HCM Các bài toán trong không gian Oxyz không còn xa lạ với học sinh và xuất hiện nhiều trong những đề thi gần đây với nhiều câu hỏi ở các mức độ vận dụng và vận dụng cao.. Để đồng hành c
Trang 1Giáo viên soạn
Lê Thảo-THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Nội Bùi Sỹ Khanh- THPT Trần Cao Vân- TP HCM
Các bài toán trong không gian Oxyz không còn xa lạ với học sinh và xuất hiện nhiều trong những đề thi gần đây với nhiều câu hỏi ở các mức độ vận dụng và vận dụng cao Để đồng hành cùng các em trong kỳ thi THPT sắp tới hy vọng bài viết này sẽ giúp các em có hướng tiếp cận và giải quyết các bài toán đó một cách dễ dàng nhất
I
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng , P : AxBy C z D 0 và mặt cầu
S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 có tâm I a b c ; ; và bán kính R khi đó :
+) Nếu d I P( ; )R thì mặt cầu( )S và P không có điểm chung
+) Nếu d I P( ;( ))R thì mặt cầu( )S và ( )P có điểm chung duy nhất là H (mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H )và IH P( )
+) Nếu d I P( ; )R thì mặt cầu( )S và cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn tâm H bán kính r ta có :
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P và 2 2 2
( ; ) ( I P )
r IH R d IH
- Cho điểm M nằm trong mặt cầu S mặt phẳng P đi qua M cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r nhỏ nhất IM P
- Cho điểm M nằm trong mặt cầu S mặt phẳng P đi qua M cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r lớn nhất P đi qua 2 điểm I và M
Trang 2Trong không gian Oxyz đường thẳng và mặt cầu , S có tâm I và bán kính R khi đó :
+) Nếu d I( ; ) R thì mặt cầu( )S và không có điểm chung
+) Nếu d I( ; ) R thì mặt cầu( )S và có điểm chung duy nhất là H khi đó IH
+) Nếu d I( ; ) R thì mặt cầu( )S và cắt đường thẳng tại hai điểm , A B ta có một số kết quả sau :
- Gọi H là trung điểm AB IH và 2 2 2
( ; ) ( ( ; ) )
4
- Cho điểm M khi đó đường thẳng đi qua M cắt S tại hai điểm ,A B sao cho độ dài
AB lớn nhất là đường thẳng đi qua 2 điểm M và I
- Cho điểm M nằm trong mặt cầu S đường thẳng đi qua M cắt S tại hai điểm ,A B sao cho
độ dài AB nhỏ nhất là đường thẳng đi qua M và vuông góc IM
Chứng minh
Ta có 2 2 2 2 2
4
Vì HIM vuông tại H nên ta có 0 IH IM
+) AB lớn nhất d( ; )I 0 qua 2 điểm I và M
+) AB nhỏ nhất d( ; )I IM vuông góc IM
Trang 3Ví dụ 1 (Đề minh họa lần 1 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâmI 2;1;1
và mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0 Biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng1 Viết phương trình của mặt cầu S
A S : x 2 2 y 12 z 1 2 8 B S : x 2 2 y 1 2 z 12 10
C S : x2 2 y 12 z 12 8 D S : x2 2 y 12 z 12 10
Khi viết phương trình mặt cầu thì hai yếu tố cần thiết là tâm I và bán kính R khi bài toán cho tâm I , thì việc tìm bán kính R dựa vào các yếu tố cắt hay tiếp xúc để tính R
+) Nếu S tiếp xúc P R d I P; +) Nếu S cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn bán kính r ta có 2 2
;
I P
R r d +) Nếu S tiếp xúc d R d I d;
+) Nếu S cắt đường thẳng d tại hai điểm A B, ta có
2 2
;
4 I d
AB
Gọi R r lần lượt là bán kính của mặt cầu , S và đường tròn giao tuyến
Ta có
2 2
2 2
2.2 1.1 2.1 2
2 1 2
R r d I P
Mặt cầu S tâm I 2;1;1 bán kính R 10là x 2 2 y 12 z 12 10
Trang 4Ví dụ 2 (Mã đề 101 thi THPT năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
S x: 12 y 12 z 22 2 và hai đường thẳng 1 : 2 1
1 2 1
x y z
d
; 2 : 1
1 1 1
x y z
d
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với S và song song với
1; 2
d d
A y z 3 0 B x z 1 0 C x y 1 0 D x z 1 0
Để viết phương trình mặt phẳng P hai yếu tố cần thiết ta cần tìm là Vectơ pháp tuyến và điểm đi qua Trong một số trường hợp việc cho khuyết đi một trong hai yếu tố ta cần chú ý các điều kiện thay thế
+) Vectơ Pháp tuyến hoặc hai véctơ chỉ phương của mặt phẳng P được xác định dựa vào các yếu
tố song song, vuông góc hoặc cho góc làm yếu tố xác định Vectơ pháp tuyến
+) Nếu bài toán chưa cho điểm đi qua thì các yếu tố thay thế thường gặp là Khoảng cách, ví dụ trên
là một bài toán không cho điểm đi qua mà thay thế bằng khoảng cách
Mặt cầu S có tâm I 1;1 2; R 2
Vecto chỉ phương của d : ud 1;2; 1 Vecto chỉ phương của : u 1;1; 1
Gọi P là mặt phẳng cần viết phương trình
Ta có
, 1;0; 1 d
u u nên chọn một véc tơ pháp tuyến của P là n 1;0;1 Mặt phẳng P có phương trình tổng quát dạng x z D 0
Do P tiếp xúc với S nên ; 1 2 2
2
D
D 3 2 DD 51 Vậy phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với S và song song với d , là x z 1 0
Trang 5Ví dụ 3 (THPT 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3; 2;6 , 0;1;0 B và
mặt cầu S : x 12 y 2 2 z 32 25 Mặt phẳng P ax by cz: 2 0 đi qua A B ,
và cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Tính T a b c
A 3T B 4T C 5T D 2T
Đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng P khi chưa cho Vectơ pháp tuyến, nên ta xác định Vectơ pháp tuyến bằng cách chứng minh tính chất hình học để xác định hoặc gọi ra và đi tìm bán kính nhỏ nhất để xác định
Mặt cầu S có tâm I 1;2;3 và bán kính R 5
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng P và đường thẳng qua 2 điểm A B, và r là bán kính của đường tròn giao tuyến
r R2IH2 25IH2 25IK2 vì IH IK
Vậy rnhỏ nhất khi H K P IK
Và AB3;3; 6 đường thẳng đi qua hai điểm A B, có véctơ chỉ phương là u1; 1;2
: 1 ;1 ;2 1; 1;2 3
2
Và IK AB IK AB 0 t 1 t 1 4t 6 0 t 1IK0; 2; 1
Vậy P : 2y z 2 0 a 0;b 2;c 1 a b c 3
Trang 6Mặt cầu S có tâm I 1;2;3 và bán kính R 5
Ta có
3 2 6 2 0
2 0
A P a b c
b
B P
22 2
b Bán kính của đường tròn giao tuyến là
r R d I P d I P Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi d I P lớn nhất ;
Ta có
2 2 2
2 3 2
d I P
2 2 2
2 2 4 3 2
2
2
4
5 8 8
c
c c
Xét
2
2
4
5 8 8
c
f c
c c
2
2 2
2
2
48 144 192
4
5 8 8
5 8 8
c c
f c
c
c c
c c
0 c 1 4
Bảng biến thiên như bên
Vậy Max d I P ; 5 c 1 a 0,b 2 a b c 3
khi gặp các bài toán về lớn nhất ( nhỏ nhất) trong hình học không gian Oxyz thì phương pháp tối ưu là sử dụng hình học để chứng minh để tìm ra vị trí đặc biệt thoả mãn bài toán
0
y
x '
y 4
5
5
1 5
1 0
Trang 7Ví dụ 4 (Mã đề 101 năm 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 12 y12 z 12 9
và điểm A2;3; 1 Xét các điểm M thuộc S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
A 6x 8y 11 0 B 3x 4y 2 0 C 3x 4y 2 0 D 6x 8y 11 0
Khi viết AM tiếp xúc với S thì đường thẳng đi qua 2 điểm A và M là tiếp của S tại M S ta có
3 cách tiếp cận bài toán như sau
Dễ thấy A nằm ngoài mặt cầu ( )S Tâm mặt cầu là I( 1; 1; 1)
Và M x y z ; ; S x 1 2 y12 z 12 9
Đường thẳng AM tiếp xúc với ( )S AM IM AM IM 0
x 2 x 1 y 3 y 1 z 1 z 1 0
x 1 3 x 1 y 1 4 y 1 z 12 0
x 12 y 12 z 12 3x 4y 7 0 3x 4y 2 0
Mặt cầu S có tâm I 1; 1; 1.Gọi S là mặt cầu đường kính AI
S :
2
Ta có AM tiếp xúc S tại M AM IM AMI 90
M thuộc giao hai mặt cầu S và mặt cầu S
Tọa độ của M thỏa hệ phương trình:
2
1 2
6x 8y 11 7M P : 3x 4y 2 0
Trang 8 S có tâm I( 1; 1; 1)bán kính R 3
2;3; 1 3;4;0
A IA , tính được IA 5
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA
và nhận IA 3;4;0 làm vectơ pháp tuyến
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được 2 . 2 9
5
IM
IM IH IA IH
IA
9
25
IH IA
2 11; ; 1
25 25 H
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:
25 25
Ví dụ 5 (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng
P : 2x 2y z 3 0 và mặt cầu S : x 3 2 y 2 2 z 52 36 Gọi là đường thẳng
đi qua E , nằm trong P và cắt S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của là
A
2 9
1 9
3 8
.- B
2 5
1 3 3
z
C
2 1 3
z
D
2 4
1 3
3 3
Bài toán mới cho đi qua E và chưa cho Véctơ chỉ phương nên ta sẽ đi tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng thông qua 2 véctơ vuông góc với đường thẳng
Mặt cầu S có tâm I 3;2;5 và bán kính R 6
1 12 2 22 6
IE R điểm E nằm trong mặt cầu S
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng P , A và B là hai giao điểm của với S
Khi đó, AB nhỏ nhất AB OE , mà AB IH nên AB HIE AB IE
Suy ra:
; 5; 5;0 5 1; 1;0 P
Vậy phương trình của là
2 1 3
z
Trang 9
Ví dụ 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểmE 1;1;1 , mặt phẳng P x: 3y 5z 3 0
và mặt cầu S x: 2 y2 z2 4 Gọi là đường thẳng qua E , nằm trong mặt phẳng P và cắt
S tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho AB 2 Phương trình đường thẳng là
A
1 2 2 1
B
1 2 1 1
C
1 2 3 5
D
1 2 1 1
S x: 2 y2 z2 4 Tâm I 0;0;0 ; bán kính R 2
P x: 3y 5z 3 0 véctơ pháp tuyến của P n:P 1; 3; 5
Gọi H là hình chiếu của I lên 1
2
AB
AH BH Xét IAH vuông tại H IH IA AH2 2 4 1 3
Mặt khác ta có IE 1;1;1 IE 3 IH H E IE
Đường thẳng đi qua E 1;1;1 ; vuông góc với IE và chứa trong P nên:
Véctơ chỉ phương của :
; 8;4;4 P
n n IE
véctơ u 2; 1; 1 cũng là véctơ chỉ phương của
Phương trình đường thẳng là:
1 2 1 1
Trang 10
Ví dụ 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M3;3; 3 thuộc mặt phẳng
: 2x 2y z 15 0 và mặt cầu S : x22 y 3 2 z 5 2 100 Đường thẳng
qua M , nằm trên mặt phẳng cắt S tại A B, sao cho độ dài AB lớn nhất Viết phương trình đường thẳng
A 3 3 3
x y z B 3 3 3
x y z
C
16 11 10
x y z D 3 3 3
x y z
Trong một đường tròn thì dây cung lớn nhất là đường kính của đường tròn, vì vậy khi độ dài
AB là lớn nhất thì đó là đường kính, nên AB đi qua tâm đường tròn giao tuyến
Ta có: Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kính R 10
2
2.2 2.3 5 15
Gọi 1 là đường thẳng qua I và vuông góc với 1 có VTCP là u1 2; 2;1
PTTS
1
2 2
5
Tọa độ H là nghiệm của hệ:
2 2
3 2 5
2 2 15 0
z t
x y z
2 7 3
x y
z H2;7;3
Ta có AB có độ dài lớn nhất AB là đường kính của C MH
Đường thẳng MH đi qua M3;3; 3 và có VTCP MH 1;4;6
Suy ra phương trình : 3 3 3.
Trang 11Ví dụ 8 (Đề tham khảo lần 2 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ,
P x: 2y 2z 3 0 và mặt cầu S x: 2 y2 z2 2x 4y 2z 5 0 Giả sử M P và
N S sao cho MN cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất Tính
MN
A MN 3 B MN 1 2 2 C MN 3 2 D MN 14
Cần chú ý khi vectơ
MN cùng phương với vectơ u thì MN ku và khoảng cách từ một điểm trên mặt cầu đến mặt phẳng là lớn nhất nếu đoạn vuông góc đó đi qua tâm
Mặt phẳng có vtpt n 1; 2;2 Mặt cầu S có tâm I1; 2; 1 và bán kính 1r Nhận thấy rằng góc giữa u và n bằng 45ο Vì d I P ; 2 1 r nên P không cắt S
Gọi H là hình chiếu của N lên P thì 45NMH ο và 2
sin 45
NH
MN ο NH nên MN lớn nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất Điều này xảy ra khi N N và H H với N là giao điểm của đường thẳng d qua I , vuông góc P và H là hình chiếu của I lên P
Lúc đó NHmax N H r d I P ; 3 và max
sin 45
NH
P
Trang 12Ví dụ 9 ( VTV7 lần 1 năm học 2020-2021) Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu
S x: 12 y 2 2 z 2 2 9 và mặt phẳng P :2x y 2z 1 0 Đường thẳng
đi qua O tiếp xúc với mặt cầu S và cắt P tại A sao cho OA nhỏ nhất có phương trình là
A :
10 7x y 2z B :x10 7 2 y z
:
10 7 2
x y z D
:
10 7 2
x y z
S x: 12 y 2 2 z 2 2 9 I1;2; 2 , R3 và O S
Mặt phẳng đi qua O tiếp xúc với mặt cầu S có phương trìn :x 2y 2z 0
Gọi
; 2;2;3
d P
Để OA nhỏ nhất thì OA d
Vậy OA d OA OI ; đường thẳng qua có 1 vectơ chỉ phương
; 10;7;2 d
u u OI Phương trình đường
:
10 7 2
x y z
Ví dụ 10 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
S x y z , mặt phẳng
P x y z: 3 0 và điểm N1;0; 4 thuộc P Một đường thẳng đi qua N nằm trong
P cắt S tại hai điểm ,A B thỏa mãn AB 4 Gọi u b c 1; ; , c 0 là một vecto chỉ phương của , tổng b c bằng
A 1 B 3 C 1 D 45
Để tìm vectơ chỉ phương
u của đường thẳng đi qua điểm N ta đi tìm thêm một điểm thuộc đường thẳng và trong các bài toán tương giao mặt cầu và đường thẳng thì điểm đặc biệt là trung điểm của đoạn thẳng AB Vậy ta tìm các điều kiện để lập hệ phương trình tìm toạ độ trung điểm K
Trang 13Ta có mặt cầu S có tâm I 1;2;1 bán kính R 3
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng P và mặt phẳng Suy ra K là trung điểm của đoạn AB nên AK 2
d I IK IA AK
và , 1 2 1 3 3
3
IH d I P
Ta có
IH P
IH P
mà IK KH hay HK d H , và HK IK2IH2 2
Do IH P nên phương trình tham số đường thẳng
1
1
H1t;2 ;1t t
Mà H P 1 t 2 t 1 t 3 0 t 1 H0;3;0
Gọi K x y z ; ; IK x 1;y2;z1 ; HK x y ; 3; ;z NK x 1; ;y z 4
Toạ độ K thoả mãn hệ phương trình :
2
3 0
x y z
x x y y z z
2
13 13 13 13 13 13 13
x y z
Vậy u1;23;22 b c 45