Ảnh hưởng của tốc độ phân rã lên sự tạo thành hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ của hệ nguyên tử 87 rb ra mức cấu hình lamđa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THANH HOÀI ẢNH HƯỞNG CỦA TỐC ĐỘ PHÂN RÃ LÊN SỰ TẠO THÀNH HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CỦA HỆ NGUYÊN TỬ 87Rb MỨC CẤU HÌNH LAMĐA VIN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH HOÀI

ẢNH HƯỞNG CỦA TỐC ĐỘ PHÂN RÃ LÊN SỰ TẠO THÀNH HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CỦA HỆ NGUYÊN TỬ 87Rb MỨC CẤU

HÌNH LAMĐA

VINH , 2011

MỞ ĐẦU

Kể từ thập niên 60 của thế kỷ trước, với sự ra đời của nguồn sáng laser– có tính kết hợp cao, độ đơn sắc và cường độ mạnh đã giúp cho các nhà khoahọc phát hiện được các hiện tượng vật lí mới xẩy ra bên trong hệ nguyên tử.Một trong những hiện tượng đó là sự giao thoa lượng tử xẩy ra giữa các kênhdịch chuyển bên trong hệ nguyên tử khi bị kích thích kết hợp bởi hai trườnglaser đã được khám phá trong khoảng vài chục năm trở lại đây Hệ quả của sựgiao lượng tử là tạo ra môi trường “ trong suốt ” đối với một chùm laser (laserdò) dưới sự kích thích của một chùm laser khác (laser điều khiển) ngay cả khitần số của trường laser trùng với tần số cộng hưởng của nguyên tử, tức là hệ sốhấp thụ của chùm dò khi đi qua môi trường này bị giảm đáng kể thậm chí bằng

không Hiện tượng này thường được gọi là hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (Electromagnetically Induced Transparency – EIT) Lý thuyết về hiệu ứng

EIT được nhóm Harris đề xuất năm 1989 và được kiểm chứng bằng thựcnghiệm năm 1991 thực hiện với nguyên tử Cs ba mức cấu hình lambda đượclàm lạnh bằng kỹ thuật làm lạnh laser và bẫy quang từ tới nhiệt độ cỡ nK bởinhóm Herris [5,6]

Hiện nay việc nghiên cứu về hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trongcác môi trường khác nhau (môi trường nguyên tử lạnh, môi trường hơi nónghay môi trường tinh thể ) đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiêncứu trên thế giới cả về hai phương diện lý thuyết và thực nghiệm Bởi vì nó cónhiều triển vọng ứng dụng trong khoa học và công nghệ như: tạo các bộchuyển mạch quang học, làm chậm vận tốc nhóm ánh sáng, xử lý thông tinlượng tử, tạo laser không đảo lộn mật độ cư trú, phổ phân giải cao, tăng cườnghiệu suất các quá trình quang phi tuyến …

Trong vài năm trở lại đây, nhóm quang học quang phổ Trường Đại họcVinh đã nghiên cứu về sự hình thành hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ chohệ nguyên tử Rb ba mức với các cấu hình lamđa, bậc thang và chữ V được thể

hiện trong các luận văn thạc sĩ [3,4] Tuy nhiên, các nghiên cứu này mới chỉdừng lại cho hệ nguyên tử lạnh được giả thiết làm lạnh đến nhiệt độ cỡ nK Ởmôi trường này thì chúng ta có thể bỏ qua các ảnh hưởng của độ mở rộng phổnhư: mở rộng Doppler, mở rộng do va chạm Đây chỉ là những giả thiết lýtưởng khó có thể áp dụng được vào thực tế vì kỹ thuật làm lạnh rất phức tạp.

Tuy nhiên, trong môi trường nguyên tử ở nhiệt độ thông thường thì ảnhhưởng của các độ mở rộng này là đáng kể và sẽ làm giảm độ sâu của cửa sổEIT Vì vậy khi nghiên cứu hiệu ứng EIT trong môi trường ở nhiệt độ phòngthì cần thiết phải thêm vào quá trình phân rã này Với các lý do trên, chúng tôi

chọn đề tài: “Ảnh hưởng của tốc độ phân rã lên sự tạo thành hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện” làm luận văn thạc sĩ của mình.

Luận văn tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của tốc độ phân rã do vachạm trong môi trường nguyên tử ở nhiệt độ phòng lên sự tạo thành hiệu ứngtrong suốt cảm ứng điện từ của hệ nguyên tử 87Rb ba mức cấu hình lambda vàtìm được các thông số tối ưu của trường điều khiển cũng như của hệ nguyêntử Còn ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler hay do thăng giáng của laser thìchúng tôi không đề cập ở đây Chúng tôi cũng so sánh kết quả với trường hợpkhông kể đến ảnh hưởng của các tốc độ phân rã do va chạm

Nội dung của luận văn, ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo gồmhai chương:

Chương 1 Tương tác giữa nguyên tử với trường ánh sáng

Trong chương này, chúng tôi dùng hình thức luận ma trận mật độ để môtả tương tác giữa hệ nguyên tử hai mức và ba mức với ánh sáng theo quanđiểm bán cổ điển trong gần đúng sóng quay và gần đúng lưỡng cực điện.Chúng tôi cũng đề cập đến các quá trình phân rã như: phân rã tự phát và phânrã do va chạm, tương tác kết hợp và không kết hợp

Chương 2 Ảnh hưởng của tốc độ phân rã lên sự tạo thành hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ của hệ nguyên tử 87 Rb ba mức cấu hình lamđa

Trong chương này, chúng tôi giải hệ phương trình ma trận mật độ chohệ nguyên tử ba mức cấu hình lambda tương tác với hai trường laser khi kểđến các quá trình phân rã trong gần đúng lưỡng cực điện và gần đúng sóngquay Tìm ra được các hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc của môi trường đối vớichùm dò Sử dụng phần mềm Maple để khảo sát các kết quả tính toán được

So sánh với trường hợp không kể đến ảnh hưởng của các tốc độ phân rã do vachạm

Chương 1.

Tương tác giữa hệ nguyên tử với trường ánh sáng

1.1 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với ánh sáng

1.1.1 Hình thức luận ma trận mật độ

Ma trận mật độ là một phương pháp dùng để tính giá trị kỳ vọng của cáctoán tử ứng với các đại lượng vật lý cần đo trong trường hợp không biết hàmsóng một cách chính xác

Để đưa vào khái niệm ma trận mật độ chúng ta hãy xét một hệ lượng tửmà trạng thái của hệ được đặc trưng bởi hàm sóng  (r,t)

Hàm sóng  (r,t) được khai triển qua các hàm riêng U n (r) với cácgiá trị riêng C n (t):

 

r U t C t

n

n n n

n n

m m

m n

n m

n

C t

r A

t

r

,

* ,

*

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

, ( )

,



m n

n mn

Như vậy 

n m

n mn

C A

,

*

(1.3)Nếu ta không biết trạng thái chính xác của hệ thì sự thiếu thông tin này sẽ

được phản ánh trong độ bất định về giá trị của C n khai triển của  r, t Tuy nhiên, nếu có đầy đủ thông tin để tính được giá trị trung bình theo tập hợpcủa n

mn

n , m

n

*

m C A C

nm mn

n m nm mn

n m

n

C A

, ,

nm C C

nm

nm  

 , vì vậy  là ma trận mật độ tự liên hợp

Một kết quả quan trọng khác là    * 1

m

m

m C C A

Tr  Kết quả này được suy ratừ điều kiện chuẩn hóa

Kiểu lấy trung bình với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bình theotập hợp Quá trình này có thể giải thích như sau: người ta tạo ra một tập hợpgồm N hệ đủ lớn sao cho các hệ này gần như đồng nhất với nhau, theo mức độmà các thông tin không đầy đủ có được cho phép Sau đó, để các hệ này tiếntriển theo thời gian, thì cần phải được đặc trưng bởi một hàm trạng thái:

r t C  t U n r

n

j n j

j m n

m

N t C t C t

1

*

) (

 (1.8)Trung bình theo tập hợp là trung bình trên cả N hệ

Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía cạnhxác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo nn là xác suất để một

trong các hệ đó ở trạng thái U n r Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằngtrung bình theo tập hợp của n

n

* m n

 (1.11)Ở đây ta cần lưu ý rằng các phần tử ma trận mn là Héc mít, tức là:

