biến giữa các sự vật và hiện tợng chúng ta cần rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng

nh trong quan điểm thực tiễn Khi nhận thức về sự vật chúng ta cần phải

có quan điểm toàn diện, tránh quan điểm phiến diện chỉ xét sự vật, hiện tợng trong một mối liên hệ đã vội kết luận về bản chất hay về tính quy luật của nó

Nh vậy chủ thể cần nghiên cứu đối tợng trong tất cả các mặt, các mối liên hệ, tất cả các mắt xích trung gian, trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Tuân thủ nguyên tắc này, chủ thể tránh đợc những sai lầm của cách xem xét chủ quan, phiến diện, thổi phồng một mặt nào đó tới mức sai lệch về bản chất sự vật

Ví dụ: Sau khi định nghĩa "Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng",

"Đờng thẳng a đợc gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P)" Toán học còn xét các

mối quan hệ giữa sự vuông góc giữa đờng thẳng với đờng thẳng và giữa

đờng thẳng với mặt phẳng nh sau:

1) Xem xét mối quan hệ với sự vuông góc giữa đờng thẳng với đờng thẳng:

(P) b (P),

a

O b a

b d

a d

b

3) Xem xét mối quan hệ với hai mặt phẳng

đó là mâu thuẫn trong chính sự vật quy định Mọi sự vật hiện tợng đều nằm trong quá trình vận động và phát triển, nên trong nhận thức và hoạt động chúng ta phải

có quan điểm hoạt động Điều đó có nghĩa là khi xem xét các sự vật và hiện tợng phải đặt nó trong sự vận động

"Logíc biện chứng đòi hỏi phải xem xét sự vật trong sự phát triển, trong sự

tự vận động và trong sự biến đổi của nó" (Lênin)

(Q) a (Q)

(P) b

a

(P) a

(Q) (P)

(R) (Q)

(R) (P)

b(Q)

(Q)(P)

a a

(R)

Nh thế, chủ thể cần xem xét sự vật ấy đã xuất hiện nh thế nào trong lịch

sử, đã trãi qua những giai đoạn phát triển nh thế nào? Từ đó có thể tránh đợc những sai lầm của cách xem xét sự vật một cách "siêu hình", cứng nhắc, bảo thủ…

Ví dụ: Quá trình giới thiệu nội dung hàm số lợng giác của sách giáo khoa

toán phổ thông

+ Chơng trình toán THCS giới thiệu tỉ số lợng giác của góc nhọn với định nghĩa hệ thức lợng trong tam giác vuông, ở đó đã nêu đợc tính chất của tỉ số l-ợng giác là không phụ thuộc vào vị trí đặt các góc mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc, tuy nhiên hạn chế ở đây là định nghĩa phải dựa vào tam giác vuông

Định nghĩa: Trong tam giác vuông ABC

ta có các tỉ số lợng giác sau:

BC

ACcotgA

;AC

BCtgA

AB

ACcosA

;AB

BCsinA

Tỉ số lợng giác của góc α=∠MOx

sinα = y: Tung độ của điểm M

cosα = x : Hoành độ điểm M

B(0;1) M(x;y)

A(1;0) A'(-1;0) O

y

Với định nghĩa này thì đã mở rộng phạm vi góc từ 0 o < α < 90 o đến

o

o α 180

0 ≤ ≤ , giá trị lợng giác của sinα và cosα đợc mở rộng hơn Tuy nhiên góc ở đây cũng là góc hình học 0 o ≤ α ≤ 180 omà trong thực tế góc không phải chỉ giới hạn trong phạm vi đó, nó có thể mở rộng hơn và còn có những góc quay với số đo không nh góc hình học

:

x cosα = Hoành độ điểm M

0) (sinα

; sinα

cosα cotgα

0 cosα

; cosα

1.2 Các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật.

1.2.1 Quy luật chuyển hóa từ những thay đổi về lợng thành những thay đổi về chất và ngợc lại.

Mọi sự vật đều là sự thống nhất giữa lợng và chất, sự thay đổi dần dần về ợng trong khuôn khổ của độ tới điểm nút sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất của sự vật thông qua bớc nhảy; chất mới ra đời tác động trở lại sự thay đổi của lợng

l-x A

B'A'

B M(x;y)

O αy

mới Quá trình tác động đó diễn ra liên tục làm cho sự vật không ngừng phát triển, biến đổi.

Ví dụ 1 Hàm số đồng biến trong khoảng này nhng lại có thể nghịch biến

trong khoảng kia, chẳng hạn hàm số y = x2 sẽ nghịch biến trong khoảng

(−∞;0) và đồng biến trong khoảng (0;+∞)

Khi x nằm trong khoảng (−∞;0) thì hàm số nghịch biến nhng khi x thay

đổi từ chỗ nằm trong khoảng (−∞;0) sang khoảng (0;+∞) (lợng đổi) thì hàm

số từ chỗ là hàm số nghịch biến chuyển sang đồng biến (chất đổi)

Ví dụ 2 Số nghiệm của phơng trình mx2 + (m − 1)x + 3 = 0 phụ thuộc vào

sự thay đổi của giá trị m

Khi m = 0 thì phơng trình là một phơng trình bậc nhất -x + 3 = 0 và phơng trình có một nghiệm duy nhất x = 3

Khi m≠0 (lợng đổi) thì phơng trình là phơng trình bậc hai (chất đổi), khi

đó ta có: Δ = (m − 1) 2 − 12m = m 2 − 14m + 1, số nghiệm của phơng trình phụ thuộc vào ∆ tức là phụ thuộc m

1.2.2 Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập.

Mọi sự vật, hiện tợng đều chứa đựng những mặt, những khuynh hớng đối lập tạo thành những mâu thuẫn trong bản thân nó; sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập là nguồn gốc của sự vận động và phát triển, làm cho cái cũ mất đi và cái mới ra đời thay thế Heghen đã khẳng định: "Mâu thuẫn là nguồn gốc tất cả vận động và của tất cả các sức sống, chỉ trong chừng mực một vật chứa đựng trong bản thân nó một mâu thuẫn thì nó mới vận động, mới có xung lực và hoạt động"

Mặt đối lập là sự khái quát những mặt, những thuộc tính, những khuynh ớng trái ng… ợc nhau trong một chỉnh thể làm nên sự vật và hiện tợng Thống

h-nhất là hai mặt đối lập liên hệ với nhau, ràng buộc nhau và quy định lẫn nhau, mặt này lấy mặt kia làm tiền đề tồn tại cho mình Mâu thuẫn giữa các mặt đối lập nghĩa là các mặt đối lập phủ định lẫn nhau.

Nh vậy, khi xem xét sự vật, chủ thể cần nhận thức rằng trong mọi sự vật hiện tợng đều chứa đựng sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập Nh thế là chủ thể nắm đợc hạt nhân của phép biện chứng, bởi theo Lênin: "Sự phân

đôi cái thống nhất và sự nhận thức các bộ phận của nó, đó là thực chất của…phép biện chứng"

Ví dụ: Chẳng hạn trong tập hợp số nguyên Z thì các mặt đối lập nhau nh

số nguyên âm và số nguyên dơng, phép cộng và phép trừ lại thống nhất với nhau bởi trong tập Z thì đều tồn tại số nguyên âm và số nguyên dơng; phép cộng và phép trừ luôn thực hiện đợc trong Z Còn hai mặt đối lập là phép nhân và phép chia lại mâu thuẫn với nhau vì phép nhân luôn thực hiện đợc trong Z còn phép chia không phải luôn thực hiện đợc trong Z Chính sự thống nhất và đấu tranh này đã dẫn đến việc mở rộng tập hợp số nguyên Z thành tập hợp số hữu tỉ Q

1.2.3 Quy luật phủ định của phủ định.

Sự phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình vận

động và phát triển Nhng phủ định biện chứng không phải là phủ định sạch trơn, bác bỏ tất cả sự phát triển trớc đó mà là nó mang tính khách quan, kế thừa, là

điều kiện cho sự phát triển, nó duy trì và gìn giữ nội dung tích cực của các giai

đoạn trớc, lặp lại một số điểm cơ bản của cái xuất phát nhng trên cơ sở mới cao hơn Do vậy, sự phát triển tiến lên không phải theo đờng thẳng mà theo đờng xoáy trôn ốc

Ví dụ: Khái niệm hàm số đã đợc giới thiệu ở trong chơng trình giáo khoa

toán phổ thông cũng mở rộng theo đờng xoáy trôn ốc ở chơng trình toán bậc tiểu học hàm số đợc giới thiệu ở dạng bảng, tập xác định thờng là tập hữu hạn

Đến chơng trình toán lớp 7 thì khái niệm hàm số đợc giới thiệu một cách khác,

nêu rõ đợc bản chất của hàm số, tuy nhiên vẫn cha đợc định nghĩa một cách đầy

đủ Sau đến chơng trình lớp 10 thì khái niệm và các tính chất của hàm số đợc giới thiệu lại một cách đầy đủ hơn phù hợp với nhận thức của học sinh cũng nhcác nhu cầu của xã hội, của các môn học khác ở đây không phải là kiến thức sau đợc trình bày mâu thuẫn với kiến thức cũ mà là sự chính xác hoá, sự hoàn thiện hơn để nó phù hợp với khả năng nhận thức của đối tợng học sinh

1.3 Các cặp phạm trù cơ bản của phép biện chứng duy vật.1.3.1 Cái riêng và cái chung.

"Cái riêng là phạm trù triết học dùng để chỉ một sự vật, một hiện tợng, một quá trình riêng lẻ nhất định Cái chung là phạm trù triết học dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính chung không những có ở những kết cấu vật chất nhất

định, mà còn đợc lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tợng hay quá trình riêng lẻ khác" Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng mà biểu hiện sự tồn tại của mình, cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đối với cái chung (dẫn theo [2, Tr 228]) Vì vậy chỉ có thể tìm cái chung trong cái riêng, xuất phát từ cái riêng, từ những sự vật, hiện tợng riêng lẻ, không đợc xuất phát từ ý muốn chủ quan của con ngời bên ngoài cái riêng Cái chung là cái sâu sắc, cái bản chất chi phối cái riêng, nên nhận thức phải nhằm tìm ra cái chung và phải dựa vào cái chung để cải tạo cái riêng Do đó, trong quá trình dạy học toán chúng ta cần chú ý xem xét đối tợng toán học trong mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng để tìm ra các định lí, tính chất hay bài toán tổng quát hơn hoặc là để đặc biệt hoá một đối tợng nào đó

1.3.2 Nguyên nhân và kết quả.

”Nguyên nhân là phạm trù chỉ sự tác động lẫn nhau giữa các mặt trong một

sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau, gây ra một biến đổi nhất định nào đó Còn kết quả là những biến đổi xuất hiện do tác động lẫn nhau giữa các mặt trong một sự

vật hoặc giữa các sự vật với nhau gây ra” (dẫn theo [2, Tr 233]) Theo triết học duy vật biện chứng thì mối liên hệ nhân quả có tính khách quan (mối liên hệ nhân quả là cái vốn có của bản thân sự vật, không phụ thuộc vào ý thức của con ngời), tính phổ biến (mọi sự vật, hiện tợng trong tự nhiên và trong xã hội đều có nguyên nhân nhất định gây ra), tính tất yếu (cùng một nguyên nhân nhất định, trong những điều kiện giống nhau sẽ gây ra kết quả nh nhau).

Nguyên nhân và kết quả có mối liên hệ biện chứng với nhau, nguyên nhân

là cái sinh ra kết quả nhng kết quả cũng có ảnh hởng trở lại đối với nguyên nhân Nguyên nhân và kết quả có thể đổi chỗ cho nhau nghĩa là một sự vật, hiện tợng nào đó trong mối liên hệ này là nguyên nhân nhng trong mối liên hệ khác lại là kết quả và ngợc lại

Vì vậy, nhiệm vụ của nhận thức khoa học là phải tìm ra nguyên nhân của những hiện tợng trong tự nhiên, xã hội và t duy để giải thích đợc những hiện t-ợng đó Và trong dạy học chúng ta phải chú ý rèn luyện cho học sinh khả năng nhìn nhận đối tợng toán học trong mối quan hệ nhân quả để tìm ra cách chứng minh định lí hay giải một bài toán một cách không khó khăn

1.3.3 Nội dung và hình thức.

Nội dung là tổng hợp những mặt, những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật Còn hình thức là phơng thức tồn tại và phát triển của sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tơng đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật đó Nội dung và hình thức có mối liên hệ biện chứng với nhau, thống nhất với nhau, nội dung giữ vai trò quyết định đối với hình thức trong quá trình vận động và phát triển của sự vật ngợc lại hình thức cũng có tác động trở lại đối với nội dung Vì vậy, trong quá trình nhận thức không đợc tách rời tuyệt đối hoá giữa nội dung và hình thức, phải đặc biệt chống lại chủ nghĩa hình thức Và trong dạy học toán chúng

ta cũng cần làm cho học sinh thấy rõ mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và

hình thức để học sinh thấy đợc cái bản chất trong đối tợng toán học và từ đó tránh đợc sai lầm trong khi xem xét các đối tợng toán học.

Ngoài những cặp phạm trù nêu trên thì phép biện chứng duy vật còn có các cặp phạm trù nh: ”Bản chất và hiện tợng”, ”Khả năng và hiện thực” , ”Tất nhiên

và ngẫu nhiên”

1.4 Khái niệm t duy

T duy - một khái niệm đợc dùng phổ biến trong đời sống hàng ngày, tuy nhiên rất ít ngời hiểu rõ về khái niệm t duy; sau đây chúng ta hãy xem các nhà nghiên cứu đã định nghĩa về t duy:

Theo từ điển triết học: "T duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất đợc tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận, T duy xuất hiện trong quá trình hoạt động xã hội của con ngời và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại T duy chỉ tồn tại trong một mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt

động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời Cho nên t duy của con ngời đợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói, và những kết quả của t duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho t duy là những quá trình nh trừu tợng hóa, phân tích và tổng hợp, việc nêu những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó Những khái niệm và những hệ thống khái niệm ghi lại kinh nghiệm của loài ngời, là sự tập trung những tri thức của con ngời và là điểm xuất phát để tiếp tục nhận thức thực tại T duy của con ngời đợc nghiên cứu trong những lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phơng pháp khác nhau" Nói một cách ngắn gọn hơn thì t duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan

Theo X L Rubinstêin: "T duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các t liệu cảm tính xuất hiện theo tác động của khách thể".

Theo một quan điểm khác: "T duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản

ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp

nó T duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vợt

xa giới hạn của nó"

"T duy nghĩa là phản ánh hiện thực xung quanh chúng ta nhng không giống nh cách phản ánh của cảm giác hoặc tri giác Các quá trình nói sau phản

ánh những đối tợng và hiện tợng cụ thể tác động đến các giác quan của chúng

ta T duy phản ánh thế giới theo kiểu khác Nó không xem xét một cái bàn viết hay một cái bàn học sinh riêng lẻ, một quyển sách hay một cái bút riêng lẻ mà

là xem xét cả một lớp đối tợng T duy bao giờ cũng mang tính chất khái quát bằng cách nêu bật ra cái bản chất nhất trong các đối tợng và hiện tợng, nghĩa là nêu bật ra cái gì đấy mà nếu thiếu nó thì những đối tợng và hiện tợng ấy sẽ không còn là bản chất của chúng nữa" [1, Tr 150]

1.5 Đặc điểm của t duy.

Từ khái niệm về t duy nh trên thì t duy có những đặc điểm sau đây:

- Tính có vấn đề của t duy: T duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức, t duy là sự vận động từ chỗ cha biết, biết không

đầy đủ, đến chỗ biết và biết đầy đủ

- Tính khái quát của t duy: Khác với nhận thức cảm tính t duy có khả năng

đi sâu vào các sự vật hiện tợng nhằm vạch ra những thuộc tính chung, những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng Vì vậy t duy mang tính khái quát

- Tính gián tiếp của t duy: T duy mang tính gián tiếp, bởi t duy là sản phẩm của quá trình con ngời nhận thức thế giới

- T duy có liên hệ mật thiết với ngôn ngữ: Theo quan điểm của duy vật biện chứng thì t duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau nhng không đồng nhất với nhau, không tách rời nhau Nhờ có ngôn ngữ mà ngay

từ khâu mở đầu quá trình t duy con ngời nhận ra hoàn cảnh có vấn đề, tức là qua trình t duy đã bắt đầu

- T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: T duy

và nhận thức cảm tính thuộc hai mức độ nhận thức khác nhau nhng không tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ, bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức T duy thờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh hoàn cảnh có vấn đề, dù t duy có trừu tợng

đến mấy thì trong nội dung của nó vẫn phải chứa đựng những thành phần cảm tính X L Rubinstêin khẳng định rằng: "Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm thành chỗ dựa cho t duy"

- T duy là một quá trình: Nghĩa là t duy có nảy sinh, có diễn biến và kết thúc Quá trình t duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau:

+ Giai đoạn xác định đợc vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ của t duy Khi gặp một tình huống có vấn đề chủ thể t duy phải ý thức đợc đó là một tình huống có vấn đề đối với bản thân mình, tức là đặt ra vấn đề cần giải quyết; phải phát hiện ra mâu thuẫn chứa đựng trong tình huống có vấn đề, mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái phải tìm

+ Huy động các tri thức và vốn kinh nghiệm có liên quan để làm xuất hiện trong đầu chủ thể những mối liên tởng xung quanh vấn đề cần giải quyết

+ Sàng lọc các liên tởng, gạt bỏ những cái không cần thiết, hình thành giả thuyết về các cách giải quyết vấn đề có thể có đối với nhiệm vụ đang t duy

+ Kiểm tra giả thuyết về cách giải quyết vấn đề từ đó chính xác hóa, khẳng

định giả thuyết hoặc phủ định nó Nếu giả thuyết sai thì phủ định nó để hình thành giả thuyết mới

+ Tiến hành giải quyết vấn đề để đi đến kết quả, kiểm tra lại kết quả

1.6 Khái niệm t duy toán học:

Cụm từ "T duy toán học" đợc sử dụng một cách rất phổ biến, trong dạy học, trong đánh giá kết quả học tập ta vẫn thờng thấy ngời ta sử dụng cụm

từ đó một cách thờng xuyên mà ít ai để ý rằng "T duy toán học" là gì? Các tài liệu cũng không định nghĩa một cách đầy đủ về khái niệm này Trong cuốn "T duy và hoạt động toán học" của tác giả Nguyễn Văn Lộc đã viết:

"T duy toán học đợc hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của t duy biện chứng

trong quá trình con ngời nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác nh kĩ thuật, kinh tế quốc dân Thứ hai,

t duy toán học có các tính chất đặc thù đợc quy định bởi bản chất của khoa

học toán học, bởi sự áp dụng khoa học toán học để nhận thức các hiện tợng của thế giới hiện thực, cũng nh bởi chính các phơng thức chung của t duy mà

nó sử dụng" Các đặc trng của t duy Toán học đó là:

- Khả năng có đợc thông tin khoa học tự nhiên và những kiến thức

- Hình thành đợc các kĩ năng sử dụng các kiến thức khoa học tự nhiên vào thực tế, làm giàu kinh nghiệm sống bằng cách sử dụng trong đời sống hàng ngày về kiến thức, quy luật của tự nhiên; kĩ năng phân biệt các sự kiện và giả thuyết, làm thực nghiệm và kiểm tra kết quả, khái quát chúng trên cơ sở các dữ kiện thực nghiệm

- Những thành phần chủ yếu của t duy toán học:

+ T duy cụ thể: Là t duy trong sự tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tợng, t duy cụ thể có hai hình thái là t duy linh hoạt và t duy không

linh hoạt, hai hình thái này thờng thấy ở các độ tuổi khác nhau của học sinh Chẳng hạn t duy linh hoạt cụ thể thờng thấy ở trẻ em cha đi học hay ở trẻ em ở các lớp đầu cấp.

+ T duy trừu tợng: T duy trừu tợng liên quan và gắn bó với một thao tác t duy mang tên trừu tợng hóa Chúng ta lu ý rằng t duy trừu tợng có đặc trng hai chiều: đặc trng tích cực và đặc trng không tích cực

T duy trừu tợng có thể đợc chia ra các loại hình: t duy phân tích, t duy logic, t duy lợc đồ không gian

+ T duy trực giác: Trực giác, một phơng pháp đặc biệt của nhận thức đợc

đặc trng bởi sự đạt đợc ngay và trực tiếp sự vật

+ T duy hàm: Đợc đặc trng bởi nhiều hoạt động mà những hoạt động ấy phản ánh quan hệ tơng ứng giữa những đối tợng

+ T duy sáng tạo: Là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tợng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa và giá trị

+ T duy biện chứng: Là một dạng t duy, xem xét sự vật hiện tợng trong sự thống nhất và mâu thuẫn, trong sự vận động và phát triển, trong mối quan hệ và phụ thuộc với các sự vật khác

Ngoài các thành phần trên thì t duy còn đợc cấu thành từ các phong cách toán học

* T duy toán học có vai trò to lớn đối với quá trình hoạt động toán học của học sinh: "T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng hớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệ thống các kiến thức và kĩ năng toán học"

1.7 Sự cần thiết và khả năng có thể giáo dục t duy biện chứng cho học sinh trong dạy học toán.

T duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và nhiệm

vụ của ngời thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các đối tợng

và hiện tợng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn và trong sự phát triển

1.7.1 Sự cần thiết phải giáo dục t duy biện chứng cho học sinh.

+ "T duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và

định hớng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trong việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ có ngày thành công và hớng tìm đến thành công là cố nhìn cho đợc mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt", [28, tr 147]

+ Nghị quyết Trung ơng 2 khoá VIII quy định nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục nh sau: "Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây xựng những con ngời và thế hệ làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có

t duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi " Vậy nhiệm vụ của chúng ta là phải rèn luyện và bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh T duy sáng tạo là loại hình t duy đặc trng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phơng diện mới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới, xem xét sự vật hiện tợng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, có giá trị Muốn đạt đợc điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau, nh thế mới giải quyết vấn đề một cách sáng tạo đợc Mặt khác t duy biện chứng đã chỉ

rõ là khi xem xét sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của

nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở để học sinh học toán một các sáng tạo, không gò bó, đa ra đợc nhiều cách giải khác nhau

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện t duy biện chứng cho học sinh hay nói cách khác là rèn luyện t duy biện chứng cho học sinh từ đó có thể rèn luyện đợc t duy sáng tạo cho học sinh.

Ví dụ 1 Cho hàm số: u = y - 2x + 5 Tìm giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất u biết rằng x và y thõa mãn phơng trình: 36x2 + 16y2 = 9 (1)

Trớc hết ta cha nêu ra lời giải bài toán ngay mà nên hỏi học sinh rằng có thể giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo những phơng pháp nào? Điều này đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ, xem xét bài toán một cách tổng quát Chúng ta hãy đặt bài toán trong những mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài toán dới nhiều góc độ khác nhau để tìm ph-

ơng án giải quyết bài toán tối u nhất, sáng tạo nhất

- Đây là bài toán vừa tìm giá trị lớn nhất vừa tìm giá trị bé nhất của một hàm số nên ta sẽ tìm miền giá trị của hàm số u rồi t đó suy ra giá trị lớn nhất

và giá trị bé nhất của hàm số

* Nếu ta xem xét bài toán trong mối liên hệ với bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình có nghiệm thì ta sẽ nghĩ đến việc xem u là tham

số và việc tìm miền giá trị của u ta đa về việc tìm điều kiện của tham số u để

= +

−

9 16y 36x

0 5 2x

y

2

2 (I)

Đây là hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai nên bằng cách rút y theo x từ phơng trình đầu rồi thế vào phơng trình hai ta có: 100x 2 + 64(u − 5)x + 16(u − 5) 2 − 9 = 0 (I')

Hệ (I) có nghiệm khi (I') có nghiệm, tức ta tìm điều kiện để ∆ ' ≥ 0

⇔ 1024(u − 5) 2 − 100[16(u − 5) 2 − 9]≥ 0

4

25u4

15

16

255)

nó có những mối liên hệ nào? Lúc này buộc học sinh phải suy nghĩ, phải đặt bài toán này trong những mối quan hệ khác

* Nếu xem xét bài toán trong mối liên hệ với điều kiện xác định của hàm

số ta thấy rằng 36x2 + 16y2 = 9 ⇔ (6x) 2 + (4y) 2 = 3 2 x) 1

3

4 ( (2x) 2 + 2 =

3 y

cos 2

1 x

Khi đó điều kiện bài toán trở thành: 9(cos2ϕ+ sin2ϕ) = 9

(Khi giá trị của x và y thay đổi dẫn đến u thay đổi, nhng sự thay đổi của x

và y (lợng đổi) thõa mãn (1) thì hàm số u từ một hàm đại số trở thành một hàm lợng giác (chất đổi)

Bây giờ ta có: sin cos 5

Vậy ta có thể giải theo hai cách sau:

Cách giải 3: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để đánh giá biểu thức y - 2x.

Ta biến đổi hàm số đã cho nh sau: )

3

16x4

1(4y5

1(6x)((4y))

3

16x4

3

16x4

16x4

1(4y4

−

⇒

5

4

52x2y54

1(4y − nh là tích các tọa độ tơng ứng của hai cặp (4x;6x) và )

3

1

;4

1( − thì ta thấy bài toán có mối liên hệ với tích vô hớng của hai véctơ Vậy ta có thể giải bài toán nh sau:

Cách giải 4:

3

16x4

1(4y − nh là tích vô hớng của hai véctơ

Khi áp dụng bất đẳng thức ta cũng có kết quả tơng tự cách giải 3

Ta cũng có giá trị bé nhất của u là

đó chọn cách giải tốt nhất

Nhận xét: Đối với cách giải 1 thì chúng ta có thể áp dụng để giải bài toán

tổng quát, với cách này thì mọi bài toán dạng nh trên đều giải đợc, tuy nhiên với cách giải này đã đợc trình bày nh một khuôn mẫu ta chỉ việc áp dụng nó mà thôi nên cách này không có tính sáng tạo Còn các cách giải còn lại ngắn gọn hơn, sáng tạo, hay hơn

2 2

2 a b )

b a

Khi đứng trớc một bài toán chúng ta luôn đặt ra yêu cầu đối với học sinh là xem xét bài toán trong nhiều hoàn cảnh, nhiều góc độ, nhiều mối liên hệ khác nhau nh thế không những đã rèn luyện t duy biện chứng cho học sinh mà đã tập cho học sinh sáng tạo trong mọi tình huống.

Ví dụ 2.

ChứngCho a >minhc;b:> c;c(ac>-0.c) + c(b-c) ≤ ab (1)

Đứng trớc bài toán chứng minh bất đẳng thức điều đầu tiên ta thờng hay làm đó là xem xét mối quan hệ giữa các thành phần trong bất đẳng thức rồi sau

đó xem xét mối liên hệ giữa bất đẳng thức cần chứng minh với các bất đẳng thức đã biết, đã đợc chứng minh và công nhận

Đối với bài toán này ta nhận thấy rằng ở vế trái của bất đẳng thức có mặt cả ba số a, b, c còn ở vế phải không có mặt của c, và với giả thiết của bài toán thì sẽ tồn tại số hạng a - c , b - c , vì vậy vế trái của bất đẳng thức có thể viết thành c a - c + c b - c

Bây giờ ta có thể nhận thấy bất đẳng thức có thể có sự liên quan đến bất

đẳng thức nào? Đó chính là bất đẳng thức Svac-xơ

Cách giải 1

Theo giả thiết:

0c-b

0c-a cb

-a

c

Hay c a - c + c b - c ≤ ab

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh

* Từ điều kiện của bài toán ta thấy rằng các biểu thức sau đây luôn tồn tại:

ab

; c - b

; c - a

; c

Xem xét bài toán trong mối liên hệ giữa đại số và hình học ta thấy rằng từ

đẳng thức cần chứng minh có thể xem các biểu thức c a - c ; c b - c là diện tích của tam giác vuông có các cạnh tơng ứng là: c ; a - c và c ; b - c Khai thác theo hớng này ta sẽ có cách giải bài toán nh sau:

Cách giải 2

Dựng đoạn thẳng BC với H thuộc BC sao cho

c a HC

; c - b

; b

AB

a c a c

HC AH

AC

b c b c

BH AH

AB

2 2

2 2

2

2 2

2 2

= +

=

=

− +

= +

1 AB.AC.sinA

2

1

S

c a c 2

1 c a c 2

1 AH.CH

2

1

S

c b c 2

1 c b c 2

1 AH.BH

( ) ( )

(a - c) c(b c) ab

c

.sinA ab 2

1 c a c 2

1 c b

⇒

=

− +

Nếu nh chúng ta nhìn hình thoi và hình bình hành một cách mâu thuẫn thì điều đó là đúng và không có vấn đề gì nhng nếu ta xem xét vấn đề trong

sự "mâu thuẫn giữa cái chung và cái riêng" của phép biện chứng thì chúng ta

sẽ thấy ngay là có vấn đề Nhận xét trên chỉ đúng khi ta nhìn hình bình hành (cái chung) và hình thoi (cái riêng) một cách mâu thuẫn, còn nêu ta xem hai hình đó thống nhất với nhau thì ta sẽ nghĩ đến điều là nếu hình thoi có tính chất đó thì hình bình hành sẽ có tính chất tơng tự nhng tổng quát hơn và tính chất hai đờng chéo hình bình hành vuông góc với nhau chỉ là trờng hợp riêng của tính chất đó Điều đó thúc đẩy chúng ta đi tìm xem tính chất tổng quát hơn đó là gì?

Giải quyết vấn đề: Để giải quyết vấn đề này chúng ta hãy xem đờng

chéo của hình thoi có gì đặc biệt dẫn đến hình thoi có tính chất đặc biệt đó?

Đó có phải chăng vì hình thoi có các đờng chéo là các đờng phân giác của các góc? Vậy nếu ta xét các đờng chéo của hình bình hành bất kì ta sẽ có

điều gì?

Từ đó ta đa ra đợc tính chất sau: "Trong một hình bình hành giao điểm

của bốn đờng phân giác tạo thành bốn đỉnh của hình chữ nhật".

Chứng minh:

động đến t duy trừu tợng", giúp phân tích các đối tợng và hiện tợng trong những mối liên hệ, biến đổi, mâu thuẫn và phát triển của chúng Nhng tất cả

1

P

NM

BA

những điều ấy chỉ có thể đạt đợc thông qua việc tổ chức hoạt động của học sinh trong giờ" [1, tr 162].

Mặt khác khi nói về vai trò của toán học trong nhận thức khoa học,

ănghen đã viết: "Muốn nhận thức biện chứng và đồng thời duy vật về tự nhiên, cần hiểu biết Toán học và khoa học tự nhiên" [19, Tr 48] Và ănghen

đã cho rằng Toán học là khoa học về hình dạng không gian và quan hệ số ợng của thực tại, Toán học đợc xem nh là một khoa học nghiên cứu những mặt xác định của thế giới hiện thực, có một nguồn gốc hoàn toàn từ thực tế Vì vậy, Toán học không phải chỉ là một lĩnh vực nhất định của tri thức mà còn là một phơng pháp và một dạng nhất định của nhận thức khoa học, nó góp phần xây dựng chính xác các lí thuyết khoa học "Về nguyên tắc thì phạm vi ứng dụng phơng pháp toán học không hạn chế: Tất cả các dạng vận động đều có thể nghiên cứu theo kiểu Toán học" [19, tr 195]

l-Chính vì những lí do trên nên ta hoàn toàn có thể giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua quá trình dạy học toán

Chẳng hạn, ta có thể giáo dục cho học sinh nhận thức quy luật khách quan, toàn diện của t duy biện chứng thông qua việc hớng dẫn học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán, hay nhìn nhận một vấn đề dới nhiều góc độ khác nhau

Ví dụ: Xét bài toán sau đây: "Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác

đó ta dựng các tam giác đều ABC', ACB', BCA' Chứng minh rằng tam giác IJK tạo thành từ các điểm là tâm của các tam giác đều trên là một tam giác đều"

* Đối với bài toán chứng minh một tam giác là một tam giác đều chúng ta phải hớng học sinh nhìn nhận tam giác đều dới nhiều khía cạnh khác nhau để tìm ra các lời giải cho bài toán:

+ Xem tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;

+ Xem tam giác đều là tam giác có ba góc bằng nhau;

+ Tam giác đều là tam giác mà qua phép quay có tâm quay là một điểm bất kì thì sẽ biến thành một tam giác đều

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba cạnh bằng nhau chúng ta

sẽ có hớng chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau:

K

J I

B'

A'

C B

A C'

3bc.cosA3

13

b3c

)60bc.cos(A3

23

b3

cKJ

2 2

2 2

o

+

−+

=

+

−+

=

Cách giải 1:

Chứng minh JI = JK = KI

Trong tam giác AKJ ta có:

KJ2 = AK2+AJ2-2.AK.AJ.cosKAJ

Gọi các cạnh của tam giác ABC lần lợt

là a, b, c thì

3

3bAJ,3

3c

Còn cosKAJ =cos(A+60o )

S3

326

cbaKJ

S3

326

c6

b6

2bc.cosAc

bKJ

2 2 2 2

2 2 2

2 2

+++

=

+++

−+

=

Vì biểu thức KJ2 đối xứng đối với a, b, c nên một cách tơng tự ta có:

2 2

2 JI KI

KJ = = Suy ra KJ = JI=KI hay tam giác IJK đều

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba góc bằng nhau ta sẽ có ớng chứng minh ba góc của tam giác bằng nhau:

h-Cách giải 2: Chứng minh ba góc I, J, K bằng nhau:

Ta vẽ đờng tròn ACB' và CA'B ngoại tiếp hai tam giác ACB' và CA'B, hai

đờng tròn cắt nhau tại C và O

Ta có ∠ AOC = ∠ BOC = 120o Do đó ta có ∠AOB=1200 và đờng tròn ABC' cũng đi qua O

Mặt khác, IJ là đờng nối tâm, OC là dây cung của hai đờng tròn BOC và AOC nên IJ⊥OC

Tơng tự, ta có IK⊥OA Do đó, vì ∠AOB=1200, nên ∠IJK =600 Hoàn toàn tơng tự ta có: ∠JKI=∠KIJ=600

(Nếu O nằm ngoài tam giác ABC ta cũng có cách chứng minh t ơng tự

nh trên)

Vậy ta có tam giác IJK là tam giác đều

* Khi đã nêu đợc hai cách giải của bài toán và nêu nhận xét bây giờ giáo viên yêu cầu học sinh hãy đặc biệt hóa các giả thiết của bài toán để làm sáng tỏ hơn bài toán và có thể tìm ra các bài toán tơng tự

- Trớc hết ta xét trờng hợp đặc biệt đó là khi tam giác ABC suy biến thành

đoạn thẳng tức là ta nhìn đoạn thẳng là một tam giác có hai đỉnh trùng nhau khi

đó ta sẽ có kết quả nh thế nào?

Giả sử tam giác ABC có đỉnh C trùng với đỉnh A

Nhìn vào hình vẽ ta thấy: Dễ dàng chứng minh đợc rằng tam giác AO1O2

là tam giác đều

Vậy ta cũng có kết quả hoàn toàn tơng tự

- Bây giờ ta xét trờng hợp nếu các tam giác

đều đợc dựng về phía trong của tam giác ABC thì

sẽ có điều gì?

Nếu ta nhìn miền trong và miền ngoài của

tam giác trong sự thống nhất thì kết quả là ta cũng

Vậy tứ giác tạo bởi tâm của các hình vuông có tính chất gì tơng tự trên không?

- Học sinh vẽ hình và dự đoán rằng nếu ABCD là hình bình hành thì IKLM

Thật vậy, vì ABCD là hình bình hành nên ta có I và L, K và M đối xứng nhau qua O (O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD), suy ra IKLM là hình bình hành Mặt khác, ta có hai tam giác IBK và IAM bằng nhau (c.c.c) nên

ta suy ra góc KIM là góc vuông Vậy IKLM là hình vuông

Từ cách suy nghĩ trên ta có thể đa ra bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán: Nếu trên các cạnh của một hình bình hành, về phía ngoài

của nó, ta dựng các hình vuông thì tâm của các hình vuông này là các đỉnh của một hình vuông.

* Bằng cách hớng dẫn học sinh tìm các bài toán, tính chất tơng tự nh trên chúng ta đã rèn luyện cho học sinh nhìn nhận mọi vấn đề một cách biện chứng, xem xét các vấn đề một cách khách quan, toàn diện, xem xét chúng trong mối quan hệ "mâu thuẫn và thống nhất" với nhau, luôn xem xét các vấn

đề trong trạng thái vận động chứ không chỉ xem xét chúng trong trạng thái tĩnh

1.7.3 Dạy học định lí nhìn trên quan điểm biện chứng.

Theo "Phơng pháp dạy học toán" - Nguyễn Bá Kim: Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nên tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện t tởng, phẩm chất,

đạo đức Chúng ta thông qua dạy học định lí hoàn toàn có thể rèn luyện cho học sinh có cái nhìn biện chứng đối với các đối tợng của Toán học và từ đó phát triển t duy biện chứng cho học sinh Cũng theo Nguyễn Bá Kim thì việc dạy học các định lí Toán học nhằm đạt đợc các yêu cầu sau đây:

+ Học sinh nắm đợc các hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng,

từ đó có khả năng vận dụng chúng vào các hoạt động giải toán cũng nh giải quyết các vấn đề trong thực tiễn;

+ Học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy đợc chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phơng pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học;

+ Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại đợc chứng minh, nâng đến mức độ biết cách chứng minh, theo yêu cầu của chơng trình phổ thông

Chúng ta muốn học sinh nắm đợc các hệ thống định lí và những mối liên

hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào các hoạt động giải toán cũng nh giải quyết các vấn đề trong thực tiễn thì trong quá trình dạy học định lí chúng ta phải chú ý các biện pháp xem xét các định lí trong các mối liện hệ với các đối tợng, định lí khác; luôn đặt nó trong những mối liên hệ, xem xét nó một cách khách quan, toàn diện để thấy đợc nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó

Khi học sinh tìm tòi phơng pháp chứng minh định lí các em sẽ thấy đợc tầm quan trọng của việc chứng minh định lí đối với Toán học Tuy nhiên muốn

đạt đợc điều đó trong quá trình dạy học định lí giáo viên cần hớng cho học sinh

tự tìm cách chứng minh một định lí (có thể là với những gợi ý của giáo viên) và khai thác định lí dới nhiều hình thức khác nhau, có thể là để thấy đợc những ứng dụng của định lí hoặc là tìm tòi những tính chất tổng quát hơn.

Theo Pietzsch 1980, phơng pháp dạy học định lí phân thành hai con đờng: Con đờng có khâu suy đoán và con đờng có khâu suy diễn và đợc minh họa bằng sơ đồ sau:

Cả hai con đờng dạy học định lí này, trớc hết là gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học, bởi theo logic biện chứng một sự vật hiện tợng tồn tại trong trong những điều kiện nhất định, chúng tồn tại và phát triển theo quy luật của phép biện chứng Mọi sự vật đều luôn vận động và phát triển không ngừng Đối tợng Toán học trong quá trình vận động nhiều khi nó không còn phù hợp với những yêu cầu thực tiễn hoặc là ngay cả trong nội bộ Toán học nữa nên nó phải đợc thay thế bởi một cái mới phù hợp hơn với những nhu cầu đó Vì vậy, sẽ dẫn đến sự suy đoán tìm tòi cái mới

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Suy diễn dẫn tới định lí

Dự doán và phát biểu định lí

Phát biểu định líChứng minh định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Cũng cố định lí

Trong quá trình dạy học định lí sau khi gợi động cơ phát hiện định lí chúng ta có thể có hai cách phát biểu định lí đó là:

+ Theo con đờng có khâu suy đoán chúng ta đi từ một định lí hay tính chất đã biết, chúng ta đặt nó trong mối liên hệ với nhu cầu phát triển và xem xét

nó trong mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng để đa ra dự đoán về một định lí, tính chất mới Chẳng hạn, có thể xem cái đã biết là cái riêng trong cái chung ta

đang cần nghiên cứu và từ đó bằng phép quy nạp không hoàn toàn, khái quát hoá thành một định lí tổng quát hơn Hoặc là từ cái đã biết ta xét mối liên hệ và phụ thuộc với đối tợng ta đang nghiên cứu, xem xét cái riêng tồn tại trong cái đã biết

và bằng cách nghiên cứu trờng hợp suy biến để tìm ra định lí

Bằng cách suy đoán này chúng ta đặc biệt phải chú ý đến việc chứng minh

định lí, bởi đây mới chỉ là những suy đoán, là phép quy nạp không hoàn toàn, chúng ta muốn khẳng định tính đúng đắn của nó thì phải bằng những phép suy luận logíc khẳng định lại nó, tức chứng minh định lí Thông qua dạy học chứng minh định lí chúng ta phải làm cho học sinh thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh định lí Toán học, từ đó hình thành và phát triển năng lực chứng minh định

lí Toán học cho học sinh đồng thời phát triển t duy cho học sinh Vì vậy, dạy học chứng minh định lí không phải là giáo viên chứng minh cho học sinh thấy sự

đúng đắn của định lí mà chúng ta phải gợi động cơ, hớng dẫn những tri thức

ph-ơng pháp cho học sinh thực hiện hoạt động chứng minh, vì những hoạt động trí tụê trớc hết phải có động cơ Phải có những lí do nhất định, những phơng tiện thúc đẩy học sinh tích cực hoạt động hơn trong giờ học, thúc đẩy suy nghĩ và giải quyết các vấn đề Nh thế mới rèn luyện t duy cho học sinh có hiệu quả đợc, bởi hoạt động tập cho học sinh t duy tích cực đó là hình thức rèn luyện t duy biện chứng có hiệu quả

Làm nh thế chúng ta vừa có thể khuyến khích tìm tòi, sáng tạo của học sinh đồng thời giúp học sinh làm quen với việc xem xét các sự vật hiện tợng theo quan điểm biện chứng

+ Theo con đờng suy diễn thì xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, chúng ta xem xét nó trong tất cả các mối liên hệ với những đối tợng khác, xem xét sự vận động và phát triển của nó, dùng suy diễn logic để dẫn tới một kết quả mới, một định lí mới

Sau khi có đợc định lí thì việc vận dụng định lí là một khâu mang tính thực tiễn, thực hiện khâu này trong dạy học định lí giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa của định lí

đối với Toán học nói riêng và ý nghĩa thực tiễn của định lí nói chung

Nh chúng ta đã biết sự vật hiện tợng không phải tồn tại trong trạng thái tĩnh mà chúng luôn vận động và phát triển không ngừng vì vậy khi đa ra một

định lí và chứng minh đợc nó thì không phải là việc nghiên cứu định lí đó đã xong, mà chúng ta còn phải nghiên cứu nó trong những khía cạnh khác nữa Nhấn mạnh điều này V I Lênin viết: "Muốn biết đợc thực sự một đối tợng phải nắm lấy nó, nghiên cứu tất cả các khía cạnh của nó, hết thảy các mối quan hệ và

"mặt gián tiếp" Chúng ta không bao giờ đạt đến điểm ấy một cách hoàn toàn nhng sự đòi hỏi về tính toàn diện ấy sẽ giúp chúng ta tránh đợc sai lầm và cứng nhắc Đó là một Hai là, logic biện chứng đòi hỏi phải xem xét đối tợng trong sự phát triển, sự "tự vận động" và biến đổi của đối tợng " Chẳng hạn khi chứng minh định lí xong chúng ta cho học sinh hoạt động nhận dạng và thể hiện định

lí nhằm mục đích cũng cố định lí và qua đó thấy đợc ứng dụng của định lí vừa

đợc chứng minh Hoặc khi làm việc với một định lí chúng ta quan tâm xem xét

định lí trong mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng để từ định lí đó mở rộng cho trờng hợp tổng quát hơn hay ta đặc biệt hóa một số giả thiết của bài toán để thấy đợc tính chất riêng của một số đối tợng đặc biệt

Ví dụ.

+ Khi dạy định lí trọng tâm: "G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

0 GC

GB

GA + + = " chúng ta mở rộng định lí cho trờng hợp G là trọng tâm của

hệ n điểm A1, A2, ,An ta có GA1+GA2+ +GAn = 0 hoặc ta có thể mở rộng thành bài toán tâm tỉ cự của hệ điểm: "Cho n điểm A1, A2, ,An và n số k1,

k2, , kn mà k1+ k2 + + kn ≠ 0 khi đó có duy nhất một điểm G thõa mãn

0 GA k

ta có tính chất gì? Và đó chính là định lí Pitago các em đã biết

Sau khi tổng quát hóa, đặc biệt hóa định lí chúng ta chú ý hoạt động hệ thống hoá, sắp xếp định lí mới vào hệ thống định lí đã học, để thấy đợc mối liên

hệ giữa định lí mới với các định lí đã học, nh thế học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện hơn đối với định lí đã học, tránh đợc những cái nhìn phiến diện, một mặt khi xem xét định lí đã học và cũng từ đó làm rõ bản chất luôn vận động và phát triển không ngừng của sự vật, hiện tợng

Ví dụ: Sơ đồ hệ thống hóa một số công thức lợng giác [8, Tr 195].

Công thức hạ bậc:

cos2a =

Công thức hạ tính theo cosx =

a 2

y

2 y

x − =

Việc hệ thống lại các định lí tính chất đã học giúp học sinh có một cách nhìn tổng thể hơn về các đối tợng Toán học trong tất cả các mối liên hệ biện chứng với nhau, từ đó có thể phát triển t duy biện chứng cho học sinh.

1.8 Thực trạng giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học ở trờng phổ thông hiện nay.

1.8.1 Thực trạng.

Qua nói chuyện trao đổi và dự giờ một số giáo viên của một vài trờng THPT chúng tôi nhận thấy rằng việc giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua quá trình dạy học cha đợc các giáo viên thực sự chú ý đến, việc này chỉ thấy ở các lớp học mà đối tợng học sinh là những học sinh khá, giỏi Tuy nhiên ở đây giáo viên đặc biệt chú ý đến t duy sáng tạo nhiều hơn Tóm lại tình hình chung về việc giáo dục t duy biện chứng cho học sinh thông qua dạy học Toán là nh sau:

* Trong quá trình dạy học đặc biệt là các tiết ôn tập chơng các giáo viên đã chú ý đến việc hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tợng Toán học nằm rải rác trong chơng ở các tiết luyện tập giáo viên đã khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán Tuy nhiên việc làm này chủ yếu đợc thực hiện

đối với lớp đối tợng học sinh là học sinh từ trung bình khá trở lên chứ đối với học sinh đại trà thì cha đợc chú ý lắm

* Khi dạy các kiến thức Toán học (theo chơng trình sách giáo khoa cũ), một

số giáo viên chỉ áp đặt giới thiệu các kiến thức chứ rất ít quan tâm đến quá trình hình thành và lịch sử phát triển của kiến thức đó ở các lớp dới đã học