Bài giảng Toán rời rạc: Công thức truy hồi - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Công thức truy hồi cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Công thức truy hồi, công thức truy hồi và hàm sinh, số Catalan, công thức truy hồi tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

Công thức truy hồi

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

Nội dung

Ví dụ

Công thức truy hồi

Công thức truy hồi và hàm sinh

Số Catalan

Công thức truy hồi tuyến tính

Ví dụ

Một quần thể vi trùng có số lượng cá thể tăng gấp đôi sau mỗi giờ.Nếu thoạt đầu có 5 cá thể hỏi sau 5 giờ số lượng của chúng là baonhiêu?

{

a n = 2a n −1

a0= 5

Ví dụ

Xét một cầu thang với n bậc thang Có bao nhiêu cách để đi lên

cầu thang nếu chúng ta có thể leo lên 1 bậc hoặc 2 bậc trong mỗibước?

S1 = 1

S2 = 2

S n+2 = S n+1 + S n với n ≥ 1

Nội dung

Ví dụ

Công thức truy hồi

Công thức truy hồi và hàm sinh

Số Catalan

Công thức truy hồi tuyến tính

Công thức truy hồi

Định nghĩa

Công thức truy hồi đối với dãy số⟨a n ⟩ là công thức biểu diễn a n

qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy

Định nghĩa

Một dãy số được gọi lànghiệm của công thức truy hồi nếu các sốhạng của nó thỏa mãn công thức truy hồi này

Ví dụ

▶ Xét công thức truy hồi

a n = 2a n −1 − a n −2 với n ≥ 2.

▶ Dãy số⟨a n ⟩ với a n = 3n có phải là nghiệm của hệ thức truy

hồi trên hay không?

▶ Còn dãy a n = 2n?

▶ Còn dãy a n = 5?

Ví dụ

Giả sử một người gửi 10, 000 đô la vào tài khoản của mình tại một

ngân hàng với lãi kép 11% mỗi năm Hỏi sau 30 năm anh ta có

bao nhiêu tiền trong tài khoản ngân hàng

{

P n = P n −1 + 0.11P n −1 = 1.11P n −1

P0 = 10, 000 đô la.

Ví dụ

▶ Chúng ta vẽ n đường thẳng trên giấy sao cho mọi cặp đường

thẳng đều cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồngquy

▶ Các đường thẳng này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền?

P1: JSN

WB00623-07 WB00623-Tucker October 28, 2011 12:25

7.1 Recurrence Relation Models 285

Is there some systematic way to enumerate the ways to climb four stairs thatbreaks the problem into parts involving the ways to climb three or fewer stairs?Clearly, once the first step is taken there are three or fewer stairs remaining to climb

Thus we see that after a first step of one stair, there are a3ways to continue the climb

up the remaining three stairs If the first step covers two stairs, then there are a2ways

to continue up the remaining two stairs So a4= a3+ a2 We confirm that the values

for a4,a3,a2 satisfy this relation: 5 = 3 + 2 This argument applies to the first step

when climbing any number of stairs, as is shown in Figures 7.1b and 7.1c Thus

a n = a n−1 + a n−2

In Section 7.3 we obtain an explicit solution to this recurrence relation The

rela-tion a n = a n−1 + a n−2 is called the Fibonacci relation The numbers a ngenerated by

the Fibonacci relation with the initial conditions a0= a1= 1 are called the Fibonacci

numbers They begin 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 Fibonacci numbers arise

natu-rally in many areas of combinatorial mathematics There is even a journal, Fibonacci Quarterly, devoted solely to research involving the Fibonacci relation and Fibonacci

numbers Fibonacci numbers have been applied to other fields of mathematics, such asnumerical analysis They occur in the natural world—for example, the arrangements

of petals in some flowers For more information about the occurrences of Fibonaccinumbers in nature, see [1]

Example 3: Dividing the Plane

Suppose we draw n straight lines on a piece of paper so that every pair of lines intersect (but no three lines intersect at a common point) Into how many regions do these n

lines divide the plane?

Again we approach the problem initially by examining the situation for small

values of n With one line, the paper is divided into two regions With two lines,

we get four regions—that is, a2= 4 See Figure 7.2a From Figure 7.2b, we see that

a3= 7 The skeptical reader may ask: how do we know that three intersecting lineswill always create seven regions? Let us go back one step, then

Clearly two intersecting lines will always yield four regions, as shown in Figure

7.2a Now let us examine the effect of drawing the third line (labeled “3” in Figure 7.2b) It must cross each of the other two lines (at different points) Before, between,

and after these two intersection points, the third line cuts through three of the regionsformed by the first two lines (this action of the third line does not depend on how it isdrawn, just that it intersects the other two lines) So in severing three regions, the thirdline must form three new regions, actually creating six new regions out of three old

regions Thus a3= a2+ 3 = 4 + 3 = 7, independently of how the third line is drawn

4 1

1

2 1

(a) Figure 7.2

Ví dụ (Chọn không lặp)

Đặt a n,k là số cách chọn tập con k phần tử từ tập n phần tử Hãy tìm công thức truy hồi cho a k,n

a n,k = a n −1,k + a n −1,k−1 (Đẳng thức Pascal)

Ví dụ (Bỏ bóng)

Hãy tìm công thức truy hồi cho số cách bỏ n quả bóng giống nhau

và k chiếc hộp phân biệt sao cho mỗi hộp chỉ có 2 hoặc 3 hoặc 4

quả bóng

a n,k = a n −2,k−1 + a n −3,k−1 + a n −4,k−1

Nội dung

Ví dụ

Công thức truy hồi

Công thức truy hồi và hàm sinh

Số Catalan

Công thức truy hồi tuyến tính

Ví dụ

Tìm hàm sinh cho dãy số là nghiệm của công thức truy hồi

a n=a n −1+n

a0 = 1

thức tường minh cho a n,k.

Nội dung

Ví dụ

Công thức truy hồi

Công thức truy hồi và hàm sinh

Số Catalan

Công thức truy hồi tuyến tính

Công thức truy hồi cho các số Catalan

Công thức truy hồi cho các số Catalan

Hàm sinh của số Catalan

Hàm sinh cho các số Catalan

):= q(q − 1)(q − 2) × · · · × [q − (n − 1)]

(Công thức cho hệ số tổng quát (q

n

)xuất hiện từ chuỗi Taylor cho

(1 + y) q.)

Bổ đề

Với mỗi n ≥ 1,

(1/2

Bài tập

Xét bàn cờ n × n:

Xét đường đi ngắn nhất từ góc A tới góc B đi qua các cạnh (mỗi đường qua 2n cạnh).

1. Có bao nhiêu đường như vậy?

2. Chứng minh rằng số đường khôngxuống dưới đường chéo

chính là số Catalan C n

3. Hãy tìm cách chứng minh số Catalan C n = 1n(2n −2

n −1

)màkhông dùng hàm sinh

Nội dung

Ví dụ

Công thức truy hồi

Công thức truy hồi và hàm sinh

Số Catalan

Công thức truy hồi tuyến tính

Ví dụ

Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi

a n = a n −1 + 2a n −2 với a0= 2, a1 = 7

Bài tập

Hãy chứng minh định lý trước dùng hàm sinh

Ví dụ

Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi

a n = 6a n −1 − 9a n −2 với a0= 1, a1 = 6

Bài tập

Hãy chứng minh định lý trước dùng hàm sinh

Định lý

Cho c1, c2, , c k là các số thực Giả sử phương trình

r k − c1r k −1 − · · · − c k= 0

có k nghiệm phân biệt r1, r2, , r k Khi đó dãy⟨a n ⟩ là nghiệm

của hệ thức truy hồi

a n = c1a n −1 + c2a n −2+· · · + c k a n −k

nếu và chỉ nếu

a n = α1r1n + α2r2n+· · · + α k r k n

trong đó α i là các hằng số

Ví dụ

Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi

a n = 6a n −1 − 11a n −2 + 6a n −3 với a0= 2, a1 = 5 và a2 = 15