Các ứng dụng của phương trình schrodinger cho hệ nguyên tử

Cơ học lợng tử cho các vi hạt chuyển động có vận tốc nhỏ so với vận tốcánh sáng c= 3.108m/s đợc xây dựng trên phơng trình sóng Schr odinger.. Trong khuấn khổ của đề tàinày chúng tôi ch

Lời cảm ơn

Công trình khoá luận này đợc hoàn thành, ngoài sự nỗ lực của bản thân còn nhờ vào sự giúp đỡ hớng dẫn nhiệt tình đầy tâm huyết của T.s Vũ Ngọc Sáu - thầy giáo hớng dẫn và các thầy cô giáo trong khoa vật lý.

Vậy qua đây chúng tôi xin đợc gửi tới T.s Vũ Ngọc Sáu và toàn thể các thầy cô giáo trong khoa vật lý lời cảm ơn chân thành nhất.

Do điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót trong khi thực hiện đề tài Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các độc giả

để đề tài đợc hoàn thiện hơn./.

Sinh viên : uông thị hải

A- mở đầu

Từ những năm 30 của thế kỷ XIX, cơ học lợng tử đã trở thành lý thuyết vật lýhiện đại làm cơ sở để giải thích mọi hiện tợng xẩy ra trong các cấu trúc vi mô củavật chất, nó trở thành nội dung cơ bản để xây dựng các hớng nghiên cứu mới củavật lý và công nghệ trong giai đoạn hiện nay nh chất rắn, bán dẫn, lý thuyết hạtcơ bản, quang học phát xạ,

Cơ học lợng tử cho các vi hạt chuyển động có vận tốc nhỏ so với vận tốc

ánh sáng (c= 3.108m/s) đợc xây dựng trên phơng trình sóng Schr odinger Đây làphơng trình vừa mang những đặc trng sóng lại vừa mang những đặc trng hạt phùhợp với việc mô tả lỡng tính sóng - hạt của các vi hạt Nghiên cứu phơng trìnhSchr odinger là một vấn đề lớn của cơ học lợng tử Trong khuấn khổ của đề tàinày chúng tôi chỉ dừng lại xem xét một số ứng dụng thực tế, khá tiêu biểu củaphơng trình Schr odinger dừng đối với các hệ vật lý thực, những bài toán quantrọng và các ứng dụng trong nghiên cứu phổ nguyên tử

Các vấn đề trình bày trong khoá luận này hy vọng sẽ là nội dung khoa học sửdụng tốt cho những ai quan tâm đến các vấn đề ứng dụng nghiên cứu phơng trìnhSchr odinger trong các vấn đề lợng tử

B - Nội dung

Chơng I: Tổng quan về phơng trình Schr o  dinger

1.1 Phơng trình Schr odinger không phụ thuộc thời gian

1.1.1 Xây dựng phơng trình

Xét một hạt khối lợng m, ở trạng thái có năng lợng E, xung lợng p không

đổi ( trạng thái dừng ) Trạng thái của hạt mà ta xét đợc mô tả bởi hàm sóng :

H   Với Hˆ là toán tử Haminton : H = - 2m

2



ẹ2 + U(x,y,z)

Do vậy toán tử này không tác dụng lên phần tử hàm sóng chứa trong trờnghợp tổng quát khi hạt chuyển động trong trờng ngoài biến đổi Khi đó hàm sóngmô tả trạng thái hạt là :   ( t r, )

Và nó thoả mãn phơng trình sau đây:

) , ( ˆ ) , (

t

t r

Hạt chuyển động trong trờng thế U(x) có năng lợng E

Ta có : . ( , ) Hˆ (x,t)

t

t x

= ) t , x ( ).

x ( U + t

) t , x ( m

2 2

ψ ψ

t

) t x ( m

2 2

exp(

) ( ).

exp(

.

