Ảnh hưởng của trường laser lên sự gia tăng phonon trong siêu mạng bán dẫn

Việc nghiên cứu các cấu trúc với khí điện tử thấp chiều ngày naytrở thành một mũi nhọn của vật lý có quan hệ rất chặt chẽ với sự phát triểnmạnh mẽ sâu rộng của các lĩnh vực công nghệ khá

Ch¬ng 2 T¸c dông cña trêng laser lªn sù gia t¨ng phonon trong siªu

2.2 Sù gia t¨ng phonon do t¸c dông cña trêng laser 31

2.2.1 Trêng hîp khÝ electron kh«ng suy biÕn 35

2.3 Kh¶o s¸t sè ¶nh hëng cña trêng laser lªn sù gia t¨ng phonon 38

2.4 KÕt luËn

42

Ch¬ng 3 T¸c dông cña trêng laser lªn sù gia t¨ng phonon trong siªu

3.2 Sù gia t¨ng phonon do t¸c dông cña trêng laser 48

3.2.1 Trêng hîp khÝ electron kh«ng suy biÕn 48

3.2.2 Trêng hîp khÝ electron suy biÕn 49

3.3 Kh¶o s¸t sè ¶nh hëng cña trêng laser lªn sù gia t¨ng phonon 52

3.3.1 Trêng hîp khÝ ®iÖn tö kh«ng suy biÕn 523.3.2 Trêng hîp khÝ ®iÖn tö suy biÕn 53

Mở đầu

Những tiến bộ của vật lý chất rắn trong hai thập kỷ cuối của thế kỷ XX

đ-ợc đặc trng bởi sự chuyển hớng đối tợng nghiên cứu chính từ các khối tinh thểsang các màng mỏng và các cấu trúc nhiều lớp [7] Trong các đối tợng mới nóitrên, hầu hết các tính chất của điện tử đều bị thay đổi một cách đáng kể, đặcbiệt là một số tính chất mới [9-12], khác biệt so với trong vật liệu khối, gọi làhiệu ứng giảm kích thớc Trong các cấu trúc có kích thớc nhỏ và thấp chiều, cácquy luật lợng tử bắt đầu có hiệu lực, trớc hết thông qua việc biến đổi đặc trngphổ năng lợng Phổ năng lợng của hệ điện tử trở thành gián đoạn dọc theo hớngtoạ độ giới hạn, do đó đặc trng của hạt dẫn trong các cấu trúc kích thớc lợng tửtơng tự nh khí điện tử thấp chiều

Với sự phát triển cao của kỹ thuật trong nuôi tinh thể nh epitaxy chùm phân tử(MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCVD: Metal-Organic ChemicalVapor Diposition), ngời ta đã tạo ra rất nhiều hệ với cấu trúc nanô Ngày nay đãtồn tại những cấu trúc nanô phẳng hai chiều nh siêu mạng và giếng (hay hố) l-ợng tử (Quantum wells), cấu trúc một chiều gọi là dây lợng tử (Quantum wires),

và các chấm lợng tử (Quantum dots)

Việc nghiên cứu các cấu trúc với khí điện tử thấp chiều ngày naytrở thành một mũi nhọn của vật lý có quan hệ rất chặt chẽ với sự phát triểnmạnh mẽ sâu rộng của các lĩnh vực công nghệ khác, nh công nghệ epitaxy trongnuôi tinh thể (Moleculer Beam Epitaxy-MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ(MOCVD: Metal-Organic Chemical Vapor Diposition), ngời ta đã tạo ra rấtnhiều hệ với cấu trúc nanô phẳng hai chiều nh siêu mạng và giếng (hay hố) lợng

tử (Quantum wells), cấu trúc một chiều gọi là dây lợng tử (Quantum wires), vàcác chấm lợng tử (Quantum dots) Các công nghệ này cho phép ta chế tạo ra cáccấu trúc với thành phần tuỳ ý và với độ chính xác tới từng lớp đơn phân tử riêng

lẻ Các cấu trúc đó đợc ứng dụng ngày càng phổ biến trong các loại linh kiệnbán dẫn, đặc biệt để đáp ứng các nhu cầu trong lĩnh vực quang điện tử [22,41].Công nghệ laser cho phép chúng ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới trong các

hệ cấu trúc thấp chiều, trong đó tơng tác của chùm laser với hệ điện tử là phituyến, chẳng hạn hiệu ứng gia tăng phonon, hiệu ứng cộng hởng tham số, vàkích thích các dao động cao tần [40,42] Các hiệu ứng này đã trở thành cácnguyên lý cơ bản của nhiều ứng dụng của vật lý vào kỹ thuật hiện đại, đặc biệt

là các ứng dụng vật liệu mới Nghiên cứu sự gia tăng phonon trong bán dẫn dohấp thụ bức xạ laser là một trong những hớng nghiên cứu cơ bản đó

Tơng tác điện tử-phonon dẫn đến sự tái chuẩn hoá phổ phonon vàtạo ra cơ chế bẩy bắt phonon Vì vậy, các trờng ngoài nh trờng laser làm thay

đổi phổ và các trạng thái của điện tử cũng ảnh hởng đến phổ của phonon và bẩy

bắt phonon Đã có nhiều công trình nghiên cứu vấn đề này nh trong bán dẫnkhối [28,33,39], dị cấu trúc bán dẫn [29], hố lợng tử bán dẫn [25,26,43], vàtrong siêu mạng bán dẫn [23,34] đã kết luận rằng tơng tác của trờng laser vớibán dẫn, thông qua tơng tác điện tử-phonon, làm gia tăng phonon.

Cũng giống nh sóng điện từ là các lợng tử bức xạ gọi là photon, thì ứng vớidao động của nguyên tử trong chất rắn đó là chuẩn hạt phonon [14,11] Do đó,thay vì nói rằng biên độ dao động nguyên tử trong chất rắn tăng, ta có thể nói làphonon mới đợc sinh ra Hiệu ứng gia tăng phonon do hấp thụ năng lợng của tr-ờng laser đã chỉ ra rằng tơng tác phi tuyến của ánh sáng laser với hệ điện tử -phonon khi thoả mãn các điều kiện về năng-xung lợng

Luận văn này đi sâu nghiên cứu sự gia tăng phonon khi chùm ánh sánglaser đi qua cấu trúc vật liệu bán dẫn thấp chiều đó là siêu mạng bán dẫn(semiconductor superlattics - SL), tìm các điều kiện về xung lơng và năng lợng

để xảy ra hiệu ứng gia tăng phonon, khảo sát ảnh hởng của trờng laser lên tốc

độ gia tăng và tìm hai tham số là tần số và cờng độ trờng laser để tốc độ giatăng là lớn nhất

Nội dung luận văn đợc trình bài với bố cục gồm phần mở đầu, kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn gồm ba chơng Chơng 1 trình bàymột cách tổng quan về laser, về siêu mạng bán dẫn hợp phần (CSL) và pha tạp(DSL), dẫn ra phổ năng lợng và hàm sóng của điện tử trong từng loại siêu mạng,phơng pháp phơng trình động lợng tử trong bán dẫn khối dựa trên Hamiltoniancho hệ điện tử- phonon Chơng 2 trình bày tác dụng của trờng laser lên sự giatăng phonon trong siêu mạng bán dẫn hợp phần Nội dung bao gồm: thiết lậpphơng trình động lợng tử cho phonon trong siêu mạng nói trên khi có trờnglaser thông qua Hamiltonian của hệ điện tử-phonon; các tính toán và kết quảcủa việc giải phơng trình động lợng tử nhằm xác định điều kiện để đạt đợc giatăng phonon và tốc độ gia tăng phonon cho hai trờng hợp khí điện tử không suybiến và suy biến, cho hai loại phonon âm và phonon quang; nghiên cứu ảnh h-ởng của trờng laser lên các điều kiện để có sự gia tăng, lên tốc độ gia tăngphonon trong một siêu mạng thực tế Chơng 3 cũng nh chơng 2 nhng đối vớisiêu mạng pha tạp

Kết luận chung: Tổng hợp các kết quả nghiên cứu và rút ra kết luận.

• Phơng pháp nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu bài toán bằng phơng pháp lý thuyết bán lợng tửtrong đó trờng laser là cổ điển còn hệ hạt là lợng tử Do đó để có thể giải quyếttrọn vẹn bài toán cần áp dụng những phần kiến thức khác nh qui tắc Fermi vềxác suất chuyển dời lợng tử [25,26,28,29,33,39,43] hoặc các phơng pháp lýthuyết trờng lợng tử cho các hệ nhiều hạt trong vật lý thống kê [1-3,9,19,23]

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phơng pháp phơng trình động ợng tử (lý thuyết lợng tử) Phơng pháp này đã đợc sử dụng thành công trongnghiên cứu các hiệu ứng động, tính chất dịch chuyển và các tính chất quang

l-trong bán dẫn [4-6,12,36,37] Vì vậy luận văn này áp dụng các kiến thức cơ sởcủa nhiều môn học nh cơ học lợng tử, vật lý thống kê, lý thuyết trờng lợng tử,vật lý chất rắn, vật lý laser

Phơng pháp tính số thực hiện trên máy vi tính nhờ sử dụng phần mềmtính toán Mathematica, version 4.0

• Các đóng góp mới của luận văn

- Thiết lập các phơng trình động lợng tử cho trung bình thống kê của toán

tử số phonon cho cả hai loại siêu mạng CSL và DSL

- Từ các phơng trình động lợng tử, thiết lập tốc độ gia tăng phonon cho cảhai trờng hợp khí điện tử suy biến và không suy biến, cho hai loại siêu mạngCSL và DSL

- Xác định điều kiện để đạt đợc gia tăng phonon cho từng loại phonontrong hai loại siêu mạng CSL và DSL

- Khảo sát ảnh hởng của trờng laser (biên độ và tần số) lên các điều kiện

và tốc độ gia tăng phonon trong các trờng hợp trên

Một số kết quả của luận văn đã đợc trình bày tại Hội nghị Vật lý lýthuyết Toàn quốc Lần thứ XXVIII, Sầm Sơn 11-14/8/2003, và dới dạng các bàibáo đã đợc nhận đăng trong Tạp chí Khoa học- Đại học Vinh, Tạp chí Khoahọc- Đại học Huế, Thông tin Khoa học Kỹ thuật Quân sự (Chuyên san của cácviện nghiên cứu trong quân đội)

Chơng 1 Tổng quan về Laser, siêu mạng bán dẫn- Phơng pháp

phơng trình động lợng tử 1.1 Tổng quan về laser [7,13]

1.1.1 Khái niệm và một số tính chất của laser

Laser là viết tắt của cụm từ ( Light Amplification by Stimulated Emission

of Radiation) có nghĩa là khuyếch đại ánh sáng bằng bức xạ cảm ứng

Nh ta đã biết, xác suất chuyển dời bức xạ cỡng bức bằng xác xuất hấpthụ Trong trờng hợp cân bằng nhiệt số nguyên tử ở trạng cơ bản lớn hơn sốnguyên tử ở trạng thái kích thích, do đó khi xét tơng tác giữa trờng và nguyên

tử thì số bức xạ có thể bỏ qua

Nếu một khi số nguyên tử đó thay đổi sao cho số nguyên tử ở trạng tháikích thích nhiều hơn số nguyên tử trạng thái cơ bản; tức là có sự nghịch đảo độtích luỹ, thì nhờ có một bức xạ tự nhiên đủ nhỏ đi qua môi trờng hoạt này sinh

ra các bức xạ cỡng bức, số bức xạ cỡng bức này sẽ nhiều hơn số bức xạ hấp thụ.Chính lúc này có khả năng đạt đợc một sự khuyếch đại của cờng độ ban đầu, vàthông qua phản hồi ngợc tơng ứng nhờ buồng cộng hởng, cuối cùng sẽ đạt đợc

điều kiện tự kích

Điều kiện tiếp theo là ta phải đạt đợc sự phản hồi ngợc và ta phải chọn

đ-ợc sao cho dải tần hẹp đối với trờng tơng tác, khi đó mới có khả năng khuyếch

đại hiệu quả thông qua bức xạ cỡng bức

Việc nghiên cứu nguyên lý này đã dẫn đến thành công việc trong nghiêncứu và thiết kế chế tạo laser

Laser là nguồn sáng có nhiều tính chất đặc biệt đó là tính định hớng, tínhkết hợp thời gian và mật độ phổ năng lợng cao Các laser ngày nay có bớc sóngtrên một vùng phổ rộng từ vùng phổ tử ngoại (đến 0,2 àm) và đến miền hồngngoại (20 àm)

1.1.2 Một số loại laser

Nhờ sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ hiện đại, ngày nay đã có nhiềuloại laser đã đợc chế tạo và ứng dụng Sau đây chúng tôi giới thiệu ra một sốloại laser thông dụng trong nghiên cứu trong tơng tác laser với siêu mạng bándẫn:

1 Laser CO2: bớc sóng 10,6 àm, hoạt động ở chế độ liên tục với công suất

cỡ đến hàng trăm W, chế độ xung với công suất cở hàng chục đến hàngtrăm kW

2 2 Laser vibronic, laser - OPO: bớc sóng 0,8 - 2,1 àm, hoạt động ở chế độxung, tần số lặp cao, công suất cỡ MW

3 3 Laser rắn Nd:YAG hoặc Nd: Thuỷ tinh: bớc sóng 1,06 àm, hoạt động ởchế độ tự do ( xung cở hàng trăm às công suất kW), ở chế độ biến điệu( xung 0,5-25 ns, công suất MW và độ lặp 1-20Hz và thậm chí lớn hơn)

4 Laser khí He-Cd: bớc sóng 0,48 - 0,5 àm, hoạt động ở chế độ liên tục,công suất cỡ W

5 Laser hoá học: bớc sóng 0,48 - 0,55 àm, hoạt động ở chế độ xung, côngsuất phụ thuộc vào cấu tạo, khối lợng hoạt chất

6 Laser bán dẫn: bớc sóng 0,8 - 1,5 àm, hoạt động ở chế độ xung lặp cao,công suất cỡ mW

Nhờ những tính chất đặc biệt của Laser nh tính định hớng cao, tính kếthợp thời gian Tính kết hợp thời gian và mật độ phổ năng lợng cao đáp ứng đợc

điều kiện gia tăng phonon nh một số Laser CO2, Laser vibronic, Laser rắnNd:YAG hoặc Nd v.v

ta có thể thấy siêu mạng là những cấu trúc tuần hoàn nhân tạo của các lớp vậtliệu có hằng số mạng gần bằng nhau, trong đó ngoài thế tuần hoàn của tinh thể,các điện tử còn phải chịu thế tuần hoàn do siêu mạng tạo ra với chu kỳ lớn hơn

hằng số mạng rất nhiều Thế phụ tuần hoàn đợc tạo nên bởi sự khác biệt của cácmức năng lợng của các vùng dẫn thuộc hai bán dẫn cấu thành mạng [16,31,35]

Một cấu trúc gồm một lớp mỏng bán dẫn (ký hiệu là lớp A) có độ dày d A

nằm giữa hai lớp bán dẫn mỏng khác (ký hiệu là B) có độ dày dB Hớng vuônggóc với các lớp trên sẽ là trục 0z Thực tế tồn tại các cấu trúc gồm nhiều lớpmỏng kế tiếp dới dạng B/A/B/A , trong đó dB >> d A(hình 2) Cấu trúc nh vậytạo ra các hố lợng tử đa lớp (multiple quantum well) Các siêu mạng và các hố l-ợng tử đa lớp là tơng đơng nhau về mặt cấu trúc nhng khác nhau một điểm làtrong hố lợng tử đa lớp thì khoảng cách giữa các hố lợng tử đủ lớn để cản khôngcho các điện tử xuyên theo hiệu ứng đờng ngầm từ hố này sang hố khác, còntrong siêu mạng, độ rộng của lớp ngăn cách đủ hẹp để các điện tử có thể xuyênqua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó thế siêu mạng có thể coi nh một thếtuần hoàn bổ sung vào thế của tinh thể

g

ζ của bán dẫn A nhỏ hơn độ rộng vùng B

g

hố thế giam giữ các hạt trong một lớp mỏng Vì vậy, việc nghiên cứu biên củacác vùng có tính chất quyết định trong việc tạo ra các thiết bị có giam giữ lợng

tử Nói chung điểm biên này thay đổi trong miền tiếp xúc của hai bán dẫn, vìthế tạo ra hình dạng thay đổi thế năng tại chổ tiếp xúc khá phức tạp Tuy nhiên,các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng sự thay đổi thế năng xẩy

ra một cách khá đột biến và tạo ra một hố chữ nhật Vì vậy, hố thế hình chữnhật là gần đúng tốt đối với thế giam giữ trong hầu hết các hố lợng tử [35,38]

Các siêu mạng CSL đợc phân thành ba loại mà sơ đồ năng lợng đợc môtả nh trong hình vẽ 1, trong đó các đờng đứt ( -) mô tả mức năng lợng của cáchạt bị giam giữ Chu kỳ siêu mạng d đợc xác định bởi độ dày hai lớp:

B

A d d

Độ sâu của hố lợng tử đối với các điện tử đợc xác định bởi hiệu của các cực tiểucủa các vùng dẫn của các bán dẫn A và B:

B c A c c

r = ∆ = − = ∆ + ∆ =

nghĩa là thế của siêu mạng bằng tổng của năng lợng chênh lệch của vùng dẫn và

độ chênh lệch của vùng hoá trị của hai lớp bán dẫn A và B tạo thành siêu mạng

Đặc trng của các loại hố thế đợc phân biệt nh trên hình vẽ 2

- Loại I: Cả điện tử và lỗ trống đều bị giam nhốt trong cùng một lớp A.

Điển hình loại này là CSL đợc tạo bởi GaAs/ GaAlAs, cấu phần Al mole ít hơn0.3 Trong luận văn này chúng ta chủ yếu đi sâu vào loại này

- Loại IIA: Còn đợc gọi là bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp Lỗtrống bị giam trong lớp A, còn điện tử bị giam trong lớp B, trong đó lớp A tạo từGaAs với độ dày nhỏ hơn 2nm, còn lớp B đợc tạo từ AlAs

- Loại IIB: Giống nh bán dẫn với khe năng lợng không hay khe năng lợngnhỏ vì không có hay có khe năng lợng rất nhỏ giữa các điện tử ở trong lớp A vàcác lỗ trống ở trong lớp B Đây là trờng hợp đặc biệt của loại IIA Siêu mạngInAs/GaSb là ví dụ điển hình [8]

Trong cả ba loại trên ta luôn có B

g A

ζ < và ∆v < ∆c.Loại III: Loại này có thể tạo ra một siêu mạng từ một bán dẫn thông th-ờng và một bán dẫn khác với khe năng lợng bằng không (zero-gap)

ζ

A g

ζ

v

∆

A v

A c

ζ ζ

B c

ζ

B v

ζ

B v

ζ

A v

A c

ζ ζ

B c

VB

A g

A c

ζ ζ

Siêu mạng pha tạp

Các hố thế trong siêu mạng cũng có thể đợc tạo từ hai bán dẫn đồng nhấtnhng đợc pha tạp một cách khác nhau Khi đó siêu mạng này đợc gọi là siêumạng pha tạp (Doped Semiconductor superLattice-DSL) có cấu trúc n-i-p-i(Hình 3) Chẳng hạn, bằng kỹ thuật MBE, ngời ta đã tạo đợc các siêu mạng phatạp n-i-p-i với độ dày các lớp cỡ 10-103 o

A từ GaAs: các lớp GaAs pha tạp loại

n (GaAs:Si) và pha tạp loại p (GaAs:Be) xen kẽ với nhau bởi các lớp GaAskhông pha tạp

VB

B c

ζ

A gζ

ζ

A v

ζ

1.2.2 Cấu trúc vùng năng lợng của siêu mạng hợp phần loại I (CSL)

Giả sử rằng độ rộng của hố lợng tử và hàng rào thế đủ nhỏ để xuấthiện các vùng năng lợng mini Các vùng năng lợng mini mô tả bởi sự phân chianhỏ hơn các vùng năng lợng ở gần biên của chúng Vectơ sóng theo phơng trụcsiêu mạng đợc xác định trong vùng Brillouin mini thứ nhất, trong khoảng:

d k

Phơng trình Schro  dinger đối với các vùng năng lợng đẳng hớng, không suybiến có dạng [24,38]:

) ( )

( ) ( ) ( 2

) (

2

r r

r r

m

s

c Ψ = Ψ

∆ +

∆Ψ

trong đó ∆c (r) là độ sâu hố thế đối với vùng dẫn đợc xác định theo công thức

(1.2)

Luận văn này tập trung nghiên cứu siêu mạng một chiều (∆c (r)= ∆c (z)

) Do thế siêu mạng ∆c (z) là tuần hoàn, cho nên hàm sóng Ψ(z) có dạngBloch,còn phổ đợc lợng tử hoá theo mức s (s-chỉ số mức)

Hàm sóng đầy đủ của các điện tử trong siêu mạng đợc xác định bởi tích củahàm bao Ψ(z) và hàm Bloch biến điệu tại các cực trị của vùng.

Phổ năng lợng của các siêu mạng một chiều là không đẳng hớng Khi thếsiêu mạng có ảnh hởng nhỏ đối với chuyển động của các điện tử theo phơngvuông góc với trục 0z, thì phổ của điện tử sẽ phụ thuộc vào thế của siêu mạng,

có dạng [31,38]:

) ( 2

) (

2 2 )

(

z s

Với k⊥cố định, đờng tán sắc ε (k z) của bán dẫn phân thành các vùng năng lợng

Brilluoin mini εs(k z), mà biên của chúng là tại k z = ± π /d Hình 4 mô tả sự táchvạch vùng năng lợng ε (k z) của bán dẫn thành các vùng năng lợng mini εs(k z)

của siêu mạng do tác dụng của thế siêu mạng với chu kỳ d Số các vùng năng

) k (

) k (

) k (

z o

z 1

z 2

ε ε ε

-π/da -π/d 0 π/d π/da

Hình 4

Các đặc điểm định tính của cấu trúc vùng năng lợng của các siêu mạngbán dẫn là giống nhau đối với các siêu mạng khác nhau, tức là có ∆(z) khácnhau Phổ εs(k z) bao gồm hàng loạt các vùng năng lợng mini không chồng

chập lên nhau Khi chỉ số vùng năng lợng mini s tăng thì độ rộng của khe năng

lợng mini giảm Nếu năng lợng của vùng mini nhỏ hơn cực đại của thế siêumạng U0 thì các vùng mini có độ rộng nhỏ và hàng rào trở thành có đờng ngầm.Khi đó vật rắn trở thành siêu mạng và năng lợng có thể đợc mô tả gần đúng liênkết mạnh nh [35,38]

d k

s( ) = ε − ∆ cos

trong đó εs là mức năng lợng của một hố lợng tử biệt lập mà siêu mạng đợc tạo

thành từ các hố thế này, | ∆s | là độ rộng của vùng năng lợng mini thứ s đợc xác

định bởi các tham số của siêu mạng Các vùng năng lợng mini nằm trên cực đạicủa siêu mạng U0 là những vùng rộng của phổ bậc hai thông thờng, đợc phânbiệt bởi các khe mini hẹp

Nh đã đã nói ở trên, chúng ta xét siêu mạng hợp phần loại I với các khenăng lợng tơng ứng là A

Chuyển động của điện tử theo phơng trục 0z của siêu mạng bị giới hạnbởi thế siêu mạng, phổ năng lợng bị lợng tử hoá Điều này tạo nên hàng loạt cácmức năng lợng gián đoạn εs đối với từng hố lợng tử riêng biệt Đối với εs<< ∆c

,thì εs có biểu thức :

2 2

2 2

) 1 ( 2 )

md

d

A A

ε  , s = 0, 1, 2 (1.9)

Bằng cách giải phơng trình (1.7) ta nhận đợc biểu thức năng lợng của

điện tử trong gần đúng liên kết mạnh có dạng [30,38]:

md m

2

2 2 2 2 )

trong đó ∆s(d B) là độ rộng của vùng mini thứ s, nó phụ thuộc vào độ rộng của

hàng rào thế dB Nếu độ rộng của hàng rào thế nhỏ (cở d B ≤ 500nm) thì các vùngmini có độ rộng đáng kể đối với chuyển động dọc theo trục siêu mạng

Nh vậy mức năng lợng gián đoạn εs có thể đợc chọn bằng cách thay đổi

độ rộng của hố lợng tử dA, và độ rộng của vùng mini ∆s(d B) đợc chọn qua lựachọn độ rộng dB của hàng rào thế

1.2.3 Cấu trúc vùng năng lợng của siêu mạng pha tạp (DSL)

Trong các siêu mạng pha tạp, sự phân bố điện tích đóng vai trò quyết

định việc tạo nên thế siêu mạng Về mặt tinh thể học, các siêu mạng này có một

số u điểm so với các siêu mạng hợp phần Số nguyên tử pha tạp luôn ít hơn sốnguyên tử không pha tạp trong bán dẫn gốc Việc đa các tạp chất vào không ảnhhởng đến cấu trúc mạng tinh thể gốc Không có các giới hạn đối với việc chọnbán dẫn gốc Cấu trúc vùng năng lợng của một siêu mạng pha tạp đợc mô tảtrong hình 5

2Uo

eff goζgo

Nếu mật độ của các chất pha tạp không quá cao và số các acceptor trongcác lớp p bằng số các donor trong các lớp n thì tất cả các tâm donor trong siêumạng pha tạp đều tích điện dơng, còn tất cả các tâm acceptor đều tích điện âm.

Sự đóng góp của các tạp chất ion hóa vào thế siêu mạng đợc xác định bởinghiệm của phơng trình Poisson:

[ ( ) ( )]

4 )

2

2

z n z n

e dz

z U d

A D

i

i U dz

z dU

,

|

| 2

2 2

2

|

| ,

2 )

2

2 2

P o

A o

n o

D

i

d z

d z

d n e U

d z z

n e z U

κ π κ

, 4

|

|

2 ) (

2

P n

n o

A i

d d z d d

z n e z

ở đây U0 là biên độ của U i (z)

p A n

n e U

4 4

2 2

Các hạt mang dòng linh động (điện tử: n(z); lỗ trống: p(z)) cho ta đóng góp

2

) '' ( ) '' ( '' '

H e dz dz n z p z V

( ) ( ) (z U z U z U z

còn n(z) và p(z) đợc tính theo phơng pháp hàm năng lợng.

Phơng trình Schro  dinger một điện tử có dạng:

) ( ) ( )

( ) ( 2

) (

2

r k r

z U

n nk

( ) ( 2

) (

2

r k

r z

)

) (

z n

Trong phần lớn các trờng hợp, tơng tác giữa các hố thế lân cận có thể bỏqua, nghĩa là bỏ qua sự phụ thuộc của năng lợng vào kz Khi đó hàm bao códạng:

) (

với εn là trị riêng trong một hố lợng tử biệt lập.

Đối với siêu mạng pha tạp có d n =d p =d/ 2 và có nồng độ pha tạp nD=nA

thì thế tuần hoàn của điện tích có dạng parabol (1.13) với biên độ (1.15)

0

2 2

= +

1 2

2 ) (

2 2 2

2 )

m

k m

1.3 Phơng trình động lợng tử để nghiên cứu gia tăng phonon

Chúng ta xét hệ điện tử và phonon trong bán dẫn khối Nếu bỏ qua các

t-ơng tác của các hạt cùng loại, tức là tt-ơng tác điện tử-điện tử và tt-ơng tác phonon, Hamiltonian của hệ điện tử-phonon có dạng [2,3]:

+

+ +

p

q q

q q p

p

p p ph

e ph

trong đó a+p ,a p và b q+,b q lần lợt tơng ứng là các toán tử sinh, huỷ của điện tử

ε = là năng lợng của phonon với vectơ sóng q, C q là hằng số tơng tác

điện tử-phonon và phụ thuộc vào cơ chế tơng tác điện tử-phonon

Để hiểu rõ và nắm vững phơng pháp phơng trình động lợng tử, chúng taxem xét sự gia tăng phonon trong bán dẫn khối [12] Ta xét trờng hợp bán dẫnkhối đặt trong trờng laser; laser là sóng điện từ phẳng, vectơ cờng độ điện trờng

t e

E

E= o⊥cos Ω vuông góc với phơng truyền sóng và thế vectơ A(t) của nó:

t e

cE t

) (

) ( 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

,

2 2

+ +

+ +

−

+ +

q

q q p

p p

ph e ph e

b b a a C b

b a

a t A c

e p m

H H H H

Gọi Nq( t ) =< bq+bq >t là số phonon trung bình tại thời điểm t Dới tác

dụng của trờng laser, hệ điện tử-phonon trở nên không cân bằng Khi chúng tatập trung nghiên cứu sự gia tăng phonon, để cho đơn giản, có thể giả thiết rằnghàm phân bố của điện tử không thay đổi theo thời gian, chỉ có số phonon thay

đổi theo thời gian Sự thay đổi đó đợc diễn tả bởi phơng trình:

[ q q ] [t q q e] [t q q ph] [t q q e ph] t

q

H b b H

b b H

b b H

b b t

t N

∂

, ˆ

, ˆ

, ˆ

, )

C t F

C

i t

t N

trong đó ta đã sử dụng ký hiệu:

t q p p q

p

p t a a b

F   =< +  >

2 1 2

Để có đợc phơng trình động lợng tử cho N q(t), chúng ta phải tìm cáchàm F có dạng (1.33), F p1,p2,q (t) thông qua các phơng trình động

1 2

1 2

) (

) (

'

1 1 2 1

' '

' ,

,

2 1

1 1 2 1 1 1

1 1

1 2 1 1 1

1

3

3 2 3 1 2

1

dt dt t A p p mc

ie t t i

b b b a a C b

b b a a C

a a a a C i

t F

t t q

p p

t q q q p q p

t q q q p q p

t

q p

− +

+ + +

− +

+ +

∞

−

+ +

(1.35)

Hàm phân bố của điện tử không phụ thuộc thời gian có dạng:

) ( )

1 2

()'())(1)(

(1)'(

)()'

(exp

)(1

)()'())(1)(

(1)'(

|

|1

)

(

' 1 1

' 1 1

2 2

dt dt t A mc

q ie t t i

p f q p f t N q p f p f t N

dt t A mc

q ie t t

i q

p f

p f t N p f q p f t N C

p q p

q q

t

t q

p q p

q q

p

t q q

εεε

Lấy tích phân trong (1.37) theo t 1 và chú ý rằng

A(t1 ) c E0cos t1 cE0e cos Ωt1

Ω

= Ω Ω

ta có

(sin sin ')

cos )

'

1 1 '

0 1

m

e q eE dt t m

e q eE dt t A q mc

e t

t

t t

Ω

− Ω Ω

= Ω Ω

) ( )

) ( ) ( )

' sin (sin

exp

, 2

2

m

e q eE i

()'())(

1)(

(1)'(

)'(exp

)(1)()'())(1)(

(1)'(

exp

|

|1)

(

,

2 2

dt t

t l i

p f q p f t N q p f p f t N

t t l i

q p f p f t N p f q p f t N

t l

i J

J C

t

t

N

q p q p

q q

q p q p

q q

t

l q

εεε

ν

ν ν

e o 

(1.39)

Trên đây ta đã xem xét việc thiết lập phơng trình động lợng tử cho phonontrong bán dẫn khối khi có mặt trờng Laser mạnh Phơng pháp này sẽ đợc áp

dụng để thiết lập phơng trình động lợng tử cho phonon trong siêu mạng hợpphần và siêu mạng pha tạp Đây là một kết quả quan trọng của các chơng sau.

) (

) , ' , (

) ( ˆ

ˆ ˆ ) (

) '

, ,

) ' (

) ( ) ( )

( ,

+

− +

+

−

+ +

q q s k s

q k

s q k

q q q q s

k s k s

s k ph e ph e

b b a a s s q U

b b a

a t A c

e k H

H H t H

dz z iq z

z q

gọi là hệ số dạng, ϕs (z) là hàm sóng của trạng thái thứ s trong một hố thế độc

lập (thế tuần hoàn siêu mạng tạo thành từ các thế này), N là số chu kỳ của siêu

mạng, C q có dạng cụ thể phụ thuộc vào cơ chế tơng tác Cụ thể là

- Tơng tác electron-phonon âm [32]:

V v

q C

a

q ρ

ξ 2

|

|  2=  2

(2.4)trong đó ξ là thế biến dạng, ρ là khối lợng riêng của tinh thể, v a là vận tốc phonon âm, V là thể tích.

- Tơng tác electron-phonon quang [32,43]: xem phonon quang có tần số0

ω π

V q

e

trong đó χ0 và χ ∞ tơng ứng là độ thẩm điện môi tĩnh và cao tần

Cần lu ý rằng trong gần đúng trên hệ electron là chuẩn 2 chiều nhng hệphonon là 3 chiều Gần đúng này đợc thực hiện khi xét các hiệu ứng tơng tácelectron-phonon trong các siêu mạng có bề rộng lớn [24]

Tơng tự nh trong [2,42], đễ xác định số phonon trung bình ta đa ra địnhnghĩa là:

t q q t

q q

q t q q

t

i t

t N

Thay (2.1) vào (2.7) và tính toán ta dẫn đến phơng trình vi phân:

',,

* )'(

)(

)(

),' ,(

)(

ss k

t q

s qk

s k t

q

s k

s qk

q

b a a ss q U b a a ss q U

i t

Vì trong phơng trình (2.8) có chứa các trung bình thống kê có dạng (1.33) nên

ta phải lập phơng trình để xác định các lợng này Dùng ký hiệu:

) (

' , ' , )

( ' ) '

q k k t q s k

( )

' ,' , )

( ' ) '

t b

a a t

s s q k k s

s q k k t

q s k

A c

e k

i t

+

−

+ +

+

− +

∑

∑ ∑

∑

' )

( '

)' ( 1 1

)' ( '

) ' (

' , ,

' ) ' ( ) ( '

) ( )' ( 1 1

) (

) ,' , (

) (

) , ' , (

) ' , , ( )

(

1 1

1 1 1

1

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

t q q q

s q k

s k s

s k

s q k s

s s k

t

s k

s k

s q k

s k

b b b a a s s q U

b b b a a s s q U

a a a a s s q U

i t B

Sử dụng phơng pháp biến thiên hằng số để giải phơng trình (2.10), sau đó thayphổ năng lợng (2.2) vào, ta nhận đợc:

exp ) ' (

'

1 1

' )

( )'

( )

k

i t

B b

a

a

t

t q

s s

t t q

))(1)(

()'())(1

)(

(1)'(

)'sin(sin

)'(exp

)(1

)()'())(1)(

(1)'(

|)(

|1)

(

2 )'

( )

(

) ( )'

( )'

( )

(

2 )

( )'

(

)' ( )

( )

( )'

(

' ,

2 ' 2

dt t t

m

q e ieE t t q

k k

i

k f q k f t N q k f k f t N

t t

m

q e ieE t t k

q k i

q k f k f t N k f q k f t N

q M C t

t

N

o q

s s

s s

q s

s q

o q

s s

s

t

s q s

s q

s k

ss q q

ε

εε

ε

(2.14)

Để nhận đợc (2.14), vì chúng ta đang chú ý đến tính không ổn định của hệphonon mà thôi, nên ta đã giả thuyết rằng hệ electron ở trạng thái cân bằng, cóhàm phân bố không phụ thuộc vào thời gian <a k(s)+a k(s)>t≡ f(s)(k) Điều này là đ-

) ( ) ' ( ))

( 1

)(

( 1 ) ' (

) ' ( )

( )

( exp

) ( 1

) ( ) ' ( ))

( 1

)(

( 1 ) ' (

) ( exp /

/ )

( 1

)

(

)' ( )

(

) ( )'

( )'

( )

(

) ( )'

(

)' ( )

( )

( )'

(

' ,

2 ' 2

dt t

t q

k k

i

k f q k f t N q k f k f t

N

t t k

q k i

q k f k f t N k f q k f t

N

t i

J J

q M C t

t

N

q s

s

s s

q s

s q

q s

s

t

s s

q s

s q

s s k

ss q q

Λ Ω Λ

ε

εε

ε

σ

σ σ

(2.15)

ở đây J(z) là các hàm Bessel bậc  đối số z.

Phơng trình (2.15) có dạng giống với phơng trình động học cho phonontrong hố lợng tử (phơng trình (8) của F Peng [29] hoặc phơng trình (9) của P.Zhao [43]), trong đó các tác giả này đã tìm đợc bằng các phơng pháp khác Ưu

điểm của phơng pháp mà chúng tôi sử dụng ở đây là nhờ phơng pháp lợng tửhóa lần thứ hai Nhờ đó một số tính chất lợng tử của hệ hạt đồng nhất sẽ bộc lộqua sự ràng buộc của vectơ sóng và năng lợng

Việc giải phơng trình (2.15) là rất phức tạp và có thể nói rằng trong trờnghợp tổng quát là không thể đợc Tuy nhiên, trong một số trờng hợp riêng gần

đúng (chẳng hạn khi xem tơng tác electron-phonon nh một nhiễu loạn, đồng

thời số phonon thỏa mãn điều kiện N q (t) >> 1, phơng trình (2.15) có dạng đơngiản:

ì

Ω Λ

−∞

=

) ' ( )

( ) ( exp

) ( )

(

) ' ( )

( ) ( exp

) ( )

(

) ' ( ' /

) ( 1

)

(

) ' ( )

( )

' ( )

(

) ( )

' ( )

( )

' (

' ,

2 2 ' 2

t t q

k k

i q

k f k f

t t k

q k i

k f q k f

t N dt J

q M C t

t

N

q s

s s

s

q s

s s

s

t q s

k

ss q q

ε

ε ε

ε

(2.16) Phơng trình (2.16) sẽ đợc sử dụng để nghiên cứu sự gia tăng phonon trongsiêu mạng bán dẫn hợp phần

2.2 Sự gia tăng phonon do tác dụng của trờng laser

Sử dụng phép biến đổi Fourier:

dt e t N

ì

Ω Λ

∞

−

∞ +

−∞

=

∞ +

∞

−

− +∞

' ( )

( )

' ( )

(

' )

( )

' ( )

( )

' (

' ,

2 2

' 2

'

) ' ( )

( )

( exp

) ( )

(

) ' ( )

( ) ( exp

) ( )

(

' ' ) ' ( /

) ( 1

' )

' ( 2

1 ) ' ( ) (

t i q

s s

s s

t i q

s s

s s

s s k

q ss

q

t i q q

e t t q

k k

i q

k f k f

e t t k

q k i

k f q k f

dt d N J

q M C

d e N i

t

t N

ω ω ω

ε ε

ε

ε ε

ε

ω ω

ω ω

π ω

và khi t' → −∞ thì eδt' → 0 Ta có: