Cấu trúc nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan luận văn thạc sĩ toán học

Đó là những nửa nhóm không đơn S thỏa mãn điều kiện: Đối với mỗi iđêan I của S, tồn tại một đồng cấu : Sϕ →I từ S lên iđêan sao cho cácthu hẹp của ϕ trên I là ánh xạ đồng nhất.. Trong cô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN TRUNG HIẾU

CẤU TRÚC NỬA NHÓM GIAO HOÁN VỚI TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

VINH - 2011

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu …….……… ……… ……….……… 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ……….……… ………….……… 4

1.1. Băng và nửa dàn …….……….……….……….… … 4

1.2 Nửa nhóm giao hoán ……….………….……….……….… 8

1.3 Nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan ……… ……… … 13

Chương 2 Nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan…… 16

2.1 Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan ….……… …… ……… 16

2.2. Lõi bậc hai trong nửa nhóm ……… ….….……… 22

2.3 Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan… … 28

Kết luận ……….……… 34

Tài liệu tham khảo ……….……….

35

MỞ ĐẦU

Các nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan đã được các tác giả K D.Aucoin và J A Dumesnil và J A Hindebrant đề xuất nghiên cứu đầu tiên vàonăm 2003 Đó là những nửa nhóm không đơn S thỏa mãn điều kiện: Đối với

mỗi iđêan I của S, tồn tại một đồng cấu : Sϕ →I từ S lên iđêan sao cho cácthu hẹp của ϕ trên I là ánh xạ đồng nhất.

Trong công trình Semigroups with ideal retraction property của các tác

giả đó đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66 (2003), một số lớp nửa nhóm

với tính chất thu hẹp iđêan đã được xét như nửa nhóm tách được, nửa nhóm

iđêan và các nửa dàn Tiếp đó, trong công trình The structure of commutative semigroups with the ideal retraction property đăng trên tạp chí Semigroup

Forum số 68 (2004) họ tiếp tục khảo sát lớp nửa nhóm giao hoán với tính chất

thu hẹp iđêan

Luận văn chúng tôi dựa trên hai công trình trên để tìm hiểu cấu trúc củacác nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Băng và nửa dàn

1.2 Nửa nhóm giao hoán

1.3 Nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan

Chương 2 Nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan

2.1 Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan

2.2 Lõi bậc hai trong nửa nhóm

2.3 Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất thu hẹp iđêan

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng tri ân chânthành và sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên cứu,thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi cùng với những lời độngviên khích lệ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số củaKhoa Toán - Trường Đại học Vinh đã không quản ngại từ Vinh vào giảng dạycho chúng em Kiến thức sâu rộng và sự tận tụy, tâm huyết của Quý thầy, cô

đã giúp chúng em có thêm nhiều kiến thức quý báu trong công việc giảng dạy

và nghiên cứu khoa học Tác giả cũng xin cảm ơn Khoa Sau Đại học-TrườngĐại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi đểchúng em hoàn thành chương trình học tập cũng như bản luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

1.1.1 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S Khi đó

quan hệ " "≤ xác định trên E bởi

e≤ f nếu ef = fe e= ,

là một thứ tự bộ phận trên E

Chứng minh Vì e E∈ nên e2 =e, do đó e e≤ nên “≤ “ phản xạ Hơn nữa,

nếu e≤ f , f ≤e thì ef = fe= f và fe ef= =e nên e= f , do đó “≤” phảnđối xứng Ta lại có: nếu e≤ f và f ≤g thì ef = fe e= và gf = fg = f nên

ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu b c≤ với mọi cận trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ rànghợp đó là duy nhất);

iii) Phần tử a X∈ được gọi là cận dưới của Y nếu a y≤ với mọi y Y∈ ;iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu

d a≤ với mọi cận dưới d của Y (Nếu Y có một giao trong X, thì rõ ràng giao

đó cũng duy nhất);

v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới), nếu

mỗi tập con gồm hai phần tử { , }a b của X có hợp (hay giao) trong X; trong

trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp(giao) của { , }a b sẽ được ký hiệu là a b∪ (hay a b∩ );

vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới;

vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và một

giao

1.1.4 Ví dụ

1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ sungthêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lýthuyết tập hợp Vì giao của một họ tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng,hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ, Giao của một tậpcon Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y,trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợpcủa các nửa nhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thaythế từ “nửa nhóm con hay tập hợp của S” bởi từ “tương đẳng trên S”

2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sungthêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con đầy

đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S

1.1.5 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S

đều là lũy đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó S = E và S được sắp thứ tự bộ phận tự nhiên

(a b a b S≤ ( , ∈ ) nếu và chỉ nếu ab ba a= = ).

1.1.6 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S Giao a b∩ của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.1, quan hệ " "≤ là một thứ tự bộ phận trên S (= E) Ta chứng tỏ rằng tích ab (= ba) của hai phần tử , a b S∈ trùng với cận dướilớn nhất của { , }a b

Từ ( )ab a a ba= ( )=a ab( )=aab a b ab= 2 = và a ab( ) ( )= aa b a b ab= 2 =

suy ra ab a≤ Tương tự ab b≤ nên ab là cận dưới của { , }a b Giả sử c a≤ và

c b≤ Thế thì ( )ab c a bc= ( )=ac c= , và tương tự, ( )c ab =c , từ đó c ab≤ Do

đó ab là cận dưới lớn nhất của { , } a b Từ đó S là nửa dàn dưới W

Mệnh đề đảo là hiển nhiên

1.1.7 Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a b≤ khi và

chỉ khi ab (= ba) = b thì ( , ) S ≤ là nửa dàn trên Tuy nhiên, để cho thống nhất,trong luận văn này, ta giữ định nghĩa nêu trong 1.1.5 Từ đây về sau, ta sẽdùng từ “nửa dàn” đồng nghĩa với từ “băng giao hoán” Hơn nữa, từ “nửadàn” sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không nói gì thêm

1.1.8 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý Đặt S = ×X Y là tích

Descartes của X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a a1 2 =( , )x y1 2 và

1.1.9 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân hoạch thành hợp của các nửa

nhóm con rời nhau Sα,α ∈I (I là tập hợp các chỉ số nào đó ) thì ta nói rằng S phân tích được thành các nửa nhóm con Sα,α ∈I

Chú ý rằng sự phân tích trên đây chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con Sαthuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S.

Giả sử S = ∪{ ,Sα α∈I} là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi

cặp ,α β ∈I, tồn tại γ ∈I để cho S Sα. β =Sγ Ta định nghĩa một phép toán

đại số trong I bằng cách đặt α β γ= nếu S Sα. β ≤Sγ, khi đó I trở thành một

băng đối với phép toán đó Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm Sα

Ánh xạ : Sϕ →I xác định bởi ( )ϕ a =α nếu a S∈ , là một toàn cấu và

các nửa nhóm con Sα là các lớp của tương đẳng hạt nhân Kerϕ Đảo lại, nếu

ϕ là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên băng I thì ảnh ngược Sα =ϕ α− 1( )của mỗi phần tử α ∈I , là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I

các nửa nhóm Sα,α ∈I

1.2 Nửa nhóm giao hoán

Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hoán, nếu phép toán trên S thỏa mãn ab ba a b S= ∀ , ∈

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Khi đó S được gọi là

nửa nhóm Archimede nếu ∀a b S, ∈ , tồn tại các số nguyên dương m và n sao

cho a m =bx và b n =ay với x, y nào đó thuộc S.

1.2.2 Định nghĩa Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S Khi đó ρ

được gọi là lũy đẳng nếu Sρ là một băng.

1.2.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tùy ý Ta xây dựng

quan hệ η trên S như sau: a b a b Sη ( , ∈ ) nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên

dương m , n và các phần tử , x y S∈ sao cho a m =bx b, n =ay

1.2.4 Định lý Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng

trên S và Sη là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S.

Chứng minh Rõ ràng quan hệ η là phản xạ và đối xứng Để chứng minh η

bắc cầu, giả sử a bη và b c a b c Sη ( , , ∈ ) Khi đó b m =ax và c n =by với m, n là

các số nguyên dương và ,x y S∈ Vì S giao hoán nên

( )

nm m m m m

c = by =b y =axy hay \a c Tương tự, c chia hết một lũy thừa nào nm

đó của a và do đó a cη Để chứng minh rằng η ổn định, giả sử , ,a b c S∈ và

Chứng minh sẽ kết thúc nếu chúng ta chứng tỏ được rằng η được chứa

trong một tương đẳng lũy đẳng ρ bất kỳ trên S Giả sử a b a b Sη ( , ∈ ) Thế thì

tồn tại các số nguyên m, n và các phần tử x, y thuộc S sao cho a m =bx b, n =ay

Vì ρ là lũy đẳng nên a a b bρ 2 , ρ 2 Do đó ( )ax bρ và ( )by aρ Suy ra

a byρ ρ b y ρ ba ρ a x ρ ax bρ Như vậy a bρ và ta kết luận η ρ⊆ .W

W

1.2.5 Định lý Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất

thành nửa dàn Y các nửa nhóm Archimede Sα,α ∈Y Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh đồng cấu của nửa dàn tối đại Sη của S, và các Sα,α ∈Y là các lớp tương đương của S theo modulo η.

Chứng minh Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán và η là quan hệ trên S được

xác định như trong Định nghĩa 1.2.3 Theo Định lý 1.2.4, Sη là một nửa dàn

và Sη là ảnh đồng cấu của S Ta sẽ chứng tỏ S là nửa dàn các nửa nhóm

Archimede nếu ta chứng tỏ được rằng mỗi lớp tương đương A của S modulo η

là một nửa nhóm con Archimede của S Rõ ràng A là một nửa nhóm con của S

vì Sη là lũy đẳng Giả sử ,a b A∈ Thế thì a bη và ax b by a= m, = n với x, y

nào đó thuộc S và m, n là các số nguyên dương nào đó Thế thì a bx( )=b m+1 và

1

b ay =a + Từ đó, bx b\ m+1 và \b bx Suy ra bx bη nên bx A∈ Tương tự,

ay A∈ Như vậy a b\ m+1 và b a\ m+1 đối với A, nghĩa là A là Archimede.

Về tính duy nhất, giả sử S là một nửa dàn Y các nửa nhóm con Archimede

,

Sα α ∈Y Chứng minh kết thúc nếu chứng tỏ được rằng Sα là các lớp tương

đương S modulo η, vì Y ≅ Sη được suy ra một cách trực tiếp.

Giả sử ,a b S∈ Ta chứng tỏ rằng a bη khi và chỉ khi a và b cùng thuộc

Sα Nếu a và b cùng thuộc Sα thì mỗi phần tử chia hết một lũy thừa của phần

tử kia vì Sα là Archimede, và do đó ta có a bη và giả sử a S b S∈ α, ∈ β Vì

a bη nên ta có ax b by a= m, = n với x, y nào đó thuộc S và m, n nguyên dương nào đó Giả sử x S∈ α, khi đó ax S∈ αγ và b m∈Sβ Thế thì Sαγ ∩Sβ ≠ ∅ và

do đó αγ β= Như vậy α β≤ trong nửa dàn Y Do đối xứng, β α≤ nên

Ta chuyển sang tính tách được của các nửa nhóm

1.2.6 Định nghĩa

i) Nửa nhóm giao hoán S được gọi là tách được, nếu từ hệ thức

ab a= =b a b S∈ kéo theo a = b.

ii) Tương đẳng ρ trên nửa nhóm S được gọi là tách được, nếu nửa

nhóm thương Sρ tách được, nghĩa là nếu ab a bρ ρ2 2 kéo theo a bρ

Rõ ràng giao của một họ các tương đẳng tách được trên S là tách được suy ra S có một đồng cấu tách được tối đại Ta sẽ chi tiết hóa kết quả này.

1.2.7 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Ta định nghĩa một

quan hệ σ trên S như sau: a b a b Sσ ( , ∈ ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên

dương n sao cho ab n =b n+1 và ba n =a n+1

1.2.8 Chú ý Nếu tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho ab m =b m+1 và

1.2.9 Định lý Quan hệ σ được định nghĩa trong 1.2.7 là một tương đẳng trên

S và Sσ là ảnh đồng cấu tách được tối đại của S.

Chứng minh Quan hệ σ rõ ràng là phản xạ và đối xứng Để chứng minh σ

bắc cầu, giả sử a bσ và b c a b cσ ( , , ∈σ) Khi đó tồn tại các số nguyên dương

hay là ac k =c k+1.

Tương tự, ta có ca k =a k+1

Để chứng minh σ ổn định, giả sử a bσ nghĩa là ab n =b n+1,ba n =a n+1 với

số nguyên dương n nào đó, và giả sử c S∈ Thế thì

( )( )ac bc n =ab c n n+ =b c n+ n+ =( )bc n+ và tương tự ( )(bc ac n n) =( )ac n+1 Nhưvậy, ( ) ( )ac σ bc và vì S giao hoán nên ( ) ( ) ca σ cb Suy ra σ là một tươngđẳng

Cuối cùng, ta chứng minh σ tách được Giả sử a và b là các phần tử thuộc S sao cho ab aσ 2 và ab bσ 2 Thế thì tồn tại các số nguyên dương m và n

sao cho ( )( )ab a2 m =( )a2 m+1 và ( )( )ab b2 n =( )b2 n+1 Như vậy ba2m+1=a2(m+1)

Giả sử k là một số nguyên dương nào đó sao cho ab b kρ k+ 1,ba a kρ k+ 1(1)

Chẳng hạn k = n Giả sử k ≥2 Bằng cách xem ab là a trong biểu thức0

sau đây (nếu k = 2) có

Bằng quy nạp trở xuống, từ k = n suy ra (1) đúng với k = 1 Do đó ab bρ 2

1.2.10 Hệ quả Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách được Nếu a và b là

các phần tử thuộc S sao cho ab m =b m+1,ba n =a n+1 với các số nguyên dương nào đó thì a = b.

Chứng minh Dựa theo Chú ý 1.2.8, ta có a bσ Vì S tách được nên quan hệ

đồng nhất i trên S là tách được Theo Định lý 1.1.9, có S σ ⊆i s nên a = b.W

1.2.11 Định lý.Một nửa nhóm giao hoán là tách được khi và chỉ khi các thành

phần Archimede của nó là giản ước được.

Chứng minh Giả sử S là nửa nhóm giao hoán tách được, và giả sử Sα là một

thành phần Archimede của S Rõ ràng Sα cũng tách được Ta chứng minh Sαgiản ước được Giả sử a, b, c là các phần tử thuộc Sα sao cho ac = bc Vì Sα

là Archimede nên tồn tại các phần tử ,x y S∈ α và các số nguyên dương m, n

b ∈Sα nên α β= Ta kết luận được a = b do tính giản ước trong Sα.W

1.3 Nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan

1.3.1 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm có tính chất thu hẹp

iđêan (ideal retraction property – IRP) nếu S không đơn (nghĩa là S có ít nhất một iđêan thực sự) và nếu I là một iđêan của S, thì tồn tại một thu hẹp đồng cấu : Sϕ →I, (nghĩa là ϕ là một đồng cấu và thu hẹp trên iđêan I là ánh xạ

đồng nhất /ϕ I =1I trong đó 1I đồng nhất trên iđêan I).

1.3.2 Ký hiệu Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tập hợp tất cả các lũy đẳng

của S được ký hiệu là E(S) hay E hay đơn giản là E Như vậy S

E= ∈{e S e/ 2 =e}

Ký hiệu M(S) là iđêan tối tiểu của S nếu nó tồn tại (nghĩa là I = M(S) là một iđêan của S thỏa mãn điều kiện: Với mọi iđêan J của S thỏa mãn J ⊂I thì J =I )

Với mỗi e E∈ , ký hiệu H(e) = H là nhóm con tối đại của S với đơn vị là e

e (xem thêm 2.2.2)

1.3.3 Định nghĩa

i) Nửa nhóm S được gọi là rút gọn yếu (weakly reductive) nếu từ

,

a b S∈ sao cho at = bt và ta = tb với mọi t S∈ kéo theo a = b.

ii) Nửa nhóm S được gọi là tách được (separative) nếu từ , a b S∈ saocho a2 =b2 =ab ba= kéo theo a = b.

Chú ý rằng nếu S là nửa nhóm tách được thì S rút gọn yếu.

1.3.4 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm với tính chất thu hẹp iđêan,

Φ → là một đồng cấu từ S lên nửa nhóm T và I là một iđêan rút gọn yếu của T thế thì tồn tại một thu hẹp đồng cấu :Tϕ →I sao cho biểu đồ sau giao hoán

trong đó α :S→Φ−1( )I là thu hẹp đồng cấu.

Chứng minh Giả sử t T∈ và ,u v S∈ sao cho ( )Φ u =Φ( )v Khi đó( ( ))u ( ( )).v

Φ α =Φ α Thật vậy, giả sử p I∈ Thế thì p=Φ( )q với q∈Φ− 1( )I

nào đó Như vậy

Định nghĩa ( )ϕ t = Φ( ( ))α v ,u∈Φ−1( )t Thế thì theo lập luận trên, ϕ hoàn

toàn xác định Kiểm tra được ϕ là đồng cấu Để chứng tỏ /ϕ I =1I , giả sử

c I∈ và d S∈ sao cho ( )Φ d =c, và d∈Φ−1( )I Thế thì

( )c ( ( ))d ( )d ( )d c

ϕ =ϕ Φ =Φα =α =

Từ Mệnh đề 1.3.4 và Chú ý trên, trực tiếp suy ra

1.3.5 Hệ quả Nếu S có tính chất thu hẹp iđêan và : SΦ →T là một đồng cấu

từ S lên nửa nhóm tách được không đơn T, thế thì T có tính chất thu hẹp iđêan

Chương 2 NỬA NHÓM GIAO HOÁN VỚI TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN

2.1 Nửa dàn với tính chất thu hẹp iđêan

Trong tiết này chúng ta sẽ đưa ra một số kết quả liên quan đến tính chấtthu hẹp iđêan đối với các nửa dàn (nghĩa là các nửa nhóm lũy đẳng giao hoán)

Giả sử S là một nửa dàn và , e f ∈S Ta định nghĩa e≤ f nếu và chỉ nếu

ef = fe e= Khi đó ≤ là một thứ tự bộ phận trên S

Một tập con C của S được gọi là một chuỗi (chain) nếu ≤ là một quan hệ

toàn phần trên C, nghĩa là nếu , e f ∈C thì hoặc e≤ f hoặc f ≤e

Đối với mỗi e S∈ , ta định nghĩa

↓ =e: {f ∈S f/ ≤e}

(tập hợp tất cả các phần tử của S đứng trước e) Thế thì e↓ là một iđêan của S

và e eS↓ = Hơn nữa, nếu I là một iđêan của nửa dàn S và e I∈ thì

eS =↓ ⊆e I

Để thuận tiện, ta sẽ dùng ký hiệu e fP nếu ,e f ∈S và e, f không so

sánh được với nhau (nghĩa là /e≤ f và f ≤/ e)

Nếu S là một nửa dàn và : Sϕ →S là một đồng cấu từ S lên chính nó thì

ϕ bảo toàn thứ tự Thật vậy, giả sử e≤ f trong S Thế thì ef =e nên

Giả thiết phản chứng rằng tồn tại phần tử g S∈ sao cho g↓ không phải

là một chuỗi Thế thì tồn tại ,e f ∈↓g sao cho e fP

Nếu g = e thì f ≤e , và nếu g = f thì e≤ f Cả hai trường hợp ta đều

nhận được mâu thuẫn với e fP W

2.1.3 Ví dụ Chúng ta đưa ra một ví dụ nửa dàn không phải là một cây và từ

đó không có tính chất thu hẹp iđêan