Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn toán 11

TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để tìm tập xác định của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau: B có nghĩa khi B 0 và A có nghĩa... XÉT TÍNH TUẦN HOÀN VÀ TÌM CHU KỲ

MSE EDUCATION

SÁCH CÓ BÁN TẠI

VPP-PHOTOCOPY

TÂM PHÚC

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f

II HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

1 Hàm số sin: y sinx

 Tập xác định 

 Tập giá trị: 1;1 ,có nghĩa là  1 sinx    1, x

 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sinxk2sinx với k  

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

3π 2 π

2 -1

1

3π 2π

 Tập giá trị: 1;1, có nghĩa là  1 cosx    1, x

 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cosxk2cosx với k  

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k  và nghịch biến trên mỗi khoảng

k2 ;  k2,k  

 Đồ thị: ycosx là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng

1

-1 O y

x

-3π

-π 2

3π 2

π 2

3π 2π

π -π

-2π -3π

 Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tanxk tan , (x k )

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , 

3π 2 π

 Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa cotxk cot , (x k )

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng k  ; k ,k 

 Đồ thị: ycotx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng xk ,k  làm đường tiệm cận

3π 2 π

2

- π 2

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

VẤN ĐỀ 01 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để tìm tập xác định của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

B có nghĩa khi B 0 và A có nghĩa

 A có nghĩa khi A 0 và A có nghĩa

b) Hàm số xác định khi sin 1 0 sin 1 sin 1 2

Bài 3 Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y cosxsinx b) tan cot

x x

Bài 4 Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y sinx 1 cosx1 b) 1 cos

2 sin

x y

a) Hàm số xác định khi sin 1 0 sin 1 sin 1

cos 1 0 cos 1 cos 1

VẤN ĐỀ 02 XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để xét tính chẵn, lẻ của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

 Hàm số y f x  được goi là hàm số chẵn nếu

 Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là  x D suy ra  x D

 f x f x ,  x D

 Hàm số y f x  được goi là hàm số lẻ nếu

 Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là  x D suy ra  x D

 f x f x ,  x D

 Chú ý: Nếu hàm số f x  vi phạm một trong hai điều kiện thì ta kết luận hàm số f x 

không chẵn, không lẻ

B- CÁC VÍ DỤ

Bài 6 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

a) y3x2cos 2x b) y x2sinxtanx

Ta có x  1 D nhưng   x 1 D nên D không có tính đối xứng

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ

Bài 8 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

a) ysinxtanx b)

3 2

cos x sin x

y 

VẤN ĐỀ 03 XÉT TÍNH TUẦN HOÀN VÀ TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

 Hàm số y f x  xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu

Khi cho x 0 thì  * cũng phải đúng, tức là

Do đó hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T 

Bài 10 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau

a) y x sinx b) ysin 22 xcos 22 x

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

 Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn (nhỏ hơn một chu kỳ của hàm số đó) ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng,

đoạn đó rồi dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả

 Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn bộ tập xác định của

nó ta có thể biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất rồi dựa vào miền giá trị của hàm số

đã cho để suy ra kết quả

 Chú ý:  Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên X nếu

 

 

::

B- CÁC VÍ DỤ

Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) ysinx trên đoạn ;2

2

0

62



0

1

32

Ta có y 5 4sin 2 cos 2x x 5 2sin 4x

Do  1 sin 4x1   2 2 sin 4x2  3 5 2sin 4x7  3 y 7

Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y cos2 x2sinx 2 b) y sin4x2 cos2x 1

c) y 3sin4xcos 4x d) y2 sin4xcos4x

Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y asinx b cosx c b) y sinx 3 cosx3

Lời giải

a) Hàm số có tập xác định D  

Ta có y asinx b cosx c  sina x b cosx c y 0

 *

Nhận xét Ta xem phương trình  * như phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x nên

để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Cách 2 Ta có sin 3 cos 3 2 1sin 3cos 3 2sin 3

Đến đây bạn đọc giải hoàn toàn như bài 14 a)

b) Cách 1 Tương tự như câu a

a) Điều kiện: AsinxBcosx C 0

Ta có sin cos  sin cos  sin cos

Nhận xét Ta xem phương trình  * như phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x nên

để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Gọi đồ thị của hàm số ysinx là  C

a) Đồ thị  C1 của hàm số y2sinx được suy ra từ  C bằng cách biến mỗi điểm x y;  của

