Các ∆ nửa nhóm mũ yếu

Một nửanhóm mà các tơng đẳng của chúng tạo thành một chuỗi bao hàm đợc gọi là ∆ -nửa nhóm.. Luận văn đợc chia làm 2 chơng: Chơng 1: Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở liên quan về nhóm tựa

Lời mở đầu

Những thành tựu máy tính điện tử nói riêng và tin học nói chung đã mở racho loài ngời một thời đại mới: Thời đại công nghệ thông tin toàn cầu Vì vậyvào những năm giữa thế kỹ hai mơi, các nhà toán học đã quan tâm đặc biệt đếnviệc xây dựng cơ sở toán học cho tin học, trong đó lý thuyết ngôn ngữ hình thức

đóng vai trò then chốt

Một trong những cách tiếp cận với ngôn ngữ hình thức là dựa vào kiến thức

đại số với hạt nhân chủ yếu là lý thuyết tơng đẳng trên nửa nhóm Khi nghiêncứu về nửa nhóm, ta thấy rằng với mỗi nửa nhóm S ta luôn có hai quan hệ tơng

đẳng, đó là tơng đẳng đồng nhất ids và tơng đẳng phổ dụng S ì S Một nửanhóm mà các tơng đẳng của chúng tạo thành một chuỗi bao hàm đợc gọi là ∆ -nửa nhóm Schein và Tamura đã mô tả các ∆ - nửa nhóm giao hoán, Etterbeek

đã mô tả các ∆ - nửa nhóm trung tâm và Trotter đã tổng quát hoá các kết quả đó

đối với các ∆ - nửa nhóm mũ

Dựa vào bài báo Weakly exponental ∆ - semigroups của Attila Nagy đăng

trên tạp chí “Semigroup Forum” số 40 (1990), chúng tôi trình bày lại một cáchchi tiết và có hệ thống hơn về các ∆ - nửa nhóm mũ yếu

Luận văn đợc chia làm 2 chơng:

Chơng 1: Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở liên quan về nhóm tựa xyclicdạng p, băng và nửa dàn trên các nhóm, phân tích một nửa nhóm giao hoán ra cáthành phần Archimede và nửa nhóm tách đợc

Chơng 2: Trình bày kiến thức liên quan đến ∆ - nửa nhóm từ đó nêu kháiniệm các ∆ - nửa nhóm mũ yếu và chứng minh chi tiết tính chất về các ∆ - nửanhóm Archimede mũ yếu (2.2.9) Các ∆ - nửa nhóm phân tích đợc thành nửadàn mũ yếu và chứng minh một số kết quả liên quan đến chúng (Định lý 3.3.1;3.3.3; …) Trình bày Định lý về điều kiện để nửa nhóm là mũ yếu: S là một ∆ - nửa nhóm mũ yếu nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn:

(i) S đẳng cấu với G hoặc G, trong đó G là một nhóm con của một nhóm tựa xyclic,

(ii) S đẳng cấu với B hoặc B hoặc B, trong đó B hoặc là một nửa nhóm zero trái cấp hai hoặc là một nửa nhóm zero phải cấp hai,

(iii) S là một nửa nhóm nil mà các tơng đẳng chính đợc sắp thứ tự chuỗi theo quan hệ bao hàm,

(iv) S hoặc là một T hoặc một T2R hoặc một T2L nửa nhóm.

Luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáoPGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

và kính trọng đến thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, cô giáo trong tổ Đại số đãgiúp đỡ động viên, chỉ bảo tác giả trong thời gian học tập cũng nh trong thờigian hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ban giám hiệu nhà trờng,ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo

điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại Trờng Đại họcVinh

Luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong đợc sự góp ý củacác thầy giáo, cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 12/ 2009

Tác giả

Chơng I các kiến thức cơ sở liên quan

1.1 nhóm tựa xyclic dạng p 1.1.1 Khái niệm Giả sử C là tập hợp các số phức Khi đó tập C các số phức

khác không cùng với phép nhân thông thờng lập thành một nhóm giao hoán với

đơn vị là 1, với mỗi số tự nhiên n >1 cho trớc, tập hợp

ε = ε , k ∈ Z( p ), n = 1,2,

Từ đó End( C(p )) ≅ Z ( p ) nên

Aut( C(p )) ≅ (Z( p ))

trong đó Z( p ) bao gồm tất cả các số p- adic nguyên và thành phần tự do bằng 0

Từ đó Aut ( C( p ) ì ì C( p ) ≅ GL(n; Z( p ))

trong đó GL(n; Z( p )) là nhóm ma trận tuyến tính tổng quát trên vành Z(p )

1.1.2 Nhóm Abel đầy đủ: Các nhóm sau đây đều Abel

a Định nghĩa Nhóm G đợc gọi là chia đợc hay đầy đủ nếu với mỗi số tự nhiên

n > 0 và mọi phần tử g ∈ G, phơng trình nx = g có nghiệm trong G

b Ví dụ

.) Nhóm cộng tất cả các số hữu tỷ Q là nhóm Abel đầy đủ

.) Nhóm tựa xyclic C( p ) là nhóm Abel đầy đủ Thật vậy, nhóm C( p ) (trongcách viết theo lối cộng đẳng cấu với hợp của chuỗi tăng các nhóm xyclic hữuhạn

< a > ⊂ < a > ⊂ ⊂ < a > ⊂

trong đó pa = 0, pa = a , n = 1,2,

Chúng ta xét phơng trình sx = g với g ∈ G và s ∈ N, s > 1 Phần tử g đợc chứatrong một nhóm con của dãy trên, chẳng hạn trong nhóm < a > Thế thì g =

la với l ∈ Z nào đó Nếu s = p m; ( m, p ) = 1 thì tìm đợc các số nguyên d, dsao cho 1 = pd + md Khi đó, dựa thêm vào các hệ thức g = la và p

ta có g = ( pd + md )g = mdla suy ra g = mp ( dla ) Do đó, phần tử dla lànghiệm của phơng trình sx = g

Định lý sau sẽ chứng tỏ rằng, tổng trực tiếp của các nhóm Q và C(p ) vét hết tấtcả các nhóm Abel đầy đủ

c Mệnh đề 1 Lớp nhóm Abel đầy đủ đúng đối với phép lấy ảnh đồng cấu, tích

trực tiếp và tổng trực tiếp.

Định lý 1 Nhóm Abel tuỳ ý đẳng cấu với nhóm con của nhóm Abel đầy đủ

nào đó.

Chứng minh Giả sử G là nhóm Abel tuỳ ý Khi đó G đẳng cấu với nhóm

thơng của một nhóm tự do nào đó Giả sử G ≅ F/ N và {x / i ∈ I} là hệ sinh của

F Ký hiệu F là tổng trực tiếp của các nhóm đẳng cấu với Q:

Chứng minh Giả sử B là nhóm con tối đại của G có giao với tất cả các

nhóm con khác không (nhóm con B tối đại theo bổ đề Zoorn) Chúng ta sẽchứng minh:

G = A ⊕ BChứng minh bằng phản chứng Giả thiết rằng G ≠ A ⊕ B Chọn phần tử g ∈ Gsao cho g ∉ A ⊕ B Khi đó <g> ∩ (A ⊕ B) ≠ {0}

vì nếu ngợc lại, trong tổng trực tiếp <g> ⊕ A ⊕ B có <g> ⊕ B Bởi vậy g ∉ A

⊕ B nhng khi đó do tính đầy đủ của A và tính tối đại của B thì tồn tại n ∈ Z, n

kiện ng ∈ A ⊕ B, khi đó n là số nguyên tố (Thật vậy, nếu có ớc nguyên tố p thì

Khi đó, ∀a' ∈ A, a' ≠ 0 thì a' có thể biểu diễn đợc dới dạng a' = kg+ b' Với b'

∈ B, 0 < k < n, vì n nguyên tố và 0 < k < n nên (k, n) = 1, do đó tồn tại các sốnguyên l và s sao cho:

lk + sn = 1

Do đó g = lkg + sng

Vì ng , kg = a' - b' ∈ A ⊕ B nên g 1∈ A ⊕ B Mâu thuẫn nhận đợc kết thúcphép chứng minh định lý 2 

Mệnh đề 2 Tổng của một tập hợp tuỳ ý các nhóm Abel đầy đủ là một nhóm

Abel đầy đủ.

Định lý 3 Giả sử G là nhóm Abel đầy đủ khác không Khi đó G phân tích đợc

thành tổng trực tiếp của các nhóm con hoặc đẳng cấu với Q, hoặc đẳng cấu với nhóm tựa xyclic C(p ), với các số nguyên tố khác nhau nào đó.

Chứng minh Trong nhóm G chúng ta chọn phần tử g ≠ 0 Xét hai khả

năng có thể xảy ra đối với g

Khả năng 1: Phần tử g có cấp vô hạn Vì G đầy đủ nên tồn tại dãy phần tử g

= g, g, , g, thuộc G sao cho: (n + 1)g = g , n = 1, 2,

Khi đó, nhóm con sinh bởi g, g, , g, đẳng cấu với Q

Khả năng 2: Phần tử g có cấp hữu hạn n Khi đó phần tử a = g, trong đó p là ớc

nguyên tố của g sẽ có cấp bằng p Vì G đầy đủ, nên tồn tại dãy phần tử

a, a, , pa = a sinh ra nhóm con đẳng cấu với C(p )

Nh vậy, trong mọi trờng hợp, trong G tồn tại nhóm con A hoặc đẳng cấu Qhoặc đẳng cấu với C(p ) chứa phần tử g ≠ 0 thuộc G.

Giả sử đã xây dựng đợc dãy nhóm con đầy đủ

A ⊂ A ⊂ ⊂ A ⊂ , β < α

sao cho với số siêu hạn β, A= ⊕A , δ < β

còn với số không siêu hạn β, A = A-1 ⊕ C-1 , trong đó C-1 trong đó C-1 đẳng cấu

Quá trình xây dựng quy nạp A kết thúc tại chỉ số đầu tiên γ sao cho A=G.

Để xây dựng A, α ≤ γ, còn lại phải chú ý rằng G phân tích đợc thànhtổng trực tiếp A = C, C, , C, Định lý 3 đợc chứng minh 

Mục này nêu lên những kiến thức cơ sở để xây dựng các khái niệm phântích một nửa nhóm thành nửa dàn các nhóm con mịn hơn

Trớc hết ta nhắc lại rằng một quan hệ thứ tự trên một tập X đợc gọi là thứ

tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta sẽ dùng ký hiệu a < b

Chứng minh Vì e ∈ E nên e = e, do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ Hơn nữa, nếu

e ≤ f, f ≤ e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó ≤ phản đối xứng Ta lạicó: nếu e ≤ f và f ≤ g thì ef = fe = e và fg = gf = f nên:

i/ Phần tử b ∈ X đợc gọi là cận trên của Y nếu y ≤ b với mọi y ∈ Y

ii/ Cận trên b của Y đợc gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu b ≤ c vớimọi cân trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp đó là duynhất)

iii/ Phần tử a ∈ Xđợc gọi là cận dới của Y nếu a ≤ y với mọi y ∈ Y

iv/ Cận dới a của Y đợc gọi là cận dới lớn nhất hay giao của Y nếu d ≤ a vớimọi cận dới d của Y (Nếu Y có một giao trong X thì giao đó cũng duy nhất).v/ Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là nửa dàn trên (hay dới), nếu mỗi tập con

gồm hai phần tử {a, b} của X có hợp (hay giao) trong X, trong trờng hợp đó mỗitập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp (giao) của {a, b} sẽ đợc

(1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S mà đợc bổ xungthêm tập rỗng Thế thì X đợc sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lýthuyết tập Vì giao của một tuỳ ý các nửa nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc làmột nửa nhóm con của S trên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y của

X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các phần tử thuộc tập hợp Y, tronhlúc đó hợp của Y là nửa nhóm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp các nửa nhómthuộc Y Tất cả các lý luận vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ "nửa nhóm conhay tập rỗng của S" bởi từ "tơng đẳng trên S"

(2) Tập tất cả các ideal trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S, bổ xung thêm tậprỗng, đóng đối với phép hợp theo lý thuyết tập cũng nh giao, nên là một dàn con

đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S

1.2.5 Định nghĩa Nửa nhóm S đợc gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều

là luỹ đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó S = E và S đợc sắp thứ tự bộ phận tự nhiên (a ≤ b(a, b ∈ S) nếu và chỉ nếu ab = ba = a)

1.2.6 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S Giao a b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dới là một băng giao hoán đối với phép giao Chứng minh Theo bổ đề 2.2, quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên S (= E)

Ta chứng tỏ rằng tích ab (= ba) của hai phần tử a, b ∈ S trùng với cận dới lớnnhất của {a, b} Từ (ab)a = a(ba) = a(ab) = aab = ab = ab và a(ab) = (aa)b = ab

= ab suy ra ab ≤ a Tơng tự ab ≤ b nên ab là cận trên của {a, b} Giả sử c ≤ a và c

≤ b Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tơng tự, c(ab) = c, từ đó c ≤ ab Do đó ab àcận dới lớn nhất của {a, b} Do đó S là nửa dàn dới 

Mệnh đề đảo là hiển nhiên

khi ab (=ba) = b thì (S, ≤ ) là nửa dàn trên Tuy nhiên, để cho thống nhất trongluận văn này ta giữ định nghĩa nêu trong 1.2.5 Từ đây về sau, ta sẽ dùng từ nửa

dàn nh đồng nghĩa với từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn đợc ngầm hiểu lànửa dàn dới, nếu không nói gì thêm.

1.2.8 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý S = X ì Y là tích Decartes của

X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt:

(x, y) (x, y) = (x, y) với x, x ∈ X; y, y ∈ Y

Tính kết hợp và luỹ đẳng đó là hiển nhiên Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập

X x Y Lý do của tên gọi đó nh sau: Ta hãy tởng tợng X x Y là một bảng chữnhật gồm các điểm, trong đó điểm (x, y) nằm ở dòng x cột y củabảng Thế thì a = (x, y) và (x, y) là hai đỉnh đối diện của một hình chữnhật, mà hai đỉnh kia là aa = (x, y) và aa = (x, y) Các băng chữ nhật trên

X x Y và X' x Y' đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu = và =

Nếu = 1, = 1 thì băng chữ nhật trên X x Y đẳng cấu với nửa nhóm các phần tửkhông bên phải

1.2.9 Định nghĩa và ký hiệu Nếu nửa nhóm S đợc phân chia thành hợp của

các nửa nhóm con rời nhau S , α ∈ I ( I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nóirằng S phân tích đợc thành các nửa nhóm con S , α ∈ I

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có nghĩa nếu các nửa nhóm con S , thuộcvào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S

Giả sử S = ∪ {S , α∈ I } là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọicặp α, β ∈ I, tồn tại γ ∈ I để cho S S ⊆ S Khi đó I trở thành một băng đối vớiphép toán đó Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S

ánh xạ ϕ: S → I xác định bởi ϕ(a) = α nếu a ∈ S là một toàn cấu và cácnửa nhóm con S là các lớp của tơng đẳng hạt nhân kerϕ Đảo lại, nếu ϕ là mộttoàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I, thì ảnh ngợc S = ϕ(α) của mỗi phần

tử α ∈ I là một nửa nhóm con của S là hợp của băng I của các nhóm S , α ∈ I.Nếu băng I giao hoán, thì ta nói rằng S là hợp của nửa dàn I các nửa nhóm S , α

∈ I

1.3 Phân tích một nửa nhóm giao hoán thành các thành phần Archimede các nửa nhóm tách đợc

Trong tiết này, chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết các kết quả củaT.Tamura và N.Kimura chứng tỏ rằng mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn đợcmột cách duy nhất dới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Khi đó S đợc gọi là

nửa nhóm Archimede nếu mọi a, b ∈ S, tồn tại các số nguyên dơng m và n saocho a = b.x và b = a.y với x, y nào đó thuộc S

Từ mệnh đề 2.7.1 ([2], trang 10) suy ra rằng nửa nhóm S có một ảnh đồng cấunửa dàn tối đại Nếu S giao hoán, Kết quả này đợc mô tả chi tiết hơn

là luỹ đẳng nếu S/ρ là một băng

1.3.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tuỳ ý Ta xây dựng quan

hệ à trên S nh sau: aà b (a, b ∈ S) nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dơng m,

n và các phần tử x, y ∈ S sao cho a = b.x, b = a.y

trên S và S/àlà ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S.

Chứng minh Rõ ràng quan hệ à là phản xạ đối xứng Để chứng minh àbắc cấu, giả sử aàb và bàc (a, b, c ∈ S) Khi đó b = ax và c = by với m, n là các

số nguyên dơng và x, y ∈ S Khi đó, S giao hoán nên c = (by) = b y = axy haya\c Tơng tự, c chia hết một luỹ thừa nào đó của a và do đó aàc Để chứng minhrằng à ổn định, giả sử a, b, c ∈ S và aàb Khi đó từ a\b ta có ac\ bc và rõ ràngbc\ (bc) nên ac\ (bc) Tơng tự, bc chia hết cho một luỹ thừa nào đó của ac, và takết luận acàbc Vì S giao hoán nên caàcb Vậy à là tơng đẳng trên S

Rõ ràng aàa với mọi a ∈ S nên S/à lũy đẳng và do S giao hoán nên S/à giaohoán Vậy S/à là nửa dàn

Chứng minh sẽ kết thúc, nếu ta chứng tỏ đợc rằng à đợc chứa trong mọi lũy

đẳng ρ bất kỳ trên S Giả sử aàb (a, b ∈ S) Thế thì tồn tại các số nguyên

m, n và các phần tử x, y thuộc S sao cho ax = b, by = a Vì ρ là luỹ đẳng nên

aρa, bρb Do đó (ax)ρb và (by)ρa Suy ra aρ(by)ρ(by)ρ(ba)ρ(ax)ρ(ax)ρb Nhvậy aρb và ta kết luận à ⊆ ρ 

1.3.5 Định lý Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn đợc một cách duy nhất

thành nửa dàn Y các nửa nhóm Archimede S , α ∈ Y Nửa dàn Y đẳng cấu với

ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S/à của S, và các S , α∈ Y là các lớp tơng đơng của S theo modun à.

Chứng minh Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán và à là quan hệ trên S

đ-ợc xác định nh trong định nghĩa 1.3.3 Theo định lý 1.3.4, S/à là một nửa dàn vàS/à là ảnh đồng cấu của S Ta sẽ chứng tỏ S là nửa dàn các nửa nhóm Archimedenếu ta chứng tỏ đợc rằng mỗi lớp tơng đơng A của S modun à là một nửa nhómcon Archimede của S Rõ ràng A là một nữa nhóm con của S, vì S/à là luỹ đẳng.Giả sử a, b ∈ A Thế thì aàb và ax = b, by = a với x, y nào đó thuộc S và m, n làcác số nguyên dơng nào đó Thế thì a(bx) = b và b(ay) = a Từ đó bx\ b và b\

bx Suy ra bxàb nên bx ∈ A Tơng tự, ay ∈ A Nh vậy a\ b và b\a đối với A,nghĩa là A là Archimede

Về tính duy nhất, Giả sử là một nửa dàn Y các nửa nhóm con Archimede S ,

α ∈ Y Chứng minh sẽ kết thúc nếu chứng tỏ đợc rằng các S là các lớp tơng

đ-ơng của S modun à, vì Y ≅ S/à đợc suy ra một cách trực tiếp

Giả sử a, b ∈ S Ta chứng tỏ rằng aàb khi và chỉ khi a và b cùng thuộc S thìmỗi phần tử chia hết một luỹ thừa của phần tử kia vì S là Archimede, và do

đó ta có aàb và giả sử a ∈ S, b ∈ S Vì aàb nên ta có ax = b và by = a với x, ynào đó thuộc S và m, n nguyên dơng nào đó Giả sử x ∈ S Thế thì ax ∈ S

và b ∈ S Thế thì S ∩ S ≠ ∅ và do đó αγ = β nh vậy α ≤ β trong nửa dàn Y Do

đối xứng, β ≤ α và do đó α = β 

Ta chuyển sang xét tính tách đợc của các nửa nhóm.

1.3.6 Định nghĩa.

i/ Nửa nhóm giao hoán S đợc gọi là tách đợc, nếu từ hệ thức ab = a = b (a, b ∈S) kéo theo a = b

ii/ Tơng đẳng ρ trên nửa nhóm S đợc gọi là tách đợc nếu nửa nhóm thơng

S/ ρ tách đợc, nghĩa là nếu abρaρbρ kéo theo aρb

Rõ ràng, giao của một họ tơng đẳng tách đợc trên S là tách đợc, và từ mệnh đề2.7.1 ([2], trang 10) ta suy ra S có một ảnh đồng cấu tách đợc tối đại Ta sẽ chitiết hoá kết quả này

1.3.7 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Ta định nghĩa một

quan hệ σ trên S nh sau: aσb (a, b ∈ S) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dơng nsao cho ab = b và ba = a

1.3.8 Chú ý Nếu tồn tại các số nguyên dơng m và n sao cho ab = b và ba = a

thì aσb Thật vậy, nếu chẳng hạn m < n thì ta có thể nhân hai vế ab = b với b đểnhận đợc ab = b

và S/σ là ảnh đồng cấu tách đợc tối đại của S.

Chứng minh Quan hệ σ rõ ràng là phản xạ và đối xứng Để chứng minh σbắc cầu, giả sử aσb và bσc, (a, b, c ∈ σ) Khi đó tồn tại các số nguyên dơng m

và tơng tự, (bc)(ac) = (ac) Nh vậy (ac)σ(bc), và vì S giao hoán nên (ca)σ(cb).Suy ra σ là một tơng đẳng.

Cuối cùng ta chứng minh σ tách đợc Giả sử a và b là các phần tử thuộc Ssao cho abσa và abσb Thế thì tồn tại các số nguyên dơng m và n sao cho(ab)(a) = (a) và (ab)(b) = (b) Nh vậy ba = a và ab = b Theo chú ý 1.3.8, cóaσb

Chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng tỏ rằng σ đợc chứa trong mỗi tơng

đẳng tách đợc ρ trên S Giả sử aσb, chẳng hạn ab = b, ba = a Ta chứng tỏrằng aρb Giả sử k là một số nguyên dơng nào đó sao cho

1.3.10 Hệ quả Giả sử S là nửa nhóm giao hoán tách đợc Nếu a và b là các

phần tử thuộc S sao cho ab = b và ba = a với các số nguyên dơng nào đó, thì a

= b.

Chứng minh Dựa theo chú ý 1.3.8 ta có aσb Vì S tách đợc nên quan hệ

đồng nhất i trên S là tách đợc Theo định lý 1.3.9, có σ ⊆ i nên a = b

1.3.11 Định lý Một nửa nhóm giao hoán là tách đợc khi và chỉ khi các thành

phần Archimede của nó là giản ớc đợc.

Chứng minh Giả sử S là nửa nhóm giao hoán tách đợc, và giả sử S là một

thành phần Archimede của S Rõ ràng S cũng tách đợc Ta chứng minh S giản ớc

đợc Giả sử a, b, c là các phần tử thuộc S sao cho ac = bc Vì S là Archimede,

nên tồn tại các phần tử x, y ∈ S và các số nguyên dơng m, n sao cho cx = a và cy

= b Thế thì

a = acx = bcx = ba

b = bcy = acy = abTheo hệ quả 1.3.10, có a = b

Đaỏ lại, giả sử S là một nửa nhóm giao hoán sao cho mỗi thành phầnArchimede S của S là giản ớc đợc Giả sử a và b là các thành phần thuộc Ssao cho a = b = ab Nếu chẳng hạn a ∈ S, b ∈ S (α, β ∈ Y) thì a ∈ S và b∈ Snên α = β Ta kết luận đợc a = b do tính giản ớc trong S 

Chơng II Các ∆ - nửa nhóm mũ yếu

Một nửa nhóm mà các tơng đẳng của nó tạo thành một chuỗi với quan hệbao hàm đợc gọi là một ∆ - nửa nhóm Schein và Tamura đã mô tả các ∆ - nửanhóm giao hoán, Etterbeek đã mô tả các ∆ - nửa nhóm trung tâm và

Mục đích của chơng này là mở rộng sự quan sát để đạt đợc một sự mô tảcác ∆ - nửa nhóm mũ yếu

cả các tơng đẳng của nó tạo thành một chuỗi với quan hệ bao hàm, nghĩa là nếu

α và β là các tơng đẳng trên S thì có đúng một trong ba trờng hợp sau là đúng α

⊂β, α = β, α ⊃β

Chúng ta nhận thấy rằng nếu S [ S ] là ∆ - nửa nhóm Nh ví dụ sau đây đãchỉ ra, điều phát biểu ngợc lại nói chung là không đúng Giả sử S là một nửanhóm với zero 0 đợc xác định nh sau:

S = {a, e, 0: a = ae = 0, e = e, ea = a}