Bao lồi đa thức và xấp xỉ đại số các hàm liên tục trên đĩa

Một vấn đề đợc đặt ra tự nhiên là nghiên cứu tínhlồi đa thức địa phơng của hợp hai đa tạp hoàn toàn thực, đặc biệt sau khi DePaepe chỉ ra vấn đề này là có quan hệ mật thiết với bài toán

≤ .Tập con K đợc gọi là lồi đa thức nếu K =Kˆ Tập con

đóng D của C/nđợc gọi là lồi đa thức địa phơng tại a∈Dnếu tồn tại lân cậncompact U của a sao cho U ∩D là lồi đa thức

Năm 1972, Harvey và Wells [12] đã chứng minh mọi đa tạp hoàn toànthực là lồi đa thức địa phơng Một vấn đề đợc đặt ra tự nhiên là nghiên cứu tínhlồi đa thức địa phơng của hợp hai đa tạp hoàn toàn thực, đặc biệt sau khi DePaepe chỉ ra vấn đề này là có quan hệ mật thiết với bài toán xấp xỉ đều đại sốcác hàm liên tục trên đĩa bởi các đại số con hữu hạn sinh của nó

Trong tập hợp các bài [6], [7], De Paepe, O'Farrell và Pascal Thomas đãchứng minh cho một số trờng hợp đặc biệt Năm 1999, Nguyễn Quang Diệu đãchứng minh cho một số trờng hợp của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực tiếp xúc tại

0 trong C/ 2và hợp của hai đồ thị hoàn toàn thực nằm trên siêu mặt giải tích thực Trên cơ sở các kết quả trên, trong các công trình [5], [10], De Paepe vàNguyễn Quang Diệu, đã giải quyết đợc một số bài toán xấp xỉ đều đại số cáchàm liên tục trên đĩa bởi một đại số con sinh bởi hai phần tử của nó

Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu về tính chất lồi đa thứccủa hợp hai đồ thị hoàn toàn thực trong C/ 2.Từ đó nghiên cứu một vài bài toánxấp xỉ trên đĩa của đại số các hàm phức liên tục Đặc biệt luận văn sẽ trình bàymột số lời giải của một vài bài toán xấp xỉ đang đợc quan tâm hiện nay Vớimục đích trên luận văn đợc viết thành hai chơng sau

Chơng 1 Trình bày các kết quả và khái niệm cơ bản cần dùng trong

luận văn và các kết quả nghiên cứu về tính chất lồi đa thức địa phơng của hợphai đồ thị hoàn toàn thực trong C/ 2

Chơng 2 Trình bày một số kết quả về xấp xỉ đại số các hàm liên tục trên

đĩa bởi một đại số con sinh bởi hai phần tử của nó

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh Nhân đây tác giả xin

đ-ợc gửi lời biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Quang Diệu ngời đã dày công ớng dẫn tác giả trong học tập và hoàn thành luận văn Tác giả cũng xin gửi lờicảm ơn tới TS Đinh Huy Hoàng, PGS -TS Trần Văn Ân với các chỉ dẫn có giátrị, và xin đợc gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau

h-đại học, các học viên trong lớp Cao học 8- Toán những ngời đã giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Chơng 1 Bao Lồi đa thức

1 Một số khái niệm mở đầu.

Ta kí hiệu D là đĩa chứa 0 trong mặt phẳng phức, P (D)là đại số cáchàm chứa tất cả các giới hạn đều của các đa thức trên D và C (D) là đại số cáchàm phức liên tục trên D.Với mỗi r> 0 và M ⊂C/n, ta gọi

M r =B( 0 ,r) ∩M , trong đó B( 0 ,r) = {z∈C/n : z ≤r}

Cho f,g∈C(D), gọi [f,g;D] là đại số chứa tất cả các giới hạn đều trên D

của các đa thức hai biến f và g

M

z∈ , nếu không gian tiếp xúc của M tại zlà hoàn toàn thực, nghĩa là

} {

1.2.Ví dụ.[2](a) R/n là đa tạp hoàn toàn thực trong C/n

(b) Cho M = {(z,f1(z), , f n(z)) :z∈D}, trong đó f i là các hàm thuộc lớp C1 trên D Khi đó M là một đa tạp hoàn toàn thực nếu với mỗi a∈D thì

0 ) (

trên X là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C ( X) Nếu à là một độ đo

trên X ta đặt

∫

à (f :) fd , f ∈C ( X).

à gọi là độ đo dơng nếu nó là một phiếm hàm không âm.

(b) Cho A là một đại số đều trên X , M A là không gian các ideal cực

đại của A và Φ ∈M A Độ đo biểu diễn của Φ là độ đo dơng à trên X sao cho

Φ (f )=∫fdà với mọi f ∈A.

(c)Ta gọi độ đoà là trực giao với tập con S của C ( X)nếu ∫fdà = 0

với mọi f ∈S và kí hiệu à ⊥S

hằng và tách các điểm của C ( X) Nếu f ∈A kéo theo f ∈A thì A trù mật trong C ( X)

Để chứng minh định lý này ta cần các khái niệm và mệnh đề sau

1.6 Định nghĩa Cho W là không gian véc tơ thực, S là tập con của W, khi

đó điểm p∈S đợc gọi là điểm cực biên của S nếu

), (

2

1

2

1 p p

gian liên hợp của nó với tôpô yếu * Giả sử K là tập con compact khác rỗng của B* Khi đó K có một điểm cực biên.

Chứng minh Cho {L n}là tập con đếm đợc trù mật của B.Với y∈B*, đặt

L n(y) =y(L n)

Xác định

l1 supL1(x)

K

x∈

Từ K là tập compact và L1 liên tục suy ra tồn tại x1∈K sao cho L1 (x1 ) =l1.Đặt

l2 =supL2(x) trên tất cả x∈K sao cho L1 (x) =l1

Dễ thấy sup đợc lấy trên một tập compact đợc chứa trong K , vì vậy tồn tại K

x2 ∈ sao cho

L2 (x2 ) =l2 và L1(x2) =l1.

Tiếp tục quá trình trên , ta thu đợc một dãy x1 , x2

trong K sao cho với mỗi n ,

Do {L n} trù mật trong B suy ra y1 = y2.Vì vậy x là điểm cực biên của K.

Ta gọi C R/( X)là đại số các hàm thực liên tục trên X và cho A đại số conchứa hàm hằng của nó, ta có định lý sau

1.8 Định lý(Stone-Weierstrass cho hàm thực) Nếu A tách các điểm

của X, thì A trù mật trong X.

Chứng minh ChoK = { à ∈ ( CR/( X ))*: à ⊥ A và à ≤ } Khi đó theo định lýBanach-Alaoglu ta có K là tập lồi, compact của (C R/(X)) * Khi đó K có điểmcực biên δ Trừ khi K = { }, ta có thể giả thiết δ = 1và từ 1 ∈A ta có

∫1dδ = 0

Với x1 ≠x2, chọn g ∈ A sao cho g(x1) ≠g(x2) sao cho 0 <g < 1 Khi đó

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( )

1 (

δ

δ δ

δ

δ δ δ δ

δ

g

g g

g

g g g

g

−

−

− +

=

− +

1.9.Định lý (Runge)[11] Cho K là tập compact trong mặt phẳng phức

với phần bù liên thông Khi đó mọi hàm giải tích trong một lân cận của K đều

có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức.

phức với phần bù liên thông Khi đó mọi hàm liên tục trên K và chỉnh hình trên phần trong của nó có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức.

Định lý sau đây là sự mở rộng hoàn hảo của định lý Runge

Khi đó mọi hàm chỉnh hình trên lân cận của X đều có thể xấp xỉ đều bởi các

đa thức trên X.

đại số đều trên X Điểm x∈X gọi là điểm đỉnh nếu tồn tại f ∈A sao cho

giá trị trong [ −∞ , +∞ ) đợc gọi là đa điều hoà dới nếu

(a) u là hàm nửa liên tục trên

(b) Với mỗi z và w∈C/n thì hàm t→u(z+tw)là điều hoà dới trên miềncác xác định của nó

1.14.Mệnh đề.[14] Hàm u∈C2 ( Ω ) là đa điều hoà dới nếu và chỉ nếu

0

) (

1 ,

z u

, z∈ Ω ,w∈C/n

mọi hàm chỉnh hình trên Ω đều có thể xấp xỉ đợc bởi các đa thức trên một tậpcon compact bất kỳ của Ω

2 Bao lồi đa thức và các tính chất cơ bản.

Các khái niệm và kết quả sau đóng vai trò trung tâm của luận văn.

2.1.Định nghĩa Giả sử K là tập con compact và V là tập con đóng của C/n a) Bao lồi đa thức của K là tập compact

K ˆ { z C : zp )( max tp ,)(

K t

n

∈

≤ /∈

Tập K đợc gọi là lồi đa thức nếu K =Kˆ

b) V gọi là lồi đa thức địa phơng tại z∈V , nếu tồn tại một lân cậncompact Ω của z trong C/n sao cho Ω ∩V là lồi đa thức

c) V gọi là lồi đa thức địa phơng (viết gọn là LPC) nếu nó lồi đa thức địa

phơng tại mọi điểm thuộc V.

2.2.Định lý.Giả sử K là tập compact của C/n Không gian các ideal cực

đại của P (K) là bao lồi đa thức Kˆ của K.

Chứng minh.Giả sử ∞

= 1

} {p n n là dãy các đa thức hội tụ đều tới f ∈P (K).Từ

định nghĩa bao lồi đa thức ta thu đợc

p m −p n Kˆ ≤ p m −p n K

vói mọi m, n Do đó ∞

= 1

} {p n n hội tụ đều tới một thác triển f của f trên Kˆ Khi

đó, với mỗi x∈Kˆ ánh xạ

C K P

là một đồng cấu phức.Vì vậy ta có thể nhúng Kˆ vào không gian các ideal cực

đại của P(K) theo đồng nhất x với Φx

Ngợc lại, mỗi đồng cấu phức của P(K) là một ánh xạ định giá Φxcủamột x∈C/n[11] Do Φxlà phiếm hàm tuyến tính liên tục trên P(K) nên

p(x) = Φx(p) ≤ Φx . p K = p K.

với mọi đa thức p, nghĩa là x∈Kˆ Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi đồng cấu phức vớimột x∈Kˆ

Từ đó suy ra định lý đợc chứng minh.

Định lý trên đã mô tả đợc cấu trúc của bao lồi đa thức và định lý sau đây

là một dấu hiệu tốt để nhận biết tập con của C/ là lồi đa thức

2.3.Định lý[11] Tập con compact K của C/ là lồi đa thức khi và chỉ khi phần bù của nó là liên thông.

2.4.Định lý[14] Cho K là tập compact trong C/n Khi đó

K ˆ { z C : zu )( sup tu )(

K t

n

∈

≤ /∈

= với mọi u là hàm đa điều hoà dới trên C/n }.

Kết quả trên cho ta biết đợc mối liên hệ giữa bao lồi chỉnh hình, tập giả lồi

và bao lồi đa thức, có thể tìm thấy các điều này trong [14]

2.5.Định lý [8] Cho X là tập con compact của C/n , p là một đa thức, Ω

là thành phần bị chặn của )(\XpC Nếu ξ ∈ ∂ Ω, thì

1( ) ˆ ( 1( ) )ˆ

X p

X

Nhận xét Cho các tập X 1 { z ∈= : zC =/ 1và Im( z ) ≥ }0và

X 2 = { Cz /∈ Im(: z = 0) và − 1 ≤ Re(z) ≤ 1 }

Dễ dàng kiểm tra đợc X1 và X2 là các tập con lồi đa thức của C/ , nhng theo

định lý 2.3 thì X1 ∪X2 không lồi đa thức bởi vì nó không liên thông Định lýsau đây đa ra một dấu hiệu để kiểm tra tính chất lồi đa thức của hợp hai tập lồi

đa thức trong C/n.Có thể tìm thấy định lý này trong [5]

2.6.Định lý(Bổ đề Kallin) Giả sử rằng:

(1) X1 và X2là các tập con lồi đa thức của C/n ;

(2) Y1 và Y2 là các tập con lồi đa thức của C/ sao cho 0 là điểm biên của cả Y1 và Y2,và Y1∩Y2 = { };

(3) p là một đa thức sao cho p(X1 ) ⊂Y1 và p(X2 ) ⊂Y2;

(4) 1 ( 0 ) ( 1 2)

X X

p− ∩ ∪ là lồi đa thức

Khi đó X1 ∪X2là lồi đa thức.

Chứng minh Đặt X = X1 ∪X2và Y =Y1 ∪Y2.Từ các điều kiện của Y1 và Y2

ta có Y là một tập lồi đa thức và 0 là điểm đỉnh đối với P(Y), nghĩa là tồn tại một

hàm h∈P (Y) sao cho h( 0 ) = 1và h(y) < 1với mọi y ∈ Y {\ }0 Giả sử x∈Xˆ vàà

là độ đo biểu diễn của x đối với P(X) trên X , nghĩa làà là độ đo dơng trên X

sao cho f(x) =∫fdà.Từ p(Xˆ) ⊆ (p(X )ˆsuy ra p(x) ∈Y

Bây giờ giả sử p ( x ) ∈ Y1 {\ }0 Xét hàm số xác định nh sau:g(z) = 0nếu z∈Y2

và g(z) = 1nếu z ∈ Y1 {\ }0 Khi đó g là hàm liên tục trên Y và chỉnh hình trên phần

trong của Y Theo định lý Mergelyan , có thể xấp xỉ g bởi các đa thức trên Y,

hay g∈P (Y) Đặt G=gp Khi đó, với mọi đa thức P ta có

P x P x G x P Gdà P G dà

X N N

N N

1

Lấy căn bậc N ta có P(x) ≤ P X1, vì vậyx∈Xˆ 1 =X1

Hoàn toàn tơng tự nếu p ( x ) ∈ Y2 {\ }0 thì x∈Xˆ 2 =X2

Nếu p(x) = 0, theo định lý 2.5 tacó

p− 1 ( 0 )∩Xˆ=(p− 1 ( 0 )∩X)ˆ=p− 1 ( 0 )∩X

Vì vậy x∈X.Từ đó ta cóX =Xˆ

Định lý sau đây ngời ta thờng gọi là dạng Stout của bổ đề Kallin, đây là một

định lý mà ta sẽ dùng nhiều trong chơng sau để giải các bài toán xấp xỉ

2.7.Định lý (Stout) Giả sử rằng:

(a) X1 và X2là các tập con compact của C/n sao cho P(X1) =C(X1) và

) (

) 0

Tơng tự, thu hẹp à 2 của à trên X2 là độ đo 0 Vì vậy à = 0, và

) (

)

(K M C K M

P ∩ = ∩ Đặc biệt, M là lồi đa thức địa phơng.

Khi K là tập compact lồi đa thức và cấu trúc điểm hoàn toàn thực của K

đợc biết thì ta có định lý sau

2.9.Định lý [5] Giả sử K là tập lồi đa thức trong C/n , L là tập con compact của K sao cho K\ L là hoàn toàn thực Khi đó

P(K) = {f ∈C(K) : f L∈P(L)}

2.10.Hệ quả Cho M1và M2 là hai đa tạp hoàn toàn thực trong C/n Giả sử { 0 } =M1 ∩M2 và M1 ∪M2 là lồi đa thức địa phơng Khi đó tồn tại r> 0

sao cho, ( 1r 2r) ( 1r 2r)

M M C M M

2.11.Định lý (Sibony)[5] Cho p là đa thức riêng từ C/n vào C/ m và K là tập con compact của C/n với K =p− 1 (p(K)) Khi đó

Kˆ =p− 1 ((p(K) )

2.12.Định nghĩa Cho U, V là các miền của C/nvà f là ánh xạ chỉnh hình từ

U vào V Ta gọi f là ánh xạ chỉnh hình riêng nếu với mọi tập con compact

)

(U

f

K ⊂ thì f − 1 (K) ⊂U.

2.13.Định lý (Sibony suy rộng) Cho K là tập con compact của C/n và U

là tập mở chứa Kˆ và F là ánh xạ chỉnh hình từ U vào C/n thoả mãn F là riêng từ U vào F (U) Khi đó Kˆ =F− 1 (F(K ).

Chứng minh.Ta có thể chọn U là lân cận Runge của Kˆ Khi đó tồn tại hàm

ϕ là đa điều hoà dới trong U sao cho

(a) ϕ ≥ 0

(b) ϕ (z) = 0 khi và chỉ khi z∈Kˆ

Đặt ψ(z) maxF t) zϕ(t)

=

= với mọi z∈F (U).Ngoài tập giải tích của F (U), ta có ψ

đa điều hoà dới Do đó ψ có thể mở rộng thành hàm đa điều hoà dới trên

)

(U

F Hiển nhiên ψ ≥ 0 và ψ ≡ 0 trên F (K)ˆ, vì vậy ϕ ≡ 0trên F−1 (F(K ).VìvậyKˆ =F− 1 (F(K )

3. Tính chất lồi đa thức địa phơng của hợp hai đồ thị

hoàn toàn thực tiếp xúc tại 0.

ϕ ϕ

ϕ

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tính chất lồi đa thức địa phơng củaM1 ∪M2 tại

0 trong một số trờng hợp của ϕ.

M ∪ là lồi đa thức địa phơng tại 0.

(b) Nếu ϕ (z) =z p z p+ 1với p≥ 1 thì M1 ∪M2 không lồi đa thức tại 0.

Chứng minh.(a) Xét đa thức p(u,v) =u m−n+ 1 +v m−n+ 1 Khi đó p(M1) ⊂ R/ và

) ( )

( )

( )

1 1

1 1

1 2

m m

n m n

m n m n

m n m n

Dễ thấy

} 0 Re : ) , {(

) 0

M1 ∪ 2 là lồi đa thức khi rđủ bé

b.Với t > 0, cho đa tạp giải tích W t = {(z,w) :z.w=t} và xét

}:

),

1 z z z t M

W

P t = t ∩ = = và Q t =W t ∩M2 = {(z,z) :z =t,},

trong đó t, là nghiệm dơng duy nhất của phơng trình ′2 tt p+22=′+ t.Theo nguyên lý

môđun cực đại cho các đa thức trên miền đóng giới hạn bởi hai đờng cong trên

thì (M1r ∪M2r)ˆchứa một tập mở của W t bị chặn bởi hai đờng cong đóng P tvà

t

Q với t đủ bé Nh vậy r r r r

M M M

a z

0

) ( )

0 ≤l≤ m sao cho

l

l j

a <

∑

≠ (1) Khi đó M1 ∪M2 là LPC tại 0.

Chứng minh Lấy λ ∈C/ sao cho Im( λ ) Re(a l) = Im(a l) Re( λ ).Từ (1) ta có Im( l)

l j

λ∑ <

≠ (2) Xét đa thức p(u,v) = λu m−2l+1 + λv m−2l+1 Khi đóp(M1) ⊂R/ , ta sẽ chỉ ra

} 0 {

+ +

=

=

− +

k

k m k k l

z z z

z

) (

) (

) (

) 1 2 (

0

2 1

=

−

− +

k

k m k k l m l

1 2 ( )

1 2

≠

− +

k m k m k l

l m

z z

z a l

m a

z l

λ

Do đó

) (

) Im(

) 1 2 ( )) ( ,

l m

z z

a a

z l m z

z

z

bất đẳng thức (2) ta có Imp(z,z+ ϕ (z)) > 0, từ đây ta có điều cần chứng minh

Mặt khác, ta dễ dàng kiểm tra đợc

} { ) ( 2

1 =

− M r

) Im(

)

Re(

:) ,

{( −= tg m − l + ϕ

z

z z

trong đó ϕ là argument của λ, là các tập lồi đa thức Vì vậy

p− 1 ( 0 ) ∩ (M1r ∪M2r)là lồi đa thức khi r đủ bé

Theo bổ đề Kallin ta có M1 ∪M2 là LPC tại 0.

z z z z

M ∪ là LPC tại 0 khi và chỉ khi p−q ≤ 1.

Chứng minh.Với mỗi t> 0, cho đa tạp giải tích

} :

) , {(z w C2 z w t

V t = ∈ / + =

Đặt

} Re 2 : ) , {(

: V M1 z z z t

} Re

2 : )) ( , {(

z∈ / thì − 1 (z) ∩K

1

π là tập hữu hạn

3.5.Mệnh đề Một tập nhẹ K trong C/ 2là lồi đa thức nếu tồn tại đa thức

p trên C / 2 thoả mãn.

(a) p ánh xạ K vào một tập đơn liên γ trong C/ với phần trong là rỗng (b) Tập ( 1 ( ) )

1 p− t ∩K

π là đơn liên với phần trong rỗng với mọi t∈γ .

Chứng minh.Với mỗi t∈γ , đặt S t : = p− 1 (t) ∩K Ta có S tlà tập lồi đa thứcvới mọi t∈ γ Thật vậy, từ (b) ta có π1(S t) là tập đơn liên với phần trong

rỗng.Theo định lý Mergelyan thì mọi hàm liên tục trên π1(S t) giải tích trong

phần trong của nó đều có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức, vì vậy

γ γ

γ =p(K) ⊆p(K) ⊆ (p(K )ˆ = ˆ =

Ta thu đợc p(K) =p(Kˆ)

áp dụng đinh lý 2.5 cho trờng hợp X = K và t∈γ ta có

K t p S S K t

p− 1 ( ) ∩ ˆ = t = ˆt = − 1 ( ) ∩ Bây giờ giả sử K ≠Kˆ , ta lấy x \ˆ ∈ K K Khi đó, từ p(K) =p(Kˆ) ta có thể chọn

p− 1 ( ) ∩ˆ ≠ − 1 ( ) ∩ ,vì x∉K

Từ đây ta có điều cần chứng minh

Cuối cùng ta chứng minh trờng hợp q=p+ 1 Xét đa thức

y x y x

p( , ) = +

Khi đó

)}

, 0 ( : Re 2 ) (M1 z z B r

p r = ∈ và p(M2r) = 2 Rez( 1 +z2p) :z∈B( 0 ,r)}

Ta thu đợc p(M1r∪M2r) là các tập đơn liên với phần trong rỗng Do đó ta cầnkiểm tra ( 1 ( ) ( 1 2)

1

r

r M M t

x x t z

4 Tính chất lồi đa thức địa phơng của một số đồ thị

1 (X) X X

F− = ∪ trong đó X1 = (z,z) và 2 ( , z)

c

b z z

X = − −

Đặt λ =c b, trong trờng hợp này λ < 1.Tiếp theo xét đa thức p(u,w) =u.w, tathu đợc

} : { ) (X1 z2 z D

0 ∈p X1 ∩p X2

Giả sử tồn tại 0 ≠ y ∈ p(X1) ∩p(X2), khi đó tồn tại 0 ≠ z1 = p+iqvà 0 ≠z2 =u+iv

sao cho

) 2 (

)

2 2

uvi v

u v

u q

Từ đây suy ra

1

2 2

2 2 2 2

>

+

+ + +

=

v u

v u q p

Bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết λ < 1

Hơn nữa, ta có thể kiểm tra đợc

)}

0 , 0 {(

) 0 ( )

) (

) 0

1 ∩ ∪ =