Ảnh hưởng của va chạm boltzmann lorentz lên một số thông số của hệ lượng tử

Sở dĩ có sự saikhác với thực nghiệm nh vậy là vì trong phơng trình quang học Bloch thông thờng,chúng ta đã xem các đại lợng có mặt trong phơng trình đó, chẳng hạn nh cờng độ tr-ờng tỷ lệ

lời cảm ơnTrớc hết tôi xin phép đợc bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo ,PGS-TS.Nguyễn Huy Công - Thầy đã trực tiếp định hớng và tận tình giúp đỡ tôi rất nhiều cả

về mặt kiến thức cũng nh phơng pháp nghiên cứu và cung cấp cho tôi tài liệu để tôihoàn thành bản luận văn

Cho phép tôi đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các Thầy giáoTS.Nguyễn Văn Phú, TS.Cao Thành Lê, các thầy đã có những góp ý quý báu giúp đỡtôi trong quá trình viết luận văn

Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy - Cô giáo khoa vật lý,khoa đào tạo sau đại học trờng Đại học Vinh, Trờng Trung học phổ thông Quảng X-

ơng 2, Thanh Hoá, tập thể anh chị em lớp Cao học 15 chuyên ngành Quang học đãtạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập, cũng nh trongqúa trình làm luận văn

Cuối cùng tôi xin đợc bầy tỏ lòng biết ơn đối với chồng tôi, gia đình tôi và

đồng nghiệp - những ngời đã thờng xuyên động viên, giúp đỡ tôi về mọi mặt trongsuốt quá trình học tập và công tác

Vinh, tháng 11 năm 2009

Phạm Thị Hà

mục lục

Trang

Mở đầu 4

Chơng 1: Mẫu telegraph của va chạm 9

1.1 Các loại nhiễu và các hàm tơng quan của chúng 9

1.1.1 Các thăng giáng ngẫu nhiên 9

1.1.2 Các loại hàm tơng quan cổ điển và lợng tử 10

1.2 Mẫu Boltzmann – Lorentz của va chạm 15

1.3 Mẫu telegraph của va chạm 17

1.4 Phơng trình Bloch hiệu dụng khi có mặt thăng giáng telegraph của độ lệch tần 19

1.5 ảnh hởng của thăng giáng telegraph của độ lệch tần lên các thời gian hồi phục 23

Kết luận 28

Chơng 2: Mẫu Boltzmann - Lorentz tổng quát đối với sự mở rộng vạch phổ do va chạm ngẫu nhiên 29 2.1 Sự tổng quát hoá nhiễu va chạm của độ lệch tần của Boltzmann – Lorentz 29

2.2 Phơng trình quang học Bloch hiệu dụng khi có mặt mẫu Boltzmann – Lorent đã đợc tổng quát hoá của va chạm 31

2.3 Các thời gian hồi phục và tần số Rabi khi có mặt của mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz đã đợc tổng quát hoá 33

Kết luận 40

Kết luận chung 41

Phụ lục 43

Tài liệu tham khảo 45

danh mục các ký hiệu )

/

1

( s

A : Hệ số Einstein,đặc trng cho sự suy giảm tự phát từ mức 2 xuống mức 1 )

/

1

( s

D : Hệ số khuyếch tán

đề nghiên cứu cơ bản của lĩnh vực quang học lợng tử.

Để nghiên cứu tơng tác của trờng laser nói riêng và trờng điện từ nói chung vớicác hệ nguyên tử, về mặt lý thuyết nhiều tác giả đã sử dụng phơng trình quang họcBloch và đã thu đợc những kết quả khá phù hợp với các thực nghiệm

Trong những năm đầu của thập kỷ 70 của thế kỷ XX đã xuất hiện một số thựcnghiệm, theo đó, nếu dùng phơng trình quang học Bloch thông thờng, chúng ta khôngthể giải thích một cách trọn vẹn và đầy đủ, chính xác các kết quả này Sở dĩ có sự saikhác với thực nghiệm nh vậy là vì trong phơng trình quang học Bloch thông thờng,chúng ta đã xem các đại lợng có mặt trong phơng trình đó, chẳng hạn nh cờng độ tr-ờng (tỷ lệ với bình phơng biên độ), độ lệch tần số ∆ = ω −L ω 0(sự sai khác giữa tần sốcủa trờng kích thích ωLvà tần số chuyển mức của hệ lợng tử ω 0) hay pha của trờng

kích thích là những đại lợng không đổi

Tuy nhiên trong thực tế, cho dù trờng laser kích thích có đợc xem là đơn sắc đinữa thì cũng không thể là tuyệt đối đơn sắc, nghĩa là biên độ, tần số và pha của trờngtrong suốt thời gian tồn tại vẫn có những sự thay đổi Theo ngôn ngữ của quang học l-ợng tử, những sự thay đổi ấy đợc gọi là các thăng giáng ngẫu nhiên Khi để ý đến cácthăng giáng này, nghĩa là khi chúng ta chú ý đến ảnh hởng của chúng thì chúng ta sẽgiải thích đợc vì sao lại có sự khác nhau giữa kết quả lý thuyết và kết quả thựcnghiệm Tuy nhiên khi đó việc giải phơng trình sẽ quá phức tạp và nói chung khôngthể giải đợc một cách giải tích

Nếu nhiễu mà chúng ta đa vào là một nhiễu Gauss hỗn loạn thì chúng ta không

có cách nào để có thể giải phơng trình đó một cách giải tích mà phải thực hiện phéplấy gần đúng Từ lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên, muốn tính toán đợc một cáchgiải tích khi có mặt nhiễu ngẫu nhiên thì cần phải biết đợc hàm tơng quan của loạinhiễu đó Vì vậy trong các trờng hợp cụ thể khi nghiên cứu ảnh hởng của va chạmBoltzmann-Lorentz lên các thông số động lực đặc trng cho hệ lợng tử, chúng ta chỉ

có thể xét các nhiễu có hàm tơng quan tơng ứng cụ thể mà thôi

Vấn đề đặt ra là trong trờng hợp đó chúng ta sẽ giải quyết bài toán ra sao?

Trong mấy chục năm vừa qua, để giải quyết vấn đề trên, thông thờng các nhà vật

lý lý thuyết đã đa ra phơng án giải quyết nh sau: Khi có mặt nhiễu, các phơng trìnhcủa chúng ta trở thành các phơng trình vi phân ngẫu nhiên Chính vì vậy, để giảichúng, chỉ còn cách đơn giản duy nhất là lấy trung bình thống kê các phơng trình đó.Khi lấy trung bình thống kê các phơng trình này, xuất hiện các hàm tơng quan của

đại lợng đặc trng cho nhiễu Nh vậy là để giải chúng, chúng ta cần phải biết nhiễu đó

là loại nhiễu gì? và hàm tơng quan của nhiễu đó là nh thế nào? Khi đã biết loại nhiễu

và biết hàm tơng quan của loại nhiễu đó, chúng ta sẽ lấy đợc trung bình thống kê cácphơng trình quang học Bloch ngẫu nhiên này Lấy lấy trung bình thống kê các phơngtrình vi phân ngẫu nhiên này, chúng ta thu đợc hệ phơng trình quang học Bloch hiệudụng Trong các phơng trình quang học Bloch hiệu dụng này có chứa ma trận suygiảm ngẫu nhiên, ở đó có mặt các thông số đặc trng cho nhiễu Từ đó chúng ta giải đ-

ợc chúng một cách giải tích và tìm đợc sự phụ thuộc của các thông số đặc trng cho hệlợng tử không những vào biên độ, tần số, vào pha của trờng kích thích mà còn tìm đ-

ợc sự phụ thuộc vào các thay đổi ngẫu nhiên của chính các đại lợng đó (tức vào cácnhiễu) Khoảng từ năm chục năm cho đến nay kể từ công trình đầu tiên củaJ.H.Ebrly và Agarwal, lĩnh vực này trở thành một trong những lĩnh vực quan trọngcủa quang học lợng tử

Nếu cùng một lúc để ý đến nhiễu loạn của các đại lợng, chúng ta không thể tínhtoán một cách giải tích Cho đến nay, hầu hết các tính toán chỉ xét cho trờng hợp đơngiản là xét ảnh hởng của từng nhiễu riêng lẻ mà thôi Cũng đã có một số công trình

