Bài giảng phương trình bậc hai với hệ số thực

TOANMATH.com Trang 1 Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức  Kĩ năng + Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số

Trang 1

TOANMATH.com Trang 1

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

 Kĩ năng

+ Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức và vận dụng vào giải được một

số bài toán liên quan

+ Vận dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán chứa nhiều biểu thức đối xứng đối với hai nghiệm của phương trình

+ Biết cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hệ số thực

+ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2w được gọi là một căn

bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là i w và  i w

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w

 w a bi   a b, , b0

Nếu z x iy là căn bậc hai của w thì    2

x iy a bi

Do đó ta có hệ phương trình:

2 2

2x



y b Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của

w

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình az2bz c 0 a b, ,c;a0

Ta có  b24ac

 Nếu   thì phương trình có nghiệm thực 0

2

  b x a

 Nếu   thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 0

1

2

  

 b

x

  

 b x

a

 Nếu   thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 0

1

2

 b i

x

 b i x

a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0 có hai nghiệm phân

biệt x1, x2 (thực hoặc phức) thì

1 2

    







b

a c

P x x

a

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0 +) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1

0 n 1 n   1  0

luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương

Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình Tính toán biểu thức nghiệm

Phương pháp giải

Cho phương trình:

2  0

az bz c a b, ,c;a0

 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức để

biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình z22z 5 0 a) Giải phương trình trên tập số phức b) Tính z1  z2

Hướng dẫn giải

      i Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2

z i; z2  2 2i

1  2  2 2 2 2

Suy ra z1  z2 2 2 2 2 4 2 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tất cả các nghiệm phức của phương trình z2 5 0 là

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho phương trình bậc hai ax2bx c 0 a b, ,c;a0

2 4

0

Phương trình có hai nghiệm

phức phân biệt

1

2

 b i

x

 b i x

a

Phương trình có nghiệm thực duy nhất

2

  b x a

Phương trình có hai nghiệm thực

phân biệt

1

2

  

 b x

  

 b x

a

Hệ thức Vi-ét 1 2

1 2

    







b

a c

P x x

a

Trang 4

5

 

 



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z1 5i và z2   5i

Chọn C

Ví dụ 2 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2  z 1 0 Giá trị của biểu thức A z12 z 22

là

    i nên phương trình có hai nghiệm là:

  

  

Suy ra A z12 z221

Chọn B

Ví dụ 3 Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2 1 z z?

A 1 3

2

 i

B 1 3 2



C 1 3 2



D 1 2 2

 i

Ta có z2 1 z z

2

i

Chọn A

Ví dụ 4 Phương trình z2az b 0 a b,  có nghiệm phức là 3 4 i Giá trị của a b bằng

Cách 1: Do z 3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên ta có:

3 4 i a 3 4 i   b 0 3a b  7 4a24 i0

Chú ý: Nếu z0 là nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực thì z cũng là 0

Trang 5

Do đó a b 19

Cách 2: Vì z1 3 4i là nghiệm của phương trình z2az b 0 nên z2 3 4i

cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có 1 2

1 2

  





z z b

19 25

3 4 3 4



a b b

Chọn C

nghiệm của phương trình

Ví dụ 5 Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z26z34 0 Giá trị của

0 2

z i là

    i Phương trình có hai nghiệm là z  3 5i ; z  3 5i

Do đó z0    3 5i z0    2 i 1 4i  17

Chọn A

Ví dụ 6 Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z22z 5 0

Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1

7 4 i

z trên mặt phẳng phức là

A P 3;2 B N1; 2  C Q3; 2  D M 1; 2

1 2

 



      



Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1 1 2i Khi đó:

2 2 1

7 4 1 2

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P 3;2

Chọn A

Ví dụ 7 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z24z 5 0 Giá trị của biểu thức

 2019  2019

11  21

Trang 6

2

 





Khi đó ta có:  2019  2019  2019  2019

11  21  1  1

    21009     21009

   1009    1009

 i i  i  i

 1009       1010  2 505 1010 1010

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Nghiệm của phương trình z2  z 1 0 trên tập số phức là

z i B z 3i; z 3i

 

 

z i D z 1 3i; z 1 3i

Câu 2: Gọi z và 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z22z10 0 Tính giá trị của biểu thức

Câu 3: Phương trình z22z10 0 có hai nghiệm là z1, z2 Giá trị của z1z bằng 2

Câu 4: Biết số phức z  3 4i là một nghiệm của phương trình z2az b 0, trong đó a, b là các số thực Giá trị của a b là 

Câu 5: Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z26z 5 0 Hỏi điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz0?

A 1 1 3;

2 2

  

2 2

 

M Câu 6: Cho z là nghiệm phức của phương trình x2  x 1 0 Giá trị của biểu thức P z 42z3z là

A 1 3

2

Câu 7: Kí hiệu z0 là số phức có phần ảo âm của phương trình 9z26z37 0 Tọa độ của điểm biểu diễn số phức w iz 0 là

Trang 7

A 2; 1

3

  

1

; 2 3

  

1 2;

3

  

1

; 2 3

 

Câu 8: Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z23z 5 0 Giá trị của z1  z bằng 2

Câu 9: Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z22z 5 0 Giá trị của z1 2 6i

bằng

Câu 10: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 9z26z 4 0 Giá trị của biểu thức

1  1

z z bằng

A 4

3

Câu 11: Ký hiệu z , 1 z là nghiệm của phương trình 2 z22z10 0 Giá trị của z z bằng 1 2

Câu 12: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z22z 5 0 Giá trị của biểu thức z12z z1 2 là

Bài tập nâng cao

Câu 13: Phương trình z23z  có hai nghiệm phức 4 0 z , 1 z Giá trị của 2 2

1 2

z z bằng

Câu 14: Gọi z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 z22z  Môđun của 3 0 3 4

1 2

z z bằng

Câu 15: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 az2bz c 0 a b, ,c Giá trị của biểu 

M  z z  z z  z  z bằng

A 4c

c a

4

c

c a

 Câu 16: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z22z  Trên mặt phẳng tọa độ, 5 0 điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 2019

0

w i z ?

A M2;1 B M 2;1 C M  2; 1 D M2; 1 

Câu 17: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z24z13 0 và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1, z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy Diện tích tam giác OAB bằng

Trang 8

Câu 18: Gọi z là một nghiệm của phương trình z2   Giá trị của biểu thức z 1 0

2019 2018

Câu 19: Trong tập các số phức, cho phương trình z26z m  , m 0   1 Gọi m0 là một giá trị của

m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn z z1 1 z z2 2 Hỏi trong khoảng 0; 20

có bao nhiêu giá trị m0?

Câu 20: Gọi z1 và z2 là các nghiệm phức của phương trình z24z  5 0

Tính  100  100

w z  z

A w250i B w 251 C w251 D w 250i

Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng

Định lí Vi-ét: Cho phương trình:

2  0

az bz c ; , ,ca b  ; a 0

có hai nghiệm phức z , 1 z thì 2

1 2

b

z z

a c

z z a

   







Ví dụ: Phương trình z24z24 0 có hai nghiệm phức z1, z2 nên

z z  ; z z1 2 24 Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 z2 b

a

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z22z  Giá trị của biểu thức 5 0 2 2

1 2

z  z bằng

Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z22z  5 0

Theo định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2

z z





z z  z z  z z    

Chọn C

Ví dụ 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 2i ?

A z22z  3 0 B z22z  5 0

C z22z  5 0 D z22z  3 0

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương

Chúng ta có thể giải từng phương trình:

+) z22z  3 0

 2 2

   

Trang 9

trình bậc hai có nghiệm 1 2i thì nghiệm còn lại là 1 2i

Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5

Vậy số phức 1 2i là nghiệm của phương trình z22z  5 0

Chọn C

   +) z22z  5 0

 2 2

   

1 2

    +) z22z  5 0

 2 2

   

1 2

   +) z22z  3 0

 2 2

   

   

Ví dụ 3: Kí hiệu z1, z2 là nghiệm phức của phương trình 2z24z  Tính giá trị biểu thức 3 0

P z z i z z

2

P Hướng dẫn giải

Ta có z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z24z  3 0

Theo định lý Vi-ét ta có 1 2

1 2

2 3 2

z z

  







P z z i z z   i   i      

 

  Chọn D

Ví dụ 4: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z24z  7 0

Giá tị của 3 3

1 2

P z z bằng

C 14 7 D 28 7

Theo định lý Vi-ét ta có 1 2

1 2

4

z z





Cách khác:

Ta có:

z  z 

 2 2

1 2

  

 

 



Do đó:

Trang 10

Suy ra 3 3    2 2

z z  z z z z z z

4 4 3.7 20

Chọn A

3 3

1  2

z z

  3 3

20

 

Ví dụ 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z22z27 0 Giá trị của z z1 2 z z2 1 bằng

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 1 2 2

3

z z  và z z1 2  9

Mà z1  z2  z z1 2  z z1 2  9 3

2

3

z z z z  z z  z z  

Chọn A

Ví dụ 6: Cho số thực a và gọi 2 z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z22z a  Mệnh đề 0 nào sau đây sai?

A z1 là số thực z2 B z1 là số ảo z2

C 1 2

2 1

z  z là số thực Hướng dẫn giải

Ta có z1 z2 b 2

a

    Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp Gọi z1  ; ,x yi x y là một nghiệm, nghiệm còn lại là z2  x yi

Suy ra z1z2 2yi là số ảo Đáp án B đúng

 2

2 2

Vậy C là đáp án sai và D đúng

Chọn C

Bài tập cơ bản

Câu 1: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức i 3 và 3i làm nghiệm?

A z2  5 0 B z2  3 0 C z2  9 0 D z2 3 0

Trang 11

Câu 2: Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức 2 3i và 2 3i làm nghiệm?

A z24z  3 0 B z24z13 0 C z24z13 0 D z24z  3 0

Câu 3: Kí hiệu z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z23z  Giá trị của 5 0 z z bằng 1 2

2

2 Bài tập nâng cao

Câu 4: Gọi z , 1 z là các nghiệm của phương trình 2 z22z  Giá trị của biểu thức 5 0 4 4

1 2

P z  là z

Câu 5: Cho số phức z0 có z0 2018 Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của z0 và các nghiệm của phương trình

z z  z z

 được viết dạng n 3, n Chữ số hàng đơn vị của n là

Câu 6: Cho phương trình z2mz  trong đó m là tham số thực Tìm m để phương trình có hai 5 0 nghiệm z1, z2 thỏa mãn 2 2

z z  

A m  2 B m  4 C m  3 D m 3

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của a sao cho phương trình z2az2a a 2  có hai nghiệm phức có 0 môđun bằng 1?

Câu 8: Gọi z1, z2 là nghiệm phức của phương trình z24z  Số phức 7 0 z z1 2z z1 2 bằng

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 Nắm vững cách giải phương trình bậc hai

với hệ số thực trên tập số phức

 Nắm vững cách giải một số phương trình

quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc

cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z4z2  trên tập 6 0

số phức

Hướng dẫn giải Đặt z2 , ta có phương trình: t

6 0

2

t

t t

t





      

 Với t ta có 3 z2    3 z 3 Với t  ta có 2 z2    2 z i 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm z  3;

2

z i

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z43z2  là 2 0

Trang 12

Ta có:

2

2 2 2

2

2 2

z z z

 



 



  



Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 2 2 2 2 3 2

Chọn A

Ví dụ 2: Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z44z2  Giá trị của 5 0

z  z  z  z bằng

Ta có:

2

1 1 1

5 5

5

z z z

z





  

       



  

 Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z1 , 1 z2   , 1 z3  i 5, z4 i 5

2 2

Chọn B

Ví dụ 3: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình  2  2 2 

z z  z  z  Giá trị của biểu thức S  z12 z22 z32 z42 là

Ta có:  2  2 2 

z z  z  z 

Đặt tz2 , ta có z 2 2

4 12 0

6

t





      



Suy ra:

1 2 2

4

1 2

2

z z

z

i z





  





 



2

              

Trang 13

Chọn C

Ví dụ 4: Gọi z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2

4

z z

z    Khi đó z1z2 bằng

Điều kiện: z 0

Ta có:

2

              

2

4 0

z z    i  i   

Chọn A

Ví dụ 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z4az2  có bốn nghiệm 1 0 z , 1 z , 2 z , 3 z thỏa mãn 4

z  z  z  z   Tìm a

A

1

19

2

a







  



B

1 19 2

a a

 





 



C

1 19 2

a a

 





  



D

1 19 2

a a







 

 Hướng dẫn giải

Nhận xét: 2 2   2  

z  z  i  z i z i

Đặt f x z4az2 , ta có: 1

 2  2  2  2  4   4     

16i 4ai 1 16i 4ai 1 17 4a

Theo giả thiết, ta có  2 1

2

a a

a

 





 

 Chọn B

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz2017 10iz  Mệnh đề nào dưới đây đúng? 11 0

A 2 z  3 B 0 z  1 C 1 z  2 D 1 3

2 z  2 Hướng dẫn giải

11 10 11 10

Trang 14

2

11 10

iz

Đặt t z t0 ta có phương trình

2 2017

2

100 220 121

121 220 100

t



Nếu t 1 VT  ; 1 VP 1

Nếu t 1 VT  ; 1 VP 1

Nếu t 1 z  1

Chọn D

Câu 1: Gọi z1, z2, z3 là các nghiệm của phương trình iz32z2  1 i z i 0 Biết z1 là số thuần ảo Đặt P z2z3 , hãy chọn khẳng định đúng?

A 4  P 5 B 2  P 3 C 3  P 4 D 1  P 2

Câu 2: Kí hiệu z1, z2, z3 và z4 là các nghiệm phức của phương trình z45z236 0 Tính tổng

T  z  z  z  z

Câu 3: Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z1, z2, z3 là nghiệm của phương trình

3 6 2 12 7 0

z  z  z  Tính diện tích S của tam giác ABC

2

4

S  Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz201710iz  Mệnh đề nào sau đây đúng? 11 0

A 1 3;

2 2

z  



  B z  1;2 C z 0;1 D z 2;3

Câu 5: Cho phương trình z42z36z28z  có bốn nghiệm phức phân biệt là 9 0 z1, z2, z3, z4 Tính giá trị của biểu thức  2  2  2  2 

T  z  z  z  z 

A T  2i B T  1 C T   2i D T  0

Câu 6: Biết z1, z2  và 5 4i z3 là ba nghiệm của phương trình z3bz2   cz d 0 b c d, , , trong

đó z3 là nghiệm có phần ảo dương Phần ảo của số phức w z 1 3z22z3 bằng

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn 11z1010iz910iz  Tính môđun của số phức z 11 0

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z6 z5 z4 z3 z2   Tìm phần thực của số phức z 1 0

W z z   z

A Phần thực bằng 1 B Phần thực bằng 0

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	511,17 KB