 C thành điểm x; 2y của  C1 , hay nói cách khác đồ thị  C1 nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị  C theo phương trục tung hai lần (hình 1)

Hình 1

2 1

-2 -1 O y

x

2π π

c) Đồ thị  C3 của hàm số ysin 3x được suy ra từ  C bằng cách biến mỗi điểm x y;  của

 C thành điểm ;

3

x y

-2 -1 O y

x

d) Đồ thị  C4 của hàm số sin 1

2

y  x

  được suy ra từ  C bằng cách biến mỗi điểm x y; 

của  C thành điểm 2 ;x y của  C4 , hay nói cách khác đồ thị  C4 nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị  C theo phương trục hoành hai lần để được đồ thị  C và sau

đó thực hiện phép đối xứng  C qua trục hoành được  C4 (hình 4)

(C 4 )

(C)

Hình 4

2 1

-2 -1 O y

-2 -1 O y

x

2π π

-2 -1 O y

x

2π π

g) Đồ thị  C7 của hàm số ysinx được suy ra từ 2  C bằng cách biến mỗi điểm x y; 

của  C thành điểm x y ; 2 của  C7 , hay nói cách khác đồ thị  C7 nhận được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến  C theo véctơ u  0; 2

tức là tịnh tiến  C theo phương trục tung lên trên một đoạn 2 đơn vị (hình 7)

(C 7 )

(C)

Hình 7

2 1

-2 -1 O y

x

2π π

h) Ta có 2 cos2 1 cos 2 2 sin 2 2

x

2π π

Bài 19 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y sinx b) ytan 2x c) cot

a) sin sin khi sin 0

sin khi sin 0

 Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số ysinx nằm phía trên trục Ox được đồ thị  C  1

 Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số ysinx nằm phía dưới trục Ox được

đồ thị  C  1

Đồ thị hàm số y sinx là hợp của hai đồ thị  C  và 1  C  1

(C 1 )

(C)

Hình 1

2 1

-2 -1 O y

x

2π π

g x  = tan 2∙x ( )

- 3π

2

-π 2

3π 2

π 2

2

- π 2

x

Hình 3

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 01 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Dạng 1 Phương trình bậc nhất đối với một

hàm số lượng giác

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Phương trình bậc nhất đối với sin x có dạng asinxb 0 a 0

 Cách giải Phương trình asinx b sinx b

2 Phương trình bậc nhất đối với cos x có dạng acosxb 0 a 0

 Cách giải Phương trình acosx b cosx b

x k a

3 Phương trình bậc nhất đối với tan x có dạng atanxb 0 a 0

 Cách giải Điều kiện : cos 0 ,

8 24

Bài 3 Giải phương trình

2

2

k x

k k x

.25

  Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

sin cos

Điều kiện để phương trình có nghiệm là c2 a2b2

Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta đựợc phương trình

Bài 7 Giải phương trình

a) 3 sinxcosx 2 b) 3 cosxsinx 1

Bài 8 Giải phương trình

a) 3sinx4 cosx3 b) 3sinx4 cosx4 c) 3sinx4 cosx5 d) 3sinx4 cosx6

Vậy phương trình đã cho có nghiệm xk2; x2k2, k  

c) Phương trình 3sin 4cos 1

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 9 Giải phương trình

a) 3 sin 3xcos 3x2 cos 2x b) 3 cos sin 2sin 2

a) Phương trình 3sin 3 1cos 3 cos 2 os 3 cos 2

Bài 10 Giải phương trình

a) cos 2x 3 sin 2x 3 cosxsinx b) cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx0 c) cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx4 d) cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx2

Dạng 3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Phương trình bậc hai đối với sin x có dạng 2  

 Nếu a b  c 0 Ta đặt tsinx, điều kiện   1 t 1

Khi đó ta được phương trình at2bt  c 0

Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t , thay tsinx để tìm x

2 Phương trình bậc hai đối với cos x có dạng 2  

 Nếu a b  c 0 Ta đặt tcosx, điều kiện   1 t 1

Khi đó ta được phương trình at2bt  c 0

Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t , thay tcosx để tìm x

3 Phương trình bậc hai đối với tan x có dạng 2  

 Đặt ttanx Khi đó ta được phương trình at2bt  c 0

Giải phương trình bậc hai theo t , thay ttanx để tìm x

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

 Kiểm tra cosx 0 có là nghiệm của phương trình không ?

 Khi cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta thu được phương trình 2

2

tan tan 0

a x b x c Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết ở dạng 3

a) Ta thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình

Với cosx 0, phương trình

x k x

Ta thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình

Với cosx 0, phương trình 2

an 1

43

3t

2sin x 1 3 sin cosx x 1 3 cos x 1

d) 3 cos2x2 sin cosx x 3 sin2x 1

Với cosx 0, phương trình

3

3

x k x

x

x

x k x

3 1 sin x 2 sin cosx x 3 1 cos x 0

Ta thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình

Với cosx 0, phương trình   2  

arctan 2 31

13

x k

x k x

 Nhận xét Việc biến đổi lượng giác thành thạo giúp cho chúng ta tìm được nghiệm đẹp trong

việc giải phương trình

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

sin cos  sin cos 0

 Cách giải:

 Kiểm tra cosx 0 có là nghiệm của phương trình không ?

 Khi cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta thu được phương trình 2

Đặt sin cos 2 sin

4

t x x x  

  Điều kiện:  2 t 2 Suy ra 2  2

sin cos 1 2 sin cos

t  x x   x x nên

2

1sin cos

 Chú ý: Một số dạng tương tự và cách đặt:

 Dạng asinxcosxbsin cosx x c 0 thì ta đặt t sinxcosx

Với điều kiện  2 t 2

 Dạng asinxcosx bsin cosx x c 0 thì ta đặt t sinxcosx

Với điều kiện 0 t 2

B- CÁC VÍ DỤ

Bài 14 Giải phương trình

a) 2 2 sinxcosx2sin cosx x2 2 1  0 b) 1 sin3 cos3 3sin 2

sin cos 1 2 sin cos

t  x x   x x nên 2sin cosx xt2 1Khi đó phương trình trở thành

2 2 t t 1 2 2 1 0  t  2 2 t2 20 t 2 hoặc t 2 (loại) Với t  2 suy ra

1 sinx cosx sin x sin cosx x cos x 3sin cx osx

sin cos 1 2 sin cos

t  x x   x x nên

2

1sin cos

2

t

x x  Khi đó phương trình trở thành

VẤN ĐỀ 02 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp biến đổi đưa về dạng cơ bản

Bài 15 Giải phương trình

 

sin 2 1 cos 2 sin cos 1 sin 2 cos 2 sin cos

2 sin 2 2 sin sin 2 sin

, .2

Bài 16 Giải phương trình

a) sin 3 3 2 sin 2 cos 2 3sin 2

3 Phương pháp biến đổi đưa về tổng hai bình phương

3 tan x4sin x2 3 tanx4 sinx2 0

b) 4 cos3x3 tan2x4 3 cosx2 3 tanx4 0

31sin

21

x x

os

1tan

1

30

x x

x x

Bài 18 Giải phương trình

a) sin 3xcosx2 sin 3xcos 3x1 sin x2 cos 3x0

Khi biểu diễn các họ nghiệm  1 và  2 trên đường tròn lượng giác, ta thấy không có điểm

nào chung Tức là phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 19 Giải phương trình

a) sin2010xcos2010x 1 b) sin8xcos11x 1

sin 0sin 1

x x

cos 0cos 1

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

2



  ; xk2, k  

Bài 20 Giải phương trình

a) cosx3 3 sinxcos 7x b) tan2 cot2 2 sin5

Do đó phương trình  * vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm xk  , k  

b) Điều kiện: sin 0

x

x k x

cos 3x 2 cos 3 x 2 1 sin 2 x b) 2 2

sinx 2 sin xsinx 2 sin x3

Lời giải

a) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có

1.cos 3x1 2 cos 3 x 2 cos 3x 2 cos 3 x 2

Dấu '''' xảy ra khi và chỉ khi: cos 3 2 cos 32 cos 32 0 2

2 1 sin 2 x  Dấu 2 '''' xảy ra khi vfa chỉ khi: sin 2x 0

Do đó phương trình 2 2 os 3

2cos 3 0

x x

2 2

Bài 22 Giải phương trình

a) 6 sinx2 sin 3x13 162sinx27

3 1

u t ta được hệ

3 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2

a) Điều kiện: sinx0xk  , k  

Chia hai vế phương trình cho sin x , ta được 2  



2 2

1cos 2

1

t x t





 Khi đó phương trình trở thành

● Với t 1 suy ra tan 1

6 Phương pháp đổi biến số

Bài 24 Giải phương trình

a) 2 2 cos3 3cos sin 0

Bài 25 Giải phương trình

a) 3 sin 2 xcosxsinxcos 2x 2 b) sin 3 4 cos 3 0

2

22

x k k

x k x

7 Phương pháp nhân – chia thêm bớt

Bài 26 Giải phương trình

     không là nghiệm của phương trình

Nhân hai vế của phương trình với sin

2

x

, ta được

  không phải là nghiệm của phương trình

Nhân hai vế của phương trình với cos x , ta được

Bài 27 Giải phương trình

a) sin5 5 cos3 sin

       không phải là nghiệm của phương trình

Nhân hai vế của phương trình với cos

2c

5 cos 4 cos 2 cos 1 0

Kiểm tra sinx0xk  không phải là nghiệm của phương trình

Nhân hai vế của phương trình với sin x, ta được

2 cos sinx x2 cos 3 sinx x2 cos 5 sinx xsinx

● 1 sin cos x xcosxsinx0

Đặt cos sin 2 cos

4

t x x x  

  Điều kiện:  2 t 2 Suy ra 2  2

cos sin 1 2sin cos

t  x x   x x nên

2

1sin cos

2 sin 2 cos sin cos 2 sin 2 sin cos sin

2 sin 2 cos sin sin cos cos sin 0cos sin 2 sin 2 sin cos cos sin 0

Bài 35 Giải phương trình sin 7 sin 9 2 cos2 cos2 2

2sin 2 1 0 sin 2 sin 2 sin

6sinx2 cos x5sin 2 cosx x

10 sin 4 sin 2 cos 0 10 4 2 0

cos cos cos

10 tan 4 tan 1 tan 2

an 1

42

2tan

arctan3

0 6 tan 4 tan 2 0t

Bài 43 Giải phương trình sin 4xcos 3xcosx4 sinx2

76

26

x k x

cos 3 cos 2 0 cos 3 cos 2 os 3 3 2

2

1cos 1

x x

k x

1 3cos 2 cos 1 2 4 cos 3cos 8 1 cos cos

2 cos cos 0 cos 2 cos 1 0

Bài 46 Giải phương trình 2 cos2x2 3 sin cosx x 1 3sinx3 3 cosx

Phương trình 4 sin 3xsin 5xsin 3xsinx03sin 3xsin 5xsinx0

3sin 3x2 sin 3 cos 2x x0sin 3x3 2 cos 2 x0

30

3 2 cos 2 x0c x  : vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Ta xem đây như phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Vì vậy nên để phương trình có

nghiệm khi và chỉ khi  2  2 2 2 3 1

6 3c

Vậy phương trình đã cho có nghiệm xk2, k  

2sin x2 3 sin cosx x 1 3 cosx 3 sinx

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2

Phương trình 2 sinxsinxcosx2 sinxsin 3xcos 3x

2 sinxsinxcosx  sin 3xcos 3x0

x k x

Điều kiện: sinxcosx0

Với điều kiện trên phương trình

2

sin 2 sinsin

2

Điều kiện: cosx 0

Với điều kiện trên phương trình sin2xcosx 1 sinxsin cosx 2xcos2x

● cos 1 sin 0 sin 1 sin sin 2 2

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình xk  , k  

x x

x x

tan cot 2 1 sin 4 sin cos

Bài 62 Giải phương trình tan cos 3 2 cos 2 1 3 sin 2 cos 

3

22

x k x

Điều kiện: cosx 0

Với điều kiện trên phương trình sin 2 cos 2 sin sin 3

sin coscos

x x x x

x x x

sin 2 sin cos

sin coscos

2 sin sin cos sin cos sin cos 2 sin 1 0

x x x x x x x x

x x x

x x x

x x x

Bài 64 Giải phương trình tan 3 tan 52 x x2 tan 3xtan 5x 0

Lời giải

Điều kiện: cos 3 0

cos 5 0

x x

tan 3 tan 5x x tan 3x tan 5x tan 3x 0

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình xk  , k  

sin x 1 tan x 3sinx cosxsinx 3

Lời giải

Điều kiện: cosx 0

Với điều kiện trên phương trình sin2 1 sin 3sin cos 3sin2 3

coscos sin

cossin sin cos 3cos sin cossin cos sin 3cos 0

Điều kiện: sin 3x 0

Với điều kiện trên phương trình cos 2 cos 3 sin 2 2 cos 5 0