đo hay có thể diễn tả sự tiến hóa theo thời gian của hệ lượng tử thông qua các

yếu tố thành phần của 

1.1.2 Phương trình ma trận mật độ

Hàm sóng của mỗi hệ thỏa mãn phương trình Schrodinger :

H r t

t

t r

C C t

m

m n nm

trong đó: [  ,H]  H  H Phương trình (1.17) là phương trình Liuville cho ma trận mật độ, nóđược áp dụng để mô tả tương tác của hệ nguyên tử với trường điện từ

1.1.3 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser

Chúng ta sẽ sử dụng thuyết bán cổ điển để khảo sát sự tương tác giữanguyên tử và bức xạ điện từ Một sóng điện từ biến thiên theo thời gian vàkhông gian tương tác với nguyên tử Để đơn giản trước hết ta xét hệ nguyên tử

gồm hai mức năng lượng tham gia vào quá trình này, | 1 là trạng thái cơ bảnvà | 2 là trạng thái kích thích.

Khi nguyên tử cô lập, Hamilton trong phương trình (1.13) là toán tửkhông phụ thuộc thời gian, phương trình sóng (1.13) có nghiệm dạng:

Giả sử hai trạng thái | 1 và | 2 tương ứng với hai hàm sóng 1 r và

 r

2

 ứng với năng lượng riêng E1 và E2

Từ (1.18), hàm sóng phụ thuộc thời gian tương ứng là :

1 rt  exp iE1t/ 1(r),

2 rt  exp iE2t/ 2(r) (1.19)Gọi tần số chuyển giữa hai mức là  0:

là Hamiltonian tương tác, H0 Là Hamiltonian tự do

Bản thân H phụ thuộc vào thời gian, phương trình sóng (1.13) không còn cónghiệm là các trạng thái dừng cho bởi (1.19) nữa

Nếu tần số ánh sáng gần bằng  0, chỉ có hai trạng thái nguyên tử liênquan đến quá trình bức xạ Hàm sóng tại thời điểm t là sự chồng chất tuyếntính của hai trạng thái:

 rt C1(t) 1(rt) C2(t) 2(rt).(1.22)

Theo điều kiện chuẩn hóa:

  rt 2dV C1(t)2 C2(t)2  1.(1.23)

Giả sử các hàm 1(r), 2(r) đã chuẩn hóa và trực giao, hệ số C1 và C2

chỉ phụ thuộc vào thời gian

Thế (1.19) vào (1.13) ta được:

dC t r i

t r C t r C

H I( 1 1( , ) 2 2( , ))  1( , ) 1 2( , ) 2 (1.24)

Nhân vế bên trái 2 vế của phương trình (1.24) với hàm sóng liên hợp phức

Ký hiệu các phần tử của ma trận HI:

Xét nguyên tử gồm hạt nhân và Z electron quay xung quanh, mỗielectron mang điện tích -e Nguyên tử tương tác với một sóng điện từ bị phân

cực Chúng ta sử dụng trường với phần thực phụ thuộc thời gian, độ lớn bánkính nguyên tử sử dụng bán kính Borh là a 2 me2 11m

Tổng mô men lưỡng cực điện của nguyên tử là -ed, trong đó:

r d

 12  (eE0X12 /  ) cos t, (1.30)  

X12 1 2

X là thành phần của d theo phương x, ta xét:

 eE0X12/ , 12   cos t (1.31)Vậy ta có thể viết phương trình (1.26) và (1.27) thành:

 cos texp( i0t)C2 idC1/dt,(1.32)

  cos texp(i 0t)C1 idC2/dt

Để tìm nghiệm tổng quát của các phương trình (1.32) và (1.33), ta xéttrường hợp tần số của trường điện từ dao động được phân bổ đều xung quanhtần số chuyển mức  0, bằng việc sử dụng lời giải gần đúng đúng bậc thấp của

 và gần đúng sóng quay Các kết quả này cũng có thể dựa trên giá trị trungbình của các kết quả thu được khi ánh sáng tới là đơn sác với tần số  tươngtác với hệ nguyên tử

Các thành phần của ma trận mật độ là :

1 2

*

12

  (1.36)Phương trình chuyển động của các phần tử ma trận mật độ được viết theo cáchệ số C1 và C2 là :

  (1.37)Thế các phương trình (1.32) và (1.33) vào (1.37) ta được:

22 11 icos t * exp(i0t) 12 exp( i0t) 21

dt

d dt

d

.(1.38.2)

Các phương trình (1.38) là phương trình Luiville của các phần tử ma trận mậtđộ

 Lời giải gần đúng sóng quay

Để giải các phương trình (1.38), chúng ta sử dụng phương pháp gầnđúng sóng quay

Từ các phương trình (1.38.1) và (1.38.2):

) exp(

i t

i t

i i dt

exp(

2

) exp(

) exp(

22 11 0

) (

exp(

) ) (

[exp(

2

1

22 11 0

* 11

2

1 )

( exp 2

i t

i i

dt

d dt

1

22 11

1.2 Các quá trình phân rã

Nguyên tử luôn luôn chuyển động vì nhiệt do đó phổ phát xạ và hấp thụtrong nguyên tử sẽ bao gồm các cơ chế mở rộng vạch phổ Độ rộng các vạchphổ thì phụ thuộc vào các tốc độ phân rã mật độ cư trú trong các trạng thái củahệ nguyên tử Sự phân rã của nguyên tử có nhiều nguyên nhân, ở đây chúngtôi chỉ xét hai nguyên nhân chính gây ra phân rã của nguyên tử từ trạng tháicao xuống các trạng thái có mức năng lượng thấp hơn Đó là quá trình phân rã

do phát xạ tự phát và quá trình phân rã do va chạm

1.2.1 Quá trình phân rã tự phát

Phát xạ tự phát là quá trình các nguyên tử đang ở trạng thái có mức nănglượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn (không

do ánh sáng gây nên) Nếu xác suất phát xạ tự phát của nguyên tử trên mộtđơn vị thời gian là P mnhoặc P nmvà P m, P n tương ứng là xác suất tìm thấynguyên tử ở trạng thái m và n Khi đó, theo định luật Boltzmann, P n được xácđịnh như sau:

. E n

kT n

P C e (n=1,2) (1.41)Xét hai mức | 1 và | 2 , E1và E2 là các giá trị năng lượng tương ứng,khi không có tác động của trường ánh sáng ngoài thì:

21 A21

dt

dP TN

 (1.42)Trong đó A21 là hệ số Einstein, hệ số này phụ thuộc bản chất nguyên tửvà chỉ xác định bằng thực nghiệm Gọi  là tốc độ phân rã trong phát xạ tựphát, ta có:

2  A21  1 / R (1.43)

1.2.2 Phân rã do va chạm

Sự mở rộng vạch phụ thuộc nhiều vào các điều kiện vật lý của cácnguyên tử Các hiệu ứng trội có kết quả từ sự chuyển động của nguyên tử là sựmở rộng Doppler và sự mở rộng do va chạm Trong giới hạn của luận văn,chúng tôi chỉ đề cập đến sự mở rộng do va chạm Khi xét đến quá trình vachạm, hàm sóng của nguyên tử có dạng rất phức tạp, các mức năng lượng củanguyên tử sẽ thay đổi bởi các lực tương tác giữa hai nguyên tử khi chúng vachạm với nhau, và hàm sóng sẽ trở thành tổ hợp tuyến tính của các hàm sóngnguyên tử không nhiễu loạn

Sự va chạm ảnh hưởng tới quá trình quang học theo sự thay đổi trong cáctrạng thái lượng tử, kết quả là nguyên tử thay đổi từ mức năng lượng này sangmức năng lượng khác, từ trạng thái này sang trạng thái khác Hiệu ứng dochúng tạo ra được mô tả bởi tốc độ phân rã được thêm vào mật độ cư trú ở cácmức của nguyên tử trong phương trình Bloch quang học Trong va chạm đànhồi, gọi tốc độ phân rã là coll , đại lượng này được biểu thị theo tốc độ vachạm 1 /  0:

coll  1 /  0 (1.44)

Như vậy,  '    coll là tốc độ phân rã do cả hai quá trình phát xạ tựphát và quá trình va chạm gây nên cho hệ nguyên tử

1.2.3 Sự tích thoát độ cư trú và tích thoát pha

Với hệ nguyên tử hai mức thì sẽ xẩy ra quá trình phân rã của trạng tháikích thích của nó, ít nhất là sự phân rã một cách tự phát Khi xét đến sự phânrã của trạng thái được kích thích thì ngay lập tức làm cho vạch phổ hấp thụcủa dịch chuyển 2  1 có một độ rộng hữu hạn nào đó ngay cả khi khôngcó tác dụng của trường ngoài Trong thực tế, sự tương tác của phân tử với môitrường xung quanh (có thể xem như bồn nhiệt) có thể làm rút ngắn thời gian

sống của trạng thái kích thích Trong trường hợp tổng quát, sự tích thoát mậtđộ cư trú của mức kích thích tới trạng thái cân bằng của nó được gọi là sự tíchthoát dọc và được đặc trưng bởi thời gian tích thoát dọc T1.

Sự tương tác của phân tử với môi trường xung quanh sẽ gây ra một sựthay đổi ngẫu nhiên về pha của hàm sóng của phân tử trong mỗi trạng tháidừng của nó, mà không cần thiết phải tính đến sự phân rã của phân tử tới mứcthấp hơn Thời gian trung bình của mỗi “sự tích thoát pha” được biểu thị bởi

T2 và thường được gọi là sự tích thoát ngang Sự tích thoát pha không ảnhhưởng đến sự tích thoát mật độ cư trú ở các mức, nhưng nó cũng làm mở rộngvạch phổ của dịch chuyển 2  1 Độ rộng của một nửa đồng nhất củadạng Lorent được liên hệ với thời gian T2 bằng mối quan hệ đơn giản khi

1.2.4 Phương trình ma trận mật độ khi kể đến quá trình phân rã

Các phương trình (1.17) và (1.40) chỉ đúng trong trường hợp lý tưởng,khi cường độ, pha và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và cácmức năng lượng của hệ lượng tử không suy biến Tuy nhiên trong thực tếkhông phải như vậy, do nhiều nguyên nhân các thông số thường có thể thănggiáng và các mức năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nàođó Sự mở rộng đó có thể do va chạm, do sự mở rộng tự nhiên (ngoài ra còncó mở rộng Doppler ) Vì vậy để sát với thực tế hơn chúng ta phải bổ sungảnh hưởng của các thăng giáng này vào phương trình ma trận mật độ, tức làphải đưa thêm vào ma trận sự suy giảm tương ứng với các thăng giáng, cácquá trình phân rã Khi đó phương trình (1.17) trở thành:

   iH,   

dt d

 (1.45)

Trong đó H là Hamilton toàn phần của nguyên tử, thông thường H đượcbiểu diễn như tổng hai phần: một phần mô tả tương tác giữa nguyên tử vớitrường phần còn lại đặc trưng cho Hamilton của nguyên tử khi không cótrường Trong gần đúng lưỡng cực điện ta có thể biểu diễn:

   



H d E

H 0 (1.46)

 là toán tử mô tả quá trình tích thoát do phân rã tự phát, va chạm

 là toán tử ma trận mật độ

Phương trình (1.45) sẽ được chúng tôi sử dụng vào từng trường hợp cụ thể ởcác phần sau của luận văn

1.3 Dao động Rabi

Hầu hết các ứng dụng quang phổ laser liên quan đến các quá trình dịchchuyển kích thích của các hệ lượng tử giữa các mức năng lượng, sóng ánhsáng laser có thể được biểu diễn dưới dạng một sóng kết hợp phân cực thẳngvới tần số  và biên độ E:

*

V d Ec t V V (1.48)Ở đây d12 e d.12 là hình chiếu của phần tử ma trận lưỡng cực lên vectơ phâncực của sóng ánh sáng Do sự đẳng hướng của véctơ d21mà nó được địnhhướng một cách bất kì theo véctơ e, ta có:

2 2 2

( ) 1/ 3 | |

d  e d  d (1.49)Trong trường hợp tương tác cộng hưởng, tần số của trường sáng  được giảsử trùng với tần số chuyển mức 0 ,vì vậy độ lệch tần số  =  - 0 là nhỏ hơnrất nhiều tần số của trường:

|| = | - 0| << 0,  (1.50)

Hơn nữa, năng lượng tương tác giữa trường ánh sáng và hệ hai mức thườngthấp hơn nhiều so với năng lượng chuyển mức lượng tử:

dE   0 (1.51)Đây cũng là một điều kiện tự nhiên, nếu không thì sự tương tác giữatrường với hệ lượng tử có thể không còn được cộng hưởng Trong trường hợpnày, tất cả các số hạng phụ thuộc thời gian có thể được đơn giản hóa bằng sựgần đúng sóng quay Biên độ xác suất C1 và C2 dao động với tần số thấp .Dưới các điều kiện này, từ các phương trình của biên độ xác suất hay của cácphần tử ma trận mật độ có thể viết là:

1 2

1 Ee 2 1 Ee 2

E( ) os 0

Ec t t t

2 1

2 2

Chúng ta thấy rằng khi độ lệch tần tăng thì tần số Rabi tăng do đó chukì dao động Rabi T R  2 /  R giảm xuống Vì vậy, khi tần số của trường ngoàicàng xa tần số cộng hưởng thì ảnh hưởng của trường lên sự thay đổi mật độ cưtrú càng nhỏ, có thể bỏ qua.

1.4 Tương tác kết hợp và không kết hợp

Trong trường hợp trường ánh sáng đủ mạnh thì:

    

2 0

1 2

2

T

dE

 (1.57)Sự thay đổi mật độ cư trú được mô tả bằng hệ thức gần đúng:

t

T

t N

Bây giờ giả sử biên độ trường ánh sáng không thỏa mãn điều kiện(1.57), tức là:

2 0

1 2

T



 (1.59)Trong trường hợp này, sự tiến triển của chênh lệch độ cư trú N được môtả bằng biểu thức:

1.5 Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức cấu hình lamđa

Khảo sát hệ nguyên tử ba mức cấu hình lamđa khi kể đến các quá trìnhphân rã tự phát và phân rã do va chạm, trong đó mức | 1  và | 2là hai mứcsiêu tính tế của trạng thái cơ bản và mức | 3 là một trạng thái kích thích của

Hình 1.1 Đường đặc trưng của hệ

hai mức: a) Một xung cộng hưởng của trường ánh sáng laser E(t), b)

Tương tác kết hợp với

2

1 2

hệ nguyên tử 87Rb Trong đó dịch chuyển giữa các trạng thái | 3 | 1  và

| 3 | 2 là dịch chuyển được phép, còn các trạng thái | 2 | 1  là khôngđược phép

Gọi nm là các tốc độ phân rã trên một nguyên tử mà mật độ cư trú phânrã từ mức m xuống mức n (với m, n = 1, 2, 3) và gọi m và n là các tốc độphân rã toàn phần của mật độ cư trú từ các mức m và n Ta có mối liên hệ: ( )

ma trận mật độ của các phần tử nằm ngoài đường chéo chính (bởi vì ảnhhưởng của sự va chạm giữa các nguyên tử chỉ làm thay đổi pha trong biên độxác suất của các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của ma trận mật độ, còncác phần tử nằm trên đường chéo chính thì không đổi) Như vậy, khi xét đếnảnh hưởng của tốc độ phân rã do va chạm thì ta có: