Giải thuyết ABC và siêu mặt phẳng hypebolic brody p adic

Trờng đại học vinhkhoa toán Phan Đức tuấn giả thuyết "abc" và siêu mặt hyperbolic brody p- adic vinh - 2002 mở đầu Sự phát triển của số học, đặc biệt là trong những thập niên gần đ

Trờng đại học vinh

khoa toán

Phan Đức tuấn

giả thuyết "abc"

và siêu mặt hyperbolic brody p- adic

vinh - 2002

mở đầu

Sự phát triển của số học, đặc biệt là trong những thập niên gần đây,chịu sự ảnh hởng rất lớn của sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức Nói cáchkhác, khi có giả thuyết nào đó cha chứng minh đợc đối với các số nguyên, ng-

ời ta cố gắng chứng minh sự kiện tơng tự cho các đa thức

Vào năm 1983, R.C.Mason đã phát hiện ra một định lý rất đẹp về các

đa thức, từ đó ông đã đa ra một chứng minh đơn giản của định lý Fermat cho

đa thức Định lý Mason và sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức đã gợi ý chogiả thuyết sau đây

Giả thuyết "abc" Giả sử a,b,c là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau

và thỏa mãn hệ thức a+b = c Khi đó, với mọi   0, tồn tại hằng số C sao cho





) , , (

trong đó  

abc p p N

/ là tích các ớc nguyên tố phân biệt của abc.

Tơng tự nh định lý Mason, từ giả thuyết "abc" có thể suy ra định lý

Fermat tiệm cận: với n đủ lớn, phơng trình Fermat không có nghiệm nguyên.

Nh vậy, sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức đã mở ra một con đờng có nhiều

hy vọng đi đến chứng minh định lý Fermat Tuy nhiên chứng minh giả thuyết

"abc" là một công việc không đơn giản Do đó, trớc hết ngời ta cố gắng

nghiên cứu sự thể hiện của giả thuyết "abc" trên trờng hàm Vào năm 2001, hai nhà toán học Hu và Yang đã chứng minh giả thuyết "abc" cho các hàm

chỉnh hình p-adic Gần đây, Vũ Hoài An và Đoàn Quang Mạnh đã phát biểu

và chứng minh giả thuyết "abc" đối với các hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến

nh là một sự mở rộng của định lý Hu -Yang

Tiếp tục hớng nghiên cứu trên, trong khoá luận này, chúng tôi nghiên

cứu đề tài "Giả thuyết "abc" và siêu mặt hyperbolic Brody p-adic "

Khoá luận đợc chia làm hai chơng cùng với phần mở đầu, kết luận vàtài liệu tham khảo

Trong chơng 1, ở phần đầu chơng chúng tôi giới thiệu định lý Mason vàứng dụng của nó trong việc tìm ra các tơng tự số học của một số giả thuyết nổitiếng Kết quả chính của chơng 1 đó là định lý Mason suy rộng

Chơng 2 dành cho việc nghiên cứu định lý kiểu Hu - Yang và ứng dụngcủa nó trong việc nghiên cứu không gian hyperbolic Brody p-adic Kết quảchính của chơng 2 là định lý kiểu Hu - Yang Từ định lý kiểu Hu - Yangchúng tôi mở rộng đợc bổ đề Borel p-adic và bổ đề Masuda- Noguchi p-adic.Cũng từ định lý kiểu Hu- Yang chúng tôi đa ra đợc một tiêu chuẩn về tính suybiến của đờng cong chỉnh hình và xây dựng một số siêu mặt hyperbolicBrody p-adic Có thể nói định lý kiểu Hu - Yang mở ra một hớng nghiên cứumới về tính suy biến của đờng cong chỉnh hình và không gian hyperbolicBrody p-adic Theo hớng nghiên cứu này, trong chơng 2 chúng tôi đã chỉ ramột số lớp các siêu mặt hyperbolic đợc xây dựng bởi các nhà toán học MaiVăn T, Hà Huy Khoái, Masuda và Noguchi với số mũ nhỏ hơn

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại họcVinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Thành Quang Nhân dịpnày tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới các thầy côgiáo trực tiếp giảng dạy, Tiến sĩ Ngô Sĩ Tùng, Tiến sĩ Mai Văn T, Tiến sĩ LêQuốc Hán và các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Đại số, đặc biệt là Tiến sĩNguyễn Thành Quang, đã dành rất nhiều thời gian và lòng nhiệt tình giúp đỡtác giả hoàn thành luận văn này

Chơng 1

Định lý Mason suy rộng

1.1 Định lý mason và các giả thuyết số học

Trong mục này, chúng tôi sử dụng định lý Mason để tìm một số tínhchất số học của đa thức

Trớc hết, ta thấy rõ giữa tập các số nguyên và tập các đa thức có nhữngtính chất rất giống nhau Ta để ý đến sự tơng tự giữa phân tích ra thừa sốnguyên tố và phân tích đa thức bất khả quy Nếu giả thiết k là trờng đóng đại

số thì mỗi đa thức f (x)k [ x ] có thể phân tích dới dạng

p 1  2  2 1

trong đó p i(x) x a1 ,a i k

Nh vậy, có thể thấy rằng, trong sự phân tích bất khả quy và phân tích rathừa số nguyên tố, các nghiệm của đa thức tơng ứng với các ớc nguyên tố của

số nguyên Do đó số các nghiệm phân biệt của đa thức có vai trò tơng tự nh

số các ớc nguyên tố phân biệt của số nguyên Từ nhận xét đó ngời ta đi đến

0 a

a p

p

/

Ta sẽ thấy rằng, sự tơng tự trên đây cùng với tính chất của đa thức gợi ýmột con đờng nhiều hy vọng để đi đến chứng minh định lý Fermat Năm

1983, R.C Mason đã chứng minh một định lý rất đẹp sau đây về các đa thức

1.1.2 Định lý Mason Giả sử a(t),b(t),c(t) là các đa thức với hệ số phức không đồng thời là hằng số, nguyên tố với nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức a(t) b(t) c(t) Khi đó, nếu ký hiệu n 0 (f) là số nghiệm phân biệt của đa thức f, thì ta có

max dega, degb, degc n0(abc)  1.

Định lý Mason cho ta một chứng minh đơn giản của định lý Fermat trêncác đa thức hệ số phức

1.1.3 Định lý Fermat trên các đa thức Không tồn tại các đa thức

Chứng minh Giả sử các đa thức a,b,c thỏa mãn phơng trình nói trên Rõ

ràng số nghiệm phân biệt của đa thức a n b n c n không vợt quá dega degb degc

áp dụng định lý Mason, ta có :

1 deg deg

deg dega a b c

Viết bất đẳng thức trên với b, c rồi cộng từng vế ba bất đẳng thức, ta

đ-ợc :

3 ) deg deg

(deg 3 ) deg deg

Ta có mâu thuẫn nếu n 3

Định lý Mason và sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức đã gợi ý cho

1.1.4 Giả thuyết "abc" (esterle, 1986) Giả sử a,b,c là các số

nguyên, nguyên tố cùng nhau, và thỏa mãn hệ thức abc Khi đó, với mọi

Hoàn toàn tơng tự nh trên, từ giả thuyết "abc" ngời ta có thể suy ra

định lý Fermat tiệm cận: với n đủ lớn, phơng trình Fermat không có nghiệm

nguyên.

Trớc khi phát biểu và chứng minh các tơng tự số học của một số giả

thuyết khác trên các đa thức, ta chứng minh bổ đề sau

1.1.5 Bổ đề Giả sử a,b,c là các đa thức nguyên tố cùng nhau, không

Chứng minh Vì d1 ,d2 , d3 lần lợt là bội nhỏ nhất của các nghiệm của

các đa thức a, b, c , nên ta có



a

deg d n (a),

c b a

c n b n a

0

c b a

abc n

Theo định lý Mason ta có

) ( ) deg deg

1.1.6 Nhận xét Nếu a , b , c là các đa thức hệ số phức nguyên tố cùng

nhau sao cho a(t) b(t) c(t), và bất đẳng thức sau đợc thực hiện

1.1.7 Tơng tự số học của giả thuyết Erdos - Mollon - Walsh.

Ta nói số nguyên n là số lũy thừa nếu nó thỏa mãn điều kiện: Nếu p là

ớc nguyên tố của n thì p2 cũng là ớc của n

1.1.7.1 Giả thuyết 1 (Erdos - Mollon - Walsh) Không tồn tại một bộ

ba số lũy thừa liên tiếp

Cho đến nay, giả thuyết này đã đợc kiểm tra với mọi bộ ba số nguyênliên tiếp nhỏ hơn 260 Đối với các đa thức, một giả thuyết tơng tự nh vậy đợckhẳng định bởi định lý

1.1.7.2 Định lý (tơng tự giả thuyết1) Nếu mỗi nghiệm của các đa

Đối với các đa thức hệ số phức giả thuyết tơng tự đợc khẳng định bởi

định lý sau

1.1.7.4 Định lý (tơng tự giả thuyết 2) Phơng trình xyz chỉ có nghiệm tầm thờng trong tập hợp các đa thức hệ số phức, nguyên tố cùng nhau

và mọi nghiệm của nó có bội ít nhất là 3.

Chứng minh áp dụng nhận xét 1.1.6 với a x,by,cz và d1 = d2

= d3 = 3 ta có x,y,z là hằng số.

1.1.8 Tơng tự số học của giả thuyết Fermat suy rộng.

1.1.8.1 Giả thuyết Fermat suy rộng Với các số nguyên dơng  ,m, n

Nh là một kết quả tơng tự , ta có

1.1.8.2 Định lý Phơng trình Ax By m Cz n không có nghiệm trong tập hợp các đa thức hệ số phức, khác hằng số, nguyên tố cùng nhau, nếu

1.2.1.1 Định nghĩa Bậc của một phân thức 0

) (

) ( )

x g

x f x

(iii) deg ( 1 2)  maxdeg 1, deg 2

Giả sử (x)là một phân thức ,với mỗi a ℂ, viết (x) dới dạng

)

(x

 = ( x a)k

) (

) (

1

1

x g

x f

trong đó f1(x) và g1(x) là các đa thức nguyên tố cùng nhau và không nhận a

a a x f

f  ( )  0 1    là một đa thứctrên trờng số phức ℂ Ta gọi đạo hàm của f , ký hiệu là f' , là đa thức sau

i) (  )     ,

f g g f fg

ii) ( )     

f f n f iii) ( n)   n1 

Ta nói f (k) là đạo hàm cấp k của đa thức f, với  

 ( 1)

) (k f k

) (

) (

x g

x f

với f (x), g (x) không có

nghiệm chung và không nhận a làm nghiệm Ta có

 )

( ' )

( (

x g

x g x f a x x g x f a x x

Do rd a(g(x))  0 và rd a (mf(x)  (x a)f' (x) )g(x)  (x a)f(x)g' (x)  0,nên rd a  ' (x)m 1 Do đó

) (

'

'' '

k k

) (

k k

) (

) ( ) ( ) (

2

1

1

x f

x f a x x

) (

2

1

x g

x g

trong đó f1, f2,g1,g2 không nhận a làm nghiệm Đặt k min (k1,k2)

Ta có

) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(

2 2

1 2 2

1

x g x f

x g x f a x x g x f a x a x x g x

f

k k k

1 ( 2 ) 1 ( 1

2 1

2 1

1

'

' '

, , )

n

n n

f f

f

f f

f

f f

f f

f W f

n f f

f f

f

f



0

) 1 ( 1

1

) 1 (

n n

n

f f

f f

n n

n n n

f f

f f

f f f

f f

f L

) 1 ( 1

) 1 ( 1 1 1 1

.

.

.

1 1 )

, , (

n n

n n n

i

f f

f f

f f f

f f

f

L

) 1 ( 1

) 1 ( 1 1 1 1

0

.

0

1 1 1

) , ,

1.2.2 Định lý Mason suy rộng Giả sử f1, f2, , f n là các đa thức hệ

số phức, nguyên tố cùng nhau sao cho f1 , f2 , , f n 1 độc lập tuyến tính, và

thỏa mãn hệ thức

f1  f2    f n  0 Khi đó

2

) 1 )(

2 ( ) ( )

2 ( ) (deg max

1

0 1

n n

i

i i

n

Chứng minh Giả sử  1 , , n1 là n 1 chỉ số phân biệt của tập các chỉ số 1 , 2 , , n

Do f1  f2    f n  0nên f1, , fn1   f1 , , f n1

) 1 2 2 1 ( )

1

(   

trong đó f1 , , f n1 là Wronskian của các hàm f1, , f n 1

) 2 ( 1 )

2 ( 2 ) 2 ( 1

1 2

1

1 2

1

1 1

.

'

' '

, , )

n

n n

f f

f

f f

f

f f

f f

f f

f   ≢ 0

Đặt P (t) =

1 2

1

1 2

1

,

, ,

f f

1

2 1

,

, ,



n

n f f

f

f f f

Suy ra f n(t)   (t) Q(t).Do đó deg f n  degP degQ,

i

f n n

Q

1

0 ( ) )

2 (

là một nghiệm bất kỳ của Q (t), suy ra a là một nghiệm của 



n

i i

f

Do f1 , f2 , , f n nguyên tố cùng nhau nên tồn tại i0, 1 i0 n sao cho f i0(a)  0 Giả sử  1 ,  2 , , n1 là n 1 chỉ số còn lại , từ (1.2.2.1) suy ra

)

(t

, , ,

0 1 2

1

1 2

f f

f

f f f

i

n n

1

1 2

1

,

, ,

f f

2 1

1

1 1 2

2 1

1

) 2 (

) 2 (

) 2 (

.

.

.

.

' '

'

1

1 1

f f f

f f

f

f f f

f f

f t

R

n n

) 2 ( 2



n

i i

n n i i

f f

f f





với 1i1, i2, , i n n , (ɣ   1)

Giả sử rằng số hạng ɣ

2 1 1

) 2 ( 2

n n i i f f

f f





chứa tất cả các f i mà f i (a)  0 theo mệnh đề 1.2.1.4 thì

i

n i i

f rd f

f

f f rd

) 2 (

n

n

i

n i

k

i

k k i

) 2 ( 2

'

n

i i

n n i i a

f f

f f rd

a k f

1 1 )

2 (

0 ) (

áp dụng mệnh đề 1.2.1.7 suy ra

) 2 ( )

a k f

1

1

0 ) (

a k f

1

1

0 ) (

i

f n n

t Q

1

0 ( ) )

2 ( ) (

Bây giờ ta chứng minh

2

) 1 )(

2 ( deg   n n

1 ) 2 (

1 2

) 2 (

2 1

) 2 (

1

1 1 2

2 1

1

' '

'

1

1 1

) (

n

n n

f f f

f f

f

f f f

f f

t P

2 1 1

) 2 (

f f

2 1

2

) 2 (

'' '

f f

2 ( ) 2 ( )

2 ( ) 1 (          n n

2 ( )

( degP t   n n

2 ( ) ( )

2 ( deg

1 0

2 ( ) ( )

2 ( ) (deg

max

1 01

n n

i n

1.2.3 Hệ quả Giả sử f1,f2,  ,f n là các đa thức nguyên tố cùng nhau

sao cho f1 , f2 ,  , f n 1 độc lập tuyến tính và f1 f2  f n  0 Khi đó

2

1 1 1

1

2

1 d  d n

trong đó d1,d2,  ,d n lần lợt là bội nhỏ nhất của các nghiệm của f1,f2,  ,f n

Chứng minh Từ giả thiết của định lý, ta có:

n i f f

n

d i 0( i)  deg i   1 , ,hay

) deg(

) (

Do đó

) (deg max

) ( 1

1 1 0

n i

n i

i n

f n

i i

1.2.4 Hệ quả Giả sử f1 , f2 ,  , f n là các đa thức nguyên tố cùng nhau

và f1 f2   f n = 0 Khi đó f1 , f2 ,  , f n1 phụ thuộc tuyến tính nếu bất đẳng thức sau đây đợc thỏa mãn

1 1 1

1

2

1 d  d n

với d1,d2,  ,d n là bội nhỏ nhất của các nghiệm của f1, f2,  , f n

Chứng minh Giả sử ngợc lại f1 ,f2 ,  ,f n độc lập tuyến tính, áp dụng hệ

hyperbolic brody p-dic

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị.

2.1.1 Trờng các số p- adic Giả sử p là số nguyên tố cố định Định lý

Ostrowski khẳng định rằng chỉ có hai cách trang bị chuẩn không tầm thờngcho trờng các số hữu tỉ ℚ Mở rộng theo chuẩn giá trị tuyệt đối ta đợc trờng sốthực ℝ Mở rộng theo chuẩn p- adic ta đợc trờng ℚP

Ký hiệu ℂp = ℚP là bổ sung đầy đủ của bao đóng đại số của ℚP Ta gọi

(a

D r z  ℂp : z a r, ,

) 0 (

r

) 0 (

Một chuỗi lũy thừa p-adic hội tụ trên ℂp đợc gọi là một hàm chỉnh hình

hay hàm nguyên p-adic trên ℂ p

n n

a z

Giả sử (x) là hàm phân hình, đợc định nghĩa bởi (x)=

) (

) (

x g

x f

) ( ) (

1

1

x g

x f a

) ,

2.1.7 Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic

Giả sử f (z)là hàm chỉnh hình p-adic đợc cho bởi chuỗi thừa hội tụ

n

n z a z

, (

0

Giả sử (x) là hàm phân hình,

) (

) ( ) (

x g

x f

x 

 trong đó f (x) và g (x)làhàm chỉnh hình không có không điểm chung

2.1.7.2 Định nghĩa Độ cao của hàm phân hình

) (

) ( ) (

x g

x f

) ( ) (

z g

z f

) (

k





2.1.8 Hàm đếm của hàm nguyên p - adic

Giả sử f là hàm nguyên p- adic, biểu thức



a

t a v t

f

N( , ) ( ( ) ) ( t ℝ)

đợc gọi là hàm đếm của hàm nguyên p- adic f , trong đó tổng trên đợc lấy

trên mọi không điểm a của f (tính cả bội) mà v(a) t

Nhận xét Hàm N(f,t)là hàm đếm các không điểm của f trong đĩa

đóng D r và t   logr Thật vậy, ta có v(a)   loga , khi đó

log a

r log )

, (

r D a 0

rd t

r f rd a

r f

rd t

f N

r D a

a ) log log 0

( )

2.1.9 Hàm đếm mức k của hàm nguyên p-adic

Với mỗi số nguyên dơng k , ký hiệu N k(f,t) là tổng trong định nghĩa

2.1.8 sao cho mỗi không điểm của f đợc tính cả bội nếu bội của nó nhỏ hơn

k và bằng k trong trờng hợp ngợc lại Chúng ta gọi N k(f,t) là hàm đếm

mức k của hàm nguyên p- adic f

Ký hiệu N(f,t) N1(f,t),ta dễ dàng nhận đợc các kết quả sau (xem [2])

2.1.9.1 Mệnh đề Giả sử f , g là các hàm nguyên p-adic, k là số nguyên dơng, ta có N(f,t) N k(f,t) k N(f,t)

2.1.9.2 Mệnh đề Giả sử f là một hàm nguyên p-adic sao cho mỗi không điểm của nó đều có bội nhỏ nhất là d ( d 0 ) Thế thì ta có

) , ( )

, (f t d N f t

2.1.10 Định nghĩa Giả sử

) (

) ( ) (

z g

z f

z 

 là hàm phân hình p- adic ,

hàm đếm của hàm phân hình p-adic  đợc xác định bởi

) , ( ) , ( ) ,

2.1.11 Mệnh đề (xem [2] ) Với mỗi hàm phân hình p- adic  trên

, (

) (



kt t N

điểm chung trên ℂp Hai bộ ( n 1 ) hàm nguyên ( f 1 , , f n1) và (g 1 , ,g n1)

là tơng đơng với nhau khi và chỉ khi tồn tại  ℂ*

p sao cho g i   f i vớimọi i  1 , 2 ,  ,n 1 Khi đó ta đồng nhất f với một biểu diễn bất kỳ của nó

và viết

: ) , ,

2 ( ) , ( 2

3 )

, ( max

n t f

i

i n

Chứng minh

1 2

1

, , ,

) (

f f

f z

P

1 2

1

2 1 , , ,

) (

f f f z

Q

trong đó f1 , , f n1 là Wronskian của các hàm f1 , f2 , , f n1

W (f)  f1 , , f n1 =

) 2 (

1 )

2 (

2 )

2 (

1

1 2

1

1 2

1

'

' '

n

n n

f f

f

f f

f

f f

i t f N

k n t Q N

1

) , ( 2

3 )

, (

Thật vậy, giả sử a là một không điểm của Q (z), suy ra a là một

không điểm của hàm i

n i

1

1 2 1

1 1

2 1

i n

f f

f

f f f f

f

f f f t Q

n n

1

1 2

1

,

, ,

f f

2 2

1 1

1 1

2 2

1 1

) 2 (

) 2 (

) 2 (

.

' '

'

1 .

1 1

f f f

f f

f

f f f

f f

f z

R

n n

ɣ

2 1 1

) 2 ( 2

n n i i f f

f f

) 2 ( 2

n n i i f f

f f





chứa tất cả các f i mà f i (a)  0 Giả sử có phàm f i sao cho f i (a)  0 Từ giả thiết của định lý suy ra p  k

i

n i i a

f

f rd f

f

f f rd

n

n

i

n i

a f

f rd

p k n p

n p p n n

3 )

1 ( )

3 ( )

2

Suy ra rd a

2 1

2 1

n i i

f f

f f

1 2

1 2

1 2

3 ) )

a

f i n a

a

i

k n z R rd z Q

) 2

3 ) )

a

f i n a

i

t a v k n t a v Q rd

Bất đẳng thức trên đúng với mọi a là không điểm của Q (z) Theo địnhnghĩa hàm đếm của hàm phân hình, ta có:

) , ( 2

3 )

, (

1

t f N

k n t Q

2 ( ,t  n n t

P N

Thật vậy, ta có

) 2 (

) 2 (

) 2 (

1

1 2

1

1 2

.

.

.

.

' '

'

1

1 1

n

n

f f

f

f f

f z

P

n



