Giải các bài toán dao động cưỡng bức bằng phương pháp số phức

Bên cạnh đó, ứng dụng số phức trong việc giải các bài toán dao độngcỡng bức còn cha đợc nhiều ngời quan tâm vì các bài toán rất đa dạng,các phơng pháp cũ còn tỏ ra có hiệu lực, đặc biệt

gi¸o viªn híng dÉn :NguyÔn ViÕt Lan

sinh viªn thùc hiÖn: TrÞnh V¨n §¹o

Líp: 40A 2 - vËt lý

Vinh, th¸ng 5 -2003

Lời nói đầu

Chúng ta đã biết tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệmnhng muốn trình bày nhng định luật định lợng của vật lý học một cáchchính xác ta phải dùng phơng pháp toán học, nhờ có toán học, vật lý học

đợc phát triển một cách nhanh chóng cả bề rộng lẫn bề sâu và ngày naytrong vật lý học không thể thiếu đợc linh hồn của toán học

Sự ra đời của số phức đã giúp vật lý học phát triển một cách tột

bậc, các học thuyết vật lý mới, hiện đại đợc ra đời trong đó có cơ học l“cơ học l ợng tử”, chính số phức đã đáp ứng đợc nguyên lý quan trọng của cơ học

-lợng tử, nguyên lý chồng chập trạng thái, và đợc dùng mô tả hàm sóngcủa các vi hạt Mặt khác số phức còn đợc sử dụng rộng rãi trong một sốlĩnh vực vật lý khác nh trong điện kỹ thuật, biểu diễn phơng trình dao

động…, hơn nữa các phép tính trên tr, hơn nữa các phép tính trên trờng số phức đôi khi tỏ ra khá đơngiản Một số hiện tợng trong trờng số thực có thể đợc giải thích một cách

rõ ràng nếu xét nó trong trờng số phức

Vật lý là một môn học có rất nhiều bài tập và việc giải các bài toán

ấy rất quan trọng Nó giúp ta củng cố khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹnăng, kỹ xảo, phát triển t duy và đôi khi còn dẫn đến một chân lý mới từnhững vấn đề nào đó Số phức đã đợc ứng dụng để xây dựng nên lýthuyết vật lý ở một số lĩnh vực, thì việc ứng dụng nó để giải các bài toánvật lý trong nhiều trờng hợp cho ta kết quả hết sức mĩ mãn

Có rất nhiều bài toán về dao động cỡng bức đợc đặt ra nh các bàitoán dao động cơ cỡng bức, dao động điện cỡng bức Trong đó ta bắt gặpmột số bài toán mà khi sử dụng các phơng pháp giải thông thờng bằnghình học trên trờng số thực gặp nhiều khó khăn và phức tạp Công thức

sin (cos) trong các bài toán dao động sang một dạng mới, đó là dạng phức

mà đôi khi việc tính toán trên dạng phức tỏ ra đơn giản hơn rất nhiều

Bên cạnh đó, ứng dụng số phức trong việc giải các bài toán dao độngcỡng bức còn cha đợc nhiều ngời quan tâm vì các bài toán rất đa dạng,các phơng pháp cũ còn tỏ ra có hiệu lực, đặc biệt số phức và ứng dụng sốphức còn là vấn đề mới đối với nhiều ngời

Xuất phát từ yêu cầu cần giải các bài toán về dao động cỡng bức vàtác dụng lớn lao của số phức trong vật lý nh đã nêu ở trên mà tôi có ý t-ởng nghiên cứu một cách chi tiết phơng pháp sử dụng số phức để giải cácbài toán dao động cỡng bức, từ đó cho thấy khả năng tối u của phơng

pháp này Tôi đã chọn đề tài Giải các bài toán dao động c“cơ học l ỡng bức bằng phơng pháp số phức” Đề tài này chủ yếu nghiên cứu các vấn đề sau:

1 Trình bày tóm tắt lý thuyết về dao động cỡng bức và tính chất của

Chơng i

dao động

1.1 Dao động tuần hoàn và dao động điều hoà.

1.1.1 Dao động:

Dao động là một dạng chuyển động rất thờng gặp trong đời sống và

kỹ thuật, ví dụ: Dao động của dây đàn khi gãy, dao động của con lắc

đồng hồ, dao động của dòng điện trong mạch…, hơn nữa các phép tính trên tr nói một cách tổng quátdao động là chuyển động đợc lặp đi lặp lại nhiều lần theo thời gian

Quan sát một hệ dao động, con lắc chẳng hạn, ta thấy nó có các tínhchất tổng quát sau:

a Hệ phải có một vị trí (trạng thái) cân bằng bền và dao động qua

lại hai bên vị trí đó

b Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền luôn xuất hiện tác động kéo hệ

về vị trí cân bằng bền

c Khi hệ chuyển dời đến vị trí cân bằng do quán tính nó tiếp tục v ợt

qua vị trí cân bằng, trong dao động cơ học quán tính đặc tr ng ở khối lợngcủa hệ còn trong dao động điện quán tính đặc trng ở độ tự cảm của mạch.Trong khuôn khổ luận văn này ta chỉ xét đến các dao động cơ và dao

động điện

1.1.2 Dao động tuần hoàn:

Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của hệ

đợc lặp lại nh cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau

Khoảng thời gian T ngắn nhất sau đó trạng thái chuyển động của hệlặp lại nh cũ gọi là chu kỳ của dao động tuần hoàn

1.1.3 Dao động điều hoà:

1.1.3.1 Định nghĩa:

Dao động điều hoà là một quá trình chuyển động hoặc biến đổi trạngthái, trong đó giá trị của một số đại lợng vật lý đặc trng cho hệ biến đổitheo thời gian theo định luật dạng Sin (hoặc Cosin)

Phơng trình dao động điều hoà có dạng:

(t ) là arcgumen của x (arg x).

1.1.3.2 Tổng hợp hai dao động điều hoà:

Xét hai dao động điều hoà cùng phơng, cùng tần số và có phơngtrình dao động dạng: x1 A1sin(  t 1)



x2 ↔ x A e j t  2 A e j 2.e jt

2 ) ( 2



x ↔ j t j j t

e e A e

A

.

) (

Hay: Acos + jAsin = A1(cos1+jsin1) +A2(cos2+jsin2)

Suy ra: 2 2 1 2cos( 2 1)

2 2

1     

A

2 2 1 1

2 2 1 1

cos cos

sin sin

A A

Khi nghiên cứu dao động điều hoà của một hệ chúng ta chú ý rằngtần số và biên độ của chúng là những đại lợng không biến đổi theo thờigian, nghĩa là các dao động sẽ lặp đi lặp lại mãi mãi không ngừng Thực

tế cho thấy rằng, dao động của một vật, một hệ cơ học hoặc điện từ thậmchí dao động của nguyên tử, phân tử không bao giờ hoàn toàn điều hoà.Trong các quá trình dao động đó biên độ và năng lợng dao động của hệkhông giữ nguyên mà giảm dần theo thời gian rồi ngừng lại Sở dĩ có điều

đó vì luôn có các tác động cản trở hệ trong quá trình dao động, với dao

động cơ học tác động đó là lực cản của môi trờng, còn với dao động điệntác động đó là sự toả nhiệt trên điện trở thuần của mạch

Dao động của hệ đợc xét ở trên gọi là dao động tắt dần

1.2.2 Dao động cỡng bức:

Trong quá trình dao động tắt dần, hệ dao động chỉ nhận đợc năng ợng ban đầu sau đó năng lợng này giảm dần, để làm cho dao động khôngtắt dần cần phải bù cho hệ phần năng lợng đã mất, cách đơn giản nhất là

l-đặt vào hệ một tác động ngoại biến thiên tuần hoàn, đó là ngoại lực biếnthiên tuần hoàn đối với dao động cơ và là nguồn điện xoay chiều đối vớidao động điện, khi đó ta có dao động cỡng bức

Dao động cỡng bức là dao động xẩy ra dới tác dụng của tác độngtuần hoàn bên ngoài có tần số f bất kỳ Các phép tính toán lý thuyết đãdẫn đến kết quả nh sau: Trong thời gian đầu t nào đó, dao động của hệ

là một dao động phức tạp, đó là sự tổng hợp của dao động riêng tắt dần

và dao động do tác động tuần hoàn gây ra Sau thời gian t, dao độngriêng của hệ tắt hẳn chỉ còn dao động do ngoại tác động gây ra, đó là dao

động có tần số bằng tần số của ngoại tác động, có biên độ phụ thuộc sựquan hệ giữa tần số của ngoại tác động với tần số dao động riêng của hệ Khi nghiên cứu dao động cỡng bức ta chỉ khảo sát dao động khitrạng thái dao động đã ổn định, sau thời gian t

1.1.2.1 Dao động cơ cỡng bức:

a Khi ta tác dụng ngoại lực biến thiên tuần hoàn lên cơ hệ, con lắc

lò xo chẳng hạn, thì cơ hệ bắt đầu dao động Thực nghiệm chứng tỏ rằnglúc đầu dao động của hệ khá phức tạp, nó là chồng chất của hai dao động:Dao động riêng tắt dần do tác động lực cản của môi trờng và dao động c-ỡng bức dới tác dụng ngoại lực tuần hoàn Sau thời gian đủ lớn dao độngtắt dần coi nh không còn nữa chỉ còn dao động cỡng bức có tần số bằngtần số của ngoại lực tuần hoàn

b Phơng trình của dao động cơ cỡng bức:

Xét cơ hệ là con lắc lò xo, lực tác dụng lên quả cầu con lắc bây giờgồm: Lực kéo về Fđ = - kx, lực cản của môi trờng Fc = - rv và ngoại lựctuần hoàn: Fn = Hcost

Đặt

m

r m

Đặt vào hai đầu đoạn mạch R, L, C ghép

nối tiếp một nguồn điện xoay chiều, trong

mạch ta sẽ có dao động điện từ cỡng bức



 

b Phơng trình của dao động điện từ cỡng bức:

Khi ổn định dao động điện từ cỡng bức trong mạch có dạng:

Ta hãy trở lại dao động cơ cỡng bức ở chơng I, với những hệ dao

động động đơn giản nh dao động của con lắc đơn, con lắc lò xo, ta có thể

sử dụng số phức để tìm phơng trình dao động cỡng bức

Xét phơng trình vi phân dao động cỡng bức của con lắc lò xo:

t h t m

H x dt

dx dt

r m

Để dùng số phức biểu diễn dao động cỡng bức ta sử dụng ý nghĩa vật

lý của quá trình để phán đoán nghiệm Cụ thể là: Trong giai đoạn đầu dao

động của hệ là tổng hợp của hai dao động, dao động riệng tắt dần và dao

động cỡng bức, sau quãng thời gian đủ lớn dao động tắt dần biến mất, kể

từ đó dao động của hệ do lực kích thích tuần hoàn chi phối khi đó nghiệm

 - 2)A + j2A = he-j = hcos - jhsin

Suy ra: ( 2

0

 - 2)A = hcos

2A = - hsin

2 2 2 2 2

0 ) 4 (    

2 2 0

định chúng ở các dạng phức tạp nhng trong nhiều trờng hợp ta có thể biến

đổi đợc phơng trình vi phân dao động cỡng bức của hệ về dạng (1) Khi

đó ta có thể sử dụng số phức để tìm quy luật dao động của hệ

2.2 Phơng pháp số phức giải bài toán dao động điện cỡng bức -Dòng điện xoay chiều:

Giống nh các dao động cơ học cỡng bức của một vật do ngoại lựctuần hoàn gây ra, khi đặt vào mạch điện một hiệu điện thế biến thiên tuầnhoàn thì trong mạch có dao động điện cỡng bức, đó là dòng điện xoay chiều.Phơng pháp giản đồ véc tơ đợc ứng dụng rộng rãi khi nghiên cứumạch điện hình sin, nó giúp ta biểu diễn rõ ràng trị số hiệu dụng, gócpha, góc lệch pha rất thuận tiện khi cần minh hoạ, So sánh và giải cácmạch điện đơn giản Tuy nhiên, cách biểu diễn véc tơ gặp nhiều khó khănkhi giải các mạch điện phức tạp, một công cụ rất hiệu lực là giải cácmạch điện ấy bằng số phức

Mặt khác, đối với những mạch điện đơn giản, bằng cách biểu diễn sốphức ta có thể tính toán giải tích mà không phải giải bằng hình học trêntrờng số thực

Vì tần số góc  đã đợc xác định nên để thuận tiện trong việc tính toán ta viết: a  a = Aej = Acos + jAsin

u  100 2 sin 100  (V), (ở trờng hợp này   100  rad/s)

Với cách biểu diễn này ta có:

Trục thực Trục ảo



a Mạch nối tiếp:

Xét mạch có hai phần

Tử Z1, Z2, trong biểu diễn lợng giác ta có: u = u1 + u2

Hay Asin(t + ) = A1sin(t + 1) + A2sin(t + 2)

Theo công thức EULER:

) ( 2 ) ( 1 )

u

u  1 2  Mặt khác: i = i1 = i2

Dễ dàng suy ra đợc: II 1 I 2

Mở rộng mạch ta có n phần tử:

n

I I

Nếu tổng trở của mạch đợc biểu diễn bằng một số phức Z , khi đó

định luật Ôm cho đoạn mạch đó có dạng:

z

u I





 

* Biểu diễn tổng trở của mạch bằng số phức: Khi nghiên cứu dòng

điện xoay chiều trong các đoạn mạch chỉ có điện trở thuần, cuộn cảmhoặc tụ điện ta đi đến các kết luận sau:

a Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch chỉ có điện trở thuần, biến

thiên điều hoà cùng pha với dòng điện

I Z1 Z2

b Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch chỉ có cuộn cảm biến thiên

điều hoà sớm pha hơn dòng điện

c Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch chỉ có tụ điện biến thiên điều

hoà trễ pha hơn dòng điện góc

e U Z

u

 0

L Z e jZ

Z  

Khi đó:

) 2 ( 0 2 0

L

j L

L

Z

U e

Z

e U jZ

j c

Z

U e

U Z u

I 

Tức I csớm pha hơn u cgóc

U I

Zcos= R; Zsin= ZL -Zc

Vậy: Z R j(Z L  Z c)

R

Z Z tg

i u

Bằng phép biến đổi này ta vẫn có các biểu thức:

Các giá trị hiệu dụng:

Biểu thức công suất: P = UIcos

Các công thức đã biết về mạch điện xoay chiều nối tiếp R, L, C vẫngiữ nguyên giá trị khi ở dạng biểu diễn phức này

2.2.2 Phơng pháp biến đổi tơng đơng:

Biến đổi mạch điện nhằm mục đích đa mạch điện phức tạp về dạng

đơn giản hơn, biến đổi tơng đơng là biến đổi mạch điện sao cho dòng

điện và điện áp tại các bộ phận không bị biến đổi

Dới đây ta dẫn ra một số biến đổi thờng gặp

Giả thiết các tổng trở Z1;Z2; Zn mắc nối tiếp đợc biến đổi thànhtổng trở tơng đơng , khi đó ta có:

)

Kết luận: Tổng trở tơng đơng của các phần tử mắc nối tiếp bằng tổngcác tổng trở của các phần tử thành phần

Z

u Z Z

Z u I I

I I

1 1 1

2 1









Ta có kết luận: Nghịch đảo của tổng trở tơng đơng của đoạn mạch

mắc song song bằng tổng các nghịch đảo của tổng trở trong các nhánh.Nếu mạch gồm các phần tử ghép tổng hợp thì phân tích mạch thànhcác đoạn mạch ghép nối tiếp, mỗi đoạn mạch đó lại gồm các phần tửghép song song rồi vận dụng cách tính nói trên

Các công thức đã biết về mạch điện xoay chiều R, L, C không phânnhánh:

P = UIcos= I2R ( Víi m¹ch kh«ng cã R c«ng suÊt tiªu thô b»ng 0)

Chơng III

ứng dụng phơng pháp số phức trong việc giải các bài toán dòng điện xoay chiều

Trong chơng này chúng ta sẽ đi sâu vào giải các bài toán dao động

điện cỡng bức - Điện xoay chiều - bằng phơng pháp số phức

Các bài toán điện xoay chiều đợc phân ra thành hai loại

- Biết R, L, C và một số dữ kiện, xác định các đại lợng khác củamạch, viết biểu thức của u, và i

- Bài toán tổng hợp: từ dữ liệu bài toán, tìm các thành phần R, L, C

và xác định các đại lợng khác của mạch, viết biểu thức của u, i

Trong mỗi loại trên đợc tách thành ba loại nhỏ: mạch nối tiếp, mạchsong song và mạch hỗn hợp

Phần IBài toán biết R, L, C và một số dữ kiện, xác định các

ớc 2 : Dựa vào định luật Ôm để tìm các đại lợng đặc trng (u, i) từ

đó viết các biểu thức biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian các đại l ợng

đặc trng tơng ứng

a Tính tổng trở mạch Z và độ lệch pha  giữa hiệu điện thế và dòng

điện Viết biểu thức iAB

b Viết biểu thức của hiệu điện thế ở hai đầu điện trở, hai đầu cuộn

cảm, hai đầu tụ điện

Giải :

Theo đề ra ta có: u AB  60 2 (V)

 = 100 (rad/s)

) (

4 2

AB

e Z

AB

4 100 sin(

AB

4 100 sin(

AB

4 3 100 sin(

Dòng điện qua mạch có dạng: i  2 2 sin 100 t (A)

a Tính tổng trở, góc lệch pha giữa u và i.

b Tính hiệu điện thế hữu dụng ở hai đầu điện trở, ở hai đầu tụ điện,

ở hai đầu cuộn dây và cả mạch, viết biểu thức các hiệu điện thế đó





áp dụng định luật Ôm ta có:

2 200



j c

2 100

1 





Biểu thức cờng độ dòng điện: i  2 sin( 100 t) (A)

Viết biểu thức hiệu điện thế uAN, uMB, uAB

Giải :

Theo đề ra ta có: I  2 (A)

3

3 200 300 3

100



j L

2

100 100 )

(



j c

100 ) (



j c



j AN

3 100 sin(



j MB

2 100 sin(



j AB

6 100 sin(



j c

MB

Z

u I

2  

2 100

Bài 2 : Một cuộn cảm có độ tự cảm



2



L H mắc nối tiếp với tụ điện

có điện dung C = 32F Biết hiệu điện thế ở hai đầu cuộn dây là:

) 6 100 sin(

100  

Hãy viết biểu thức của hiệu điện thế ở hai đầu tụ điện

Bài 3 : Một đoạn mạch AB gồm một cuộn dây có điện trở thuần r =

5 và hệ số tự cảm

 4

Hãy viết biểu thức của cờng độ tức thời i trong mạch và của hiệu

điện thế tức thời ở hai đầu cuộn dây

1.4 Hớng dẫn giải - đáp số.

Bài 1 :

Đáp số: u R  110 2 sin 100 t (V)

) 2 100 sin(

Bài 2 :

6

5 100 sin(

50  

) 5 100

2  

) 3 100 sin(

) 2 4

100 sin(

ớc 1 : Dựa vào dữ kiện bài toán biểu diễn tổng trở của mạch rẽ và

mạch chính dới dạng phức, từ đó suy ra Z và  nếu cần

B

ớc 2 : áp dụng định luật Ôm cho các mạch rẽ và mạch chính để tìm

các đại lợng đặc trng (u, i) từ đó viết biểu thức biểu diễn sự phụ thuộcvào thời gian của các đại lợng đặc trng tơng ứng

2.2 Các bài tập mẫu:

Bài 1 : Cho cuộn dây thuần cảm với

 20

3



L H và điện trở thuần R =20 mắc song song vào nguồn xoay chiều có hiệu điện thế:

t

u  120 2 sin 100  (V)

Tính cờng độ hiệu dụng I và viết biểu thức cờng độ dòng điện qua

15 20

j

j Z

Z

Z Z Z

L R

L R AB

4 100

Dßng ®iÖn qua tô cã biÓu thøc: i 2sin100t (A)

ViÕt biÓu thøc hiÖu ®iÖn thÕ hai ®Çu ®o¹n m¹ch vµ biÓu thøc dßng

®iÖn qua cuén d©y L2, tÝnh c«ng suÊt tiªu thô toµn m¹ch

Gi¶i :

Ta cã c¸c tæng trë ë c¸c nh¸nh:

6 1

1



j c

Z j R

4 2

R1, L1 C

12 2

2

j

AB e Z

2

2 2 1

b Viết biểu thức i toàn mạch.

c Viết biểu thức cờng độ dòng điện qua các mạch vẽ.

Theo công thức biến đổi tơng đơng:

3 200

3 200

1 100

1 3 200

1 1

1 1

Z Z Z

R I I I

Công suất tiêu thụ của mạch P = 150W

a Xác định U0 biết rằng hiệu điện thế dặt vào mạch có dạng:

u = U0sin100t (V)

b Viết biểu thức dòng điện ở các nhánh.

Bài 2 : Cho mạch điện nh hình vẽ

Bài 3 : Cho mạch điện nh hình vẽ

1 10 5

C2

Trong đó:

 2

b Viết biểu thức cờng độ dòng điện trên các nhánh và ở mạch chính.

Bài 6 : Cho mạch điện nh hình vẽ

4 100

R 1

L1 C

Giải: Giả sử rằng hiệu điện thế đặt vào mạch có dạng:

t U

u 2 sin 100  (V)Mặt khác:  1  5 

ZR

3 4

2

jarctg L

5 , 2

2

2 2

jarctg L

R L

2 1

2 2 2 1 2

R

2 10 5 , 2 2 25

2 5 , 0

2 5 , 0

sin( t 

Bµi 6:

4

3 100

sin(

2 3

8

) 684 , 0 100

sin(

17 ,

R

c R

Z Z

Z Z

94 7 , 56

c R

c R L

Z Z

Z Z Z