Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học hình học luận văn thạc sĩ giáo dục

Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán.Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và

ĐINH VĂN TỪ

CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG

NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

Nghệ An - 2012

ĐINH VĂN TỪ

CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 10

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Đinh Hùng

Nghệ An - 2012

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

TS Nguyễn Đình Hùng Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắctới thầy- người đã trực tiếp giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô giáo trong chuyênngành lý luận và phương pháp giảng dạy môn toán, Trường Đại học Vinh, đãnhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Tổ Toán-Lý-TinTrường THPT DTNT Quỳ Hợp và Ban Giám Hiệu Trường PTDTNT THCSQuỳ Hợp đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian theo học và làm luận văn

Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót cần được góp ý, sữa chữa Tác giả rất mong nhận được những ýkiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc

Nghệ An, tháng 8 năm 2012

Tác giả

Đinh Văn Từ

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Đóng góp luận văn 4

7 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 7

1.1 Khái niệm năng lực và năng lực toán học 7

1.1.1 Năng lực 7

1.1.2 Năng lực toán học 8

1.1.3 Năng lực giải toán 10

1.2 Một số thành tố của năng lực giải toán 11

1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề 11

1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ 12

1.2.3 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự 13

1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau 14

1.2.5 Năng lực phân chia trường hợp 15

1.2.6 Năng lực suy luận lôgic 16

1.2.7 Năng lực khái quát hoá 18

1.2.8 Năng lực diễn đạt nội dung bài toán theo những cách khác nhau 21

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học 21

1.3.1 Quan điểm của V A Krutecxki 21

1.3.2 Quan điểm của A N Kôlmôgôrôv 24

1.3.5 Quan điểm của B V Gơnhedencô 26

1.3.6 Quan điểm của UNESCO 26

1.3.7 Quan điểm của một số tác giả khác 27

1.4 Dạy học giải bài tập toán 28

1.4.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học 28

1.4.2 Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau: 30

1.4.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán 30

1.5 Một số tồn tại trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh 33

Kết luận chương 1 35

Chương 2 Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10 36

2.1 Giới thiệu nội dung chương trình hình học 10 (Ban cơ bản) 36

2.2 Định hướng xây dựng các biện pháp 38

2.3 Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua nội dạy hoc Hình học 10 38

2.3.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.polia trong giải toán 38

2.3.2 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng diễn đạt bài toán dưới các ngôn ngữ khác nhau 45

2.3.3 Bồi dưỡng cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề thông qua hoạt động biến đổi đối tượng để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán 51

2.3.4 Rèn luyện cho học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau 57

2.3.5 Vận dụng lý thuyết của vùng phát triển gần nhất của Vưgôtxky để nâng dần yêu cầu và hạ thấp yêu cầu khi cần thiết 68

2.3.6 Bồi dưỡng năng lực tự học 73

3.1 Mục đích thực nghiệm 87

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 87

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 87

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 87

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 91

3.3.1 Đánh giá định tính 91

3.3.2 Đánh giá định lượng 91

Kết luận chương 3 95

Kết luận 96

Tài liệu tham khảo 97

Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A Stôliar).

Đối với HS, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và khôngthể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tậptoán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông

Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đốivới chất lượng dạy học toán Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức nănggiáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năngkiểm tra đánh giá Khối lượng bài tập toán ở trường phổ thông là hết sứcphong phú, đa dạng Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn lànhững bài toán chưa có hoặc không có thuật giải Đứng trước những bài toán

đó, GV gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào để giúp họ tìm ra phươngpháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rấtkhó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn lànghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên

1.2 Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải toán thường thể

hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán.Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng,không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều kháquan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán họckhác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phươngpháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

Trong học toán và làm toán, việc áp dụng phương pháp, công cụ củalĩnh vực toán này vào một lĩnh vực toán khác đôi lúc tỏ ra rất hiệu quả và đơngiản hơn, đồng thời quá trình này cũng làm cho người học toán hiểu rõ đượcvai trò và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể Chẳng hạn,trong Hình học , tính chất của các hình hình học, hình dáng, vị trí cũng nhưquan hệ giữa các yếu tố trong mỗi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại

số, biểu thức lượng giác, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình.Chính nhờ các dạng biểu diễn này ta có thể áp dụng các phép biến đổi thuầntúy đại số để xác lập các tính chất mới giữa các yếu tố hình học, để khẳngđịnh sự tồn tại hay thiết lập các điều kiện tồn tại của một hình nào đó Cácyếu tố ta thường gặp là cạnh, góc, đoạn thẳng, chu vi, diện tích… và các quan

hệ giữa chúng được cho bằng các công thức cơ bản Trên cơ sở các công thứcnày và các giả thiết được cho trong mỗi bài toán, ta lập các biểu thức mới vàsau đó ta sử dụng chủ yếu các phép biến đổi và các công cụ mạnh trong đại số

và giải tích (chẳng hạn như đạo hàm) để rút ra các kết luận cần thiết

1.3 Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát

triển khả năng tư duy của học sinh, vì để giải bài toán học sinh phải suy luậnphải tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huyđộng kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng Mối liên hệ,dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phântích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là

ở tính chất trừu tượng cao độ của nó Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâuvào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ cókhái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của họcsinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựatrên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũngqua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng

tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển Bởi quacác thao tác tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác địnhđược phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoànthiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng củangười khác Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm rahướng đi mới, tạo ra kết quả mới.

1.4 Trong chương trình Hình học 10 phương pháp véc tơ có vai trò

rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Chẳng hạn có thể sử dụngphương pháp véc tơ để xây dựng phương pháp toạ độ, các hệ thức lượng, xâydựng các phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng Sử dụng phươngpháp véc tơ có thể giải một số bài tập tổng hợp hoặc vận dụng hệ thức lượngtrong tam giác có thể giải các bài toán thực tế, các bài toán quỹ tích, dựnghình, bài toán tam giác lượng Hoặc có thể sử dụng nhiều vấn đề trong Hìnhhọc 10 để phát huy khai thác, mở rộng, mở rộng, phát triển thành những bàitoán mới tương tự và khái quát hoá

Vì những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

3.1 Làm sáng tỏ khái niệm năng lực và năng lực giải toán của học sinh.

3.2 Nghiên cứu các biện pháp nâng cao năng lực giải toán của học sinh

bậc THPT

3.3 Nghiên cứu hệ thống bài tập Hình học 10

3.4 Xây dựng một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho

học sinh THPT

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm và sử dụng các biện pháp

đó nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trong quá trình dạyHình học 10 thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán và đổimới phương pháp dạy học trường trong giai đoạn hiện nay

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lýhọc, giáo dục học, các sách, tạp chí, các luận văn cao học có liên quan đến đềtài

- Nghiên cứu thực tiễn

Tìm hiểu thực tiễn về dạy học và biện pháp để bồi dưỡng năng lực giảitoán cho học sinh

- Kết quả nghiên cứu của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văngồm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1.1.1 Năng lực

1.1.2 Năng lực toán học.

1.1.3 Năng lực giải toán

1.2 Một số thành tố của năng lực giải toán

1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề

1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

1.2.3 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

1.2.5 Năng lực phân chia trường hợp

1.2.6 Năng lực suy luận logic

1.2.7 Năng lực khái quát hóa

1.2.8 Năng lực diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

1.3.1 Quan điểm của V.A Krutexki

1.3.2 Quan điểm của A N Kôlmôgônôp

1.3.3 Quan điểm của A.I Marcusevich

1.3.4 Quan điểm của X.I.Vacxbuôc

1.3.5 Quan điểm của B.V.Gơnhedencô

1.3.6 Quan điểm của Unescô

1.3.7 Quan điểm của một số tác giả khác

1.4 Dạy học giải bài tập toán

1.4.1 Vị trí chức năng bài tập toán

1.4.2 Lời giải bài toán phải đảm bảo các yêu cầu

1.4.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

1.5 Một số tồn tại trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinhChương 2: Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinhTHPT thông qua nội dung Hình học 10

2.1 Giới thiệu nội dung Hình học 10

2.2 Định hướng xây dựng các biện pháp

2.3 Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông quanội dung Hình học 10.

2.3.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.polia tronggiải toán

2.3.2 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng diễn đạt bài toán dưới các ngônngữ khác nhau

2.3.3 Bồi dưỡng cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề thông quahoạt động biến đổi đối tượng để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán

2.3.4 Rèn luyện cho học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau 2.3.5 Vận dụng lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Vưgotxky đểnâng dần yêu cầu và hạ thấp yêu cầu khi cần thiết

2.3.6 Bồi dưỡng năng lực giải toán bằng con đường tự học

Kết luận chương 2

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.2.1 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.2.2 Nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3.1 Đánh giá định tính

3.3.2 Đánh giá định lượng

Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Khái niệm năng lực và năng lực toán học

1.1.1 Năng lực

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học chothấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động Qua

quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ

xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mớivới mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong

để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập

và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định Dưới đây

là một số cách hiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả

năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [17]

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con

người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cầnthiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [2]

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp

ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết đểhoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[3])

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy

sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và

do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (địnhnghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản nhưtính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sángtạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừanhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng,tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợicho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau

1.1.2 Năng lực toán học

Theo V A Krutecxki [8, tr 13] năng lực toán học được hiểu theo 2 ýnghĩa, 2 mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắmmột cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt

động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớnđối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệtđối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lựcsáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một

cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm;

đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực

Với mức độ học sinh trung bình, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận NLTHtheo góc độ thứ nhất (năng lực học toán) Sau đây là một số định nghĩa vềNLTH:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân

(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toánhọc và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việcnắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹxảo toán học [8, tr 14]

Định nghĩa 2: Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm

tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêucầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì

là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạoToán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễdàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học [7,tr 126].Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minhtrong việc học Toán Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm đượcchương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này quahọc sinh khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các

năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển

trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy,

cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hìnhthành, phát triển, hoàn thiện năng lực

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học

Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và

phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện

sĩ A N Kôlmôgôrôv cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học

đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trung học với

sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.1.3 Năng lực giải toán

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học Năng lựcgiải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán là gì vàthể hiện như thế nào?

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giảiquyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duytích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắmvững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả cao

so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt độnggiải toán đó trong các điều kiện tương đương

Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học

và khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấutrúc của năng lực giải toán như sau:

Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêucầu của một lời giải rõ ràng, đẹp đẽ

Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả nănglập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu,ngôn ngữ toán học Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngônngữ: kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết vàngược lại

Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển củanăng lực giải quyết vấn đề

Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc caotrong lao động giải toán

Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vàoviệc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu.

Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một số kiếnthức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn trongquá trình giải toán

Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (cóthể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán đểgiải bài toán đó)

Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từbài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát,nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệthống hóa, đặc biệt hóa

Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng

đế ban cho Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phầnnhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có Quá trình họctập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp,

từ đó năng lực giải toán được nâng lên Một phần do học sinh tự nâng thêmnăng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồidưỡng

1.2 Một số thành tố của năng lực giải toán

1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một

quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy rathì ta đã làm công việc dự đoán Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cầnphải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoáncủa mình

Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởngđược ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào cácnguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưabiết Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [14].

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G.Polia thì “ trừnhững người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phảihọc tập để có được năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khiphán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoáncủa mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và nhưvậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dựđoán đúng Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trênnhững qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng khôngphải là nghĩ liều” [1]

Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HSphải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phảiđược rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượngToán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp,đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đãbiết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự

1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giảiquyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong nhữngphương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữcủa bài toán

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng

để huy động kiến thức đối với việc giải toán Nó được thể hiện qua các hoạtđộng như:

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán họctheo mối liên hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lượng giác hoá,

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phươngpháp tổng hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc tơ vàphương pháp toạ độ), hoặc phương pháp biến hình

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộcvào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang đượcngôn ngữ nào, nếu là bài toán hình học thì làm sao để chuyển sang được ngônngữ véc tơ hoặc toạ độ Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổi

được ngôn ngữ Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài toán hình

học có giải được bằng phương pháp véc tơ một cách thuận lợi hay không làkhả năng diễn đạt các khái niệm, các mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho vàcác yếu tố cần tìm ra ngôn ngữ véc tơ Nếu sự “phiên dịch” không gặp khókhăn lớn thì việc sử dụng véc tơ để giải bài toán đó là có cơ sở

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những địnhhướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khácnhau

1.2.3 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán

được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặccùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giốngnhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bàitập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó cóvai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạtđộng này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượngcủa hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa cácđối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng) Những hoạt động đó là để biếnđổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mớitương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu vàgiải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của hoạt động nhậnthức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật đểbiến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể

Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc củabài toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Việc biến đổi đó

có thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có củahọc sinh hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toánphẳng với bài toán không gian Việc làm này thể hiện ở việc xét cái tương tựgiữa những vấn đề trong không gian đối với những vấn đề trong mặt phẳng:cái tương tự với mặt phẳng là đường thẳng, mặt cầu là đường tròn, cái tương

tự tứ diện là tam giác, Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó

trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy

động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bàitoán tương tự

Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quycác vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, vềcác bài toán tương tự đã giải

1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vậtbiện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiềugóc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải

chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lượng giác hoá, hình học hoá;hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữ như: chuyển đổi ngôn ngữhình học tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình Hoặc có thể nhìnnhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứgiác có một cạnh bằng không, một tứ giác có một góc bằng 1800, cái tương tựnhư tứ diện trong không gian, hoặc xem xét, đặt nó trong môi trường khônggian khác, chẳng hạn có thể nghiên cứu hình chóp trong hình hộp, đường tròntrong một mặt cầu,

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhậntheo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã

có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềmtin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàngnhững cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

1.2.5 Năng lực phân chia trường hợp

Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng như khigiải toán biện luận, ta cần phải phân chia một khái niệm

Trong lôgic học, người ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao tác

lôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thànhcác nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [12, tr 72]

Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái

niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [4, tr 141]

Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những tập

hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung

Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt rõ

ràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm

Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:

+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;

+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;

+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phânchia (phân loại);

+ Phân chia phải liên tục [12, tr 141]

1.2.6 Năng lực suy luận lôgic

Trong lôgic học người ta quan niệm rằng: “Suy luận là quá trình suy nghĩ

để rút ra một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [5, tr 140]

Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút ra gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận.

Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lôgic A B, trong đó A là

tiên đề, B là kết luận Cấu trúc lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là

a) Suy luận diễn dịch (hay phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc

(quy tắc suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luậnrút ra cũng đúng [4, tr 59]

Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng Vậy để đảm bảo tínhchất đúng đắn của một suy diễn thì các tiền đề của suy luận phải đúng đồng

thời suy luận phải hợp lôgic.

Một suy luận hợp lôgic dạng A B hoặc A A1 2 A n  B được ký hiệu

là: A

B ; A A1, 2, ,A n

Một số quy tắc suy diễn thường dùng:

* Quy tắc modus ponens: P Q P,

Q



Quy tắc suy luận modus ponens thường được sử dụng trong chứng minhmột mệnh đề toán học bằng cách đi từ các mệnh đề đúng đã biết, suy diễn tớimệnh đề cần chứng minh

b) Suy luận quy nạp: chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sở cácquan sát và thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đườngxem xét các trường hợp riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luậtcho các trường hợp tổng quát gọi là suy luận quy nạp [5, tr 142]

* Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rải để chứng minh các định lý

và giải Toán Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được

chứng minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù

được gọi là quy nạp, nhưng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn là suy luậnthuộc loại suy diễn [5, tr 142]

Thật vậy, để có thể áp dụng được phương pháp suy luận này, ta phải đưa

về việc phân chia các trường hợp chung thành một số hữu hạn các trường

hợp riêng có thể có và chứng minh khẳng định đúng trong tất cả các trường

hợp riêng

Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn, để tránh sự trùnglặp nhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽ không bàn nhiều về phát triển năng lựcsuy luận lôgic ở góc độ này Vì năng lực này được phát triển nếu chúng taphát triển được ở học sinh năng lực suy diễn, năng lực phân chia các trườnghợp riêng

* Quy nạp không hoàn toàn là phép đi từ cái đúng riêng đến kết luận chocái chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến [5, tr.145]

Đối với phép quy nạp không hoàn toàn, đặc biệt hoá và khái quát hoá,tương tự hoá, được xem là các thủ thuật lôgic tư duy chủ yếu, có ý nghĩa cực

kỳ quan trọng trong khi tiến hành suy luận

Khi cần rút ra một kết luận về mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên

na, người ta thường dùng phép quy nạp toán học theo quy tắc sau:

Tiền đề: 1 P(n) đúng

2 Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng với k

Kết luận: P(n) đúng với mọi na

Tiền đề 1 gọi là mệnh đề cơ sở, tiền đề 2 gọi là mệnh đề quy nạp, P(k)đúng là giả thiết quy nạp

Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Để đi đến cái mới trong Toán học phảibiết được tư duy lôgic và tư duy biện chứng Trong việc phát hiện vấn đề vàđịnh hướng giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, cònhướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy lôgic giữ vai trò chính” [13, tr 5].Ngoài ra, trong quá trình giải toán, khi đứng trước một vấn đề cần giảiquyết thì hoặc phải biến đổi giả thiết và kết luận sao cho chúng xích lại gầnnhau hơn, hoặc biến đổi tìm kiếm nhiều thông tin liên quan đến bài toán Cónghĩa, vai trò của suy luận lôgic là rất quan trọng trong quá trình học vànghiên cứu toán

1.2.7 Năng lực khái quát hoá

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợpđối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật

một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [9, tr 55].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đếnphương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đãnói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quátthì con người mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không có

khoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát làkhả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khảnăng đặc biệt” [15, tr.170].

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toán học

là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã được các nhà Sưphạm, nhà Toán học như: V A Krutecxki, A I Marcusêvich, Pellery, Tổchức quốc tế UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán họccủa mình

Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họhoạt động khái quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp kháiquát hoá Trên tinh thần đó, để phát triển năng lực khái quát hoá cho học sinh

có thể thực hiện theo các cách sau:

a) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp.

Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên mộtmức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biếncủa các đối tượng đang xét Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoáphải thấy được những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt

Hoạt động phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi hoạt động sosánh chưa tìm ra được đặc điểm bản chất – chung để khái quát hoá Kết quảhoạt động khái quát hoá chỉ là dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặtToán học cần có bước chứng minh Đường lối chứng minh kết quả khái quát

có thể tìm thấy sau quá trình phân tích, quá trình giải các bài toán cụ thểnhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyết bài toán cụ thể chưathể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này giáo viên cần gợi động cơ

để HS có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúp ích choviệc giải quyết bài toán tổng quát

Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ là một conđường khái quát hoá, nhưng không phải là con đường duy nhất Bên cạnh conđường này (con đường của số đông học sinh) còn tồn tại một con đường khác(con đường của một số học sinh có nhiều khả năng) không dựa vào sự so sánh

mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giốngnhau Việc nhận biết một số bài tập cụ thể như là đại diện của một lớp bài tậpcùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này Vì vậy, ta coi trọng đúng mứcnhưng không quá cường điệu vai trò của so sánh trong khái quát hoá

b) Tập luyện cho HS hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoá cùng với hoạt động phân tích và tổng hợp

Đặc điểm của phương pháp này là từ phân tích một sự vật cụ thể, riêng lẻsuy ra tính chất chung của loại sự vật đó Khái quát từ trừu tượng cũng làphương pháp vô cùng quan trọng Nó bắt đầu từ phân tích, từ ngoài vào trong,

từ thô đến tinh, chọn lấy cái cốt lõi

c) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt

động tương tự hoá và đặc biệt hoá.

Các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự hoá đặc biệt có

ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng chúng để giảicác bài toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phương hướnggiải bài toán; để mở rộng đào sâu, và hệ thống hoá các kiến thức

Khi giải một bài toán, phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toánphải giải thành một bài toán tương tự, đơn giản hơn; sao cho nếu giải được bàitoán sau thì sẽ giải được bài toán đã cho Đây là một hoạt động mà chúng tacần phải bồi dưỡng cho học sinh Tuy nhiên, chúng ta cũng phải biết hìnhthành ở học sinh khả năng ngược lại; tức là từ những trường hợp đặc biệt rồicho học sinh dự đoán kết quả khái quát hoá

1.2.8 Năng lực diễn đạt nội dung bài toán theo những cách khác nhau

Bài tập toán: Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải

tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích trông

thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm phương tiện

đó (dẫn theo [11])

Như vậy, bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi người giải một lờigiải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái cósẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa ra

Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trongnhững điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau Trong lĩnh vựcToán học cũng vậy, có nhiều loại toán có liên quan với nhau Mối quan hệgiữa chúng trong những điều kiện nào đó cho phép ta có thể chuyển từ việc

giải bài toán này qua việc giải bài toán khác (có nội dung khác nhau).

Ta biết rằng, hiểu sâu vấn đề cần giải quyết là then chốt để giải quyết vấn

đề Độ sâu của sự hiểu biết này chủ yếu thể hiện ở việc nắm vững bản chất

vấn đề và biểu đạt nó dưới những dạng khác nhau Học cách biến hoá, thay đổi sự diễn đạt vấn đề không những có lợi để nối thông các kiến thức liên quan với nhau mà còn có lợi cho việc vận dụng linh hoạt các kiến thức đó.

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

1.3.1 Quan điểm của V A Krutecxki

V A Krutecxki – nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý họcthuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm

lý năng lực toán học với công trình đồ sộ “Tâm lý năng lực toán học” – Luận

án Tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao Côngtrình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thựcnghiệm hết sức công phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968 Ông đãnghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài

nước Về mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của

HS có năng khiếu về toán; thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trung bình vàkém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng

1000 học sinh từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạytoán; phỏng vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên toán; phỏng vấn bằng giấy đốivới 21 nhà Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà toán học vàvật lý học nổi tiếng trong và ngoài nước Chính vì độ tin cậy trên về nhữngkết luận khoa học của V A Krutecxki nên Luận văn sẽ kế thừa kết quả và làđiểm tựa quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài

Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực

toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa theo quan điểm

của Lý thuyết thông tin):

* Về mặt thu nhận thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

* Về mặt chế biến thông tin toán học

1) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học; 2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán;

3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;

4) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;

5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải;

6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học).

* Về mặt lưu trữ thông tin toán học

Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểm

về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc, đường lối giải toán).

* Về thành phần tổng hợp khái quát

Khuynh hướng toán học của trí tuệ.

Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫnnhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lựctoán học

Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thị bằngmột công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tưduy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệthống ký hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ [8, tr 170].Cùng với cấu trúc nói trên, V A Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý vềphương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho HS

Nghiên cứu quan điểm của V A Krutecxki về năng lực toán học, có thểthấy một số vấn đề quan trọng sau:

+) Về mặt lý luận

1) Theo V A Krutecxki thì nói đến HS có năng lực toán học là nói đến

HS có trí thông minh trong việc học toán;

2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân Khi nói về năng

lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cánhân, chẳng hạn về năng lực toán học Điều quan trọng năng lực không chỉ làbẩm sinh mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sốngcủa mỗi cá nhân;

3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt độngnhất định của con người Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong

hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấyđược biểu hiện của năng lực toán học;

4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường

phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực Kết quả học tập Toán cũng không nằm

ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạnniềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáoviên, của gia đình và xã hội

* Về mặt thực tiễn

1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗingười trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồidưỡng năng lực đó;

2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát,tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học Cácnăng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh giỏi,trung bình, kém Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó đượctạo thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốnhình thành các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải có sựrèn luyện

1.3.2 Quan điểm của A N Kôlmôgôrôv

Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà toán học, A N Kôlmôgôrôv

đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, côngthức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệđến năng lực toán học Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:

1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù hợp với qui tắc giải thông thường, hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angôrit”;

2) Trí tưởng tượng hình học hoặc “trực giác hình học”;

3) Nghệ thuật suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgic cần thiết cho nhà toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.

Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toán họcthường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thường bộc

lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục

1.3.3 Quan điểm của A I Marcusêvich

Viện sĩ A I Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ vàtính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Toán:

1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);

2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học, đó chính

là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không gian (kỹ năng

5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả;

6) Khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát.

1.3.4 Quan điểm của X I Svacxbuốc

X I Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà toán học, đãnghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển toán học:

1) Các biểu tượng không gian;

2) Tư duy trừu tượng;

3) Chuyển thành sơ đồ toán học;

4) Tư duy suy diễn;

5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;

6) Áp dụng các kết luận;

7) Tính phê phán;

8) Ngôn ngữ toán học;

9) Kiên trì khi giải toán.

1.3.5 Quan điểm của B V Gơnhedencô

Viện sĩ B V Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí

“Toán học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các

tính chất sau đây của tư duy toán học:

1) Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được

sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;

3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;

4) Sự cô đọng;

5) Sự chính xác của kí hiệu.

1.3.6 Quan điểm của UNESCO

Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của NLTH

đó là:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các khái niệm;

2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;

3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;

4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

6) Năng lực xây dựng một chứng minh;

7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;

8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;

9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;

10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.

1.3.7 Quan điểm của một số tác giả khác

1.3.7.1 Quan điểm của E L Thorndike

So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng lực toán học củahọc sinh, E.L Thorndike đã đi sâu vào lĩnh vực Đại số Theo E L Thorndike,những thành tố của năng lực Đại số gồm:

1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;

2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức;

3) Năng lực biến đổi công thức;

4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng

đã cho;

5) Năng lực giải phương trình;

6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;

7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị phụ thuộc hàm của hai đại lượng.

1.3.7.2 Quan điểm của G Tômac

G Tômac đưa ra cấu trúc năng lực toán học bao gồm các thành tố sau:

1) Năng lực trừu tượng hóa;

2) Năng lực suy luận lôgic;

3) Tri giác đặc thù;

4) Có kỹ năng sử dụng các công thức;

5) Năng lực trực giác;

6) Trí tưởng tượng toán học.

1.3.7.3 Quan điểm của Pellery

1) Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn giả thiết và kết luận);

2) Lưu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu);

3) Năng lực theo dõi một số hướng suy luận;

4) Năng lực hiểu bài toán;

5) Năng lực theo dõi những con đường giải toán;

6) Khái quát hoá, mở rộng bằng tương tự Tìm một mô hình thích hợp (trong các mô hình đã biết);

7) Xây dựng một mô hình toán học có thể giải bài toán;

8) Xây dựng một thuật toán để giải toán.

1.4 Dạy học giải bài tập toán

1.4.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh,trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán cótầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phương phápdạy học toán ở trường phổ thông Đối với học sinh có thể coi việc giải bàitoán là một hình thức chủ yếu của việc học toán, vì bài tập Toán có nhữngchức năng sau:

1) Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lýthuyết đã học Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiếnthức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể

Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắthọc sinh tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý, mà vìmột lí do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập màhọc sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.

2) Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn vềtính chất thực tiễn của toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bàitoán từ cuộc sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc Đồng thời, học sinhphải thể hiện một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạtđộng toán học mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làmviệc có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dámlàm trung thực khiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong toán học vàtrong thực tiễn

3) Chức năng phát triển:

Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặcbiệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duykhoa học

4) Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng họctoán và trình độ phát triển của học sinh và vận dụng kiến thức đã học Trongviệc lựa chọn bài toán và hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên cần phải chú

ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của bài toán

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huytác dụng giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng chohọc sinh làm nhiều bài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức

năng của bài tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải củabài tập toán

1.4.2 Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyênnhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

1.4.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Bài tập toán họ rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêucầu quan trọng đối với học sinh Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:

a Loại có sẵn thuật toán.

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rènluyện kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toánphức tạp hơn Yêu cầu cho học sinh là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học

- Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b Loại chưa có sẵn thuật toán.

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gâycho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khảnăng của mình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học

tập của học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuầncung cấp lời giải mà quan trọng hơn là : Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩtìm ra con đường hợp lý để giải bài toán.

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹnăng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phầnkhông thể thiếu trong dạy học giải toán Trong tác phẩm của G Pôlya ông đãđưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán

+) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải

có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ýhướng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toáncủa các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tíchgiả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện.Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới

một hình thức khác được không? Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề toán” ta

đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải

+) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thểhiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơngiản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét cáctrường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa Em

có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?.

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?.

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một

bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em

có thể giải một phần của bài toán?.

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa?

Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?.

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được nhữnggợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải chocác bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiêntrì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vàohoạt động giải Toán của mình

+) Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ

ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?.

+) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải củabài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gìkhông, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vìvậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cáchgiải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán nhiềukhi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạocủa học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiêncũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kémchán nản.

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho mộtbài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với họcsinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinhgiỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thểcho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để ápdụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.5 Một số tồn tại trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh

Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triểnkhả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trướcmột vấn đề cần giải quyết, học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toán nhưmột quá trình suy luận, tư duy của học sinh không chỉ phụ thuộc vào đặcđiểm của bài toán mà còn phụ thuộc vào tố chất tâm lý của bản thân ngườigiải, mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán

Chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, kháiquát hóa, so sánh Nguồn gốc của sức mạnh toán học là ở tính chất trừu tượngcao độ của nó Nhờ trừu tượng hóa mà toán học đi sâu vào bản chất của nhiều

sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hóa, xét tương tự

mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và cónhững suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinhnghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũng qua thao tác khái quát hóa

và trừu tượng hóa mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của học

sinh cũng được hình thành và phát triển Bởi qua các thao tác tư duy đó họcsinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cáchgiải quyết và cũng tự kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũngnhư những ý nghĩ và tư duy của người khác Một mặc các em cũng phát hiện rađược những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.

Đối với học sinh trung học phổ thông, kỷ năng giải toán thường thểhiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải toán thích hợp cho mỗi bàitoán Việc lựa chọn một cách giải hợp lý nhất, gắn gọn và rõ ràng, trong sáng,không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều kháquan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán họckhác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phươngpháp giải tốt nhất cho bài toàn đặt ra

Ở một nước trên thế giới trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thốngcủa SGK thường có hai phần riêng biệt: phần lý thuyết và tiếp sau đó là phầnbài tập Ngay trong phần lý thuyết, kiến thức lý thuyết ( định nghĩa, định lý,công thức ) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họahay bài tập áp dụng Dạy học kiến thức lý thuyết luôn đóng vai trò trung tâm.Cấu trúc này tương thích mới môi trường dạy truyền thống, theo đó giáo viênthường truyềnn thụ trực tiếp kiến thức cho học sinh, cho một vài ví dụ minhhọa và yêu cầu học sinh làm các bài tập áp dụng theo mẫu mà giáo viên đãtrình bày Nói cách khác đây là kiểu dạy cầm tay chỉ việc

Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếmkhuyết đồng nhất bài toán với bài tập, và từ đó bó hẹp chức năng của các bàitoán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, kĩxảo mà chưa thực sự quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện, bồi dưỡng vàphát triển năng lực giải toán cho học sinh