đề cập đến phơng trình quang học Bloch ngẫu nhiên chứa cùng một lúc hai nhiễu

nh-ng cũnh-ng chỉ giới hạn lại ở trờnh-ng hợp đơn giản là chứa một nhiễu màu và một nhiễutrắng [3]

Như chỳng ta đó biết, một hệ lượng tử luụn luụn được xem như là một hệ daođộng tử điều hũa Khi cú thờm sự tương tỏc với trường kớch thớch thỡ giữa cỏc phần

tử của hệ n y chà ắc chắn sẽ xẩy những sự va chạm ngẫu nhiên Vấn đề đặt ra lànhững va chạm này cú ảnh hưởng như thế nào lờn cỏc đại lượng đặc trưng cho cỏc

thụng số của hệ lượng tử? Bằng cỏch nào chỳng ta cú thể khảo sỏt ảnh hưởng củanhững va chạm này?.

Cơ sở của việc khảo sỏt ảnh hưởng của va chạm Boltzmam-Lorentz lên một sốthông số của hệ lợng tử là chỳng ta xem cỏc va chạm này như là cỏc nguyờn nhõngõy nờn sự thay đổi của cỏc đại lượng Những sự thay đổi này là hoàn toàn ngẫu

nhiờn Sử dụng kiến thức của lý thuyết về cỏc quỏ trỡnh ngẫu nhiờn trong quang

học lượng tử [1] chỳng tụi xem cỏc va chạm như là cỏc nhiễu lượng tử Nếu giả

thiết cỏc nhiễu này cú hàm tương quan xỏc định, chỳng ta cú thể tớnh toỏn được ảnhhưởng của cỏc thăng giỏng do va chạm này gõy nờn lờn cỏc đại lượng đặc trưng cho

hệ lượng tử

Trong quang học lượng tử, thụng thường người ta quan tâm đến các nhiễu củacờng độ trờng (thông qua biên độ của trờng điện), nhiễu của độ lệch tần và nhiễu phacủa trờng kích thích

Như chỳng ta đã biết từ biểu thức của độ lệch tần ∆ = ω −L ω 0, sự thăng giỏngcủa nú được thể hiện ở chỗ: hoặc là do sự thăng giỏng của tần số trường kớch thớch

L

ω , hoặc là sự thăng giỏng của tần số chuyển mức ω 0 trong hệ lượng tử hai mức

Theo quan niệm của Boltzmann và Lorentz [6], va chạm đợc xem nh là nguyênnhân của việc làm cho độ lệch tần có thăng giáng thông qua việc làm thay đổi tần sốchuyển mức còn trường kớch thớch đợc xem nh là hoàn toàn đơn sắc

Nh chúng ta đã biết, trong một loạt các công trình và luận án tiến sỹ [3], [4], [5][7] khi xét đến ảnh hởng của nhiễu, thông thờng ngời ta sử dụng nhiễu telegraph Nếuchúng ta xem va chạm là một nhiễu telegraph thông thờng thì áp dụng những tínhtoán tơng tự nh đã đợc thực hiện trong các công trình trên, chúng ta có thể tính đợcnhững ảnh hởng của va chạm lên sự thay đổi của các thông số lợng tử

Tuy nhiên, trong thực tế, nhiễu va chạm không đơn giản chỉ nh là một nhiễutelegraph thông thờng Vì sự thay đổi hớng của vận tốc không đơn giản chỉ là sự đổihớng 180 0 (tơng tự nh sự đổi dấu trong nhiễu telegraph) mà là một sự thay đổi hớngmột cách tuỳ ý Trong trờng hợp xem va chạm nh là một sự tổng quát hoá mẫu

telegraph này thì việc tính toán ảnh hởng của nó sẽ ra sao? Giải quyết vấn đề này sẽ

là một trong những nội dung chính của bản luận văn của chúng tôi với tiêu

đề:" ảnh hởng của va chạm Boltzmann - Lorentz lên một

Trong phần nội dung, luận văn bao gồm 2 chơng đề cập đến những vấn đề sau

đây:

Chơng 1 của luận văn đề cập đến mẫu Boltzmann – Lorentz của va chạm

Trong chơng này chúng tôi đề cập đến vấn đề về ảnh hởng của các nhiễu loạnlên các thông số của các hệ lợng tử nói chung Trên cơ sở đó, chúng tôi đề cập đếnvấn đề xem va chạm nh là một nhiễu lợng tử Cụ thể là chúng tôi trình bày mẫuBoltzmann – Lorentz của va chạm, xem va chạm nh là một nhiễu của độ lệch tần

Ngoài việc xem va chạm nh là một nhiễu của độ lệch tần, trong chơng này,chúng tôi còn trình bày cụ thể hơn và giải thích vì sao lại có thể xem nhiễu lợng tửcủa độ lệch tần do va chạm sinh ra lại có thể xem nh là một nhiễu telegraph Trên cơ

sở đó, chúng tôi đề cập đến việc giải phơng trình quang học Bloch hiệu dụng khi cónhiễu telegraph của độ lệch tần và giải thích sự phụ thuộc vào nhiễu của một số thông

số của hệ lợng tử vào nhiễu đó

Chơng 2 của luận văn trình bày về sự tổng quát hoá mẫu ngẫu nhiên cuả vachạm Boltzmann – Lorentz

Trên cơ sở sự tổng quát hoá mẫu telegraph của va chạm, trong chơng nàychúng tôi trình bày việc tính toán ma trận suy giảm ngẫu nhiên trong trờng hợp có vachạm và từ đó tính toán đợc các ảnh hởng của va chạm (khi không còn xem là mộtnhiễu telegraph thuần tuý nữa) vào sự thay đổi của một số thông số của hệ lợng tử Cụthể là trong trờng hợp này, chúng tôi sẽ xem xét sự thay đổi của các thời gian hồiphục và của tần số Rabi khi có mặt va chạm

Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả mới mà luận văn đạt đợc

đồng thời đề cập đến hớng nghiên cứu tiếp theo của luận văn

Chơng 1 Mẫu telegraph của va chạm

1.1 Các loại nhiễu và các hàm tơng quan của chúng

1.1.1 Các thăng giáng ngẫu nhiên

Một trong những vấn đề quan trọng nhất của quang học lợng tử là nghiên cứutơng tác của hệ lợng tử với trờng ánh sáng kích thích Khảo sát tơng tác của trờng

kích thích với hệ lợng tử, chúng ta tìm đợc thay đổi của các thông số đặc trng cho hệthông qua việc giải phơng trình chuyển động Đó là phơng trình liên quan đến thay

đổi các thông số đặc trng cho hệ theo thời gian Phơng trình này, dới dạng ma trận,

đ-ợc biểu diễn nh sau:

( ) MV(t)

dt

t

dV = (1.1) Phơng trình này đợc gọi là phơng trình quang học Bloch, trong đó V là 1 véctơ Bloch chứa một số thông số của hệ lợng tử Dĩ nhiờn trong đó có mặt thông số (đạilợng) mà chúng ta cần quan tâm M là ma trận, có các thành phần là các đại lợng

nh tần số Rabi (Ω 0), độ lệch tần (∆) và hệ số Einstein ( )A đặc trng sự phân rã ngẫunhiên Phơng trình này có nguồn gốc từ phơng trình Bloch trong cộng hởng từ tronghạt nhân nên đợc gọi là phơng trình quang học Bloch [8] Do tính phức tạp của hệ l-ợng tử nên khi nghiên cứu tơng tác của hệ lợng tử với trờng kích thích cho đến nay,thông thờng chúng ta hay sử dụng phép gần đúng nguyên tử hai mức

Nh chúng ta đã biết, trong hệ lợng tử có rất nhiều mức năng lợng, nếu để ý

đến tất cả các mức năng lợng, chúng ta sẽ vấp phải khó khăn về mặt toán học và khó

có thể giải đợc một cách giải tích Để đơn giản cho tính toán, nhng vẫn không làmthay đổi thực chất của tơng tác giữa trờng kích thích với hệ lợng tử, thông thờng ngời

ta sử dụng điều kiện gần đúng xem nguyên tử có hai mức năng lợng, tơng ứng vớimức kích thích và mức cơ bản Với việc sử dụng gần đúng này, chúng ta sẽ dễ dàngkhảo sát đợc ảnh hởng của các thăng giáng của trờng kích thích lên hệ lợng tử một

cách định lợng Những kết quả thu đợc từ điều kiện gần đúng này vẫn giúp chúng tathu đợc những kết quả khá phù hợp với thực nghiệm và cho phép chúng ta giải thích

và hiểu thêm đợc nhiều bản chất vật lý liên quan đến các sự kiện thực nghiệm đó

Thụng thường cho đến nay, trong quang lợng tử, ngời ta hay sử dụng hai loạinhiễu, đú là nhiễu trắng và nhiễu màu (hay cũn gọi là nhiễu telegraph) Tính chấtcủa các nhiễu này đợc phản ánh ở hàm tơng quan của chúng Bởi vậy, trớc khi trình

bày về tính chất của các nhiễu chúng ta đề cập đến các loại hàm tơng quan ứng vớicác loại nhiễu mà ta sẽ sử dụng sau này

1.1.2 Các loại hàm tơng quan cổ điển và lợng tử

a) Hàm tơng quan: Giả sử x là một biến số ngẫu nhiên Hàm số f (x) đợc gọi

là hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của nó không phụ thuộc đơn giá vào biến số x Nghĩa là

ở một giá trị của x, hàm f (x) có thể nhận ngẫu nhiên ngẫu nhiên các giá trị khácnhau Khi đó ta chỉ có thể nói về xác suất để ở giá trị x cho trớc, f (x) có giá trị nằmtrong khoảng từ f (x) đến f(x) +df(x) là bao nhiêu Nếu đại lợng ngẫu nhiên x làhàm của thời gian thì khi đó quá trình đợc mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian(thông thờng đợc gọi một cách ngắn gọn là quá trình ngẫu nhiên) Đại lợng quantrọng nhất đặc trng cho các qúa trình ngẫu nhiên là hàm tơng quan Hàm tơng quan

K (τ ) đợc định nghĩa là giá trị trung bình của tích các hàm ngẫu nhiên ở hai thời

K

0

) ( ) ( 1 lim ) ( τ τ (1.2)

Hay:

K ( τ ) =< f ( t ) f ( t + τ ) > (1.3)

ở đây đại lợng τ có thể nhận giá trị âm hay dơng.

Nh vậy hàm tơng quan chính là số đo định lợng mối liên kết giữa các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau Nếu τ đủ lớn để các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở thời điểm t và t +τ không phụ thuộc vào nhau thì:

K( τ ) =< f(t)f(t+ τ ) >=< f(t) >< f(t+ τ ) >= 0 (1.4) Còn τ = 0 thì:

K ( 0 ) =< f 2( t ) > (1.5)

Nghĩa là K(τ ) trùng với trung bình của bình phơng hàm ngẫu nhiên f (t).Dạng cụ thể của hàm tơng quan phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫu nhiên Ta

có thể khai triển hàm ngẫu nhiên f (t) qua tích phân Fouri

) ( )

exp )

π ω

( )

Thay t′ =t+ τ vào (1.10) và biến đổi ta đợc:

π ω

2

1 ) ( )

∞

−(1.11)

Thay (1.11) vào (1.7) và biến đổi ta đợc:

2 (1.12)

So sánh (1.12) với (1.7) ta rút ra đợc:

π τ τ ωτ π

1 )

( ) exp(

2

1 ) (

cổ điển

c) Hàm tơng quan lợng tử: Nếu đại lợng chúng ta cần tính hàm tơng quan là một

đại lợng vi mô (lợng tử) thì chúng ta gọi hàm tơng quan của đại lợng đó là hàm tơngquan lợng tử Chẳng hạn chúng ta cần xác định hàm tơng quan của xác suất chuyểnhạt giữa hai mức của một hệ lợng tử nào đó thì đại lợng σ21( )t σ12( )t' đợc gọi là hàmtơng quan lợng tử

d) Hàm tơng quan của các nhiễu trắng và nhiễu màu:

Gọi x( )t là một đại lợng thăng giáng ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên)

Nếu x( )t đợc xem là một nhiễu trắng thì nó phải có trung bình bằng không vàhàm tơng quan thoả mãn điều kiện:

<<x x((t t))x>=(t′)0>=2Dδ(t−t′) (1.15) Trong đó: D là hệ số khuyết tán (Diffusion Coefficient)

Với hàm tơng quan của nhiễu trắng là<x(t)x(t′ ) >= 2Dδ (t−t′ ) ta thấy đồ thị của

nó là một đờng thẳng Nhiễu là một hằng số cộng thêm vào đại lợng mà ta bổ sungthêm nhiễu đó Đây là trờng hợp đơn giản và không đợc quan tâm nhiều, vì nó khôngphản ánh thực tế ảnh hởng của nhiễu

Nếu x( )t đợc xem là một nhiễu telegraph thì nó phải có trung bình bằng không

và hàm tơng quan thoả mãn điều kiện:

t x t x

t x

τ

exp )

( ) (

0 ) (

2 (1.16)

Trong đó: a là biên độ nhiễu ; τc là thời gian kết hợp nhiễu, tức là thời gian

khi hai giá trị nhiễu ở hai thời điểm kế tiếp còn có quan hệ với nhau Nh vậy đại lợng

bổ sung là thay đổi ngẫu nhiên theo hai giá trị a và - a , <x(t)> = 0

Hàm tương quan của loại nhiễu telegraph là: x( ) ( )t x t' =a2 exp(−t−t' / τc).Trong trường hợp giới hạn, khi τc → 0 nhng a2 τc → 2D thì nhiễu này sẽ trở về nhiễutrắng

Hình ảnh của nhiễu trắng và nhiễu telegraph đợc minh hoạ trên hình vẽ

0 t

- a

a

0 t -a

Hình 1.2: Ba Telegraph độc lập. Nếu chúng ta để ý thêm trong trờng hợp nhiễu telegraph, khi chúng ta xét đồng thời một lúc (cộng lại) vài nhiễu telegraph thì chúng ta sẽ đợc một nhiễu mới có dạng khá gần với một nhiễu gaussian tuỳ ý Khi đó chúng ta có khái niệm nhiễu tiền gaussian Điều này chứng tỏ nếu ta mô tả thăng giáng bằng nhiễu tiền gaussian thì chúng ta đã tiệm cận gần đến với ảnh hởng của một nhiễu ngẫu nhiên tuỳ ý rồi

3a

a

0 t

- a

0

a

-a

-3a

Hình 1.3: Nhiễu đợc tạo thành từ 3 telegraph ở trên.

Khi có mặt nhiễu ngẫu nhiên x(t) thì phơng trình quang học Bloch (1) có thểviết lại dới dạng:

( ) [iM(x(t))]V(t) [ iM M (x(t))]V(t)

dt

t dV

Trong đó: iM s là ma trận chứa các thành phần không đổi của các thông số

về độ lệch tần số ∆, về tần số Rabi Ω 0 liên quan đến cờng độ trờng ngoài, và hệ sốEinstein A

M nh là ma trận của nhiễu ngẫu nhiên

V (t) là ma trận một cột chứa các thành phần của véctơ Bloch

1.2 Mẫu Boltzmann – Lorentz của va chạm

Trong công trình nghiên cứu về sự mở rộng phổ do va chạm [9], Rautian vàSobelman đã trình bày sự phân tích về việc xuất hiện đồng thời của các hiệu ứng tơngtác và sự thay đổi vận tốc thông qua việc lấy gần đúng tuyến tính phơng trìnhBoltzmann từ lý thuyết động học Vấn đề cốt lõi của va chạm trong phơng trìnhBoltzmann đợc nghiên cứu dựa trên hai mẫu nh sau:

Mẫu va chạm yếu, áp dụng cho trờng hợp các phân tử của môi trờng phát xạ(emiter) là nặng hơn so với các phân tử của môi trờng (perturber) Khi đó ngời ta giảthiết là sự thay đổi vận tốc của phân tử emiter là rất nhỏ sau mỗi va chạm

Mẫu va chạm mạnh, áp dụng cho trờng hợp khi phân tử của emiter là nhẹ hơnnhiều so với phân tử của perturber Khi đó, hiệu ứng va chạm xẩy ra rất mạnh và vậntốc của phân tử emiter sau va chạm thay đổi (cả về hớng lẫn độ lớn) không phụ thuộcvào vận tốc trớc va chạm

Trong công trình [6] ngời ta đã nghiên cứu mẫu Boltzmann – Lorentz (từ lýthuyết động học) để phân tích sự mở rộng do va chạm Mẫu này hoàn toàn tơng tự

nh mẫu va chạm mạnh ở trên của Rautian và Sobelman khi áp dụng cho trờng hợpphân tử emiter nhẹ hơn phân tử của perterber

Trong mẫu Boltzmann – Lorentz (B-L), độ lớn của vận tốc đợc xem là không

đổi giữa các va chạm, chỉ có hớng của vận tốc là thay đổi sau mỗi va chạm mà thôi.Ngoài ra, tốc độ mà ở giá trị đó, phân tử phát xạ (emiter) va chạm đợc xem nh là mộtbiến số động lực, vì thế nó phụ thuộc vào vận tốc tức thời của phân tử emiter Tínhchất này hoàn toàn khác so với mẫu va chạm mạnh, trong đó tốc độ liên kết chính làtốc độ đợc lấy trung bình Tốc độ trung bình này chính là nghịch đảo của thời gian tự

do trung bình giữa các va chạm

Hiện tại, mẫu Boltzmann – Lorentz đợc sử dụng để nghiên cứu các hiệu ứngtơng tác trong sự mở rộng vạch phổ Trong quang lợng tử, toán tử gây nên sự mởrộng vạch phổ đợc gọi tắt là LBO (Line Broadening Operator)

Theo quan điểm thuần tuý toán học, LBO đóng vai trò nh là ma trận suy giảmngẫu nhiên ∑ Sự khác nhau ở đây là về phơng diện vật lý ở chỗ tính thống kêkhông liên quan đến trờng ngoài mà là liên quan đến phơng trình động học mô tả vachạm tơng ứng Khi đó, ta có thể xem phơng trình đối với các thông số của nguyên tửhai mức chịu tác động của va chạm và đợc kích thích bởi ánh sáng đợc mô tả bởi ph-

ơng trình quang học Bloch hiệu dụng , trong đó LBO sẽ đóng vai trò là ma trận suygiảm Khi đó chúng ta thấy rằng mẫu ngẫu nhiên của thăng giáng đợc thể hiện thôngqua mẫu xung telegraph liên quan khá chặt chẽ với các phơng trình động họcBoltzmann – Lorentz Việc mô tả thống kê tính chất của va chạm đợc giải thích nhsau:

Các phân tử emiter ở trong một trạng thái nguyên tử nào đó dịch chuyển vớimột vận tốc nào đó trong trờng của ánh sáng laser kích thích Do kết quả của hiệuứng Doppler, tần số chuyển mức cộng hởng của nguyên tử hai mức thay đổi Chúng

ta giả thiết rằng va chạm giữa các phân tử của emiter và các phân tử của trờng chỉ làmthay đổi hớng của vận tốc còn độ lớn của vận tốc thì vẫn đợc giữ nguyên không đổi.

Điều này có nghĩa là độ lệch tần giữa tần số chuyển mức và tần số của trờng kíchthích thay đổi là do kết quả của va chạm Ta có thể biểu diễn sự thay đổi đó về mặttoán học nh sau:

1.3 Mẫu telegraph của va chạm

Theo cách lập luận ở trên, chúng ta có thể xem môi trờng xung quanh nguyên

tử hai mức nh là một bể nhiệt (reservior) và do kết quả của va chạm làm xuất hiện sựthăng giáng của tần số chuyển mức ω 0 Chúng ta khảo sát sự ảnh hởng của các thăng

giáng này bằng cách giả thiết rằng tần số chuyển mức tức thời của nguyên tử hai mức

đợc biểu diễn nh sau:

Bức tranh vật lý của các thăng giáng này hết sức đơn giản Chúng ta lập luận

x(t) =kvξ

ở đây : ξ = cos ϑ = ( − 1 )n t).

Trong biểu thức này n (t) là số ngẫu nhiên của sự thay đổi dấu do kết quả của

va chạm, tức là số thứ tự của thời gian, ở đó tín hiệu telegraph nhảy bậc do kết quảcủa va chạm Số các va chạm nh vậy trong một thời gian hữu hạn đợc xác định bởiphân bố Poisson với n( )t = γ( )v / 2

Từ sự khảo sát vi mô, chúng ta có thể liên kết γ với tốc độ v mà hạt emitter

có trớc khi xẩy ra va chạm kế tiếp Trong trờng hợp nh vậy, ta có:

( , ) (v)p( ,t) (v)p( ,t)

dt

t dp

ξ γ

ξ γ

(1.20)

Phơng trình master RTS này có thể đợc xem nh là một mẫu của phơng trìnhBoltzmann đã đợc tuyến tính hoá của lý thuyết động học Nếu nh nguồn phát xạ là

đơn sắc thì v chỉ có một giá trị xác định Còn nếu nh nguồn phát xạ chỉ là một thành

tố của một tổ hợp thống kê tồn tại trong sự cân bằng nhiệt động với môi trờng chứa ởtrong buồng cộng hởng ở nhiệt độ T thì vận tốc đợc xác định theo hàm phân bốMaxwell-Faraday nh sau [6]:

f(v) = 4 π ( 2 πk B T/m) − 3 / 2 exp( −mv2 / 2k B T)v2 (1.21)

ở đây m là khối lợng của hạt emitter, k B là hằng số Boltzmann Với các giảthiết đó, động lực học của vật bức xạ đợc kích thích bởi các va chạm thống kê dẫn tớiphơng trình chuyển động ngẫu nhiên

1.4 Phơng trình Bloch hiệu dụng khi có mặt thăng giáng telegraph của độ lệch tần

Đối với nguyên tử hai mức, phơng trình ngẫu nhiên (1.1) có dạng sau:

( ) [ iM0 0 x(t)M ]V(t) [ iM x(t)M ]V(t)

dt

t dV

x S

+ Γ

Để xét ảnh hởng của va chạm khi đã xem nó nh một nhiễu telegraph của độlệch tần, chúng ta khảo sát (1.21) với véc tơ Bloch gồm 3 thành phần (u,v,w) Khi

0 2 2

1 0

1

0 1

T T

0 0 1

0 1 0

iM S ( 0 ) exp ( ) ( ) ( ) )

t x t x

τ

' 2

( ) (

0

2

τ (1.28)

thay (1.28) vào (1.24) ta đợc:

c s x

( )

(

) ( )

( 1 )

t Y M t

V iM t

V

t V M a t Y iM

t Y

x s

x c

Với điều kiện ban đầu tại t = 0 thì Y(t = 0 ) = 0 ,V(t = 0 ) =V( 0 )

khi đó phơng trình đối với ảnh Laplace của hệ (1.28) có dạng

( ) (

~ )

(

~

) (

~ )

(

~ )

0 ( ) (

~

a z Y z

z Y M z

V iM V

z V z

c s x

x s

τ

−

− +

− +

s

x c s x

S

M iM

z

a M

iM z z V V

z V M iM

z

a M

z V z iM V

τ

τ

1 )

(

~ ) 0 (

) (

~ 1

) (

~ )

0 (

x

iM z

a M

iM z

V z

V

τ

1

) 0 ( )

(

~

2 + +

− +

x s

zt

M iM

z

a M

iM z

V e

dz i t

2

1 )

+ +

− +

zt

M iM

z

a M

iM z

V e

dz i t

V

γ

π

++

−+

2

1)

(

(1.35)

Mặt khác khi chỉ quan tâm đến trạng thái dừng, hoặc khi các thời gian thamgia trong hiện tợng khá dài thì ta có thể sử dụng gần đúng đoạn nhiệt Về phơng diệntoán học, điều kiện này chính là: Y•( )t = 0 Khi đó từ (1.30), chúng ta có:

M V( )t

iM

a t

Y

t V M a t Y iM

x c s

x c

s

τ

τ

1 )

(

) ( )

(

1 0

(

2

t V M iM

a M iM t

c s

x s

Γ Γ

=

∑

0 0 0

0

0 22 21

12 11

(1.39)

Với: