Biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng và đường cong

Lời nói đầuQua việc nghiên cứu phép biến đổi xạ ảnh, đặc biệt là về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp cùng với những tính chất của nó, thấy rằng nếu vận dụng khéo léo các tính chất đó và sử d

Lời nói đầu

Qua việc nghiên cứu phép biến đổi xạ ảnh, đặc biệt là về phép biến đổi xạ

ảnh đối hợp cùng với những tính chất của nó, thấy rằng nếu vận dụng khéo léo các tính chất đó và sử dụng thành thạo mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit thì giải quyết một số bài toán hình học sơ cấp một cách rất hiệu quả Nội dung của khoá luận này chủ yếu khảo sát một số tính chất của phép biến đổi xạ ảnh đối hợp trên đờng thẳng xạ ảnh và đờng Cônic, đồng thời sử dụng các tính chất đó

và mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit để làm sáng tỏ một số bài toán hình học sơ cấp

Khoá luận này đợc trình bày thành 4 mục chính

Đ1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này đa ra một số kiến thức cơ bản nhằm phụ vụ cho Đ2, Đ3,Đ4, Nh tính chất tỉ số kép, định lý về sự xác định phép ánh xạ, mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit

Đ2 Phép đối hợp của đờng thẳng xạ ảnh

Mục này đa ra khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng, một số tính chất về điểm bất động và sự xác định một phép đối hợp của

đờng thẳng

Đ3 Phép đối hợp của đờng Cônic

Mục này đa ra khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng Cônic, một số tính chất về điểm bất động

Đ4 Vận dụng ánh xạ đối hợp để giải một số bài toán hình học sơ cấp.

Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình của TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tôi xin

đợc tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầy Đồng thời cảm ơn các thầy, các cô, đặc biệt là các thầy cô trong tổ hình học, các bạn sinh viên trong khoa Toán

– Trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận cũng

nh học tập và rèn luyện tại trờng

Do sự hạn chế và thời gian cũng nh năng lực nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thầy, cô giáo cùng các bạn sinh viên

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 5 năm 2006.

Tác giả

Mỗi phần tử của Pn là một điểm của không gian xạ ảnh Pn.

Gọi ulà véc tơ khác 0của Vn+1 và < u > là không gian véc tơ con một chiều sinh bởi uthì P(<u >) = U là một điểm nào đó của Pn Khi đó ta nói rằng véc tơ ulà đại diện của điểm U

Cố nhiên hai véc tơ uvà u'(khác0) cùng đại diện cho một điểm khi mà chỉ khi chúng phụ thuộc tuyến tính

1.2 Định nghĩa phẳng trong không gian xạ ảnh:

Cho không gian xạ ảnh ( P, p, Vn+1) Gọi W là không gian véctơ con m+1 chiều của Vn+1 (m ≥ 0) Khi đó, tập hợp p([W]) đợc gọi là cái phẳng m chiều (hoặc là m_ phẳng của Pn)

Nh vậy , mỗi điểm Pn là một 0_ Phẳng

- Phẳng một chiều (hay 1_phẳng) còn gọi là đờng thẳng

- Phẳng hai chiều (hay 2_phẳng) còn gọi là mặt phẳng

- Phẳng (n-1) chiều (hay (n-1)_phẳng) còn gọi là siêu phẳng

Hiển nhiên m _Phẳng p([W]) là một không gian xạ ảnh m chiều liên kết với không gian Vectơ W bởi song ánh:

p/[W]: [W]→ p([W])

1.3 Định nghĩa hệ điểm độc lập:

Hệ r điểm (r≥1) của không gian ánh xạ Pn gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ

r vectơ đại diện cho chúng là hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong Vn+1

Hệ điểm không độc lập là hệ điểm phụ thuộc

1.4 Mục tiêu xạ ảnh.

Cho không gian xạ ảnh Pn liên kết với K_ không gian vectơ Vn+1 Một tập hợp có thứ tự gồm n+2 điểm của Pn {S0, S1, S2, Sn; E} đợc gọi là mục tiêu xạ

ảnh nếu bất kỳ n+1 điểm trong n+2 điểm đó đều độc lập

Ta dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại

Các điểm Si gọi là đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm E gọi là điểm đơn vị

1.5 Toạ độ của điểm đối với mục tiêu xạ ảnh.

Trong K_không gian xạ ảnh Pn liên kết với Vn+1 cho mục tiêu xạ ảnh {Si;E}i=0,n có đại diện là cơ sở { e i } i=o, n của Vn+1 Với mỗi điểm X bất kỳ của Pn ta lấy vectơ xđại diện cho X Khi đó tạo độ (x0, x1, ,xn) của véc tơ x

đối với cơ sở {e i } cũng đợc gọi là toạ độ của điểm X đối với mục tiêu { Si, E}

và viết X = (x0, x1, ,xn)

1.6 Tỷ số kép.

1.6.1 Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng.

Trong K_không gian xạ ảnh Pn liên kết với Vn+1 cho 4 điểm thẳng hàng

A, B, C, D trong đó có ba điểm đôi một không trùng nhau Ta gọi a,b,c,d là các véc tơ lần lợt đại diện cho các điểm A, B, C, D thì các vectơ đó thuộc một không gian vectơ hai chiều, trong đóavàbđộc lập tuyến tính Suy ra có các số

k

l :

1 1

k

l có nghĩa (tức là l2 ≠ 0), thì nó đợc gọi là tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D và kí hiệu là [A,B,C,D]

Nếu l2 = 0 thì phân số

2 2

k

l :

1 1

k

l Nếu l2 ≠ 0 ∞ Nếu l2 = 0

• Nếu A, B, C, D, E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì:

[A, B, C, D] [A, B, D, E] = [A, B, C, E]

• [A, B, C, D] = -1 thì A, B, C, D đợc gọi là thẳng hàng điểm điều hoà

1.6.2.2 Tỷ số kép của bốn siêu phẳng thuộc một chùm

Định lý Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U,V,W đôi một phân biệt Nếu d là đờng thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lợt tại các điểm A, B, C, D (không cắt giá của chùm) thì tỷ số kép của bốn điểm

đó không phụ thuộc vào vị trí của đờng thẳng d.

Tỷ số kép nói trên đợc gọi là tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng kí hiệu [U, V, W, Z].

Chú ý:

[A,B,C,D] =

- Bốn siêu phẳng U, V, W, Z của một chùm đợc gọi đợc gọi là chùm bốn siêu phẳng điều hoà nếu [U, V, W, Z] = -1 Khi đó ta nói : Cặp siêu phẳng U,V chia điều hoà cặp W, Z

- Từ định lý trên ta suy ra tỷ số kép của bốn chùm siêu phẳng có các tính chất tơng tự nh tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng

1.7 Nguyên tắc đối ngẫu.

Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh Pn nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng Nếu trong mệnh đề nào đó các từ

“r_phẳng” đợc thay bằng các từ “(n-r-1)_phẳng”, các từ khác giữ nguyên thì ta

đợc mệnh đề mới M* gọi là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M Cố nhiên mệnh

đề M’ là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M*, bởi vậy ta nói M và M* là cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau

Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau hoặc cùng

đúng, hoặc cùng sai

Ta lu ý đến cách thành lập mệnh đề đối ngẫu trong P2 và P3

Trong P2, có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M từ các

“điểm” bởi các từ “đờng thẳng” và ngợc lại , còn các từ khác giữ nguyên

Trong P3, để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các từ

“điểm” bởi các từ “mặt phẳng” và ngợc lại , còn các từ khác giữ nguyên

- ánh xạ tuyến tính ϕlà đơn cấu.

- ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh

- ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm

- Mỗi đơn cấu tuyến tính ϕ: V→ V’ là đại diện cho một ánh xạ ảnh duy nhất f: P→P’

1.8.2 Định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh.

Định lý.

Cho hai K_không gian xạ ảnh P và P có số chiều lần l’ ợt là n và m (n

≤ m) Trong P cho mục tiêu xạ ảnh { S 0 , S 1 , S 2 , S n ; E} và trong P cho hai’

điểm n +2 điểm phụ thuộc S 0’, S 1’, S 2’, S n’; E sao cho bất kỳ n+1 điểm trong’

trong số đó đều độc lập Khi đó , có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh f: P→P’ sao cho f(S i ) = S i’, i = 0,1,2, ,n và f(E) = E ’

1.9 Biến đổi xạ ảnh và biểu thức toạ độ (hay phơng trình ) của

biến đổi xạ ảnh

1.9.1 Định nghĩa.

Một ánh xạ xạ ảnh f: Pn→Pm là song ánh đợc gọi là đẳng cấu xạ ảnh

Ta thấy , ánh xạ xạ ảnh f: Pn→Pmlà đẳng cấu khi và chỉ khi dim Pn = dimPm khi và chỉ khi n = m

Đẳng cấu xạ ảnh f: Pn→Pn đợc gọi là biến đổi xạ ảnh

1.9.2 Phơng trình của biến đổi xạ ảnh.

Trong Pn cho một mục tiêu {S0, S1, S2, Sn; E}có cơ sở tơng ứng là {ai},

i = 0, 1, 2, n; f là biến đổi xạ ảnh của Pn cảm ứng sinh bởi ϕ: Vn+1 →Vn+1 Với mỗi một điểm X ∈ Pn, gọi X’ = f (X) Giả sử x là véc tơ đại diện cho

điểm X thì ϕ(x) là véctơ đại diện cho X’ Vậy với mọi k≠0, k ϕ(x)

cũng đại diện cho điểm X’ Quy ớc dùng ký hiệu [z] là ma trận toạ độ cột của véc tơ z , [Z] là ma trận toạ độ cột của điểm Z thì ϕ (x) đợc xác định bởi các

biểu thức k[ϕ(x)] = k.A[x], trong đó det A≠ 0

Nh vậy , k[X’] = A[X] (*); k≠0 và det A≠ 0

(*) đợc gọi là biểu thức tạo độ (hay phơng trình) của phép xạ ảnh f

1.10 ảnh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và hai chùm đờng thẳng.

Tập hợp các điểm thuộc một đờng thẳng gọi là một hàng điểm Trong P2

cho hai hàng điểm s, s’ ánh xạ f: s →s’ là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó

bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ trên s

Tập hợp các đờng thẳng trong P2 cùng đi qua một điểm O đợc gọi là chùm đờng thẳng tâm O, ký hiệu{O} Chùm đờng thẳng là khái niệm đối ngẫu với khái niệm hàng điểm (trongP2) Do đó, một ánh xạ f :{O} →{O’} đợc gọi

là ánh xạ nếu có bảo tồn tỷ số kép của 4 đờng thẳng bất kỳ

1.10.1 Định nghĩa.

Trong P2 cho hai đờng thẳng phân biệt s và s’ và một điểm I không thuộc chúng ánh xạ f: s →s’ biến mỗi điểm M ∈ s thành điểm M’ = s’ ∩ IM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s đến s’, I gọi là tâm của f Phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm

1.10.2 Định nghĩa.

Trong P2 cho hai chùm đờng thẳng phân biệt {O}và{O’} và một đờng thẳng d không thuộc chúng (có nghĩa là d không đi qua O và O’) ánh xạ xạ

ảnh f :{O}→{O’} biến mỗi đờng thẳng m ∈ {O} thành đờng thẳng m’ qua O’

và m ∩ d đợc gọi là phép chiêu xuyên trục, d gọi là trục của phép chiếu

Rõ ràng phép chiếu xuyên trục là khái niệm đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm

1.11 Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit.

Cho Pn(R) là không gian xạ ảnh thực n chiều Lấy một siêu phẳng ∆ của

Pn, thì có mô hình xạ ảnh A n p = Pn \ ∆của không gian afin thực n chiều xác

định bởi mục tiêu xạ ảnh { S0, S1, S2, Sn; E}với S1, S2, Sn∈ ∆

Xét mục tiêu trên không gian afin { S0, e1 ,e2, ,e n }, trong đó e i = S0

nó gồm toàn những điểm ảo Ta gọi Q là cái tuyệt đối của E n p.

Trờng hợp n=3, thì Q là một đờng bậc hai (chỉ có các điểm ảo) gọi là ờng rốn của E3p

đ-Trờng hợp n=2, thì Q là một cặp điểm ảo liên hợp gọi là cặp điểm xylic của E p2 và thờng ký hiệu là {I,J}

Đ 2 Phép đối hợp của đờng thẳng xạ ảnh

2.1 Định nghĩa:

Cho s là một đờng thẳng trong Pn Phép biến đổi xạ ảnh f: s→s’ đợc gọi

là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (gọi tắt là phép đối hợp) của s nếu f2= Ids Nghĩa là mọi cặp điểm M, M’ tơng ứng đối với f ta đều có f(M) = M’, f(M’) = M

Giả sử f là phép biến đổi xạ ảnh của s ta có ma trận của phép biến đổi là

A, biến đổi f gọi là phép đối hợp khi và chỉ khi có một số k≠ 0 sao cho AA = kI

2.2 Định lý

Cho s là một đờng thẳng trong P n Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất f: s→s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M và M’ sao cho M = f(M) và M = f(M ).’ ’

Chứng minh:

Điều kiện cần: Nếu f là phép đối hợp khác đồng nhất của S thì hiển

nhiên có cặp điểm M, M’ nh thế

Điều kiện đủ: Giả sử f là phép biến đổi xạ ảnh của s và có M, M’ sao cho

M’ = f(M) và M = f(M’) với mọi điểm N ∈ s/M ta gọi N’=f(N) và N’’ = f(N’) thì ta có [M, M’, N, N’] = [M’, M, N’, N’’] (1) (Theo tính chất của phép biến

đổi xạ ảnh)

Mặt khác theo tính chất của tỷ số kép ta lại có

[M’, M, N’, N’’] = [M, M’, N’’, N’] (2)

Từ (1) và (2) suy ra N’’ trùng với N Vậy f là phép đối hợp

2.3 Định lý: (Về điểm bất động của phép đối hợp).

Cho phép đối hợp f: s→s của đờng thẳng s khác với phép đồng nhất Nếu f có một điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa

Q khác P; và nếu điểm M của s có ảnh M khác M thì [P, Q, M, M ] = -1.’ ’

Chứng minh: Vì f không phải là phép đồng nhất nên tồn tại điểm A khác

với ảnh A’= f(A) Điểm X ∈ s là điểm bất động của f khi và chỉ khi [A, A’, P, X] = [A’, A, P, X] (theo tính chất của phép biến đổi xạ ảnh) tức là khi và chỉ khi [A’, A, P, X] =[A,A'1,P,X]

Hay [A, A’, P, X] = ±1

- Nếu [A, A’, P, X] = 1 thì X trùng với P

- Nếu [A, A’, P, X] = -1 thì ta gọi X là Q, là điểm bất động thứ hai.Không thể có điểm bất động thứ 3 vì f khác phép đồng nhất

Nếu gọi M là điểm bất kỳ của S và M’ = f(M) khác M thì [P, Q, M, M’]

= [P, Q, M’, M] =[P,Q,1M,M'] Suy ra [P,Q,M,M’] = ±1 nhng M’≠ M nên [P, Q, M, M’] = -1

Nếu f có hai diểm bất động thì ta gọi nó là phép đối hợp hypebolic.

2.6 Định lý Đơgiac thứ 2.

2.6.1 Chùm bậc hai trong không gian xạ ảnh n chiều.

Định nghĩa: Trong không gian xạ ảnh Pn cho hai siêu mặt bậc hai có

0 )x, ,x,P(x

1 2

1

1 n 2 1

đợc gọi là cơ sở của chùm

Nếu n=2 chùm bậc hai đợc gọi là chùm đờng bậc hai

Nếu n= 3 chùm bậc hai đợc gọi là chùm mặt bậc hai

2.6.2 Định lý.

Một chùm bậc hai trên P 1 là tập hợp những cặp điểm tơng ứng trong cùng một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp.

Trớc khi chứng minh định lý ta có nhận xét sau:

Nếu x 1 ,x 2 là toạ độ xạ ảnh của một điểm M và x 1’, x 2’ là toạ độ xạ ảnh của điểm M t’ ơng ứng với điểm M trong một phép biến đổi xạ ảnh trong P 1 , thì

k x'

x a x a

k x'

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

với

22 21

12 11

a a

a a

X = ’

22 21

12 11

a X a

a X a

+

+

hệ thức này còn có thể viết:

a 21 XX + a’ 22 X a’ – 11 X a– 12 = 0

Và ngợc lại , mỗi hệ thức cho bởi dạng: aXX + bX + cX + d = 0 là một’ ’

phép biến đổi xạ ảnh trong P 1

Chứng minh: Trên đờng thẳng xạ ảnh P1 cho hai siêu mặt bậc hai có phơng trình:

P(x1,x2) = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22= 0Q(x1,x2) = b11x12 + 2b12x1x2 + b22x22= 0 Với P(x1,x2) ≠ k Q(x1,x2) ; k ∈ R* điều này tơng đơng

22 21

12 11

a a

a a

≠k

22 21

12 11

b b

b b

; k ∈ R* Hay là: Trong ba số (a11b12 – a12b11); (a11b22 – a22b11); (a12b22 – a22b12) luôn có một số khác 0

Chùm bậc hai đợc xác định bởi P(x1, x2) = 0 và Q(x1, x2) = 0 có phơng trình:

11 11

22 22

11 11

12 12

'''

ma2'''

b ma

b ma X

X

b ma

b X

X

((21))

Rút m = -

12 11

12 11

2 ) '' ' (

2 ) '' ' (

a X

X a

b X

X b

+ +

+ +

từ (1) rồi thay vào(2) ta đợc:

(a11b22 – a22b11)(X’+X’’) + 2(a11b12-a12b11)X’.X’’+2(a12b22-a22b12) = 0

⇔ a.X'.X' ' +b(X' +X '' ) +c = 0 (3)

với a= 2

12 21

11 11

b a

b a

; b=

22 22

11 11

b a

b a

; c=

22 22

12 12

b a

b a

Theo giả thiết ta đã có ba số a, b, c không đồng thời bằng 0 Do đó, căn

cứ vào nhận xét và (3) là biểu thức liên hệ giữa X’, X’’ hơn nữa đối xứng với X’

và X’’ nên (3) là phơng trình của phép đối hợp trên đờng thẳng xạ ảnh P1

2.6.3.Định lý Đơgiac thứ hai.

Định lý: Các siêu mặt bậc hai của một chùm bậc hai cắt một đờng

thẳng không thuộc cơ sở của chùm thành những cặp điểm tơng ứng nhau của cùng một phép đối hợp trên đờng thẳng đó.

Trớc hết chúng ta xét bổ đề sau:

0

: R ,

0 x

x x

0

= ) x , , x , Q(x + x , , x , P(x

2

2 n 13

m 2 m

1 + n 2 1 1

n 2 1

à λ λ

à

à λ

⇔ λP(x1, x2, , xm+1) +àQ(x1, x2, , xm+1) = 0 với λvà à∈ R và λ 2 + à 2 ≠

0

Nếu gọi A= (aij)nxn; b = (bij)nxn lần lợt là hai ma trận của các siêu mặt bậc hai P(x1,x2, , xn+1) = 0 và Q(x1,x2, , xn+1) = 0 thì ta viết lại phơng trình dới dạng:

j x ij j

- Tr ờng hợp2 : Nếu tồn tại aij ≠0 hoặc bij ≠ 0 thì ta có phơng trình λ

P(x1,x2, , xm+1) +àQ(x1,x2, , xm+1) = 0; với λvà à∈ R và λ 2 + à 2 ≠0 Là phơng trình của chùm bậc hai trong không gian xạ ảnh m _Chiều Hay đó là chùm (m-1) _siêu mặt bậc hai trong Pn

Chứng minh định lý:

Theo bổ đề ta nhận thấy đờng thẳng không đi qua cơ sở của chùm siêu mặt bậc hai sẽ cắt chùm siêu mặt bậc hai đã cho thành chùm trên đờng thẳng đó Mặt khác theo định lý 2.6.2 ta có chùm bậc hai trên đờng thẳng xạ ảnh là những cặp điểm tơng ứng nhau của cùng phép đối hợp Do đó ,đờng thẳng đã cho cắt các siêu mặt bậc hai của chùm thành những cặp điểm tơng ứng của phép

Trong số các đờng bậc hai của chùm S(A, B, C, D) có ba đờng bậc hai suy biến thành các cặp đờng thẳng Đó là các cặp đờng thẳng: AB và CD, AC và

qua bốn điểm A, B, C, D đều có dạng: λP + àQ = 0 (Với λ, à∈ R và λ2 + à2≠

0) và ngợc lại mọi đờng cong có dạng này đều đi qua bốn điểm đã cho

Đối với mục tiêu đã chọn, ta gọi

(S1) là đờng cong bậc hai có phơng trình : P(x1,x2 ,x3) = x1x3 - x2x3 = 0

(S2) là đờng cong bậc hai có phơng trình : Q(x1,x2 ,x3) = x1x2 - x1x3 = 0

Dễ thấy bốn điểm A,B,C,D thuộc P(x1,x2 ,x3) = 0 và Q(x1,x2 ,x3) = 0

Mặt khác,nếu ta chọn đờng cong bậc hai có phơng trình: λP + àQ = 0 (với λ,à ∈ R và λ2 + à2 ≠ 0) hay λ(x1x3 - x2x3) + à(x1x2 - x1x3) = 0 tơng đơng

àx1x2 + (λ - à)x1x3 - λx2x3 = 0

Vì à +(λ - à) + (-λ) = 0

à2 + (λ - à)2 + (-λ)2≠ 0 nên đờng cong bậc hai này đi qua A, B, C, D

Ngợc lại,ta chứng minh mỗi đờng bậc hai (S) đi qua A, B, C, D đều thuộc chùm:

Vì bốn điểm A, B, C, D thuộc (S) nên đối với mục tiêu đã chọn (S) có

≠ + +

0

0 2 2 2

γ β α

γ β α

Do α + β + γ = 0,ta chọn λ = α + β,à = α thì phơng trình của (S) trở thành λP(x1,x2,x3) + àQ(x1,x2,x3) = 0

Suy ra (S) thuộc chùm λP + àQ = 0

Vậy tập hợp các đờng bậc hai đi qua A, B, C, D là một chùm đờng bậc hai

ii) Cho trớc chùm đờng bậc hai λP + àQ = 0 sao cho bốn điểm A, B, C,

D là cơ sở của chùm thì dễ thấy rằng mọi đờng bậc hai của chùm đều đi qua bốn điểm

Từ i) và ii) ta rút ra kết luận: Hai định nghĩa2.6.1 và 2.7.1 là tơng

đ-ơng.Do đó,trong P2 định lý Đơgiac thứ hai có thể phát biểu và chứng minh dới dạng sau:

2.7.3 Định lý Đơgiac thứ hai(với n=2).

Trong P 2 cho một chùm đờng bậc hai S(A,B,C,D) và đờng thẳng s không đi qua A, B, C, D Khi đó mỗi đờng bậc hai của chùm sẽ cắt s theo một cặp điểm tơng ứng với nhau trong một phép đối hợp xác định của s.

Chứng minh:

Gọi (S) là đờng bậc hai nào đó của chùm,tức là (S) đi qua A, B, C, D Ta gọi M, M' là giao điểm của (S) với s thì ta có lục giác ABCDMM' nội tiếp (S)