Bồi dưỡng các năng lực sáng tạo kiến thức trong dạy học giải bài tập toán ở trường trung học phổ thông (thể hiện qua dạy học nội dung bất đẳng thức hình học)

Đã có một số công trình nghiên cứu ít nhiều cóliên quan đến ứng dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy một số chủ đề toán học nhluận văn Thạc sĩ giáo dục học của Hà Duyên Nam 2006 Thực tiễn các

Bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

TRần thị phơng thảo

bồi dỡng các năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học giải bài tập toán ở trờng

trung học phổ thông

(Thể hiện qua dạy học nội dung bất đẳng thức hình học)

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh - 2007

Bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

Chuyªn ngµnh: lý luËn vµ ph¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n to¸n

Chơng 2 Các thành tố cơ bản của năng lực kiến tạo kiến thức và

các biện pháp rèn luyện thông qua dạy học giải bài tập

2.2.1 Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề dựa trên các quy luật t

duy tiền logic, t duy biện chứng, khả năng liên tởng và di chuyển

2.2.2 Năng lực định hớng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề,

tìm tòi lời giải các bài toán……… 34

2.2.3 Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề …… 37

2.2.4 Năng lực lập luận có căn cứ giải quyết vấn đề đặt ra

2.3.1 Khai thác tiềm năng sách giáo khoa, xây dựng hệ thống

bài toán gốc cho từng dạng toán

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCHT đcsvn (khoá VIII, 1997) đã

đề ra về phơng pháp giáo dục đào tạo với định hớng nh sau:

"Phải đổi mới phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ mộtchiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học Từng bớc áp dụngnhững phơng pháp hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thờigian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh…"

Trong luật giáo dục Việt Nam, năm 1998, ở điều 24.2 đã viết: "Phơngpháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sángtạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; cần phảibồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thựctiễn; cần phải đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

1.2 Cách dạy và cách học hiện nay về cơ bản vẫn cha có sự đổi mới tíchcực, vẫn diễn ra theo phơng pháp giáo viên là trung tâm Giáo viên cung cấpnhững kiến thức mới bằng phơng pháp thuyết trình giảng dạy là chủ yếu Phầnlớn thời gian trong một tiết học giáo viên dùng để giảng bài và ghi bảng cònhọc sinh thì nghe giảng và ghi chép chứ giáo viên cha tổ chức đợc các hoạt

động khám phá để học sinh tự lực khám phá tri thức mới Đa phần các lớp học

đang duy trì kiểu dạy học "thông báo - đồng loạt", thông tin đợc truyền theomột chiều từ thầy đến trò

1.3 Nâng cao năng lực dạy và học tập Toán ở các trờng phổ thông là mộtquan tâm lớn của toàn ngành Giáo dục nói chung và của các giáo viên dạyToán nói riêng Phải làm sao trong các tiết học học sinh đợc suy nghĩ nhiều

hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn Các loại bài tập từ áp dụng

đến mở rộng đều nên chỉ ra cách t duy để học sinh tự suy nghĩ, giải quyết vấn

đề Cần phải biết rằng hiệu quả học tập là những gì học sinh làm chứ khôngphải những gì giáo viên làm do đó phải thay vì thiết kế các hoạt động của giáoviên thì hãy chuyển sang thiết kế các hoạt động của học sinh phù hợp với trình

độ của học sinh, đây cũng chính là xu thế mới của phơng pháp dạy học hiệnnay

1.4 Theo những nghiên cứu tâm lý học nổi tiếng J.Piagie về cấu trúc củaquá trình nhận thức thì thực chất ngời học xây dựng nên những kiến thức chobản thân thông qua các hoạt động đồng hoá và điều ứng các kiến thức và kỹnăng đã có để thích ứng với môi trờng học tập mới Trong đồng hoá các kíchthích đợc chế biến cho phù hợp với sự áp đặt của cấu trúc đã có, còn trong

điều ứng, chủ thể buộc phải thay đổi cấu trúc cho phù hợp với kích thích mới

Đồng hoá dẫn đến tăng trởng các cấu trúc đã có còn điều ứng tạo ra các cấutrúc mới, tuy nhiên cách dạy học hiện nay tại một số nớc Đông Nam á nóichung và Việt Nam nói riêng còn cha dạy cho ngời học cách xây dựng đợc sơ

đồ nhận thức mới mà chỉ dừng lại ở quá trình đồng hoá, vận dụng

1.5 Trong những thập niên 80, 90 của thế kỷ trớc đã có rất nhiều côngtrình của các nhà toán học trên thế giới cũng nh các công trình của các nhàtoán học trong nớc trong những năm gần đây bàn về lý thuyết kiến tạo Chẳnghạn nh các nhà toán học Brooks, Mebrien và Brandt đa ra quan điểm về kiếntạo trong dạy học; cùng với Van Glasfeld có Taylor và Campbell William đãbàn về các loại hình kiến tạo trong dạy học Tác giả Nguyễn Hữu Châu đã bàn

về dạy học kiến tạo, vai trò của ngời dạy, ngời học và quan điển kiến tạo trongdạy học trong công trình [10] Đã có một số công trình nghiên cứu ít nhiều cóliên quan đến ứng dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy một số chủ đề toán học nhluận văn Thạc sĩ giáo dục học của Hà Duyên Nam (2006)

Thực tiễn các công trình mới chỉ dừng lại cách tổ chức dạy học kiến tạo,xác định đợc vai trò của ngời dạy, ngời học trong quá trình dạy học kiến tạo

mà cha có công trình nào nghiên cứu các năng lực kiến tạo kiến thức Mặtkhác để tiếp cận, vận dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học thì phải cụ thể hoá,

đề xuất các năng lực kiến tạo kiến thức

Vì những lí do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: "Các

năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học giải bài tập Toán ở trờng THPT (Thể hiện qua dạy học chủ đề Bất đẳng thức hình học)"

2 Mục đích nghiên cứu

2.1 Xác định các thành tố cơ bản của năng lực kiến tạo kiến thức

2.2 Xây dựng các biện pháp rèn luyện các năng lực này, nhằm vận dụngvào việc giải các bài tập Toán.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Tổng hợp các quan điểm của một số nhà khoa học nghiên cứu về lýthuyết dạy học kiến tạo nhằm xác định các năng lực và vận dụng vào dạy học.3.2 Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa 10,11,12 hiện hành và các tàiliệu tham khảo liên quan để vận dụng lý thuyết dạy học kiến tạo vào dạy họcgiải bài tập Toán

4 Giả thuyết khoa học

Trong khuôn khổ chơng trình và nội dung sách giáo khoa hiện hành, việclàm sáng tỏ các năng lực kiến tạo kiến thức và đề xuất các biện pháp rèn luyệnnăng lực kiến tạo kiến thức vào việc dạy học giải bài tập Toán sẽ góp phầnnâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở trờng THPT, nâng cao tính độc lập,sáng tạo của học sinh

1.2 Quan điểm kiến tạo trong dạy học

1.2.1 Quan niệm về dạy học kiến tạo

1.2.2 Cơ sở lí luận của dạy học theo lí thuyết kiến tạo

1.2.2.1 Cơ sở Triết học

1.2.2.2 Cơ sở Tâm lý học

1.2.2.3 Cơ sở Giáo dục học

1.2.3 Các luận điểm về kiến tạo kiến thức

1.2.4 Các loại hình kiến tạo kiến thức

1.2.4.1 Kiến tạo cơ bản

1.2.4.2 Kiến tạo xã hội

1.2.5 Các quan điểm dạy học Toán theo quan điểm kiến tạo cơ bản

và kiến tạo xã hội

1.2.6 Tổ chức dạy học theo quan điểm kiến tạo

1.3 Thực trạng về dạy và học Toán phổ thông hiện nay

Chơng 2 Các thành tố cơ bản của năng lực kiến tạokiến thức và các biện pháp rèn luyện thông qua dạyhọc giải bài tập Toán

2.1 Cơ sở xác định các năng lực kiến tạo

2.1.1 Sơ đồ dạy học theo lý thuyết kiến tạo

2.1.2 Cách dạy học nhận thức

2.1.3 Sự thích nghi trí tuệ

2.1.4 Quan điểm về sự sản sinh cái mới

2.2 Một số thành tố năng lực kiến tạo kiến thức

2.2.1 Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề dựa trên các quy luật t duy tiền logic, t duy biện chứng, khả năng liên tởng và di chuyển liên t- ởng

2.2.2 Năng lực định hớng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm tòi lời giải các bài toán.

2.2.3 Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề

2.2.4 Năng lực lập luận có căn cứ giải quyết vấn đề đặt ra

2.3.3 Rèn luyện thao tác trí tuệ khi giải Toán

2.3.4 Chú ý phát triển bài toán

2.3.5 Vận dụng các quan điểm của duy vật biện chứng vào dạy học Toán 2.3.6 Tạo cơ hội cho học sinh tơng tác trao đổi

Trong suốt nửa thế kỷ, J.Piagie (1896-1980) và các cộng sự đã kiên trì ớng tiếp cận có ảnh hởng to lớn đối với sự phát triển của tâm lý học thế kỷXX: tiếp cận phát sinh nhận thức, phát sinh trí tuệ của trẻ em

h-Khi giải quyết vấn đề trí tuệ J.Piagie đã xuất phát từ 2 góc độ: góc độsinh học và góc độ logic học Đồng thời, ông đã phân tích nhiều cách lý giải

về nó trong tâm lý học Đặc biệt là quan niệm của Claparet (nhà tâm lý họcngời Thuỵ Sĩ, 1873-1940) và U.Steeric (nhà tâm lý học ngời Đức, 1871-1938),coi trí tuệ nh là “sự thích ứng tâm lý đối với các điều kiện mới” ChínhJ.Piagie cũng quan niệm trí tuệ là cấu trúc tâm lý có tính chất thuận nghịch, làtrạng thái cân bằng của cơ thể với môi trờng

Dới dạng chung nhất, trí tuệ đợc J.Piagie hiểu là sự phát triển tiếp tục củacác yếu tố sinh học Cả hoạt động sinh học và hoạt động tâm lý không táchbiệt với cuộc sống của cá thể và cả 2 đều là bộ phận của hoạt động tự thíchứng Đây là 2 chức năng cơ bản của trí tuệ hay là 2 yếu tố bất biến Tính tổchức của trí tuệ cho phép trong từng tính tích cực trí tuệ của chủ thể, có thểtách ra cái gì đó trọn vẹn, tách ra những phần tử và mối liên hệ giữa các phần

tử tham gia cấu trúc nên cái trọn vẹn đó Để mô tả sự thích ứng của chủ thểJ.Piagie sử dụng 4 khả năng gốc sinh học: Đồng hoá, điều ứng, sơ đồ và cânbằng Đồng hoá là chủ thể tái lập lại một số đặc điểm của khách thể đợc nhậnthức, đa chúng vào trong sơ đồ đã có Về lý thuyết, đồng hoá không làm thay

đổi (phát triển) nhận thức, nó chỉ mở rộng (làm tăng trởng) cái đã biết Điều

ứng là quá trình thích nghi của chủ thể đối với những đòi hỏi đa dạng của môitrờng bằng cách tái lập những đặc điểm của khách thể vào cái đã có, tạo ra cấutrúc mới, dẫn đến trạng thái cân bằng Cân bằng theo J.Piagie, là tự cân bằngcủa chủ thể, là quá trình cân bằng giữa hai quá trình đồng hoá và điều ứng Sựmất cân bằng cũng là mất cân bằng giữa hai quá trình này Sơ đồ là 1 cấu trúcnhận thức bao gồm một lớp các thao tác giống nhau theo một trật tự nhất định.

Đó là thể thống nhất bền vững các yếu tố cấu thành có quan hệ với nhau Sơ

đồ là khái niệm then chốt trong lý thuyết phát sinh trí tuệ và thể hiện rõ nhất ttởng của J.Piagie về bản chất tổ chức, bản chất của thao tác trí tuệ Lí thuyếtphát sinh trí tuệ là một trong những học thuyết có ảnh hởng và có uy tín nhấttrong tâm lí học thế kỉ XX Các khía cạnh cần quan tâm nhất của học thuyếtnày là cách tiếp cận phát sinh, phát triển khi giải quyết các vấn đề cơ bản củatâm lí học; các phơng pháp nghiên cứu khách quan, đặc biệt là phơng pháplâm sàng; Quan điểm nhấn mạnh hoạt động trí tuệ không đơn thuần là hoạt

động nhận thức, là sự tái lập lại đặc điểm của các vật thể bên ngoài, mà chủyếu là sự thay đổi chính chủ thể nhận thức Sự thay đổi đó quy định khả năngnhận thức đối tợng mới; tách ra các giai đoạn phát triển cụ thể v.v…

1.2 Quan điểm kiến tạo trong dạy học

Ngời đầu tiên nghiên cứu để phát triển t tởng kiến tạo một cách rõ ràng

và áp dụng vào lớp học đầu tiên là J.Piagie Ông cho rằng “nền tảng cơ bảncủa việc học là khám phá” Trong các hoạt động độc lập, trẻ em cần khám phá

ra mối quan hệ và những ý tởng trong những tình huống chứa đựng các hoạt

động gây hứng thú đối với họ

Một ngời nữa có ảnh hởng nhiều đến lí thuyết kiến tạo là L.X.Vgôtski,

ông cho rằng trẻ em học các khái niệm khoa học thông qua sự mâu thuẫn giữanhững quan niệm hàng ngày của các em với những khái niệm của ngời lớn Đ-

ợc giới thiệu những khái niệm chuẩn mực, nhng trẻ em phải tự kiến tạo nhữnghiểu biết riêng của mình với thế giới xung quanh chứ không chỉ chấp nhận vàghi nhớ một cách khiên cỡng những gì mà ngời lớn nói

1.2.1 Quan niệm về dạy học kiến tạo

Bản chất của quá trình dạy học là quá trình nhận thức của học sinh, đóchính là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào ý thức của các em Quátrình nhận thức của học sinh về cơ bản cũng giống nh quá trình nhận thứcchung, tức là cũng diễn ra theo quy luật : “từ trực quan sinh động đến t duytrừu tợng và từ t duy trừu tợng trở về thực tiễn” Tuy nhiên quá trình nhận thứccủa học sinh lại có tính độc đáo so với quá trình nhận thức của các nhà khoahọc, bởi vì đợc tiến hành trong những điều kiện s phạm nhất định Quá trình

nhận thức của học sinh không phải là quá trình tìm ra cái mới cho nhân loại

mà là nhận thức đợc cái mới cho bản thân rút ra từ kho tàng hiểu biết chungcủa loài ngời

Theo những nghiên cứu của nhà tâm lí học nổi tiếng J.Piagie về cấu trúccủa quá trình nhận thức thì trí tuệ của học sinh không bao giờ trống rỗng vànhận thức của con ngời ở bất cứ cấp độ nào đều thực hiện các thao tác trí tuệthông qua hai hoạt động nhà đồng hoá và điều ứng Sự đồng hoá nh một cơchế gìn gữi cái đã biết trong trí nhớ và cho phép ngời học dựa trên những kháiniệm niệm quen biết để giải quyết tình huống mới Đó là quá trình chủ thểtiếp nhận khách thể, tức là chủ thể dùng các kiến thức và kĩ năng sẵn có để xử

lí các thông tin và tác động từ bên ngoài nhằm đạt đợc mục tiêu nhận thức Sự

điều ứng xuất hiện khi ngời học vận dụng những kiến thức và kĩ năng quenthuộc để giải quyết tình huống mới nhng đã không thành công và để giảiquyết tình huống này ngời học phải thay đổi, điều chỉnh, thậm chí loại bỏnhững kiến thức và kinh nghiệm đã có Khi tình huống mới đã đợc giải quyếtthì kiến thức mới đợc hình thành và đợc bổ sung vào hệ thống kiến thức đã có

Nh vậy, quá trình nhận thức của ngời học về thực chất là quá trình ngờihọc xây dựng nên những kiến thức cho bản thân thông qua các hoạt động

đồng hoá và điều ứng các kiến thức và kĩ năng đã có để thích ứng với môi tr ờng học tập mới Đây cũng chính là nền tảng của lý thuyết kiến tạo trong dạyhọc

Theo Mebrien và Branddt (1997) thì: “ Kiến tạo là một cách tiếp cận

“Dạy” dựa trên nghiên cứu về việc “Học” với niềm tin rằng : Tri thức đợc kiếntạo nên bởi mỗi cá nhân ngời học sẽ trở nên vững chắc hơn rất nhiều so vớiviệc nó đợc nhận t ngời khác”

Còn theo Brooks (1993) thì :

“Quan điểm về kiến tạo trong dạy học khẳng định rằng học sinh cần phảitạo nên những hiểu biết về thế giới bằng cách tổng hợp những kinh nghiệmmới vào trong những cái mà học đã có trớc đó Học sinh thiết lập nên nhữngquy luật thông qua sự phản hồi trong mối quan hệ tơng tác với những chủ thể

và ý tởng…”

Vào năm 1999, M.Briner đã viết :

“Ngời học tạo nên những kiến thức của bản thân bằng cách điều khiểnnhững ý tởng và cách tiếp cận dựa trên những kiến thức và kinh nghiệm đã có,

áp dụng chúng vào những tình huống mới, hợp thành tổng thể thống nhất giữa

những kiến thức mới thu nhận đợc với những kiến thức đang tồn tại trong tríóc”.

Mặc dù có những cách xác định khác nhau về kiến tạo kiến thức trongdạy học, nhng tất cả các cách nói trên đều nhấn mạnh đến vai trò chủ độngcủa ngời học trong quá trình học tập và cách thức ngời học thu nhận những trithức cho bản thân Theo quan điểm này ngời học không học bằng cách thunhận một cách thụ động những tri thức do ngời khác truyền cho một cách áp

đặt, mà bằng cách đặt mình vào trong một môi trờng tích cực, phát hiện ra vấn

đề giải quyết vấn đề bằng cách đồng hoá hay điều ứng những kiến thức vàkinh nghiệm đã có cho thích ứng với những tình huống mới, từ đó xây dựngnên những hiểu biết mới cho bản thân

1.2.2 Cơ sở lí luận của dạy học theo lí thuyết kiến tạo

1 Cơ sở triết học : Theo triết học duy vật biện chứng, con ngời chỉ t duy

khi đứng trớc một mâu thuẫn, mâu thuẫn chính là động lực thúc đẩy quá trìnhphát triển Một vấn đề gợi cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữayêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm có sẵn Tình huốngnày phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức

cũ, kĩ năng cũ, kinh nghiệm cũ với những yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc

đổi mới tình thế

2 Cơ sở tâm lí học : Theo học thuyết phát sinh nhận thức, phát sinh trí

tuệ của J.Piagie thì “nhận thức của con ngời ở bất kỳ góc độ nào cũng đợcthực hiện các thao tác thông qua hai quá trình đồng hoá và điều ứng kiến thức,

kĩ năng đã có để phù hợp với môi trờng học tập mới” Và chính ông cũng quanniệm trí tuệ là cấu trúc tâm lí có tính chất thuận nghịch, là trạng thái cân bằngcủa cơ thể với môi trờng

Theo lí luận về “Vùng phát triển gần nhất ” của L.X.Vgôtski: “Dạy họctheo đúng chức năng của nó là dạy học phát triển Muốn vậy, nó không đợc đisau sự phát triển, phụ hoạ cho sự phát triển Dạy học phải đi trớc sự phát triển,kéo theo sự phát triển Tức là dạy học không hớng vào trình độ phát triển hiệnthời mà phải tác động vào vùng phát triển gần nhất trong trí tuệ của học sinh”

Ông cho rằng nếu các hoạt động đợc tổ chức trong “vùng phát triển gần nhất”thì sẽ đạt hiệu quả cao

3 Cơ sở giáo dục học : Trong xã hội đang biến đổi nhanh chóng, cùng

với sự bùng nổ thông tin, khoa học và công nghệ đang phát triển nh vũ bão thìviệc dạy phơng pháp học đợc coi trọng, đây là cách hữu hiệu để chuẩn bị cholớp ngời kế tục thích ứng với xã hội học tập, trong đó mỗi ngời phải có nănglực học tập liên tục, suốt đời Muốn phát triển trí sáng tạo, muốn cho học sinh

tự lực khám phá kiến thức mới, phải dạy cho học sinh phơng pháp tự học.Chính qua các hoạt động tự lực đợc giao cho từng cá nhân hoặc cho nhómnhỏ, tiềm năng sáng tạo của mỗi cá nhân đợc bộc lộ và phát huy Và hiệu quảgiáo dục sẽ cao hơn khi quá trình đào tạo đợc biến thành quá trình tự đào tạo.

1.2.3 Các luận điểm về kiến tạo kiến thức

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu và hoàn thiện t tởng củaJ.Piagie và L.X.Vgôtski đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu nhGlaserfeld, Ernest…Đặc biệt Glaserfeld đã nghiên cứu xây dựng lí thuyết kiếntạo dựa vào bốn luận điểm quan trọng sau :

Luận điểm 1: Tri thức đợc kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận

thức, không phải tiếp thu một cách thụ động từ môi trờng bên ngoài

Luận điểm này nhằm khẳng định vai trò quyết định của chủ thể trong quátrình học tập, nó hoàn toàn phù hợp với thực tiễn nhận thức Chẳng hạn kháiniệm về lớn hơn và nhỏ hơn là những mối liên hệ đợc học sinh kiến tạo nênthông qua quá trình phản ánh các hoạt động đợc thực hiện trên tập hợp các đồvật, ví dụ khi cho học sinh so sánh tập hợp gồm 4 chiếc kẹo với tập hợp gồm 6chiếc kẹo…Mặc dù giáo viên có thể lấy nhiều ví dụ khác nhau nhng kháiniệm này chỉ có thể đợc sáng tạo trong chính t duy của học sinh

Luận điểm 2: Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới

quan của chính mỗi ngời Nhận thức không phải là khám phá một thế giới màchủ thể nhận thức cha từng biết tới

Theo luận điểm này thì nhận thức không phải là quá trình ngời học thụ

động thu nhận những chân lí do ngời khác áp đặt, mà họ đợc đặt trong mộtmôi trờng có dụng ý s phạm, ở đó họ đợc khuyến khích vận dụng những trithức và kĩ năng đã có để thích nghi với những đòi hỏi của môi trờng mới, từ

đó hình thành nên tri thức mới Nh vậy, luận điểm này hoàn toàn phù hợp vớiquy luật nhận thức của loài ngời

Luận điểm 3 : Học là một quá trình mang tính xã hội trong đó trẻ em dần

tự hoà mình vào các hoạt động trí tuệ của những ngời xung quanh Trong lớphọc mang tính kiến tạo, học sinh không chỉ tham gia vào việc khám phá, phátminh mà còn tham gia vào cả quá trình xã hội bao gồm việc giải thích, trao

đột giữa các cá nhân trong quá trình nhận thức, đó là động lực quan trọng thúc

đẩy quá trình học tập của học sinh

Luận điểm 4 : Những tri thức mới của mỗi cá nhân nhận đợc từ việc điều

chỉnh lại thế giới quan của họ, cần phải đáp ứng đợc những yêu cầu mà tựnhiên và thực trạng xã hội đặt ra

Luận điểm này là định hớng cho việc dạy học theo quan điểm kiến tạokhông chệch khỏi mục tiêu của giáo dục phổ thông, tránh tình trạng học sinhphát triển một cách qúa tự do để dẫn đến hoặc là tri thức học sinh thu đợctrong quá trình học tập là quá lạc hậu, quá xa vời với tri thức khoa học phổthông, không phù hợp với lứa tuổi, không phù hợp với những đòi hỏi của thựctiễn

Luận điểm 5 : Học sinh đạt đợc tri thức mới theo chu trình :

kiến thức đã có  dự đoán  kiểm nghiệm  thích nghi  kiến thức mới

thất bại

1.2.4 Các loại hình kiến tạo kiến thức

Xuất phát từ bản chất của kiến tạo trong dạy học, nhiều nhà nghiên cứu,trong đó có Paul Ernest đã phân chia kiến tạo trong dạy học thành hai loại :

a) Kiến tạo cơ bản

Kiến tạo cơ bản là một quan điểm nhận thức, nhấn mạnh tới cách thứccác cá nhân xây dựng tri thức cho bản thân trong quá trình học tập Kiến tạocơ bản quan tâm đến quá trình chuyển hoá bên trong của cá nhân trong quátrình nhận thức Kiến tạo cơ bản coi trọng kinh nghiệm của con ngời trong quátrình ngời học hình thành thế giới quan khoa học cho mình Kiến tạo cơ bảnnhấn mạnh vai trò chủ động của ngời học, nhng cũng chú ý tới sự cô lập về tổchức nhận thức của ngời học Sự chủ động của cá nhân đợc thể hiện trong giảthuyết “Nhận thức là quá trình ngời học thích nghi với môi trờng, thông quacác hoạt động đồng hoá và điều ứng các tri thức và kinh nghiệm sẵn có củamình sao cho thích ứng” Tri thức mới đợc hình thành bao gồm cả quá trìnhloại bỏ, kế thừa và phát triển các quan niệm sẵn có của ngời học Sự cô lập về

tổ chức nhận thức của ngời học thể hiện ở chỗ kiến tạo cơ bản chỉ tập trungvào vai trò của chủ thể trong quá trình nhận thức mà không thấy đợc vai trò vànhững tác động của những yếu tố xã hội khác đối với quá trình nhận thức.Kiến tạo cơ bản có mặt mạnh nh : khẳng định vai trò chủ động của ngờihọc, tự xây dựng tri thức cho mình trong quá trình học Tuy nhiên nếu quá coi

trọng kiến tạo cơ bản, ngời học bị đặt trong tình trạng cô lập thì kiến thức xâydựng đợc thiếu tính xã hội.

b) Kiến tạo xã hội

Kiến tạo xã hội là quan điểm nhấn mạnh vai trò của các yếu tố văn hoá

và các điều kiện xã hội cũng nh tác động của những yếu tố đó đến việc hìnhthành kiến thức Kiến tạo xã hội xem việc học nh là một quá trình xã hội Họctập không phải chỉ là quá trình diễn ra trong đầu óc con ngời, không phải sựphát triển thụ động về các hành vi mà đợc hình thành bởi những tác động bênngoài Việc học chỉ có ý nghĩa khi ngời học đợc thu hút vào các hoạt độngmang tính xã hội

Quan điểm này đợc xây dựng trên các t tởng cơ bản sau:

1) Tri thức đợc cá nhân tạo nên phải phù hợp và đáp ứng đợc các yêu cầucủa tự nhiên và thực trạng xã hội đặt ra;

2) Ngời học đạt đợc tri thức mới bởi quá trình:

kiến thức đã có  dự đoán  kiểm nghiệm  thích nghi  kiến thức mới

thất bại

Quan điểm kiến tạo trong dạy học cũng nhấn mạnh những luận điểm sau:1) Nhân loại cùng nhau khám phá thế giới và xây dựng nên kho tàng trithức Những tri thức khách quan đều mang tính xã hội

2) Tri thức là sản phẩm của con ngời và đợc kiến tạo cả về mặt xã hội vàvăn hoá Mỗi cá nhân làm cho nó có ý nghĩa thông qua sự tơng tác với ngờikhác và với môi trờng mà họ đang sống

3) Nền tảng của tri thức là ngôn ngữ với những quy ớc, quy tắc và ngônngữ là những yếu tố mang tính xã hội

4) Những quá trình tơng tác xã hội giữa các cá nhân dẫn tới các tri thứcchủ quan của mỗi cá nhân, những tri thức chủ quan đó sau khi đợc xã hội thừanhận thì trở thành tri thức khách quan

5) Việc học đợc kiến tạo một cách tích cực dựa trên việc đa ra vấn đề,giải quyết vấn đề, sự khám phá mang ý nghĩa cộng tác

Nh vậy, lí thuyết kiến tạo về học tập đã nhấn mạnh đến các vấn đề sau:

- Hoạt động là nguồn gốc nảy sinh và phát triển của tri thức Học là quátrình phát hiện và sáng tạo một cách tích cực của chủ thể nhận thức, khôngphải là sự tiếp thu một cách thụ động từ giáo viên.

- Nhận thức là quá trình tổ chức lại thế giới quan của chính ngời họcthông qua hoạt động trí tuệ và thể chất bởi vì xét về mặt bản chất, con ngờinhận thức thế giới thông qua các thao tác trí tuệ để giải quyết sự mất cân bằnggiữa kiến thức, kỹ năng đã có với yêu cầu mới của môi trờng nhằm thiết lập sựcân bằng mới

- Vai trò chủ động, tích cực của các cá nhân và sự tơng tác giữa các cánhân là những điều kiện quan trọng trong quy trình kiến tạo tri thức Batista vàClement cho rằng trong dạy học theo quan điểm kiến tạo, học sinh đợckhuyến khích sử dụng các phơng pháp riêng của họ để giải Toán mà không bị

đòi hỏi chấp nhận lối t duy của ngời khác Học sinh phải tự ý thức đợc nhucầu, hứng thú của việc học, từ đó tích cực tìm hiểu tri thức mới, tích cực tạo racác xung đột về mặt nhận thức làm động lực cho sự phát triển

- Học là một quá trình xã hội : Lý thuyết kiến tạo đi sâu nghiên cứu bảnchất quá trình nhận thức của học sinh từ đó có những tác động s phạm nhằmtích cực hoá hoạt động này ở ngời học, khơi gợi và thúc đẩy nội lực của họcsinh trong quá trình học tập Cùng với một số lí thuyết và phơng pháp dạy họchiện đại khác, lí thuyết kiến tạo đã thể hiện quan điểm dạy học phải đi trớc sựphát triển của trẻ, coi trọng sự phát triển về mặt t duy của học sinh trong quátrình học tập Việc tiếp cận quá trình dạy học theo quan điểm của lí thuyếtkiến tạo có thể đáp ứng đợc yêu cầu đổi mới quá trình dạy học và nâng caochất lợng dạy học

- Lý thuyết kiến tạo khẳng định một lần nữa vai trò quan trọng của giáoviên, đó là ngời tạo lập môi trờng học tập, tổ chức và điều khiển quá trìnhnhận thức của học sinh, giáo viên không chỉ là ngời dạy các tri thức cho họcsinh mà còn là ngời dạy học sinh chiếm lĩnh tri thức đó

1.2.5 Các quan điểm dạy học Toán theo quan điểm kiến tạo cơ bản và kiến tạo xã hội

Khi vận dụng quan điểm kiến tạo trong dạy học cần lu ý tới hai trờngphái về kiến tạo: Kiến tạo cơ bản và kiến tạo xã hội Trờng phái kiến tạo cơbản đề cao vai trò cá nhân trong quá trình xây dựng kiến thức và cho rằng mọi

ý tởng mà cá nhân hình thành đợc trong quá trình học tập đều có giá trị màngời dạy phải tôn trọng Theo trờng phái này, vai trò cá nhân ngời học hết sức

đợc đề cao nhng đôi khi lại dẫn đến những mâu thuẫn với logic của khoa học.Trong khi đó, kiến tạo xã hội đề cao tính xã hội của tri thức cũng nh quá trình

học tập Theo trờng phái này, học tập là một quá trình mang tính xã hội vàphải hoàn toàn hợp lí và hợp logic

Quan điểm của kiến tạo cơ bản và kiến tạo xã hội đều khẳng định vànhấn mạnh vai trò trung tâm của ngời học trong quá trình dạy học và vai trò tổchức và điều khiển quá trình dạy học của giáo viên, thể hiện qua những điểmsau: Ngời học phải chủ động và tích cực trong việc đón nhận tình huống họctập mới; chủ động trong việc huy động những kiến thức, kĩ năng đã có vàokhám phá tình huống học tập mới; chủ động bộc lộ những quan điểm vànhững khó khăn của mình khi đứng trớc tình huống học tập mới Ngời họcphải chủ động và tích cực trong việc thảo luận, trao đổi thông tin với bạn học

và với giáo viên Việc trao đổi này xuất phát từ nhu cầu của chính họ trongviệc tìm những giải pháp để giải quyết tình huống học tập mới hoặc khám phásâu hơn các tình huống đó; Ngời học phải điều chỉnh kiến thức của bản thânsau khi đã lĩnh hội đợc các tri thức mới, thông qua việc giải quyết các tìnhhuống trong học tập

Bên cạnh việc đề cao vai trò của ngời học thì quan điểm dạy học kiến tạocũng nhấn mạnh vai trò của giáo viên Trong dạy học kiến tạo, thay cho việc

nỗ lực giảng giải, thuyết trình nhằm truyền thụ tri thức cho học sinh, giáo viênphải là ngời chuyển hoá các tri thức khoa học thành các tri thức dạy học vớiviệc xây dựng các tình huống dạy học chứa đựng các tri thức cần lĩnh hội, tạodựng nên các môi trờng mang tính xã hội để học sinh kiến tạo nên kiến thứccủa mình

1.2.6 Tổ chức dạy học theo quan điểm kiến tạo

Quan điểm kiến tạo cho rằng ngời học cần dựa trên kinh nghiệm để xâydựng nên sự hiểu biết của mình về thế giới, tạo dựng nên vốn kiến thức vữngchắc Các ý tởng của J.Piagie về đồng hoá, điều ứng nhận thức cùng với líthuyết của Bruner đóng vai trò chủ yếu trong việc xây dựng thuyết kiến tạotrong dạy học Thuyết kiến tạo đã điều chỉnh vai trò của giáo viên và học sinh,giáo viên sẽ là ngời hớng dẫn học sinh xây dựng nên kiến thức thay vì chỉ táitạo kiến thức Với quan điểm dạy học kiến tạo giáo viên sẽ lựa chọn các ph-

ơng pháp dạy học tích cực, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, xâydựng và thử nghiệm các ý tởng và giải pháp, thực hiện suy diễn, tổng hợp, chia

sẻ tri thức trong một môi trờng học tập hợp tác

Theo nhà tâm lý học Vgôtxki thì nội dung dạy học cần phải ở mức độphù hợp với trình độ của học sinh, phải tác động vào “vùng phát triển gầnnhất” Một nội dung quá dễ hoặc quá khó đều không gây đợc hứng thú học tậpcho học sinh Cần biết dẫn dắt học sinh luôn luôn tìm thấy cái mới, có thể tự

dành lấy kiến thức, phải làm cho học sinh cảm thấy mình mỗi ngày một trởngthành

Cần tạo ra không khí thuận lợi cho lớp học, có sự giao tiếp thuận lợi giữathầy và trò, giữa trò và trò bằng cách tổ chức và điều khiển hợp lý các hoạt

động của từng cá nhân học sinh và tập thể học sinh

Thông qua các hoạt động học tập để học sinh tiếp cận kiến thức mới.Tâm lý học hiện đại cho rằng nhân cách của học sinh đợc hình thành và pháttriển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức Để học sinh tích cực họctập, học sinh cần đợc cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức

và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình cha biết chứ khôngphải là thụ động tiếp thu những tri thức đã đợc sắp đặt sẵn

Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát, thảoluận, giải quyết vấn đề theo cách riêng của mình, qua đó học sinh nắm đợckiến thức mới, kĩ năng mới, vừa nắm đợc phơng pháp “làm ra” những kiếnthức, kĩ năng đó, không nhất thiết rập khuôn theo những khuôn mẫu có sẵn, đ-

ợc bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo

Giáo viên tổ chức trao đổi ý kiến, tranh luận giữa thầy với cả lớp, giữa trò

và trò, thông qua đó học sinh nắm đợc tri thức mới Hệ thống câu hỏi đợc sắp

đặt khoa học, hợp lý Trật tự logic của các câu hỏi nhằm kích thích tính tíchcực, tìm tòi Giáo viên đóng vai trò là ngời tổ chức hớng dẫn sự tìm tòi cònhọc sinh thì tự lực phát hiện kiến thức mới

Muốn phát triển trí sáng tạo, muốn cho học sinh tự lực khám phá kiếnthức mới, phải dạy cho học sinh phơng pháp học, mà cốt lõi là phơng pháp tựhọc Chính qua các hoạt động tự lực, học sinh đợc luyện tập thói quen nhìnnhận một sự kiện dới nhiều góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết, biết

đề xuất những giải pháp khác nhau khi phải giải quyết một tình huống

Về tổ chức học tập thì tổ chức học tập cá nhân phối hợp với học tập hợptác Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều đợc hìnhthành bằng những hoạt động thuần tuý cá nhân mà chủ yếu đợc hình thànhtrong môi trờng giao tiếp giữa thầy-trò, trò-trò

Tổ chức những tình huống có vấn đề đồi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết,tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc nhằm phát huy tối đa tính tích cực họctập của học sinh

1.3 Thực trạng về dạy và học Toán ở phổ thông hiện nay

Theo xu hớng xã hội hiện nay, tâm lý chung của các vị phụ huynh và họcsinh là học không phải để khám phá tri thức mà học là để vợt qua các kỳ thi,

để đỗ đạt Chính điều đó tạo áp lực cho học sinh và ngay cả cho giáo viên, tác

động không nhỏ đến cách dạy và cách học Dạy theo kiểu giảng lý thuyết rồi

ra bài tập áp dụng một cách không có chọn lọc, còn học theo kiểu học tủ làmcàng nhiều bài tập càng an tâm Giáo viên còn hạn chế trong việc tổ chứcnhững tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữanhững ý kiến trái ngợc Phơng pháp dạy học kiểu này cha khích lệ, khuấy

động đợc sự tò mò của học sinh đối với kiến thức mới

Về phía học sinh, một phần nhỏ các em học sinh học khá, giỏi và ở tr ờngchuyên lớp chọn đã có phơng pháp tự học còn phần lớn học sinh vẫn cha cóphơng pháp tự học Học sinh không có thói quen hệ thống lại kiến thức đã học

đợc về một chuyên đề nào đó cho nên thờng gặp khó khăn khi cần huy độngkiến thức để giải quyết một vấn đề mới; khi đứng trớc tình huống mới các emthờng suy nghĩ cứng nhắc theo những nguyên tắc đã học, máy móc vận dụngnhững mô hình đã gặp

Nhiều giáo viên muốn tiếp cận với phơng pháp dạy học tích cực nhng chabiết bắt đầu từ đâu, và nếu tiếp cận đợc thì cũng gặp phải một số khó khănnhất định: Nếu để học sinh mò mẫm dự đoán trao đổi tranh luận thì tâm lýchung của nhiều giáo viên là sẽ chiếm nhiều thời gian của một tiết học 45phút mà khối lợng kiến thức cần phải truyền thụ theo phân phối chơng trình sẽ

bị hạn chế, giáo viên sẽ bị "cháy" giáo án Hậu quả của việc giáo viên dạy rậpkhuôn sách giáo khoa, dạy theo phân phối chơng trình mà không chú ý đến

đối tợng học sinh đã hạn chế tính tích cực tự giác chủ động độc lập của họcsinh

la

haA

Các kiến thức về bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức hình học nóiriêng đợc trình bày trong sách giáo khoa không nhiều, học sinh không cónhiều thời gian để luyện tập Trong khi đó, giải bất đẳng thức hình học đòi hỏihọc sinh phải biết kết hợp kiến thức về bất đẳng thức và kiến thức hình học, l-ợng giác, đại số Khi dạy toán bất đẳng thức hình học giáo viên cũng gặp một

số khó khăn trong việc hớng dẫn học sinh tìm tòi đờng lối giải bài toán Việc

đa ra một hệ thống câu hỏi gợi mở phù hợp đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị kỹlỡng, tốn nhiều thời gian Nên một số giáo viên thờng ngại khi phải dẫn dắthọc sinh tìm lời giải cho bài toán mà thờng trình bày trực tiếp lời giải cho họcsinh còn học sinh thì lời suy nghĩ, ít đầu t khi gặp dạng toán này

Giờ ôn tập giáo viên thờng dành nhiều thời gian gọi học sinh lên bảngchữa bài tập mà ít cho học sinh ôn lại, hệ thống hoá, so sánh tìm mối liên hệgiữa các kiến thức cũ và mới Giáo viên cũng thờng ra bài tập về phần nộidung vừa dạy mà xem nhẹ việc giao nhiệm vụ cho học sinh chuẩn bị trớc ởnhà những nội dung có liên quan đến bài học

Thông qua khảo sát tìm hiểu một số giáo viên cấp 2, cấp 3 Khi đợc hỏi

về việc triển khai và khai thác các năng lực kiến tạo kiến thức vào dạy học giảibài tập chúng tôi nhận đợc những ý kiến sau:

Nhìn chung với phơng pháp dạy học hiện nay thì một số lợng học sinh đãbiết cách vận dụng những kiến thức định lý đã có để giải quyết những tìnhhuống tơng tự, thể hiện đợc nội dung định lý, khái niệm

Nhng khi đứng trớc một tình huống mới có vấn đề học sinh thờng bộc lộkhó khăn không biết phải bắt đầu từ đâu, vận dụng sơ đồ nào, kiến thức đãbiết nào để giải quyết vấn đề Không biết cách biến đổi về bài toán quen thuộchay tình huống đã biết Về phía giáo viên cha triển khai dạy học kiến tạo kiếnthức do những khó khăn đã nói ở trên

Nhằm mục đích khảo sát khả năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề,quy lạ về quen, chuyển đổi ngôn ngữ của học sinh trong giải bài tập Toánchúng tôi đã khảo sát học sinh lớp 11A trờng THPT Nghi Lộc 4 trên một sốtình huống sau:

Tình huống 1:

Cho tam giác ABC, kí hiệu ma, la, ha lần lợt là đờng trung tuyến, đờngphân giác, đờng cao của tam giác xuất phát từ đỉnh A Em hãy so sánh 3 đại l-ợng này, giải thích rõ sự so sánh của mình

Hoạt động 1: Dự đoán, đa ra nhận xét:

Với trình độ học sinh lớp 11 hầu hết các em đã

biết thông qua vẽ hình để dự đoán đợc ha< la<ma

Một số em khác đã để ý đến trờng hợp đặc biệt nếu tam giác ABC cân tại

A hoặc đều thì ha=la=ma Và cuối cùng các em đã có kết luận chung cho tamgiác ABC bất kỳ thì luôn có bất đẳng thức: h a l a m a

Hoạt động 2: Lập luận chứng minh dự đoán là đúng

Các em đã phát hiện đợc vấn đề là chỉ cần so sánh ma và la thôi còn ha là

đại lợng nhỏ nhất trong 3 đại lợng trên: h  a l a ; h  a m a

Đa phần các em khi gặp khó khăn về sự giải thích tại sao la<ma thì thờng

bế tắc luôn Một số em khá hơn biết cách t duy để thay vì so sánh la và ma thì

đa về so sánh các đại lợng có liên quan tới các cạnh, góc của tam giác ABC

Và từ đó để chứng minh l  a m a các em đã sử dụng hệ thức lợng trong tamgiác:

la=

c b

A bc

 2 cos

đợc sẽ phải làm gì cho bớc tiếp theo và mắc lại ở bớc chứng minh: l  a m a

Ch-a em nào đCh-a rCh-a đợc nhiều hơn một phơng án giải thích cho kết luận củCh-a mình.Chỉ dừng lại ở một cách giải ở trên Mặc dù đây là bài toán có thể dùng kiếnthức lớp 8 để giải quyết

Tình huống 2:

Cho x, y là hai góc nào đó

CMR: nếu cosx cosy cosxcosy 0 thì cosx cosy 0

Nhìn qua đề bài các em đều xác định đây là bài toán lợng giác vì xuấthiện giá trị lợng giác cosin ở lớp 11 các em đã học về công thức lợng giácnên nhiều bạn đem ra rất nhiều các công thức biến đổi lợng giác để tìm ra đợc

r I

Cho A+B+AB 0; A  1 ; B  1 CMR: A+B0

Khi sự bế tắc này đợc tháo gỡ nhờ sự gợi ý của giáo viên thì các em vấnloay hoay với bài toán mới cha liên hệ đợc với bài toán quen thuộc nào cả nh-

ng một số em đã biết biến đổi:

Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi h và r lần

l-ợt là đờng cao kẻ từ A và bán kính đờng tròn nội

S p

Khép lại bài toán phẳng, mở ra một nhiệm vụ mới cho học sinh nh sau:Trong không gian thì bài toán trên đợc phát biểu nh thế nào? (Mở rộngbài toán trong không gian)

Các em đã tìm đợc sự tơng ứng :

- Tam giác vuông tơng ứng với tứ diện vuông

- Đờng cao của tam giác ứng với đờng cao của tứ diện

- Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ứng với bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện.Một số em rập khuôn  1 2

có giá trị nhỏ nhất là bằng bao nhiêu?

Thông qua các tình huống trên chúng tôi nhận thấy: khi giải xong mộtbài toán học sinh thờng đặt dấu chấm cho bài toán đó; không suy nghĩ gìthêm, ít chú ý rèn luyện thêm cho mình thói quen phân tích các khía cạnhkhác nhau của bài toán, xét bài toán trong trờng hợp đặc biệt, hạn chế trongviệc phê phán cách giải và nghĩ tới các bài toán tơng tự tổng quát hơn

1.4 Kết luận chơng 1

Trong chơng này luận văn đã đa ra các cơ sở khoa học của lý thuyết kiếntạo và nhận thấy rằng lí thuyết kiến tạo là lí thuyết về học tập nhằm phát huytối đa vai trò tích cực và chủ động của học sinh trong quá trình học tập

Việc tiếp cận lí thuyết kiến tạo vào dạy học nói chung và dạy học Toánnói riêng là xu hớng tất yếu phù hợp với những định hớng và các giải pháp đổimới phơng pháp hiện nay

2.1.1 Sơ đồ dạy học theo lý thuyết kiến tạo

Học sinh đạt đợc tri thức mới theo chu trình:

Kiến thức đã có  dự đoán  kiểm nghiệm  thích nghi  kiến thức mới

thất bại

Trên vốn kinh nghiệm, kiến thức đã có và đang có học sinh đạt đợc tri thứcmới không phải một cách tự nhiên dễ dàng mà phải thông qua một chu trình và kếtquả thu đợc chính là phần thởng cho một quá trình lao động trí óc

Theo Pô-li-a: "… Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trớc khi bạnchứng minh nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi tiến hànhchứng minh chi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát đợc và suy ranhững điều tơng tự; bạn phải thử đi thử lại Kết quả công tác sáng tạo của nhàtoán học là suy luận chứng minh, là chứng minh; Nhng ngời ta tìm ra cáchchứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán Nếu việc dạy toán phản ánh ởmức độ nào đó việc hình thành toán học nh thế nào thì trong việc giảng dạy đóphải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý…"

Nh vậy chính quá trình mò mẫm dự đoán một cách có căn cứ đã tạonguyên liệu cho hoạt động ở giai đoạn t duy lôgic

Từ việc quan sát, so sánh hay phân tích kỹ lỡng các trờng hợp cụ thể,riêng lẻ chúng ta có thể khái quát thành những nhận định mang tính chất một

dự đoán, một giả thuyết Và để khẳng định tính đúng đắn hay bác bỏ dự đoán,giả thuyết vừa nêu ra chúng ta phải dùng t duy lôgic, tức là phải chứng minh.Phải có thái độ hoài nghi với các dự đoán của mình: Dự đoán này có liên

hệ với vấn đề không? Dự đoán này chính xác đến mức nào? Những câu hỏi

nh thế luôn theo ngời giải trên từng bớc đi Đôi khi ngay sau phỏng đoán đầutiên của mình qua quá trình kiểm tra lại phỏng đoán thì ngời học có lúc thay

đổi phỏng đoán ban đầu đó "Bằng con đờng "thử và sai" nh thế, liên tiếp đa

ra các phỏng đoán tiếp cận hợp lý, cuối cùng ngời giải có thể đi đến một câu trả lời đúng, chọn đợc phơng án giải thích hợp" [3].

Nếu quá trình kiểm nghiệm là thất bại thì chớ nghĩ rằng kết quả là sốkhông Lúc không tìm đợc câu trả lời trọn vẹn, ngời học sinh có suy nghĩ chínchắn sẽ cố gắng phỏng đoán một bộ phận nào đó, nét đặc trng nào đó tronggiải đáp ấy, một tiếp cận nào đó của lời giải, hay thậm chí một chi tiết trongtiếp cận ấy Rồi cố gắng mở rộng phỏng đoán của mình, đồng thời tìm cáchkiểm tra phỏng đoán của mình phù hợp với những hiểu biết hoàn chỉnh nhất

đã thu đợc ở từng giai đoạn nhất định của quá trình giải

Theo nh nhà vật lý học ngời Đức Lictenbec, thế kỷ XVIII đã nói: "Những

gì anh buộc phải khám phá sẽ để lại trong tiềm thức anh con đờng nhỏ mà anh có thể sử dụng khi cần thiết".

Ta xét bài toán sau: "Cho tam giác ABC Tìm trong tam giác đó một điểm

sao cho tổng các khoảng cách từ đó tới các đỉnh của tam giác là nhỏ nhất"

Rõ ràng có hai vấn đề cần giải quyết ở đây: Thứ nhất là trong tam giácliệu có tồn tại một điểm nh vậy không? Thứ hai là nếu có thì điểm đó đợc xác

định nh thế nào?

Vì vậy, đầu tiên ta tìm cách dự đoán vị trí của điểm O phải tìm (nếu có),

bằng cách mò mẫm, dự đoán trên những trờng hợp đặc biệt.

Ta chọn trờng hợp đặc biệt là tam giác đều Trong tam giác đều có một

điểm đáng chú ý: đó là điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp cũng là tâm đờngtròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm Ta dự đoán rằng trong tam giác đều thì O là

điểm phải tìm, nghĩa là nếu M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC và Mkhác O thì: OA+OB+OC > MA+MB+MC

K J

M

P G A

B

C

Thật vậy: Qua các đỉnh A, B, C vẽ các đờng thẳng vuông góc với các

đoạn thẳng OA, OB, OC các đờng này cắt nhau tạo thành tam giác đều

Nh vậy bài toán đã đợc giải quyết

trong trờng hợp đặc biệt là tam giác đều

Chuyển sang trờng hợp tổng quát là tam giác bất kì

thì khó khăn đầu tiên là dự đoán xem O là điểm nào: tâm của vòng tròn nộitiếp hay ngoại tiếp, trọng tâm hay trực tâm?

Ta lại phải tiếp tục mò mẫm trên một trờng hợp đặc biệt khác Ta lấy tamgiác vuông cân để dễ dàng khảo sát hơn Xét tam giác vuông cân ABC (

0

90

ˆ 

A ) cạnh bên bằng a, có trực tâm là A, tâm vòng tròn ngoại tiếp là Ntrung điểm BC, trọng tâm G, tâm vòng tròn nội tiếp P

- Trớc tiên ta thử xét với điểm N:

NA+NA+NC=

2 2

3a

> 2a = AB+AC

Vậy điểm N tâm ngoại tiếp không thoả mãn

- Ta so sánh AB+AC với GA+GB+GC

a < 2a = AB+AC do đó trực tâm A của

tam giác ABC cũng không là điểm cần tìm

- Vận dụng vốn kiến thức đã có ở đây đó là trong tam giác đều

thì điểm cần tìm là tâm ngoại tiếp O của tam giác đó

Dựng tam giác đều ABC ta có:

Theo chứng minh trên thì

G A

N

B

C M

I

OA+OB+OC < GA'+GB+GC

 OA+OB+OC < GA+GB+GC

tơng tự ta cũng có OA+OB+OC < PA+PB+PC

Vậy cả P và G đều không phải là điểm cần tìm mà điểm cần tìm chính là

điểm O, thật vậy: Nếu M là điểm bất kì trong tam giác ABC thì do :

OA+OB+OC < MA+MB+MC

mà OA'-AA' = OA; MA'-AA' < MA

nên OA+OB+OC < MA+MB+MC

Ta cần khám phá xem điểm O có tính chất

gì trong tam giác ABC?

Qua các dự đoán ban đầu, ta đã tiến hành kiểm nghiệm và nhận thấynhững dự đoán đó không đúng: điểm cần tìm không là trọng tâm, trực tâm,tâm đờng tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC

Điểm cần tìm là điểm từ đó nhìn các cạnh của tam giác ABC dới một góc

1200 Bây giờ ta cần kiểm nghiệm lại điều vừa nói trên trong trờng hợp tổngquát

Trớc hết ta giả sử rằng tất cả các góc của tam giác ABC nhỏ hơn 1200.Khi đó bên trong tam giác tồn tại một điểm O nhìn tất cả các cạnh dới mộtgóc 1200 Thao tác tơng tự nh cách giải đối với tam giác đều ta có:

Qua các đỉnh A,B,C vẽ các đờng thẳng vuông góc với các đoạn thẳngOA,OB,OC các đờng này cắt nhau tạo thành tam giác đều A1B1C1

Gọi I,J,K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ điểm M xuống

Vấn đề còn lại là : nếu trong tam giác ABC, không có điểm O từ đó nhìn

ba cạnh dới cùng một góc, tức là nếu có góc tù 1200 , thì điểm phải tìm là

điểm nào?

Nếu Aˆ  120 0thì có thể xem nh đây là trờng hợp đặc biệt của điểm Otrùng với điểm A, do OA nên có thể xem A nhìn các cạnh AB và AC dới

A M B

C

B' D

A

C B

từ đó suy ra AB+AC < MA+MB+MC (đfcm)

Nếu Â>1200, thì A cũng là điểm phải tìm Muốn chứng minh, ta tìm cáchvận dụng điều đã chứng minh với Â=1200 đó là tạo 1 tam giác mới có chứa 1góc ở đỉnh =1200 nh sau:

Do MA+MB'+MC > AB'+AC (1)

Và BD+DA > AB ; MD+DB' > MB'

nên AB'+BM > AB+MB'

hay: MB-MB' >AB-AB' (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có: MA+MB+MC > AB+AC (đfcm)

Đến đây bài toán đề ra ở trên đã đợc giải quyết hoàn toàn

2.1.2 Cách dạy học nhận thức

Dới dạng chung nhất, cấu trúc nhận thức có chức năng tạo ra sự thích ứngcủa cá thể với các kích thích của môi trờng Các cấu trúc nhận thức đợc hìnhthành theo cơ chế đồng hoá và điều ứng Đồng hoá là chủ thể tái lập lại một số

đặc điểm của khách thể đợc nhận thức, đa chúng vào trong các sơ đồ đã có.Cơ chế đồng hoá cho phép ngời học dựa vào tri thức quen thuộc để giải quyếttình huống mới tức là tích hợp kiến thức mới vào cấu trúc nhận thức đó Điềuứng là quá trình tái lập lại những đặc điểm của khách thể vào cái đã có qua đóbiến đổi cấu trúc đã có, tạo ra cấu trúc mới Cơ chế điều ứng xuất hiện khi ng-

ời học sử dụng những sơ đồ đã có để xử lý một tình huống nhng ngời đó bịthất bại và do đó xuất hiện khả năng khám phá ra các phơng tiện mới mẻ đểgiải quyết tình huống đó

Theo I.M Xechenop (Những cơ sở lý luận dạy học) cho rằng chỉ có thể nắmvững kiến thức khi học sinh vận dụng chúng để giải quyết các nhiệm vụ nhận thứckhác Sự tiếp thu và vận dụng làm các khái niệm gắn chặt chẽ với nhau

Nhiều công trình nghiên cứu về cơ chế nhận thức đã chỉ ra rằng: trongquá trình nhận thức học sinh lựa chọn và tiếp thu một số kiến thức chứ khôngphải là tất cả thông tin, kiến thức từ môi trờng bên ngoài Ngời học xây dựng

hệ thống kiến thức của mình từ các mối liên hệ giữa thông tin đầu vào với kiếnthức vốn có của mình Học sinh có thể kiểm nghiệm lại, sắp xếp (đồng hoáhoặc căn chỉnh) vào bộ nhớ hoặc loại trừ chúng Mục đích của dạy học khôngchỉ là truyền thụ tri thức mà chủ yếu là biến đổi nhận thức của học sinh, giúphọc sinh hoàn thiện và tiếp nhận kiến thức một cách tích cực.

2.1.3 Sự thích nghi trí tuệ.

Theo Piagie "T duy đợc thích ứng với một thực tế riêng biệt khi nó đã

đạt đợc tới sự đồng hoá thực tế đó vào những khuôn khổ của mình trong khivẫn điều ứng những khuôn khổ ấy vào những hoàn cảnh mới do thực tế đặt ra.Vậy là sự thích nghi trí tuệ đợc đặt cân bằng giữa sự đồng hoá của thựcnghiệm vào những cấu trúc diễn dịch và sự điều ứng của những cấu trúc ấyvào những dữ kiện của thực nghiệm" Nói một cách khái quát, sự thích nghi

đòi hỏi một sự tác động qua lại giữa chủ thể và khách thể sao cho chủ thể cóthể nhập vào khách thể mà vấn tính đến những đặc điểm của mình; và sự thíchnghi càng sâu sắc hơn khi sự đồng hoá và sự điều ứng đó càng đợc phân hoá

và bổ sung cho nhau tốt hơn

2.1.4 Quan điểm về sự sản sinh cái mới

Khả năng sản sinh ra cái mới chính là khả năng tìm ra đợc sự kiện mới,hiểu biết sâu và rộng hơn những thông tin đã cho, khả năng vận dụng kiếnthức đã học đợc vào việc giải quyết các tình huống riêng

Bản chất của sự sản sinh cái mới là quá trình chuyển di các liên tởng.Theo Bruno, có hai loại ứng dụng cấu trúc: Thứ nhất là chuyển di các mối liêntởng, các kĩ năng hay kĩ xảo mẫu đã tiếp thu đợc sang các liên tởng, kỹ xảogần giống với nó Thứ hai là chuyển di các nguyên tắc, các thái độ đã có vàocác tình huống khác nhau Bruno cho rằng sự chuyển di này chính là trọngtâm của quá trình dạy học bởi về cơ bản đó không phải là học các kỹ năng cụthể mà là học một ý tởng tổng quát để dùng làm cơ sở cho việc tiển khai cácvấn đề cụ thể sau đó Và coi những vấn đề cụ thể này chỉ là những tr ờng hợp

đặc thù của nguyên tắc tổng quát đã học đợc

Ta xét ví dụ sau: Khi nắm đợc nội dung khái niệm tích vô hớng của haivéctơ : a.ba bcos(a,b)

Nếu học sinh xét trờng hợp đặc biệt:

C A

j

i, là các véctơ đơn vị i  1 ; j  1và gọi  là góc tạo bởi 2 véctơ này

khi đó ta có kết quả mới: i j cos 

Nh vậy khi gặp giá trị lợng giác cosin của một góc ta cũng có thể

chuyển di sự liên tởng đến tích vô hớng của hai véctơ đơn vị tạo với nhau mộtgóc .

Xét bài toán rất quen thuộc:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC thì: cosB+ cosC+cosA

Dấu bằng xảy ra khi : i + j+k = 0  -i= j +k  (-i )2=( j+k)2

 1=2-2.cosC  cosC=1/2  C=600 Tơng tự A=B=600

2.2 Một số thành tố năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học Toán

2.2.1 Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề dựa trên các quy luật t duy

tiền logic, t duy biện chứng, khả năng liên tởng và di chuyển liên tởng

Để có năng lực dự đoán phát hiện vấn đề học sinh cần đợc rèn luyện cácnăng lực thuộc phạm trù năng lực t duy tiền logic và năng lực t duy biệnchứng Đó là các năng lực nh năng lực xem xét các đối tợng toán học, quan hệtoán học trong mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, nắm đợc mối quan hệnhân quả, phát hiện những bớc chuyển hoá từ sự chuyển đổi về lợng sang biến

đổi về chất; xem xét đối tợng toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất; xemxét một đối tợng toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tợng đó Cần cónăng lực so sánh, phân tích tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực

a b A

Theo Hoàng Chúng "Phải dạy cho học sinh biết cách suy luận có lý để

có thể tự mình tìm tòi, dự đoán đợc những qui luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề Nhằm mục đích ấy, cần tập cho học sinh biết thu thập các số liệu, đúc kết, lập bảng, vẽ biểu đồ, vẽ đồ thị … quan sát quan sát các kết quả, rút ra kết luận khái quát có tính chất dự đoán v.v … quan sát "

Việc xem xét một số trờng hợp cụ thể có thể cho ta những gợi ý có íchcho việc phát hiện ra vấn đề Chẳng hạn khi dạy định lý trong tam giác:

"Trong một tam giác ứng với góc lớn hơn là cạnh dài hơn" Có thể cho họcsinh vẽ nhiều tam giác rồi đo các góc các cạnh tơng ứng (học sinh thấy góclớn hơn thì cạnh tơng ứng dài hơn; góc bằng nhau thì các cạnh tơng ứng bằngnhau) từ đó các em đi đến dự đoán: "Trong một tam giác ứng với góc lớn hơn

là cạnh dài hơn"

Sau khi học sinh nêu nhận xét: nếu A B  thì a>b

giáo viên hớng dẫn học sinh khái quát thành định lý

Nh vậy quá trình t duy tiền logic đã giúp các em phát hiện vấn

đề :"Trong tam giác ứng với góc lớn hơn là cạnh dài hơn"

Cũng thông qua các năng lực trên học sinh có thể dự đoán đợc phơngpháp giải cho nhiều bài toán Chẳng hạn ta xét bài toán sau:

"Chứng minh rằng trung tuyến ma ứng với cạnh BC của tam giác ABC nhỏhơn

2

BC

khi và chỉ khi góc A là góc tù"

Bài toán này đợc học sinh trung học cơ sở giải quyết nhờ 2 liên tởng sautạo ra 2 định hớng giải cho bài toán:

Liên tởng 1: Â tù  a2>b2+c2

2 1

M

A

C B

Từ đó khai thác giả thiết: ma<

Theo giả thiết ma là trung tuyến của tam giác

ABC nhng ta có thể di chuyển sự liên tởng

rằng xem MA nh là cạnh thứ 3 của các tam giác AMB và AMC

Xét tam giác AMB do AM < MB nên B ˆ Aˆ1

Xét tam giác AMC do AM < MC nên C ˆ Aˆ2

A A A C

Bˆ ˆ  ˆ1 ˆ2 ˆ

Trong quá trình giảng dạy toán học, việc luyện tập thờng xuyên cho họcsinh khả năng so sánh, quan sát, tơng tự; đặc biệt hoá đồng thời với khái quáthoá để nhìn thấy đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều tính chất khácnhau là điều rất quan trọng để phát triển năng lực dự đoán phát hiện vấn đề

2.2.2 Năng lực định hớng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm tòi lời giải các bài toán.

Theo Polia "Có thể coi khát vọng muốn đạt đợc mục đích là một nhân tố

kích thích; nó gợi cho chúng ta những hoạt động có thể dẫn đến mục đích Kết quả mong muốn sẽ gọi ra những phơng tiện Cho nên, bạn hãy nhằm vào kết quả, đừng lúc nào lơi khỏi mục đích của bạn; mục đích sẽ chỉ hớng cho sự suy nghĩ cả bạn" (Dẫn theo [13, tr 279]).

Trong khi ngẫm nghĩ về điểm cuối cùng (kết quả) của một bài toán,chúng ta hy vọng sẽ nảy ra ý về những phơng tiện thích hợp để giải bài toán

đó, phải vận dụng những cố gắng bền bỉ nhất để gợi ra trong trí tởng tợng củamình những phơng tiện thích hợp

Theo chúng tôi năng lực định hớng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đềtìm tòi lời giải các bài toán đợc xác định trên cơ sở các khả năng sau đây củahọc sinh:

- Khả năng phát hiện các đối tợng và quan hệ trong mối liên hệ tơng tự

- Khả năng phát hiện ý tởng nhờ nắm mối quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân

- Khả năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau

- Khả năng nhận dạng các đối tợng và các phơng pháp

Chẳng hạn để chứng minh hệ thức liên quan đến độ dài, tích các độ dài, ngời tadùng tích vô hớng hoặc hình học đồng dạng Học sinh có thể xem:

+) a.b là tích vô hớng của 2 vecstơ cùng phơng có độ dài lần lợt là a,b:

b n a m

h-Ví dụ 1 "Trong tất cả các tam giác nội tiếp đờng tròn O cho trớc, tìm

tam giác có tổng bình phơng độ dài các cạnh là lớn nhất"

Giả sử đờng tròn tâm O bán kính R A,B,C là

các đỉnh của tam giác Ycbt  Tìm điều kiện của

tam giác để (AB2 +BC2 +CA2) max

Với định hớng nh trên ta có thể biến đổi bình phơng độ dài thành bìnhphơng vô hớng nh sau:

Dấu bằng xảy ra khiOA OB OC                                                           0

hay O là trọng tâm tam giácABC tức tam giác ABC là tam giác đều

Vậy để AB2 +BC2 +CA2 đạt giá trị lớn nhất thì tam giác ABC là tam giác

đều

Nên khuyến khích học sinh nhìn một bài toán bằng nhiều quan điểm khácnhau, đề xuất hớng giải quyết vấn đề trên cơ sở các góc nhìn nhận đó

Chẳng hạn cần tìm cực trị của biểu thức trong bài toán hình học có thểdùng công cụ đạo hàm hoặc dựa vào các bất đẳng thức hình học Ta xét ví dụ

cụ thể sau:

Ví dụ 2:" Cho hình lập phơng ABCDA'B ' C ' D ' cạnh bằng 1; I, J lần lợt là trung điểm của AB và C 1 D 1 Mặt phẳng ( ) thay đổi cắt cạnh AD tại M Tìm

vị trí của M để thiết diện tạo bởi ( ) có chu vi nhỏ nhất"

Bớc đầu tiên là tìm thiết diện do ( ) cắt hình lập phơng Học sinh 11 dễdàng xác định thiết diện là hình lục giác IMQJPN có các cặp cạnh đối songsong và bằng nhau

Cần khai thác ở khía cạnh thiết diện là hình lục giác có các cạnh songsong và bằng nhau nên thiết diện có chu vi nhỏ nhất khi nửa chu vi nhỏ nhấthay ta cần tìm điều kiện để: (IM+MQ+QJ) min

0

f x

f ' x x

1 2 2

Định hớng 2: Chuyển bài toán không gian về bài toán trong mặt phẳng

bằng cách đa các đoạn thẳng IM, MQ, QJ về các đoạn thẳng có cùng độ dài

và ở trong cùng mặt phẳng

Ta dùng phơng pháp trải hình, "mở" các

mặt bên của hình hộp và trải lên mặt phẳng ta

có hình nh bên

áp dụng bất đẳng thức về đờng gấp khúc

ta dễ thấy IM+MQ+QJ  IJ Dấu bằng xảy

ra khi I, M, Q, J thẳng hàng hay M là trung

điểm AD

( Do I,J lần lợt là trung điểm của AB, C'D'

và MQ cùng phơng với IJ)

Vậy (IM+MQ+QJ) min khi M là trung điểm của AD

Nh vậy việc xem xét các khái niệm quy tắc các định lý qua nhiều thể hiệnkhác nhau sẽ giúp học sinh định hớng tốt trong tìm tòi lời giải bài toán

2.2.3 Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề.

Năng lực huy động kiến thức đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với nănglực định hớng

Theo Polia "Dù bài toán của ta nh thế nào mặc lòng, ta cũng có thể tin ởng từ trớc rằng muốn giải đợc bài toán đó thì phải vận dụng những tri thức đãhọc Nhng ta không thể dự đoán với mức độ tin tởng nh thế rằng các tri thứccần thiết ấy thuộc chơng mục nào, nhất là nếu đó lại là một bài toán khó Nóichung bất kỳ bài toán nào đã giải trớc đây hay một định lý nào đã chứng minhtrớc đây đều có thể có ích cả, nhất là nếu nó lại có những chỗ tiếp cận với bàitoán đang xét, nhng ta không có thời gian để nghiên cứu tất cả các bài toán và

t-định lý đó Các suy luận vừa có nhiều triển vọng nhất Trong trờng hợp bàitoán chứng minh thì định lý có kết luận giống nh thế, đã chững minh trớc đây

có nhiều triển vọng giúp ích nhất Bởi vậy, ta nên dành u tiên vô điều kiện chocác câu hỏi: có thể tìm đợc ẩn tơng tự nh thế bằng cách nào? Có thể chứngminh kết luận nh thế nào?" (Dẫn theo [13], tr 282)

Học sinh huy động kiến thức để giải quyết tốt các vấn đề còn tuỳ thuộc vàokhả năng chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại một nội dung toán học và chuyển

đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác để diễn đạt cùng một nội dung Toánhọc Khi xác định năng lực huy động kiến thức, chúng tôi cho rằng khả năng

) , ,

v

) 1 , 1 , 1 (

w

) , , ( x y z u

biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán đóng vai trò rất quan trọng Nhờ quátrình biến đổi vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quenthuộc, các bài toán tơng tự đã giải Quá trình biến đổi chính là quá trình điềuứng để học sinh thích nghi- chuyển đổi sơ đồ nhận thức mới tơng hợp với tìnhhuống mới

Học sinh cần lựa chọn công cụ thích hợp để giải quyết vấn đề Chẳng hạn,

để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dùng phép dời hoặc tích vôhớng Tuy nhiên, trong trờng hợp cụ thể nếu hai đoạn thẳng đó khác phơng thì

Quan sát các biểu thức trên ta nghĩ ngay đến tích vô hớng Xét các vectơ

) 1 , 1 , 1 (

; ) , , (

; )

Ta phải chứng minh: cos +12 cos cos

Từ điểm O bất kì kẻ các véctơ u , v , w làm thành một góc tam diện có cácgóc  ,  , 

Ta có      do đó cos  cos (    )

và cos +1 cos(    )  cos  

=2 cos cos

Nên cos +12 cos cos

Ví dụ 2:"Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c của tam giác bất kì thoả mãn bất

đẳng thức:

a 2 +b 2 +c 2 < 2 (ab+bc+ca)"

Bài toán đề cập mối quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác Hãy huy độngnhững định lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:

a2=b2+c2-2bc cosA (3)

a2+b2=c2/2 +2mc2 (4)

Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trớc hết ta hãy loại (3) và (4) vìchúng đề cập mối quan hệ đẳng thức chứ không phải bất đẳng thức nh điềuphải chứng minh

Ví dụ 3: "Một điểm M chuyển động trên đờng kính AB của một đờng tròn

(O) Dây cung CD đi qua M, cắt AB và hợp với nó một giác 45 0 Chứng minh rằng đại lợng T= MC 2 +MD 2 không phụ thuộc vào vị trí của M trên AB"

Ta có thể dự đoán giá trị của T bằng cách

xét trờng hợp đặc biệt M trùng B (hoặc A) Khi

đó D trùng B và C là điểm chính giữa của cung

AB nên

MC2+MD2 = CB2= 2R2

Vấn đề bây giờ là sẽ tìm cách chứng minh T =2R2

Trớc tiên ta thấy giả thiết có xuất hiện dây cung CD, ta có thể biểu thì độdài của MC, MD theo độ dài của CD và bán kính R (Đây là cách thờng làmkhi cần tính độ dài của các đoạn thẳng nằm trên 1 dây cung của đờng tròn).Không mất tính tổng quát giả sử MC > MD Ta nhớ lại các bài toán đãlàm khi cần tính độ dài của dây cung ta thờng biểu thì dây cung đó theo bánkính và khoảng cách từ tâm đờng tròn đến dây cung

Gọi I là trung điểm của CD, ta có: CM=CI+IM; MD=DI-IM

T= MC2+MD2 = (CI+IM)2 + (DI-IM)2 =2CI2 +2IM2 +2 IM(IC-ID)

Do IC=ID=R2-OI2, IM=OI (vì tam giác OIM vuông cân tại I)

nên T= 2R2-2OI2+2OI2=2R2 =const

Nếu xuất phát từ kết luận cần chứng minh MC 2 +MD 2 không đổi Ta nhận

thấy ở đây có biểu thức tổng của 2 bình phơng và góc M bằng 450 gợi cho tanhớ đến một đẳng thức trong tam giác vuông đó là định lí Pitago Do đó ta thử

cố gắng tạo một tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông độ dài là MC và MD.Gọi E là điểm đối xứng với C qua trục AB,

khi đó ta có tam giác CME là tam giác vuông

C

A

B

cân tại M nên CM=ME áp dụng định lí Pitago

cho tam giác vuông EMD ta có :

MC2+MD2 = ME2+MD2=DE2

Do C thay đổi luôn nhìn cung DE với góc không đổi =450 nên DE không

đổi từ đó MC2+MD2 không đổi khi M thay đổi trên AB

2.2.4 Năng lực lập luận có căn cứ giải quyết vấn đề đặt ra

Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán, cần nắm vững các yêu cầucủa lời giải một bài toán và một trong những yêu cầu đó là lập luận phải cócăn cứ chính xác Yêu cầu này đòi hỏi từng bớc biến đổi trong lời giải phải cócơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, công thức… đã học, đặcbiệt phải chú ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết

Quá trình giải một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc thiết lập mối liên

hệ giữa bài đó với những kiến thức thích hợp tích luỹ đợc từ trớc Lúc chúng

ta cố gắng tìm cách diễn đạt lại bài toán, dới một hình thức nhiều triển vọnghơn, thực chất là đi tìm mối liên hệ ấy

Khi giải một bài toán việc chúng ta liên tởng, và gọi ra (huy động) đợcnhững kiến thức cần thiết để phục vụ cho việc giải quyết vấn đề đã là đángquý nhng trong những kiến thức mà chúng ta liên tởng đến trong thời điểm đóthì cũng có khi không thể dùng đợc liên tởng nào cả vì những liên tởng đó quaquá trình thử thì đều thất bại Lúc này đòi hỏi ngời làm toán phải có năng lựclập luận có căn cứ chính xác, giả thiết của bài toán là gì? kết luận của bài toán

là gì? Những định lí nào có liên quan, những công thức nào là đúng? Sựxem xét lại vấn đề một cách cẩn thận, các bớc biến đổi một cách tỉ mỉ cũng làmột yếu tố cần có trong việc rèn luyện năng lực lập luận có căn cứ

Ví dụ khi khai thác phơng pháp véc tơ trong việc phát hiện và chứng minhcác bất đẳng thức trong tam giác ta có bài toán sau:

Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng: cos2A+ cos2B +cos2C

2

3



 (*)Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác