Bài giảng Phương pháp tính: Chương 4 - Hà Thị Ngọc Yến

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 4 trang bị cho người học những kiến thức cơ bản về phương pháp tiếp tuyến - Giải phương trình f(x)=0 như: Ý tưởng phương pháp, xây dựng công thức, sự hội tụ của phương pháp, định lý về sự hội tụ, chứng minh định lý về sự hội tụ, CT sai số mục tiêu. Mời các bạn cùng tham khảo.

PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN

GIẢI PT f(x)=0

Hà Thị Ngọc Yến

Hà nội, 9/2018

cuu duong than cong com

Ý tưởng phương pháp

cuu duong than cong com

Ý tưởng phương pháp

• Thay thế đường cong trên

[a,b] bằng TIẾP TUYẾN

• Tìm giao điểm của dây cung với trục hoành thay cho giao điểm đường cong với trục hoành

 

y  f x

cuu duong than cong com

Xây dựng công thức

Xét phương trình và k.c.l nghiệm (a,b).

Gọi là điểm Fourie nếu

Chọn điểm Fourie là điểm ban đầu, tức là

Chọn và đặt

Gọi là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại

  0

f x 

 

 , 

M x f x f x f     " x  0.

   

0 : 0 " 0 0

x f x f x  M 0  x 0 , f x   0 

cuu duong than cong com

Xây dựng công thức

1

 cuu duong than cong com   

Xây dựng công thức

• Phương trình đường thẳng

:

k

d

y  f x x  x  f x

 1 ,0 

 

   

'

k

k

f x

f x

 cuu duong than cong com  

Sự hội tụ của phương pháp

Điều kiện hội tụ:

• (a,b) là khoảng cách ly nghiệm

• liên tục, xác định dấu không đổi

trên [a,b]

• Chọn đúng

', ''

f f

   

cuu duong than cong com

Tại sao

x

y

' 0

f 

x

1

x

0

d

1

d

cuu duong than cong com

Tại sao " 0 f 

cuu duong than cong com

Định lý về sự hội tụ

Với các điều kiện đã nêu trên dãy lặp (**)

hội tụ đến nghiệm đúng của phương trình

theo đánh giá sau

1

n

f x

m

 

2

2

1 1

2

M

1 min x a b , ' ; 2 max x a b , "

cuu duong than cong com

CM Định lý về sự hội tụ

• Các bước chứng minh:

➢ Dãy đơn điệu và bị chặn.

➢ Giới hạn của dãy là nghiệm của phương trình.

➢ Chứng minh các công thức sai số

  x n

cuu duong than cong com

CM Định lý về sự hội tụ

• Dãy đơn điệu :

Trường hợp 1:

Khi đó

  x n

f x  f x    x a b

0

t t

 

M t f t t  a b

cuu duong than cong com

CM Định lý về sự hội tụ

• Ta có

• Mặt khác

• Lý luận tương tự

f x    x a b  f x 

0

0

: '

0

x

x

1 : 1 0 2 1 , 2 0

x f x cuu duong than cong com    a x  x f x 

CM Định lý về sự hội tụ

• Giới hạn của dãy là nghiệm của phương trình

• Gọi

 

 

 

   

1 1

1

: lim lim

'

0.

'

n

f x

f x

f

f f











cuu duong than cong com

CT sai số mục tiêu

• Ta có

         

 

    1

'

'

n

n n

f x f x f f c x

f x

f x x

f c m



cuu duong than cong com

CT sai số theo hai xấp xỉ liên tiếp

• Ta có:

       

1

2 1

2

2

2

1 1

"

2!

"

'

2!

2

n

f c

f c

M

m









   cuu duong than cong com 

Thuật toán

• Input:

• Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định dấu không đổi trên, gán biến dấu cho dấu của (Có thể làm thủ tục riêng cho bước này)

• Bước 2: Chọn nếu

, , ,

f a b 

', "

f f

  a b ;

".

f

0

x  a f a sign    0



cuu duong than cong com

Thuật toán

• Bước 3: Tính (có thể làm gói riêng)

• Bước 4: Tính

• Bước 5: Kiểm tra

nếu thỏa mãn thì dừng, nếu không quay lại B4

 

  0

1 0

0

'

f x

f x

  1

1

f x

1

m

cuu duong than cong com