Trờng đại học vinh Khoa Toán nguyễn thị chung Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 2 giai đoạn Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành : Toán ứng dụng Cán bộ hớng dẫn : PGS.TS. Trần Xuân Sinh Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Chung Lớp : 43E2 - Toán Vinh, 5/2007 Lời nói đầu Quy hoạch toán học là một bộ môn quan trong đang đợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Nó có nhiều ứng dụng trong thực tế, nhất là trong lao động và sản xuất. Đây là một chuyên ngành đang đợc giảng dạy, học tập ở các trờng Đại học và Sau Đại học. Đây cũng là những vấn đề không còn lạ về tên gọi, nhng số ngời đi sâu nghiên cứu nó ngày càng nhiều, có rất nhiều công trình dới dạng sách và bài viết đăng trên các Tạp chí khoa học. Một trong những nội dung của Quy hoạch toán học, đợc ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đó là các bài toán quy hoạch với thông tin không đầy đủ, phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên - bài toán quy hoạch ngẫu nhiên. Vì thời gian và khả năng có hạn, nên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn. Mục đích của đề tài là nêu ra một số bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, đặc biệt là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn và một số ph- ơng pháp giải chúng. Khoá luận đợc chia làm 2 chơng. Chơng 1, trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết có liên quan trong cách trình bày nội dung của khoá luận. Chơng 2, trình bày nội dung và một số vấn đề của lý thuyết quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh. Để hoàn thành đợc khoá luận này, tác giả đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình, chu đáo của thầy giáo, PGS.TS. Trần Xuân Sinh và những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo thuộc Khoa Toán. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn và các thầy giáo trong Khoa Toán. Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới thầy giáo PGS.TS. Trần Xuân Sinh và các thầy, cô giáo cùng bạn bè, gia đình đã giúp đỡ nhiều trong quá trình học tập, làm việc của tác giả. Tác giả 2 Chơng 1 Các kiến thức cơ sở 1.1. Lý thuyết quy hoạch 1.1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính và phơng pháp đơn hình Quy hoạch tuyến tính đợc hình thành vào những năm giữa thế kỷ 20. Ngay sau đó, nó đợc phát triển rất nhanh nhờ sự phát hiện ra nhiều bài toán ứng dụng, có thể khác nhau về hình thức, đợc đa về bài toán quy hoạch tuyến tính. Dantzig đợc coi là cha đẻ của phơng pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Lý thuyết về các bất đẳng thức tuyến tính, đã đợc nghiên cứu bởi Fourier từ 1826, là chỗ dựa để Dantzig phát hiện ra phơng pháp đơn hình. Từ khi ra đời, phơng pháp đơn hình đã gần nh thống trị thời gian dài nhằm giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Dựa trên nhận xét rằng miền chấp nhận (phơng án) của bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi đa diện