Cấu trúc phổ của các nguyên tử một điện tử

Tuy vậy, ởthời điểm đó có một số hiện tợng mà Vật lý học cha tìm đợc lời giải đáp thỏa đáng: sự bức xạ của vật đen tuyệt đối, phổ của nguyên tử hiđrô, các hiệu ứng quang điện và kết quả

Trờng đại học vinh Khoa vật lý

Trờng đại học vinh Khoa vật lý

Vinh, tháng 05 năm 2010

Lời cảm ơn!

Luận văn này đợc hoàn thành nhờ nổ lực phấn đấu của bản thân và

sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS Nguyễn Huy Bằng cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý Qua đây tác giả xin đợc gửi tới TS Nguyễn Huy Bằng, các thầy cô giáo trong khoa Vật lý lời cảm

ơn chân thành nhất.

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong cuộc sống cũng nh chuyên môn để tác giả hoàn thiện đợc luận văn này

Do điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót trong khi thực hiện đề tài Rất mong nhận đợc sự đóng góp

ý kiến của độc giả để đề tài đợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2010

Nguyễn Thị Dung

mục lục

Trang

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

1 Lí do chọn đề tài 5

2 Đối tợng và phạm vi nghiên cứu 6

3 Mục đích nghiên cứu 6

4 Phơng pháp nghiên cứu 6

5 Bố cục của luận văn 7

Chơng 1 Các nguyên tử theo lý thuyết Bohr 8

1.1 Các tiên đề của Bohr 8

1.1.1 Tiên đề 1 (Tiên đề về trạng thái dừng của nguyên tử) 8

1.1.2 Tiên đề 2 (Tiên đề về cơ chế phát xạ và hấp thụ của nguyên tử) …… 8

1.2 Các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết Bohr 10

1.3 Kết luận 14

Chơng 2 Các nguyên tử một điện tử theo lí thuyết Schrửdinger 16 2.1 Phơng trình Schrửdinger 16

2.2 Giải phơng trình Schrửdinger ……… 18

2.3 Các số lợng tử ………. 21

2.4 Năng lợng ……… … 22

2.5 Hàm sóng và sự phân bố điện tử ……… … 24

2.6 Chuyển động của khối tâm ……… 30

2.7 Các giá trị trung bình ……… 33

Chơng 3 Cấu trúc tinh tế các mức năng lợng của nguyên tử một điện tử 35

3.1 Mômen từ quỹ đạo ……… … 35

3.2 Spin và mômen toàn phần của điện tử ……… 37

3.3 Cấu trúc tinh tế các mức năng lợng của nguyên tử một điện tử 39

3.3.1 Sự dịch chuyển năng lợng ……… 39

3.3.2 Sự tách cấu trúc tinh tế ……… 44

3.3.3 Cấu trúc tinh tế của các vạch phổ ……… 48

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học ra đời từ yêu cầu đợc tìm hiểu và cải biến thế giới của conngời Quá trình phát triển của Vật lý học trải qua nhiều giai đoạn thăngtrầm Đến cuối thế kỉ XIX, nhiều nhà khoa học đã xem sự phát triển củaVật lý học ( dựa trên nền tảng là Cơ học và Điện động lực học) đã đạt tới

đỉnh cao của nó Mọi qui luật vận động của thế giới tự nhiên có thể đợc giảithích dựa trên các định luật của Cơ học và Điện động lực học Tuy vậy, ởthời điểm đó có một số hiện tợng mà Vật lý học cha tìm đợc lời giải đáp

thỏa đáng: sự bức xạ của vật đen tuyệt đối, phổ của nguyên tử hiđrô, các hiệu ứng quang điện và kết quả thí nghiệm của Maikenxơn đã phủ nhận sự chuyển động của ête đối với Trái Đất Kenvin gọi đây chỉ là "đám mây

đen" trên bầu trời xanh của Vật lý học, sớm muộn cũng sẽ đợc giải thích

bằng hệ thống vật lý đợc xem là “đã hoàn thiện” lúc bấy giờ Tuy nhiên,

những nỗ lực này đều thất bại Các nhà khoa học gọi đây là sự “khủng hoảng của vật lý học”

Đi tìm câu giải đáp cho những hiện tợng nói trên, đầu thế kỷ XX một

số nhà vật lý có t tởng đổi mới đã đi tìm hớng giải quyết khác đó là xâydựng lại hệ thống quan niệm về vật lý Khởi xớng cho t tởng đổi mới này làPlanck đã đề xuất giả thuyết lợng tử của năng lợng bức xạ và Einstein đã đềxuất giả thuyết photon và các tiên đề về không - thời gian Trên cơ sở đóBohr đã xây dựng mô hình nguyên tử (còn đợc gọi là mô hình nguyên tửBohr) để giải thích sự tạo thành các vạch phổ của nguyên tử hiđrô Những ýtởng cách mạng đó đã làm nền tảng cho hai học thuyết mới (vật lý lợng tử

và thuyết tơng đối) - là cơ sở của vật lý học hiện đại ngày nay

Dới ánh sáng của vật lý hiện đại thì những bí ẩn sâu thẳm của thếgiới vi mô nh cấu trúc nguyên tử và phân tử đã đợc khám phá Ngày nayviệc khảo sát về phổ nguyên tử và phân tử theo quan điểm lợng tử chiếmmột phạm vi khá lớn và nó đợc ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng nhtrong nhiều ngành khoa học kĩ thuật hiện đại Một trong những ngành ápdụng rộng rãi quang phổ học đó là thiên văn hiện đại Vật lý thiên văn hiện

đại đang sử dụng các phơng pháp quang và quang phổ để nghiên cứu thànhphần nguyên tố, đoán nhận quá trình diễn biến của thiên thể hay của bầu

khí quyển bao quanh nó Ngành khảo cổ học cũng sử dụng việc phân tíchphổ của các nguyên tử, phân tử trong các nghiên cứu của mình Các nhàkhoa học đã dựa vào sự phân tích phổ của các chất phát ra để tìm tuổi thọcủa những mẫu vật thời tiền sử, xác định cấu tạo của vật chất

Mặc dù có vai trò rất lớn nhng thời lợng giảng dạy phổ của các

nguyên tử cho sinh viên hệ đại học s phạm là rất ít Vì vậy, “Cấu trúc phổ

của các nguyên tử một điện tử" đợc chúng tôi chọn làm đề tài nghiên cứu

trong luận văn tốt nghiệp của mình để mở rộng vốn hiểu biết về thế giới vimô này đồng thời để phục vụ cho công tác giảng dạy về sau

2 Đối tợng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu cấu trúc phổ của các nguyên tử một

điện tử đến cấp độ cấu trúc tinh tế

3 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu các cách mô tả nguyên tử một điện tử từ đơn giản đến phứctạp (nguyên tử theo lý thuyết Bohr, nguyên tử theo lý thuyết Schrửdinger,nguyên tử khi xét đến các hiệu ứng tơng đối tính) để giải thích đợc sự tạothành các dịch chuyển phổ

4 Phơng pháp nghiên cứu

Phơng pháp lý thuyết: thu thập thông tin, tài liệu từ sách báo vàinternet để tìm hiểu về vấn đề nghiên cứu

5 Bố cục đề tài

Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận văn đợc chia làm 3 chơng:

Chơng 1: Trình bày nguyên tử theo mô hình Bohr và những hạn chế

của mô hình này

Chơng 2: Trình bày các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết

Schrửdinger Các khái niệm về mức năng lợng, hàm sóng, phân bố

điện tử trong nguyên tử đợc trình bày trên cơ sở giải phơng trìnhSchrửdinger Đồng thời, chơng này rút ra các quy tắc dịch chuyểnphổ và nghiệm lại đợc kết quả theo lý thuyết Bohr

Chơng 3: Mô tả các hiệu ứng tơng đối tính trong nguyên tử nh tơng

tác spin - quỹ đạo, sự thuộc khối lợng điện tử vào vận tốc Nhữnghiệu ứng này dẫn đến sự tách thành các mức năng lợng (do đó táchthành các vạch phổ) so với cấu trúc thô trong lý thuyết Schrửdinger

Chơng 1 Nguyên tử theo lý thuyết Bohr

Dựa trên những thành công của giả thuyết lợng tử Planck và thuyếtphôtôn của Einstein, năm 1913, chỉ hai năm sau khi Rutherford khám phá

ra sự tồn tại của hạt nhân trong nguyên tử, N.Bohr đã đa ra mô hình nguyên

tử hiđrô nhằm khắc phục những mâu thuẫn của mẫu hành tinh nguyên tửcủa Rutherford với hai tiên đề táo bạo

1.1 Các tiên đề Bohr

1.1.1 Tiên đề 1 (tiên đề về trạng thái dừng của nguyên tử)

Nguyên tử chỉ tồn tại ở những trạng thái dừng có năng lợng xác định

và gián đoạn hợp thành một chuỗi các giá trị E 1 , E 2 , , E n Trong trạng tháidừng, êlectrôn trong nguyên tử không bức xạ năng lợng và chỉ chuyển động

trên các quỹ đạo tròn gọi là quỹ đạo lợng tử có bán kính thỏa mãn điều kiện

sau đây về giá trị mômen động lợng (điều kiện lợng tử hóa của Bohr)

Lm e vr n n 1 , 2 , 3 , (1.1) với 1 , 05 10 ( )

Nguyên tử chỉ hấp thụ hay phát xạ năng lợng dới dạng bức xạ điện từkhi nó chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác (ứng với sựchuyển của điện tử từ quỹ đạo lợng tử này sang quỹ đạo lợng tử khác).

Tần số ik của bức xạ điện từ mà nguyên tử hấp thụ hoặc phát xạ đợcxác định bằng biểu thức:

E i - E k < 0: quá trình hấp thụ

Trên giản đồ năng lợng ta có thể biểu diễn quá trình hấp thụ hoặc bức xạ

nh trên hình 1.1 Mỗi đờng nằm ngang song song tợng trng một mức nănglợng gián đoạn của trạng thái dừng của nguyên tử Sự chuyển từ trạng tháidừng này sang trạng thái dừng khác đợc biểu diễn bằng một mũi tên thẳng

đứng nối giữa hai mức năng lợng

Hình 1.1 Sơ đồ mức năng lợng cùng các dịch chuyển hấp thụ và phát xạ.

Ta có nhận xét rằng nếu thừa nhận hai tiên đề của Bohr thì đơngnhiên các mâu thuẫn của mẫu hành tinh nguyên tử của Rutherford khôngcòn tồn tại nữa Từ tiên đề thứ nhất, nguyên tử luôn luôn bền vững ở trạngthái dừng vì trong chuyển động quanh hạt nhân trên quỹ đạo lợng tử, điện

tử không bức xạ năng lợng Từ tiên đề thứ hai, sự chuyển mức năng lợngmang tính chất gián đoạn, do đó năng lợng bức xạ điện từ đợc hấp thụ hayphát xạ thể hiện qua tần số bức xạ cũng gián đoạn và quang phổ nguyên tửphải là quang phổ vạch

1.2 Các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết Bohr

Xét nguyên tử gồm có một điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân(có khối lợng rất lớn so với điện tử) Khi đó điện tử chuyển động trên quỹ

đạo tròn quanh hạt nhân chịu tác dụng của lực hút Coulomb từ hạt nhân

đóng vai trò lực hớng tâm (bỏ qua lực hấp dẫn vì có bậc vô cùng nhỏ) Đểnguyên tử tồn tại ở trạng thái dừng thì lực hớng tâm phải cân bằng với lực litâm, nghĩa là :

r

v m r

2

2

 (K là hệ số tỷ lệ trong lực Coulomb) (1.3)Năng lợng của nguyên tử bao gồm động năng của điện tử và thế năngtơng tác Coulomb của hệ hạt nhân - điện tử:

m

2 2

m e

2 2

2 2

Ke r

Ke E

2 2

2 2





 (1.5)Năng lợng toàn phần có giá trị âm vì động năng luôn nhỏ hơn trịtuyệt đối của thế năng hút giữa hạt nhân và điện tử để tạo thành nguyên tửbền vững

Kết hợp hệ thức (1.1) và (1.3) ta tìm đợc các giá trị gián đoạn của bánkính quỹ đạo:

2

2 2

e Km

n r

e n



 (1.6)Bán kính các quỹ đạo tăng theo bình phơng các số nguyên và chỉnhững quỹ đạo có bán kính thỏa mãn hệ thức (1.6) mới là khả dĩ Đặt giátrị:

o

e

a e

Vận tốc này tỉ lệ nghịch với các số nguyên n, suy ra khi bán kính quỹ đạo

càng lớn thì vận tốc của điện tử càng nhỏ và ngợc lại Tuy nhiên trên mỗiquỹ đạo, vận tốc luôn không đổi, điều này đảm bảo cho quỹ đạo là ổn định(vì thế còn gọi là quỹ đạo dừng), và năng lợng không thay đổi, đúng nh phátbiểu của tiên đề thứ nhất của Bohr

Kết hợp các công thức (1.6) và (1.5), ta tìm đợc hệ thức cho năng ợng trạng thái dừng của nguyên tử

2 2

4 2

2 n

e m K

Dãy Balme

Dãy Paschen

Dãy Bracket

Hình 1.2 Sơ đồ các mức năng lợng của nguyên tử hiđrô và các dịch chuyển phổ.

Trên sơ đồ, mỗi đờng nằm ngang ứng với một trạng thái năng lợngkhả dĩ của nguyên tử hiđrô Theo quy ớc, đờng thấp nhất biểu diễn trạng

thái cơ bản của nguyên tử ứng với n = 1, tức là giá trị nhỏ nhất của năng

l-ợng nguyên tử hiđrô

eV J

e Km

2

19 2

4 , 3 4 1 3

1 2

v v eV

E E

eV

E E

trạng bị ion hóa Khi nguyên tử ở trạng thái kích thích k thì nó có thể nhảy

về trạng thái i thấp hơn đồng thời phát ra các vạch phổ có tần số :

e

e m K





 (1.11)với n  k n i phù hợp với giả thiết ở trên E  n k E n i

Khi các dịch chuyển từ n k = 2, 3, 4, 5, … về n i = 1 thì ta có dãy cácvạch Lyman có tần số nằm trong miền tử ngoại Tơng tự, các dịch chuyển

từ n k = 3, 4, 5,… về n i = 2 tạo thành dãy Balmer có tần số nằm trong miềnnhìn thấy và tử ngoại Các dịch chuyển này đợc minh họa trên hình 1.2

Nh vậy, bằng cách sử dụng các tiên đề của Bohr ta có thể dẫn ra đợccác số hạng phổ cho phép xác định bớc sóng của các dịch chuyển trùng vớicác giá trị đã đo đạc thực nghiệm trớc đó

Đối với các nguyên tử một điện tử khác (nh D, T) hoặc các ion tơng

tự hiđrô (nh He+, Li++, ) ta hoàn toàn có thể vận dụng lý thuyết Bohr nh đãlàm với hiđrô bằng cách thay điện tích hạt nhân là Z e Điều này dẫn đến

kết quả bán kính quỹ đạo của điện tử sẽ nhỏ hơn Z lần vì điện tử chịu lực hút từ phía hạt nhân tăng thêm Z lần Lặp lại các phép tính tơng tự đối với

nguyên tử hiđrô, ta sẽ dễ dàng tìm đợc các công thức có dạng (1.6), (1.8) và(1.9):

2

2 2

e KZm

n r

e n

2 n

Z e m K

có thể giải thích cấu trúc nguyên tử bằng quan điểm lợng tử Nhng khác vớiPlanck và Einstein mà ý tởng lợng tử chỉ áp dụng cho bức xạ điện từ - ánhsáng, thuyết Bohr đã mang theo nó những nhân tố mới cha từng gặp trongvật lý cổ điển, nổi bật nhất là quan điểm lợng tử về năng lợng của nguyêntử

Tuy nhiên bên cạnh những thành công rõ rệt, thuyết Bohr cũng bộc lộnhững thiếu sót và hạn chế Thuyết Bohr đợc vận dụng thành công để giảithích quy luật của quang phổ của nguyên tử hiđrô nhng nhiều đặc trng quantrọng khác của phổ nh cờng độ và bề rộng của các vạch phổ, nhất là cấutrúc tinh tế của vạch phổ thì lý thuyết Bohr không đề cập đến và cũngkhông giải quyết đợc Ngoài các khó khăn gặp phải khi mô tả các tính chấtcủa nguyên tử hiđrô, thuyết Bohr cũng không thể áp dụng để giải thích vàtính toán cấu trúc của các nguyên tử phức tạp tức là các nguyên tử có nhiều

điện tử

Nhợc điểm cơ bản bao trùm của thuyết Bohr là tính không nhất quán.Các khái niệm cổ điển và lợng tử mâu thuẫn với nhau lại đợc dùng một cách

đồng thời, chẳng hạn điện tử chuyển động theo quỹ đạo tròn, theo các địnhluật của vật lý cổ điển phải bức xạ sóng điện từ trong khi các tiên đề củaBohr lại phủ nhận Những quy tắc lợng tử (nh điều kiện lợng tử hóa vềmômen động lợng của điện tử trong nguyên tử) đợc gắn cho mô hình cổ

điển (chuyển động của điện tử trên quỹ đạo) mà không theo một liên hệlogic nào cả Tất cả những thiếu sót đó tất yếu dẫn tới sự mâu thuẫn và bếtắc không thể tiếp tục phát triển lý thuyết đợc Mặc dù sau đó thuyết Bohr

đợc Somerfeld bổ sung để có tính khái quát cao hơn (quỹ đạo của điện tửtrong nguyên tử có dạng chung là elip, các trạng thái nguyên tử có hiện t-ợng suy biến về năng lợng v.v ), nhng cuối cùng nó vẫn thất bại vì khônggiải đáp đợc một cách triệt để toàn bộ các vấn đề của cấu trúc nguyên tử,

đặc biệt là bài toán tổng quát nguyên tử có nhiều điện tử Đó chính là tiền

đề của sự ra đời của cơ học lợng tử, nền tảng của một lý thuyết hoàn toànmới có khả năng giải quyết đúng đắn và chính xác mọi hiện tợng và quyluật của thế giới vi mô xảy ra bên trong nguyên tử, phân tử và hạt nhân

Mặc dù chỉ có giá trị lịch sử tạm thời nhng thuyết Bohr với những ý ởng cách mạng và thành công độc đáo của mình vẫn xứng đáng đợc coi làchiếc cầu nối không thể thiếu đợc của hai giai đoạn phát triển của vật lýhọc Nó đánh dấu sự chuyển tiếp từ vật lý cổ điển sang vật lý lợng tử, giúp

t-ta bớc đầu hiểu và tiếp thu các khái niệm "không bình thờng" của cơ học ợng tử

l-Chơng 2 Các nguyên tử một điện tử theo lí thuyết Schrửdinger

Trong cơ học lợng tử, trạng thái của một hạt đợc mô tả bằng hàmsóng còn các biến số động lực nh vận tốc, xung lợng và năng lợng sẽ đợcmô tả thông qua các toán tử hermite tơng ứng Sự thay đổi trạng thái của hệtrong không thời gian đợc mô tả theo phơng trình Schrửdinger - tơng tự nhphơng trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển Vì vậy, để biết thôngtin về trạng thái của hệ chúng ta cần giải phơng trình Schrửdinger

2.1 Phơng trình Schrửdinger cho nguyên tử một điện tử

Xét hệ nguyên tử có một điện tử (có điện tích – e và khối lợng m e)

chuyển động xung quanh hạt nhân có điện tích Ze Thế năng tơng tác

Coulomb giữa điện tích này với hạt nhân:

với r là khoảng cách giữa điện tử và hạt nhân.

Để viết phơng trình Schrửdinger cho hệ ta xác định Hamiltonianbằng cách thực hiện phép chuyển từ biểu thức động năng cổ điển sang toán

tử động năng Theo nguyên lý tơng ứng, Hamiltonian của hệ đợc viết:

pˆ  i .(2.3)

Khi đó phơng trình Schrửdinger của hạt có dạng:

2 2

2

.(2.4)

Do tính đối xứng cầu của thế năng V(r) nên để tiện lợi cho việc giải

phơng trình (2.4) chúng ta chọn hệ tọa độ cầu r,  ,  Trớc hết ta biểu diễntoán tử 2

 trong tọa độ cầu:

ˆ ,1

ơng mômen động lợng trong tọa độ cầu:

Lˆ2  2 .(2.6)

Hàm sóng trong tọa độ cầu đợc viết nh là tích của hai hàm:

  ,  ,    m , 

l nl

vào bán kính r Thay (2.7) vào (2.4) và sử dụng toán tử Hamiltonian trong

tọa độ cầu, phơng trình Schrửdinger lúc đó trở thành:

riêng nlmr,  ,  Cho Lˆ 2 tác dụng lên m , 

trạng thái có năng lợng E n Ba số nguyên n ,,l mgọi là ba số lợng tử đặc trngcho trạng thái mà ta xét

 (2.11)(vì u nl chỉ phụ thuộc r nên có thể thay đạo hàm riêng

r





bằng đạo hàmthờng) Trong đó:

   

2 2

2

1 2

eff

e

l l Ze



   (2.12)

đợc gọi là thế năng hiệu dụng, bao gồm thế Coulomb cộng với thế li tâm

Ta giả thiết rằng khi r 0 thì V r   chậm hơn 12

r (để điện tử

không rơi vào hạt nhân), nghĩa là 2   0



r V

đờng thẳng với thế năng hiệu dụng V eff  r và điều kiện biên (2.13)

Trớc hết ta tìm nghiệm của phơng trình (2.11) với r nhỏ Khi đó

ph-ơng trình (2.11) sẽ trở thành:

 

  0 )

1 ( 2

ss 1.r s.const ll 1.r s.const  0

hay là

ss 1ll 1 (2.16)

Có hai giá trị của s (s = l và s = - l -1) cùng thỏa mãn phơng trình trên Tuy

nhiên giá trị thứ hai không thỏa mãn điều kiện biên vì nó dẫn tới nghiệm

1/ 2 2

0

e n

 

  0 4

1 1

2 2

d

(2.19)Trờng hợp này ta xét với r lớn, tức là với  lớn, khi đó phơng trình (2.19)gần đúng là:

 

2 2

 

  / 2

2 /

e u

nl

nl

Nghiệm    / 2

nl    , ta có thể tìmnghiệm khi r hữu hạn dới dạng:

R nl  l e/ 2v nl 

 (2.21)trong đó v nl  là hàm số liên kết Laguerre Hàm này phải hữu hạn khi

0



r , và khi r   thì dẫn tới vô cùng chậm hơn đa thức của 

Thay biểu thức trên vào phơng trình (2.19) ta có phơng trình cho

d

v d

(2.22)

Ta tìm nghiệm của phơng trình (2.22) dới dạng chuỗi:

v   , c0  0 (2.23)Thay (2.23) vào (2.22) ta đợc:

k k k

c k

c k l k

l k c

2 2 1

1 1

trong đó p là một số nguyên dơng hoặc bằng không.

Nh vậy n phải là một số dơng, ta kí hiệu là n :

2 4

e n

2.3 Các số lợng tử

Ba số nguyên n ,,l mxác định một hàm riêng nlmr,  ,  duy nhất,

gọi là ba số lợng tử, trong đó n đợc gọi là số lợng tử chính, nó có giá trị

nguyên dơng 1, 2, 3, và đặc trng cho mức năng lợng Giá trị của năng

l-ợng phụ thuộc vào n theo công thức (2.27) Số ll-ợng tử l đợc gọi là số lợng

tử quỹ đạo, ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị 0,

1, 2, , n - 1 (nghĩa là có n giá trị của l) Số lợng tử quỹ đạo xác định độ

lớn của mômen động lợngL ll 1   Số lợng tử m đợc gọi là số lợng tử

từ, ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể có những giá trị lợng tử (nghĩa là có 2l + 1 giá trị của m) Số lợng tử từ xác định hình chiếu của

mômen động lợng lên một trục lợng tử (thờng chọn là trục z): L z m

Bộ ba số lợng tử (n, l, m) xác định trạng thái của hệ Tuy nhiên, trong phổ học nguyên tử ngời ta thờng dùng l để ký hiệu trạng thái điện tử tơng ứng với các chữ cái s, p, d … nh sau:

giá trị của l: 0 1 2 3 4 5 6 7

kí hiệu trạng thái s p d f g h i j .

còn giá trị của n thì đợc viết trớc các ký hiệu trạng thái, ví dụ: 1s, 2p…

Theo công thức (2.27) thì năng lợng chỉ phụ thuộc vào n mà không phụ thuộc vào l và m nên sẽ có nhiều trạng thái khác nhau ứng với cùng một giá trị năng lợng E n, nghĩa là các mức năng lợng bị suy biến Ta hãy tính

xem có bao nhiêu trạng thái ứng với cùng một mức năng lợng E n Tức là

tính xem ứng với một giá trị n của số lợng tử chính có bao nhiêu bộ giá trị

Vậy số trạng thái có cùng một giá trị năng lợng E n là n2, tức là suy

biến với độ bội là n2

4 2

4

Z R n

e Z m

2 4

e

m e R

Xét cho nguyên tử hiđrô (Z =1), ứng với n 1 năng lợng có giá trị thấp nhất:

E1 = - 13,6 eV

Hình 2.1 Sơ đồ các mức năng lợng của nguyên tử hiđrô. Khi n càng tăng thì khoảng cách ở hai mức năng lợng cạnh nhau càng bé. Đặc biệt khi n  thì E n  0 ở miền năng lợng E > 0 thì năng lợng liên tục, đó là các giá trị năng lợng ứng với trạng thái điện tử ở ngoài nguyên tử (xa hạt nhân đến mức năng lợng của trờng lực tĩnh điện không đáng kể, điện tử chuyển động tự do) Giá trị tuyệt đối của mức năng lợng thấp nhất cho ta biết năng lợng iôn hóa I của nguyên tử hiđrô Năng lợng này bằng công cần thiết để đa điện tử từ trạng thái liên kết có năng lợng thấp nhất E1 ra ngoài nguyên tử, tức là đến trạng thái ion hóa (Hình 2.1) Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lợng E n về trạng thái có năng lợng E n' thấp hơn thì nó phát ra bức xạ có tần số góc là  thỏa mãn hệ thức:    n n' -13,6 3,4 -15,1 - 0,85 -0 -E(eV) 1s 1 2s 2p 3s 3p 3d 1 3 4 n  l = 0 1 2 3 4

Dựa vào biểu thức của năng lợng (2.27) ta có thể tính đợc tần số góc

Hoặc dới dạng tần số v của bức xạ:

12 12

R v

h

R R





2 ' đợc gọi là hằng số Rydberg

Dãy Lyman ứng với sự chuyển từ các mức có n 2 về mức có n'  1:

lợng lớn gấp Z2 lần so với hiđrô)

2.5 Hàm sóng và sự phân bố điện tử

Nh đã trình bày trên đây, hàm sóng của hệ đợc viết:

  ,  ,    m , 

l nl nlm r R r  , (2.31)trong đó thành phần xuyên tâm R nl r đợc xác định bởi công thức (2.21):

R nl  l e/ 2v nl 

với v nl là nghiệm của phơng trình (2.22) - còn gọi là phơng trình Laguerre.Nghiệm v nl là các đa thức Laguerre liên đới, nó có dạng:

v nl  N nl L2 n ll1  , (2.32)trong đó L2 n ll1  đợc cho bởi:

       

! 1

2 1

0

1 2

k k l k n

l n L

k

r

k n

k

l l n

Sử dụng bảng tra cứu các đa thức Laguerre liên đới ta tìm đợc phần hàm

sóng phụ thuộc bán kính R nl (r) Trong bảng 1 là một số hàm R nl (r) đầu tiên.

21

3 2

 x

x e



 2 2

4

x e

sin

sin sin

m

d

dK d

2 2

2 2

m

x

m l

l dx

dK x dx

K d

Phơng trình (2.38) là phơng trình Legendre liên kết Nghiệm m

l K

chính là đa thức liên kết Legendre với biến số là cos 

l

d

P d P

cos

cos cos



4 3





i e

sin 8

sin cos 8

Với các hàm theo bán kính và hàm cầu đã đợc xác định ta thu đợc hàmsóng toàn phần của hệ Một số hàm sóng ứng với các giá trị đầu tiên của