Các định lí tổng quát và ứng dụng của nó trong việc giải các bài tập cơ học lí thuyết

Giá trị của các định luật tổng quát là ở chỗ chúng cho ta các hệ thứcgiữa các đặc trng động lực cơ bản về chuyển động của các vật thể và mở ranhững khả năng mới có thể dùng một cách rộng

Trờng đại học vinh khoa vật lý

- -Phạm thị thùy vânKhóa luận tốt nghiệp đại học

Đề tài:

Các định lý tổng quát và ứng dụng của

nó trong việc giải các bài tập cơ học lý thuyết

đại

Cơ học theo nghĩa rộng là khoa học nhằm giải quyết các bài toán vềchuyển động hay cân bằng của các vật thể và sự tơng tác của chúng Cơ học lý

thuyết là phần cơ học nghiên cứu các quy luật chung của chuyển động và sự

t-ơng tác của các vật thể, tức là về các quy luật có thể áp dụng đợc cho cảchuyển động của trái đất xung quanh mặt trời cũng nh chuyển động của tênlửa và các quả đạn

Nhiệm vụ chính của cơ học lý thuyết là nghiên cứu các quy luật tổngquát của chuyển động và cân bằng của các vật thể dới tác dụng của lực đặt lênchúng Do thời gian nghiên cứu ít cha có điều kiện để tìm hiểu kỹ bộ môn nêntrong đề tài này tôi xin đề cập đến các địng lý tổng quát và ứng dụng của nótrong việc giải các bài tập cơ học lý thuyết

Các định lý tổng quát thờng đợc dùng để giải nhiều bài toán động lực học nhất

là trong động lực học hệ thay cho phơng pháp tích phân các phơng trình viphân chuyển động Chúng là hệ quả của định luật cơ bản của động lực học

Giá trị của các định luật tổng quát là ở chỗ chúng cho ta các hệ thứcgiữa các đặc trng động lực cơ bản về chuyển động của các vật thể và mở ranhững khả năng mới có thể dùng một cách rộng rãi để khảo sát chuyển độngcủa các cơ hệ trong thực tiễn kỹ thuật cho phép ta nghiên cứu hiện tợng theotừng mặt riêng biệt có tầm quan trọng mà không cần khảo sát toàn bộ hiện t-ợng Cuối cùng việc sử dụng các định lý tổng quát để giải bài tập, ta có thểtránh đợc các phép tích phân, từ đó làm cho quá trình giải quyết đơn giản hơn.Mặt khác, nội dung của nó cũng rất sát thực với chơng trình phổ thông bổsung kiến thức giúp ta có dịp tìm hiểu sâu hơn và nắm chắc các phần cơ bản ở

vật lý phổ thông Đó là lý do tôi chọn đề tài “các định lý tổng quát và ứng

dụng của nó trong việc giải các bài tập lý thuyết” Hi vọng đề tài này sẽ

giúp cho ngời đọc có một cách nhìn tổng quát hơn

Nội dung của đề tài bao gồm những phần sau:

đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận này

đợc hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Lê Thị Thai và các thầy côgiáo trong khoa vật lý đã giúp đỡ tôi rất nhiều, đã hớng dẫn, đóng góp cho tôinhiều ý kiến quý báu, giúp tôi hoàn thành luận văn này.

I.Tóm tắt lý thuyết

Xét chuyển động của hệ chuyển động bất kỳ gồm M1, M2… nên chắc chắnMN chất

điểm Lực tác dụng lên các chất điểm của hệ gồm nội lực và ngoại lực

Ký hiệu nội lực do chất do chất điểm Ml tác dụng lên Mk là Fkl

Nội lực do N-1 chất điểm tác dụng lên Mk là i

F

+

e k

F

+

e k

F

(1.2)gọi là phơng trình vi phân chuyển động của hệ chất điểm

F =

k

e k

F :Tổng ngoại lực tác dụng lên hệ

Ta có :

dt

P

d= Fe (2.1) biểu diễn định lí biến thiên xung lợng của hệ :

Đạo hàm theo thời gian của véc tơ xung lợng của hệ bằng tổng ngoại lực tácdụng lên hệ

Chiếu (2.1) lên các trục toạ độ Đề các

F =0Xung lợng hệ kín luôn bảo toàn

Từ (2.2), nếu hình chiếu lên một trục nào đó của ngoại lực tổng hợp tác dụnglên hệ bằng không tại mọi thời điểm thì hình chiếu lên trục đó của xung lợngcủa hệ bảo toàn.

k k k

b, Định lí chuyển động của khối tâm :

Khối tâm của hệ chuyển động giống nh một chất điểm có khối lợng bằngkhối lợng của hệ chịu tác dụng của lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ

Nếu Fe= 0 , m vC = const  vC = const

khối tâm của hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

- Nếu hình chiếu của ngoại lực tổng hợp tác dụng lên hệ trên một phơngnào đó bằng không tại mọi thời điểm thì theo phơng đó khối tâm của hệ đứngyên hoặc chuyển động thẳng đều.

4 Định lí biến thiên và định luật bảo toàn mô men xung

l ợng của hệ

a Định lí biến thiên mô men xung lợng của hệ

Hệ chất điểm gồm M1, M2,… nên chắc chắnMN Chọn điểm O cố định làm gốc toạ độ

Đạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men xung lợng của hệ đối với điểm O

cố định nào đó bằng tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ đối với cùng điểm

k x y y x

m (  

Nếu M =0, từ (4.1) suy ra L=const.

Nếu tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm O cố định bằngkhông tại mọi thời điểm thì mô men xung lợng của hệ đối với điểm O đó bảotoàn

Đối với hệ kín M =0, L=const

Hệ kín: Mô men xung lợng đối với một điểm O bất kì là đại lợng bảo toàn.Nếu hình chiếu của tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ lên một trục nào

đó bằng không tại mọi thời điểm thì hình chiếu của mô men xung lợng của hệlên một trục đó là một đại lợng bảo toàn: Mz= 0, Lz=const

Chú ý:

Định lí biến thiên mô men xung lợng của hệ chất điểm không những đúng cho

điểm O cố định mà còn đúng cho điểm C là khối tâm của hệ

cơ hệ đối với khối tâm C

Với r k : Bán kính véc tơ kẻ từ khối tâm C đến chất điểm Mk

: Vận tốc của chất điểm Mk đối với khối tâm

Nếu hệ chuyển động quay xung quanh một trục Oz cố định nào đó, mômen xung lợng của hệ đối với Oz: Lz=kmkdkvk=mkdk k

Nếu tất cả các chất diểm cùng quay với một vận tốc nh nhau wk thì

Lz=mkdk =Jz  với Jz=mkdk : Mô men quán tính của hệ đối với Oz

r: khoảng cách từ phần tử khối lợng dm của vật rắn tới trục quay.

J = mr2

r: khoảng cách từ chất điểm tới trục quay

dài l đối với trục thẳng góc với thanh và đi qua tâm thanh

J = ml2/12

kính R đối với trục cuả đĩa: J = mR2/2

bán kính R đối với trục của nó J = mR2

đối với một đờng kính của nó J = 2 mR2/5

dụng lên các chuyển động của hệ dUi=-Ai Mặt khác, ta có

)

k

e k

(5.5) biễu diễn định luật biến thiên động năng dạng tích phân Độ biến thiên

động năng của hệ trên một quãng đờng hữu hạn nào đó bằng tổng công củanội lựcvà ngoại lực tác dụng lên hệ trên cùng quãng đờng đó

- Chuyển động quay vi=hi  T=

2

2 2

d Định luật bảo toàn cơ năng

Ta biết công của lực F trên độ dời M1M2 của điểm M đợc tính theo công

Việc tính tích phân ở vế phải lúc cha biết các quy luật chuyển động (tức

sự phụ thuộc của x,y,z vào t) chỉ có thể làm đợc khi lực chỉ phụ thuộc vào vịtrí của điểm , tức chỉ phụ thuộc vào x,y,z Những lực nh vậy lập thành một tr-ờng lực

Công của các lực phụ thuộc trờng lực nói chung sẽ phụ thuộc vào dạngquỹ đạo chuyển động của điểm đặt lực Nếu dA=dU(x,y,z) thì ta có thể tính

lực Trờng lực có hàm lực gọi là trờng lực có thế, các lực trong đó gọi là lực cóthế

Một cách thuận lợi V=-U : Gọi là thế năng của trờng lực

Theo định luật biến thiên động năng T2-T1=A12 (a)

Ngoài ra biểu diễn công của lực qua thế năng

A12=U2-U1 =V1-V2 (b)

Kết hợp (a), (b) A12=T2-T1= V1-V2

Vậy, T1+V1 =T2+V2=E= hằng số.

Gọi tổng động năng và thế năng ở một trạng thái nào đó là cơ năng của

hệ Vậy nếu cơ hệ chuyển động trong trờng lực có thế thì cơ năng của hệ đợcbảo toàn

Lực tác dụng đợc biễu diễn qua thế năng

z

V



, F=-grad V

ớc một đoạn k Vì vậy, khi này N, P tạo thành ngẫu lực có mô men Nk

II BàI tập

1 Định lí chuyển động khối tâm

mang vật nặng có khối lợng bằng 2 tấn cát thẳng đứng lên từ vị trí ban đầu

Chiều dài AB bằng 8m Bỏ qua sức cản của nớc và của cần AB

Giải:

Xét trong hệ quy chiếu gắn với mặt nớc đứng yên

Ngoại lực tác dụng lên cơ hệ vật nặng và tàu gồm trọng lực và lực đẩyAcsimet có phơng thẳng đứng Tổng hình chiếu của ngoại lực lên phơng

Gọi xo1, xo2 lần lợt là toạ độ trọng tâm của tầu và vật nặng lúc đầu, x1, x2 làtoạ độ tơng ứng lúc sau

Toạ độ khối tâm xc của toàn hệ ở các vị trí ban đầu và vị trí cuối sẽ là:

xoc=

2 1

2 2 1

1

m m

x m

2 1

2 2 1

1

m

m

x m

2

m m

Ban đầu hệ đứng yên nên vc =0=hằng số

rc=const Theo phơng ngang xc=hằng số

Tơng tự bài 1, ta có: mx+m1(x+kcotg) + m2 (x+lsin)=0

Trong đó x: độ dịch chuyển của nêm, l: độ dịch chuyển của A trên mặt nêm

2 1

Bài 3: Một thanh đồng chất AB dài 2l tựa đầu B lên mặt phẳng nằm ngang

nhẵn và nghiêng với nó một góc  (hình vẽ) Hãy xác định phơng trình quỹ

đạo của điểm A khi thanh rơi xuống mặt phẳng

Giải:

+ Trọng lực P đặt tại C

+ Phản lực N của mặt sàn đặt tại B (mặt sàn nhẵn nên bỏ qua ma sát)

Ban đầu, thanh đứng yên nên vxc=0

Chọn gốc toạ độ O tại vị trí ban đầu của B

Ox theo phơng ngang, chiều nh hình vẽ

l

l

=1 (1) (1) : phơng trình quỹ đạo của điểm A

Có thể giải theo cách khác nh sau: Cách 2



rc xác định vị trí của chất điểm C : rc =

r' vị trí tơng đối của hai chất điểm : r'=

l

l

huyền AB dài 12cm đợc đặt thẳng đứng tựa đỉnh A trên mặt phẳng ngangnhẵn không ma sát Ngời ta thả cho tấm phẳng đổ xuống dới tác dụng củatrọng lực Hãy xác định quỹ đạo của điểm M nằm chính giữa cạnh bên BC Giải:

Xét chuyển động của tấm ABC Các lực tác dụng vào tấm ABC :

Trọng lực P và phản lựcN

x

F = Px + Nx = 0 Gọi G là khối tâm của tam giác ABC

N 

CH

x

r = const Theo phơng ngang xG = const

Chọn gốc toạ độ O là vị trí ban đầu của A Hai trục toạ độ Ox, Oy nh hình vẽ

M G M M

G M

y y y

x x x r

r r

Khi AM tạo với trục Ox một góc  thì toạ độ điểm M :

cos '

GM y

GM x

AG y

const GH

x x

G

OG G

Vậy, quỹ đạo M là cung Elip có phơng trình trên

Bài 5: Một động cơ điện có rô to nặng P và stato nặng Q Rôto quay với vậntốc góc không đổi  Trọng tâm của rôto lệch với trục quay một đoạn a và ban

đầu nó ở vị trí thấp nhất Máy đặt trên nền ngang nhẵn Xác định:

a Phản lực của nền tác dụng lên động cơ

b Độ di chuyển ngang của động cơ

c Lực cắt lên các bu lông khi gắn chặt máy vào nền

Giải:

a Khảo sát động cơ, ngoại lực tác dụng :P,Q,N

Chọn trục x nằm ngang, trục y thẳng đứng đi qua A, có gốc O bất kì áp dụng

định lí chuyển động khối tâm theo phơng y, ta có:

My c= N- P- Q (a)

AB

Mặt khác, ta có Myc = 

k mkyk

 Myc= Q g yA+ P g y = Q g yA + P g (yA- acost) (b)

tiếp 2 lần theo thời gian, ta có:

áp dụng định luật bảo toàn chuyển động khối tâm: Mx c=0

 xc= 0  x c= const Ban đầu hệ đứng yên

 x c= 0  xc= const nghĩa là theo phơng ngang toạ độ khối tâm của hệ

Lực cắt lớn nhất lên các bulông sẽ bằng Rxmax =P g a2

Nhận xét:

Định lí chuyển động khối tâm thờng đợc áp dụng vào các bài toán sau:

1 Biết  e

k

khi biết chuyển động của các bộ phận còn lại của cơ hệ: Bài toán ngợc

2 Biết chuyển động của các bộ phận cơ hệ, tìm lực tác dụng lên cả cơ hệ(thờng là tìm phản lực liên kết) : Bài toán thuận

Giá trị của định lí:

Nó đặt cơ sở lí luận cho các phơng pháp động lực học điểm Từ các

ph-ơng trình (3.3), ta thấy rằng các nghiệm mà ta nhận đợc bằng cách xem vật

nh một chất điểm sẽ xác định quy luật chuyển động của vật nên chúng có ýnghĩa hoàn toàn cụ thể

Đặc biệt nếu chuyển dộng tịnh tiến thì chuyển động của nó đợc xác

định hoàn toàn bởi chuyển động của khối tâm Cho nên vật thể chuyển độngtịnh tiến bao giờ cũng có thể xem nh một chất điểm với khối lợng bằng khối l-ợng của vật Trong các trờng hợp khác, ta chỉ có thể xem vật nh một chất

điểm nếu thực sự là chỉ cần biết vị trí của khối tâm cũng xác định đợc vị trícủa vật

Nó cho phép khi xác định quy luật chuyển động của khối tâm của hệ

có thể không cần xét đến các lực trong cha biết

2 Định lí biến thiên và định luật bảo toàn xung lợng

Bài 6: Cho cơ hệ gồm vật nặng A có trọng lợng P1 đặt trên mặt phẳng

mặt ngang là  Lăng trụ đợc đặt trên mặt ngang nhẵn (hình vẽ) Ban đầu vậtnặng nằm yên tơng đối trên mặt lăng trụ còn chính lăng trụ thì trợt ngang sang

lăng trụ với vận tốc tơng đối u=at

Tìm vận tốc lăng trụ

Xét hệ quy chiếu gắn với mặt đất

Ngoại lực tác dụng lên cơ hệ (A+B)

gồm trọng lực và phản lực tổng hợp của mặt phẳng ngang

(bỏ qua ma sát với mặt phẳng nằm ngang)

Hình chiếu của tổng ngoại lực lên mặt phẳng ngang bằng không

- Xung lợng ban đầu của hệ: Po = P1 g P2 vo Pox=P1 g P2 vo

Khi vật A trợt xuống với vận tốc tơng đối u = at thì vận tốc của A so với mặt

1

P P

P

trọng lợng của phần giật lùi là Q1, trọng lợng của quả đạn bằng Q2 Vận tốccủa đầu đạn lúc qua khỏi nòng súng là u

Xét hệ quả đạn và phần bị giật lùi, có thể bỏ qua áp lực hơi cha biết.

Bỏ qua sức cản giật lùi trong thời gian đạn chuyển động trong nòng và các lực

1

Q ,Q2 và N phản lực của mặt đất (vì chúng rất bé so với áp lực hơi thuốc gây giật) Ta thấy, hình chiếu tổng ngoại lực tác dụng lên vật theo phơng ngang bằng không Khi đó, xung lợng của hệ theo phơng ngang bảo toàn

u hớng ngợc chiều chuyển động của đạn

Bài 8: Một dòng nớc chảy từ ống tiết diện F dội vào tờng với vận tốc v Xác

định lực ép của nớc lên tờng ống nớc làm với tờng một góc 

Giải:

Khảo sát hệ là khối nớc abc

Sau thời gian  khá nhỏ khối nớc này chiếm vị trí a’b’c’

áp dụng định lí xung lợng của hệ dới dạng tích phân

đợc thêm vào, còn aa’ bị mất đi Nhng vì vận tốc của hai khối nớc bb’, cc’vuông góc với trục x nên hình chiếu xung lợng của hai khối nớc này lên trục xtriệt tiêu, nói cách khác không làm tăng đại lợng Px còn hình chiếu xung lợngcuả khối nớc aa’ lên trục x là mvsin

Bởi vì chỉ có sự giảm của Px nên: P1x-Pox = - mvsin (1)

Bây giờ ta sẽ tính khối lợng m

Gọi  là mật độ chất lỏng ( tức là khối lợng của một đơn vị thể tích)

thì m = Fv 

Thay vào (1) P1x-Pox = -v2F  sin (2)

Vì khoảng thời gian  là nhỏ nên có thể coi phản lực R của tờng lên khối nớc là không đổi Khi bỏ qua trọng lợng của khối nớc và lực ép của các hạt nớc lên hệ khảo sát, ta có:

áp dụng với các giá trị cụ thể: v = 10m/s

aa’

bb’

cc’

R 

Nhận xét: Định lí chuyển động của khối tâm và định lí biến thiên xung lợng

của hệ thực chất chỉ là hai dạng khác nhau của cùng một định lí Khi nghiêncứu chuyển động của vật rắn (hay hệ vật) ta có thể sử dụng dạng nào cũng đ -

ợc Tuy nhiên, đối với môi trờng liên tục (chất lỏng, chất khí) vì khái niệmkhối tâm thực tế không còn ý nghĩa nên để giải các bài toán trong các trờnghợp này, ta phải dùng định lí xung lợng của hệ Định lí này cũng đợc sử dụngtrong lí thuyết va chạm và trong việc nghiên cứu các chuyển động phản lực

3.Định lí biến thiên mô men xung lợng

Bài 9: Một đĩa tròn đồng chất có khối lợng m1 và bán kính r quay quanh trục

đ-ờng bán kính Xác định vận tốc góc  của đĩa tại thời điểm M ở cách tâm đĩamột khoảng 0,5r Bỏ qua ma sát ở ổ trục quay

Giải:

Khảo sát cơ hệ gồm đĩa và chất điểm M Đĩa có thể quay quanh trục cố

định z thẳng đứng còn chất điểm M chuyển động theo bán kính ON ( Chuyển

động tơng đối ) và cùng với đĩa quay quanh trục Oz (Chuyển động theo )

A

R , RB tại các ổ trục A,B Vì ngoại lực gồm các lực song song hoặc cắt trục

z nên theo công thức (4.4), hình chiếu mô men ngoại lực lên trục z :

Mz= ( e)

kx k e ky

k F y F

Nên mô men xung lợng của hệ theo trục z bảo toàn Lz=const

Biểu thức mô men xung lợng của hệ đối với trục z: L=L1+L2

1

2

2

m m

m

 o Vậy, đĩa quay quanh trục Oz cùng chiều với  o

động Tại một thời điểm nào đó chất điểm M bắt đầu chuyển động theo vành

đĩa với vận tốc tơng đối so với đĩa là u M chuyển động theo chiều quay của

đĩa Tìm vận tốc góc của đĩa lúc đó

Tại thời điểm vật có vận tốc tơng đối so với đĩa là u

L1,L2 lần lợt là mô men xung lợng của đĩa và vật

 = o- u

r m m

m

) 2 (

2

2 1

2



Đĩa quay quanh trục z theo chiều dơng hoặc âm tuỳ thuộc vào giá trị của u

Nếu  > 0 thì đĩa quay theo chiều cũ

M1và M2 có khối lợng m1, m2 chuyển động dới tác dụng của trọng lực trên

vòng tròn bán kính R nằm trên mặt phẳng thẳng đứng và liên kết với nhau bởi

dây căng không dãn có chiều dài l áp dụng kết quả trên thiết lập phơng trình

- Các lực ngoài tác dụng lên hệ gồm các trọng lực P1=m1g, P2=m2g song song

với trục y và các phản lực N1,N2 hớng theo bán kính Tổng mô men các lực

này đối với tâm O có các thành phần (áp dụng công thức (4.4)):