Các anr không gian thoả mãn một số tính chất đặc biệt

Xét xem các tính chất nào của họ ANR- không gian là bất biến, đồng thời cũng đa ra một số tính chất mới của ANR- không gian khi thoả mãn hai điều kiện trên, để từ đó chứng minh chi tiết

Mục lục Mụclục 1

Lời nói đầu 2

Chơng I Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 ANR- không gian, ánh xạ co rút, cái co rút 4…

1.2 Chiều và đa diện 5

1.3 Co rút tuyệt đối- Co rút lân cận tuyệt đối 6

Chơng II Các ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ ) 2.1 điều kiện ( ∆ ) 12

2.2 Tích đề các của những tập thoả mãn điều kiện (∆) 17

Chơng III Các ANR- không gian thoả mãn điều kiện( Γ )

3.1 Điều kiện ( Γ ) 21

3.2 Biểu diễn đơn hình của các phủ hữu hạn 25

3.3 Kiểu đồng luân của không gian thoả mãn điều kiện ( Γ ) 33

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

Lời nói đầu

Khái niệm co rút và co rút lân cận tuyệt đối lần đầu tiên đợc nghiên cứu cho các không gian mêtric compắc Sau đó ngời ta nghiên cứu khái niệm trên cho các lớp không gian mêtric tuỳ ý Những ngời khởi xớng cho vấn đề này là Dowker và Dugundji Câu hỏi đặt ra là, khi xét trên lớp các không gian mêtric compắc thì co rút tuyệt đối và co rút lân cận tuyệt đối hiểu nh thế nào? những tính chất riêng của chúng ra sao? Khi các ANR– không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ ), điều kiện ( Γ ) thì chúng có thêm tính chất gì? Xuất phát từ những

điều đó, tác giả tìm hiểu về các ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ )và

điều kiện ( Γ ) Xét xem các tính chất nào của họ ANR- không gian là bất biến,

đồng thời cũng đa ra một số tính chất mới của ANR- không gian khi thoả mãn hai điều kiện trên, để từ đó chứng minh chi tiết một số định lí, hệ quả về mối quan hệ giữa các ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ )và điều kiện ( Γ )

Với mục đích đó, luận văn đợc trình bày trong ba chơng

Chơng 2 Các ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ )

Chơng này gồm hai mục

Mục 2.1 Trình bày nội dung điều kiện( ∆ )và một số tính chất của không gian

ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ )

Mục 2.2 Trình bày về tích đề các của những tập thoả mãn điều kiện (∆)

Chơng III Các ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( Γ )

Chơng này gồm ba mục

Mục 3.1 Trình bày nội dung điều kiện ( Γ )và một số hệ quả, định lí nói về tính chất của các không gian thoả mãn điều kiện ( Γ ), bổ đề về phép nhúng trong các đơn hình

Mục 3.2 Trình bày về biểu diễn đơn hình của các phủ hữu hạn

Mục 3.3 Trình bày về kiểu đồng luân của không gian thoả mãn điều kiện

)

( Γ, không gian ANR thuần nhất

Các kết quả trình bày trong luận văn hầu hết đã có trong các tài liệu tham khảo [3] và [5], chúng tôi chứng minh chi tiết những kết quả mà chúng chỉ đợc chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh Bên cạnh đó chúng tôi cũng đa ra chứng minh vài kết quả nhỏ nh Định lí 2.1.1, Bổ đề 3.1.5 Trong luận văn, tác giả quy ớc rằng tất cả các không gian đều là không gian Haussdoff và các ánh xạ

đều liên tục

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo PGS TS Tạ Khắc C, ngời thầy đã tận tình giúp đỡ, hớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập cũng nh nghiên cứu để hoàn thành luận văn này Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải tích khoa toán, khoa sau đại học cùng bạn bè đã nhiệt tình giảng dạy, động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trờng Đại Học Vinh

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn

Vinh, tháng12 năm 2008

Tác giả

Chơng I

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 ANR-không gian, ánh xạ co rút, cái co rút

1.1.1 Định nghĩa ([3]) ánh xạ f từ không gian X vào không gianY đợc gọi là

r- ánhxạ nếu tồn tại ánh xạ g:Y →X là nghịch phải của f , nghĩa là hợp thành

Y

Y

fg: → là ánh xạ đồng nhất i từ không gian Y lên chính nó

1.1.2 Định nghĩa([3]) Giả sử Y là tập con của X Khi đó ánh xạf :X →Y

đợc gọi là ánh xạ co rút (hay phép co rút) nếu ánh xạ nhúng i:Y → Xlà nghịch phải của f , nghĩa là f(x) =x với mọi điểm x∈Y Do f là ánh xạ lên nên ta nói f co X lên Y Nói cách khác, ta có thể xác định ánh xạ co rút nh là ánh xạ

1.1.6 Định lí ([3]) Tập con X0 của không gian X là cái co rút của nó khi

và chỉ khi mỗi ánh xạ f0:X →Y có thác triển liên tục f :X →Y , với Y là không gian tuỳ ý

Chứng minh Nếu tồn tại phép co rút r:X →X0 thì đối với mỗi ánh xạ

1.1.8 Định nghĩa ([3]) Cho hai không gian X , Y Khi đó, ta kí hiệu Y X là tập gồm mọi ánh xạ từ X vào Y Trong không gian hàm Y X ta trang bị tôpô

1.1.9 Định nghĩa ([3]) Các ánh xạ ( , )

0 1

0 , f (Y,Y ) X X0

f ∈ đợc gọi là đồng luân

nếu với mỗi t∈ [ 0 , 1 ], tồn tại ánh xạ ( , )

0 ) 0,

(Y Y X X Do đó, quan hệ này chia không gian )

,

(

0 ) 0

,

(Y Y X X thành những lớp tơng đơng đồng luân Ta kí hiệu mỗi lớp tơng

đ-ơng này là [ f ] trong đó f là đại diện của nó Nh vậy, [f] = [f , ] khi và chỉ khi

f đồng luân với f ,

1.1.10 Định nghĩa ([3]) Ta nói ( , )

0 1

0 , f (Y,Y ) X X0

f ∈ là đồng luân yếu nếu

chúng thuộc về một thành phần liên thông của ( , )

0 ) 0,

1.1.11 Định nghĩa ([3]) Ta nói hai ánh xạ f0, f1 là đồng luân mạnh nếu tồn

tại ánh xạ

) , ( ]) 1 , 0 [ ], 1 , 0 [ ( : Xì X0ì → Y Y0

ϕ

thoả mãn các điều kiện

i) ϕ (x,t) ∈Y0 với mọi x∈X0 và t∈ [ 0 , 1 ];

ii) ϕ (x, 0 ) = f0(x), ϕ (x, 1 ) = f1(x) với mọi x∈X.

1.1.12 Định nghĩa ([3]) Tập con A⊂ X đợc gọi là co rút theo không gian X vào tập B⊂ X nếu ánh xạ nhúng i:A→X đồng luân với ánh xạ f :A→Y sao cho f(A) ⊂B, với Y là không gian bất kì

Nếu B chỉ gồm một điểm thì ta nói tập A co rút theo X vào một điểm.

1.1.13 Định nghĩa ([3]) Không gian X đợc gọi là co rút điểm địa phơng tại

điểm x0 ∈X nếu mỗi lân cận U của x0 chứa lân cận U0 co rút theo U về một

điểm

1.1.14 Định nghĩa ([1]) Không gian X đợc gọi là có tính chất điểm bất động

nếu mỗi ánh xạ f :X →X có điểm bất động Nghĩa là, có ít nhất một điểm

1 2 Chiều và đa diện

1.2.1 Định nghĩa ([2]) Ta nói dimX ≤n nếu với phủ mở hữu hạn địa phơng

của không gian X , tồn tại cái mịn mở hữu hạn địa phơng sao cho không một

điểm nào của X nằm trong quá n+ 1 phần tử của cái mịn

Nếu trongX thoả mãn điều kiện dimX ≤n nhng không thoả mãn điều kiện

) 1 (

dimX ≤ n− thì ta nói dimX =n

Nếu dimX ≤n không thoả mãn với bất cứ số tự nhiên n nào thì ta nói

chiều của không gian X là vô hạn và kí hiệu dimX = ∞ Ngợc lại, X là không gian hữu hạn.

1.2.2 Định nghĩa ([3]) Không gianX đợc gọi là một đa diện nếu tồn tại một họ

J các đơn hình hình học σ sao cho

2) Mỗi mặt của đơn hình σ ∈J cũng thuộc J ;

3) Nếu các đơn hình σ 1 , σ 2 thuộc J thì σ 1 ∩ σ 2 cũng là mặt của mỗi

đơn hình đó;

4) Tập con G⊂ X mở khi và chỉ khi G∩ σ mở trong mỗi σ ∈ J

Họ J đợc gọi là tam giác phân của không gian X , các đỉnh của đơn hình

liên tục, với mỗi σ ∈ J

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Thật

vậy, nếu f liên tục và hạn chế f σ liên tục thì đối với mỗi tập con mở V của không gian Y ta có − 1 ( ) ∩ σ

f − mở trong X Vậy định lí đợc chứng minh

1.3 Co rút tuyệt đối-Co rút lân cận tuyệt đối

1.3.1 Định nghĩa ([3]) Kí hiệu M là lớp tất cả các không gian khả mêtric Khi

đó, không gian X đợc gọi là co rút tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric nếu M

X ∈ và đối với mỗi đồng phôi h, ánh xạ không gian X lên tập con đóng

1.3.2 Định nghĩa ([3]) Không gian X đợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối đối

với mọi không gian mêtric Y nếu X ∈M và đối với mỗi đồng phôi h ánh xạ

X lên tập con đóng h ( X) của không gian Y∈M thì h ( X) là cái co rút lân cận của Y Khi đó, ta viết X ∈ANR (M)

1.3.3 Định lí ([3]) Giả sử X là không gian mêtric, X là hợp của hai tập con

đóng X1, X2 của nó , X0 =X1 ∩X2 Khi đó

1) Nếu X0,X1,X2 ∈AR( )M thì X ∈AR( )M ;

2) Nếu X0 ,X1 ,X2 ∈ANR( )M thì X ∈ANR( )M ;

3) Nếu X,X0 ∈AR( )M thì X1 ,X2 ∈AR( )M ;

4) Nếu X,X0 ∈ANR( )M thì X1 ,X2 ∈ANR( )M

1.3.4 Hệ quả([2]) Mỗi đa diện hình học là ANR (M)- không gian.

Chứng minh Mỗi đa diện hình học là tập compắc, vì nó có số tam giác phân

hữu hạn Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh đa diện hình học là ANR- không gian Giả sử X là đa diện n – chiều, J là tam giác phân của nó Khi đó, tam giác phân J là hữu hạn Kí hiệu K là số đơn hình củaX , ta sẽ chứng minh định lí trên bằng phép quy nạp

Nếu k = 1thì kết luận hiển nhiên đúng vì đa diện chỉ một đơn hình hình học

là ANR- không gian

Giả sử k =m> 1, ta giả thiết kết luận đúng đối với mọi đa diện có số đơn hình k <m Kí hiệu σ là đơn hình n – chiều nào đó của J và J1 là tam giác phân nhận đợc từ J bỏ bớt một đơn hình σ nói trên Theo giả thiết quy nạp suy ra đa diện X1 với tam giác phân J1 là ANR (M)- không gian Nếu kí hiệu tập X0 = σ ∗ (σ ∗ là biên đơn hình của σ ) thì X0 cũng là ANR (M)- không gian Vì X0 là một phần của đa diện X1 với tam giác phân J1 Do đó, số tam giác phân của X0 bé hơn m - đơn hình Nếu X2 = σ thì X2 là ANR (M)- không gian Mặt khác, X2 đồng phôi với tập con lồi của không gian Euclit và

1.3.6 Định lí ([3]) Nếu Y∈ANR và với ε > 0 tồn tại η > 0 sao cho mọi tập con

đóng X0 của không gian mêtric X và các ánh xạ 0

Chứng minh Giả sử Y ∈ANR , X0 là tập con đóng bất kì của không gian mêtric X , f , ∈Y X

1 là thác triển liên tục của f1 Ta cần chứng minh f2 có thác triển f, ∈Y X

Y ⊂ ⊂ Vì Y ∈ANR nên tồn tại lân cận U của Y trong Qω và ánh xạ co

rút r:U →Y Mặt khác, Y compắc nên tồn tại η > 0 thoả mãn η ε

y∈ ( vì r(y) =y với y∈Y) Đặt ϕ (x) = f1(x) − f2(x) với mọi x∈X

Khi đó, mọi giá trị của ϕ nằm trong K0với K0 ={y∈Eω : ρ (y, 0 ) ≤ η} Vì

η

ρ (f1, f2) ≤ và K0 là tập lồi nên theo Định lí Dugundji ta suy ra rằng ánh xạ

ϕ có thác triển liên tục ϕ , :X → K0 Giả sử ,

1.3.7 Định nghĩa([4]) Không gian con thực sự H của không gian định chuẩn

E đợc gọi là siêu phẳng trong E nếu F là không gian con của E và F chứa

H thì hoặc F = H hoặc F =E

1.3.8 Đinh nghĩa ([4]) Không gian tôpô X đợc gọi là compăc nếu mọi phủ mở

{ }Gα α∈I tồn tại tập con hữu hạn J ⊂I sao cho { }Gα α∈J cũng là phủ mở của X Không gian X đợc gọi là compắc địa phơng nếu mọi x∈X đều có một lân cận compắc và đóng

1.3.9 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là không gian mêtric, A là tập con củaX Tập A gọi là không đâu trù mật trong X nếu phần trong của A trong X bằng rỗng.

Không gian X đợc gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X viết đợc dới dạng ∞

X trong đó các A n là tập không đâu trù mật trong X

Không gian X không thuộc phạm trù thứ nhất đợc gọi là thuộc phạm trù thứ hai.

1.3.10 Định lí ([3]) Cho X là không gian mêtric Khi đó, X là AR (M)

không gian khi và chỉ khi X là r- ảnh của một tập con lồi trong không gian

định chuẩn Y nào đó.

1.3.11 Định lí ([3]) Giả sử X là hợp của hai tập con đóng X1, X2và

2 1

1.3.12 Định lí ([3]) Cho Y là không gian mêtric, nếu A là tập con đóng của

không gian mêtric X và dim( AX )\ n +≤ 1 thì với mọi ánh xạ f :A→Y tồn tại lân cận

U của A trong X sao cho f có thác triển liên tục fˆ:U →Y

Chơng II Các ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ )

Nhận xét 1) Nếu Y compắc địa phơng thì Y∈ ( ∆ )

2) Nếu Y là không gian compắc hữu hạn chiều thì Y∈ ( ∆ )suy ra Y∈ANR

2.1.2 Định lí ([5]) Không gian compắc Y thoả mãn điều kiện ( ∆ )nếu và chỉ nếu với mỗi số dơng ε tồn tại số η dơng sao cho với mỗi tập đóng A⊂Y mà

đờng kính của A bé hơn η thì đều co rút đợc trong tập con của Y có số

chiều ≤ dimA+ 1 và đờng kính bé hơn ε.

Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên.

Điều kiện cần Giả sử Y là không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ ), A là tập con đóng bất kì trong Y Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng Y chứa ít nhất hai điểm Vì A đóng trong Y nên A compắc Khi đó, ta gán mỗi điểm

Y

y∈ một lân cận U y ⊂Y sao cho A⊂U y và A co rút đợc về một điểm trong

tập có chiều ≤ dimA+ 1 nằm trong )

2 , (y ε

B Đặt

) ,

( sup )

Y y

U Y Z

Chứng minh Giả sử X , Y là hai không gian compăc bất kì, Y∈ ( ∆ ),

A⊂ ∈ X : dim ( ) ≤ dim Ta cần chứng minh A trù mật trong Y X Không

mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng dimX =n và A⊂ E m với E m là không gian

Ơclít n- chiều Khi đó, với mỗi f ∈Y X tồn tại lân cận compắc U củaX trong

m

E mà f có thác triển ∧f ∈Y U Mặt khác, với mỗi số dơng α tồn tại ánh xạ

U X

dimX =n> thì mệnh đề đúng cho mọi đa diện có chiều ≤ n Ta cần chứng

minh với mỗi số dơng ε tồn tại ánh xạ f, ∈Y X sao cho dim f , (X) ≤n và

ε

ρ (f,f, ) < 2 Bây giờ, ta xét một phép tam giác phân J của đa diện X và ánh

xạ f biến mỗi đơn hình của J vào tập con Y có đờng kính bé hơn η2

Nh vậy, mỗi tập compắcA⊂Y có đờng kính bé hơn ηđều co rút về trong tập con của Y

mà số chiều của nó ≤ dimA+ 1 và đờng kính bé hơn ε Từ giả thiết quy nạp suy

ra khung (n− 1 )-chiều X n− 1 ⊂ X đợc ánh xạ vào Y bởi ∧

f thoả mãn bất đẳng

4

1 )) ( ),

σ có số chiều bé hơn n và đờng kính của∧f( σ ∗ ) bé hơn η Nh vậy, tập ∧f ( σ ∗ )

co rút đợc về tập đóng trong tập Aσ ⊂Ycó chiều ≤n và đờng kính bé hơn ε Từ

đó, suy ra ∧f σ ∗ có thể thác triển thành ánh xạ fσ : σ →Aσ

Đặt

( ) ( )

X xmỗivới

mỗivới n - 1

σ

σ x f

x f x

f( )

ơng Kí hiệu Ω k { ϕ ∈= Y X ( f o (:) n + )1hệ số Uryshon của tập ϕ ( X1) < 1 k } Khi đó, Ωk

1

) (

k k o

ϕ ρ

ψ ( ) ≤ , ( ( ), ( )) <

dim X1 n x x với mọi x∈X1 Đặt

) ( ) ( ) (x ψ x ϕ x

χ = − với mọi x∈X1 (1) suy ra

1

) (Eω X

ψ và thoả mãn đẳng thức ρ ( ϕ (x), ψ , (x)) ≤ ε với mọi x∈X

Nếu ε đủ nhỏ thì ψ , nhận giá trị trong U Đặt ψ∧ =rψ , Khi đó , ψ∧, ϕ là các

2.1.5 Hệ quả [5] Giả sử X là không gian compắc, Y là ANR- không gian thoả mãn điều kiện ( ∆ ), f :X →Y và X0,X1,, ,X n là dãy các tập con đóng của

X , ε > 0 tuỳ ý Khi đó, tồn tại ánh xạ f, ∈Y X thoả mãn các điều kiện

(i) ρ ( , , ) < ε

f

(ii) f , (x) = f(x) với mỗi x∈X0,

(iii) dim f,( Xn\ X0) ≤ dim( Xn \ X0) với mọi n = 1 2 3 ..

2.1.6 Hệ quả ([5]) Giả sử X là không gian compắc, Y là ANR - không gian,

Y thoả mãn điều kiện ( ∆ ), X0 đóng trong X , f0:X0 → f0(X0) Nếu với mỗi

số dơng ε tồn tại số η dơng mà f0(X0) có đờng kính bé hơn η thì tồn tại

ánh xạ f ∈Y X(f0) sao cho đờng kính của f ( X) bé hơn ε và

≤ )

\

(

dim f X X0 dim( X \ X0)

Chứng minh Giả sử Y làANR- không gian , Y thoả mãn điều kiện ( ∆ ), X0

là tập con đóng của X , f0(X0) ⊂Y , f0(X0) có đờng kính bé thua ηvới f0 ánh xạ tập X0vào Y , ε là số dơng bất kì Ta cần chứng minh tồn tại ánh xạ

ảnh của hình cầu K(y, η ) bé hơn ε Rõ ràng nếu ta chọn tâm y của K(y, η )

nằm trong tập f0(X0) thì f0(X0) ⊂K Vì K(y, η ) lồi trong Eω nên tồn tại

thác triển f , của f0 thuộc K X sao cho rf, :X →Y có đờng kính bé hơn ε Theo Hệ quả 2.1.5 ta có điều phải chứng minh.

2.1.7 Định lí ([5]) Giả sử Y là ANR - không gian, Y1, Y2 đóng trong Y ,

2 1 0 2

1 Y ,Y Y Y

Y

Y = ∪ = ∩ , Y0 là ANR - không gian và Y0∈ ( ∆ ) Khi đó, Y∈ ( ∆ ) khi

và chỉ khi Y1,Y2 ∈ ( ∆ ).

Chứng minh Theo Định lí 1.3.11, suy ra Y1, Y2 là ANR- không gian Bây giờ

ta giả sử rằng Y1, Y2 ∈ ( ∆ ) Khi đó, Y∈ ( ∆ )vớimọi y∈Y −Y0 Ta phải chứng

minh Y∈ ( ∆ ) vớimọi y∈Y0 Vì Y0 ∈ ( ∆ ) nên theo Định lí 2.1.6 ta có với mỗi

Nếu ϕ đợc định nghĩa xác định không những trong tập Bì [ 0 , 1 ] mà còn xác

định trong tập Aì ( 0 )) ∪ (Aì ( 1 )) ∪ (Bì [ 0 , 1 ]) thì tập giá trị của ϕ có số chiều

đó, Y1 thoả mãn điều kiện trên tại y với y∈Y1 −Y2 Nếu y∈Y1 ∩Y2 =Y0và U1

là lân cận của y trong Y1 thì tồn tại một số thực dơng ε sao cho ρ (x,y) < ε và

:B Y

ϕ thoả mãn các điều kiện

ϕB(x) =x với mỗi điểm x∈B∩Y0 (5)

δ ϕ ε

2

1 )]

( [ B B < và dim ϕB(B) ≤ dimB (6)

Y B

xmỗivới

xmỗivới

X x

A trong V đều co rút về một điểm của tập con của Y có chiều ≤ dimA+ 1 và ờng kính bé hơn η Kí hiệu V1 =V ∩Y1 Khi đó, ta sẽ chứng minh Y1∈ ( ∆ )tại

đ-điểm y Điều đó tơng đơng với chứng minh tập compăc A1 của V1 chứa y

đều co rút đợc trên tập con U1 có chiều ≤ dimA+ 1 Vì A1 ⊂V nên suy ra tồn tại

1 dim

)

(

dimr B B ≤ A1 + Vậy chúng ta đã chứng minh đợc Y1∈ ( ∆ ) với mỗi điểm của nó, tơng tự ta cũng có kết luận Y2∈ ( ∆ ) Do đó, định lí đợc chứng minh

2.2 Tích đề các của những tập thoả mãn điều kiện (∆)

2.2.1 Định lí ([5]) Nếu Y1, Y2là hai không gian compăc hữu hạn chiều thoả mãn điều kiện (∆) thì tích đề các Y1 ìY2 là tập thoả mãn điều kiện (∆).

Chứng minh Giả sử Y1, Y2 là hai không gian compắc hữu hạn chiều thoả mãn

điều kiện (∆), Yυ ( υ = 1 2 ) là tập con của siêu phẳng (n− 1 ) −Hυ với

1 là các tập con của không gian Eγ

mà nó chứa các điểm (x1,x2, ,x nυ) ∈Eγ thoả mãn điều kiện

−i j ≤x ≤ −i j + = j ∈Z

à à

N1∪ 2 ∪ ∪ Từ Yυ∈ ( ∆ )và (7) ta suy ra tồn tại một lân cận Uυcủa Yυ ⊂Eυ

và ánh xạ co rút rυ :Uυ →Yυ sao cho dimrυ(Q) ≤ dimQ với mỗi mặt Q của hợp

mọi ε > 0 tồn tại η > 0 sao cho Q M Eυ Yυ

N Khi đó, W k đợc chứa trong hình cầu tâm Z0 bán kính ε Giả sử rằng ε đủ nhỏ sao cho mỗi hình cầu trên đều nằm trong tập U1 ìU2 Khi đó, ta chứng minh với k =n0 tồn tại

ψ :Aì [ 0 , 1 ] →A∪W k (11) sao cho

A Y Y

Aì [ 0 , 1 ]) ∩ ( ì ) =

ψ (12)

Khi đó, ta thu đợc ánh xạ ψ thoả mãn các điều kiện (11), (12) và (13) Giả sử ta

chọn điểm Z1 ∈E0 − (H1ìH2) và khoảng cách từ Z1 tới Z0nhỏ hơn η

2

1

Khi đó với mỗi x∈A,t∈ [ 0 , 1 ] thì ψ (x,t)bằng điểm chia đoạn [x,Z1 ] theo tỷ số t: 1 −t

Vì tất cả các giá trị của ψ thuộc hình cầu tâm Z0 bán kính η

2

1

nên điều kiện (12) đợc thoả mãn với mọi k =n0 =n1 +n2 Từ điều kiện (11) với giả thiết điểm

k thì ánh xạ đồng luân ψ thoả mãn điều kiện (11),(12) và (13) Khi

đó ánh xạ đồng luân ψ , thoả mãn điều kiện

A Y Y