2 2

) (

2 2

dinger không phụ thuộc thời gian Về phơng diện toán học đây là phơng trình viphân đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính Việc giải phơng trình này có thể chonghiệm ứng với những giá trị E bất kỳ Tuy nhiên về phơng diện vật lý, ta chỉ

chọn những giá trị E sao cho E(x,y,z) biểu diễn một trạng thái vật lý, nghĩa là

E(x) phải thoả mãn các điều kiện đơn trị, liên tục và hữu hạn

Ngời ta đã chứng minh rằng chỉ có một giá trị E tơng ứng với các hàm E(x)

là thoả mãn các điều kiện vật lý đó Tập hợp các giá trị E có thể gián đoạn hoặcliên tục, hoặc vừa gián đoạn vừa liên tục Các trạng thái E(x,y,z) với các mứcnăng lợng gián đoạn tơng ứng với vi hạt chỉ chuyển động trong một vùng hữu hạnnào đó trong không gian, xác suất tìm thấy hạt ở vô cùng bằng không Vì vậy cáctrạng thái này gọi là các trạng thái liên kết Việc giải phơng trinh Schr odingertrong không gian ba chiều nói chung là phức tạp về sau sẽ đề cập đến còn bây giờ

ta xét trong không gian một chiều ( trên trục x chẳng hạn ) Với bài toán này cóthể phân tích đợc một số tính chất tiêu biểu đặc trng cho hệ lợng tử mà khônglàm giảm tính tổng quát của bài toán ba chiều Mặt khác trong nhiều trờng hợpthế năng của trờng tơng tác có thể tách ra dới dạng:

U(x,y,z) = U(x) + U(y) + U(z) Khi đó bài toán trong không gian ba chiều có thể chuyển về các bài toán mộtchiều

) ( ) ( ).

( ) (

2 2

x E x x

U x dx

d

(1.5) là phơng trình Schr o dinger một chiều

1.1.2 Các tính chất nghiệm của phơng trình.

a) Tính chẵn, lẻ của nghiệm

Nếu thế năng là một hàm chuẩn của toạ độ thì nghiệm phơng trình (1.5) cótính chẵn lẻ xác định Thật vậy do biến số trong phơng trình (1.5) có khoảng giátrị từ

- Ơ < x < Ơ nên có thể thay x bằng -x và ta có:

) ( ) ( ).

( ) ( ) (

2

2 2

x E

x x

U x x

( ) (

2 2

x E

x x

U x dx

d

(1.7)

E(-x) thoả mãn phơng trình (1.7) giống hệt phong trình (1.5) về dạng và ứngvới cùng một trị riêng E khi không có suy biến nghĩa là các hàm riêng ứng vớitrị riêng khác nhau thì E(x) và E(-x) chỉ có thể khác nhau một hằng số nhân k

b) Hàm sóng (x) phải giới nội

Điều này có thể suy ra từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng

Theo điều kiện chuẩn hoá hàm sóng | ( , ) | 2 1



 x t dxc) Hàm sóng phải đơn trị và nếu không đơn trị thì ứng vơí các mức vị tríkhông gian có nhiêù giá trị xác suất tìm hạt Điều này trái với lý thuyết xác suất d) Tính liên tục

Hàm sóng cần phải liên tục theo toạ độ vì mật độ xác suất tìm thấy hạt |(x)|2

không thay đổi

Ngoài ra đối với các trờng có thế năng gián đoạn hữu hạn thi ngay cả tạinhững điểm đó, đạo hàm bậc nhất của nghiệm cũng sẽ liên tục Nghĩa là:

E(x0+) = E'(x0+) Với x0 là điểm mà tại đó U(x) gián đoạn

1.1.3 Tính không suy biến của trạng thái ở phổ gián đoạn

Trong chuyển động môt chiều ứng với các mức năng lợng của phổ gián đoạn,các hàm sóng tơng ứng là không suy biến Thật vậy giả sử tồn tại hai hàm sóng

1, 2 cùng ứng với mức năng lợng E Khi đó từ (1.5) ta có:

1

'' 2 2

'' 1 2

'' 2 1

' 2 '

1 = ψ ψ

⇒

Lấy tích phân hai vé của đẳng thức này ta có: 1 = 2.const.

Chứng tỏ rằng 1 và 2 phải trùng nhau Hay nói cách khác 1(x) , 2(x) chỉkhác nhau bởi một hằng số không phụ thuộc x hay trị riêng E thuộc phổ gián

đoạn không bị suy biến Điều này chỉ có thể ở các trị riêng ở phổ gián đoạn trongchuyển động một chiều

1.2 Các đại lợng đặc trng cơ bản của hệ lợng tử.

1.2.1 Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất.

Nh đã biết nếu biét đợc hám sóng sẽ tính đợc mật độ xác suất tìm thấy hạt:

 = ||2 = *.

Rõ ràng  phụ thuộc vào thời gian vì rằng hàm sóng phụ thuộc vào thời gian

Nh vậy  sẽ có những giá trị khác nhau khi thời gian trôi đi, ta nói rằng có mộtdòng hạt lu thông trong không gian

Từ phơng trình (1.1) nhân cả hai vế của phơng trình về bên trái với hàm * tacó:

= t +

∂

∂

∂

∂ψ ψ

m H

m 2

= t

i

= ) (

m 2

Trong đó: p - gọi là mật độ xác suất

- gọi là vector mật độ dòng xác suất

Theo ý nghĩa của phơng trình liên tục thì phơng trình (1.13) biểu thị định luậtbảo toàn xác suất hay còn gọi là bảo toàn số hạt trong cơ học lợng tử.

1.2.2 Các ứng dụng của phơng trình Schr o dinger dừng

≥ (1.14) U(x)

Nó đợc biểu diễn ở hình (1.1) x -a 0 a

(H.1.1)Trong khoảng  a  a hạt chuyển động tự do muốn nó ra khỏi khoảng nàyhạt phải tốn năng lợng bằng Ơ Do đó  a  a hạt bị chặn lại

Phơng trình Schro  dinger cho hạt có dạng :

) ( ) (

2 2

x E x dx

d

0 ) (

2 )

Trong phơng trình vật lý toán  Phơng trình (1.18) có nghiệm tổng quát là :

) ( cos sin

) (x A k n x B k n x

Trong đó A,B là hai hằng số tuỳ ý xuất hiện do việc lấy tích phân hai lần

ph-ơng trình (1.19)

Nghiệm (1.19) phải liên tục tại –a và +a

Vì ở bên ngoài khoảng –a  +a không thể có hạt nên hàm sóng phải bằng 0,

để cho nó có nghiệm liên tục thì nó phải bằng không ở hai điểm –a và +a

0 ) ( a 

n

0 ) ( a 

2 ) ( cos )

( sin cos

sink xB k x A k x B k x  A k x

Vì x đổi liên tục nên

Vậy nghiệm chẵn có dạng : n(x) Bcosk n(x)

Mặt khác theo điều kiện biên (1.20) ta có:

0 cos

2 ) ( cos )

( sin cos

sin 0

k n

2 

Trong cả hai lớp nghiệm này kết hợp với (1.18) : 2 2 2



n n

mE

k 

2 2

2 2 2

2

2 4

x

(H 1.2 )Hàng rào thế là một dạng của trờng ngoài mang một miền không gian nào đóthế năng lớn hơn một miền lân cận Trong mô hình chuyển động một chiều ta xéthàng rào sau đây

0 nếu x<0

U(x) = U0 nếu 0<x<a

0 nếu x>0

Dạng rào thế nói trên đợc biểu diễn ở hình (H.1.2)

Phơng trình Schro  dinger cho hạt là: miền I và miền III

) (

2 2

x dx

x E x x U x dx

d

0 ) ( ) (

2 )

Ta dự đoán trong miền I: x<0 tồn tại sóng tới và sóng phản xạ

Trong miền II: ( 0<x<a ) tồn tại sóng tới và sóng phản xạ, còn trong miền III(x>a) chỉ tồn tại sóng truyền qua

Từ đó ta đi đến nghiệm sau:

x ik x

k II

2

2 + C e Be

= ) x (

(1.29)

x ik III( x) De 1

(1.30)

II(a)  III(a); II'(a)  III'(a)

Ta đa hệ phơng trình sau:

C B

A 



1

) ( )

k

Be 2   2  1

a ik a

k a

) (

) exp(

4

2

2 2 1 2

2 2 1

2 2

1

a k k

k a k k

k

a ik k

ik D

Ta sẽ xác định đợc hệ số truyền qua T của hạt đi qua rào

T = 16 2 exp( 2 2 )

2

2 1

2 2

2 1 2

a k k

k

k k

k k 16

2 2 2 1

2 1 2

Hệ số truyền qua rào thế bằng tích hệ số

truyền qua các rào thế Ta có:

với x1 , x2 là hoành độ giao điểm giữa U(x) và đờng mô tả E

c Dao động tử điều hoà

Xét hạt với khối lợng m, dao động dọc theo trục x dới tác dụng của lực đànhồi F=-kx (k là hằng số) , x là độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng đặt tại gốc toạ

độ x=0 và đựơc gọi là dao động tử điều hoà

Từ phơng trình của định luật II - Niuton, ta suy ra phơng trình của dao động

tử điều hoà có dạng :        x 0 ,

m

k x x m

k m

F x F x

Động năng của tử dao động điều hoà:

2 2 2 2

sin ma

2

1

= x m 2

2

1



ma U

T

Rõ ràng năng lợng của hạt là liên tục và phụ thuộc vào  Bây giờ ta giải bàitoán dao động tử theo cơ học lợng tử Đây là bài toán có nhiều ứng dụng trongvật lý lợng tử và là một số ít bài toán của cơ học lợng tử có thể giải đợc một cáchchính xác

Phơng trình Schr o dinger của dao động tử có dạng:

) ( ) ( ).

2

1

2

2

2 2

x E x m

m dx

n n

n



(1.40)

(1.40) có nghiệm 2

2

) (

y n

y f d

k k k

k k

a k

Để ý đẳng thức trên đúng với mọi k thì các hệ số ở vé trái, vé phải bằng 0 nghĩalà:

k k

k k

k k

k k

a a

ka a

k

) 2 )(

1 (

2 0

) 1 ( 2 )

2 )(

Xét khi k  Ơ từ (1.46) ta có

k a

k k

k b

b y b k

y y

y y

k

k k

k k

)!

1 2 / (

)!

2 / (

)!

2 (

.

! 2

1 1

)

0

4 2

2

y exp(

).

y (

= ) y (

2

khi yƠ

Để (y) hữu hạn ở vô cùng thì (1.45) phải trở thành một đa thức nghĩa làtrong chuỗi đó từ k = n+1  ak=0 hay an+1 = an+2= =0 ( an  0 )

) (

k

n n n n k

k y a y a y a

) 2 )(

1 (

k k

! 1

) 1 (

2 2

) 1

n n a

4 2

! 2

) 3 )(

2 )(

1 (

4 2

) 3 )(

n n a

n n

(1.53)

Đa thức (1.53) và hệ thức (1.51) gọi là đa thức Hécmít bậc n, ký hiệu Hn(y):

) (

) 1 ( )

n

n y n

dy

d e y

A

n n

).

( )

1 ( ) (

n

n n

n y

n

dy

d y H a

y H e

) y ( dH

∞ -

∞ + ) y ( H ).

e dy

d (

= I ) 1

-+

1 - n

y - 1 - n n

n y - 1 - n

1 - n n

2 2

dy e y H dy

d

n n

n

2

) (

n



n n dy

e n

1 ) ( 1 / 4

n

m A

n n

1.3 Kết luận

Trong chơng này chúng tôi đã trình bày về lý thuyết phơng trình Schr o

dinger, chủ yếu đi sâu vào khảo sát các tính chất của phơng trình Schr dinger mộtchiều Vì vậy các tính toán phức tạp đợc đơn giản hoá Trong phạm vi đề tài nàychúng tôi sử dụng phơng trình Schr odinger này cho hệ nguyên tử và qua đó xác

định đợc phổ năng lợng của một số nguyên tử

Chơng II Phơng trình Schr o  dinger cho hệ nguyên tử

trong trờng đối xứng tâm

2.1 Bài toán nguyên tử Hydro và các ion đồng dạng Hydro

Xét nguyên tử Hyđro và ion đồng dạng nh một hệ gồm electron mang điện tích -e và hạt nhân mang điện tích +ze Hạt nhân đợc coi là đứng yên còn electron chuyển động quanh hạt nhân dới tác dung của trờng lực thế culông

r

ze r

U

0

2

4 ) (





Phơng trình Schr o dinger viết cho điện tử chuyển động trong trờng đối xứng cầu của hạt nhân có dạng

0 4

2

0

2

























r

z E

Bây giờ ta chuyển phơng trình (2.2) sang toạ độ cầu

x=r.cos.sin

y=r.sin.sin

z=r.cos

Z

z

M

y Y x

M'

X

Trong toạ độcầu toán tử Laplace có dạng:







































2 2 2

2

sin

1 ) (sin

sin

1 1 ) (

.

1













r r

r

r

Vậychuyển sang toạ độ cầu phơng trình Schr dinger có dạng

0 4

2

sin

1 ) (sin

sin

1 1 )

.

.(

.

1

0

2 2

2

2 2 2

































































ze E

m r

r

r

r

θ

Trong đó  là hàm phụ thuộc biến số toạ độ cầu (r,,) ta giải phơng trình(2.4) bằng phơng pháp tách biến

Y X r R

| sin

| ) (

|

| ) (

2

0 2

0 2

Đặt phơng trình (2.5) vào (2.4) và rút các hàm không phụ thuộc vào các biến

số tơng ứng khỏi dấu đạo hàm ta có

0 ).

4 (

2

sin ) (sin sin )

(

0

2 2

2 2 2 2

z E

m r

R r

R r

R r r r

e



Chia tất cả các sốhạng trong phơng trình trên cho R rồi nhân chúng với r2 vàchuyển về vé trái những số hạng chỉ phụ thuộc r , còn vế phải là những số hạngchỉ phụ thuộc vào  và  khi đó phơng trình có dạng

2 2

2

sin

1 ) (sin

1

1 sin

1 )

4 (

2 ) (

.

1

r

z E

mr r

R r

λ πε

ze + E ( mr 2 + ) r

R r r

R

1

0

2 2

2 2

sin

1 )

(sin

sin

1 1

Từ đây ta thu đợc 2 phơng trình riêng rẽ cho các phần xuyên tâm và góc củahàm sóng

Nhân phơng trình (2.8) với R rồi chia cho r2

Nhân phơng trình (2.9) với 

r

) r 4

ze + E ( m 2 + ) dr

dR r dr

2 2

2 2

λ πε

1 )

(sin

sin

1

2 2

Trong phơng trình (2.12) ta tiếp tục tách biến: Đặt (,)=X().Y() Đặt vàophơng trình (2.12) ta đa ra ngoài dấu đạo hàm những đại lợng không phụ thuộcvào biến số tơng ứng

Y X Y

X X

Y

.

sin ) (sin

2

2

sin

sin + ) X (sin + X

sin

θ λ

∂θ

∂ θ

∂θ

∂ θ

(2.14)

2 l 2

2

m

=

Y Y

) (  A e  A m i m

0

A d

A d e A Ae d

với ml nhận các giá trị số nguyên : ml = 0 ; ± 1 ; ± 2 (2.17)Bây giờ ta xét phơng trình (2.14)

chia (2.14) cho sin 2 rồi nhân với X ta đợc

0

= ) ( X + ) ( X sin

m ) d

dX (sin d

d sin

θ θ

với m l 2 thoả mãn điều kiện (2.17)

Để tìm X ta giải phơng trình (2.18) bằng cách khai triển phép tính đạo hàmtheo  ta đợc phơng trình

0

= X ) sin

m ( + d

dX sin

cos + d

dX

2

2 l 2

θ - λ θ θ

)!

m + l (

)!

m l ( 2

1 + l 2

= m ,

l l

l l

m d

dm ) - 1 (

= ) ( p

l

l 2 / m 2 m

l

l

η η

1 )

l=1, ml=-1 ta có: sin 

4

3

1 ,

) 1 + l ( l 4

r ze + Er [ m 2 + ) dr

dR r

dr

0

2 2 2

ze 2

mv (

= E

0

2 2

πε thì phơng trình (2.23) có nghiệm với mọi giá trị E.Trong trờng hợp này ta đợc phổ giá trị riêng E liên tục, tức là năng lợng chophép của điện tử không bị lỡng tử hoá Vì khi E >0 động năng của điện tử đãthắng đợc lực hút của Culông và điện tử đợc hoàn toàn tự do, nó có thể chuyển

động ra xa hạt nhân một khoảng vô cùng lớn

* Nếu E<0 phơng trình (2.23) chỉ có nghiệm thoã mãn các điều kiện đối vớimột số giá trị hoàn toàn xác định của E Ta giải phơng trình (2.23) qua hai bớc + Tìm nghiệm lân cận của phơng trình, tức là khi r  Ơ, khi đó phơng trình(2.23) có dạng gần đúng với r  Ơ

0

2

2 2

r a e

=

∞ α

Kết quả khảo sát của hàm R từ điều kiện hữu hạn thấy rằng, muốn R đáp ứng

điều kiện hàm sóng ta chỉ có tìm đợc nr số hạng trong chuỗi và cần loại bỏ các số

Vậy ta có biểu thức xác định các giá trị năng lợng cho phép của điện tử liên kết với hạt nhân

2 2 2 0

4

2 ) 4

e mz

E n







Trong đó: m - là khối lợng của điện tử

n - là số lợng tử chính, n  l+1

Đối với nguyên tử Hydro

Thay số liệu: m, , , 2 ,z

0 



 =1 vào (2.27) ta có

2

1 58 , 13

n

+ khi: n=1  E1=-13,58 (ev)

n=2  E2=-3,40 (ev)

n=3  E3= -1,51 (ev)

n=Ơ  EƠ= 0 (ev) ( trạng thái ion hoá )

Ta có sơ đồ phổ năng lợng của Hydro nh sau :

9

-0,38 6

-0,54 5

-0,85 4

-1,51 dãy Brakét dãy paslien 3

-3,04 2

dãy Balmer -13,58 Dãy lyman 1

ở đây cực tiểu tuyệt đối của năng lợng ứng với n=1 và chính giá trị năng lợng của nó bằng năng lợng ion hoá nguyên tử Hydro 58 , 13 1 E ionhoa  E (ev) Trong quá trình tìm nghiệm từ điều kiện chuẩn hoá đã xuất hiện ba số lợng tử n=1,2,3, ,Ơ là số lợng tử chính xác định năng lợng của trạng thái l=0,1,2, , (n+1): là số lợng tử quỹ đạo xác định độ lớn của mômen động lợng quỹ đạo ml

=0,1,2, ,l là số lợng tử từ xác định hình chiếu của mômen động lỡng quỹ

đạo Cả ba số lợng tử này xác định hàm sóng r , , )

l

nlm θ

ψ tức là xác định trạngthái của điện tử trong nguyên tử

Các trạng thái điện tử đợc ký hiệu

002s

1

0 +1 12p

-003s

1

0 +1 13p

ψ

l l

nlm r , , ) = R r X Y (2.29)Xác suất tìm thấy điện tử ở trạng thái đợc đặc trng bằng ba số lợng tử l,n,ml

r R

d drd r

r dv

r dw

l

l l

lm nl

nlm nlm

sin ,

sin ,

, ,

,

2 2

2 2 2







(2.30)Lấy tích phân cả hai vế của phơng trình (2.30) theo  và  ta đợc

2 2

) ( sin ) (

) ( )

) (