và nếu bài toán đã cho có phơng tối u thì tồn tại đỉnh của tập lồi này tối u, nội dung của phơng pháp đơn hình là xuất phát từ một đỉnh của tập phơng án, cố gắng đi tới một đỉnh kề tốt hơn (giá trị hàm mục tiêu gần tới giá trị tối u hơn). Vì số đỉnh là hữu hạn nên nói chung, với một giả thiết về lý thuyết nhất định, quá trình sẽ kết thúc sau hữu hạn bớc lặp. Phơng pháp này tận dụng triệt để cấu trúc tuyến tính của bài toán, khác hẳn với tối u phi tuyến. Gần một thế kỷ nghiên cứu và ứng dụng, mặc dù đã có nhiều phơng pháp khác nhau giải bài toán quy hoạch tuyến tính, ngời ta vẫn thấy rằng phơng pháp đơn hình vẫn là phơng pháp có hiệu quả nhất trong việc tìm lời giải của các bài toán kinh tế (xem [2], [5], [9]). 1.1.1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch là: Tìm vectơ X = (x 1 , x 2 , ., x n ) n , làm cực tiểu (hoặc cực đại) hàm số f(X), với các điều kiện g i (X) 0, i = 1, 2, ., m; x j 0, j = 1, 2, ., k, k n. Điều đó đòi hỏi ta cần giải bài toán min (max) f(X) (1.1) với điều kiện g i (X) 0, i = 1, 2, ., m (1.2) x j 0, j = 1, 2, ., k , k n, (1.3) 3 trong đó hàm f : n , g i : m , i = 1, 2, ., m. Hàm f(X) gọi là hàm mục tiêu, các điều kiện (1.2)(1.3) gọi là điều kiện buộc của bài toán. Mỗi vectơ X = (x j ) n thoả mãn hệ điều kiện buộc gọi là một phơng án. Ta ký hiệu tập phơng án là M. Một phơng án làm cực tiểu (hoặc cực đại) hàm mục tiêu gọi là phơng án tối u (hoặc gọi là nghiệm) của bài toán. Có thể thấy rằng hai bài toán sau đây là tơng đơng min f(X) X M và max {g(X) = - f(X)} X M. Tuỳ theo hàm f(X) hoặc tập M mà ngời ta chia bài toán (1.1)(1.2)(1.3) thuộc các lớp bài toán khác nhau. Đặc biệt, khi f(X) và g i (X) (i = 1, 2, ., m) là các hàm tuyến tính, M n thì bài toán đã cho đợc gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính. Nh vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng min {f(X) = j n = 1 c j x j } với điều kiện j n = 1 a ij x j = b i , i = 1, 2, ., k j n = 1 a ij x j b i , i = k+1, ., m x j 0, j = 1, 2, ., r; r n. Từ bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát nh đã nêu trên, ta có thể chuyển về dạng tơng đơng (theo nghĩa không làm thay đổi giá trị tối u của hàm mục tiêu) nh sau: min {f(X) = j n = 1 c j x j } (1.4) 4 với điều kiện j n = 1 a ij x j = b i , i = 1, 2, ., m (1.5) x j 0, j = 1, 2, ., n. (1.6) thì bài toán (1.4)(1.5)(1.6) đợc gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc. Vì vậy, về mặt tính toán, ngời ta xét bài toán quy hoạch tuyến tính ở dạng chính tắc. Bài toán (1.4)(1.5)(1.6) có thể viết lại nh sau: a) Cách viết theo ma trận Ký hiệu ma trận hàng C = (c 1 c 2 . c n ) cấp 1ì n Các ma trận cột X = (x 1 x 2 . x n ) T cấp nì1, B = (b 1 b 2 . b m ) T cấp mì1 và ma trận A = (a ij ) cấp mìn; T là ký hiệu cho phép chuyển vị của ma trận. Khi đó ta có bài toán min CX với điều kiện AX = B X 0. b) Cách viết theo vectơ: Ký hiệu các vectơ C = (c 1 , c 2 , ., c n ) n , X = (x 1 , x 2 , ., x n ) n , A 0 = (b 1 , b 2 , ., b m ) m , A j = (a 1 j , a 2 j , ., a mj ) m , j = 1, , ., n. Khi đó ta có bài toán min C, X với điều kiện x 1 A 1 + x 2 A 2 + . + x n A n = A 0 x 1 , x 2 , , x n 0. 1.1.1.2. Tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính Ký hiệu M là tập phơng án của bài toán (1.4)(1.5)(1.6). Bài toán quy hoạch tuyến tính có các tính chất quan trọng sau đây (xem [5]): 1) Tập phơng án M là một tập lồi đa diện. 2) Nếu tập phơng án của bài toán quy hoạch tuyến tính là đa diện lồi thì tồn tại phơng án cực biên tối u. 3) Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phơng án tối u, thì có ít nhất một phơng án cực biên tối u. 5 Từ tính chất 2 và 3 cho phép ta tìm phơng án tối u của bài toán quy hoạch tuyến tính chỉ cần tìm trên tập các phơng án cực biên. Sau này chúng ta sẽ thấy thêm rằng số phơng án cực biên là hữu hạn. 4) Phơng án X = (x j ) là cực biên khi và chỉ khi ứng với các chỉ số j mà x j > 0 là hệ vectơ cột {A j } độc lập tuyến tính (tức là định thức các toạ độ của các vectơ A j tơng ứng khác 0). Hệ quả a) Số toạ độ dơng của phơng án cực biên có tối đa là m. b) Số phơng án cực biên của M là hữu hạn (nhiều lắm là C n m ). c) X M là phơng án cực biên khi và chỉ khi X thoả mãn chặt n ràng buộc. Chú ý rằng hệ quả c) còn đúng cả trong trờng hợp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát. Định nghĩa. Phơng án cực biên có đủ m toạ độ dơng đợc gọi là phơng án cực biên không suy biến (hay không thoái hoá). Bài toán quy hoạch tuyến tính có tất cả các phơng án cực biên không suy biến đợc gọi là bài toán không suy biến. Hệ m vectơ {A j } độc lập tuyến tính tơng ứng với phơng án cực biên X nh đã nêu trong tính chất 4 gọi là cơ sở liên kết của X. 5) Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có hai phơng án tối u khác nhau thì có vô số phơng án tối u. 6) Nếu hàm mục tiêu f của bài toán (1.4)(1.5)(1.6), bị chặn dới (bị chặn trên nếu bài toán maxf) trên tập phơng án khác rỗng thì bài toán quy hoạch tuyến tính tồn tại phơng án tối u. Định nghĩa. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính min {f(X) = j n = 1 c j x j } (1.7) với điều kiện j n = 1 a ij x j b i , i = 1, 2, ., m 1 (1.8) j n = 1 a ij x j b i , i = m 1 +1, ., m 2 (1.9) j n = 1 a ij x j = b i , i = m 1 +1, ., m (1.10) x j 0, j = 1, 2, ., n 1 (1.11) x j 0, j = n 1 +1, ., n 2 (1.12) 6 x j tự do, j = n 2 +1, ., n. (1.13) Bài toán đã cho đợc gọi là bài toán gốc. Để có bài toán đối ngẫu ta thực hiện theo quy tắc sau: + Nếu bài toán gốc là minf(X) thì bài toán đối ngẫu là maxf(X) và ngợc lại. + ứng với bài toán gốc có điều kiện = n j 1 a ij x j b i , i = 1, 2, ., m 1 thì tơng ứng bài toán đối ngẫu có điều kiện y i 0, i = 1, 2, ., m 1 . + ứng với bài toán gốc có điều kiện x j 0, j = 1, 2, ., n 1 thì tơng ứng bài toán đối ngẫu có điều kiện = m i 1 a ij y i c j , j = 1, 2, ., n 1 . + ứng với bài toán gốc có điều kiện = n j 1 a ij x j b i , i = m 1 +1, ., m 2 thì tơng ứng bài toán đối ngẫu có điều kiện y i 0, i = i = m 1 +1, ., m 2 . + ứng với bài toán gốc có điều kiện x j 0, j = n 1 +1, ., n 2 thì tơng ứng bài toán đối ngẫu có điều kiện = m i 1 a ij y i c j , j = j = n 1 +1, ., n 2 . + ứng với bài toán gốc có điều kiện = n j 1 a ij x j = b i , i = m 2 +1, ., m thì tơng ứng bài toán đối ngẫu có biến y i tự do, i = m 2 +1, ., m. + ứng với bài toán gốc có biến x j tự do, j = n 2 +1, ., n thì tơng ứng bài toán đối ngẫu có điều kiện = m i 1 a ij y i = c j , j = n 2 +1, ., n. Khái niệm bài toán gốc và bài toán đối ngẫu chỉ là khái niệm tơng đối, nghĩa là nếu bài toán này là gốc thì bài toán kia là đối ngẫu và ngợc lại. 7) (Định lý lệch bù). Cho các phơng án X*, Y* ứng với cặp bài toán đói ngẫu. Khi đó X*, Y* là tối u khi và chỉ khi tơng ứng các cặp điều kiện đối ngẫu, nếu điều kiện này có dấu bằng (=) thì điều kiện kia có dấu bất đẳng thức (> hoặc <). 7 Ký hiệu A i (i I) là một cơ sở của của hệ vectơ cột {A j } trong ma trận A của bài toán quy hoạch tuyến tính; x ij là toạ độ thứ i của vectơ A j ứng với cơ sở {A i }; j = Ii c i x ij - c j , j = 1, 2, ., n. 8) (Dấu hiệu tối u) Nếu tại phơng án cực biên X 0 , có j 0, j = 1, 2, ., n, thì X 0 tối u. 9) Nếu tại phơng án cực biên X 0 , tồn tại k > 0 và mọi x ik 0 (i = 1, ., m) thì bài toán không có phơng án tối u (hàm mục tiêu không bị chặn trên tập phơng án). 10) Nếu tại phơng án cực biên X 0 , tồn tại k > 0 và tồn tại x ik > 0 thì xây dựng đợc phơng án cực biên mới X 1 tốt hơn X 0 . Định nghĩa . Cho X M tập các phơng án, hớng Z R n đợc gọi là chấp nhận đợc tại X nếu tồn tại số thực 0 > 0, sao cho X + Z M, [0, 0 ]. Cho X M, hớng Z chấp nhận đợc tại X đợc gọi là hớng giảm từ X nếu f(X + Z) < f(X). Khi không xẩy ra j 0, tức là tồn tại k > 0, thì X o cha khẳng định đợc tối u. Ta hãy đi tìm hớng giảm từ X o . Ký hiệu Z k = (- X k , 0, ., 1, ., 0) = (- x 1 k , ., - x mk , 0, ., 1, ., 0) trong đó số 1 ở toạ độ thứ k. 11) Với mỗi k mà A k không phải là vectơ cơ sở của X 0 thì vectơ Z k là hớng chấp nhận đợc tại X 0 khi và chỉ khi X B * - X k 0 với nào đó, trong đó X B * = (x i ) i I . 12) Với điều kiện của tính chất 11, Z k là hớng giảm từ X o khi và chỉ khi k > 0. Nhận xét: Từ tính chất 8, 9, 10, 11, 12, ta có thuật toán đơn hình nh sau: 1.1.1.3. Thuật toán đơn hình Bớc 0: (Lập bảng xuất phát) Chọn cơ sở {A i } i I và phơng án cực biên xuất phát X 0 ; xác định x i , x ij , f(X 0 ) và j . Bớc 1: Kiểm tra tiêu chuẩn tối u: j 0 ?, j = 1, , n. - Nếu có, chuyển sang bớc 6. - Nếu không, chuyển sang bớc 2. 8 Bớc 2. Kiểm tra khả năng vô nghiệm: Tồn tại j > 0 mà x ij 0 ? - Nếu có, chuyển sang bớc 6. - Nếu không, chuyển sang bớc 3. Bớc 3. Chọn vectơ vào cơ sở: Chọn k = 0 max > j j , đa A k vào cơ sở. Bớc 4. Chọn vectơ ra khỏi cơ sở: Tìm 0 = ik o i x x x ik 0 min > = k o x x , A ra khỏi cơ sở. Bớc 5. Xây dựng p.a.c.b mới: Xây dựng phơng án cực biên mới X 1 . Gán X 0 := X 1 rồi trở lại bớc 1. Bớc 6. Dừng lại và trả lời có hay không có phơng án tối u. 13) Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính không suy biến thì thuật toán đơn hình kết thúc sau hữu hạn bớc lặp. Trong trờng hợp bài toán suy biến thì thờng là có nhiều vectơ đợc lựa chọn ra khỏi cơ sở. Trong trờng hợp này ngời ta thờng chọn vectơ ra khỏi cơ sở một cách ngẫu nhiên trong các vectơ đồng khả năng, chẳng hạn các vectơ A và A r . Quy tắc lựa chọn ngẫu nhiên nh vậy gọi là quy tắc ngẫu nhiên. 14) Dùng quy tắc ngẫu nhiên thì thuật toán đơn hình kết thúc sau k bớc lặp với xác suất p 1 - k m 1 , trong đó m là số phơng trình độc lập của hệ điều kiện buộc. Do đó xác suất kết thúc thuật toán sau k bớc lặp dần tới 1 khi k . 1.1.2. Quy hoạch lồi và các phơng pháp giải 1.1.2.1. Bài toán quy hoạch lồi. Cho bài toán min f(X) (1.14) với điều kiện X D (1.15) g 1 (X) 0, g 2 (X) 0, ., g m (X) 0, (1.16) trong đó D là tập hợp lồi thuộc n và f(X), g 1 (X), g 2 (X), ., g m (X) là các hàm lồi. Bài toán (1.14)(1.15)(1.16) gọi là bài toán quy hoạch lồi. Điểm X D thoả mãn các điều kiện (1.15), (1.16) đợc gọi là phơng án (hay là điểm chấp nhận) của bài toán, ký hiệu tập phơng án là M. Phơng án X* thoả mãn 9 f(X*) = min f(X), X M đợc gọi là phơng án tối u (hay lời giải hay nghiệm) của bài toán. Ta thấy rõ M là tập lồi. Định nghĩa. Ta nói bài toán (1.14)(1.15)(1.16) thoả mãn điều kiện chính quy nếu có ít nhất một điểm X 0 D nghiệm đúng g 1 (X 0 ) < 0, ., g m (X 0 ) < 0. (1.17) Lúc này ta cũng nói tập phơng án M thỏa mãn điều kiện chính quy. 1.1.2.2. Tính chất của bài toán quy hoạch lồi 1) Trong mỗi tập lồi đóng D M, nếu f(X) có cực tiểu và nếu D có đỉnh thì cực tiểu ấy phải đạt đợc tại ít nhất một đỉnh của D. Cho hàm f xác định trên tập hợp lồi M. Điểm X 0 M đợc gọi là điểm cực tiểu địa phơng của f trên M nếu tồn tại lân cận X o sao cho f(X 0 ) f(X), X M X o . Nếu M X o M thì ta nói X 0 là điểm cực tiểu tuyệt đối (hay cực tiểu toàn cục) của f trên M. 2) Mọi điểm cực tiểu địa phơng của hàm f(X) trong một tập lồi đóng bất kỳ D M phải là điểm cực tiểu trong toàn bộ D. Điểm X 0 M lồi, đợc gọi là điểm trong của M nếu với mỗi X M thì tồn tại Y M mà X 0 = X + (1- )Y, 0 < < 1. 3) Nếu hàm lồi f đạt cực đại tại điểm trong X 0 của tập lồi M thì f không đổi trên tập M. Định nghĩa. Cho hàm lồi f(X) xác định trên tập lồi M và hớng S R n , (||S|| = 1). Ta nói f(X) có đạo hàm theo hớng S nếu giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn. )()( lim 0 XfSXf + + và ta ký hiệu f (X, S) = )()( lim 0 XfSXf + + . Ngời ta đã chứng minh đợc rằng: Hàm lồi f(X) xác định trên tập lồi M, có tại mọi điểm trong X M đạo hàm theo hớng S bất kỳ. Cho hàm f khả vi, xác định trên tập hợp lồi M n , khi đó f (X, S) = f , S. 10 . tố ngẫu nhiên - bài toán quy hoạch ngẫu nhiên. Vì thời gian và khả năng có hạn, nên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai. giai đoạn. Mục đích của đề tài là nêu ra một số bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, đặc biệt là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn